向量的减法运算及其几何意义
向量减法运算及其几何意义,向量的数乘运算及其几何意义教案
向量减法运算及其⼏何意义,向量的数乘运算及其⼏何意义教案§2.2.2向量减法运算及其⼏何意义⼀．知识点梳理1．⽤“相反向量”定义向量的减法：1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、⽅向相反的向量记作 -a2?规定：零向量的相反向量仍是零向量，且-(-a ) = a 。
任⼀向量与它的相反向量的和是零向量即a + (-a ) = 0。
如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．⽤加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3减法的三⾓形法则：在平⾯内取⼀点O ，作OA = a , OB = b , 那么连接两个向量的终点并指向被减向量⽅向的向量就是两个向量的差向量. 即a - b 可以表⽰为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1?AB 表⽰a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数.4.向量减法运算的记忆⼝决：共起点，连终点，⽅向指向被减数（⽅向由后指前）5.向量减法与向量加法的⽐较：（1）加法：⾸尾相连，从头指尾（前向量的头指向后向量的尾）（2）减法：共起点，连终点，⽅向指向被减数 6.向量减法的字母公式：CB AC AB =-⼆．例题讲解例1.已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d解：在平⾯上取⼀点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-d例2.已知，在平⾏四边形ABCD中，aAD=，⽤a，b表⽰向量AC、AB=，bDB解：由平⾏四边形法则得： D CAC= a + b,DB= ADAB- = a-b bA aB 例3.若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C点评:此题可直接应⽤重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.三．课堂练习1. 如下图所⽰，已知⼀点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析:如图5,点O到平⾏四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2 判断题:(1)若⾮零向量a与b的⽅向相同或相反,则a+b的⽅向必与a、b之⼀的⽅向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是⼀个三⾓形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.解:(1)a与b⽅向相同,则a+b的⽅向与a和b⽅向都相同;若a与b⽅向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的⽅向不确定,说与a、b之⼀⽅向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,⽽此时构不成三⾓形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表⽰以a和b为邻边的平⾏四边形的两条对⾓线的长,其⼤⼩不定.当a 、b 为⾮零向量共线时,同向则有|a +b |>|a -b |,异向则有|a +b |<|a -b |; 当a 、b 中有零向量时,|a +b |=|a -b |. 综上所述,只有(2)正确.四.内容⼩结本节我们学习的内容如下： 1.相反向量的概念 2.向量减法的定义 3.向量减法的运算法则§2.2.2向量的数乘运算及其⼏何意义教学⽬标：1.向量的数乘运算的概念 2.向量的数乘运算法则 3.向量的数乘运算的⼏何意义 4.平⾯向量基本定理教学重点：1.向量的数乘运算法则 2.向量的数乘运算的⼏何意义教学难点：平⾯向量基本定理的理解与运⽤⼀．知识点梳理1.向量的数乘运算定义：规定⼀个实数λ与向量a 的积是⼀个向量，这种运算叫做向量的数乘运算记作λa. 它的长度和⽅向规定如下：（1）|λa|=|λ||a|. （2）0λ>时，λa 的⽅向与a 的⽅向相同；当0λ<时，λa 的⽅向与a的⽅向相反；特别地，当0λ=或0a = 时，0λa =.2.运算律：设a 、b为任意向量，λ、µ为任意实数，则有：（1）()λµa λa µa +=+ ；（2）()()λµa λµa = ；（3）()λa b λa λb +=+.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
向量减法及其几何意义
设有两个向量 $vec{A} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $vec{B} = (x_2, y_2, z_2)$，则向量 $vec{A}$ 减去向量 $vec{B}$ 的结果是一个新的向量 $vec{C} = vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$。
几何意义
向量 $vec{C}$ 是由向量 $vec{A}$ 的终点指向向量 $vec{B}$ 的起点的向量。在平面直角坐标系中，这相当于从 点 $(x_1, y_1)$ 到点 $(x_2, y_2)$ 画一个有向线段，其方向由 $(x_1, y_1)$ 指向 $(x_2, y_2)$。
空间直角坐标系中向量减法
04 向量减法在物理问题中应 用
位移、速度、加速度等物理量计算
01
02
03
位移计算
向量减法可以应用于计算 物体在一段时间内的位移， 即末位置向量减去初位置 向量。
速度计算
通过位移向量与时间向量 的商，可以计算物体的平 均速度或瞬时速度。
加速度计算
加速度是速度向量的变化 率，可以通过相邻两个时 刻的速度向量相减并除以 时间间隔来计算。
向量减法及其几何意义
目录
• 向量减法基本概念 • 向量减法在坐标系中表示 • 向量减法几何意义探讨 • 向量减法在物理问题中应用 • 向量减法在数学问题中应用 • 总结与拓展
01 向量减法基本概念
定义与性质
定义
性质
结合律
交换律的逆
存在零元
向量减法定义为加上一个 向量的相反向量。即对于 任意两个向量 A 和 B， 向量 A 减去向量 B 的结 果是一个新的向量，记作 C = A - B，其中 C 是 A 与 -B（B的相反向量）的 向量和。
《向量的减法运算及其几何意义》参考教案
《向量的减法运算及其几何意义》参考教案一、教学目标1. 让学生理解向量的减法运算概念，掌握向量减法的运算规则。
2. 让学生掌握向量减法的几何意义，能够运用向量减法解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、教学内容1. 向量的减法定义：已知两个向量a和b，则向量a减去向量b，记作a-b，其结果是一个向量。
2. 向量减法的运算规则：(1) 交换律：a-b = b-a(2) 结合律：(a-b)-c = a-(b-c)(3) 分配律：a-(b+c) = (a-b)-c3. 向量减法的几何意义：(1) 表示起点相同，终点不同的两个向量之间的“差”。
(2) 表示从一个向量的终点返回到起点的“反向向量”。
三、教学重点与难点1. 教学重点：向量的减法定义、运算规则及几何意义。
2. 教学难点：向量减法的运算规则及几何意义的理解和应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的减法定义、运算规则及几何意义。
2. 采用案例分析法，分析实际问题中的向量减法运算。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固向量减法的知识和技能。
五、教学步骤1. 导入新课：回顾向量的基本概念，引导学生思考向量的减法运算。
2. 讲解向量的减法定义、运算规则及几何意义。
3. 分析实际问题，运用向量减法解决问题。
4. 布置练习题，让学生巩固向量减法的知识和技能。
