《2010级高等数学(下)中期考试试题》

学院 _____________班级名称_______________学号_____________姓名_____________ 教师________________
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2010级高等数学（下）半期考试暨数学竞赛试卷
一、单项选择题（每题３分，共15分） 1、 设()()0000,,,x y f x y f x y ''都存在，则（ ）
（A ）(),f x y 在()00,x y 处连续。

(B) (),f x y 在()00,x y 处可微。

（C ）()0
0lim ,x x f x y →存在。

（D ）
()()
()000,,lim
,x y x y f x y →存在。

2、设D
是第二象限的一个有界闭区域，且01y <<。

记
13
2
3
32
123,,D
D
D
I yx d I y x d I y x d σσσ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

123,,I I I 的大小顺序是（ ）
（A ）123I I I ≤≤ (B) 213I I I ≤≤ （C ）312I I I ≤≤ （D ）321I I I ≤≤
3、已知()()
2
x ay dx ydy x y +++是全微分表达式，则a =（ ） （A ）1- (B) 0 （C ）1 （D ）2
4、设曲线L 为圆周922=+y x ，顺时针方向，则⎰=-+-L dy x x dx y xy )4()22(2( )
(A) 0 (B) 2π (C) 6π (D) π18
5、已知22
4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面221x y z ++=，则P 点的坐标是（ ）
(A) ()1,1,2- (B) ()1,1,2 (C) ()1,1,2- (D) ()1,1,2-- 二、填空题（每题３分，共15分）
1、已知D 是长方形域：;01a x b y ≤≤≤≤，且()1D
y f x d σ=⎰⎰
，则()
b
a
f x d x =⎰（ ） 2、设平面曲线L 为
: y =则曲线积分
()2
2L
x
y ds +⎰=（ ）
3
、曲线=1z x ⎧⎪=⎨⎪⎩
(处的切线与y 轴的倾角为（ ）
４、
函数(
ln u x =在点()1,0,1A 处沿点A 指向()3,2,2B -方向的方向导数是
（ ）
５、螺旋线cos ,sin ,x a y a z b θθθ===在点(),0,0a 处的切向量为（ ） 三、解答题（每题7分，共49分）
１、求极限()()
,0,0lim
x y →
２、设()2
2
,z f xy x y =+，求2,z z
x x y
∂∂∂∂∂，其中(),f u v 具有二阶偏导数。

３、设(),z f x y =由方程0z y x z y x xe ----+=所确定，求dz
4、计算2
1
1
20
y x
I dx x e dy -=⎰
⎰
5、计算()2
5I xy z dxdydz Ω
=
+⎰⎰⎰，其中Ω
是由z =()0,0z h R h =>>所围成的闭区域。

6、
计算D
I =
，其中D
是由曲线y a =-()0a >和直线
y x =-围成
7、在过点()0,0O 与(),0A π的曲线族sin (0)y a x a =>中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 得积分()()3
12L
y dx x y dy +++⎰的值最小。

……密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………
三、证明题（共21分）
1、求函数(),,ln ln 3ln f x y z x y z =++在球面22225x y z r ++=(0,0,0)x y z >>>上
的最大值，并证明对任何正数,,a b c 成立不等式5
3275a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭。

（10分）
2、 计算224L xdy ydx I x y -=
+⎰ ，其中L 是以()1,0为中心，R 为半径的圆周（1R ≠）取逆时
针方向。

（11分）。