第6章 图像重建

投影重建一般是指从一个物体对多条射线的透射投影重建 二维图像的过程。 当射线穿过物体时在检测器上得到的值就叫做射线的投影。 根据投影可以初步了解组织对射线的吸收强度，但是不可 能准确地判断物体内密度分布情况。因此，投影重建时需 要一系列投影才能重建二维图像。
6.1 图像重建概述
入射线 高密度体 入射线 低密度体 入射线 2 入射线 1 4 1 2 2 6 6 多透射 少透射
第6章 图像重建
本章重点： 图像重建的基本概念 傅立叶反投影重建方法 卷积法重建方法 代数重建方法
第6章 图像重建
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 图像重建概述 图像重建的方法 傅里叶反投影重建 卷积法重建 代数重建方法 重建的优化问题 重建图像的显示 小结
6.1法重建图像的步骤主要分为三步： （1）首先根据(6-16)式计算出N个θ方向上投影几何的傅立叶 变换，即求出多个不同θ值的F(R,θ) ； （2）利用(6-20)式，求出f ’ (x,y,θ); （3） 根据(6-21)式对于所有θ方向上的变换结果f ’ (x,y,θ) 求和，便可得到重建图像的像素值。
其中ρ为在空间域的投影轴，θ为投影轴与原坐标x轴所成的 夹角。 由投影切片定理可知空间域投影轴从x变到ρ，转过θ角度， 在变换域中切片也从u轴转到R轴，也旋转了θ角度。投影函 数的傅立叶变换由下式给出：
6.3.3 重建公式的实用化
6.3.3 重建公式的实用化
式( 6-18) 可写成极坐标（R,θ）形式：
6.2 图像重建的方法
在各种图像重建算法中，计算机断层扫描技术又称计 算机层析（CT）占有重要的地位。
计算机断层扫描技术的功能是将人体中某一薄层中的 组织分布情况，通过射线对该薄层的扫描、检测器对 透射信息的采集、计算机对数据的处理，并利用可视 化技术在显示器或其他介质上显示出来。这项技术的 重要基础是投影切片定理：即对于任何一个三维(二维) 物体，它的二维(一维)投影的傅立叶变换恰好是该物 体的傅立叶变换的主体部分。
图像重建是指根据对物体的探测获取的数据来重新建 立图像。用于重建图像的数据一般是分时、分步取得 的。 图像重建是图像处理中一个重要研究分支，其重要意 义在于获取被检测物体内部结构的图像而不对物体造 成任何物理上的损伤。 它在各个不同的应用领域中显示出独特的重要性。例 如：医疗放射学、核医学、电子显微、无线电雷达天 文学、光显微和全息成像学及理论视觉等领域都多有 应用。
可以看出，如果f(x,y)变换一个角度，则f(x,y)的频谱也将 旋转同样的角度。
6.2 图像重建的方法
因此，f(x,y)在X轴上投影的变换即为F(u,v)在u轴上的取值， 结合旋转性可得f(x,y)在与X轴成θ角的直线上投影的傅立叶变 换正好等于F(u,v)沿与u轴成θ角的直线上的取值。
6.2 图像重建的方法
如果从研究的图像维数来分，图像重建可以是针对一系列 沿直线投影图来重建二维图像，也可以是由一系列二维图 像重建波长不同，可以分为X射线成像、超声成像、微波 成像、激光共焦成像等。
6.1 图像重建概述
图像重建技术在许多科学领域得到广泛应用，其中最为显 著的是医学方面的应用。根据原始数据获取方法及重建原 理的不同可分为如下几种：
6.2 图像重建的方法
投影切片定理给出了图像在空间域上对X轴的投影与 在频率域u轴的切片之间的关系。 如果投影并非是对X轴进行，而是对与空间域的X 轴 成任意的角度θ的方向进行投影。
6.2 图像重建的方法
根据二维傅立叶变换的相似性定理，有：
6.2 图像重建的方法
于是傅立叶变换可以变为：
投影性质是利用线扩展函数进行系统辨别和计算机断层造 影术的基础。
6.3 傅里叶反投影重建
6.3.1 反投影重建的基本原理 6.3.2 重建公式的推导 6.3.3 重建公式的实用化
6.3 傅里叶反投影重建
对一个三维物体的内部信息，可以利用物体按某个方向分 解成多个薄片的了解，掌握其内部信息。 现实中许多物体不能被轻易切开（例如人体），为了无损 伤地探测内部信息，投影切片定理给出了很好的启示。
6.4 卷积法重建
在(6-19)式中，当用FFT计算投影数据的傅立叶变换时， 投影数据总被有限截断。当ρ的采样间隔为d时，在变换 域R的变化范围为从-1/2d到1/2d，于是投影反变换重建公 式可以近似写成：
6.4 卷积法重建
由前面的(6-20)和(6-16)式可知
6.4 卷积法重建
由式(6-35) 可以看出，要对已经得到的投影数据实现图像 重建，则可以采取两个步骤：首先将投影数据g(ρ,θ)先和 脉冲响应为式(6-34) 的滤波器进行卷积，然后由式(6-21) 对不同旋转角θ求和，就能实现图像重建。这就是采用卷 积法进行图像重建的基本思路和方法。 式(6-34) 表现出来的恰好是频率响应为｜R｜的滤波器， 通常称之为ρ滤波器。
