求数列通项公式和前n项和的常用方法(含高考题精选)

求数列通项公式和前n 项和的常用方法
一、求数列通项公式的常用方法
1.公式法：等差数列或等比数列的通项公式。

2.归纳法：由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。

3.累乘法:利用3
21
121
(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥型如: 1()n n a g n a += 4.构造新数列: 类型1累加法 )(1n f a a n n +=+ 类型2 累乘法 n n a n f a )(1=+
类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递
推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=1，转化为等比数列求解。

类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（或1n
n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 解法：先在原递推公式两边同除以1
+n q ，得：q
q a q p q a n n n n
111+•=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q
b q p b n
n 1
1+=+再待定系数法解决。

类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。

(或()n n S f a =)
解法：1.利用⎩⎨
⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)
2()
1(11n S S n S a n n n 2.升降标相减法
二、数列求和的常用方法
1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和 （1）等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
（2）等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111q q q a a q
q a q na S n n
n
2.错位相减法 设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则求数列{}n n b a 的前n 项和n S 。

3.裂项求和法 （1）1
1
1)1(1+-
=+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 等。

4.分组求和法：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为
几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

5.逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）
三、数列高考题
1.(2011年高考辽宁卷理科17)（本小题满分12分） 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10
（I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列12n n a -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和.
2... (2014全国1)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-
，其中λ为常数. （Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=
；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.
3..（2016年全国III 高考）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．
（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若531
32
S = ，求λ．
4..（2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1
(1).(2)
n n n n
n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .
5. (2011年高考全国新课标卷理科17)（本小题满分12分）
等比数列{}n a 的各项均为正数，且2
12326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.
(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前项和.
6.(2015全国1) S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，
(Ⅰ)求{a n }的通项公式：(Ⅱ)设 ，求数列
}的前n 项和
求数列通项公式和前n 项和的常用方法答案
1.（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得11
0,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,
1.a d =⎧⎨=-⎩
故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分 （II ）设数列1
{
}2
n n n a n S -的前项和为，即2
111,122
n
n n a a S a S -=+++
=故， 12
.224
2n n
n
S a a a =+++
所以，当1n >时， 121
1111222211121()2422
121(1)22
n n n n n n
n n n n
S a a a a a a n n
------=+++--=-+++--=---
=
.2n n 所以1
.2
n n n S -=综上，数列11{}.22n n n n a n
n S --=的前项和 2.解（Ⅰ）由题设，1121
1,1n n n n n n a a Sa a S λλ
++++=-=- 两式相减得121()n n n n a a a a λ
+++-=，而10n a +≠，2n n a a λ+∴-= （Ⅱ）121111a a S a λλ
=-=-，而11a =，解得 21a λ=-
，又{}n a 令2132a a a =+，解得4λ=。

此时12321,3,5,4n n
aa a aa +===-= ∴{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列。

即存在λ=4，使得{}n a 为等差数列。

3.解
4.解(Ⅰ)因为数列{}n a 的前n 项和n n S n 832
+=， 所以111=a ，当2≥n 时，
56)1(8)1(383221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n ，又56+=n a n 对1=n 也成立，所以
56+=n a n ．又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则d b b b a n n n n +=+=+21．
当1=n 时，d b -=1121；当2=n 时，d b -=1722，解得3=d ，所以数列{}n b 的通项公式为
132
+=-=
n d
a b n n ． (Ⅱ)由11
12)33()
33()66()2()1(+++⋅+=++=++=n n
n n n n n n n n n b a c ，于是14322)33(2122926+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n T ，两边同乘以２，得 21432)33(2)3(29262++⋅++⋅++⋅+⋅=n n n n n T ，两式相减，得214322)33(23232326++⋅+-⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n T
2
22
2)33(2
1)21(2323+⋅+---⋅+⋅=n n n
222232)33()21(2312++⋅=⋅++-⋅+-=n n n n n n T ．
5.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由2
3269a a a =得32
349a a =所以2
19
q =。

由条件可知a>0,故13q =。

由12231a a +=得12231a a q +=，所以11
3a =。

故数列{a n }的通项式为a n =1
3
n 。

（Ⅱ ）31323n
log log ...log n b a a a =+++
(12...)(1)2
n n n =-++++=-
故
12112()(1)1
n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311
n n
b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{
}n b 的前n 项和为21
n
n -+ 6.解：（I ）由2243n n n a a S +=+，可知2
11124 3.n n n a a S ++++=+
可得221112()4n n n n a a a a a +++-+-= 即22
11112()()()n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-
由于0n a >可得1 2.n n a a +-=又2111243a a a +=+，解得111()3a a =-=舍去， 所以{}n a 是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为2 1.n a n =+ （II ）由21n a n =+ 111111
().(21)(23)22123
n n b a a n n n n +=
==-++++ 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则12n n T b b b =++
+
1111111()()(
)()235572123.3(23)n n n n ⎡⎤=
-+-++-⎢⎥++⎣⎦
=+。