计算集几何讨论
NOI冬令营胡伟栋《计算几何讨论》 ppt课件
月下柠檬树 (NOI 2005)
试题大意
给定一些圆心在同 一条竖直直线上的 圆，相邻两个圆连 成一个圆台
使用平行光照射这 些圆台，求阴影部 分的面积
30
月下柠檬树
A A’
O O’
31
月下柠檬树 一个评测数据
32
月下柠檬树
33
月下柠檬树
解题要点
图关于x轴对称，因此只要计算上半 部分面积
若P(x, y)在阴影内，则对于|y’|<|y|， P(x, y’) 在阴影内，因此只要计算每个 x对应的上边界
ห้องสมุดไป่ตู้ 基本问题
求两圆交点 三种方法比较
解析法：粗暴但计算麻烦，要处理特 殊情况，出错后……
特性法：？ 平移旋转法：步骤很多但每步简单，
不易出错
16
基本问题
Q
求圆和直线的交点
解析法：
直线方程代入圆 解一元二次方程
平移旋转法：
旋转 - a= - (PQ极角 - π/2)
P’, Q’的x坐标相同
y=±(r2-x2)0.5 交点存在必 要条件为x ≤ r
1. 有多长的墙壁可以听到声音 2. 有多大的面积被声音覆盖
40
Feng Shui (Northeastern Europe 2006, Northern Subregion, PO试J题33大84意)
给定一个凸多边形，要在里面放两个 大小一样的圆，使得没有被圆覆盖的 部分最小。
41
34
月下柠檬树
解题方法
计算出所有外公切线
计算所有关键点：圆的左右端点、线 段端点、圆与圆的交点、圆与线段交 点、线段与线段交点
排序所有关键点
对于每段区间的中线，计算其与圆、
高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧
高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．考点一 回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62[解题观摩] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. [答案] D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 解析：选A 由题意可得S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A＝|BF |－p2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22.答案：22考点二 设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [解题观摩] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；①“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )， 分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ， 由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |，即12ka k (a －c )＝a a ＋c， 整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13.2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22. 答案：22考点三 巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞ 3.[解题观摩] 法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1， 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4. 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3. 法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ， 可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2，解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)， 则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ. |AP |＝|OA |⇔A Q ⊥OP ⇔k A Q ×k ＝－1. 又A (－a,0)，所以k A Q ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak A Q cos θ＝2ak A Q . 从而可得|2ak A Q |≤ b 2＋a 2k 2A Q ＜a1＋k 2A Q ，解得|k A Q |＜33，故|k |＝1|k A Q |＞ 3. [关键点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点训练]设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，求r 的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x 并整理得y 2－4ty －4m ＝0， 则有Δ＝16t 2＋16m ＞0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ， 那么x 1＋x 2＝(ty 1＋m )＋(ty 2＋m )＝4t 2＋2m ， 可得线段AB 的中点M (2t 2＋m,2t )， 而由题意可得直线AB 与直线MC 垂直， 即k MC ·k AB ＝－1，可得2t －02t 2＋m －5·1t ＝－1，整理得m ＝3－2t 2(当t ≠0时)，把m ＝3－2t 2代入Δ＝16t 2＋16m ＞0， 可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3， 又由于圆心到直线的距离等于半径， 即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4. 故r 的取值范围为(2,4)．考点四 数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．[典例] 已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．[解题观摩] 设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|， 则△APF 的周长为|P A |＋|PF |＋|AF |＝|P A |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ， 由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小， 则|P A |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线， 由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得 y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为26， 所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6. [答案] 126 [关键点拨]要求①APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4 B.5 C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.考点五 妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．