2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
《2.2.2 向量的减法运算》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21拓展模块一上
《向量的减法运算》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解向量的减法运算概念。
2. 掌握向量的减法运算规则和方法。
3. 能够正确进行向量的减法运算。
二、教学重难点1. 教学重点：理解向量的减法运算概念，掌握规则和方法。
2. 教学难点：正确进行向量的减法运算，特别是遇到复杂情况时的处理。
三、教学准备1. 准备教学用PPT，包括图片、案例等，以帮助学生理解。
2. 准备相关数学工具，如笔、纸以及向量图。
3. 设计一些练习题，供学生实践和巩固。
4. 确定互动的教学方式，如小组讨论、个人练习等。
5. 解释清楚向量的概念和加减法运算的规则，为教学打下基础。
四、教学过程：（一）导入1. 复习向量加法的概念及几何意义。
2. 引入向量减法的概念及几何意义，说明向量的减法可以转化为减法的反向加法。
（二）新课探究探究1：用几何方式进行向量减法运算探究2：用代数方式进行向量减法运算教师举例，让学生感受两种运算方式的优劣，从而选择合适的运算方式。
（三）例题分析通过例题分析，让学生掌握向量减法的具体运算方法，并能够解决相关问题。
（四）课堂练习设计一些与本节课内容相关的练习题，让学生进行练习，以检验学生对本节课内容的掌握情况。
（五）小结对本节课的内容进行总结，强调本节课的重点和难点，并引导学生思考向量的减法在实际问题中的应用。
（六）作业布置布置一些与本节课内容相关的作业，以帮助学生进一步巩固和提高对本节课内容的掌握程度。
（七）教学反思对本节课的教学效果进行反思，总结教学中的优点和不足，为今后的教学提供参考。
教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 理解向量减法的定义。
2. 掌握向量减法的运算法则，能进行简单的向量减法运算。
3. 培养观察、比较、分析、归纳和解决问题的能力。
二、教学重难点教学重点：掌握向量减法的运算法则，能进行简单的向量减法运算。
教学难点：理解向量减法运算法则。
三、教学准备1. 准备教学用PPT，包含教学图片、视频等素材。
2-2-2 向量减法运算及其几何意义
2.2 2.2.2
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足劲，身上青筋根根暴露；无论他们怎样的拖呀，拉呀，推 呀，小车还是在老地方，一点也没有移动．倒不是小车重得 动不了，而是另有缘故：天鹅使劲往上向天空直提，虾一步 一步向后倒拖，梭子鱼又向池塘拉去．对于这个结果我们可 以用物理学知识解释，实质上，在这个寓言中还蕴含着丰富 的数学知识——向量的加法运算和减法运算等知识．本节课 我们就来研究向量的减法． 自主预习 阅读教材P85－86回答下列问题．
第二章
2．2.2 向量减法运算及其几何意义
第二章
平面向量
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课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
第二章
2.2 2.2.2
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课前自主预习
第二章
2.2 2.2.2
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第二章
2.2 2.2.2
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非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( A．m＝n C．|m|＝|n| B．m＝－n D．方向相反
)
[答案]
A
第二章
2.2 2.2.2
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2．向量的减法 定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这
温故知新 → → 1．在四边形ABCD中，AB＝DC，则( A．ABCD一定是矩形 C．ABCD一定是正方形
[答案] D
)
B．ABCD一定是菱形 D．ABCD一定是平行四边形
2. 2. 2向量减法运算及其几何意义
2.2.2向量的减法运算及其几何意义学习目标：1.了解相反向量的概念；2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物间可以相互转化的辩证思想.教案重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教案难点：减法运算时方向的确定.教案思路：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中，.二、新课1．用“相反向量”定义向量的减法<1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作-a。
易知-(-a> = a.<2）规定：零向量的相反向量仍是零向量. 。
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a> = 0如果a、b互为相反向量，则 a = -b， b = -a，a + b = 0<3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a 与b的差.即：a-b = a + (-b> 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a-b3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a-bA作法：在平面内取一点O，作= a，= b 则= a-b即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1︒表示a-b. 强调：差向量“箭头”指向被减向量。
b5E2RGbCAP2︒用“相反向量”定义法作差向量，a-b = a +(-b>4．探究：OABaBb-bBa+abO abBaba-b１） 如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是２）若a∥b，如何作出a -b ？ 三、例题：例1、已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d. 例2、平行四边形中，a，b ， 用a、b 表示向量、.p1EanqFDPw 变式一：当a ， b 满足什么条件时，a+b 与a -b 垂直？ 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a+b| = |a -b|？ 变式三：a+b 与a -b 可能是相等向量吗？A OOB C5． 练习：1。
2.2.2向量减法运算及其几何意义
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
例4. ABCD中，AB a, AD b,
你能用a,b表示AC, DB吗？ D
C
A
B
解：由向量加法的平行四边形法则，
我们知道AC a b
同样，由向量的减法，知DB AB AD a b
即a (a) (a) a 0
2.向量减法的定义: a b a b
即减去一个向量相当于加上这个向量的
相反已向知量向.量a,b不共线，求作向量a
b.