5. 总结本节课的主要内容和知识点，强调向量减法的重要性和应用价值。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对向量减法概念、运算规则及几何意义的理解和掌握情况。
2. 练习题：布置课后练习题，评估学生对向量减法的应用能力。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，评估学生在团队合作中的沟通能力和解决问题的能力。
七、教学拓展1. 向量加法与减法的关系：引导学生思考向量加法与减法之间的联系和区别。
2. 向量减法在实际问题中的应用：举例说明向量减法在物理学、工程学等领域的应用。
3. 向量减法的进一步研究：引导学生探讨向量减法的性质和规律，提高学生的研究能力。
2. 2. 2向量减法运算及其几何意义
2.2.2向量的减法运算及其几何意义学习目标：1.了解相反向量的概念；2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物间可以相互转化的辩证思想.教案重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教案难点：减法运算时方向的确定.教案思路：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中，.二、新课1．用“相反向量”定义向量的减法<1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作-a。
易知-(-a> = a.<2）规定：零向量的相反向量仍是零向量. 。
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a> = 0如果a、b互为相反向量，则 a = -b， b = -a，a + b = 0<3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a 与b的差.即：a-b = a + (-b> 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a-b3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a-bA作法：在平面内取一点O，作= a，= b 则= a-b即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1︒表示a-b. 强调：差向量“箭头”指向被减向量。
b5E2RGbCAP2︒用“相反向量”定义法作差向量，a-b = a +(-b>4．探究：OABaBb-bBa+abO abBaba-b１） 如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是２）若a∥b，如何作出a -b ？ 三、例题：例1、已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d. 例2、平行四边形中，a，b ， 用a、b 表示向量、.p1EanqFDPw 变式一：当a ， b 满足什么条件时，a+b 与a -b 垂直？ 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a+b| = |a -b|？ 变式三：a+b 与a -b 可能是相等向量吗？A OOB C5． 练习：1。
向量减法运算及其几何意义
向量减法与向量加法的结合规则
向量加法满足交换律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$，有 $vec{A}+vec{B}=vec{B}+vec{A}$。
向量加法满足结合律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$、$vec{C}$，有 $(vec{A}+vec{B})+vec{C}=vec{A}+(vec{B}+vec{C})$。
Байду номын сангаас THANK YOU
感谢聆听
向量减法在实际问题中的应用
物理问题
向量减法可以用于解决物理问 题，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解等。
导航问题
在导航中，通过计算起点和终 点之间的向量差，可以确定从 一个位置移动到另一个位置的 方向和距离。
机器学习
在机器学习中，向量减法可以 用于计算两个样本之间的差异 ，用于分类、聚类和降维等任 务。
向量减法运算及其几何意义
目
CONTENCT
录
• 向量减法的定义 • 向量减法的性质 • 向量减法的几何意义 • 向量减法的运算规则 • 向量减法的运算实例
01
向量减法的定义
向量减法的数学定义
向量减法是通过在第二个向量的起点绘制一个箭头，该箭头与第 一个向量的箭头在同一直线上，并且具有与第一个向量相反的方 向和长度，从而得到的结果。
04
向量减法的运算规则
向量减法与标量乘法的结合规则
标量乘法满足结合律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$和标量 $k$，有$(kvec{A})-vec{B}=k(vec{A}vec{B})$。
VS
标量乘法满足分配律
向量减法运算及其几何意义
在力学中，力的合成与分解可以通过向量减法来描述，例如合力与分力之间的关 系。
03
向量减法的运算规则
向量减法的代数运算
80%
定义
向量减法是通过将一个向量的起 点平移到另一个向量的终点，然 后按照向量加法的规则进行计算 。
100%
性质
向量减法满足交换律和结合律， 即a-b=-(b-a)和(a-b)-c=a(b+c)。
向量减法不满足结合律
$(vec{A} - vec{B}) - vec{C}$不等于$vec{A} (vec{B} - vec{C})$。
向量减法的零向量
若$vec{A} - vec{B} = vec{0}$，则表示$vec{A}$与 $vec{B}$方向相同或相反，且模长相等。
向量减法与加法的关系
向量加法和减法是互为逆运算
$vec{A} + vec{B} = vec{B} + vec{A}$，但$vec{A} - vec{B} neq vec{B} vec{A}$。
向量加法和减法的结合律
$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$，但$(vec{A} vec{B}) - vec{C} neq vec{A} - (vec{B} - vec{C})$。
数学表示
设$vec{A}$和$vec{B}$是两个向量，则$vec{A} - vec{B}$表示从 $vec{B}$的起点沿着$vec{B}$的方向移动到$vec{A}$的起点，再 反向延长到原点所形成的向量。
向量减法的性质
向量减法不满足交换律
$vec{A} - vec{B}$不等于$vec{B} - vec{A}$。
教学设计3：2.2.2 向量减法运算及其几何意义
2.2.2 向量减法运算及其几何意义整体设计教学分析向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．三维目标1．通过探究活动，使学生掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量．2．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题．能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．重点难点教学重点：向量的减法运算及其几何意义．教学难点：对向量减法定义的理解．课时安排：1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算——减法．引导学生去探究、发现．推进新课新知探究提出问题①向量是否有减法？②向量进行减法运算，必须先引进一个什么样的新概念？③如何理解向量的减法？④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？活动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？ 