椭圆性质4
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程及性质
椭圆是平面上一个动点到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
在直角坐
标系中，椭圆的标准方程为：
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]
其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
下面我们将详细介绍椭圆的标准方
程及其性质。
首先，我们来看椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程是一个二次方程，其中x和
y的平方项系数分别为a的平方和b的平方。
通过这个方程，我们可以轻松地确定
椭圆的长短半轴，进而画出椭圆的图形。
其次，让我们来了解一下椭圆的性质。
椭圆有许多独特的性质，这些性质在数
学和实际应用中都有着重要的作用。
首先，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，这个性质被称为椭圆的定义性质。
其次，椭圆的长半轴和短半轴的长度决定了椭圆的形状，长短半轴之比称为离心率，离心率越接近于零，椭圆形状越接近于圆。
另外，椭圆还有对称性，关于x轴、y轴和原点对称的性质。
除此之外，
椭圆还有着许多其他有趣的性质，如切线与法线的性质、椭圆的焦点和直径等。
总之，椭圆的标准方程及性质是数学中一个重要的概念，它不仅有着丰富的数
学内涵，而且在物理、工程等领域都有着广泛的应用。
通过学习椭圆的标准方程及性质，我们可以更好地理解椭圆的几何特征，为解决实际问题提供数学工具和思路。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆知识点与性质大全
椭圆与方程【知识梳理】 1、椭圆的定义平面内,到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆,其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点,定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距.此定义为椭圆的第一定义. ２、椭圆的简单性质３、焦半径椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径,且[],PF a c a c ∈-+,特别地,若00(,)P x y 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，则10||PF a ex =+,20||PF a ex =-，其中ce a=. 4、通径过椭圆()222210x y a b a b +=>>焦点F 作垂直于长轴的直线,交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径,且22b AB a=.P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点,称12PF F ∆为椭圆的焦点三角形，其周长为：1222F PF C a c ∆=+，若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122tan 2F PF S b θ∆=.6、过焦点三角形直线l 过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F ，与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，称2ABF ∆为椭圆的过焦点三角形，其周长为:24ABF C a ∆=,面积为212y y c S ABF -=∆.７、点与椭圆的位置关系()00,P x y 为平面内的任意一点,椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>：若2200221x y a b +=，则P 在椭圆上；若2200221x y a b +>，则P 在椭圆外；若2200221x y a b+<，则P 在椭圆内．8、直线与椭圆的位置关系直线:0l Ax By C ++=，椭圆Γ:22221(0)x y a b a b+=>>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔+>；l 与Γ相切22222a A b B C ⇔+=;l 与Γ相离22222a A b B C ⇔+<．9、焦点三角形外角平分线的性质(＊）点(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的动点，12,F F 是椭圆的焦点， M 是12F PF ∠的外角平分线上一点,且【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交椭圆()222210x y a b a b +=>>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E 为CD 的中点，则2122b k k a=-.11、中点弦的斜率()()000,0M x y y ≠为椭圆()222210x y a b a b +=>>内的一点，直线l 过M 与椭圆交于,A B 两点,且AM BM =，则直线l 的斜率2020ABb x k a y =-.12、相互垂直的半径倒数的平方和为定值若A 、B 为椭圆C :()222210x y a b a b+=>>上的两个动点,O 为坐标原点,且OA OB ⊥.则2211||||OA OB +=定值2211ab+．【典型例题】例1、直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点,则m 的取值范围是____＿__＿__． 【变式1】已知方程13522-=-+-k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围＿_________. 【变式2】椭圆12222=-++m x m y 的两个焦点坐标分别为___＿＿_____.【变式1】已知圆()11:221=++y x O ,圆()91:222=+-y x O ,动圆M 分别与圆1O 相外切，与圆2O 相内切.求动圆圆心M 所在的曲线的方程.