[典例] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解题观摩] 把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2， 而F (c,0)， 则FB ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC ＝⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2，又∠BFC ＝90°， 故有FB ·FC ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2·⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.[答案]63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练] 设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为( )A ．90° B.60° C ．45°D ．30°解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x 0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4.∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 20x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°. 考点六 巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[解题观摩] (1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k 2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k 2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2， 同理可得k PN ＝5k4－4k 2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. [关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k 2，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0， 则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1， 因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.[课时跟踪检测]1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．25D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2， 所以2r ＝55，解得r ＝10. 2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)， 则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．故直线OM 的斜率的最大值为22. 3．(2019·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )A ．5 B.4 C ．3D ．2解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，当且仅当m ＝n 时等号成立．所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积S ＝12|mn |≥3，故△AOB 面积的最小值为3.4．(2019·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3] B.[3，＋∞) C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca ≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．5．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ＞1)，则λ的值为( )A ．5 B.4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AF ―→＝λFB ―→，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2， 联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，则(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，解得λ＝4.6.已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆上一点A (0,1)作直线l 交椭圆于另一点B ，P 为线段AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在且不为零，则k AB k OP ＝________.解析：法一：(特殊值法)取B ⎝⎛⎭⎫1，32，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2＋34，则k AB ＝3－22，k OP ＝2＋32， 故k AB ·k OP ＝3－22×2＋32＝－14. 法二：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0， 得x B ＝－8k 1＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2.则P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k 1＋4k 2，11＋4k 2，∴k AB ＝k ，k OP ＝－14k ，∴k AB ·k OP ＝－14.法三：(点差法)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 2A4＋y 2A ＝1，x2B4＋y 2B＝1，两式相减得x 2A －x 2B 4＋y 2A －y 2B ＝0， 化简得y A ＋y B x A ＋x B ·y A －y B x A －x B ＝－14，即y A －y B x A －x B ·y 0x 0＝－14，∴k AB ·k OP ＝－14.答案：－147．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A ―→·PB ―→的最小值为________．解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)， 则B (－cos θ，－sin θ)，∴P A ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)， PB ―→＝(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)，∴P A ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)·(－sin θ－x －2)＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ＝2x 2＋4x ＋3＝2(x ＋1)2＋1，当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，P A ―→·PB ―→取最小值1. 答案：18．(2019·武汉调研)已知A ，B 分别为椭圆x 29＋y 2b 2＝1(0＜b ＜3)的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP ，B Q 的斜率分别为m ，n ，若点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：根据椭圆的标准方程x 29＋y 2b2＝1(0＜b ＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，A (－3,0)，B (3,0)，设P (x 0，y 0)，Q (x 0，－y 0)，则x 209＋y 20b 2＝1，k AP ＝m ＝y 0x 0＋3，k B Q ＝n ＝－y 0x 0－3，∴mn ＝－y 20x 20－9＝b 29，∴1－mn ＝9－b 23，∴直线y ＝1－mn x ＝9－b 23x ，即9－b 2x －3y＝0.