同济大学硕士弹性力学课件第7、8讲_平面问题直角坐标解

硕士研究生课程弹塑性力学IIC

弹塑性力学

第七、八讲平面问题直角坐标解法

同济大学地下建筑与工程系

目录

§6.1平面问题的基本方程

§6.2应力函数－逆解法与半逆解法

§6.3一些例子(矩形梁、水坝) *§6.4三角级数解

平面应力与平面应变问题

水坝滚柱外力（体力、面力）平行于横截面作

方向不变化。

方向不变化。

厚壁圆筒如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z 轴。

沿z 方向都不变化，

任一横截面均可视为对称面

水坝

()

(y x z σσνσ+−=——仅为x 、y 的函数。

煤矿巷道的变形与破坏分析、挡土墙、重力坝等。

0≠)

0(,==zy zx xy z τττσ

y 无关。

性常数不同。

⎠∂y x

（6-4）（6-11）

+X=0

+Y=0

0,0,,,0

x y xy x y xy Xx Yy

Xx Yy σστσστ===−−=−=−=或

§6.2 平面问题应力解法4

应力函数的引入

（c）

(j )

(k )(6-12)

2222222222,,,,x y xy x y xy U x U y U x y Xx Yy

U x Xx U y Yy U x y

σστσστ=∂∂=∂∂=−∂∂∂−−=∂∂−=∂∂−=−∂∂∂或

右边界：b f c f y x −==,2

结论：二次式能解决矩形板受均匀拉压力或剪力的问题

右边界：6,0

x y f dy f ==

结论：

个力偶，因而能解决矩形梁受纯弯曲的问题。

)(,12)2

2

2=−==−=−=l x xy y l x x f ay τσ,0,22

223

===−=∫∫−−h h x h h y S ydy f M dy f F ah dy 在左右边界上：

2

20

)(,122

2

2==−==l x xy y l f ay τ0

,0,22

23

=====∫∫−−h h x h h y S x ydy f M dy f F ah dy f

半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。

•作业6-7、6-9