4.3梁的内力图-剪力图和弯矩图-精品文档
梁的内力图—剪力图和弯矩图(23)
6kN
1
1
A 2mΒιβλιοθήκη 6kN m2 q 2kN m 3 4
5
B
2
34
5
C
3m
3m
FQ1 6kN M1 6 2 12kNm FQ2 6 13 7kN M 2 6 2 12kNm
FA 13kN
问题：最大内力的数
FB 5kN
FQ3 6 13 23 1kN
变化的（有的大、有的小）。
一、 梁的内力图—剪力图和弯矩图
1 、剪力方程和弯矩方程
由前面的知识可知：梁的剪力和弯矩是随截面位置
变化而变化的，如果将x轴建立在梁的轴线上，原点取 在梁左端，向右为正向, 坐标x表示截面位置，则FQ和M
就随x的变化而变化，V和M就是x的函数，这个函数式就 叫剪力方程和弯矩方程。
南充职业技术学院土木工程系建筑力学多媒体课件
任课 陈德先 教师
授课 12造价与建 班级 筑
授课 时间
2013/
学 时
4
课 剪力图和弯矩图 题
课型 新授课
教学 方法
讲练结合法
教学 熟练列出剪力方程和弯矩方程、并绘制剪力图和弯矩图； 目的 利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯
矩图.
教学 剪力图和弯矩图；剪力、弯矩和荷载集度的微分关系及其 重点 应用.
l，求梁剪力、弯矩方程的微分，并画剪力、弯矩图。
q
解 :1.建立剪力、弯矩方程
A x
B
l
FQ x
ql ql 2/2
FQ (x) qx M (x) qx x qx2
22
2.对剪力、弯矩方程取微分
dM (x) dx
梁弯矩图梁内力图(剪力图和弯矩图)
注：表中的K为轴向力变形影响的修正系数。
（1）无拉杆双铰拱
1）在竖向荷载作用下的轴向力变形修正系数
式中 Ic——拱顶截面惯性矩；
Ac——拱顶截面面积；
A——拱上任意点截面面积。
当为矩形等宽度实腹式变截面拱时，公式I＝Ic/cosθ所代表的截面惯性矩变化规律相当于下列的截面面积变化公式：
简单载荷梁力图（剪力图与弯矩图）
梁的简图
剪力Fs图
弯矩M图
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ注：外伸梁 = 悬臂梁 + 端部作用集中力偶的简支梁
表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征
某一段梁上的外力情况
剪力图的特征
弯矩图的特征
无载荷
水平直线
斜直线
集中力
突变
转折
集中力偶
无变化
突变
均布载荷
斜直线
抛物线
零点
极值
表3 各种约束类型对应的边界条件
2）三跨等跨梁的力和挠度系数 表2-12
注：1．在均布荷载作用下：M＝表中系数×ql2；V＝表中系数×ql； 。
2．在集中荷载作用下：M＝表中系数×Fl；V＝表中系数×F； 。
3）四跨等跨连续梁力和挠度系数 表2-13
注：同三跨等跨连续梁。
4）五跨等跨连续梁力和挠度系数 表2-14
注：同三跨等跨连续梁。
注：1．在均布荷载作用下：M＝表中系数×ql2；V＝表中系数×ql； 。
2．在集中荷载作用下：M＝表中系数×Fl；V＝表中系数×F； 。
[例1] 已知二跨等跨梁l＝5m，均布荷载q＝11.76kN/m，每跨各有一集中荷载F＝29.4kN，求中间支座的最大弯矩和剪力。
梁弯矩图梁内力图(剪力图与弯矩图)
简单载荷梁内力图（剪力图与弯矩图）注：外伸梁 = 悬臂梁 + 端部作用集中力偶的简支梁表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征表3 各种约束类型对应的边界条件注：力边界条件即剪力图、弯矩图在该约束处的特征。
常用截面几何与力学特征表表2-5 word范文word范文word范文word范文word范文word范文word范文.word 范文注：1．I 称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm 4）。
基本计算公式如下：⎰•=AdA yI 22．W 称为截面抵抗矩（mm 3），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：maxy I W =3．i 称截面回转半径（mm ），其基本计算公式如下：AIi =4．上列各式中，A 为截面面积（mm 2），y 为截面边缘到主轴（形心轴）的距离（mm ），I 为对主轴（形心轴）的惯性矩。
5．上列各项几何及力学特征，主要用于验算构件截面的承载力和刚度。