B
b
a
b
a b
o
a
b a (b )
C
D
3. a b 的作图方法： B
b
b
a b
a
o
a
A
向量减法的三角形法则
有什么规律？
1.在平面内任取一点O, 作OA
a, OB
b（共起点）
2.连接两向量终点，方向由减向量指向被减向量。
即连接B, A，方向由点B指向点A。
B
b
ba
o
a
A
(1)如果从
a 的终点到
b
的终点作向量，
那么所得向量是什么？
(作2出)改变a
a, b
b 的方向，使
呢？
a // b ，怎样
如果a // b，那么怎样作出 a b呢？
向量是否有减法？如何理解向 量的减法？ 我们知道，减去一个数等于加 上这个数的相反数.向量的减法 是否也有类似的法则？
新课
1.相反向量：与 a长度相等，方向相反的 向量，叫做 a的相反向量，记作：a
性质：
1.a与 a互为相反向量，即 (a) a
【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 2.2.2向量减法运算及其几何意义课时作业 新人教A版必修4
2.2.2 向量减法运算及其几何意义课时目标 1.理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．向量的减法(1)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝________.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA →－OB →＝________.一、选择题1. 在如图四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c2．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP → B.OQ → C.SP → D.SQ →3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE →4．在平行四边形ABCD 中，|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则有( ) A. AD →＝0 B. AB →＝0或AD →＝0 C ．ABCD 是矩形 D ．ABCD 是菱形5．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13] D ．(3,13)6．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( )A ．1B ．2 C.3D. 3题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7. 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.8．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)的结果是________．9. 如图所示，已知O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a ，b ，c ，则OD →＝____________(用a ，b ，c 表示)．10．已知非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，则 |a ＋b |＝________.三、解答题11. 如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →.12. 如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量并分别求出其长度，(1)a ＋b ＋c ； (2)a －b ＋c .能力提升13．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，先用a ，b 表示向量AC →和DB →，并回答：当a ，b 分别满足什么条件时，四边形ABCD 为矩形、菱形、正方形？14．如图所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )． 2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以向量AB →＝a 、AD →＝b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．2.2 向量减法运算及其几何意义答案知识梳理(1)相反向量 (2)BA → (3)始点 终点 BA →作业设计1．A 2.B 3.B4．C [AB →＋AD →与AB →－AD →分别是平行四边形ABCD 的两条对角线，且|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|， ∴ABCD 是矩形．]5．C [∵|BC →|＝|AC →－AB →|且 ||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|A C →|＋|AB →|.∴3≤|AC →－AB →|≤13.∴3≤|BC →|≤13.] 6．D [如图所示，延长CB 到点D ，使BD ＝1，连结AD ，则AB →－BC →＝AB →＋CB →＝AB →＋BD →＝AD →.在△ABD 中，AB ＝BD ＝1，∠ABD ＝120°，易求AD ＝3， ∴|AB →－BC →|＝ 3.] 7.CA → 8．0解析 方法一 (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →) ＝AD →＋DA →＝0.方法二 (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →) ＝CB →＋BC →＝0. 9．a －b ＋c解析 OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a ＋c －b ＝a －b ＋c . 10．4解析 如图所示．设O A →＝a ，O B →＝b ，则|B A →|＝|a －b |. 以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ，则|O C →|＝|a ＋b |.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42. 故|O A →|2＋|O B →|2＝|B A →|2，所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形， 从而OA ⊥OB ，所以▱OACB 是矩形，根据矩形的对角线相等有|O C →|＝|B A →|＝4， 即|a ＋b |＝4.11．证明 方法一 ∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →， OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →，∴b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →.方法二 ∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →， OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b ，∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.12．解 (1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，又AC →＝c ，∴延长AC 到E ， 使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2. ∴|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)作BF →＝AC →，连接CF ， 则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ，∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2. ∴|a －b ＋c |＝2.13．解 由向量加法的平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b .则有：当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD 为矩形； 当a ，b 满足|a |＝|b |时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD 为菱形； 当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |且|a |＝|b |时，四边形ABCD 为正方形．14．证明 作直径BD ，连接DA 、DC ，则OB →＝－OD →， DA ⊥AB ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，CD ⊥BC .∴CH ∥DA ，AH ∥DC ，故四边形AHCD 是平行四边形． ∴AH →＝DC →，又DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →＝OA →＋OB →＋OC →.。
2.2.2向量减法运算及其几何意义
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引入 进行 小结 作业
教学过程
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首页 练2、非零向量a, b成何位置关系时, | a b || a b | . 教学过程
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(1) 0 0; (2) (a) a;
EXI (b).