引导学生思考，相反向量有哪些性质？由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a 和－a 互为相反向量． 于是－(－a )＝a .我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0. 所以，如果a 、b 是互为相反的向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0. (1)平行四边形法则如图1，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义，知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .图1又b ＋BC →＝a ， 所以BC →＝a －b .由此，我们得到a －b 的作图方法． (2)三角形法则如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．图2讨论结果：①向量也有减法运算．②定义向量减法运算之前，应先引进相反向量．与数x 的相反数是－x 类似，我们规定，与a 长度相等，方向相反的量，叫做a 的相反向量，记作－a .③向量减法的定义．我们定义a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． 规定：零向量的相反向量是零向量．④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．提出问题①上图中，如果从a 的终点到b 的终点作向量，那么所得向量是什么？ ②改变上图中向量a 、b 的方向使a ∥b ，怎样作出a －b 呢？ 讨论结果：①AB →＝b －a . ②略．应用示例例1 如图3(1)，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .图3活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量． 作法：如图3(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d . 则BA →＝a －b ，DC →＝c －d . 变式训练在ABCD 中，下列结论错误的是( ) A.AB →＝DC → B.AD →＋AB →＝AC → C.AB →－AD →＝BD → D.AD →－BC →＝0【解析】A 显然正确，由平行四边形法则可知B 正确，C 中，AB →－AD →＝BD →错误，D 中，AD →－BC →＝AD →＋DA →＝0正确． 【答案】C例2 如图4，在ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示向量AC →、DB →吗？图4活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系． 解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC →＝a ＋b ， 同样，由向量的减法，知DB →＝AB →－AD →＝a －b . 变式训练1．已知一点O 到ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，则向量OD →等于( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C.a ＋b －c D ．a －b －c解析：如图5，点O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，结合图形有OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a －b ＋c .图5答案：B2．若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .①当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？ ②当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b|＝|a －b|?③当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？ ④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？解：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC →、DB →恰为平行四边形的对角线且AB ＝a ，AD ＝b .图6由平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b . 由此问题就可转换为：①当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)②当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线相等？(a 、b 互相垂直) ③当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线平分内角？(|a|、|b|相等) ④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)点评：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现．由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题，这就是数形结合解题的威力与魅力，教师引导学生注意领悟. 例3 判断题：(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同． (2)△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点． (4)|a ＋b|≥|a －b |.活动：根据向量的加、减法及其几何意义．解：(1)a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同； 若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量， 此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥．(2)由向量加法法则AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →是互为相反向量，所以有上述结论． (3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋AC →＝0，而此时构不成三角形．(4)当a 与b 不共线时，|a ＋b|与|a －b|分别表示以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定．当a 、b 为非零向量共线时，同向则有|a ＋b|>|a －b|，异向则有|a ＋b|<|a －b |； 当a 、b 中有零向量时，|a ＋b|＝|a －b |. 综上所述，只有(2)正确．例4 若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13] D ．(3,13) 【解析】BC →＝AC →－AB →.(1)当AB →、AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3； (2)当AB →、AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13； (3)当AB →、AC →不共线时，3<|BC →|<13. 综上，可知3≤|BC →|≤13. 【答案】C点评：此题可直接应用重要性质||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |求解. 