同济大学硕士弹性力学课件第7、8讲_平面问题直角坐标解
弹性力学 第二章 平面问题的基本理论 ppt课件
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 工程实例
平板坝的平板支墩
深梁
5
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 几何特征 无限长的柱形体， 横截面不沿长度变化 ♢ 面力与约束 作用于柱面，平行横截面，不沿柱体长度方 向变化； ♢ 体力 作用于柱体内，平行横截面，不沿柱体长度 方向变化；
6
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 简化分析
截面、外力、约束沿z不变，外力、 约束平行 xy面，柱体无限长
任何截面都是对称面
w=0， u、v ≠0
εz=0
τzx=0、 τzy=0
γzx=0、 γzy=0
εx 、εy 、γxy ≠ 0
★ 应变只存在平面应变，所以称为平面应变问题
·推导
(2) 坐标轴方向合力为0
方程两边同除dxdy 同理，ΣFy=0
平衡微分方程
12
·总结
§ 2-2 平衡微分方程
平衡微分方程
* 3个未知量，2个方程，还需另外方程 * 基于连续性、小变形假定 * 弹性体内任意区域都精确成立 * 平面应力和平面应变问题都适用
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§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
tanα2 = -
τxy σ1 - σx
∴ tanα1·tanα2 = -1
∴ σ1⊥ σ2
20
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·最大最小正应力
O
x
σ2
由(2-4)式，得
σ1
σ1
y
σ2
τxy = 0 σx = σ1 σy = σ2
σn = l2 σx + m2 σy + 2lmτxy = l2 σ1 + m2 σ2 = l2 σ1 + (1 - l2) σ2 = l2 (σ1 – σ2) + σ2
弹性力学-平面问题的直角坐标解答
0
Ml
2EI
将其代回(f)式，有
u M (x l )y
EI 2
(3-3)
v M (l x)x M y2
2EI
2EI
梁的挠曲线方程：
v M (l x)x y0 2EI
—— 与材力中结果相同
（2）悬臂梁
边界条件
u 0 xl
h y h
v 0 2
2
xl
由式（f）可知，此边界条件无法满足。
位移单值条件。 —— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。
位移分量求解：
（1） 将已求得的应力分量 x , y , xy 代入物理方程，求得应变分量 x , y , xy
（2） 将应变分量 x , y , xy 代入几何方程，并积分求得位移分量
表达式； （3） 由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。
1
2v x2
M EI
—— 材料力学中挠曲线微分方程
2. 位移边界条件的利用
（1）两端简支
其边界条件：
u
M EI
xy y
u0
(f)
v
M
2EI
y2
M 2EI
x2
x v0
u x0 0 v x0 0 v xl 0
y0
y0
y0
将其代入(f)式，有
u0 0 v0 0
Ml 2 2EI
l
v0
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
4 4
4
x4 0, y4 0, x2y2 0
4 0 (可作为应力函数 )
（3） 由式（2-26）计算应力分量： (假定：X =Y = 0)
x
2
《弹塑性力学》第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答.ppt
x
应力：r, ,r= r 应变：r, ,r= r
P
y
位移：u r , u
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3
§7-1平面极坐标下的基本公式
直角坐标与极坐标之间关系:
x=rcos, y=rsin
r cos sin
x r x x
r r
r sin cos
y r y y
r
r
2 r
r )( f r
r
f 1
r
fr 0 0 f
fr ) r
2＝ 2 1 1 2
r 2 r r r 2 2
力的边界条件如前所列。
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§7-1平面极坐标下的基本公式
1.8 应力函数解法
当体力为零 fr=f=0时, 应力法基本方程中的应
力分量可以转为一个待求的未知函数 ( r, ) 表示,而应力函数 ( r, ) 所满足方程为
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§7-2 轴对称问题
2.1 轴对称问题的特点
1.截面的几何形状为圆环、圆盘。
2.受力和约束对称于中心轴,因此，可知体 积力分量 f=0 ； 在边界上 r=r0 ：F 0， u （0 沿环向的受力和约束为零） 。
3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴 对称的：
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§7-2 轴对称问题
上式代入平衡微分方程可得到用位移表 示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。
r
r
1 r r
( r
r
)
Kr
0
r
r
1 r
2 r
r
K
0
力的边界条件也同样可以用位移表示。
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弹性力学-平面问题的直角坐标解答.
