《复数代数形式的乘除运算》
复数代数形式的乘除运算课件

即
-2 = 4( + 2),
3 + 8 = -2.
解得
= -2,
或 = -4,
= -1,
= 2.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
(2)∵f(z)=2z+-3i,∴f(+i)=2(+i)+( + i)-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.
1
例 3 设 z 是虚数,ω=z+ 是实数,且-1<ω<2,
(1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围;
1-
(2)设 u=1+,求证:u 为纯虚数.
1
思路分析:(1)按常规解法,设 z=x+yi(x,y∈R),化简 ω=z+ ,找出实部、
虚部可以列出等量关系式求解;(2)证明 u 为纯虚数,可按定义证明实部
为零,虚部不为零,或证明 u+=0,且 u≠0.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
(1)解:∵z 是虚数,
∴可设 z=x+yi,x,y∈R,且 y≠0.
1
-i
1
∴ω=z+ =x+yi++i =x+yi+2 +2=x+2 +2 + - 2 +2 i.
∵ω 是实数且 y≠0,∴y-2 +2 =0.∴x2+y2=1,即|z|=1.此时 ω=2x.
若 z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
(2)共轭复数的性质
①z·
=|z|2=||2;②||=|z|;③z+=2a,z-=2bi;④1 ± 2 = 1 ±
3.2.2 复数代数形式的乘除运算

+
������������2������+-���������������2��� i(c+di≠0).
名师点拨复数的除法和实数的除法有所不同,实数的除法可以直
接约分、化简得出结果;而复数的除法是先将两复数的商写成分式,
然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数).
【做一做 3】 计算:24+-33ii.
集.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
一题多解(变)——复数的综合问题
典例
(1)已知复数
z=(1-
3+i 3i)2
,
������是
z
的共轭复数,则
z·������等于(
)
A.1
B.1
4
2
C.1
D.2
(2)已知复数 z 满足|z|= 5,且(1-2i)z 是实数,求������.
3 4
−
4i ,∴z·������
=
14.
法二:∵z=(1-3+3ii)2,
3.实数范围内整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立,即对 复数z,z1,z2和自然数n,m,有:
zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=������1������ ·������2������ .
课前篇自主预习
【做一做1】 (1)(4-i)(3+2i)=
.
(2)(-3+2i)2=
=0×504+i2 016=1.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
反思感悟利用i幂值的周期性解题的技巧 1.熟记i的幂值的4个结果,当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时, 相应的幂值分别为1,i,-1,-i. 2.对于n∈N*,有in+in+1+in+2+in+3=0.
第三章3.2.2复数代数形式的乘除运算

