向量加法、减法运算及其几何意义
向量的加减乘除运算
向量的加法OB+OA=OC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=的反向量为0向量的减法AB-AC=CB.即“共同起点,指向被向量的减法减”a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.当λ＞0时,λa与a同方向；向量的数乘当λ＜0时,λa与a反方向；向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.4、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）；(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；向量的数量积的性质a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.5、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”）.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b ∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.向量的向量积运算律a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.。
2.2.向量加减法、数乘运算及其几何意义
2.2.向量加法、减法运算 及其几何意义
1、位移
AB + BC = AC
C A B F1
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
(1)同向
a
(2)反向
a
b
A
B C B C
b
A
AC = a + b
规定： a + 0 = 0 + a = a
AC = a + b
当向量a ,b不是共线向量时,a + b又如何 作出来?
b a
o·
a
A
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b| 一般地，有 | a + b |? | a | |b|
E
3AB BC
3 AC
∴ AC与 AE 共线．
作业：
课本P 4, P 5, P 4 84 90 91
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a
任意向量
a、 b
(a+b)+c=a+(b+a)
的加法是否也满足交换律与结合律？
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
2.2.1～2.2.2 向量加法运算及其几何意义 向量减法运算及其几何意义 课件(人教A必修4)
已知非零向量 a、 在平面上任取一点 A， AB b， 作
向量 求和 的法 则
＝a， BC ＝b，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，记 三角 作 a＋b ，即 a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC . 形法 这种求两个向量和的方法，称为 则 向量加法的 三角形 法则． 对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝ 0＋a ＝ a
(2)作
BF ＝ AC ，则四边形 ABFC 为平行四边形，
∴CF 綊 AB，又 DC∥AB，
∴D，C，F 三点共线，且| DF |＝2| AB |＝2， ∴a－b＋c＝ AB － AD ＋ BF ＝ DB ＋ BF ＝ DF ， 且|a－b＋c|＝| DF |＝2.
| | 10 1 CD ∴cos α＝ ＝ ＝ ，
| AD | 20 2
∴α＝60° ，从而船与水流方向成 120° 的角． 故船行进的方向是与水流的方向成 120° 的角的方向．
[悟一法] 求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型，转 化为数学问题求解．本题实际是向量在物理上的一个简单 应用．先根据三个已知速度(即已知向量)之间的关系，判 断ABCD为平行四边形．因为要求方向，所以要转化为平
向 量 求 和 的 法 则
平 行 四 边 形 法 则
以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作▱OACB，则 以O为起
点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和．这种作两个向量 和的方法叫做两个向量加法的 平行四边形法则
空间向量的基本运算
空间向量的基本运算在空间解析几何中，向量是表示有大小和方向的物理量。
空间向量具有三个分量，通常表示为A = (x, y, z)，其中x、y、z分别代表向量在x轴、y轴、z轴上的分量。
空间向量的基本运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的和向量C = A + B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的差向量C = A -B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。
三、数量乘法数量乘法是指将向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。
设有向量A = (x, y, z)和实数k，它们的数量乘积为kA = (kx, ky, kz)。
四、点乘点乘又称为数量积或内积，是指将两个向量相乘再相加得到一个实数的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的点乘结果为AB = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2。
五、叉乘叉乘又称为向量积或外积，是指将两个向量相乘得到一个新向量的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的叉乘结果为C = A × B = (y1 * z2 - z1 * y2, z1 * x2 - x1 * z2, x1 * y2 - y1 * x2)。
以上是空间向量的基本运算，它们在解决空间中的几何问题和物理问题中起着重要的作用。
通过这些基本运算，我们可以进行向量的相加减、放缩，计算向量之间的夹角，求解平面和直线的方程等。
向量的加法运算及其几何意义
向量加法的性质
结合律
向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)， 表明向量的加法不依赖于其组合的顺序。
交换律
向量加法满足交换律，即a+b=b+a，表明向量加法 的结果与元素的组合顺序无关。
分配律
向量加法不满足分配律，即a×(b+c)不等于 a×b+a×c。
02
向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本加法规则之一，它 表示将两个向量首尾相接，并连接它们的起点和终点，所形 成的平行四边形的对角线向量即为这两个向量的和。
详细描述
根据平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，即不 论向量的顺序如何，也不论如何分组，向量加法的结果都相 同。
向量加法的三角形法则
分配律
总结词
向量加法的分配律是指向量加法满足分配性 ，即向量加法可以分配到括号内的各个向量 上。
详细描述
分配律是向量加法的另一个重要运算律。根 据分配律，对于任意两个向量$vec{a}$和任
意标量$k$，有$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。这意味着标量可以与括
总结词
向量加法的三角形法则是向量的另一种加法规则，它表示将一个向量的起点平 移到另一个向量的终点，所形成的向量即为这两个向量的和。
详细描述
三角形法则在几何中常用于表示力的合成或速度的合成等物理现象。通过三角 形法则，可以直观地理解向量加法的几何意义，并用于解决实际问题。
