求数列通项公式和前n项和的常用方法(含高考题精选)

求数列通项公式和前n 项和的常用方法

一、求数列通项公式的常用方法

1.公式法：等差数列或等比数列的通项公式。

2.归纳法：由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。

3.累乘法:利用3

21

121

(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥型如: 1()n n a g n a += 4.构造新数列: 类型1累加法 )(1n f a a n n +=+ 类型2 累乘法 n n a n f a )(1=+

类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。解法（待定系数法）：把原递

推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q

t -=1，转化为等比数列求解。 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）

。 （或1n

n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 解法：先在原递推公式两边同除以1

+n q ，得：q

q a q p q a n n n n

111+•=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q

b q p b n

n 1

1+=+再待定系数法解决。 类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)

解法：1.利用⎩⎨

⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)

2()

1(11n S S n S a n n n 2.升降标相减法

二、数列求和的常用方法

1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和 （1）等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

（2）等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n

n

2.错位相减法 设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则求数列{}n n b a 的前n 项和n S 。

3.裂项求和法 （1）1

1

1)1(1+-

=+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 等。4.分组求和法：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为

几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

5.逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

三、数列高考题

1.(2011年高考辽宁卷理科17)（本小题满分12分） 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10

（I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列12n n a -⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

的前n 项和.

2... (2014全国1)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-

，其中λ为常数. （Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=

；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.

3..（2016年全国III 高考）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．

（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若531

32

S = ，求λ．

4..（2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+

（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1

(1).(2)

n n n n

n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .

5. (2011年高考全国新课标卷理科17)（本小题满分12分）

等比数列{}n a 的各项均为正数，且2

12326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.

(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前项和.

6.(2015全国1) S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，

(Ⅰ)求{a n }的通项公式：(Ⅱ)设 ，求数列

}的前n 项和

求数列通项公式和前n 项和的常用方法答案

1.（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得11

0,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,

1.a d =⎧⎨=-⎩

故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分 （II ）设数列1

{

}2

n n n a n S -的前项和为，即2

111,122

n

n n a a S a S -=+++

=故， 12

.224

2n n

n

S a a a =+++

所以，当1n >时， 121

1111222211121()2422

121(1)22

n n n n n n

n n n n

S a a a a a a n n

------=+++--=-+++--=---

=

.2n n 所以1

.2

n n n S -=综上，数列11{}.22n n n n a n

n S --=的前项和 2.解（Ⅰ）由题设，1121

1,1n n n n n n a a Sa a S λλ

++++=-=- 两式相减得121()n n n n a a a a λ

+++-=，而10n a +≠，2n n a a λ+∴-= （Ⅱ）121111a a S a λλ

=-=-，而11a =，解得 21a λ=-

，又{}n a 令2132a a a =+，解得4λ=。此时12321,3,5,4n n

aa a aa +===-= ∴{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列。 即存在λ=4，使得{}n a 为等差数列。 3.解