2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10）（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9（5）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-103．等截面连续梁的内力及变形表（1）等跨连续梁的弯矩、剪力及挠度系数表（表2-11~表2-14）1）二跨等跨梁的内力和挠度系数表2-11注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2；V ＝表中系数×ql ；EI w 100ql 表中系数4⨯=。
2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ；EIw 100Fl 表中系数3⨯=。
[例1] 已知二跨等跨梁l ＝5m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，每跨各有一集中荷载F ＝29.4kN ，求中间支座的最大弯矩和剪力。
剪力图和弯矩图
2 括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。
FS(x)qx (0xl) M(x)1qx2 (0xl)
2 剪力图为一斜直线
FS(0) 0 FS(l) ql
弯矩图为二次抛物线
M (0) 0 M ( l 2 ) 1 ql 2
8 M ( l ) 1 ql 2
绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。
Fs(x)
o
x
o
x
Fs 图的坐标系
M(x) M 图的坐标系
不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起 正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
例题：图示简支梁 ，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。 试作此梁的剪力图和弯矩图。
FS 称为 剪力
y
FA
m
C
A
xm
FS x
由平衡方程
a
P
m
m C0
MFAx0
A
B
m
可得 M = FAx
x
内力偶 M 称为 弯矩
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
结论
a
P
m
梁在弯曲变形时，
横截面上的内力有
A
B
两个，即，
m x
剪力 FS 弯矩 M
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
取右段梁为研究对象。
y
FA
m FS
-
FS FS
dx
（2）弯矩符号 横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为 正 。
剪力图和弯矩图
内力图：为了形象直观地表示内力沿截面位置变化的规律，通常将内力随截面位置变化的情况绘成图形，这种图形叫内力图。
它包括轴力图、扭矩图、剪力图和弯矩图。
内力图(图)外伸梁的剪力图和弯矩图内力图的规律：1、在无荷载作用区，当剪力图平行于x轴时，弯矩图为斜直线。
当剪力图为正时，弯矩图斜向右下；当剪力图为负时，弯矩图斜向右上。
2在均布荷载作用下的规律是：荷载朝下方，剪力往右降，弯矩凹朝上。
3、在集中力作用处，剪力图发生突变，突变的绝对值等于集中力的大小；弯矩图发生转折。
4、在集中力偶作用处弯矩图发生突变，突变的绝对值等于该集中力偶的力偶矩；剪力图无变化。
5、在剪力为零处有弯矩的极值弯矩图：弯矩图是一条表示杆件不同截面弯矩的曲线。
这里所说的曲线是广义的，它包括直线、折线和一般意义的曲线。
弯矩图是对构件弯矩的图形表示，弯矩图画在受拉侧，无须标正负号。
特性：弯矩图的绘制主要有两个关键点：一是要准确画出曲线的形状，即确定弯矩图的图形特征：二是确定曲线的位置，即在已知曲线的形状、大小之后确定平面曲线的位置，这就要求先确定曲线上任意两点的位置，此处所指两点的位置即指某两个截面处的弯矩值。
可见，弯矩图的绘制主要指完成以下两项工作：（1）确定图形特征及特征值；（2）得出某两个截面处的弯矩值。
基础：1、熟悉单跨梁在各种荷载独立作用下的弯矩图特征：比如悬臂梁在一个集中荷载作用下．其弯矩图的特征是一个直角三角形；悬臂梁在均布荷载作用于全长上时，其弯矩图为一个曲边三角形等。
单跨梁在一种荷载作用下的弯矩图。
2、杆件某段两端点弯矩值的确定杆件某段两端点弯矩值一般有下面三种情况：（1）无铰梁段：一般要先算出粱段两端截面处的弯矩值。
（2）梁段中间有一个铰：因已知无外力偶矩的铰处弯矩为零，只须另算一处截面的弯矩即可。