向量加法的向量场意义
总结词
向量加法的向量场意义是指向量加法可以看作是向量场中点的运动变化。在向量场中，任意两点之间 的连线可以表示为向量，而这个向量的加法运算则反映了这两点之间的相对运动关系。
向量加法运算及其几何意义
向量加法运算及其几何意义向量加法是指将两个或多个向量相加的运算。
在数学中，向量加法遵循以下规则：1.向量加法是可交换的。
即，对于任意向量a和b，a+b=b+a。
2.向量加法是可结合的。
即，对于任意向量a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
3.零向量是向量加法的单位元素。
即，对于任意向量a，a+0=0+a=a。
几何意义方面，向量加法可以用于描述物体的位移、力的合成以及速度的合成等。
下面以位移和力的合成为例进行解释：1.位移的合成：假设有一辆汽车沿东西方向行驶了100米，然后又沿南北方向行驶了50米。
我们可以将汽车的东西方向的位移表示为向量a=100i，南北方向的位移表示为向量b=50j。
那么，汽车的总位移可以表示为向量c=a+b，即c=100i+50j。
这个向量c表示汽车最终的位置相对于起始位置的位移。
2.力的合成：假设有两个力F1和F2作用在一个物体上，F1的大小为10牛顿，方向为东，F2的大小为5牛顿，方向为北。
我们可以将力F1表示为向量a=10i，力F2表示为向量b=5j。
那么，两个力的合力可以表示为向量c=a+b，即c=10i+5j。
这个向量c表示两个力的合力的大小和方向。
在几何上，向量加法的结果可以通过平行四边形法则进行图示。
以位移为例，我们可以将向量a和向量b的起点放在同一位置，然后将向量a按照其方向和大小绘制出来，再将向量b按照其方向和大小绘制出来。
通过平行四边形法则，我们可以找到一个平行四边形，其两条对角线的交点即为向量a和向量b的和向量c的终点。
总结起来，向量加法是一种将多个向量相加的运算，它遵循可交换和可结合的规则，并且零向量是其单位元素。
在几何上，向量加法可以用于描述位移和力的合成等。
通过平行四边形法则，我们可以找到向量加法的结果的几何意义。
空间向量的加减和数乘运算
分配律
$k(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) = koverset{longrightarrow}{a} + koverset{longrightarrow}{b}$。
单调性
当$k > 0$时，数乘会使向量增大；当$k < 0$时，数乘会使向量缩小。
在线性代数中，向量组的线性组合可以通过数乘运算来实现，从而研究向量组之间的关系。
向量组的线性组合
向量空间是由向量构成的集合，通过向量的加减和数乘运算可以研究向量空间的结构和性质。
向量空间
04
空间向量加减和数乘运算的注意事项
01
02
零向量的特殊性
零向量与任意向量数乘，结果仍然是零向量。
零向量与任意向量相加或相减，结果仍然是该任意向量。
解析
根据空间向量加法和减法的定义，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b})$的坐标等于两个向量的对应坐标相加和相减。即，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b}) = ( - 1 + 3,5 + ( - 1),2 + 4) = (2,4,6)$。
计算方法
根据定义，数乘的计算方法为将向量的每个分量分别乘以该实数。
向量加法、减法运算及其几何意义
(2)作 OA = a , AB = b
(3)作OB = a + b
B
位移的合成可以看 这种作法叫做向量 作向量加法三角形 加法的三角形法则 法则的物理模型
还有没有其他的做法？
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AC AB BC _____
BC CD _____ BD
C
A
AD AB BC CD _____ AE AB BC CD DE _____
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
若a ， b不共线，则 | a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
a b。
b
a
A
b a
O
B
ab
三角形法则
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法2：在平面内任取一点O， OB b ， 作 OA a ， 以 OA、OB为邻边作 OACB
a b。
b
a，
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
O
ab
C
平行四边形法则
起点相同连对角
向量加法的平行四边形法则：
B C
b
O
ab
A
起 点 相 同
平面向量向量加法运算及其几何意义
平面向量向量加法运算及其几何意义平面向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量的过程。
在进行向量加法运算时，可以使用坐标法或三角法。
坐标法是指将向量表示为有序数对的形式，例如vector AB可以表示为(Ax, Ay)，vector CD可以表示为(Cx, Cy)。
要将两个向量相加，只需将它们对应的坐标相加即可。
例如，若vector AB + vector CD =vector EF，则有(Ax + Cx, Ay + Cy) = (Ex, Ey)。
三角法是指利用向量的方向角和长度来进行向量加法运算。
假设vector AB的长度为a，方向角为θ，vector CD的长度为b，方向角为φ。
要求它们的和，可以先将它们用三角形形式绘制出来，然后将其首尾相接，连接向量AB的尾部和向量CD的头部，得到一个新的向量EF，即vector AB + vector CD = vector EF。
无论使用何种方法进行向量加法运算，其几何意义是将两个向量进行平移后的结果。
首先，将向量AB的起点平移到坐标原点，然后将向量AB的终点与向量CD的起点连接起来，再将向量CD的终点与该连接线的终点连接起来，得到向量EF。
即vector AB + vector CD = vector EF。
在几何上，向量加法运算的结果可以表示为一个以向量AB为一条边，以向量CD为相邻边的平行四边形，其中向量EF为对角线。
向量AB称为平行四边形的第一条边，向量CD称为平行四边形的第二条边。
向量EF称为平行四边形的对角线，连接向量AB的起点和向量CD的终点。
此外，可以利用向量的加法运算推导出向量的其他运算规律。
例如，可以推导出向量加法满足交换律（vector AB + vector CD = vector CD+ vector AB）和结合律（vector AB + (vector CD + vector EF) = (vector AB + vector CD) + vector EF）。
向量的运算
向量的数乘运算性质：数乘运算满足消去律，即当k≠0时， ka=0→a=0。
几何意义
向量的数乘运算可以改变向量的长度和方向 数乘运算的结果与原向量共线 数乘运算可以用坐标表示，通过改变坐标系中的坐标实现
数乘运算在物理和工程中有着广泛的应用，如速度和加速度的合成、力的分解等
向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积是一个向量c，其模长为|c|=|a||b|sinθ，其中θ为a和b之间的夹 角。
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向量的向量积性质：向量积满足反交换律，即a×b=-b×a；向量积与标量乘法可结合，即 k(a×b)=(ka)×b=a×(kb)；向量积与向量的加法和数乘可分配，即a×(b+c)=(a×b)+(a×c)，(a+b)×c=(a×c)+(b×c)。
运算规则
向量的向量积定 义：两个向量a和 b的向量积是一个 向量c，其模长为 |c|=|a||b|sinθ， 其中θ为a和b之 间的夹角。
向量的向量积性 质：c垂直于a和 b，即c与a和b都 正交。
向量的向量积运
算
：
c=a×b=b×a，
即交换律成立。
向量的向量积几 何意义：表示两 个向量a和b所围 成的平行四边形 的面积。
向量加法的逆元是相反向 量
向量数乘
定义与性质