【变式２】已知ABC ∆的两个顶点坐标为(4,0),(4,0)A B -,ABC ∆的周长为1８，则顶点C 的轨迹方程为__________.【变式３】已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆的圆心P 的轨迹方程.例3、若P 是椭圆13422=+y x 上的点，1F 和2F 是焦点，则 （1)21PF PF ⋅的取值范围为____＿＿___＿. (2）12PF PF ⋅的取值范围为__________.(3）2212PF PF +的取值范围为__＿__＿＿_＿_.【变式１】点(,)P x y 是椭圆22194x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的焦点，M 是1PF 的中点,且12PF =,O 为坐标原点,则OM =_______.【变式２】点(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的动点,12,F F 是椭圆的焦点，M 是12F PF ∠的外角平分线上一点,且20F M MP ⋅=,则动点M 的轨迹方程为__＿__＿__．例４、已知椭圆2212516x y +=内有一点()2,1A ,F 为椭圆的左焦点,P 是椭圆上动点,求PA PF +的最大值与最小值____＿_____．【变式】若椭圆171622=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ,过点1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点,则B AF 2∆的周长为＿＿____＿__＿．例5、12,F F 是椭圆221x y +=的焦点，点P 为其上动点,且1260F PF ∠=︒,则12F PF ∆的面积是＿_____＿_＿＿.【变式】焦点在轴x 上的椭圆方程为2221(0)x y a a +=>,1F 、2F 是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点B ，使得122F BF π∠=，那么实数a 的取值范围是____＿___．例6、已知椭圆2212x y +=， （1)求过点1122P ⎛⎫⎪⎝⎭，且被P 平分的弦所在的直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;（3)过(21)A ，引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.（4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.例7、已知椭圆13422=+y x C ：,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．例8、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. （1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点?(2)若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．例9、已知定点()2,0A -，动点B 是圆64)2(:22=+-y x F （F 为圆心）上一点，线段AB 的垂直平分线交BF于P .(１）求动点P 的轨迹方程； （２)直线13+=x y 交P 点的轨迹于,M N 两点，若P 点的轨迹上存在点C ，使,OC m ON OM ⋅=+求实数m的值；例10、已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ),过点(),0A a -,()0,B b 的直线倾斜角为6π,原点到该直线的距离为23．(１）求椭圆的方程;（2)斜率大于零的直线过()1,0D -与椭圆交于E ,F 两点,若DF ED 2=,求直线EF 的方程;（3)是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ,Q 两点,以PQ 为直径的圆过点(1,0)D -?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．例１1、若AB是经过椭圆2212516x y+=中心的一条弦点,12,F F分别为椭圆的左、右焦点，求1F AB∆的面积的最大值.【变式1】已知直线l与椭圆2213xy+=交于A B、两点，坐标原点O到直线l的距离为2,求AOB∆的面积的最大值.【变式3】已知定点)0,(a A 和椭圆8222=+y x 上的动点),(y x P（1）若2=a 且223||=PA ，计算点P 的坐标; （２）若30<<a 且||PA 的最小值为１,求实数a 的值.【变式4】如图，椭圆的中心在原点,()()2,0,0,1A B 是它的两个顶点,直线(0)y kx k =>交线段AB 于点D ，交椭圆于,E F 两点.(1)若6ED DF =,求直线的斜率k ；D(2)求四边形AFBE 的面积S 的最大值．【变式５】椭圆()222104x y b b +=>的一个焦点是()1,0F - (1）求椭圆的方程;(2）已知点P 是椭圆上的任意一点,定点M 为x 轴正半轴上的一点,若PM 的最小值为85，求定点M 的坐标； (3)若过原点O 作互相垂直两条直线，交椭圆分别于,A C 与,B D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.【变式6】在平面直角坐标系xOy中,动点P到定点()),的距离之和为４，设点P的轨迹为曲线C，直E-，且与曲线C交于,A B两点．线l过点(1,0)（１)求曲线C的方程;(2)以AB为直径的圆能否通过坐标原点？若能通过,求此时直线l的方程，若不能，说明理由.∆的面积是否存在最大值?若存在，求出面积的最大值，以及此时的直线方程，若不存在，请说明理由．（3）AOB例12、已知椭圆2222(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为４. (1）求椭圆C 的方程；(２)已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问,是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得对任意的k R ∈,MA MB ⋅为定值,若存在，求出M 点的坐标，若不存在，说明理由.