3.2.2 复数代数形式的乘除运算 课时目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念.1.复数的乘法法则设z 1=a +b i ,z 2=c +d i (a ,b ,c ,d ∈R ),则z 1·z 2=(a +b i)(c +d i)=________________.2.复数乘法的运算律对任意z 1、23交换律 z 1·z 2=____________ 结合律 (z 1·z 2)·z 3=__________乘法对加法的分配律 z 1(z 2+z 3)=____________3.设z =a +b i (a ,b ∈R ),则z =___________叫z 的共轭复数.若b ≠0,则z 叫虚数z 的________虚数,且z +z =______,z -z =________,两共轭复数在复平面内所对应点关于________对称.4.a +b i c +d i=_____________________________. 5.设i 为虚数单位,则i 1=______,i 2=______,i 3=_______,i 4=______.一、选择题1.复数i 3(1+i)2等于( )A .2B .-2C .2iD .-2i2.已知a +2i i=b +i(a ,b ∈R ),其中i 为虚数单位,则a +b 等于( ) A .-1 B .1 C .2 D .33.设i 是虚数单位,则i 3(i +1)i -1等于( ) A .-1 B .1 C .-i D .i4.若x -2+y i 和3x -i 互为共轭复数,则实数x 与y 的值是( )A .x =3,y =3B .x =5,y =1C .x =-1,y =-1D .x =-1,y =15.设z 的共轭复数是z ,若z +z =4,z ·z =8,则z z 等于( )A .iB .-iC .±1D .±i二、填空题 6.已知复数z =1+i ,则2z-z =________. 7.设复数z 满足z (2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则z 的模为________.8.若21-i=a +b i (a ,b ∈R ,i 是虚数单位),则a +b =________.三、解答题9.计算:(1)(2+i)(2-i);(2)(1+2i)2;(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 1-i 6+2+3i 3-2i.10.已知x ,y 为共轭复数,且(x +y )2-3xy i =4-6i ,求x ,y 的值.能力提升11.复数z =i 1+i在复平面上对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限12.已知关于x 的方程x 2+(k +2i)x +2+k i =0有实根,求这个实根以及实数k 的值.1.复数的乘法与多项式乘法是类似的,在所得结果中把i 2换成-1.2.复数除法的实质是“分母实数化”,一般可以分子分母同乘以分母的共轭复数.3.解决复数问题时,可以将问题转化为复数的实虚部满足的条件,即实数化思想.3.2.2 复数代数形式的乘除运算答案知识梳理1.(ac -bd )+(ad +bc )i2.3.a -b i 共轭 2a 2b i x 轴4.ac +bd c 2+d 2+bc -ad c 2+d 2i (c +d i ≠0) 5.i -1 -i 1作业设计1.A [i 3(1+i)2=i 3·2i =2i 4=2,选A.]2.B [∵a +2i i=b +i ,∴a +2i =b i -1. ∴a =-1,b =2,∴a +b =1.]3.A [∵i +1i -1=(1+i )2-(1-i )(1+i )=2i -2=-i , ∴i 3(i +1)i -1=i 3·(-i)=-i 4=-1.] 4.D [x -2=3x ,y =-(-1),即x =-1,y =1.]5.D [设z =x +y i (x ,y ∈R ),则z =x -y i , 依题意2x =4且x 2+y 2=8,解之得x =2,y =±2.∴z z =z 2z ·z =(2±2i )28=±i.] 6.-2i解析 2z -z =21+i -1-i =2(1-i )(1+i )(1-i )-1-i =-2i.7.2解析 方法一 ∵z (2-3i)=6+4i ,∴z =6+4i 2-3i =26i 13=2i ,∴|z |=2. 方法二 由z (2-3i)=6+4i ,得z =6+4i 2-3i. 则|z |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪6+4i 2-3i =|6+4i||2-3i|=62+4222+32=2. 8.2解析 由21-i=a +b i ,得2=(a +b i)·(1-i), ∴2=a +b +(b -a )i ,(a ,b ∈R ),由复数相等的定义,知a +b =2.9.解 (1)(2+i)(2-i)=4-i 2=4-(-1)=5;(2)(1+2i)2=1+4i +(2i)2=1+4i +4i 2=-3+4i.(3)方法一 原式=⎣⎡⎦⎤(1+i )226+(2+3i )(3+2i )(3)2+(2)2=i 6+6+2i +3i -65=-1+i.方法二 (技巧解法)原式=⎣⎡⎦⎤(1+i )226+(2+3i )i (3-2i )i=i 6+(2+3i )i 2+3i=-1+i. 10.解 设x =a +b i (a ,b ∈R ),则y =a -b i.又(x +y )2-3xy i =4-6i ,∴4a 2-3(a 2+b 2)i =4-6i ,∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2=4,a 2+b 2=2,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a =1,b =1,或⎩⎪⎨⎪⎧ a =1,b =-1,或⎩⎪⎨⎪⎧ a =-1,b =1,或⎩⎪⎨⎪⎧ a =-1,b =-1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x =1+i ,y =1-i ,或⎩⎪⎨⎪⎧ x =1-i ,y =1+i ,或⎩⎪⎨⎪⎧ x =-1+i ,y =-1-i ,或⎩⎪⎨⎪⎧ x =-1-i ,y =-1+i. 11.A [∵z =i 1+i =i (1-i )(1+i )(1-i )=1+i 2=12+12i , ∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限.]12.解 设x =x 0是方程的实根,代入方程并整理得(x 20+kx 0+2)+(2x 0+k )i =0,由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20+kx 0+2=02x 0+k =0, 解得⎩⎨⎧ x 0=2k =-22或⎩⎨⎧ x 0=-2k =22, ∴方程的实根为x =2或x =-2,相应的k 值为k =-22或k =2 2.。
3.2.2复数代数形式的乘除运算

容易得到,对任意z1,z2,z3 C,有 (z1 z2) z3= z1 (z2 z3) z1 (z2+z3) = z1z2+z1z3 (同学们课后证明)
1.计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).
解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)
=(11-2i)(-2+i) =-20+15i. 2. 计算:(1) (3+4i)(3-4i); 解:(1) (3+4i)(3-4i) (2) (1+i)2
2、复数乘法满足交换律、结合律的证明
设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i. (1)因为 z1 z2=(a1+b1i)(a2+b2i) =(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,
所以
z2 z1= (a2+b2i)(a1+b1i) =(a2a1-b2b1)+(a2b1+b2a1)i, z1 z2=z2 z1
探究:类比实数的除法是乘法的逆运算,我们规 定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数 除法的法则. 复数除法的法则是:
( a bi ) ( c di ) ac bd c d
2 2
bc ad c d
2 2
i ( c di 0 ).
方法:在进行复数除法运算时,通常先把 a bi 的形式,再把分子与 ( a bi ) ( c di ) 写成
(2) (1+i)2
=32-(4i)2
=9-(-16)
=1+2i+i2
=1+2i-1
=25.
复数代数形式的乘除运算