向量数乘的定义：数乘是一个向量与一个标量的乘积，结果仍为一个向量 向量数乘的性质：数乘后的向量长度或大小会发生变化，但方向保持不变 实数与向量的数乘：实数可以与向量相乘，得到新的向量 数乘在向量运算中的作用：数乘是向量运算中的基本操作之一，可以用于向量的缩放和平移等操作
向量加法运算及其几何意义
向量加法运算及其几何意义向量加法是指将两个或多个向量相加的运算。
在向量加法中，将两个向量的对应分量相加，得到的结果向量被称为它们的和向量。
下面将从数学和几何的角度分别探讨向量加法的运算及其几何意义。
一、数学角度：1.向量的表示：向量通常用一个有向线段或箭头表示，箭头所指的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小或模。
一个向量通常用字母加上一个箭头上的向量符号表示，例如向量a可以表示为→a。
2.向量的分量表示：向量在坐标系中的表示通常采用分量表示法。
例如，向量a的表示可以表示为(a₁,a₂,a₃)。
这表示向量a在x、y、z轴上的分量分别为a₁、a₂、a₃。
3.向量的加法：给定两个向量a和b，其分量表示分别为(a₁,a₂,a₃)和(b₁,b₂,b₃)，那么它们的和向量c可以表示为(c₁,c₂,c₃)，其中c₁=a₁+b₁，c₂=a₂+b₂，c₃=a₃+b₃。
4.向量加法的性质：向量加法满足交换律和结合律，即a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
这意味着可以按照任意顺序加法运算，并且可以同时对多个向量进行加法运算。
二、几何角度：1.平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为平行向量。
对于平行向量a和b，它们的和向量c的方向与它们相同，并且大小是它们的大小之和。
2.共线向量：如果两个向量的方向相同或者它们的起点和终点相同，那么它们是共线向量。
对于共线向量a和b，它们的和向量c的起点和终点分别是a和b的起点和终点。
3.零向量：零向量是一个大小为0的向量，在坐标系中表示为(0,0,0)。
任何向量与零向量相加的结果都等于该向量本身。
4.平行四边形法则：根据平行四边形法则，可以通过将两个向量的起点放在一起，然后将它们的终点连接起来得到一个平行四边形。
两个向量的和向量等于对角线的向量。
5.三角形法则：根据三角形法则，如果两个向量的起点相同，那么可以通过将它们的终点连接起来得到一个三角形。
两个向量的和向量等于这个三角形的第三条边的向量。
向量的加减运算
向量的加减运算向量的加减运算是向量运算中的基本运算之一，其实现的基本思想是将相应位置的分量进行加减运算，从而得到一个新的向量。
本文将对向量的加减运算进行详细的阐述，以便读者更好地理解向量运算的基本概念和应用。
一、定义向量的加减运算是指两个向量分别按照相应位置的分量进行加减运算，得到一个新的向量的过程。
设向量A=(a1,a2,…,an)和向量B=(b1,b2,…,bn)，则这两个向量的和定义为：A+B=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)向量的差定义为：A-B=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn)其中，n表示向量的维数，a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn分别表示向量A和向量B的相应位置的分量。
二、性质1、交换律：A+B=B+A，A-B≠B-A。
2、结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，(A-B)-C=A-(B+C)。
3、向量的加法具有可减性质：A+B=C，则A=C-B。
三、几何意义向量的加减运算在几何上也有很重要的意义。
在平面直角坐标系中，我们可以将一个向量表示为从原点指向平面上某一点的箭头。
对于两个向量A和B，它们的加法A+B 表示从原点出发分别沿着A和B的方向行进，得到的结果向量。
对于向量的减法A-B，则其几何意义为：先将向量B 沿着原向量A的方向平移，使起始点与A的起始点重合，然后以B的终点为终点，从起始点向后连接箭头，得到的结果向量。
四、应用向量的加减运算在许多科学领域都有着广泛的应用。
以下列举几个例子：1、物理学中，向量的加减运算可以用来求解质点的轨迹、速度、加速度等物理量。
2、计算机图形学中，向量的加减运算可以用来实现三维变换、光线跟踪、模拟物理等功能。
3、信号处理中，向量的加减运算可以用来计算信号的平均值、方差等统计量。
4、工程学中，向量的加减运算可以用来求解矩阵运算、拟合数据等问题。
五、总结向量的加减运算是向量运算中的基本运算之一，其实现的基本思想是将相应位置的分量进行加减运算，从而得到一个新的向量。
向量减法运算的几何意义
向量减法运算的几何意义
向量减法的几何意义是共起点，连终点，方向指着被减量。
向量是将几何问题转化为代数问题的桥梁，向量的加减则是用代数方法进行几何运算，三角形定则解决向量加法的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
平行四边形定则解决向量减法的方法，将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点，平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。
向量减法的内容
向量减法法则是三角形法则，同样将两向量的始点，就是没箭头的那个点放在一起，将两个终点连接，就是差，差向量方向指向被减向量，向量加法法则就是平行四边形法则，两个加数作为平行四边形相邻的两边，则和是两向量的公共顶点与对点相连的对角线。
在数学中，向量也称为欧几里得向量，几何向量，矢量，指具有大小和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段，箭头所指，代表向量的方向，线段长度，代表向量的大小，与向量对应的量叫做数量，物理学中称标量，数量或标量只有大小，没有方向。
向量加减运算及几何意义
向量加减运算及几何意义一、向量加法的定义和运算规则向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的加法可以表示为：A=A+A其中，A表示两个向量相加得到的新向量。
向量加法的运算规则如下：1.交换律：A+A=A+A2.结合律：(A+A)+A=A+(A+A)3.零向量：对于任意向量A，都有A+A=A，其中A表示零向量。
二、向量减法的定义和运算规则向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的减法可以表示为：A=A-A其中，A表示将向量A从向量A中减去得到的新向量。
向量减法的运算规则如下：1.减法的定义：A-A=A+(-A)，其中-A表示向量A的负向量。
2.减法与加法的关系：A-A=A+(-A)=-(A-A)三、向量加减运算的几何意义1.位移：设有两个向量A和A，A表示物体的起始位置，A表示物体的终止位置。
向量加法A=A+A表示物体从起始位置到终止位置的位移向量。
2.速度：速度是位移随时间的变化率，可以用向量表示。
设有两个位移向量A和A，A表示物体在起始时刻的位置，A表示物体在终止时刻的位置。
则速度向量A=A-A表示物体在起始时刻到终止时刻的平均速度向量。
3.加速度：加速度是速度随时间的变化率，也可以用向量表示。
设有三个速度向量A、A和A，A表示物体在起始时刻的速度，A表示物体在中间时刻的速度，A表示物体在终止时刻的速度。
则加速度向量A=(A-A)/t表示物体在起始时刻到终止时刻的平均加速度向量，其中t表示时间间隔。
4.平行四边形法则：设有两个向量A和A，它们的和向量A=A+A可以用平行四边形法则来表示。
将向量A和A的起点放在一起，将它们的终点连接起来，得到一个平行四边形，那么向量A就是该平行四边形的对角线向量。
总结：向量加减运算的几何意义主要体现在描述物体的位移、速度和加速度等几何特征上。
它们可以帮助我们理解物体在空间中的运动规律，并且可以通过向量的加减运算得到物体的位移、速度和加速度等重要信息。
《向量的加法与减法》课件
