最新向量加减法运算及其几何意义讲课教案

a
a
b
b
（1）
（2）
A
B
C
ab
C
A
B
ab
若 方向相同时，则
=
若 方向相反时，则
= |a|-|b|(或|b|-|a|)
综合以上探究我们可得结论：
| a b || a | | b |
小结 1.向量加法的三角形法则
（要点：两向量首尾连接）
2.向量加法的平行四边形法则
（要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边）
向量加法的平行四边形法则：
B
b
ab
O
a
起同
C 点起
相点
同的
对
角
A
线
以同一点O为起点的两个已知向量 a、b为邻边作 OACB, 则以O为起点的对角线OC就是a与b的和a b,即
a b OA OB OC 这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则。
思考2 ？
1.如何求 0 与任一向量 a 的和？
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。
D
C
解：
设 AB b, AC a
B ab
AE a (b) a b
又 b BC a 所以 BC a b
bA a
C
b a b
D
E
不借助向量的加法法则你能直接作出 a b 吗？
一般地 a b
（
Oa
三
b
A角 形
ab 法
三、几何意义：
B
则
）
a a b 可以表示为从向量 b的终点指向向量 的终点的向量
a
A
b
a
B
O
ab
三角形法则
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b，求作向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O，
作 OA a ，OB b ，
以OA、OB为邻边作 OACB
b a，
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
C
ab
O
b
B
平行四边形法则
尝试练习二：
已知向量 a、b，用向量加法的三角形法则和平行四边形法
思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意a, b R ，
有
a b b a,
(a b) c a (b c).
那么对任意向量 a, b 的加法是否也满足交换律和结合律？
请画图进行探索。
D
B
b
a ab
O
a
ab ba
C abc
c
bc
b
A
A
ab
C
a
b
(a b) c a (b c).
注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。
练习： （1）如果从 a 的终点指向 b 终点作向量，所得向量是什么呢？
(1)
（2）当
AB AD DB
a ，b共线时，怎样作
(b2) aBA
a b 呢？
BC
CA
(3)
a
BC
OA
BbAOABC
则作出 a b
①
b
a
②
b
a
由例1可知：
当向量 a、b不共线时，和向量的长度| a b | 与向量 a、b的长度和 | a | | b |之间的大小关系如何？
ab
b
a
三角形的两边之和大于第三边
当向量 不共线时，则
＜
思考3：如图，当在数轴上两个向量共线时，如何作出两个
向量的和？他们的大小关系呢？
向量加法的三角 形法则
连接 首尾相连
C
指向 首指尾
A
B AB+BC=AC
尝试练习一：
根据图示填空：
E
D
AB BC _A__C__
BC CD _B__D__
C AB BC CD _A__D__
A
AB BC CD DE _A__E__
B
思考1 ？
向量的加法可以用三角形法则计算，那么还 有别的法则可以计算向量的加法吗？
b
C
B A 已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b, 则向量 AC叫做a与b的和，记作a b,即
a b AB BC AC 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
活动二：成语接龙
鸿鹄之志
志同道合 合二为一
一心一意
向量加法的三角形法则的特点：
加法
向量加减法运算及其几何 意义
2.2.1 向量加减法运算 及其几何意义
一、创设情景
活动一：
（1）
A
BC
（2）
CA
（3）
B
C
求
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两
个
向
AB+BC=AC
量
和
的
运
算
，
AB+BC=AC
叫 做
向
量
的
加
法
AB+BC=AC
A
B 上述分析表明：两个向量可以相加，并
且两个向量的和还是一个向量
向量加法的三角形法则：
a
回顾：（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
实数 a的相反数记作 a 。 ： 思考（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？
如设 x, y R , x y x ( y)
如何定义向量的减法运算呢？
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
一、相反向量：
设向量 a ，我们把与 a 长度相同，方向相反
规定：a + 0 = 0 + a = a 2.向量加法的三角形法则与平行四边
形法则有什么区别与联系？
三 角 形 法 则: B
平行四边形法则: C
b
C
B
b
b
A
O
a
O
a
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b，求作向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O，
作 OA a ，AB b ，
b
则 OB a b
角来表示）。
解：(2)在Rt ABC中，| AB | 2,| BC | 2 3
D
C
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3)2
4 tan CAB 2 3 3
2
CAB 60 .
A
B
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。
向量的减法运算及其几何意义
a 的向量叫做 a 的相反向量。 记作：
规定： 0的相反向量仍是 0。
（1） (a) a （2） a (a) 0 (a) a 0
（3）设 a , b 互为相反向量，那么
a b, b a, a b 0
二、向量的减法：a b a (b)
你能利用我们学过的向量的加法法则作出 a (b) 吗？
A
B
（1）如图所示，AD表示船速，AB表示水速，
以AD、AB为邻边作 ABCD,则AC表示 船实际航行的速度.
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