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首页 向量减法的推导 :
C
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a b b
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§ 2.2.2 向量减法运算 及其几何意义
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首页 相反向量 : 与a长度相等, 方向相反的向量, 称之.记作 教学过程 a . 引入
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D C
b
A
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a
B
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练1、化简 :
(1) AB BC CA; (2)( AB MB) BO OM ; (3)OA OC BO CO; (4) AB AC BD CD; (5)OA OD AD; (6) AB AD DC. (7) NQ QP MN MP.
小结
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第二章 2.2 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
解析：① AB ＋ BC ＋ CA ＝ AC ＋ CA ＝0； ② OA＋ OC ＋ BO ＋ CO ＝( CO ＋ OA)＋( BO ＋ OC ) ＝ CA＋ BC ＝ BA ； ③ AB － AC ＋ BD － CD ＝ CB ＋ BC ＝0； ④ NO ＋ QP ＋ MN － MP ＝ NP ＋ PN ＝0.
法三：( AB － CD )－( AC － BD ) ＝ AB － CD － AC ＋ BD ＝( OB － OA)－( OD － OC )－( OC － OA )＋(OD － OB ) ＝ OB － OA－ OD ＋ OC － OC ＋ OA ＋ OD － OB ＝0.
先根据向量加、减法的运算法则将易求的向量表 示出来，再表示 BD . [提示]
[解] ∵四边形 ACDE 为平行四边形， ∴ CD ＝ AE ＝c. BC ＝ AC － AB ＝b－a. BE ＝ AE － AB ＝c－a， CE ＝ AE － AC ＝c－b， ∴ BD ＝ BC ＋ CD ＝b－a＋c.
1．下面给出了四个式子： ① AB ＋ BC ＋ CA ；② OA ＋ OC ＋ BO ＋ CO ； ③ AB － AC ＋ BD － CD ；④ NQ ＋ QP ＋ MN － MP . 其中值为 0 的有 A．①② C．①③④ B．①③ D．①②③ ( )
如图 1 所示．
法二：a＋b－c＝(a＋b)＋(－c)在平面内任取一点 O，作 OA ＝a， AB ＝b， BC ＝－c，则 OC ＝a＋b－c，如图 2 所示．
第二章__2[1].2.2__向量的减法运算及其几何意义
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第二章 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目的：⑴了解相反向量的概念；⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图. 教学难点：对向量减法定义的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）熟记：=+及封闭图形的加法。
2.特殊情况：共线向量的加法用三角形法则：abba +ba +AABC C )2()3(对于零向量与任一向量a ，有 a a a =+=+003.≤|a +b |≤|a |+|b |当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|+|<||+||;当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||,当与反向时，若||>||,则+的方向与相同，且|+|=||-||;若||<||,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.4.“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加如：封闭图形的向量和为零向量。
注意：非0 5.熟记：=+6．向量加法的交换律：可以证明：+=+ 7．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )8．回答速度、位移、力等向量的量须讲清大小和方向。
回顾讨论：用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形证明：如图所示，设O 是四边形ABCD 两条对角线的交点，且OA=OC ，OB=OC ，即AO =OC ,BO =OD .因为AD =AO +OD =OC +BO =BO +OC =BC且A 、D 、B 、C 不在同一直线上，故四边形ABCD 是平等四边形。