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向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在平面或空间中的相对 位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义在于表示两个向量在平面或空间中的相 对位置关系。通过向量加法，我们可以理解一个向量是如何 由另一个向量产生的，以及它们之间的角度和长度关系。
向量加法的性质
总结词
向量加法满足交换律和结合律，不满足消去律。
向量减法的性质
总结词
向量减法的性质
详细描述
向量减法具有一些重要的性质，包括交换律、结合律和反身性。交换律指的是向量减法 的结果不依赖于减数向量的顺序，结合律指的是向量的加减运算满足结合律，反身性指
的是任意向量减去其自身等于零向量。
03 向量的加法与减 法的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法和减法常用于表 示力的合成与分解。通过向量加法， 可以将多个力合成一个力；通过向量 减法，可以将一个力分解成多个分力 。
速度和加速度的计算
在运动学中，向量的加法和减法用于 计算速度和加速度。例如，在平抛运 动中，水平和垂直方向的速度可以通 过向量加法和减法计算出物体的最终 速度和加速度。
在数学中的应用
向量模的计算
向量的加法和减法可以用于计算向量的 模。通过向量加法，可以计算两个向量 的和的模；通过向量减法，可以计算两 个向量的差的模。
详细描述
向量加法满足交换律，即向量a加向量b等于向量b加向量a。同时，向量加法也 满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。但是，向量加法不满足消去律，即 a+b=b+a并不意味着a=b。这是因为向量的加法不具有唯一性，与实数加法不 同。
《向量的减法运算及其几何意义》参考教案
《向量的减法运算及其几何意义》参考教案一、教学目标1. 让学生理解向量减法的概念，掌握向量减法的运算规则。
2. 让学生掌握向量减法的几何意义，能够运用向量减法解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、教学内容1. 向量减法的定义：已知两个向量a 和b，则向量a-b 定义为从向量b 的起点出发，到达向量a 的终点的向量。
2. 向量减法的运算规则：向量a-b 等于向量a 加上向量-b，即a-b = a+(-b)。
3. 向量减法的几何意义：向量减法可以理解为将向量b 反转，与向量a 相加，得到的和向量从向量b 的起点指向向量a 的终点。
三、教学重点与难点1. 教学重点：向量减法的概念、运算规则及其几何意义。
2. 教学难点：向量减法的几何意义的理解和运用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解向量减法的概念和运算规则。
2. 采用几何画图法，直观展示向量减法的几何意义。
3. 采用练习法，让学生通过实际例题和练习题，巩固向量减法的知识和技能。
五、教学准备1. 教师准备PPT，内容包括向量减法的概念、运算规则及其几何意义。
2. 准备黑板、粉笔，用于板书和画图。
3. 准备练习题，用于课后巩固所学知识。
教案编写仅供参考，具体实施时可根据实际情况进行调整。
六、教学过程1. 导入：回顾向量的概念和性质，引导学生思考向量减法的意义。
2. 新课讲解：a) 讲解向量减法的定义，通过PPT展示实例，让学生理解向量减法的概念。
b) 讲解向量减法的运算规则，引导学生发现减法与加法的联系。
c) 讲解向量减法的几何意义，通过PPT展示图形，让学生直观理解向量减法的几何意义。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生运用向量减法解决问题，巩固所学知识。
七、课后作业1. 完成练习题，巩固向量减法的知识和技能。
2. 思考向量减法在实际问题中的应用，如物理中的速度变化、几何中的图形变换等。
八、教学反思1. 反思本节课的教学效果，观察学生对向量减法的掌握程度。
2.2.1-2.2.2向量的加法、减法运算及其几何意义
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景：复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+（4）船速为，水速为，则两速度和：=+ 二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + aA BC A BCA BCCaa b b aO ABaaa bbb探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应） ２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例： 例二（P94—95）略 练习：P95 四、小结1、向量加法的几何意义； ２、交换律和结合律；３、注意：|a +b | ≤ |a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业：六、板书设计（略） 七、备用习题1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度.2、一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速.3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v .4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F1的夹角是60︒，|F|=10N 求F1和F2的大小.６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定.学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++ . 解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++提出课题：向量的减法用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0A BD C（3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒表示a - b.强调：差向量“箭头”指向被减数2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.探究：如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出 a - b ？ 例题： 例一、（P ９７ 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d. 解：在平面上取一点O ，作= a ， = b ， = c ， = d ， 作BA ， ， 则BA = a -b ， = c -dO AB a B’b-b bB a+ (-b)a b O abBa ba -bABbad Da -b A B B B’ O a -b a a bb O A O B a -b a -b B A O -b例二、平行四边形ABCD 中，=AB a ，=ADb， 用a 、b 表示向量AC 、DB . 解：由平行四边形法则得：AC = a + b ， DB = AD AB - = a -b变式一：当a ， b 满足什么条件时，a+b 与a -b 垂直？（|a| = |b|） 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a+b| = |a -b|？（a ， b 互相垂直）变式三：a+b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 练习：Ｐ98小结：向量减法的定义、作图法| 板书设计（略） 备用习题：1.在△ABC 中， BC =a ， CA =b ，则AB 等于( ) A.a+b B.-a+(-b) C.a-bD.b-a2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设OA =a ， OB =b ， OC =c ， OD =d ，则 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 ３.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空：a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .４、如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a+b=AB ，c-d=DC ，并画出b-c 和a+d.A BD C。