6.3.3 重建公式的实用化
实现图像重建时首先需对对象进行离散采样和处理。
图6-7 实际对象的空间采样和投影情况
6.3.3 重建公式的实用化
将前面的连续方程(6-16)式改写为离散形式:
6.3.3 重建公式的实用化
6.3.3 重建公式的实用化
6.3.3 重建公式的实用化
这样便求得了数字计算的全部公式。实际执行时仍分三步： （1）据投影数据，对极轴变量m取一维傅立叶变换，即计算 (6-25)式，并据(6-28)式求出 （2）由(6-29)式或(6-30)式计算出的傅立叶反变换 f ’ (pε,qε, n△θ) （3）由(6-31)式计算出重建图像f (pε,qε)
放射断层重建成像(Emission Computed Tomograghy, ECT) 透射断层重建成像(Transmission Computed Tomography，TCT)
反射断层重建成像(Reflection Computed Tomography，RCT)
核磁共振重建成像(Magnitic Resonance Imaging，MRI)
6.3.1 反投影重建的基本原理
傅立叶反投影重建方法是最简单的一种变换重建方法。 最早于1974年由Shepp和Logan提出，该方法是建立在 “投影切片定理”这一理论基础之上的。 傅立叶反投影重建方法应首先建立好以连续实函数形式给 出的数学模型，然后利用反变换公式求解未知量，并适当 调节反变换公式以适应在离散、有噪声干扰等条件下的应 用需求。
6.1 图像重建概述
6.1 图像重建概述
图像重建经多年研究已取得巨大进展，产生了许多有效的 算法，如：傅立叶反投影法、卷积反投影法、代数法、迭 代法等，其中以卷积反投影法运用最为广泛。
近年来，由于与计算机图形学相结合，把多个二维图像合 成三维图像，并加以光照模型和各种渲染技术，已能生成 各种具有强烈真实感的高质量三维人工合成图像。
6.6 重建的优化问题
考虑无噪声情况，把图像表达成按行堆积的向量： （6-36） 式中，fi表示第i行向量，i＝1，2，…，N，所以f 为N 2×1 维之列向量，它在转角为θk射线方向的投影为 （6-37） 即假设也有N个分量，对于p个θ转角，可得到一个按每个 角度投影堆积而成的向量 （6-38）
6.5 代数重建方法
代数重建技术就是事先对未知图像的各像素给予一个初 始估值，然后利用这些假设数据去计算各射束穿过对象 时可能得到的投影值（射影和），再用它们和实测投影 值进行比较，根据差异获得一个修正值，利用这些修正 值，修正各对应射线穿过的诸像素值。如此反复迭代， 直到计算值和实测值接近到要求的精确度为止。
则投影函数的傅立叶变换可以写成
在θ角不同的各个方向上获得空间域上的投影数据，根据投影切片定理在变 换域上得到对应的切片数据。然后利用下式进行傅立叶反变换：
6.3.2 重建公式的推导
如果需要重建三维实体图像，很容易推广到三维：
6.3.3 重建公式的实用化
要使上述的反变换方法付诸实践，需要将连续函数形式转 为离散形式。为方便后边的讨论，改写公式(6-7)为：
6.6 重建的优化问题
一种优化准则可以选为：重建图像像素和其邻域象素灰度 相近。这是一种平滑准则，即准则函数可以选择
式中，C为8邻点平滑矩阵或基于二阶导数或四阶导数之 平滑矩阵，它是一个半正定阵。因此有 ，当各点 象素值相同时，它等于零。所以，准则函数（6-41）式未 必能得到唯一解。如果再加上能量条件，即选择
6.6 重建的优化问题
设投影值是图像像素之线性组合，即
区域Di（i=1,2,…,pN）表示对投影值g k,l有贡献的所有图像 像素所决定的区域。于是式（6-39）又可表示成：
式中
6.6 重建的优化问题
当p = N时，方程（6-40）有唯一解，当p < N时，方程 （6-40）是超定的或者是过定的，它有不定解或无穷多种 解。 当P > N时，方程（6-40）是欠定的，此时方程组没有解， 该方程组称为不相容的（或矛盾的）线性方程组。 通常p < N，即方程组一般是超定的或是多解的，因此， 涉及如何解相容线性方程组的问题。希望从这些解中找出 一个满足一定优化条件的最优解，从而使重建后图像最接 近原图像f。
投影切片定理给出了射线沿y轴方向穿透物体薄片对X轴 投影的傅立叶变换与物体薄片的频域函数F(u,v)沿u轴的切 片相等。利用二维傅立叶变换的旋转性质可知，如果围绕 物体薄片，改变θ角得到多个投影，就可以获得该物体薄 片在频域上相应各个方向的频谱切片，从而了解到该薄片 的整个频谱。通过傅立叶反变换就能得到物体薄片在空间 域中的图像。
图6-2 等强度射线穿透不同组织的情况
图6-2表示等强度的射线透过不同密度分布时的情况。
6.1 图像重建概述
根据被用于图像重建的数据获取方式不同，可以分为透射 断层成像、发射断层成像和反射断层成像。