二、讲解新课： 向量的减法：1．用“相反向量”定义向量的减法：1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a ) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 03︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法 2．为加法的逆运算 3．求作差向量：用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )可简化为：减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ，作= a , = b , 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1︒表示a - b 强调：差向量“箭头”指向被减向量，熟记：CB AC AB =-2︒ a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b三、讲解范例：例1．（P86例3）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d .a -bABB’ a -ba ab bO A OBa -bBA O-b解：在平面上取一点O ，作OA = a ， OB = b ， OC = c ， OD = d ， 作， ， 则= a -b ， = c -d例2．（P86例4）平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，用a 、b 表示向量AC 、DB . 解：由平行四边形法则得：= a + b ， = - = a -b记忆：AB AD DB -=箭头指向被减向量实际上a - b 是平行四边形的另一条对角线练习：P87 1、2（教师讲解）并(1):0(2):()()()0AB AC BD CDCB BD CD CD CD OA OC BO COOA BO OC CO OA OB BA-+-=+-=-=+++=+++=-+=化简解原式化简解原式 回顾例2并探究1：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |） 探究2：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a ， b 互相垂直） 探究3：a +b 与a -b 可能是相等向量吗？当且仅当0b =时成立.探究4：证明：b a b a b a +≤±≤-,并说明什么时候取等号？当a 、b不共线时，由三角形两边之和大于第三边，而两边之差小于第三边得b a +=<=+b a -=->=+ ABCbad cDOA BD C即b a b a b a +<+<-探究5：)2+=例3,,120||||3||||o AB a AD b DAB a b a b a b如图已知向量，，且，求和==∠===+-||||3||||||||12060||3|O OAB AD ABCD AD AB AC a b DB a bAC a b DB a b DAB DAC ADC AC AOD OD ===+=-=+=-∠=∠=∆=∆解：以、为邻边作平行四边形，由于，故此四边形为菱形由向量的加减法知 ，故，因为，所以所以是正三角形，则由于菱形对角线互相垂直平分,所以是直角三角形，|||sin 603||3o AD a b ===+=所以，由)2++=+，得||a b -=备用1：例4 如右图所示，P 、Q 是三角形ABC 的边BC 上两点，且BP=QC ，求证：+=+AQ证明：)()()(=+=-+-=+-+∴-=∴=QC BP所以+=+AQ备用2：如图三角形ABC 外接圆的圆心为O ，三条高线的交点为H ，连结BO 并延长交外接圆于D ，求证：（1）=+（2）=++证明：1）因为=-所以=-=+ 2）因为BD 是直径，所以︒=∠=∠90BCD BAD ，所以AE //CD ，AD//CH所以四边形AHCD 为平等四边形，所以=AH DC ，所以=+=+=++方法二：OH OA AH =+四.小结：向量减法的定义、作图法|五.作业：P91 A组第4⑷⑸⑹⑺、6、7、8、11、题；作业本：P34 2.2.2。
新人教A版必修4高中数学2.2.2向量的减法运算及其几何意义导学案
高中数学 2.2.2向量的减法运算及其几何意义导学案新人教A版必修4学习目标1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题.教学重点会用向量减法的三角形法则作两个向量的差向量.教学难点三角形不等式学习过程一、课前准备（预习教材P85—P87）复习：求作两个向量和的方法有法则和法则.二、新课导学※探索新知探究：向量减法——三角形法则问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？1、相反向量：与a的向量，叫做a的相反向量，记作a .零向量的相反向量仍是 .问题2：任一向量a与其相反向量a-的和是什么？如果a、b是互为相反的向量，那么a=，b=，a b+= .1、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即，a b是互为相反的向量，那么a=，b=_________，a b=____________。
+问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考()a b+-的作图方法.※典型例题例1、阅读并讨论P86例3和例4变式：如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( ) A. AB→＝DC→ B. AD→＋AB→＝AC→C. AB→－AD→＝BD→D. AD→＋CB→＝0例2、在△ABC中，O是重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列两式：⑴CB CE BA-+；⑵OE OA EA-+.变式：化简AB FE DC++.三、小结反思1、向量减法的含义；2、求两向量的差；3、两向量a与b的差ba-起点，终点和指向。