变式训练已知a 、b 、c 是三个非零向量，且两两不共线，顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a ＋b ＋c ＝0.证明：已知a ≠0，b ≠0，c ≠0，且两两不共线， (1)必要性：作AB →＝a ，BC →＝b ，则由假设CA →＝c ， 另一方面a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →. 由于CA →与AC →是一对相反向量， ∴有AC →＋CA →＝0， 故有a ＋b ＋c ＝0.(2)充分性：作AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →＝a ＋b ，又由条件a ＋b ＋c ＝0， ∴AC →＋c ＝0.等式两边同加CA →，得CA →＋AC →＋c ＝CA →＋0.∴c ＝CA →，故顺次将向量a 、b 、c 的终点和始点相连接成一三角形.知能训练课本本节练习课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：相反向量，向量减法的定义，向量减法的几何意义，向量差的作图．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，类比，数形结合，几何作图，分类讨论．作业课本习题2.2 A 组6、7、8.设计感想1．向量減法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的，两种作图方法各有千秋．第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量的平行四边形法则，直接作出从同一点出发的两个向量a 、b 的差，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，第二种作图方法比较简捷．2．鉴于上述情况，教学中引导学生结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头的方向不要搞错了，a －b 的箭头方向要指向a ，如果指向b 则表示b －a ，在几何证明题目中，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．。
2.2.2向量的减法运算及其几何意义
§2.2.2向量的减法运算及其几何意义【学习目标】1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题.【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：求作两个向量和的方法有 法则和 法则.（二）自主探究：（预习教材P85—P87） 探究：向量减法——三角形法则问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？ 1、相反向量：与a 的向量，叫做a 的相反向量，记作a - .零向量的相反向a 与其相反向量a - 的和是什么？ 如果a 、b 是互为相反的向量，那么a = ， b = ，a b += .2、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即+a b 是互为相反的向量，那么 a =____________， b =____________，+ a b =____________。
问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考()a b +- 的作图方法. 3、已知 a ， b ，在平面内任取一点O ，作== ,OA a OB b ，则__________=- a b ，即- a b 可以表示为从向量_______的终点指向向量______的终点的向量，如果从向量 a 的终点到 b 的终点作向量，那么所得向量是________。
这就是向量减法的几何意义. 以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.1例3和例4ABCD 中，下列结论中错误的是( )A. AB →＝DC →B. AD →＋AB →＝AC →C. AB →－AD →＝BD →D. AD →＋CB →＝2、在△ABC 中，O 是重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简下列两式： ⑴CB CE BA -+ ； ⑵OE OA EA -+ .变式：化简AB FE DC ++ .三、交流展示1、化简下列各式：①AB AC DB -- ； ②AB BC AD DB +-- .2、在平行四边形ABCD 中，BC CD AD +- 等于（ ）A ．BAB ．BDC ．ACD ．AB3、下列各式中结果为 O 的有（ ）①++ AB BC CA ②+++ OA OC BO CO ③-+- AB AC BD CD ④+-+ MN NQ MP QPA ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③ 4、下列四式中可以化简为 AB 的是（ ）①+ AC CB ②- AC CB ③+ OA OB ④- OB OAA ．①④B ．①②C ．②③D ．③④ 5、已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中=== ,,OA a OB b OC c 则 EF =（ ）A ．a b +B ．b a -C ．- c bD ．-b c 四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 下列等式中正确的个数是（ ）. ①a o a -= ；②b a a b +=+ ；③()a a --= ； ④()0a a +-= ；⑤()a b a b +-=- A.2 B.3 C.4 D.5 2. 在△ABC 中，,BC a CA b == ，则AB 等于（ ）. A.a b + B.()a b -+- C.a b - D.a b -+3. 化简OP QP PS SP -++ 的结果等于（ ）. A.QP B.OQ C.SP D.SQ4. 在正六边形ABCDEF 中，AE m = ，AD n = ，则BA = .5. 已知a 、b 是非零向量，则a b a b -=+ 时，应满足条件 .B 组：1、化简：AB DA BD BC CA ++-- =_______________。
第二章 2.2 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
解析：① AB ＋ BC ＋ CA ＝ AC ＋ CA ＝0； ② OA＋ OC ＋ BO ＋ CO ＝( CO ＋ OA)＋( BO ＋ OC ) ＝ CA＋ BC ＝ BA ； ③ AB － AC ＋ BD － CD ＝ CB ＋ BC ＝0； ④ NO ＋ QP ＋ MN － MP ＝ NP ＋ PN ＝0.
法三：( AB － CD )－( AC － BD ) ＝ AB － CD － AC ＋ BD ＝( OB － OA)－( OD － OC )－( OC － OA )＋(OD － OB ) ＝ OB － OA－ OD ＋ OC － OC ＋ OA ＋ OD － OB ＝0.
先根据向量加、减法的运算法则将易求的向量表 示出来，再表示 BD . [提示]
[解] ∵四边形 ACDE 为平行四边形， ∴ CD ＝ AE ＝c. BC ＝ AC － AB ＝b－a. BE ＝ AE － AB ＝c－a， CE ＝ AE － AC ＝c－b， ∴ BD ＝ BC ＋ CD ＝b－a＋c.
1．下面给出了四个式子： ① AB ＋ BC ＋ CA ；② OA ＋ OC ＋ BO ＋ CO ； ③ AB － AC ＋ BD － CD ；④ NQ ＋ QP ＋ MN － MP . 其中值为 0 的有 A．①② C．①③④ B．①③ D．①②③ ( )
如图 1 所示．
法二：a＋b－c＝(a＋b)＋(－c)在平面内任取一点 O，作 OA ＝a， AB ＝b， BC ＝－c，则 OC ＝a＋b－c，如图 2 所示．
向量减法运算及其几何意义 课件
【审题路线图】1.向量的加减运算⇒向量加减法的三 角形法则⇒化简. 2.看到作图⇒向量加减法的三角形法则⇒作图的一般步 骤⇒作图.