又点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，∴|－39－b 2|9－b 2＋9＝39－b 218－b 2＝1，解得b2＝638，∴c 2＝a 2－b 2＝98，∴e ＝c 2a 2＝18＝24. 答案：249．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右顶点为A ，上顶点为B .设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．解：由题意知，A (2,0)，B (0,1)，设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN ||BM |＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2，从而四边形ABNM 的面积为定值．10．已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解：(1)设焦距为2c ，∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，∴b a ＝33.由题意可知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0，解得k 2＞1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2. 若以CD 为直径的圆过E 点， 则EC ―→·ED ―→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4， 所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5 ＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0， 解得k ＝76，满足k 2＞1，所以k ＝76.。
几何容斥原理总结
几何容斥原理总结几何容斥原理是组合数学中的一种技术方法，用于计算包含多个集合的复杂计数问题。
它是容斥原理在几何问题上的推广和应用。
几何容斥原理通过求解交集和并集的差集来计算问题的计数，实质上是通过互补性质来减去重复计数的部分。
1.首先，考虑问题所涉及的各个集合，用A、B、C...表示。
这些集合可以是点集、线段集、面集等。
2.然后，计算单个集合的计数，即求解，A，B，C，...，它表示对应集合中元素的个数。
3.接下来，计算两个集合的交集计数，即求解，A∩B，A∩C，...它表示两个集合共有元素的个数。
4.然后，计算三个集合的交集计数，即求解，A∩B∩C，它表示三个集合共有元素的个数。
5.依次类推，计算四个、五个到n个集合的交集计数。
6.最后，根据容斥原理，利用交替加减的方式，得到问题的计数结果。
例如，对于两个集合的计数，可以通过用，A，+，B，-，A∩B，来计算。
以下是几何容斥原理的主要应用场景：1.平面几何计数：例如求解平面上不同点数量、线段相交数量、线段覆盖问题等。
2.空间几何计数：例如求解空间中不同点数量、线段相交数量、面覆盖问题等。
3.组合图论：例如求解图中的路径、环、连通子图等计数问题。
4.排列组合问题：例如求解n个元素排列组合中满足一些条件的个数。
例题：平面上有n个不同的点，求解可以连接至少两个点的直线的数量。
解析：首先考虑只有一个点时，直线的数量为0；然后考虑有两个点时，只有一条直线。
现在考虑有三个点A、B、C时，直线的数量为3、当有四个点时，直线的数量应该包括通过任意两个点的直线数量减去包含第二对点的直线数量。
假设A、B、C、D为四个点，通过AB、AC、AD、BC、BD、CD这六条直线包括了所有的直线数量，但是由于通过两个点的直线数量已经计算了三次，所以需要减去三次。
因此有，直线的数量=6-3=3、继续推导，当有五个点时，直线数量应为10-C(3,2)=10-3=7由此可以总结出求解n个点的直线数量的公式为：直线数量=C(n,2)-C(n,3)+C(n,4)-...+(-1)^(n-1)*C(n,n-1)总结而言，几何容斥原理是一种解决复杂计数问题的重要方法。
空间几何体的投影计算
空间几何体的投影计算投影是几何学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和分析三维空间中的几何体。
本文将讨论如何计算空间几何体的投影，并介绍常见几何体的投影计算方法。
1. 直线的投影计算在三维空间中，一条直线可以用参数方程表示为：x = x0 + t * ay = y0 + t * bz = z0 + t * c其中(x0, y0, z0)为直线上的一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
直线在平面上的投影可以通过将直线的参数方程代入平面的方程来计算。
设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，则直线在平面上的投影为：x = x0 + t * a - (a * Ax0 + b * Ay0 + c * Az0 + D) * a / (a^2 + b^2 + c^2)y = y0 + t * b - (a * Ax0 + b * Ay0 + c * Az0 + D) * b / (a^2 + b^2 +c^2)z = z0 + t * c - (a * Ax0 + b * Ay0 + c * Az0 + D) * c / (a^2 + b^2 + c^2)2. 球体的投影计算球体在三维空间中的投影是一个圆。
以球心为原点建立球坐标系，球心到球上任意一点的向量可以表示为：x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ其中r为球的半径，θ为极角，φ为方位角。
球体在平面上的投影也是一个圆，其圆心和半径可以通过球坐标系中的坐标转换得到。
设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，球的投影圆的半径为R，则圆心在球坐标系中的极角和方位角可以通过以下公式计算：cosθ = -D / √(A^2 + B^2 + C^2)sinθ * cosφ = -A / √(A^2 + B^2 + C^2)sinθ * sinφ = -B / √(A^2 + B^2 + C^2)圆心在球坐标系中的三维坐标为：x = R * sin(π/2 - θ) * cos(π - φ)y = R * sin(π/2 - θ) * sin(π - φ)z = R * cos(π/2 - θ)3. 长方体的投影计算长方体在三维空间中的投影是一个矩形。
复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
1. 复数的加法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2=(a＋bi)+(c＋di )=__(a_＋__c_)_＋__(_b_＋__d_)_i___， 口诀：虚实各相加 说明：复数加法的结果还是一个复数，类似多项式相加
2.复数的加法交换律、结合律
对任意设z1, z2, z2∈C，有
我们规定：复数的减法是加法的逆运算，把满足(c di) (x yi) a bi 的复数x yi叫做复数a bi减去复数c di的差，记作：(a bi) (c di)
说明：复数减法的结果还是一个复数，类似多项式相减
应用举例
例1 计算 (5－6i)+(－2－i)－ (3+4i).
∵|z+i|+|z-i|=2, ∴点Z到Z1、Z2的距离之和等于2. 又∵|Z1Z2|=2, ∴点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动, 求|ZZ3|的最小值,
y Z2(0,1)
Z
Ox
∵Z1Z3⊥Z1Z2 ∴ |z+i+1|min=|Z1Z3|=1.
Z3(-1,-数模的最值问题）
1.如果复数z满足 z i z i 2 ,那么 z i 1 的最小值是
.
