【高等数学课件共60课时】备课笔记- (2)
(完整版)高等数学笔记
(完整版)高等数学笔记第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1。
函数的定义: y=f(x ）， x ∈D定义域： D(f ）, 值域: Z(f ）。
2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3。
隐函数： F(x,y ）= 04。
反函数： y=f （x) → x=φ(y ）=f —1(y ）y=f -1(x)定理:如果函数: y=f （x), D （f ）=X ， Z （f ）=Y 是严格单调增加（或减少）的； 则它必定存在反函数：y=f —1（x)， D （f —1）=Y, Z （f —1)=X 且也是严格单调增加（或减少）的。
㈡ 函数的几何特性1。
函数的单调性： y=f （x ），x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2)，则称f(x ）在D 内单调增加（ )；若f （x 1)≥f(x 2），则称f(x)在D 内单调减少( );若f(x 1）＜f （x 2)，则称f （x)在D 内严格单调增加( ）；若f(x 1)＞f （x 2)，则称f(x)在D 内严格单调减少（ ).2。
函数的奇偶性：D(f ）关于原点对称 偶函数：f(—x ）=f （x) 奇函数：f （-x ）=-f （x ） 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x ）, x ∈(-∞，+∞) 周期：T-—最小的正数4。
函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1。
常数函数： y=c ， (c 为常数）2.幂函数： y=x n， （n 为实数）3.指数函数: y=a x， （a ＞0、a ≠1） 4.对数函数： y=log a x ,（a ＞0、a ≠1） 5。
三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6。
反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x ， y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1。
【高等数学课件共60课时】备课笔记- (3)
求(1)f (x)的定义域；(2) (3)作出 f (x)的图象. (2)
1 1 2 1 f( )( ) , 2 2 4
x
1
1 f ( ) ,f 2
(2);
解: (1) f (x)的定义域为[0,+∞);
f ( 2) 1;
(3)
o
1
y
3.几个特殊的函数 (1) 符号函数
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
则称函数 f ( x )在区间I上是单调增加的;
y
y f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 D, 区间I D,
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
3. y 1, y sin x cos x .
2 2
2.分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则 用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.
例 如, x 2 1, f ( x) 2 x 1,
y x2 1
y 2x 1
x0 x0
x2 , 0 x 1 例3 设 f ( x ) x1 1,
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
3.函数的奇偶性
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数;
y
y f ( x)
00023高等数学(工本) 笔记
高等数学是大学阶段数学的重要学科，是理工科学生必修的一门课程。
它不仅是理工科学生的必修课，也是数学专业学生的基础课，其内容包括微积分、复变函数、常微分方程、泛函分析等。
它为学生提供了深刻的数学基础，培养了学生的数学思维和分析解决问题的能力。
以下将对高等数学做一个全面的评估，并撰写一篇深入、广泛的文章。
一、微积分微积分是高等数学中的重要组成部分，涉及到导数、积分、微分方程等内容。
在微积分中，我们学习了函数的极限、导数、微分、积分等内容，在实际运用中常常用于求解函数的极值、曲线的切线方程、定积分的应用等。
二、复变函数复变函数是高等数学中的一门重要课程，其内容包括复数、解析函数、留数定理等。
复变函数的概念和方法对数学、物理、工程等领域具有重要的应用价值，是现代科学技术发展中的重要工具。
三、常微分方程常微分方程是高等数学中的一门重要课程，其内容包括一阶微分方程、高阶微分方程、微分方程的解法等。
常微分方程在科学技术发展中有着广泛的应用，例如在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
四、泛函分析泛函分析是高等数学中的一门重要课程，其内容包括巴拿赫空间、希尔伯特空间、算子理论等。
泛函分析在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用，是数学的重要分支之一。
通过以上论述，我们可以看出高等数学在提升学生的数学素养、提高学生的分析问题的能力方面起着至关重要的作用。
它在实际的科学、技术领域中也有着广泛的应用，对于培养学生的科学技术素养有着重要的作用。
在我个人看来，高等数学是一门非常重要的学科，它不仅有着深厚的理论基础，同时也有着广泛的应用价值。
通过学习高等数学，可以培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
我认为高等数学是大学阶段不可或缺的一门重要学科。
高等数学是一门具有深刻理论基础和广泛应用价值的学科，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力有着重要的作用。
通过学习高等数学，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，为他们未来的学习和工作打下坚实的数学基础。
(完整版)高等数学笔记