【解析】1.选B.根据题意,得 AB BC AD AC AD DC. 2.方法一:如图①,在平面内任取一点O,作 OA＝a，AB＝b， 则 OB＝a＋再b作， 则OC＝c， CB＝a＋b－c.
【方法技巧】 1.向量减法运算的常用方法
2.向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和. (2)起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式,同时注意逆向应 用.
3.与图形相关的向量运算化简 首先要利用向量加减的运算法则、运算律,其次要分析 图形的性质,通过图形中向量的相等、平行等关系辅助 化简运算.
方法二:如图②,在平面内任取一点O,作 OA＝a，AB＝b，
则OB＝a＋再b作， 连CB接＝cO，C,则
OC＝a＋b－c.
【方法技巧】求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b, 然后作a+(-b)即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的 起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减 向量的终点的向量.
3.设a表示向西走10km,b表示向北走10 3 km,则a-b表 示( ) A.向南偏西30°走20 km B.向北偏西30°走20 km C.向南偏东30°走20 km D.向北偏东30°走20 km 【解析】选A.由减法的三角形法则易求得.
4. PA PB =________. 【解析】 PA PB BA. 答案:
3.如图,已知O为平行四边形ABCD内一点, OA a,OB b, OC c, 则 OD =________.
【审题路线图】1.图形中的向量化简运算⇒图形的性
向量的减法运算及其几何意义
向量的减法运算及其几何意义向量是数学中非常重要的概念之一，它不仅仅在数学领域中有着广泛的应用，还在物理、工程等其他领域中也有着重要的地位。
在向量的运算中，减法运算是一种基本的运算方式，它不仅可以用于计算向量的大小和方向，还可以用于解决一些实际问题。
本文将介绍向量的减法运算及其几何意义。
一、向量的基本概念向量是用来表示有大小和方向的量的，通常用箭头表示。
比如，我们可以用一条箭头来表示速度、力、位移等物理量。
在数学中，向量通常用一个有序数组表示，如：$vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$其中，$a_{1}$、$a_{2}$、$a_{3}$分别表示向量在$x$、$y$、$z$三个方向上的分量。
向量的大小用$|vec{a}|$表示，即：$|vec{a}| = sqrt{a_{1}^2 + a_{2}^2 + a_{3}^2}$ 向量的方向用一个与向量长度相等的单位向量$hat{a}$表示，即： $hat{a} = frac{vec{a}}{|vec{a}|}$二、向量的减法运算向量的减法运算是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。
假设有两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，它们的减法运算可以表示为：$vec{a} - vec{b} = (a_{1} - b_{1}, a_{2} - b_{2}, a_{3} - b_{3})$这个式子的意思是，将$vec{b}$的每个分量从$vec{a}$的对应分量中减去，得到一个新的向量。
比如，如果有两个向量$vec{a} = (1, 2, 3)$和$vec{b} = (4, 5, 6)$，则它们的减法运算为：$vec{a} - vec{b} = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)$ 这个结果表示，从$vec{a}$中减去$vec{b}$得到的新向量为$(-3, -3, -3)$。
三、向量减法的几何意义向量减法的几何意义是指，将一个向量从另一个向量中减去所得到的向量在几何上表示的意义。
向量减法运算的几何意义
向量减法运算的几何意义
向量减法的几何意义是共起点，连终点，方向指着被减量。
向量是将几何问题转化为代数问题的桥梁，向量的加减则是用代数方法进行几何运算，三角形定则解决向量加法的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
平行四边形定则解决向量减法的方法，将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点，平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。
向量减法的内容
向量减法法则是三角形法则，同样将两向量的始点，就是没箭头的那个点放在一起，将两个终点连接，就是差，差向量方向指向被减向量，向量加法法则就是平行四边形法则，两个加数作为平行四边形相邻的两边，则和是两向量的公共顶点与对点相连的对角线。
在数学中，向量也称为欧几里得向量，几何向量，矢量，指具有大小和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段，箭头所指，代表向量的方向，线段长度，代表向量的大小，与向量对应的量叫做数量，物理学中称标量，数量或标量只有大小，没有方向。
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
探究一：向量的数乘运算及其几何意义
思考1：已知非零向量a，如何求作向
量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋
（－a）？
aa a
OA B C
－a
a
uuur
OC = a＋a＋a
－a －a
uuur
P NMO
用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
一、问题情境
（1）如何求此时竖直 和水平方向速度？
（2）利用什么法则？
v
v sin
v cos
探究： uur uur 给定平面内两个向量 e、1 e2，平面内
任一向量是否都可以在这两向量方向上分解呢？
N
B
uuv
e2
A
uv e1
M
e2
分解
a
平移
共同起点
a－b与b－a是相反向量.
|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b反向时取
等号；
|a－b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b同向时
取等号.
思考7：|a－b|与|a＋b|有什么大小关 系吗？为什么？
B
C
ｂ
a＋b
a－b
O
a
A
思考8：对于非零向量a与b，向量a＋b与
a－b可能相等吗？
理论迁移
例1 如图，已知向量a，b，c，求作
O L
uuuur 则OM＝
uuur uuur OA OB (线段AB中点的向量表达式）
2
例2.设ueu1r,ueu2r是不共线的非零向量， （ 1） 证 明 ：u且ar,ubuuarr可=以ueu1r作- 2为ueu2r一,ubr组= ue基u1r +底3eu；u2r
(完整版)向量的减法及其几何意义
香港
像上面例子一样，我们把与a长度相同， 方向相反的向量，叫做 a 的相反向量,记 作 –a。
其中a 和 – a 互为相反向量。
做一做
1、若 a , b 是互为相反向量,那么
a =_–__b_, b =_–__a_, a + b =__0__
2 、– ( – a)=___a___
a + b 的相反向量是_–_(_a_+__b_) a +(– b)的相反向量是_–_[_a_+_(_–__b_)_]
量 a-b，c-d.