点(-1,-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定,复数乘法法那么如下:
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数,那么它们的乘积为:
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1
i2
(
1
i
)
i2 2
2 2
(
2
)
( )
[
]
( )
i
1
1
i
(
1
i
)
(
1
i
)
2
1
1 (
3
2
i
)(
32
i
)4
i
(
3
)
3
2
i 3
2
i (
3
23
i
)
(
2
i
) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.(2015 新课标高考)若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ,
6.(2015 上海高考)若复数 z 满足 3 z z 1 i ,
其中 i 为虚数单位,则 z=
.
【解析】设 z a bi (a, b R ) ,则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i
复数的乘除法

ac bd bc ad (a+bi) c+di = 2 2 i 2 2 c d c d
这种方法叫做公式法
复数相除的另一种解法.
②利用分母实数化:
a bi (a bi)(c di) [ac bi (di)] (bc ad )i c di (c di)(c di) c2 d 2
三、复数的除法运算规则:
①设复数a+bi (a,b∈R),除以c+di(c,d∈R),其商 为x+yi (x,y∈R), 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i. ∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知解这个方程组,得于是有
(ac bd ) (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
这种方法叫做分母实数化法 给分子分母同乘以分母的共轭复数
例2计算
(1 2iBiblioteka (3 4i)1 2i 解: (1 2i ) (3 4i) 3 4i
(1 2i)(3 4i) 3 8 6i 4i 5 10i 1 2 i 2 2 (3 4i)(3 4i) 3 4 25 5 5
除法:先把两个复数相除写成分数形式,然后把分子 与分母都乘以分母的共轭复数,使分母“实数化”,最 后再化简,这种方法叫做分母实数化法 。
5.求1 i i i .... i
2 3
2008
______
注意: i 4n 1, i 4n1 i, i 4n2 1, i 4n3 i
复数代数形式的乘除运算 课件

(2)写出 z ,把 z 与 z 代入直接运算. (3)等式左边做乘法,根据复数相等求 x,y 的值. 【自主解答】 (1)(1+i)(-1-i)( 3+i)(1+ 3i) =-(1+i)(1+i)(- 3i2+i)(1+ 3i) =-i(1+i)2(1- 3i)(1+ 3i) =-i(2i)[12-( 3i)2] =8.
1.两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式; (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数; (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复 数的代数形式. 2.常用公式 (1)1i =-i;(2)11+-ii=i;(3)11- +ii=-i.
in的周期性及应用
计算 i1+i2+i3+…+i2 012. 【思路探究】 本题中需求多个 in 和的值,求解时可考 虑利用等比数列求和公式及 in 的周期性化简;也可利用 in+in +1+in+2+in+3=0(n∈N)化简.
复数代数形式的乘除运算
加复数的乘法及其运算律
【问题导思】 1.设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)类比两个多 项式相乘,应如何规定两复数相乘?
【提示】 两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只 要在所得的结果中把 i2 换成-1,并且把实部与虚部分别合并 即可.即 z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd) +(bc+ad)i.
【自主解答】 法一: 原式=i1-1-i2i012=i[1-1-i2i1 006]=i11--i1=0.
法二:∵i1+i2+i3+i4=0, ∴in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N), ∴i1+i2+i3+…+i2012, =(i1+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2 009+i2 010+i2 011+i2 012)=0.
复数代数形式的乘除运算

把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
(c di)( x yi) (cx dy) (dx cy)i ac bd x cx dy a 2 2 c d 解得 dx cy b bc ad y i 2 2 c d
4、一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.)
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于,也 有类似于上面的三个等式.
2
= (8 i )(1 3i )
= 8 24i i 3i
2
= 5 25 i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
分母实数化
复数代数形式的除法实质: 分母实数化
例5.计算 (1 2i ) (3 4i )
1 2i (1 2i)(3 4i) 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (3 4i)(3 4i)
3 8 6 i 4 i 5 10 i 1 2 i 2 2 3 4 25 5 5
2
称为关于x的实系数一元二次方程
b b xx (实根) 2a 2a 2a
复数代数形式的乘除运算

课本P112: A组4、5、6;B组1。
下节复习结合
3.2.2
X
阅读课本P109页至P111页,回答问题:
【说明】
1.复数的乘法 (1)乘法法则:复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,但要注意结果中的 i2换成-1,并且把实部与虚部分
别合并.
(2)运算律:复数乘法仍满足乘法交换律、结合律 和分配律. 注意:乘法公式:正整数指数幂的运算律在复数 集C中仍成立.
?
2 2 2 2 A = 2 a c + 2 b d ; B = a + b + c + d 。 易 BA 。
练 2
(2008· 山东高考)设 z 的共轭复数是 z ,若 z+
z z =4,z· z =8,则 z 等于( A.i B.-i
D
) C.± 1 D.± i
例3 求1+i+i2+…+i2011的值. 拓 展 : G P 求 和 公 式 。 答: 0.
例1.计算: () 1 1 2i 3 4i 2 i ;
2 3 4i 3 4i ; 2 31 i ; 4 1 2i 3的复数相乘可按从左到右
的顺序运算或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一
2.复数的除法 在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷ (c+di)写 a+bi 成 的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数 c+di c-di,化简后可得结果,实际上就是将分母实数化,这 与根式除法的分母“有理化”很类似.注意最后结果一 般写成实部与虚部分开的形式.
3.共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数仍是它本身,即 z= z ⇔z∈R. (2)z· z =|z|2=| z |2.
复数代数形式的乘除运算 课件