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim 称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界. 2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：A x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x→时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(limx f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
《高等数学》笔记-知识归纳整理
- 1 -第一章 函数与极限第一节 函数1.区间(interval):介于某两个实数之间的全体实数构成区间.这两个实数叫做区间的端点..,,b a R b a <∈∀且}{b x a x <<开区间),(b a 记作}{b x a x ≤≤闭区间],[b a 记作ox a bo xab}{b x a x <≤}{b x a x ≤<左闭右开区间左开右闭区间),[b a 记作],(b a 记作}{),[x a x a ≤=+∞}{),(b x x b <=-∞o x aoxb注:两端点间的距离称为区间的长度.无穷区间2 邻域.0,>δδ且是两个实数与设a ,叫做这邻域的中心点a .叫做这邻域的半径δ.}{),(δδδ+<<-=a x a x a U xaδ-a δ+a δδ,}{邻域的称为点数集δδa a x x <-记作二、函数的概念1.函数的定义函——信函单值对应多值函数不是函数自变量因变量对应法则(())x )(0x f f xyDW------函数的定义域D 和函数的对应规律f 函数的值域称为派生要素。
2. 函数的两个要素w={y │y=f(x), x ∈D}xaδ- a δ+ a δδ,邻域 的去心的 点 δa) , ( δ a U记作 .}0{),(δδ<-<=a x x a U知识归纳整理- 2 -❖定义域的求法❖在实际问题中，定义域由实际问题的具体条件来确定。
（即使实际问题故意义的取值范围）。
如时光、长度、分量必须大等于0 。
❖对于数学式子表达的函数，如果给出了取值范围就不必再求。
否则，则是使解析式故意义的x的集合（使对应的函数值唯一确定）。
1. 在分式中，分母应不为0；2. 在偶次根式中，被开方数不能为负数；3. 在对数式中，真数不能为0和负数；▪ 4. 在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；▪ 5. 若函数表达式中含有分式、根式、对数式、反三角函数式等，则应取各部分定义域的交集。
(完整版)高等数学完全归纳笔记(全)
一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (9)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (12)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
【高等数学课件共60课时】备课笔记- (9)
20
二 导数的定义
定义 设函数y= f (x)在点x0的某个邻域 内有定义,当自变量x在x0取得增量Δx时(点 x0+Δx趋仍在该邻域内),y相应地取得增量 Δy= f (x)-f (x0),若 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x0 x 存在,则称其极限值为函数y=f (x)在点x0处 的导数,记为
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值： x x y ( 3) 取极限： y lim x 0 x
25
例 1 求函数y=x2的导数. 解：y f ( x x ) f ( x )
( x x )2 x 2 2 2 xx ( x ) 2 y 2 xx ( x ) 2 x x x x
f ( x 0 ) ,
或y
x x0
dy , 或 dx
x x0
21
即
y f ( x0 ) lim x 0 x f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim x 0 x
22
函数f (x)在点x0存在导数,就说 函数f (x)在点x0可导.如果在该点导 数不存在,就说函数在该点不可导. 如果函数f (x)在区间(a,b)内的每一点 都可导,则称函数在区间(a,b)内可导.此时 对于每一个x∈(a,b),都有导数 f ( x ) 对应, 所以 f ( x ) 是x的函数,这个函数称为函数 的导函数,记为 dy y, f ( x ) , dx f ( x x ) f ( x ) 即 f ( x ) lim x 0 x
23
说明 (1)导函数 f ( x )是一个函数, 导数 f ( x0 )则是一个数值。 (2) f ( x0 ) f ( x ) x x0 (3)在不致于发生混淆时，导 函数也称为导数。
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
高中数学课堂笔记-知识点
高中数学选修2----2知识点第一章导数及其应用 一． 导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆ 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln xf x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log x a f x =,则1()ln f x x a'=8 若()ln f x x =,则1()f x x '= 2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=•三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:(1)如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值； （2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题第二章 推理与证明把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
【高等数学课件共60课时】备课笔记- (21)
提出问题: 若 f ( x )dx F ( x ) C 成立, 则当 u ( x ) 时
由 f ( x )dx F ( x ) C
f (u)du F (u) C
是否成立?