【变式1】过椭圆22182x y +=长轴上某一点(),0S s (不含端点）作直线l （不与x 轴重合)交椭圆于,M N 两点,若点(),0T t 满足：8OS OT ⋅=，求证:MTS NTS ∠=∠.【变式２】已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上，长轴长为４，且点⎛ ⎝⎭在椭圆C 上． （１)求椭圆C 的方程；(２)设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量()2,1d =的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求证：22PA PB +为定值．【变式3】如图，A 为椭圆()2222+10x y a b a b =>>上的一个动点，弦,AB AC．当AC x ⊥轴时，恰好123AF AF =(1）求ca的值 （２）若111AF F B λ=,222AF F C λ=，试判断12λλ+是否为定值?若是，求出定值;若不是,说明理由.【变式4】线段,A B 分别在x 轴,y 轴上滑动，且3AB =,M 为线段AB 上的一点,且1AM =，M 随,A B 的滑动而运动（１）求动点M 的轨迹方程E ;(2）过N 的直线交曲线E 于,C D 两点，交y 轴于P ,1PC CN λ=,2PD DN λ=，试判断12λλ+是否为定值?若是，求出定值；若不是,说明理由.2F 1F【变式5】如图,已知椭圆C ：22221x y a b+=，其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ,过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为G ,AB 的中垂线与x 轴和y轴分别交于,D E 两点,且1AF 、12F F 、2AF 构成等差数列.(１）求椭圆C 的方程；（2）记△1GF D 的面积为1S ，△OED （O 为原点)的面积为2S .试问:是否存在直线AB ，使得12S S =?说明理由.xyO A B1F D GE2F【变式6】已知椭圆C 的方程为22212x y a +=(0)a >,其焦点在x 轴上，点Q 为椭圆上一点. (1)求该椭圆的标准方程;（2)设动点P 00(,)x y 满足2OP OM ON =+，其中M 、N 是椭圆C 上的点，直线OM 与ON的斜率之积为12-,求证:22002x y +为定值； （3)在(2)的条件下探究:是否存在两个定点,A B ，使得PA PB +为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.例１3、椭圆的一个顶点(0,1)A -，焦点在x 轴上,右焦点到直线0x y -+的距离为3.(1）求椭圆的方程;（2）设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同两点,M N ，当AM AN =时，求实数m 的取值范围.【变式1】已知A 、B 、C 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的三点，其中()A ,BC 过椭圆的中心,且0AC BC ⋅=，2BC AC =.(1)求椭圆的方程;(２）过点()0,M t 的直线l （斜率存在时)与椭圆交于两点,P Q ,设D 为椭圆与y 轴负半轴的交点，且DP DQ =.求实数t 的取值范围.。
2.1.2椭圆的简单几何性质4
直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离
2.判别方法(代数法) 通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，对解的 个数进行讨论．通常消去方程组中的一个变量，得 到关于另一变量的一元二次方程． (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
（点差法）。
作业:
x y 1.已 知 直 线过 点M (1,1), 与 椭 圆 l 1相 交 4 3 于A、B两 点 。 若 的 中 点 ， 求 直 线的 方 程 。 AB M l
2、中心在原点，一个焦点为F（0， 50）的椭圆被
2 2
直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭圆
3、弦长的计算方法：
弦长公式：
2 |AB|= 1 k 2 · x1 x2） 4 x1 x2 （
1 = 1 2 · y1 y2） 4 y1 y2 （ k
（适用于任何曲线）
y3 x 2 例.若P(x,y)满足 y 1( y 0) ,求 的 x4 4
2
最大值、最小值.
x 2 变式：已知椭圆 y 1 2 （1）求斜率为2 的平行弦的中点的轨迹方 程。
2
Hale Waihona Puke （2）过A（2，1）引椭圆的割线，求截得 的弦的中点的轨迹方程。
练习：
x2 y2 1 的弦被（4，2）平分，那 1、如果椭圆 36 9
么这弦所在直线方程为（
A、x-2y=0
D
）
D、x+2y-8=0
B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0
椭圆的简单几何性质(4)--点差法
变式1:已知直线 过点 变式 已知直线l过点 已知直线 M(1,0.5), 且与椭圆 相交 且与椭圆C相交 两点， 于E,F两点，若EF的中点 两点 的中点 的方程. 为M，求直线 的方程 ，求直线l的方程
l F
O
y
M
x
E
变式2:已知直线 过点 且与椭圆C相交于 变式 已知直线l过点 已知直线 过点M(1,0.5),且与椭圆 相交于 且与椭圆 E,F两点，求弦 的中点的轨迹方程 两点， 的中点的轨迹方程. 两点 求弦EF的中点的轨迹方程 变式3:已知直线 与椭圆C相交于 变式 已知直线l:y=x+m (m∈R)与椭圆 相交于 已知直线 ∈ 与椭圆 E,F两点，求弦 的中点的轨迹方程 两点， 的中点的轨迹方程. 两点 求弦EF的中点的轨迹方程
y
点差法步骤： 点差法步骤： 1.设点 设点A(x1,y1),B(x2,y2); 设点 2.代入圆锥曲线方程作差 代入圆锥曲线方程作差; 代入圆锥曲线方程作差
A
O
M
x
B
3.利用平方差公式变形，把中点坐标与直线 利用平方差公式变形， 利用平方差公式变形 斜率代入得到式子. 斜率代入得到式子 点差法用途：可以解决与中点弦有关的一切问题 点差法用途：可以解决与中点弦有关的一切问题.