2.若复数z满足 z 3 i 1,求 z 的最大值和最小值.
y
3
O
x
M
B
1
A
复数加法及 其几何意义
梳理总结
复数加法 运算律
复数减法及 其几何意义
复数减法的模 的几何意义
再见
Z1(a,b)
x
5. 复数的减法几何意义 复数的减法还可以按照向量的减法来进行.
应用举例
计算几何
2.2.1 点积的定义
两个向量为： A x1 , x 2 ,..., x n B x1 , x 2 ,..., x n 定义两个向量的点积为：
AB
x
i 1
n
i
x i
2.2.2 点积的性质
两个向量的点积是标量 点积的变化与向量模的变化成正比。也 就是说，可以把向量标准化后再求点积， 然后再乘上某个系数，就可以得到原来向 量的点积
猜想由n个点(x1,y1), (x2,y2), ……, (xn,yn)构成 的多边形的重心的坐标是：
x1 x 2 ... x n y1 y 2 ... y n , n n
P1 P6
2.6.3 n边形的重心
x1 x 2 ... x n y1 y 2 ... y n , n n
xa xb
ya yb
b a
叉积的本质是一个向量，这个向量垂直于求叉积的 两个向量所在平面，大小是叉积的绝对值 二维情况的叉积向量平行于z轴，因此可以用正负号 表示方向
2.2 点积
2.2.1 点积的定义 2.2.2 点积的性质 2.2.3 点积的几何解释 2.2.4 点积与余弦函数的关系
可以用arctan2函数求得各个点的极角，然后排 序。但这样做会有浮点误差，且计算极角的运算 量大，没有用到几何特性，也没有深入使用排序 算法 满足全序关系，就能排序，无需算值
3.2.2.4 共线问题解决
Graham-Scan算法执行过程中会碰到多 点共线的情况 此时的一个解决办法是每次取三个点， 如果三者共线，则去掉中间的点
2.4.2 多边形分类
如果多边形任意两条不相邻的边没有公共交点，则称这个多边 形为简单多边形；否则称为复杂多边形 但一类特殊的复杂多边形称为临界多边形，在性质上更接近于 简单多边形
计算几何算法简介
计算几何算法简介运算机的显现使得很多本来十分繁琐的工作得以大幅度简化，可是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并非简单的通用解决方案，比如几何问题。
作为运算机科学的一个分支，计算几何要紧研究解决几何问题的算法。
在现代工程和数学领域，计算几安在图形学、机械人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。
在本文中，咱们将对计算几何经常使用的大体算法做一个全面的介绍，希望对您了解并应用计算几何的知识解决问题起到帮忙。
算法1矢量的概念：若是一条线段的端点是有顺序之分的，咱们把这种线段成为有向线段(directed segment)。
若是有向线段p1p2的起点p1在座标原点，咱们能够把它称为矢量(vector)p2。
矢量加减法：设二维矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2 , y2 )，那么矢量加法概念为：P + Q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )，一样的，矢量减法概念为：P - Q = ( x 1 - x2 , y1 - y2 )。
显然有性质P + Q = Q + P，P - Q = - ( Q - P )。
矢量叉积：计算矢量叉积是与直线和线段相关算法的核心部份。
设矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2, y 2 )，那么矢量叉积概念为由(0,0)、p一、p2和p1+p2所组成的平行四边形的带符号的面积，即：P ×Q = x1*y2 - x2*y1，其结果是一个标量。
显然有性质P ×Q = - ( Q ×P ) 和P ×( - Q ) = - ( P ×Q )。
一样在不加说明的情形下，本文下述算法中所有的点都看做矢量，两点的加减法确实是矢量相加减，而点的乘法那么看做矢量叉积。
叉积的一个超级重要性质是能够通过它的符号判定两矢量彼此之间的顺逆时针关系：假设P ×Q > 0 , 那么P在Q的顺时针方向。
关于代数几何中几个同调群的计算