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1、化简下列各式：①AB AC DB--；②AB BC AD DB+--.2、在平行四边形ABCD中，BC CD AD+-等于（）A．BA B．BD C．AC D．AB3、下列各式中结果为O的有（）①++AB BC CA②+++OA OC BO CO③-+-AB AC BD CD④+-+MN NQ MP QPA．①② B．①③C．①③④ D．①②③4、下列四式中可以化简为AB的是（）①+AC CBAC CB②-③+OA OB④-OB OAA．①④ B．①② C．②③ D．③④5、已知ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中OA a OB b OC c则EF=（）,,===A ．a b +B ．b a -C ．-c bD ．-b c课后作业1、化简：AB DA BD BC CA ++--=_______________。
2.2.2向量减法运算及其几何意义
向量减法运算及其几何意义
班级：高一（1）班 制作：韦玉显
向量减法运算及其几何意义
1、相反向量：规定与a长度相等，方向相反的 向量，记作－a. a与－a互为相反向量，有 －（a）=a
(1)零向量的相反向量仍是零向量
(2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即： a+(-a)=(-a)+a=0 如果a和b为相反向量 ，有a=-b,b=-a,a+b=0. 定义： a-b=a+(-b)
向量减法运算及其几何意义
几何意义
B
AE=a+(-b)=a-b a-b可以表示为从向量b的终点指向 向量a的终点的向量。 又 b+BC=a BC=a-b
b a a-b -b C
所以
A
D
E
向量减法运算及其几何意义
a
b b
a a-b
向量减法运算及其几何意义
例3 已知向量a、b、c、d，求向量a-b,c-d.
b a
c d
向量减法运算及其几何意义
例4 如图，平行四边行ABCD中，AB＝a,AD=B,你能 用a,b表示向量AC,DB吗？
解：由向量加法的平行四边形法则，有 AC=a+b 又由向量的减法，有 DB=AB-AD=a-b
b D C
ห้องสมุดไป่ตู้
A
a B
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
法二 如图，在平面内取点 O，连接 AO、EO、DO、CO、FO、 BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，A→B＝A→O ＋O→B， D→C＝D→O＋O→C ＝D→E＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋F→C. ∵E、F 是 AD、BC 的中点，
5．化简：(1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)； (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 解 (1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)＝C→A－C→D＝D→A. (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋(D→O＋ O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋D→B＝B→C－D→C＋D→B＝B→C＋C→B＝0.
类型三 向量加、减法的综合应用 【例 3】 已知任意四边形 ABCD，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的 中点，求证：E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
[思路探索] 本题主要考查向量加法与相反向量的知识，可以考 虑封闭图形中所有向量的和为 0 或把E→F用不同的向量形式表示 出来，然后相加，即可得证．
证明 法一 如图，在四边形 CDEF 中，
E→F＋F→C＋C→D＋D→E＝0，
∴ E→F
＝－
→ FC
－ C→D
－ D→E ＝
→ CF
＋ D→C
＋
E→D.①
在四边形 ABFE 中，
E→F＋F→B＋B→A＋A→E＝0，
∴E→F＝B→F＋A→B＋E→A.②
①＋②得 E→F＋E→F＝C→F＋D→C＋E→D＋B→F＋A→B＋E→A＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋ E→A)＋(A→B＋D→C)． ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点，
2.2.2向量减法运算及其几何意义
rr
rr r r
若a，b不共线，则 | a b || a | + | b |
rr
r r rr r r
任意向量a，b，有|| a | | b ||| a b || a | + | b |
rr
r r rr r r
任意向量a，b，有|| a | | b ||| a b || a | + | b |
温故知新
1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
b
b
b b bO b
b
bb
a+b
首尾相接
2、向量加法的平行四边形法则
D
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
A
b
b
bC
a
B
起点相同
3、向量加法的交换律：ar
+
r b
=
r b
+
ar .
4、向量加法的交换律：(ar
= = = =
_Duu_Bur___; _uCu_uA_r ___; _uAu_Cu_r ___; _uAu_Dur____;
你能将减法运 算转化为加法 运算吗？
OA OB = _B_A____ .