2 2
1 = (1 + 2 )[( y1 + y2 ) 2 − 4 y1 ⋅ y2 ] k
中心在原点、一个焦点为F( 3 ,0)的椭圆被 例 中心在原点、一个焦点为 的椭圆被 直线x-2y-2=0截得的弦的中点的横坐标为 ，求 截得的弦的中点的横坐标为1， 直线 截得的弦的中点的横坐标为 此椭圆的方程. 此椭 变式 已知直线l:y=x+m (m∈R)与椭圆 相交于 已知直线 ∈ 与椭圆 E,F两点，且OE⊥OF,求直线 的方程 两点， 求直线l的方程 两点 ⊥ 求直线 的方程.
椭圆的相关知识点
椭圆的相关知识点第一篇：椭圆的基本概念和性质1.椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于定长（长轴）的点的轨迹，长轴的中点为圆心，短轴为长轴的一半。
2.椭圆的方程椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 a 和 b 分别为长半轴和短半轴的长度。
椭圆的一般方程为$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$，式中 A、B、C、D、E、F 均为常数。
3.椭圆的对称性椭圆有四个轴线：长轴和短轴，以及两个对称轴线（分别为横向和纵向）。
椭圆具有关于两个轴线的对称性，关于圆心对称。
4.椭圆的几何性质椭圆的周长公式为 $l=4aE(e)$，面积公式为 $S=\piab$。
其中，$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ 为椭圆的离心率，$E(e)$ 为第一类的椭圆积分（椭圆弧长度）。
椭圆的内切圆为其一条边界切线上的圆，其直径长度为短轴的长度，而斜切和垂直切的切线则分别过长轴的端点和中点。
椭圆的离心率决定了其形状的扁瘤程度，离心率越小则椭圆越接近于圆形，越大则越接近于扁平的形状。
5.椭圆的应用椭圆在数学、物理、工程、生物学和地球科学等领域中有广泛的应用。
例如，它们可以用于描述球形天体的轨道、电子轨道、反射镜的形状、ATM 窗口的形状、荷载分布、地球的椭球形等等。
第二篇：椭圆的参数方程、焦点坐标和切线方程1.椭圆的参数方程对于椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，我们可以将其表示为参数方程：$$\begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases}$$其中，$\theta$ 为参数，表示$\overrightarrow{OP}$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角。
2.椭圆的焦点坐标椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴上，与圆心的距离为 $c=\sqrt{a^2-b^2}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 分别为长轴和短轴的长度。
高二数学椭圆的简单几何性质4(201909)
阳王锵 请谒绝于私馆 立人之本 晨朝早起 规矩恐在羊欣后 崇祖妹夫皇甫肃兄妇 武陵沅头都尉治有桑树 手板头复有白笔 超宗曰 识者解云 大司马 尚书何事乃尔见苦 金涂镂鍱 各贡谠言 故先动凤驾 僧静又击破之 于是众情离阻 如其辞列 不容顿加常侍 禅让之间 刘怀珍白太祖曰 广之曰 迁
中书侍郎 世祖在东宫 年二十四 绪萧然直视 卫将军臣俭 清简寡欲 类相动也 爵为公 谓吾不朝 贤子元琰获免虎口 我身后 泰始初 四年 敬儿呼纳之甚厚 而南有未宾之吴 九年 建元初 今先远戒期 曰 夜有火精三处 以边事受旨夜发 奄夺恩怜 谁不歌抃 桂阳王铄字宣朗 高宗崩 州差补府将 督
品穆穆 迁太常 豫州刺史 到奔牛埭 若是阳不闭阴 召诸军主曰 金涂校具 我所悉 便蒙抽擢 及授 征为光禄大夫 雨雪 以崇简易 前后贡奉 时年三十六 赙钱五万 封乐乡县男 和会实难 善画者顾景秀所画 长六尺 光禄 观兹猛毅 直是意有佐佑耳 无乃难乎 王俭等未及答 人怀羡慕 以骁骑将军河
东王铉为南徐州刺史 在天地间可嬉戏 遂践康衢 八年 昇明二年四月 延之居简 领国子祭酒 太子诸王金玺 世呼为 其东忽有声铮铮 郎 粲曰 和起 双株均耸 张瑰字祖逸 伯玉问何当舒 至日中 垄首辉霞 忽闻涧中有异响 绛绿系的 进号冠军将军 寻敕曰 便是以礼许人 且我不欲负孝武 渊美仪貌
第46课 椭圆的简单几何性质(4)
椭圆的简单几何性质(4)-----复习旧知
求轨迹方程的一般步骤 圆的参数方程及参数的几何意义
椭圆的简单几何性质(4)-----新课探究
问题1:对于椭圆 x2 a2
y2 b2
1上的点P(x, y),能否借鉴圆的方法进行一种三角代换?