关于代数几何中几个同调群的计算代数几何是现代数学的一个重要分支，它研究的对象是代数集和代数变换之间的关系。
在代数几何中，同调群是一种研究代数几何性质的重要工具，可以帮助我们理解代数集的拓扑性质和代数结构。
在本文中，我们将讨论几个常见的同调群计算问题，并详细介绍它们的定义和性质。
一、同调群的定义在代数几何中，同调群是一种用于描述拓扑性质和代数结构的代数工具。
它是拓扑空间的不变量，与拓扑空间的连续映射相关联。
具体来说，设X和Y是两个拓扑空间，f是从X到Y的连续映射，那么同调群可以通过以下方式定义：同调群具有很多重要的性质，例如同调群与拓扑空间的同伦类型相关联，同调群可以通过不同映射的复合来构造等。
二、计算同调群的常见方法计算同调群是代数几何中的一个重要问题，也是非常具有挑战性的。
然而，有一些常见而有效的方法可以用来计算同调群。
1.好坏链复形好坏链复形是计算同调群的一种基本方法。
它可以把一个拓扑空间分解为几个简单的部分，从而将复杂的计算问题转化为计算简单的部分。
具体来说，好坏链复形基于一个有向图，将拓扑空间分解为多个有序的单纯形，并构建链复形。
然后，可以通过链复形和链复形的同态对应来计算同调群。
2.概率复形概率复形是计算同调群的另一种常见方法。
它利用了概率论的方法来计算同调群。
具体来说，概率复形基于代数几何中的代数簇，并利用随机生成的抽样点来计算同调群。
通过抽样点，可以估计代数簇的拓扑性质和同调群。
3.曲线复形曲线复形是计算同调群的另一种重要方法。
它是一种对空间进行连续曲线路径的分解，然后再利用路径的同构性质来计算同调群。
具体来说，曲线复形利用曲线的闭合和连续映射的复合来计算同调群。
三、同调群的应用同调群在代数几何中有广泛的应用。
首先，同调群可以用来描述代数集的拓扑性质。
通过计算同调群，可以判断代数集是否连通、原维数和相容性等。
其次，同调群还可以用来研究代数映射的性质。
特别地，可以通过同调群来判断代数映射是否同构、满射或者单射等。
几何容斥原理总结
几何容斥原理总结几何容斥原理是组合数学中的一个重要技巧，用于计算两个或多个集合的交集或并集的大小。
它是一种基于集合原理和排除法的计数方法，可以帮助我们解决一些复杂的计数问题。
几何容斥原理也可以看作是排容原理在几何问题中的一种扩展应用。
对于两个集合A和B的情况，几何容斥原理可以表述为：A∪B，=，A，+，B，-，A∩B其中，A，代表集合A的大小，B，代表集合B的大小，A∩B，代表集合A和集合B的交集的大小，A∪B，代表集合A和集合B的并集的大小。
对于更多集合的情况，几何容斥原理可以类似地推广。
假设有n个集合A1、A2、A3...An，那么可以用以下公式计算它们的并集的大小：A1∪A2∪A3...∪An，=，A1，+，A2，+，A3，+...+，An，-，A1∩A2，-，A1∩A3，-...-，An-1∩An，+，A1∩A2∩A3，+，A1∩A2∩A4，+...+(-1)^(n-1)×，A1∩A2∩A3...∩An在这个公式中，每一个非空子集的大小都要求并加上，每两个交集的大小都要减去，每三个交集的大小都要再加上，以此类推。
1.矩形重叠问题：给定若干个矩形的坐标和尺寸，求它们的总面积。
可以将每个矩形看作一个集合，利用容斥原理计算它们的并集的面积。
2.圆的排列问题：给定n个圆，求它们的相交面积。
可以将每个圆看作一个集合，利用容斥原理计算它们的交集的面积。
3.概率计算问题：对于一个概率空间内的事件A1、A2、A3...An，求它们至少发生一个的概率。
可以利用容斥原理将每个事件的概率相加，再减去每两个事件的交集的概率，以此类推。
4.图形填色问题：给定一个图形，用若干个颜色进行填色。
求一共有多少种合法的填色方式。
可以将每个颜色看作一个集合，利用容斥原理计算它们的并集的大小。
1.对于集合的定义：在使用容斥原理解决问题时，需要清楚地定义各个集合，确定它们的大小和关系。
2.计算交集的大小：计算交集的大小是使用容斥原理的关键步骤，需要仔细考虑每个集合的相互关系，确保交集的大小被正确计算。
空间几何的投影与距离计算
空间几何的投影与距离计算空间几何是研究几何图形在三维空间中的性质和关系的学科。
在空间几何中，投影和距离是两个重要的概念和计算方法。
本文将讨论空间几何中投影和距离的计算方法以及它们在实际应用中的意义。
一、投影的概念和计算方法在空间几何中，投影是指将一个几何图形在某个平面上的正交投影。