弹性力学平面问题的基本方程
（1）平衡方程： （3）物理方程：
x yx fx 0 x y xy y fy 0 x y
（2）几何方程：
u x x v y y v u xy x y
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
按应力求解平面问题的基本方程
（1）平衡方程
x xy fx 0 x y yx y fy 0 x y
常体力下可以简化： （ 1）
结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。 2a 2c 2c x y 2a
0
xy b
x
0
2
y2
y
试求图示板的应力函数。 例：
0
0
x
x
y
( x, y )
0
2
x
2
y
0
( x, y) 0 xy
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
h 2 h 2
x y dy M
h 2 h 2
6dy dy M
2
2M d 3 ( 或 d ) h M 3 h 2
M 12 M x 6dy 3 y (h3 / 12) y h
可见：此结果与材力中结果相同，
说明
M x y I
(1) 组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精 确的。 (2) 若按其它形式分布，如： 则此结果不精确，有误差；
弹性力学直角坐标解答
根据材料的本构关系， 引入物理方程来表达应 力分量与应变分量之间 的关系。
针对具体问题的边界条 件，如固定端、自由端 或受力边界等，对平衡 方程和几何方程进行适 当的处理。
根据问题的性质和复杂 程度，选择合适的求解 方法，如分离变量法、 积分变换法或数值方法 等，以求解平衡方程和 几何方程，得到应力分 量和位移分量的解答。
多场耦合问题
涉及多个物理场的相互作用，如热-力、电-力等耦 合问题，使得边界条件更加复杂。
处理复杂边界条件方法
坐标变换法
通过坐标变换将复杂边界转换为简单边界，从而简化问题的求解。
近似解法
采用近似函数逼近复杂边界条件，将问题转化为可求解的近似问题。
数值解法
利用数值计算方法（如有限元法、有限差分法等）对复杂边界条件 进行离散化处理，进而求解弹性力学问题。
直角坐标系下应力应变关系
应力分量
在直角坐标系下，一点的应力状态可以用六个应力分量来 表示，即三个正应力分量和三个剪应力分量。
应变分量
与应力分量相对应，一点的应变状态也可以用六个应变分 量来表示，即三个正应变分量和三个剪应变分量。
应力应变关系
在弹性力学中，应力和应变之间存在一定的关系，这种关 系可以用广义胡克定律来描述。对于各向同性材料，应力 应变关系可以简化为三个独立的方程。
03
空间问题直角坐标解答方 法
空间应力问题求解思路
应力分量求解
叠加原理应用
根据弹性力学基本方程，利用直角坐标 系下的应力分量表达式，通过给定的边 界条件和载荷，求解各应力分量。
对于多个载荷同时作用的情况，可利用 叠加原理将问题分解为多个简单问题分 别求解，再将结果叠加得到最终解。
应力函数引入
弹性力学 第七章平面问题的极坐标解答
arctan y
x
y r sin
x
y
r x
y
两种坐标系下位移分量坐标转换公式：
ur u
v sin u cos
v
cos
u
sin
u v
ur ur
cos sin
u u
sin cos
r
u
x
u
v
ur y
2、极坐标下的平衡微分方程
•几何描述
PB面积：rd AC面积：(r+dr)d
第七章 平面问题的极坐标解答
•本质上坐标系的选择并不影响弹性力学问题的求 解。 •但是影响边界条件的描述和表达，从而关系问题 的求解难易程度。 •圆形，楔形，扇形等物体，采用极坐标系求解比 较方便。
采用极坐标可更方便几何定位描述。
§7－1 平面问题的极坐标方程
1、极坐标与直角坐标之间的关系式：
r2 x2 y2
rds 1 xds cos 1 cos yds sin 1 sin
xyds cos 1 sin yxds sin 1 cos 0
用 xy 代替 yx 简化以后，得
r x cos2 y sin2 2 xy sin cos
o
yx y
x
y
B x
y
r
xy xya
c
A
x
b r r
同样可由三角板A的平衡条件F=0，得到 r ( y x )sin cos xy (cos2 sin2 )
和y分别改换为r和 。
r
1
E
2
( r
1
)
1 2
E
(
1
r
)
r
弹性力学平面问题的极坐标解答课件
b
a
2
ln
a
b2
a
2
0
位移的确定
H, I, K待定
u
1 E
(1 )
A
(1 3 )B
2(1 )B(ln
1)
2(1
)C
I
sin
K
cos
u
4B
E
H
I
cos
K
sin
左端固定：(u )0 0
0,
(u ) 0 0
0,
u
0
0
0
常数的确定：
H
I
0,
K
1 E
极坐标下的双调和方程
代入协调方程，得到应力函数U需满足
的双调和方程
2
2
1
1
2
2
2
2U
2
1
U
1
2
2U
2
0