dF( x ) f ( x )dx
根据微分形式的不变性,得
dF(u) f (u)du
归纳:
用第一类换元积分法计算积分时,关键 是把被积表达式凑成两部分,使其中一部分 为 f [ ( x )] ，另一部分为 d ( x ) ；因此又把 第一类换元积分法称为凑微分法。“凑”得 是否得当，它的标志是作变量代换后， f (u)du 是否易于用积分基本公式求出.
在凑微分时,常要用到下列微分式子: 1 1 2 1 .dx d (ax b ) ; 2. xdx dx ; a 2 3 . cos xdx d sin x ; 4. sin xdx d cos x ;
2
xe
x2
dx .
在熟悉不定积分的换元法后，可不写出 中间变量.
1 x2 1 1 1 2 xdx 解：原式 dx 2 2 1 x2 1 x 1 1 d (1 x 2 ) 2 2 1 x
例5 求
x
dx .
1 2 2 1 x C 1 x2 C 2
1 1 cos 2 xdx 2 cos 2 x 2dx 2 cos 2 xd (2 x ) 令2 xu 1 1 1 cos udu sin u C sin 2 x C 2 2 2 1 验证: ( 2 sin2 x C ) cos 2 x
( x 2 1) 2 x 1 2 dx ( 2 )dx 2. 原式 2 x( x 1) x x 1 ln x 2 arctan x C
高等数学(函数与极限)完全归纳笔记
目录：函数与极限 (1)1、集合的概念 (1)2、常量与变量 (2)2、函数 (3)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (4)5、复合函数 (5)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
大学高等数学教材笔记
大学高等数学教材笔记一、函数与极限函数：1. 定义：函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的关系。
2. 函数的表示：常用的表示方法有函数图像、函数表达式和函数关系式。
3. 基本函数类型：包括常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
4. 函数的性质：包括奇偶性、单调性、周期性等。
极限：1. 介绍：极限是数学中用来描述函数或数列趋近于某一值的概念。
2. 极限的定义：函数f(x)在x趋近于a时，如果对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当0＜|x-a|＜δ时，总有|f(x)-A|＜ε成立，就称函数f(x)当x趋近于a时极限为A。
3. 常用的极限计算方法：包括夹逼定理、洛必达法则、极限的性质等。
二、导数与微分导数：1. 介绍：导数是描述函数变化率的工具，也是函数在某一点上的切线斜率。
2. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为极限lim(x→0)[f(x+h)-f(x)]/h。
3. 常见函数的导数公式：包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。
4. 导数的性质：包括可导性、导数的四则运算、导函数的几何意义等。
微分：1. 介绍：微分是导数的另一种表现形式，用于计算函数在某一点上的微小变化。
2. 微分的定义：函数f(x)在点x处的微分定义为df(x)=f'(x)dx。
3. 微分的应用：包括利用微分计算近似值、优化问题、微分中值定理等。
三、积分与定积分积分：1. 介绍：积分是对函数在一定区间上的累加，用于求解曲线下的面积、计算函数的平均值等。
2. 不定积分：表示不带上下限的积分，通常用∫f(x)dx表示。
3. 常见函数的不定积分：包括多项式函数的不定积分、幂函数的不定积分、三角函数的不定积分等。
定积分：1. 介绍：定积分是对函数在一定区间上的积分，表示函数在该区间上的累加结果。