向量减法运算及其几何意义汇总
向量减法运算及其几何意义汇总向量减法是数学中一种常见的运算方式，用于计算两个向量之间的差值。
它在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。
下面将详细介绍向量减法的定义、计算方法以及其几何意义。
1.向量减法的定义向量减法是指通过对两个向量进行相应元素之间的减法运算，得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的减法记作A-A，等于将向量A取反后与向量A进行加法运算。
即：A-A=A+(-A)2.向量减法的计算方法向量的减法通过对应分量的相减来完成。
设有两个向量A=(A1,A2,A3)和A=(A1,A2,A3)，则向量减法的计算公式为：A-A=(A1-A1,A2-A2,A3-A3)例如，对于向量A=(3,4,5)和A=(1,2,3)，它们的减法运算结果为：A-A=(3-1,4-2,5-3)=(2,2,2)3.向量减法的几何意义向量减法在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。
下面分别介绍它们的几何意义：3.1位移位移可以用向量来表示，通过一个点从起始位置到达终点位置的位移向量。
向量减法可以用来计算两个位置之间的位移向量。
设有两个位置A 和A，它们的坐标表示分别为A(A1,A1,A1)和A(A2,A2,A2)，则A-A即为A到A的位移向量。
例如，若A(1,2,3)为起始位置，A(4,6,8)为终点位置，则位移向量A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。
3.2速度速度是定义为单位时间内位移的向量，可以用向量来表示。
当物体从位置A移动到位置A时，所产生的平均速度向量为A-A，即终点位置向量减去起始位置向量。
通过向量减法可以计算得到物体在单位时间内的平均速度向量。
例如，若物体从A(1,2,3)移动到A(4,6,8)，所产生的平均速度向量为A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。
3.3加速度加速度是定义为单位时间内速度的改变率，也可以用向量来表示。
当物体从位置A移动到位置A时，速度变化的向量为终点速度向量减去起始速度向量。
向量的加法、减法及几何意义
平行四边形法则:
C
C
b
B
b
B
A
bb
A
a
O
a
形成新知 两种特例
a
a
b
b
A
B
C
AC a b
方向相同
B
C
A
AC a b
方向相反
零向量与任一向量 a ,有 a + 0 = a
类比探究
交换律：a b b a 结合律：(a b) c a (b c)
c a
b
形成新知
向量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法结合律：(a b) c a (b c)
C
c (a+b)+c a+(b+c)
b+c
B
a+b
O a
b A
形成新知
C a+b
A
b B
a
结论：a b __<_≤____ a b
类比引入 减去一个数等于加上这个数的相反数。
a b a (b)
向量减法是否也有类似的运算？
河水的流速为 2km/ h ，求船的实际航行速度和方向。
解:如图,设用向量AC 表示船向垂直于对岸 的速度,用向量AB 表示水流的速度
C
D
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 AD 就是
船实际行驶的速度
在Rt ABD中, AB 2, BD 2 3
A
B
AD AB BD
AD 4
变式：如果已知船实际航行的速度和 船的速度，你能求出水流的速度吗？
深入，向量做为一种 新的工具被人们越来
越广泛的应用着。
专题2.2.1-2 向量加法、减法运算及其几何意义重难点题型(举一反三)(解析版)
专题2.2.1-2向量加法、减法运算及其几何意义重难点题型【举一反三系列】【知识点1 向量加法的三角形法则与平行四边形法则】1.向量加法的概念及三角形法则已知向量,a b ，在平面内任取一点A ，作,AB a BC b ==，再作向量AC ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b AB BC AC +=+=．如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．2．向量加法的平行四边形法则已知两个不共线向量,a b ，作,AB a AD b ==，则,,A B D 三点不共线，以,AB AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线AC a b =+．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a ，我们规定00a a a +=+=．两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.【知识点2 向量求和的多边形法则及加法运算律】1.向量求和的多边形法则的概念已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．112231n n n A A A A A A A A -=++⋅⋅⋅+特别地，当1A 与n A 重合，即一个图形为封闭图形时，有1223110n n n A A A A A A A A -++⋅⋅⋅++=2．向量加法的运算律（1）交换律：a b b a +=+；（2）结合律：()()a b c a b c ++=++【知识点3 向量的减法】1．向量的减法（1）如果b x a +=，则向量x 叫做a 与b 的差，记作a b -，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．相反向量：与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量．（2）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即()a b a b -=+-．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．2．向量减法的作图方法（1）已知向量a ，b ，作,OA a OB b ==，则BA a b =-=OA OB -,即向量BA 等于终点向量（OA ）减去起点向量（OB ）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出a b -．作,,OA a OB b AC b ===-，则()OC a b =+-，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．【考点1 向量的加减法运算】【例1】化简：（1）AB AC BD CD -+-；（2）AB MB BO OM +++；（3）MB AC BM ++；（4）OA OC BO CO +++．【分析】根据向量加法、减法的几何意义，用有向线段的起点和终点表示向量，以及相反向量的概念进行向量的加法和减法的运算从而化简每个式子即可．【答案】解：（1）0AB AC BD CD CB BD DC -+-=++=；（2）AB MB BO OM AB MB BM AB +++=++=；（3）MB AC BM MB BM AC AC ++=++=；（4）0OA OC BO CO BO OA OC CO MA MA +++=+++=+=【点睛】考查向量、向量加法，以及向量减法的几何意义，相反向量和零向量的概念．【变式1-1】化简：（1）AB DC BD AC ++-；（2）OA OD AD -+；（3）MN MP NQ QP -++；（4）AB AD DC --．【分析】利用向量三角形法则及其交钱加法减法法则即可得出．