例2：选择题：
uuur uuur uuur
（1）AB + BC AD = D
uuur
uuur
5、0 + a = a （ ）
6、两个向量是互为相反向量，则两个向量共线
（√ ）
例3:化简uuur uuur (1) AB CB; uuur uuur uuur uuur (2) AB + BC + DA DC; uuuur uuuur uuur (3)MN MP PQ.
北师大版数学必修四课件：2.2.2向量的减法
【审题指导】利用相等向量转化，再用三角形法则进行两 向量的加减运算.
【规范解答】(1)∵D是AB的中点,
uuu r uuu r AD DB uuu r uur uuu r uur uuu r uu r AD BE DB BE DE FC uu r uu r r 又FC CF 0 uuu r uur uu r r AD BE CF 0； uuu r uu r uur uuu r uur uu r uuu r uur uu r uur 2 BD CF DF BD DF CF BD DF FC BC； uuu r uur uu r uuu r uu r uuu r uur u uuu r 3 AD CE CF AD FE AD DB AB； uuu r uur uu r uur uu r uur uu r uuu r 4 BD BE FC ED FC FA CF CA.
方法三(利用AB OB OA )：
设Ou r uuu r
uuu r uuu r uuu r uuu r AB CD (AC BD) uuu r uuu r uuu r uuu r AB CD AC BD uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r OB OA OD OC OC OA (OD OB) uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r OB OA OD+OC OC OA OD OB 0.
uuu r
r uu u r
r
uu u r
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
探究一：向量的数乘运算及其几何意义
思考1：已知非零向量a，如何求作向
量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋
（－a）？
aa a
OA B C
－a
a
uuur
OC = a＋a＋a
－a －a
uuur
P NMO
用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
一、问题情境
（1）如何求此时竖直 和水平方向速度？
（2）利用什么法则？
v
v sin
v cos
探究： uur uur 给定平面内两个向量 e、1 e2，平面内
任一向量是否都可以在这两向量方向上分解呢？
N
B
uuv
e2
A
uv e1
M
e2
分解
a
平移
共同起点
a－b与b－a是相反向量.
|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b反向时取
等号；
|a－b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b同向时
取等号.
思考7：|a－b|与|a＋b|有什么大小关 系吗？为什么？
B
C
ｂ
a＋b
a－b
O
a
A
思考8：对于非零向量a与b，向量a＋b与
a－b可能相等吗？
理论迁移
例1 如图，已知向量a，b，c，求作
O L
uuuur 则OM＝
uuur uuur OA OB (线段AB中点的向量表达式）
2
例2.设ueu1r,ueu2r是不共线的非零向量， （ 1） 证 明 ：u且ar,ubuuarr可=以ueu1r作- 2为ueu2r一,ubr组= ue基u1r +底3eu；u2r
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.2.2向量的减法运算及其几何意义
→ → → OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b；
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2
③若 a 与 b 反向，在给定的直线 l 上作出差向量 a－b：
本 课 时 栏 目 开 关
→ → → OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b.
研一研·问题探究、的作图，探究|a－b|与|a|，|b|之间的大小关系：
仍是零向量
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2
对比项 对 比
本 课 时 栏 目 开 关
实数的减法
向量的减法
(3)互为相反数的 (3) 两个相反向量的和是 和是零
零向量
内 容
(4)实数的减法：减 (4)向量的减法：减去一个 去一个数等于加上 向量相当于 加上这个向量 这个数的相反数
的相反向量
根据相反向量的含义，完成下列结论： → → (1)－AB＝___ a； BA ；(2)－(－a)＝__
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2
3．向量减法的平行四边形法则 → → 以向量AB＝a，AD＝b 为邻边作 平行四边形ABCD ，则
本 课 时 栏 目 开 关
→ → 对角线的向量BD＝b－a，DB＝a－b. 4．向量减法的三角形法则 → → → 在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b， 即 a－b 表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.
本 课 时 栏 目 开 关
请你利用平行四边形法则作出差向量 a－b.
解 利用平行四边形法则． → → 在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，
→ → → 作OC＝－b，以OA，OC为邻边作平行四 → 边形 OAEC，则OE＝a－b.