2. 定积分的计算方法：包括分区间、近似求解法、定积分的性质等。
3. 定积分的应用：包括曲线下面积计算、物理学中的应用、求解平均值等。
《高等数学》课件
欢迎来到《高等数学》PPT课件。让我们一起探索数学的奇妙世界，进一步 了解高等数学的概述和其在现实生活中的应用与意义。
什么是高等数学
高等数学是数学的重要分支，研究微积分、极限、连续、导数、积分和常微 分方程等概念与理论，为其他学科提供数学工具和方法。
极限与连续
1
极限的定义
极限是数列或函数无限接近某一特定值的概念。学习极限有助于我们理解数学中 的趋势和变化规律。
积分具有线性性质、换元积分法和分部积分法等运算法则，简化了对复杂函数的 积分计算。
3
牛顿-莱布尼兹公式
牛顿-莱布尼兹公式将定积分与不定积分联系起来，使我们能够通过求不定积分 来求定积分。
常微分方程
1 常微分方程的定义
常微分方程描述了自变量和函数之间的关系，在物理、生物和工程等领域中有广泛应用。
2 一阶常微分方程的解法
偏导数及其运算法则
多元函数的极值
偏导数描述了多元函数在给定 方向上的变化率，通过偏导数， 我们可以了解函数在各个方向 上的变化情况。
多元函数的极值是指函数在特 定约束条件下的最大值和最小 值，可以通过偏导数和拉格朗 日乘数法等方法求解。
通过分离变量、齐次化和常数变易法等方法，我们可以解决一阶常微分方程。
3 二阶常微分方程的解法
二阶常微分方程的解法需要基于一阶方程的解法，我们可以通过特征方程和待定系数法 等方法求解。
多元函数微积分初步
二元函数的概念和性质
二元函数描述了自变量和因变 量之间的关系，帮助我们研究 二维空间中的变化规律。
函数的微分
微分是导数的一个重要应用，描述了函数图像在某一点处的近似变化，以及函数在一段区间 内的平均变化率。
高等数学课堂笔记
高等数学课堂笔记
高等数学是大学数学课程中的一门重要课程，它是在初等数学的基础上进行深入的推广与拓展。
在高等数学课堂上，学生将学习一系列的数学概念、原理和方法，涉及到微积分、数学分析、线性代数、概率统计等内容。
在微积分部分，学生将学习函数的极限、连续性、导数和积分等概念。
通过学习微积分，学生能够理解数学在自然科学和工程学科中的应用，比如描述物体运动的速度、加速度，解决最优化问题等。
数学分析是微积分的理论基础，它主要研究实数集、数列、级数和函数等内容。
通过学习数学分析，学生将对微积分的概念和技巧有更深入的理解，同时也能够培养其分析问题和证明定理的能力。
线性代数是研究向量空间和线性变换的数学学科，它在科学与工程学科中有广泛的应用。
在高等数学课堂上，学生将学习向量空间的性质、线性方程组的解法、特征值与特征向量等内容，这些知识将有助于学生理解和解决实际问题中的线性关系。
概率统计是研究随机事件和随机变量的数学学科，它在现代科学和社会科学中扮演着重要的角色。
在高等数学课堂上，学生将学习概率的性质、统计方法和随机变量的分布等内容。
通过学习概率统计，学生
能够理解和应用概率与统计的基本原理，分析和解释实际问题中的不确定性和变异性。
除了以上几个重要的内容，高等数学课程还包括数学建模、数学思维方法等内容，这些都是培养学生数学思维和解决实际问题能力的重要环节。
总的来说，高等数学课程是大学数学教育中的一门基础课程，它为学生提供了更深入的数学知识和解决问题的方法。
通过高等数学的学习，学生将能够更好地理解和应用数学在各个学科中的原理和方法。
高等数学笔记整理
高等数学笔记整理
知识点框架：
- 极限理论
- 导数与微分
- 积分学
- 微分方程
思维要点：
- 极限定义的推导思路
- 导数公式的推导过程及应用思路
- 积分的计算思路与方法变换
重难点与易错点：
- 极限存在的判定（用不同颜色笔标注）
- 复合函数求导易错点（特殊颜色标注）
补充点：
- 一些特殊函数的极限性质补充
- 实际问题中导数的应用举例
自己的总结和思考：
总结各部分知识点之间的联系，如导数与积分的互逆关系。