常见的投影有平行投影和斜投影两种。
1. 平行投影：平行投影是指将几何图形在平行于某一平面的方向上的投影。
平行投影的计算方法比较简单，可以通过投影的平行性及角度关系来推导和计算。
以直线的投影为例，假设直线在一个平行于平面的空间中，直线与平面的夹角为α，则直线的投影长度为直线长度乘以cosα。
2. 斜投影：斜投影是指将几何图形在非平行于任何坐标轴的方向上的投影。
斜投影的计算方法相对复杂，通常需要借助向量和坐标等几何工具。
以立方体的投影为例，假设立方体在一个斜平面上，其投影可以通过将立方体的各个顶点投影到斜平面上，并根据投影点的位置计算出相应的投影图形。
二、距离的概念和计算方法在空间几何中，距离是指两个几何图形或点之间的长度量度。
计算两点之间的距离可以使用欧氏距离公式，即计算两点间连线的长度。
1. 二维空间的距离：在二维空间中，假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则点A和点B之间的距离可以使用如下公式计算：d =√[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]。
2. 三维空间的距离：在三维空间中，假设有两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则点A和点B之间的距离可以使用如下公式计算：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]。
距离的计算方法在实际应用中非常广泛，例如在测量物体之间的距离、导航系统中计算车辆到目的地的距离等。
三、投影和距离的应用投影和距离的计算方法在日常生活和工程技术中有着广泛的应用。
1. 建筑设计：在建筑设计中，投影和距离的计算是必不可少的。
几何中的复杂图形的计算
几何中的复杂图形的计算几何学是研究空间形状、大小、相对位置以及其特点和度量的学科。
在几何学中，有一些复杂的图形需要进行计算。
本文将讨论几何中的复杂图形的计算方法。
1. 三角形三角形是最简单的几何图形之一，由三条边和三个顶点组成。
计算三角形的面积和周长可以使用不同的方法。
- 面积计算：使用海伦公式，即海伦公式公式为√(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s是三角形三边长的半周长，a、b、c分别为三角形的三边长。
- 周长计算：将三条边长相加即可得到三角形的周长。
2. 圆形圆形是一个圆心在平面上的几何图形，由所有到圆心的距离等于半径的点组成。
计算圆的面积和周长可以使用以下公式：- 面积计算：使用πr²，其中π是一个数学常数（大约等于3.14159），r是圆的半径。
- 周长计算：使用2πr，其中π是一个数学常数（大约等于3.14159），r是圆的半径。
3. 矩形矩形是一种有四个直角的四边形，相邻两边分别相等且平行。
计算矩形的面积和周长可以使用以下公式：- 面积计算：使用长乘以宽，即面积等于长×宽。
- 周长计算：使用2×(长+宽)。
4. 正方形正方形是一种四个角都是直角的矩形，四条边相等且相互平行。
计算正方形的面积和周长可以使用以下公式：- 面积计算：使用边长的平方，即面积等于边长×边长。
- 周长计算：使用4×边长。
5. 梯形梯形是一种有两条平行边的四边形。
计算梯形的面积可以使用以下公式：- 面积计算：使用（上底+下底）×高 ÷ 2，其中上底和下底分别是梯形的上方和下方平行边的长度，高是梯形的高度。
6. 高矩形高矩形是一种具有六个相互垂直的面的立方体。
计算高矩形的体积和表面积可以使用以下公式：- 体积计算：使用长×宽×高，即体积等于长×宽×高。
- 表面积计算：使用2×(长×宽+长×高+宽×高)。
集合的基本概念与计算
集合的基本概念与计算在数学中，集合是由一组确定的、互不相同的对象组成的集合体。
集合可以是数字、字母、词语、图形等等。
通过对集合的定义和操作，我们可以解决许多实际问题，并进行更高阶的数学推理和证明。
一、集合的基本概念在讨论集合之前，我们需要了解以下几个基本概念：1. 元素：集合中的每个对象都称为元素。
如果a是集合A的元素，我们可以表示为a∈A。
2. 子集：如果集合B的所有元素都属于集合A，我们称集合B是集合A的子集，可以表示为B⊆A。