（3）梁段中间有两个铰：这两铰处的弯矩都为零，可直接按简支梁弯矩图特征画出弯矩图。
剪力图和弯矩图(史上最全面)
内力的代数和。
Q(P1P2 Pn) Q1(P1) Q2(P2) Qn(Pn)
M (P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。
27
二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 ——叠加方法
Q(+)
Q(+)
Q(–)
Q(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。
M(+)
M(+)
M(–)
M(–)
13
二、例题
[例2]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。
qL 1 1a
2q 2b
解：截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体 如图（b）示。
y x
图（a）
qL
A
同时可以提前讲内力图的对称关系 2、改错
见下页PPT 3、由Q图作M图和载荷图P135 4.16(b)
由M图作Q图和载荷图P135 4.17(a) 4、讲解组合梁的内力图P130 4.6(a)
24
[例6] 改内力图之错。 qa2
A
a
a
2a
Q qa/4
qa/4
+
–
–
3qa/4
5qa2/4 3qa2/2 49qa2/32
梁弯矩图梁内力图(剪力图与弯矩图)
简单载荷梁内力图（剪力图与弯矩图）表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征表3 各种约束类型对应的边界条件注：力边界条件即剪力图、弯矩图在该约束处的特征。
常用截面几何与力学特征表表2-5注：1．I 称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm 4）。
基本计算公式如下：⎰•=AdA yI 22．W 称为截面抵抗矩（mm 3），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：maxy I W =3．i 称截面回转半径（mm ），其基本计算公式如下：AIi =4．上列各式中，A 为截面面积（mm 2），y 为截面边缘到主轴（形心轴）的距离（mm ），I 为对主轴（形心轴）的惯性矩。
5．上列各项几何及力学特征，主要用于验算构件截面的承载力和刚度。
.\2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10）（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9（5）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-103．等截面连续梁的内力及变形表（1）等跨连续梁的弯矩、剪力及挠度系数表（表2-11~表2-14）1）二跨等跨梁的内力和挠度系数表2-11注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2；V ＝表中系数×ql ；EIw 100ql 表中系数4⨯=。
2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ；EIw 100Fl 表中系数3⨯=。
[例1] 已知二跨等跨梁l ＝5m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，每跨各有一集中荷载F ＝29.4kN ，求中间支座的最大弯矩和剪力。
[解] M B 支＝（－0.125×11.76×52）＋（－0.188×29.4×5）＝（－36.75）＋（-27.64）＝－64.39kN ·m V B 左＝（－0.625×11.76×5）＋（－0.688×29.4）＝（－36.75）＋（－20.23）＝－56.98kN[例2] 已知三跨等跨梁l ＝6m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，求边跨最大跨中弯矩。
梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图
F AX
l
F
FS x F B M x Fx
kN
FL
0 xL 0x L
kNm
8
例题 4.6
图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图.