思考不同方法在不同问题中的适用性，以及如何巧妙运用知识点解决复杂问题。
对一些易错点进行反思，加深理解，避免再次犯错。
同时，对老师补充的内容进行深入分析，拓展知识面。
高等数学慕课版下册教材手写笔记
高等数学慕课版下册教材手写笔记笔记一：导数与微分在高等数学慕课版下册教材中，导数与微分是数学分析的重要基础内容。
导数的概念是研究函数变化率的重要工具，而微分则是导数的几何意义和应用的重要工具。
1. 导数的定义与性质导数的定义是：$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$其中，$\Delta x$ 是 $x$ 的增量。
导数表示的是函数 $y=f(x)$ 在某一点上的变化率。
导数具有以下性质：- 可导函数一定连续，但连续函数不一定可导。
- 导数有四则运算法则和求导法则。
- 导数可以用来判断函数的单调性、极值和凹凸性。
2. 微分的定义与性质微分的定义是：$$\Delta y=f'(x_0)\Delta x$$其中，$\Delta y$ 是函数在 $x_0$ 处的微小变化量，$\Delta x$ 是自变量的微小变化量，$f'(x_0)$ 是函数在 $x_0$ 处的导数。
微分具有以下性质：- 微分近似地表示函数的改变量。
- 微分与导数之间满足 $\Delta y=f'(x_0)\Delta x$ 的关系。
- 微分可以用来估计函数值的变化。
3. 高阶导数与高阶微分高阶导数表示的是导数的导数，可以通过多次求导得到。
对于函数$y=f(x)$，其一阶导数、二阶导数和三阶导数分别表示为 $f'(x)$、$f''(x)$ 和 $f'''(x)$。
高阶微分表示的是微分的微分，也可以通过多次求微分得到。
对于函数 $y=f(x)$，其一阶微分、二阶微分和三阶微分分别表示为$dy=f'(x)dx$、$d^2y=f''(x)dx^2$ 和 $d^3y=f'''(x)dx^3$。
4. 隐函数求导与参数方程求导隐函数求导是指对于由方程 $F(x,y)=0$ 给出的函数 $y=f(x)$，通过求导求出导数 $\frac{dy}{dx}$ 的过程。
(完整版)高等数学完全归纳笔记(全)
一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (9)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (12)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二节
数列的极限
极限概念是由于求某些实际问题的精 确解而产生的.比如计算面积的问题,它 是初等几何的一个重要内容,在历史上也 是微积分的一个最早的起源问题,下面就 通过面积问题来看一看怎样从初等几何 向微积分过渡.
一、数列的定义 定义 按照一定的顺序排列的一列数
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y
2
o
x
2
反余切函数y arc cot x
y
o
x
2．复合函数
设 y u, u 1 x ,
2
y 1 x2
定义 若函数y=f (u)的定义域为D1,函 数 u ( x) 的值域为D2,其中 D2 D1 ,则 y通过变量u成为x的函数，这个函数称为 由y=f (u)和 u ( x) 构成的复合函数，记 为 y f [（x )]
(1,0)
y log a x (0 a 1)
(4)三角函数 正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数
y tan x
y tan x
余切函数
y cot x
y cot x
(5)反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
解: 1. y 1 x 由 y u 和 u 1 x 复合而成. 2 2 2. y sin x 由 y u 和 u sin x 复合而成.