作法：在平面内任取一点O
bd
a
c
作OA＝a OB＝b
BA a b
B
D
A
bd
C
a
c
O
OC＝c OD＝d
DC c d
如图， ABCD 中，AB a, AD b,你能用a,b 表示向量 AC, BD 吗？
AC a b BD a b
D
b Aa
C B
填空:
AB AD __D__B___; BA BC ___C_A___; BC BA ___A_C___; OD OA ___A_D___; OA OB ___B_A___;
定义 a b a b
减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量.
B
AB b AC a AD b
b A
-b D
a a-b
AE a b a b
C
b BC a
E BC a b
已知a,b在平面内任取一点O作 OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表 示为从向量b的终点指向向量a的终点 的向量.
a
b
Oa A b
向量加减运算及几何意义
向量加减运算及几何意义一、向量加法的定义和运算规则向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的加法可以表示为：A=A+A其中，A表示两个向量相加得到的新向量。
向量加法的运算规则如下：1.交换律：A+A=A+A2.结合律：(A+A)+A=A+(A+A)3.零向量：对于任意向量A，都有A+A=A，其中A表示零向量。
二、向量减法的定义和运算规则向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的减法可以表示为：A=A-A其中，A表示将向量A从向量A中减去得到的新向量。
向量减法的运算规则如下：1.减法的定义：A-A=A+(-A)，其中-A表示向量A的负向量。
2.减法与加法的关系：A-A=A+(-A)=-(A-A)三、向量加减运算的几何意义1.位移：设有两个向量A和A，A表示物体的起始位置，A表示物体的终止位置。
向量加法A=A+A表示物体从起始位置到终止位置的位移向量。
2.速度：速度是位移随时间的变化率，可以用向量表示。
设有两个位移向量A和A，A表示物体在起始时刻的位置，A表示物体在终止时刻的位置。
则速度向量A=A-A表示物体在起始时刻到终止时刻的平均速度向量。
3.加速度：加速度是速度随时间的变化率，也可以用向量表示。
设有三个速度向量A、A和A，A表示物体在起始时刻的速度，A表示物体在中间时刻的速度，A表示物体在终止时刻的速度。
则加速度向量A=(A-A)/t表示物体在起始时刻到终止时刻的平均加速度向量，其中t表示时间间隔。
4.平行四边形法则：设有两个向量A和A，它们的和向量A=A+A可以用平行四边形法则来表示。
将向量A和A的起点放在一起，将它们的终点连接起来，得到一个平行四边形，那么向量A就是该平行四边形的对角线向量。
总结：向量加减运算的几何意义主要体现在描述物体的位移、速度和加速度等几何特征上。
它们可以帮助我们理解物体在空间中的运动规律，并且可以通过向量的加减运算得到物体的位移、速度和加速度等重要信息。
§2.2.2向量的减法及其几何意义
同向共线
反向共线
b
（1）
O
A
B
rr
ab
b
（2）
B
r rO
A
ab
探究问题（三）:向量减法法则的应用 例1.已知向量 a,b, c,d, 求作向量 a b, c d.
bd c a
作法:
A
BD
C
bd
a
c
O
1.在 平 面 上 任 取 点O, 作OA a, OB b, OC
c, OD d .
§2.2.2 向量减法运算及其几何意义
2019/5/21
【学习目标】
1.向量的减法运算及其几何意义 2.对向量减法意义的理解，向量减法的 应用。
复习巩固
1.向量加法的三角形法则
首尾相连，起点指向终点
2.向量加法的平行四边形法则
起点相同，对角线为和
3.向量加法满足交换律及结合律
2019/5/21
探究问题（一）:相反向量的概念 定义：与 长度相等，方向相反的向量，叫做
3则向量BA a b
B
两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点， 方向指向被减向量终点的向量.
共起点，连终点，
BA OA OB 方向指向被减数
思 (1)如图，如果从 a 的终点到 b 的终点作向量，那 考 么所得向量是什么？
rr
？ ba
r rb
rr
(2)若向量a、b共线，则应怎样作出 a b 呢？
2.作BA, 2019/5/21 DC , 则BA a b, DC c d为 所 求.
r r r ur 练习 如图，已知a,b,求作a b.
（1）
（2）
向量减法运算及其几何意义
[类题通法] 1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和； (2)起点相同且为差． 做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向 应用．
[对点训练] 化简下列各式：
(1) AB － AC － DB ； (2) AB ＋ BC － AD ；
[类题通法] 用已知向量表示某向量的基本步骤 第一步：观察各向量的位置； 第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形； 第三步：运用法则找关系； 第四步：化简结果．
[对点训练]
如图，已知 OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c，OD ＝d，OF ＝f，试用 a，b，c，d，f 表示以下向量： (1) AC ；(2) AD ； (3) AD － AB ； (4) AB ＋ CF ； (5) BF － BD .