20kN 40kN m
X1 A 1m 35kN
15
20
kN
20
10kN m
4m
2.5
FS x1 20kN
X2
B
0 x1 1
25kN
M x1 20x1
F+qL
1/2qL2+FL
FL
q B
l
qL
1/2qL2
19
例题 4.14
F A
m 1 Fl
4A
F
C
B
B
l2 l2
1 Fl 4
-
+ 1 Fl 8
l2 l2
+
1 Fl 4
A C
m 1 Fl 4 C
l
1 Fl
-4
20
例题 4.15
6kN
6kN 2kN m
AC
B
D
2m 2m 2m
4
+
-
6
+
4
2kN m 2m 2m 2m
M2 M1
x2 x1
FS x
11
dx
q
A
C
D
B
FA
a
c
l
b
FB
FA +
x
-
FB
+
FAa
FBb
12
例题
4.7 4.8
a
F
4.4.3静定梁的内力方程及内力图
4.4.3
梁的内力方程及 内力图
剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程
• 若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的 位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示 为坐标x的函数，即 • Q=Q(x) • M=M(x) • 以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线 的变化规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩 方程。
பைடு நூலகம் x=0，MA=0
x=l/2，MC=ql2/8 x=l，MB=0 弯矩图如图9.15(c)所示。 从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值为｜Qmax｜=ql/2，最 大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值为｜Mmax｜=ql2/8。
【例 9.6】简支梁受集中力P作用如图9.16(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩 图。 【解】(1) 求支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程求支座反力。 ∑mB(F)= 0，-RAl+Pb=0 RA=Pb/l ∑Fy=0，RA+RB-P=0 RB=Pa/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力P作用，AC段和CB段所受的外力不同，其剪力方 程和弯矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端A为坐标原点
剪力图和弯矩图
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律， 把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图 和弯矩图。 剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相 似，用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置， 用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。
在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方， 负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯 矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。
梁的内力 剪力弯矩方程 剪力弯矩图
(3)若某截面处FS=0
dF S dx
q(x)
dM dx
FS
d M dx
2
2
q(x)
则该截面上M取极值：当q>0, M取到极小值 当q<0, M取到极大值 （4）集中力F作用处，FS突变，跳跃值为F，M有尖点； q>0 q<0
集中力偶M作用处，M突变，跳跃值为M， FS不受影响。 F M
例题
例 题 2
2qa
A
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
qa2 q
B C
解： 1.求约束力
FB q 2 a a 2 qa 3 a qa 2a 7 2 qa ( )
2
D
a
3 2 qa
FB a
a
a 2
FD
F D 4 qa
7 2
qa
1 2
qa ( )
D
FD
FD
F Ax 1 2 2 ( kN )( )
A
FAx
FAy
2m
F Ay 5 3 2 kN ( )
例题
例 题 4
5kN B
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
4kN· m C
2.作内力图 D 3kN 轴力图： AB段 F N 2 kN
1m
1m
(F S )
1 qa
2
2.作内力图
1 2 qa
M
7 2
1 4 qa
2
B
2 qa
2
2qa (M)
qa
8
第四章 梁的内力
q=2kN/m MC B
M C ( F ) 0
l ql 2 M C FB 4.5kN m 2 8
l/4 FSC
FSC
l/2
FB
图4.11
三、用直接法求剪力、弯矩 F=5kN
直接法：梁任一横
截面上的剪力在数 值上等于该截面一
(a)
q=2kN/m
F=5kN
A C l/4 FA l/4
F
A
B
x
例题：作悬臂梁的剪
x
l FS
x
力图和弯矩图。