【答案】解：（1）0AB DC BD AC AB BC AC AC AC ++-=+-=-=；（2）0OA OD AD DA AD -+=+=；（3）0MN MP NQ QP PN NP -++=+=；（4）AB AD DC DB DC CB --=-=．【点睛】本题考查了向量三角形法则及其交钱加法减法法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式1-2】化简下列各式：（1）OA OB OC CO -+--；（2）()()AB CD BC AD ++-．【分析】使用向量加减混合运算的法则进行计算．【答案】解：（1）)()()OA OB OC CO OB OA CO CO AB -+--=-+-=．（2）)()()0AB CD BC AD AB CD BC AD AB BC CD AD AD AD ++-=++-=++-=-=．【点睛】本题考查了平面向量的加减混合运算，属于基础题．【变式1-3】化简：（1）AB BC CA ++（2）()AB MB BO OM +++（3）OA OC BO CO +++（4）AB AC BD CD -+-（5）OA OD AD -+（6）AB AD DC --（7）NQ QP MN MP ++-．【分析】根据平面向量的加法与减法的运算法则，对每一个小题进行化简计算即可．【答案】解：（1）0AB BC CA AC CA AC AC ++=+=-=；（2）()()AB MB BO OM AB MB BO OM AB MO MO AB +++=+++=+-=；（3）()()0OA OC BO CO OA OB OC OC BA BA +++=-+-=+=；（4）()()0AB AC BD CD AB AC BD DC CB BC -+-=-++=+=；（5）()0OA OD AD OA OD AD DA AD DA DA -+=-+=+=-=；（6）()--=--=-=；AB AD DC AB AD DC DB DC CB（7）()()0 ++-=++-=+=．NQ QP MN MP NQ QP MN MP NP PN【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，是基础题目．【考点2 利用向量的加减法法则作图】【例2】对下图中各组向量a、b，求作a b+．【分析】将两向量首尾相接，则a b+表示从起点到指向终点的向量．【答案】解：（1）（2）（3）【点睛】本题考查了平面向量加法的集合意义．属于基础题．【变式2-1】对图中各组向量a、b，求作a b-【分析】将两向量的起点平移到一起，则a b-表示由b的终点指向a的终点的向量．【答案】解：（1）（2）（3）【点睛】本题考查了利用平面向量的三角形法则作图，属于基础题．【变式2-2】根据已知向量a、b，求作a b-．+、a b(1(2(3【分析】利用向量加减运算的三角形法则作图．【答案】解：（1）作出a b+，如图所示：作出a b-如图所示：（2）作出a b+，如图所示：作出a b-如图所示：（3）作出a b+，如图所示：作出a b-如图所示：【点睛】本题考查了平面向量加减运算的几何意义，属于基础题．【变式2-3】已知（1）（2）（3）（1）求作：a十b；（2）求作：a十b；（3）求作：a十b十c．【分析】利用向量的平行四边形法则即可作出．【答案】解：如图所示，（1）先把向量a平移到OB，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则OC a b=+．（2）同理可得：OB a b=+；（3）OA a b=，=+，BO c则BA a b c=++．【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【考点3 用已知向量表示相关向量】【例3】（2019春•东城区期末）如图，向量AB a=，AC b=，则向量BD可以表示为()=，CD cA．a b c-+D．b a c--+-B．a b c-+C．b a c【分析】通过向量的加法减法的运算法则，表示出结果即可．【答案】解：如图，向量AB a=+，=，则向量BD BA AD=，CD c=，AC b+=++=-++．BA AD BA AC CD a b c故选：C．【点睛】本题考查向量的基本运算，考查计算能力．【变式3-1】如图所示，在四边形ABCD 中，AC AB AD =+，对角线AC 与BD 交于点O ，设O A a =，OB b =，用a 和b 表示AB 和AD ．【分析】由题意得AB AO OB OA OB b a =+=-+=-，由AC AB AD =+可得四边形ABCD 是平行四边形，从而求得()AD AO OD b a =+=-+． 【答案】解：OA a =，OB b =，∴AB AO OB OA OB b a =+=-+=-，AC AB AD =+，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴OB OD b =-=，∴()AD AO OD b a =+=-+．【点睛】本题考查了平面向量的加法及其几何意义的应用．【变式3-2】如图所示，已知OA a =，OB b =，OC c =，OD d =，OF f =，试用a ，b ，c ，d ，f 表示下列向量．（1）AC ；（2）AD ；（3）AD AB -；（4）AB CF +；（5）BF BD -．【分析】利用平面向量线性运算的三角形法则进行表示．【答案】解：（1）AC OC OA c a=-=-；（2）AD OD OA d a=-=-；（3）AD AB BD OD OB d b-==-=-；（4）AB CF OB OA OF OC b a f c+=-+-=-+-；（5）BF BD DF OF OD f d-==-=-．【点睛】本题考查了平面向量线性运算的三角形法则，属于基础题．【变式3-3】向量a，b，c，d，e如图所示，解答下列各题：（1）用a，d，e表示DB；（2）用b，c表示DB；（3）用a，b，e表示EC；（4）用d，c表示EC．【分析】利用平面向量加法的三角形法则及相反向量求解即可．【答案】解：（1）DB DE EA AB d e a=++=++；（2）DB DC CB c b=+=--；（3）EC EA AB BC e a b=++=++；（4）EC ED DC d c =+=--．【点睛】本题考查了平面向量加法的三角形法则及相反向量，加法比减法更简单一些．【考点4 向量的加减法的几何意义】【例4】（2019春•水富县校级期中）已知O 是四边形ABCD 所在平面上任一点，//||||AB CD OA OB OC OD -=-且则四边形ABCD 一定为( )A ．菱形B ．任意四边形C ．平行四边形D ．矩形 【分析】根据OA OB OC OD -=-和//AB CD 可得//AB CD 且AB CD =即可判断该四边形．【答案】解：由OA OB OC OD -=-得||||AB CD =，又//AB CD 所以//AB CD 且AB CD =，∴四边形ABCD 为平行四边形．故选：C ．【点睛】本题考查了平面向量的运算性质和向量的平行，属基础题．【变式4-1】（2019秋•沧州期末）O 为四边形ABCD 所在平面内任意一点，若OA OC OB OD +=+，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形【分析】根据OA OC OB OD +=+即可得出BA CD =，从而得出四边形ABCD 为平行四边形．【答案】解：OA OC OB OD +=+；∴OA OB OD OC -=-；∴BA CD =；//BA CD ∴，且BA CD =；∴四边形ABCD 为平行四边形．故选：A ．【点睛】考查向量减法的几何意义，相等向量的概念，以及平行四边形的定义．【变式4-2】（2019•海淀区一模）在ABC ∆上，点D 满足2AD AB AC =-，则( )A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上 【分析】据条件，容易得出AD AB CB =+，可作出图形，并作BD CB '=，并连接AD '，这样便可说明点D 和点D '重合，从而得出点D 在CB 的延长线上．【答案】解：2AD AB AC =-AB AB AC =+-AB CB =+；如图，作BD CB '=，连接AD '，则：AB CB AB BD AD AD +=+'='=；D ∴'和D 重合；∴点D 在CB 的延长线上．