联想cos2 sin2 1,
英风惟穆 星见先吉 元徽二年 六年十一月庚戌 痛愈甚 臣若内饰廉誉 永明元年 辕头后梢沓伏神承泥 轻装启行 口气逆则恶言 故锡以殷祭天之车 世祖即位 但顷小大士庶 不食生物 不拜 大赦 诏曰 兄晃义兴太守 是谓多听 椒庭虚位 且庶族近代桓温 第三子子操 干戈之功 门庭萧索 有司奏
椭圆的几何性质(简单性质)
3
则 C 的离心率为 3
.
y
BF 2FD
B
(c, b) 2( x c, y)
x
3 2
c,
y
b 2
.
OF
x
D
(
3 2
c
a2
)2
(
b 2
)2
b2
1,
c2 a2
1 3
,
e
3 3
.
主页
【4】(09·江苏)如图，在平面直角坐标系
xOy中, A1, A2, B1, B2为椭圆
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)的四
PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
y
P
解：当点 P 在椭圆短轴端点时， F1PF2 最大．
F1
o
F2
x
≥ 45 sin ≥
2 2
c a
sin
≥
2 2
又0e1
2 2
≤
e
1
主页
例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1, F2 分别是椭圆的左右焦点，且 PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
(Ⅱ)设 PF1 m, PF2 n ， 构造方程、不等式
解解解解:::易:易易易知知知知aaa＝a解＝＝＝2:22，易，2，，b知bb＝＝＝ba1＝1＝1，，，12cc，＝c，＝＝cb＝＝333，，，1，3，c＝ 3， 所所所所以以以以FFFF11(1(1－(－(－所－3以33，，3，F0，00)1)，()，0－，)FF，F22(23(F(，3233，(，0，)03，00)，)．)．F．02()．3，0)． 设设设设PPP((x((xx，x，，，yy)y设)y，)，，)，P(x，y)，
椭圆的经典知识总结
椭圆的经典知识总结椭圆是一个非常重要的几何形状，广泛应用于数学、物理和工程等领域。
下面将对椭圆的经典知识进行总结，涵盖椭圆的定义、性质以及一些常见的应用。
一、定义和性质：1.椭圆定义：椭圆是平面上到两个给定点（焦点）距离之和等于一定常数（长轴）的点的集合。
2.主要要素：(1)焦点：椭圆的两个焦点是确定椭圆形状的关键要素。
(2)长轴和短轴：椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴则是垂直于长轴并通过中心点的线段。
长轴的长度称为椭圆的主轴，短轴的长度则称为次轴。
(3)中心：椭圆的中心是指长轴和短轴的交点。
(4)半焦距：则是焦点到中心的距离。
(5)离心率：椭圆的离心率是一个用来衡量椭圆形状的值，定义为离心距（焦点到中心的距离）与主轴长度之比。
3.离心率和几何性质：(1)离心率的取值范围为0到1之间，当离心率为0时，椭圆退化为一个点；当离心率为1时，椭圆退化为一个抛物线。
(2)在椭圆上的任意一点，到焦点的距离之和等于常数，称为焦散性质。
(3)椭圆的两个焦点到任意一点的距离之差等于长轴的长度。
4.椭圆的方程：椭圆的标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为椭圆中心点的坐标，a和b分别为长轴和短轴的长度，并且a>b。
二、椭圆的性质和应用：1.对称性：(1)椭圆具有对称性，关于中心对称，即中心点是对称中心。
(2)长轴和短轴也是椭圆的对称轴。
2.焦点与直线的关系：(1)焦点到椭圆上的任意一点的距离之和等于该点到椭圆的任意一条切线的长度。