①＋②，得 EF ＋ EF ＝ CF ＋ DC ＋ ED ＋ BF ＋ AB ＋ EA ＝( CF ＋ BF )＋( ED ＋ EA)＋( AB ＋ DC )． ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴ ED ＋ EA＝0， CF ＋ BF ＝0. ∴ EF ＋ EF ＝ AB ＋ DC .
解析：选 A ①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0，或b＝0，
a≠0时成立；③当a与b共线，方向相反，且|a|≥|b|时成立；④
当a与b共线，且方向相同时成立．
3.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它 的中心，其中 OB ＝b， OC ＝c，则 EF 等于 ________．
法二：如图，在平面内取点O， 连接AO，EO，DO，CO，FO，BO，则 EF ＝ EO ＋ OF ＝ EA＋ AO ＋ OB ＋ BF ， ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴ DE ＝ EA， BF ＝ FC . ∴ EF ＋ EF ＝ EA＋ AO ＋ OB ＋ BF ＋ EA＋ AO ＋OB ＋ BF ＝ DE ＋ AO ＋ OB ＋ FC ＋ EA＋ AO ＋ OB ＋ BF ＝( AO ＋ OB )＋( DA＋ AO ＋ OB ＋ BC ) ＝ AB ＋( DO ＋ OC )＝ AB ＋ DC .
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.2.2向量的减法运算及其几何意义
→ → → OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b；
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2
③若 a 与 b 反向，在给定的直线 l 上作出差向量 a－b：
本 课 时 栏 目 开 关
→ → → OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b.
研一研·问题探究、的作图，探究|a－b|与|a|，|b|之间的大小关系：
仍是零向量
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2
对比项 对 比
本 课 时 栏 目 开 关
实数的减法
向量的减法
(3)互为相反数的 (3) 两个相反向量的和是 和是零
零向量
内 容
(4)实数的减法：减 (4)向量的减法：减去一个 去一个数等于加上 向量相当于 加上这个向量 这个数的相反数
的相反向量
根据相反向量的含义，完成下列结论： → → (1)－AB＝___ a； BA ；(2)－(－a)＝__
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2
3．向量减法的平行四边形法则 → → 以向量AB＝a，AD＝b 为邻边作 平行四边形ABCD ，则
本 课 时 栏 目 开 关
→ → 对角线的向量BD＝b－a，DB＝a－b. 4．向量减法的三角形法则 → → → 在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b， 即 a－b 表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.
本 课 时 栏 目 开 关
请你利用平行四边形法则作出差向量 a－b.
解 利用平行四边形法则． → → 在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，
→ → → 作OC＝－b，以OA，OC为邻边作平行四 → 边形 OAEC，则OE＝a－b.
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向量减法运算及其几何意义汇总
向量减法运算及其几何意义汇总向量减法是数学中一种常见的运算方式，用于计算两个向量之间的差值。
它在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。
下面将详细介绍向量减法的定义、计算方法以及其几何意义。
1.向量减法的定义向量减法是指通过对两个向量进行相应元素之间的减法运算，得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的减法记作A-A，等于将向量A取反后与向量A进行加法运算。
即：A-A=A+(-A)2.向量减法的计算方法向量的减法通过对应分量的相减来完成。
设有两个向量A=(A1,A2,A3)和A=(A1,A2,A3)，则向量减法的计算公式为：A-A=(A1-A1,A2-A2,A3-A3)例如，对于向量A=(3,4,5)和A=(1,2,3)，它们的减法运算结果为：A-A=(3-1,4-2,5-3)=(2,2,2)3.向量减法的几何意义向量减法在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。
下面分别介绍它们的几何意义：3.1位移位移可以用向量来表示，通过一个点从起始位置到达终点位置的位移向量。
向量减法可以用来计算两个位置之间的位移向量。
设有两个位置A 和A，它们的坐标表示分别为A(A1,A1,A1)和A(A2,A2,A2)，则A-A即为A到A的位移向量。
例如，若A(1,2,3)为起始位置，A(4,6,8)为终点位置，则位移向量A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。
3.2速度速度是定义为单位时间内位移的向量，可以用向量来表示。
当物体从位置A移动到位置A时，所产生的平均速度向量为A-A，即终点位置向量减去起始位置向量。
通过向量减法可以计算得到物体在单位时间内的平均速度向量。
例如，若物体从A(1,2,3)移动到A(4,6,8)，所产生的平均速度向量为A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。
3.3加速度加速度是定义为单位时间内速度的改变率，也可以用向量来表示。
当物体从位置A移动到位置A时，速度变化的向量为终点速度向量减去起始速度向量。
向量的减法运算及其几何意义
向量的减法运算及其几何意义设有两个向量A和B，分别表示为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)。
则A减去B的结果为一个新的向量C，表示为C=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)。