解：建立坐标系，将坐 标原点取在梁的左端， 写出梁的剪力方程和弯 矩方程 ：
FS图
F
FS (x) F
x
(0 x l) (0 x l)
M(x) Fx
M
M图
x 0时，M(0) 0 x l时， M(l) Fl
FRA
A
x
q
FRB
例题：作如图简支梁
的剪力图和弯矩图。
解：先求两个支反力
FRA FRB ql 2
B
l
FRA
A
q
M(x) FS (x)
建立坐标系，梁的剪力
x
方程和弯矩方程为：
ql FS (x) FRA qx qx (0 x l) 2 x qlx qx 2 M(x) FRA x qx (0 x l) 2 2 2
FRA
A
x
q
FRB
由弯矩方程得弯矩图为一 条二次抛物线。
B
l
x 0,
M 0
ql 2
x =l ,
解：1、求截面C的剪力和弯矩
梁弯矩图梁内力图(剪力图和弯矩图)
简单载荷梁力图（剪力图与弯矩图）各种载荷下剪力图与弯矩图的特征表2表3 各种约束类型对应的边界条件常用截面几何与力学特征表表2-5注：1．I 称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm 4）。
基本计算公式如下：⎰•=AdA yI 22．W 称为截面抵抗矩（mm 3），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：maxy I W =3．i 称截面回转半径（mm ），其基本计算公式如下：AIi =4．上列各式中，A 为截面面积（mm 2），y 为截面边缘到主轴（形心轴）的距离（mm ），I 为对主轴（形心轴）的惯性矩。
5．上列各项几何及力学特征，主要用于验算构件截面的承载力和刚度。
2．单跨梁的力及变形表（表2-6~表2-10）（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9（5）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-103．等截面连续梁的力及变形表（1）等跨连续梁的弯矩、剪力及挠度系数表（表2-11~表2-14）1）二跨等跨梁的力和挠度系数表2-11注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2；V ＝表中系数×ql ；EIw 100ql 表中系数4⨯=。
2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ；EIw 100Fl 表中系数3⨯=。
[例1] 已知二跨等跨梁l ＝5m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，每跨各有一集中荷载F ＝29.4kN ，求中间支座的最大弯矩和剪力。
[解] M B 支＝（－0.125×11.76×52）＋（－0.188×29.4×5）＝（－36.75）＋（-27.64）＝－64.39kN ·m V B 左＝（－0.625×11.76×5）＋（－0.688×29.4）＝（－36.75）＋（－20.23）＝－56.98kN[例2] 已知三跨等跨梁l ＝6m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，求边跨最大跨中弯矩。
5章-梁的剪力图与弯矩图
第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
变化区间——控制面
外力规律发生变化截面——集中力、集中力偶 作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面。
第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
对梁进行强度计算，需要知道哪些横截面可能最先 发生失效，这些横截面称为危险面。弯矩和剪力最大的 横截面就是首先需要考虑的危险面。研究梁的变形和刚 度虽然没有危险面的问题，但是也必须知道弯矩沿梁长 度方向是怎样变化的。
第5章 梁的剪力图与弯矩图
弯曲时，由于横截面上应力非均匀分布，失效当然最 先从应力最大点处发生。因此，进行弯曲强度计算不仅要 考虑内力最大的“危险截面”，而且要考虑应力最大的点， 这些点称为“危险点”。
桥式吊车的大梁 可以简化为两端饺支 的简支梁。在起吊重 量(集中力FP)及大梁自 身 重 量 ( 均 布 载 荷 q) 的 作用下，大梁将发生 弯曲。
第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定 成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷 作用下，反应塔将发生弯曲变形。
梁的内力及其与外力的相互关系
根据以上分析，不难得到结论： 杆件各截面上内力变化规律随着外力的 变化而改变。
第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变 化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力 作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁 所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程 或者同一图线描述。
梁的剪力和弯矩概念讲解(剪力图弯矩图,含例题)
X2
40 kN m
A
35kN
B
FS x1 20kN
M x1 20 x1
0 x1 1 0 x1 1
1m
15
4m
2.5
25kN
FS x2 25 10 x2
25
2 x2 M x2 25 x2 10 2
20
20
kN
0 x2 4
F=8kN
2、计算1-1
截面的内力 F A
3、计算2-2
FS1