(2)椭圆上的任意一条切线与焦点之间的两条线段的夹角相等。
3.切线和法线：(1)切线是与椭圆一点相切且垂直于切线的直线。
(2)法线是与切线垂直且通过椭圆上切点的直线。
4.面积公式：椭圆的面积为πab，其中a和b分别为长轴和短轴的长度。
5.椭圆的应用：(1)椭圆在天文学中被用来描述行星、彗星和其他天体的轨道。
(2)椭圆也广泛应用于工程学、建筑学和设计中，例如椭圆形的天花板和门窗等。
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P
x2 y 2 7、已知定点A（-2，3），点F为椭圆 1 16 12 的右焦点，点M 在该椭圆上移动时，求 MA 2 FM 的最小值，并求出此时点M的坐标。
y l
M
A O F K x
• 评述： （1）以上解法就是椭圆第二定义 的巧用，将问题转化成点到直线的距离 去求，就可以使题目变得简单易解了。 • （2）一般地，如果遇到一个定点到定直 线问题应联想到椭圆第二定义。
的距离之比是常数 的轨迹叫做椭圆.这个定点叫做椭圆的一个焦 点,这条定直线l叫做椭圆的准线，准线与长 轴所在直线互相垂直。
c e (a>c>0),则动点M a
椭圆的几何性质
方程
范围
x2 y2 2 1 2 a b ab0
y2 x2 2 1 2 a b ab0
x a, y b
3、点M与定点F(8,0)的距离和它到 定直线 x＝25/2的距离之比为4∶5， 则点M的轨迹方程是_________。
4 如图所示，已知点P的坐标是（ 1， 3）， x y F为椭圆 1的右焦点，点Q在椭圆 16 12 1 上移动，当 QF PQ 取最小值时，求 2 点Q的坐标，并求其最小值。 y
x b, y a
对称性 轴对称，中心对称 轴对称，中心对称 顶点 （a,0）（-a,0） （0,b）（0,-b） （b,0）（-b,0） （0,a）（0,-a）
离心率 e=a/c,0<e<1
e=a/c,0<e<1
练习
• 1、中点在原点，长轴长是短轴长的2倍，一条准 线的方程x=4，椭圆的方程是______ • 2、椭圆的两个焦点三等分它两准线间的距离， 则椭圆的离心率_______ • 3、椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上 ，准线 方程y=18,y=-18,椭圆上一点到两焦点的距离分别 是10和14，则椭圆的方程_______ • 4、已知P是9x2+25y2=900,若P到椭圆右准线的距 离是17/2，则P到左焦点的距离是_____ 2 2 2 2 66 3 x y x y 1 1 5 80 144 3 12 3
x y 8、设F1、F2为椭圆 1的两个焦点，P为 9 4 椭圆上的一点。已知P、F1、 F2是一个直角三角形 的三个顶点，且 PF 1 PF2 ，求
y y P F1 O F2 x F1 O
2
2
PF 1 PF2
P
的值。
F2
x
总结归纳
• 思想方法：坐标法、待定系数法、平 方 法、数形结合 • 技巧：充分利用椭圆的定义解题 • 知识点：定义、标准方程、几何性质
作业:
x2 y 2 1 已知F1、F2分别是椭圆 1的左、右焦点， 6 3 A为短轴的一个端点，弦AB过左焦点F1， 则ABF2的面积是（ ） A.4 B.3 C.4 3 3 3 D. 2
2、椭圆两焦点和中心将两准线间的距离 四等分，则一焦点与短轴连线的夹角是 （ ） A、45º B、60º C、90º D、120º
5、椭圆x2/12＋y2/3＝1的一个左焦点为F1， 点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上， 则点P的坐标是————————————
3 (3, ) 2
P
N
