2018考研数学三二重积分真题解析
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2018考研二重积分真题解析（数学三）
（2018数学三，16）求下列二重积分：
x 2dxdy D
其中D 由y= 3（1−x 2）和y= 3x ，以及y 轴共同围成。 解法一：直角坐标：
x 2dxdy D
＝ dx 20 x 2
dy 3（1−x 2）
3x ＝ 3 x 2 1−x 2 2
0dx − 3 x 3dx 20
令x ＝sint ，即dx ＝costdt ，而x ∈[0, 2
2
],
故sint
∈[0, 2
2
]，t
∈[0,π
4
].
即原式＝ 3 sin 2tcos 2t π0dt － 3[14
x 4
] 22
0 ＝ 3 sin 22t
4π4
0dt － 316
＝ 34 1−cos 4t 2π
0dt － 316 ＝ 34[t 2
−
sin 4t 8]π0－ 316＝ 3π32－ 316
解法二：极坐标：
x 2dxdy D
＝ dx 20 x 2
dy 3（1−x 2） 3x
令y ＝ 3z ,原式＝ 3 dx 2
0 x 2dz 1−x 2x
＝ 3
dθππ4 ρ2cos 2θρdρ10
＝ 34 cos 2θdθπ2π
＝ 38
(1+
cos 2θ)dθππ＝ 3π32－ 3
16
解法三：广义极坐标（换元法）：
x 2dxdy D
＝ dx 2
0 x 2
dy 3（1−x 2）
3x 令x ＝ρcosθ,y ＝ 3ρsinθ, 代入
y =
3（1−x 2）y =
3x
，有
ρ2=1（ρ≥0）sinθ=cosθ（0≤θ≤π
2）
，
也即在ρOθ坐标系中，ρ、θ满足如下关系： 0≤ρ≤1
π
4≤θ≤π2
构造雅可比行列式 J ＝ð x ,y ð ρ,θ
＝ ðx ðρðx ðθ
ðy
ðρ
ðy ðθ
＝ cosθ−ρsinθ
3sinθ
3ρcosθ
＝ 3ρ
故原式＝
ρ2cos 2θ J dρdθ0≤ρ≤1π4≤θ≤π2
＝
dθππ ρ2cos 2
θ 3ρ dρ10
＝ 34 cos 2θdθππ4 ＝ 38
(1+
cos 2θ)dθπ2π＝ 3π32－ 3
16