q=12kN/m
M 1 F F F 7kN S1 A M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
FS2 q 1.5 FB 11kN
FB
截面的内力
M2
FS2
M 2 FB 1.5 q 1.5
M ＞0
M＜0
剪力：使脱离体有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负； 弯矩：使脱离体产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。
6.2
例 题
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
2 Fl
F
A
l
FCs
C
l
D
B
截面法求解
2 Fl
D
FCs F
C截面
F
B
M C Fl
FDs F
MC C
FDs
MD
D
l
F
B
D截面
2q1 x FA 2 x
x
l 2m a 0 .6 m
2 l a M C FA l a q
2
0
2q1 x 1.4 2 1.4 q 0 2 x 2
梁的内力图2-2-3-1
注：最后利用规律3、4、5校核 规律3 规律
例： 画出 V图和 M 图。 图和 解：1、求反力 由∑MA= 0，FB= 148 kN. ， ∑MB= 0，FA= 72 kN. ， 2、判断各段V、M图形状 判断各段V 分段 q V M AC q=0 水平线 斜直线 CB q=c＜0 ＜ 下斜直线 下凸曲线 下凸曲线 BD q=c＜0 ＜ 下斜直线 下凸曲线 下凸曲线 A FA
0
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 分段建立方程， 分段建立方程，依方程而作图。
0 x x
M
二 、列方程法画内力图（基本方法） 列方程法画内力图（基本方法） 列方程法画内力图 例：简支梁受均布荷载作用，如图示， 简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1 、求支座反力 (利用结构对称 利用结构对称 性简化计算； 性简化计算；悬臂结构可不求反力）
2
、剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标， 以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直 于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标， 于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘 制表示V(x) M(x)的图象 V(x)和 的图象。 制表示V(x)和M(x)的图象。这种图象分别称为 剪力图和弯矩图，简称V图和M 剪力图和弯矩图，简称V图和M图。 绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧， 绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧， 负号的剪力画在x轴的下侧；正弯矩画在x 负号的剪力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下 负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受 侧，负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受 拉的一侧。 拉的一侧。 V
A FA V
(kN)
1
4.3梁的内力图-剪力图和弯矩图
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记住：梁的两端无集中力偶作用，弯矩必为零。这 种通过对特定梁的内力图的讨论，探究内力图的一 般规律，并用该规律简捷绘制梁的内力图的方法， 是工作中分析问题、解决问题的一种常用方法。
三、 梁内力图的绘制
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[ 观察与思考] 试根据梁内力图的规律，判别下图 所示各梁的剪 力图和弯矩图是否正确，若有错请说明原因。
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二、 梁内力图的规律 1. 简支梁在简单荷截作用下的内力图 绘制梁的内力图的基本方法是：先建立剪力方程和 弯矩方程，再根据剪力和弯矩的函数关系，采用描 点法得到相应的剪力图和弯矩图。表4-1 是应用这 种方法绘制出的简支梁在简单荷载作用下的内力图， 读者可用截面法计算指定截面内力的方法加以验证。
4.3 梁的内力图——剪力图与弯矩图
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一、 剪力图和弯矩图的概念 在工程中，了解剪力和弯矩在全梁内沿梁轴线的分布情况，知 道剪力和弯矩的最大值及其所在横截面的位置，有助于施工人 员理解图纸的设计意图，从而采用正确的施工方法。若用平行 于梁轴的横坐标表示梁横截面的位置，用垂直于梁轴的纵坐标 表示相应横截面上的剪力或弯矩，按一定比例绘制出来，这种 形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线变化情况的图形，分别称为剪 力图和弯矩图，即梁的内力图。 在绘制梁的内力图时，习惯上正剪力画在横坐标轴的上方，负 剪力画在横坐标轴的下方（画剪力图时要求标出正负号）；而 把弯矩图画在受拉侧（即正弯矩画在横坐标轴的下方，负弯矩 画在横坐标轴的上方，由于弯矩图画在梁的受拉侧，故弯矩图 的正负号可标可不标）。将弯矩图画在梁轴线受拉一侧的目的， 是便于在混凝土梁中配置钢筋，即混凝土梁的受力钢筋基本上 配置在梁的受拉一侧。