研一研·问题探究、课堂更高效
高中数学必修四 2.2.2 向量减法运算及其几何意义(步步高)
反思与感悟 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直 接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量； 若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差 向量.
跟踪训练 1 如图所示，O 为△ABC 内一点，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c. 求作：b＋c－a.
梳理 (1)定义：如果两个向量长度 相等 ，而方向 相反， 那么称这两 个向量是相反向量. (2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. ②若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. ③零向量的相反向，已知a，b如图，如何作出向量a，b的差 向量a－b?
解答
类型二 向量减法法则的应用
例2 化简下列式子： (1)N→Q－P→Q－N→M－M→P； 解 原式＝N→P＋M→N－M→P＝N→P＋P→N＝N→P－N→P＝0. (2)(A→B－C→D)－(A→C－B→D). 解 原式＝A→B－C→D－A→C＋B→D
＝(A→B－A→C)＋(D→C－D→B)＝C→B＋B→C＝0.
解答
(2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B). 解 (A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B) ＝A→C＋B→A－D→C＋(D→O＋O→B) ＝A→C＋B→A－D→C＋D→B ＝B→C－D→C＋D→B＝B→C＋C→D＋D→B ＝B→C＋C→B＝0.
解答
类型三 向量减法几何意义的应用 例 3 已知|A→B|＝6，|A→D|＝9，求|A→B－A→D|的取值范围. 解 ∵||A→B|－|A→D||≤|A→B－A→D|≤|A→B|＋|A→D|，且|A→D|＝9，|A→B|＝6， ∴3≤|A→B－A→D|≤15. 当A→D与A→B同向时，|A→B－A→D|＝3； 当A→D与A→B反向时，|A→B－A→D|＝15. ∴|A→B－A→D|的取值范围为[3,15].
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其中真命题的个数为（ B ）
A0 1 C2 D3
4. 已知一点O到平行四边形ABCD 的3个顶点A、B、 B C的向量分别是a,b,c，则向量 OD等于( ) A a+b+c
C a+b-c
A
B a-b+c
D a-b-c
D
a
B C
b
O
c
向量减法
b+x=a 记作 x=a – b， 则向量 x 叫做a与b的差 求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
或：a – b = a +( - b)
O a -b O a A A b B
OP a+( -b)
P
x =a - b
BA
即：OA OB
BA
向量减法特点： 起点相同的两个向量的差， 就是从减向量的终点指向被减向量的终点的向量。 箭头指向被减向量
向量减法运算
及其几何意义
复习
1.向量定义 具有大小和方向的量 2.向量加法的三角形法则
C
A
B
AB BC AC
3.向量加法的平行四边形法则
D
C
AB AD AC
B
A
注：两个向量的和仍是向量
练习：化简
a ⑴ ( a) ____ 0 ⑵a ( a ) ____ 0 ⑶若a b，则a （ b） ____
解：由向量加法的平行四边形法则，得：
AC AB AD
由作向量的方法，得：
ab
C
DB AB AD a b D
a b
b
A
ab
a
B
练习: 在 ABCD中， AB a , DA b, OC c, 试证明：b+c-a = 分析：即证b+c=a+ OA
证明：b+c= OC DA OC CB OB
D
b C
C OA AB OA a
o
a
b c a OA
B 思路3：
c a OC AB
OC DC OD OA AD OA b
A
思路2： OA OC CA
OC CB CD cba
课堂练习 1.化简以下各式：结果为零向量的个数是（ D )
A. 1 ；B .2 ；C .3 ；D .4
(1) AB BC CA; (2) AB AC BD CD; (3)OA OD AD ; (4) NQ QP MN MP
2.下列命题 (1)如果非零向量a与b方向相同或相反，那么a+b与a-b的 方向相同 (2)△ABC中，必有 AB BC CA 0 (3)若a,b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等。 (4)若 AB BC CA 0 形的顶点. 则必有A,B,C为一个三角
练 习：
1、已知向量a、b，求作a-b。 作图： 1、任取一点O 2、作 OA a, OB b 3、 则BA a b 考虑： 1、向量AB 表示什么?
b B O a b A a
2、若a//b, 怎样作a-b?
例1. d.
如图，已知向量a、b、c、d，求作向量a-b,c-
a
b d c
AB a , AD b, 用a、b 例2、在 ABCD中， 表示 AC , DB