温馨提示 在进行复数的乘法运算时,要将 i2 化为- 1;在进行复数的除法运算时,要将分母化为实数.复数 的乘除运算的结果都要写为 a+bi(a,b∈R)的形式.
类型 1 复数代数形式的乘法运算(自主研析)
[典例 1] (1)(全国卷Ⅱ)i(2+3i)=( )
A.3-2i
B.3+2i
C.-3-2i
类型 2 共轭复数 [典例 2] 已知复数 z 满足|z|=1,且(3+4i)z 是纯虚 数,求 z 的共轭复数z- . 解:设 z=a+bi(a,b∈R) 则z- =a-bi 且|z|= a2+b2=1,即 a2+b2=1.① 因为(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(3b+4a)i, 而(3+4i)z 是纯虚数, 所以 3a-4b=0,且 3b+4a≠0.②
类型 3 复数代数形式的除法运算 [典例 3] 计算: (1)32+-23ii-32-+23ii; (2)(11+-ii)7+(11-+ii)7-(3-4i)4+(32i +2i)3. 解:(1)法一 32+ -23ii-32- +23ii= (3+2i)((2+ 2-3i3)i)-((2+ 3-3i2)i)(2-3i)= 6+13i-46- +69+13i+6=2163i=2i.
乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
3.共轭复数
如果两个复数满足实部相等,虚部互为相反数时,称 这两个复数为共轭复数,z 的共轭复数用z- 表示.即 z=a +bi,则z- =a-bi.
4.复数的除法法则
设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,c+di≠0), 则zz21=ac++dbii=_ac_c2_+ +__bd_d2_+__bc_c2_- +__ad_d2_i .
3.2.2复数代数形式的乘除运算

������+������ ������+������������
•
=((������������++���������������)���)((������������--���������������������)���)
=
������������-������������������+������������-������������������
3.2.2 复数代数形式的 乘除运算
第4课时 复数代数形式 的乘除运算
• 两个实数的积、商是一个实数,那么两 个复数的积、商是怎样的?怎样规定两个 复数的乘、除运算,才能使在复数集中 的乘法、除法与原实数集中的有关规定 相容?复数的加减运算把i看作一个字母, 相当于多项式的合并同类项,那么复数 乘法可否像多项式乘法那样进行呢?
=
������������-������-������������+������ ������-������+������������-������+������
•
=-������-������+������������������
=
(������-������������)(-������-������) (-������+������)(-������-������)
第4课时 复数代数形式 的乘除运算
• 2.复数的除法运算
• 例2计算:(1)(������-������������)(������������++������������)������+������+������������;
• (2)(������(+������-������)���(���)������-(������-������)���+���) ������; (3)(-(������������++������)������������������)������ - -������+������+������������������.
复数代数形式的乘除运算 课件

题型4 利用in的周期性求解
例4 i是虚数单位,i+2i2+3i3+…+8i8=________(用 a+bi的形式表示,a,b∈R).
分析:利用 i 的周期性化简求和. 解析:i+2i2+3i3+…+8i8=i-2-3i+4+5i-6-7i+8=4-4i. 答案:4-4i 点评:熟记 i 的周期性,即 in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).记住以 下结果,可提高运算速度:①(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i;②11- +ii=-i, 11+ -ii=i;③1i =-i.
解析:(1)∵1+i 是方程 x2+bx+c=0 的一个根, ∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0.
∴b2++cb==00,. 得 b=-2,c=2. ∴b,c 的值为 b=-2,c=2. (2)∵方程为 x2-2x+2=0,把 1-i 代入方程左边,得 (1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立. ∴1-i 是方程的根.
点评:(1)要熟悉复数的一些常用性质如 z z =|z|2=| z |2,z∈R⇔z= z 等.
(2)当已知条件出现复数等式时,常设出复数 的代数形式,利用相等复数的充要条件转化为实 数问题求解.
题型3 复数范围内解方程问题 例3 已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为
实数). (1)求b,c的值; (2)试判断1-i是否是方程的根.
基础 梳理
例:i+2 的共轭复数是( )
A.2+i
B.2-i
C.-2+i
D.-2-i
答案:B