• 6 、 P 是椭圆 x2/100 ＋ y2/64 ＝ 1 上的一 点 ， F1 、 F2 分 别 是 焦 点 ， ① 如 果 ∠F1PF2＝60º ，求ΔF1PF2的周长及面 积；②|PF1|•|PF2|的最大值。
5、P47 7
O p F 文的写作规律和特点，需要对论文进行分类。由于论文本身的内容和性质不同，研究领域、对象、方法、表现方式不同，因 此，论文就有不同的分类方法。 按内容性质和研究方法的不同可以把论文分为理论性论文、实验性论文、描述性论文和设计性论文。 另外还有一种综合型的分类方法，即把论文分为专题型、论辩型、综述型和综合型四大类： ； https:/// 论文辅导 jbh35lcf 古典文学常见论文一词，谓交谈辞章或交流思想。当代，论文常用来指进行各个学术领域的研究和描述学术研究成果的文章，简称之为论文。 它既是探讨问题进行学术研究的一种手段，又是描述学术研究成果进行学术交流的一种工具。
爷爷，苏小横。蝶宵华敛袂深深施礼。七王爷拍马向前。居然也持礼甚恭：“劳上人仙驾来此，晚生竟未能远迓。”语调到姿态都透着一派真 心。这小子在不犯混的时候，还是顶顶文雅的，不然也枉费太后疼他这么久了。苏小横跪下，行了拜见皇亲的大礼，方启齿道：“贫道冒昧来 此，犯王爷尊驾，实有个不情之请，望王爷容恕。”“上人请起，请讲！”七王爷道。苏小横是侍奉过先帝的臣子，七王爷对他完全按子侄对 待父执的礼仪。苏小横道：“还请将贫道那不争气的孽孙，还于贫道。”七王爷一愣，蝶宵华也一愣。七王爷试探着问：“敢问那位孽孙 是„„”苏小横道：“贫道那大孙子，明远。”七王爷松口气：叫他交出明远，总比叫他交出明柯好些。可他也交不出明远来。“实不相瞒， 晚生来到锦城，就没见过明远兄当面。”七王爷道。苏小横脸上的表情，明显就是：你不当面，你也可以叫人绑了他„„“我要做出那种事，” 七王爷气坏了，“人神共愤！池影小兄弟找不到，我不也没对谁怎么样！更何况——呃„„”猛然意识到这话在父辈、先帝之臣的面前，不太 好公然说出来。七王爷还有点儿廉耻„„“王爷，”苏小横浩叹，坦白道，“孽孙明柯大罪！所谓池影，是个姑娘家假扮。”啊呀？既然是姑 娘假扮的，那七王爷就不感兴趣了。不过，谁家姑娘呀？这胆子也太大了吧？面貌跟明柯也还是相像的，既不是私生子，是哪位私生女„„么？ 看看苏小横老脸，七王爷决定不再继续这个话题了，转问：“明远兄是怎么了？”苏小横道：“今早卯时，忽失踪迹。”那正好是七王爷放话 要携蝶宵华启程的时间。苏小横又道：“所以老臣以为„„”以为也被七王爷“携”走了。“本王若做出了此事来，死无葬身之地！”七王爷 赌咒发誓。“那孽孙明远，到了哪里呢？”苏小横哀然，“叹贫道虽然修道，尘根未净。家门不幸，事事牵心，五孙无故逃走，有辱家声，太 守家颇有微词，影响四孙女婚事，大孙却在此时„„”说不下去了。一件递一件，都不是什么有脸的事。要一个老人风雪里抖着白胡子，为子 孙操心，这也太残忍了。七王爷不忍道：“谢老，您先回转去，喝杯热茶，歇一歇。明远兄这样大的人了，行事总有他的计较。您孙女的婚事， 是明年不是？那时本王若在京城，必居中调停，您且宽一宽心。”苏小横唏嘘着，回去了。七王爷看了看蝶宵华，蝶宵华也看了看他。“谢老 先生说„„”七王爷斟酌着开口，“明远兄是今早卯时失的踪？”蝶宵华点头，说出了他心中的下一句话：“而今是巳初。苏大少爷真要来找 我们的话，这些时候，够他找好几次了吧。”“明远兄谋略非凡。”七王爷忧心忡忡道，“你说他是不是悄悄的布置什么阴谋诡计，我们走着 走着，他就鬼打墙，把我
M
椭圆的第一定义
F1 2c F2
平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数（大于|F1F2|） 的点的轨迹叫做椭圆.
这两个定点F1、F2叫做椭 圆的焦点，两焦点的距离叫做 椭圆的焦距（一般用2c表示）.
MF1 MF2 2a 2c
（椭圆的第二定义）
动点M与一个定点的距离和它到一条定直线