§7-2 轴对称应力及其位移
应力函数与无关，双调和方程为
d2
d 2
1
d
d
d2 U
d 2
1
dU
d
0
4
d4 U
d 4
23
d3 U
d 3
2
d2 U
d 2
dU
问题描述 任一截面上的弯矩：
M () F cos R tan F R sin
应力函数：
U f () sin
O
m
ba
F
x
n
y
f()的求解及应力表达式
微分方程及其通解
d2
d 2
1
d
d
1
2
d2 f
弹性力学 第七章 平面问题的极坐标解
第七章平面问题的极坐标解知识点极坐标下的应力分量极坐标下的应变分量极坐标系的Laplace算符轴对称应力分量轴对称位移和应力表达式曲梁纯弯曲纯弯曲位移与平面假设带圆孔平板拉伸问题楔形体问题的应力函数楔形体应力楔形体受集中力偶作用极坐标平衡微分方程几何方程的极坐标表达应力函数轴对称位移厚壁圆筒作用均匀压力曲梁弯曲应力曲梁作用径向集中力孔口应力楔形体边界条件半无限平面作用集中力一、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。
对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。
本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。
二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题§7.1 平面问题极坐标解的基本方程学习思路:选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。
本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。
由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。
应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。
学习要点：1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6、极坐标系的Laplace算符；7、应力函数。
1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD，其由两个相距dρ的圆柱面和互成dϕ的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用σρ 表示径向正应力，用σϕ 表示环向正应力,τϕρ 和τρϕ 分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，τϕρ ＝τρϕ 。
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硕士研究生课程弹塑性力学IIC
弹塑性力学
第七、八讲平面问题直角坐标解法
同济大学地下建筑与工程系
目录
§6.1平面问题的基本方程
§6.2应力函数－逆解法与半逆解法
§6.3一些例子(矩形梁、水坝) *§6.4三角级数解
平面应力与平面应变问题
水坝滚柱外力（体力、面力）平行于横截面作
方向不变化。
方向不变化。
厚壁圆筒如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z 轴。
沿z 方向都不变化，
任一横截面均可视为对称面
水坝
()
(y x z σσνσ+−=——仅为x 、y 的函数。
煤矿巷道的变形与破坏分析、挡土墙、重力坝等。
0≠)
0(,==zy zx xy z τττσ
y 无关。
性常数不同。
⎠∂y x
（6-4）（6-11）
+X=0
+Y=0
0,0,,,0
x y xy x y xy Xx Yy
Xx Yy σστσστ===−−=−=−=或
§6.2 平面问题应力解法4
应力函数的引入
（c）
(j )
(k )(6-12)
2222222222,,,,x y xy x y xy U x U y U x y Xx Yy
U x Xx U y Yy U x y
σστσστ=∂∂=∂∂=−∂∂∂−−=∂∂−=∂∂−=−∂∂∂或
右边界：b f c f y x −==,2
结论：二次式能解决矩形板受均匀拉压力或剪力的问题
右边界：6,0
x y f dy f ==
结论：
个力偶，因而能解决矩形梁受纯弯曲的问题。
)(,12)2
2
2=−==−=−=l x xy y l x x f ay τσ,0,22
223
===−=∫∫−−h h x h h y S ydy f M dy f F ah dy 在左右边界上：
2
20
)(,122
2
2==−==l x xy y l f ay τ0
,0,22
23
=====∫∫−−h h x h h y S x ydy f M dy f F ah dy f
半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。
•作业6-7、6-9。