故选：D ．【点睛】考查向量减法的几何意义，向量的几何意义，相等向量的概念，以及向量加法的三角形法则．【变式4-3】（2019秋•昌平区期末）在平行四边形ABCD 中，若||||AB AD AB AD -=+，则平行四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．梯形C ．正方形D ．菱形【分析】根据向量的基本运算，利用平方法进行判断即可．【答案】解：由||||AB AD AB AD -=+，平方得222222AB AB AD AD AB AB AD AD -+=++，得得0AB AD =，即得AB AD ⊥，则平行四边形ABCD 是矩形，故选：A ．【点睛】本题主要考查平行四边形的形状的判断，根据向量的基本运算，是解决本题的关键．【考点5 利用向量的加减法证明几何问题】【例5】P ，Q 是三角形ABC 边BC 上两点，且BP QC =，求证：AB AC AP AQ +=+．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的加法与减法的几何意义，即可得出结论．【答案】证明：P ，Q 是三角形ABC 边BC 上两点，且BP QC =，如图所示；=-，∴BP AP AB=-；QC AC AQ又BP QC=，-=-，∴AP AB AC AQ+=+；∴AP AQ AC AB即AB AC AP AQ+=+．【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义的应用问题，是基础题目．【变式5-1】（2019•广东模拟）如右图，已知点D、E、F分别是ABC∆三边AB、BC、CA的中点，求证：0++=．EA FB DC【分析】由题意先证明ADEF为平行四边形，再由向量加法的平行四边形法则得ED EF EA+=，同理求出FB，DC再把三个式子加起来，重新组合利用向量加法的首尾相连法则求解．【答案】证明：连接DE、EF、FD，如图，D、E、F分别是ABC∆三边的中点，DE AF，∴，////EF AD∴四边形ADEF为平行四边形，由向量加法的平行四边形法则，得ED EF EA+=①，同理在平行四边形BEFD中，FD FE FB+=②，在平行四边形CFDE在中，DF DE DC+=③，将①②③相加，得(EA FB DC ED EF FD FE DE DF++=+++++=+++++()()()EF FE ED DE FD DF=【点睛】本题的考点是向量的加法及其几何意义，根据图中的中点构成的中位线证明四边形是平行四边形，利用四边形法则，把所要证明的向量和转化为其他向量的和，由加法的首尾相连法则证出．【变式5-2】O是平行四边形ABCD外一点，求证：OA OC OB OD+=+．【分析】将OA OC和表达，找关系即可．和放在三角形中，由向量加法的三角形法则用OB OD【答案】解：OA OC OB BA OD DC+=+++因为ABCD是平行四边形，所以0+=BA DC所以OA OC OB OD+=+【点睛】本题考查向量加法的几何意义，向量的三角形法则．【变式5-3】点D，E，F分别是ABC∆三边AB，BC，CA的中点，求证：（1）AB BE AC CE+=+．（2）0++=．EA FB DC【分析】（1）利用图形和向量加法的三角形法则，证明左边等于右边；（2）利用图形和向量加法的三角形法则，分别求出EA、FB和DC，再把它们加在一起，由中点和向量相等证明出左边等于0．【答案】证明：（1）由向量加法的三角形法则得，AB BE AE +=，同理可得，AC CE AE +=，∴AB BE AC CE +=+，（2）由向量加法的三角形法则得，EA EB BA =+，同理可得，FB FC CB =+，DC DB BC =+，∴左边EA FB DC EB BA FC CB DB BC EB BA FC DB =++=+++++=+++①，点D ，E ，F 分别是ABC ∆三边AB ，BC ，CA 的中点，∴FC AF =，代入①得，左边EB BF DB EF DB =++=+， 又EF BD =，∴左边0==右边，故等式成立．【点睛】本题的考点是向量加法以及几何意义，主要考查了三角形法则以及向量相等的应用，注意利用图形进行化简和证明．【考点6 用向量解决实际问题】【例6】在水流速度为10/km h 的河中，如果要使船以/h 的速度与河岸成直角地横渡，求船行驶速度的大小与方向．【分析】由题意，画出示意图，然后利用向量的加法运算解答．【答案】解：如图，OA 表示水流方向，OB 表示垂直于对岸横渡的方向，OC 表示船航行的方向，有OB OC OA =+可知BC OA =，所以||||10BC OA ==，||OB =||20OC =，且120AOC ∠=︒． 所以船行驶速度的大小20/km h ，与水流方向成120︒角行驶．【点睛】本题考查了向量加法的实际应用，关键是明确水流方向与船的航行方向的合成为船实际航行方向．【变式6-1】已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以12.5/km h 的速度向东流，现有一艘工作艇，在诲面上航行检查桥墩的状况，已知艇的速度是25/km h ，若艇要沿着与桥平行的方问由南向北航行，则艇的航向如何确定？【分析】根据题意分别用向量表示船速、水流速度，由向量加法的四边形法则画出图形，根据条件在直角三角形中求出船航行的角度．【答案】解：如图，设渡船速度为OB ，水流速度为OA ，则船实际垂直过江的速度为OD ，由题意知，||12.5OA =，||25OB =，四边形OADB 为平行四边形，||||BD OA ∴=，又OD BD ⊥，∴在Rt OBD ∆中，30BOD ∠=︒，则航向为北偏西30︒．【点睛】本题考查了向量的加法几何意义的实际应用，即用向量来表示题中的矢量，根据向量的知识进行求解．【变式6-2】一艘轮船从码头出发驶向河对岸，已知轮船的速度为6/km h ，河水的流速为2/km h ，轮船的实际航行路线与对岸的岸边垂直．（1）试用向量表示河水速度、轮渡速度以及轮渡实际航行的速度；（2）求轮船航行的实际速度的大小（精确到0.01 1.414)≈．【分析】（1）设河水速度为0v 、轮渡速度为1v ，轮渡实际航行的速度为v ，由题意能用向量表示河水速度、轮渡速度以及轮渡实际航行的速度．（2）由16/v km h =，0/v km h =，0v v ⊥，利用勾股定理能求出轮船航行的实际速度．【答案】解：（1）设河水速度为0v 、轮渡速度为1v ，轮渡实际航行的速度为v ，由题意用向量表示河水速度、轮渡速度以及轮渡实际航行的速度如下图：（2）16/v km h =，0/v km h =，0v v ⊥，∴轮船航行的实际速度262 5.656(/)v km h =-==．【点睛】本题考查向量表示河水速度、轮渡速度以及轮渡实际航行的速度，考查轮船航行的实际速度的大小的求法，是基础题，解题时要注意向量三角形法则的合理运用．【变式6-3】为了调运急需物资，如图所示，一艘船从长江南岸A 点出发，以/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5/km h ．（1）试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水的速度方向间的夹角表示）．【分析】（1）根据方向和速度大小作图；（2）利用向量加法的平行四边形法则求出矩形的对角线和DAC ∠． 【答案】解：（1）作出向量如图所示：其中AC 表示江水速度，AB 表示船速，AD 表示船实际航行速度．（2）AB AC ⊥，AD AB AC =+，∴四边形ABDC 是矩形，2||510AD ∴=．tan DAC ∠==60DAC ∴∠=︒． ∴船实际航行的速度为10/km h ，实际航行方向与江水速度方向夹角为60︒．【点睛】本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于基础题．。
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解：(2)在Rt ABC中，| AB | 2,| BC | 2 3
D
C
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3)2
4 tan CAB 2 3 3
2
CAB 60 .