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2. 梁内力图的绘制 例1:如图a 所示外伸梁，已知F=5 kN，q=4 kN/m， 试绘制梁的内力图。
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2. 直梁在简单荷载作用下的内力图特征 直梁在简单荷载作用下的内力图特征见表4-2。
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3. 梁内力图的规律 （1） 无荷载区：剪力图为零线，弯矩图为水平直线；剪力图为 水平直线，弯矩图为斜直线。 （2） 集中力作用处：剪力图突变，突变的绝对值等于集中力的 大小，突变的方向与集中力方向相同；弯矩图折成尖角，尖角 方向与集中力方向相同。 （3） 集中力偶作用处：剪力图无变化；弯矩图突变，突变的绝 对值等于力偶矩的大小，突变的方向为顺时针力偶向下降，逆 时针力偶向上升。 （4） 均布荷载区：当均布荷载作用方向向下时，剪力图为下倾 斜直线，变化的绝对值等于均布荷载的合力；弯矩图为向下凸 的抛物线。 （5） 剪力与弯矩的关系：当剪力图为正时，弯矩图斜向右下方； 当剪力图为负时，弯矩图斜向右上方；剪力为零的截面，弯矩 有极值；梁后控制截面弯矩等于前控制截面弯矩加上前后截面 间剪力图的“面积”。
4.3 梁的内力图——剪力图与弯矩图
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一、 剪力图和弯矩图的概念 在工程中，了解剪力和弯矩在全梁内沿梁轴线的分布情况，知 道剪力和弯矩的最大值及其所在横截面的位置，有助于施工人 员理解图纸的设计意图，从而采用正确的施工方法。若用平行 于梁轴的横坐标表示梁横截面的位置，用垂直于梁轴的纵坐标 表示相应横截面上的剪力或弯矩，按一定比例绘制出来，这种 形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线变化情况的图形，分别称为剪 力图和弯矩图，即梁的内力图。 在绘制梁的内力图时，习惯上正剪力画在横坐标轴的上方，负 剪力画在横坐标轴的下方（画剪力图时要求标出正负号）；而 把弯矩图画在受拉侧（即正弯矩画在横坐标轴的下方，负弯矩 画在横坐标轴的上方，由于弯矩图画在梁的受拉侧，故弯矩图 的正负号可标可不标）。将弯矩图画在梁轴线受拉一侧的目的， 是便于在混凝土梁中配置钢筋，即混凝土梁的受力钢筋基本上 配置在梁的受拉一侧。
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（2） 绘制剪力图( 图4b)。看荷载图，跟集中力、均布荷载 走，绘制过程见表4-5。
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（3） 绘制弯矩图（图c）。有力偶，跟剪力图走，绘制过程 见表4-6。 （4） FS 图、M 图均自行封闭，骤及其要点——五步绘图法 （1） 求支座反力。 （2） 找控制截面。梁的起、止截面，均布荷载的 起、止截面，集中力（包括中间的支座反力）及集 中力偶作用截面，剪力为零的截面。 （3） 绘制剪力图。利用内力图的规律，看荷载图， 跟集中力、均布荷载走。 （4） 绘制弯矩图。利用内力图的规律，看荷载图 中有无集中力偶［梁的两端无集中力偶作用，弯矩 必为零；梁的截面处有集中力偶作 用，按内力图规律第（3）条绘制］，跟剪力图走。 （5） 检查校对。剪力图、弯矩图自行封闭，绘图 正确，否则绘图错误。
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记住：梁的两端无集中力偶作用，弯矩必为零。这 种通过对特定梁的内力图的讨论，探究内力图的一 般规律，并用该规律简捷绘制梁的内力图的方法， 是工作中分析问题、解决问题的一种常用方法。 三、 梁内力图的绘制
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[ 观察与思考] 试根据梁内力图的规律，判别下图 所示各梁的剪 力图和弯矩图是否正确，若有错请说明原因。
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2. 梁内力图的绘制 例1:如图a 所示外伸梁，已知F=5 kN，q=4 kN/m， 试绘制梁的内力图。
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(3) 绘制弯矩图(图c)。无力偶，跟剪力图走，绘制过程见表4-4。
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（4） FS 图、M 图均自行封闭，绘图正确。 通过观察本例 可以发现：因为该外伸梁结构的几何 形状、受到的竖向荷载均左右相同，具有对称性， 所以弯矩图在对称位置的弯矩数值和符号相等，具 有对称性（工程上把这种对称称为正对称），剪力 图在对称位置的剪力数值相等、符号相反，也具有 对称性（工程上把这种对称称为反对称）。土木工 程中对称结构使用非常广泛，一方面对称美符合人 们的审美要求，另一方面结构受力合理，不仅可以 简化计算，而且也可以简化设计计算和提高施工的 效率。
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二、 梁内力图的规律 1. 简支梁在简单荷截作用下的内力图 绘制梁的内力图的基本方法是：先建立剪力方程和 弯矩方程，再根据剪力和弯矩的函数关系，采用描 点法得到相应的剪力图和弯矩图。表4-1 是应用这 种方法绘制出的简支梁在简单荷载作用下的内力图， 读者可用截面法计算指定截面内力的方法加以验证。