2
2
3. y e 复合而成.
2
sin
1 x
1 由 y e 、 u sin v 和 v x
u 2
4. y cos (2 x 1)由 y u 、 u cos v 和
其中u称为中间变量.
注意 1.不是任何两个函数都可以复合成一个 复合函数的; 例 如： y arcsinu, u 2 x 则 不 能 构 成 复合函数 .
2
2.复合函数可以由两个以上的函数经 过复合而构成
x 例 如： y u , u cot v , v 2 x y cot 2
3．初等函数
定义
常数
由一个解析式 表示的函数
有限次四则运 算有限次复合
基本初等函数
初等函数
简单函数： 基本初等函数或基本初等函 数和常数的和差积商.
例5 下列函数是由哪些简单函数复 合而成的？
1. y
1 x ;
2 2 sin 1 x 2
2. y sin x; 3. y e ;
4. y cos ( 2 x 1).
a1 , a2 ,an ,
称为数列，记为{an}.
其中每一个数称为数列的项,第n项an叫 做数列的一般项或通项.
二、数列的极限 1.概念的引入
(1)割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
刘徽：生于公元250年左右，是中国数学史上一
位非常伟大的数学家。是我国最早明确主张用逻 辑推理的方式来论证数学命题的人，是世界上最 早提出十进小数概念的人. 割圆术:为证明圆面积公式，刘徽创造了割圆术， 算出了圆内接正3072边形的面积，从而得到圆周 率的近似值为3.1416，为200年后祖冲之的圆周率 计算提供理论与方法上的准备。“割圆术”可视 为中国古代极限观念的佳作。
第一节 函数
一、集合与区间
二、函数概念
三、函数的几种特性
四、反函数
y
函数 y f ( x )
y0
y
反函数 x ( y )
y0
W
W
o
x0
x
o
1
x0
x
D 将x ( y )记为 x f
D
( y ).
习惯上 ， y f ( x )的反函数又记为 y f 1 ( x ).
y
类似地，定义在区间[0,π]上的余弦 函数 y=cosx的反函数称为反余弦函数， 记为 y arccos x x [1,1] , y [0, ] 定义在区间 ( , ) 内的正切函数
2 2
y=tanx的反函数称为反正切函数,记为 （ , ） y arctan x x (,) , y
y
y x2
1
(1,1)
y x3
y x
x
y
o
1 y x
1
x
(2)指数函数
ya
x
ye
x
(a 0, a 1)
ya
(0 a 1)
x
y ax (a 1)
(0,1)
(3)对数函数 y loga x
(a 0, a 1)
y ln x
y log a x (a 1)
2 2
定义在区间(0,π)内的余切函数 y=cotx的反函数称为反余切函数,记为 x (,) y arc cot x y （ 0, ）
例4 求 y 3 cos 2 x , x [0, ] 的反函数。
解：由 y 3 cos 2 x
y 2 x arccos 3 1 y x arccos 2 3 1 x y arccos 即为所求反函数. 2 3
反函数 y f 1 ( x ) )
P (a , b)
x
o
函 数y f ( x )与 其 反 函 数 y f 1 ( x )的 图象关于直线 y x对 称
正弦函数
y sin x
若 x [
x (,) y [1,1]
, ]，则 y sinx 存在反函数, 2 2
这个反函数称为反正弦函数，记为
y arcsin x
y sin x x [
x [1,1] y [ , ] 2 2
, ] y [1,1] 2 2
x arcsin y , 交换 x、y 得： y arcsin x
2 y cos 2 x 3
五、复合函数 初等函数 1．基本初等函数
y x 幂函数 ( 为任意实数) x 指数函数 y a （a>0且a≠1） 对数函数 y loga x （a>0且a≠1） 三角函数、反三角函数
统称为 基本 初等 函数
(1)幂函数
y x （ 为常数）