五月试题(理科)

高三五月诊断考试 数学（理科）试卷
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1、已知集合{}
0,2|>==x y y M x
，{}
2
|lg(2)N x y x x ==-，则N M 为（ ）
A ．(1,2)
B ． ),1(+∞
C ． ),2[+∞
D ． ),1[+∞
２．已知角α2的顶点在原点, 始边与x 轴非负半轴重合, 终边过⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-
23,21, )[πα2,02∈ 则=αtan （ ）
A. 3-
B. 3
C.
33
D. 3
3±
３．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
4
24S S =,则64
S S =（ ） A ．94 B ．32 C ．5
3
D ．4
４．若直线x y 2=上存在点（ｘ，ｙ）满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（ ）
Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.2
3
Ｄ.2
5. 命题p ：,R x ∈∃使得x x
>3；命题q ：若函数)1(-=x f y 为偶函数，则函数)(x f y = 关
于直线1=x 对称，则（ ）
A. q p ∨真
B. q p ∧真
C. p ⌝真
D. q ⌝假
６.多面体MN-ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视
图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM 的长等于（ ）
（A
（B
（C
（D
）
7. 在棱长都相等的正三棱柱111C B A ABC -中,点D 是侧面C C BB 11的中心,则AD 与平面
C C BB 11所成角的大小为( )
Ａ.
60 Ｂ.
45 Ｃ.
30 Ｄ.
90
8.对于任意给定的实数m ，直线03=+-m y x 与双曲线
0(12
2
22>=-a b y a x ，)0>b 最多有一个交点，则双曲线的离心率等于( )
A ．2
B ．2
C ．3
D ．10
9.程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是 ( )
A ．2
B ．12-
C ．3-
D ．13
10.计划在4个不同的体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有（ ） （A ）60种 （B ）42种 （C ）36种 （D ）24种
11.已知抛物线x y 42
=；直线l 过点M(-1，0)与抛物线交于A,B 两点；点C 和点B 关于x 轴对称。

则直线AC 必过点（ ）
A.(-2，0)
B.(0，0)
C.(2，0)
D.(1，0) 12.函数3
2,(0,1)x y a
a a +=->≠的图像恒过定点 A ，若点 A 在直线
1,x y
m n
+=-上且m,n>0则 3m+n 的最小值为 （ ）
A ．13
B ．16
C ．11+
D ．28
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
１３．已知 {}n a 为等比数列，若4617373910,2a a a a a a a a +=++则的值为
1４. 51
(21)(1)x x
+-的展开式的常数项是__________.（填写具体数字）
15. 若a=3
1
3
12,2log =b ， c=21
)31(-
，则a,b,c 按由小到大的顺序排列为： (用“<”
连接起来)
16. 已知三个向量a 、b 、c ，其中每两个之间的夹角为120°，若｜a
｜=3,｜b ｜=2,
｜c ｜=1，则a 用b 、c
表示为
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（ 12分） 已知,A B 是ABC ∆的两个内角，向量,sin )22
A B A B
a +-= ，且
||a = （1）证明：tan tan A B 为定值；
（2）若,26
A A
B π
=
=，求边BC 上的高AD 的长度。

１８.（１２分）某品牌电视专卖店，在“五一”期间设计一项有奖促销活动：每购买一台电视，
商家为了了解计划的可行性，估计奖金数，进行了随机模拟试验，产生20组随机数组，每组3个数，试验结果如下所示：
235，145，124，754，353，296，065，379，118，247， 520，356，218，954，245，368，035，111，357，265.
（１）在以上模拟的20组数中，随机抽取3组数，至少有一组获奖的概率；
（２）根据上述模拟试验的结果，将频率视为概率，若本次活动平均每台电视的奖金不超过260
元，求m 的最大值。

19 .（本小题12分）在如图所示的几何体中， 四边 形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ， ＡＢ=２ＥＦ
（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，
求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,
求二面角Ａ---ＢＦ---Ｃ的大小．
20.（12分） 已知椭圆C ：22x a ＋22y b ＝1(a >b >0)的一个焦点在直线:l 1=x 上，离心率为2
1。

设P,Q 为椭圆上不同的两点，且弦PQ 的中点T 在直线:l 1=x 上，点R （
4
1
，0）． (1) 求椭圆的方程; (2) 试证:对于所有满足条件的P,Q,恒有RQ RP =; (3) 试判断PQR ∆能否为等边三角形?证明你的结论 21． （本小题满分12分）已知函数f (x )=x ln x (x ∈(0，+∞))． （Ⅰ）求(+1)
()+1
f x
g x x x =
-(x ∈(-1，+∞))的单调区间与极大值； （Ⅱ）任取两个不等的正数x 1、x 2，且x 1<x 2，若存在x 0>0使21021
()()
()f x f x f x x x -'=
-成立，
求证：x 1<x 0<x 2；
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲. 如图，PA 是圆O 的切线，PE 过圆心O ， AC 为圆O 的
直径，PC 与圆O 相交于B 、C 两点，连结AB 、CD .
(1) 求证：PAD CDE ∠=∠； (2) 求证：2PA BD
PC PE AD
=
⋅. 23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.
在极坐标系内，已知曲线1C 的方程为22(cos 2sin )40ρρθθ--+=，以极点为原点，极轴方向为x 正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线2C 的参数方程为
5145183x t
y t
=-⎧⎨
=+⎩（t 为参数）.(1) 求曲线1C 的直角坐标方程以及曲线2C 的普通方程； (2) 设点P 为曲线2C 上的动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范围.
24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数)|2||12(|log )(2m x x x f -+++=. （1）当4=m 时，求函数)(x f 的定义域；
（2）若关于x 的不等式1)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围。