例如，考虑向量A=(3,2)和B=(4,1)。
要计算A减去B，我们将A的分量减去B的分量，得到C=(3-4,2-1)=(-1,1)。
几何上，向量的减法运算可以通过向量的几何表示进行解释。
向量可以用箭头来表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度则表示向量的大小。
要进行向量的减法，在数学坐标系上，我们先将第一个向量A的起点放置在坐标原点，然后将A的尖端移动到相应的位置。
然后，我们将第二个向量B的起点放置在A的尖端，将B的尖端移动到相应的位置。
最后，连接A的起点和B的尖端，我们得到的向量就是A减去B的结果。
例如，在数学坐标系中，考虑向量A=(3,2)和B=(4,1)。
首先，将A 的起点放在原点，将A的尖端移动到坐标(3,2)的位置。
然后，将B的起点放在A的尖端，将B的尖端移动到坐标(4,1)的位置。
最后，连接A的起点和B的尖端，我们得到的向量就是A减去B的结果，即向量C=(-1,1)。
1.平移：向量的减法就好比是将一个向量平移一段距离再固定终点。
例如，在上述示例中，向量A减去向量B后得到向量C，可以看作是将向量A从原来的位置平移了一段距离再固定终点。
2.相反方向：向量的减法还可以理解为两个向量的相反方向的叠加。
当一个向量与另一个向量做减法时，可以将其中一个向量旋转180度，然后将它与另一个向量相加。
这个运算结果的向量方向与两个向量相反，且长度等于两个向量的差的长度。
3.差向量：向量的减法得到的结果称为差向量，它表示由一个向量指向另一个向量的方向和大小。
差向量的起点与被减去的向量的起点一致，终点与减去的向量的终点一致。
向量的减法在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
在几何学中，向量的减法常用于表示点的位移、距离、速度和加速度等概念。
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例4：如图平行四边形ABCD, AB a, DA b,OC c,
证明：b c a OA
D
C
c
b
O
Aa
B
证明：b c DA OC OC CB OB b c a OB AB OB BA OA
例5.在四边形ABCD中，设AB
a,
AD
b,
BC
c,
试用a,
b,
c表示向量CD.
A
a
B
c
b
D
C
b a c
练习1. 如图，已知 a 、b，求作 a b .
（1）
a
（2）
b ab
b
a
b
ab
（3）
a
b
ab b
（4）
b a
b
b ab
2. AB AD DB BA BC CA BC BA AC OD OA AD OA OB BA
3. 作图验证： (a b) a b .
B
C
b
D
a .
O
ab b
ab
a
A
F
E
练习2 (1)化简AB AC BD CD
解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
共起点，连终点，指被减
想一想：
(1) 上 图 中，如 果 从 a 的 终 点 到 b 的 终 点 作 向 量，
那么所得向量是什么？
O
a
A
b
ba
B
( 2) 如 图 ，a // b ，怎 样 作 出 a b ?
B
a
A b
A a
b
. OB a b
O
O b B
BA a b
OB a b .
O
A
B
b
b
b A
B
Oa
a
BA a b
例１：已知向量a,b,c,d, 求作向量a-b,c-d.
b a
d c
B
ab
A b
a
O
D
d cd
C c
例2：选择题：
（1）AB BC AD D
A.AD B.CD C.DB D.DC
（2）AB AC DB C
A.AD B.AC C.CD D.DC
向量的减法运算及其几何意义
a
O
a
B
b
O
a
b
B
b
A
C
A
三角形法则
首尾相接，和向量从第一个向量的起 点指相同，和向量从共同的起点 指向该点所对的顶点.
对于零向量和任一向量a我们规定： 0a a
交换律:
结合律:
a + b = b + a (a+b)+c = a+(b+c)
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. (2)向量减法的几何意义:
b a
B
b
O
b
ab
a
A
a (b)
C
D
(3)向量减法的三角形法则:
a b的 作 图 方 法:
b a
B
ab
b
O
a
1.在 平 面 内 任 取 一 点 O
2.作 OA a,OB b A 3.则 向 量 BA a - b
向量减法的几何意义: a b OA OB BA, 表示 从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
练习3:如图,已知向量AB a, AD b，DAB 120o， 且 | a || b | 3，求 | a b | 和 | a b | .
|
a
b
|
3，| a
b
|
3
3
C
O
D b
`
120o
a
B
A
练习4.在三角形ABC中，点D，E，F分别为各边的中 点则 AB AD BC BE CF ___.
思考5：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差向量，
求两个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量a，b， c，若a+c＝b，则c等于什么？
a+c＝ b c = b －a
已知：两个力的合力为 F ,其中一个力为 F1,
求：另一个力 F2
F1 F2 F
F2 F F1
F F2
F1
(1)向量减法的定义: a b a (b)
思考1：两个相反向量的和向量是什么？向量a的相反向量
可以怎样表示？ －a
思考2：－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？
－（－a）=a 规定：零向量的相反向量仍是零向量.
思考3：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的
相反数.据此原理，向量a－b可以怎样理解？
定义：a－b＝a＋（－b）
思考4：两个向量的差还是一个向量吗？
例3 : 如图, 平行四边形ABCD中, AB a, AD b, 试用a,b表
示向量AC, DB.
D
C
b
解: AC AB AD a b
A
a
B
DB AB AD a b
变式训练一：当a ,b 满足什么条件时，
a +b与a b垂直？___| a__|_|_b__| ____
变式训练二：当a ,b满足什么条件时，
A
解：AB AD BC BE CF
F
E
AB BC ( AD BE CF )
BD C
AC 0
AC