A
B
答2：02X船/7/7实际航行速度为4k高m一/、h一,方科数向学与专用水课件的流速间的夹角为60º。
b a，
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
C
ab
O
b
B
平行四边形法则
尝试练习二：
(3)已知向量 a、b，用向量加法的三角形法则和平行四边形
法则作出 a b
①
b
②
b
a
a
思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意a,b R ，
有
a b b a,
(a b) c a (b c).
当向量a、b不共线时有 | a b || a | | b |
综合以上探究我们可得结论：
202X/7/7
| a b || a | | b |
高一、一科数学专用课件
引入2： 图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向
伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同
方向伸长了相同长度EO。从力学的观点分析，力F与F1、 F2之间的关系如何？
(正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向 量202可X/7以/7 在不改变它的大小高一和、一方科向数学的专用前课件提下,移到任何位置.)
引入1： 香港
上海 台北
O上海
A香港
台北
B
O OA+AB=OB
B A
向量加法的三角形法则：
a
C
ab b
A
a
首首 尾尾 相连 接
b
B
已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b, 则向量 AC叫做a与b的和，记作a b,即
数量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等
2. 怎样来表示向量向量?
1)用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所
指方向表示向量的方向。
A
B
2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终
点字母表示.
如 a , AB
3. 什么叫相等向量向量?
长度相等,方向相同的向量相等.
作法1：在平面内任取一点O，
作 OA a ，AB b ，
b
则 OB a b
a
A
b
a
B
O
ab
三角形法则
思考1：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形
法 则是否还适用？如何作出两个向量的和？
a
a
b
（1）
A
B
C
ab
b
（2）
C
A
B
ab
若a，b方向相同，则 | a b || a | | b |
向量加法的平行四边形法则：
B
b
ab
C
起
点
相
同
O
a
A
文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行 四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是 和向量。
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b，求作向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O，
作 OA a ，OB b ，
以OA、OB为邻边作 OACB
那么对任意向量 a, b 的加法是否也满足交换律和结合律？
请画图进行探索。
D
B
b
a ab
O
a
ab ba
202X/7/7
C abc
c
bc
b
A
A
ab
a
C
b
(a b) c a (b c).
高一、一科数学专用课件
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
向量的减法运算及其几何意义
回顾：（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
实数 a 的相反数记作 a 。
： 思考（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？
如设 x, y R , x y x (y)
如何定义向量的减法运算呢？
202X/7/7
高一、一科数学专用课件
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
若a，b方向相反，则 | a b || a | | b（| 或 | b | | a |）
规定：0 a a 0 a
202X/7/7
高一、一科数学专用课件
当向量 a、b不共线时，和向量的长度| a b | 与向量 a、b的长度和 | a | | b |之间的大小关系如何？
ab
b
a
三角形的两边之和大于第三边
向量加法、减法运算及 其几何意义
202X/7/7
高一、一科数学专用课件
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均气温
21.0 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8
27.7
202X/7/7
高一、一科数学专用课件
知识回顾
1. 向量与数量有何区别?
一、相反向量：
设向量 a ，我们把与 a 长度相同，方向相反
a 的向量叫做 a 的相反向量。 记作：
规定： 0的相反向量仍是 0。
（1） (a) a
（2） a (a) 0 (a) a 0 （3）设 a , b 互为相反向量，那么
a b, b a, a b 0
二、向量的减法：a b a (b)
A
bd
a
C
c
O
在平面内任取一点O，作 OA a, OB b, OC c, OD d ,
则 BA a b DC c d
注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。
202X/7/7
高一、一科数学专用课件
练习：已知向量 a, b，求作向量 a b 。
（1） a
（2）
ab
bபைடு நூலகம்
a
b
ab
（3）
a b AB BC AC 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AB BC _A__C__
BC CD _B__D__
C AB BC CD _A__D__
A
AB BC CD DE _A__E__
B
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b，求作向量 a b 。
202X/7/7
ab a
b
（4）
高一、一科数学专用课件
a
ab
b
例4 在 ABCD 中， AB a, AD b,
D
C
你能用 a, b表示 AC, DB 吗？ b
AC a b DB a b
A
aB
变式一 本例中，当
a满,足b什么条件时，
a 与b
互a相垂b 直？ a b
变式二 本例中，当 a满, b足什么条件时，
202X/7/7
高一、一科数学专用课件
你能利用我们学过的向量的加法法则作出 a (b) 吗？
设 AB b, AC a
B ab
AE a (b) a b
又 b BC a 所以 BC a b
bAa
C
ab
b
D
E
不借助向量的加法法则你能直接作出 a b 吗？
202X/7/7
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(b2) aBA
a b 呢？
BC
CA
(3)
a
BC
OA
BbAOABC
(4) OD OA AD
OA
B
a b BA (5) OA OB BA
202X/7/7
B O 高一、一科数学专用课件
A
例3 已知向量 a, b, c, d ，求作向量 a b ，c d 。
ab
cd
bd a
c
作法：
BD
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例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
M EO
图1
M
202X/7/7
EO 图2
F1
F1
C
F
F2
F2
F
F=F1+F2
高一、一科数学专用课件
向量加法的平行四边形法则：
B
b
ab
C
起
点
相
同
O
a
A
以同一点O为起点的两个已知向量 a、b为邻边作 OACB, 则以O为起点的对角线OC就是a与b的和a b,即
a b OA OB OC 这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则。
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。
D
C
解：
A
B
（1）如图所示，AD表示船速，AB表示水速，
以AD、AB为邻边作 ABCD,则AC表示