3. 包含关系：如果一个集合A包含另一个集合B的所有元素，我们称A包含B，可以表示为A⊇B。
4. 相等关系：两个集合A和B相等，当且仅当A包含B且B包含A，我们可以表示为A＝B。
二、集合的表示方法在数学中，我们有多种方法来表示集合：1. 列举法：直接将集合中的元素列举出来，用花括号{}括起来。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示A是由数字1、2、3和4组成的集合。
2. 描述法：通过描述集合的性质或特征，来表示集合。
例如，集合B是由大于0且小于5的所有整数组成的集合，可以表示为B={x|x>0且x<5}。
3. 符号表示法：使用特定符号来表示集合。
例如，全体自然数的集合可以表示为N，全体整数的集合可以表示为Z。
三、集合的运算在集合中，我们可以进行多种运算，常见的集合运算包括并集、交集、补集和差集。
1. 并集：给定两个或多个集合，它们的并集是包含这些集合中所有元素的集合。
符号为∪。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。
2. 交集：给定两个或多个集合，它们的交集是包含同时属于这些集合的元素的集合。
符号为∩。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4}，则A∩B={3}。
3. 补集：对于给定的集合A，它的补集是指那些不属于A的元素所组成的集合。
符号为A'或A。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}，则A'={ }或A={ }。
【初中数学】专题十九 “无图类”几何计算中的分类讨论思想 (练习题)
专题十九“无图类”几何计算中的分类讨论思想(361)1.已知∠COD=30∘，∠AOC=90∘，∠BOD=80∘，OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．2.线段AB，BC均在直线l上，若AB=12m，AC=4m，M，N分别是AB，AC的中点，画图并求MN的长．3.已知线段AB=10cm，直线AB上有一点C，BC=5cm，M是线段AB上的点，且AC∶BM=3∶1，求线段AM的长．4.如图，点C在线段AB上，AC=8cm，BC=6cm，M,N分别是AC,BC的中点．(1)求线段MN的长．(2)若C为线段AB上任意一点，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．(3)若点C在AB的延长线上，且AB=acm，M，N仍是AC,BC的中点，则MN的长度为(直接写出答案)．5.已知m，n满足等式(m−6)2+2|n−m+4|=0.(1)求m，n的值；(2)已知线段AB=m，在直线AB上取一点P，恰好使AP=nPB，Q为PB的中点，求线段AQ的长，并画出图形．6.OC，OD是从∠AOB的顶点O引出的两条射线，若∠AOB=75∘，∠BOC=45∘,并且OD平分∠AOC，试求∠BOD的度数．参考答案1.【答案】:解：第一种情况：如图①所示，因为∠AOC=90∘，∠COD=30∘，所以∠AOD=∠AOC+∠COD=90∘+30∘=120∘，所以∠AOB=∠AOD−∠BOD=120∘−80∘=40∘.因为OM平分∠AOD，所以∠AOM=∠MOD=12×120∘=60∘，所以∠BOM=∠AOM−∠AOB=60∘−40∘=20∘.因为∠BOD=80∘，∠COD=30∘，所以∠BOC=80∘−30∘=50∘.因为ON平分∠BOC，所以∠BON=12∠BOC=25∘，所以∠MON=∠BON−∠BOM=25∘−20∘=5∘；第二种情况：如图②所示，因为∠COD=30∘，∠AOC=90∘，所以∠AOD=∠COD+∠AOC=30∘+90∘=120∘.因为OM平分∠AOD，所以∠AOM=∠MOD=12∠AOD=60∘，所以∠MOC=∠AOC−∠AOM=30∘.因为∠BOD=80∘，所以∠BOC=∠BOD+∠COD=80∘+30∘=110∘.因为ON平分∠BOC，所以∠CON=12∠BOC=12×110∘=55∘，所以∠MON=∠MOC+∠CON=30∘+55∘=85∘；第三种情况：如图③所示，∠MON=85∘.第四种情况：如图④所示，∠MON=5∘.综上所述，∠MON的度数为5∘或85∘.2.【答案】:解：第一种情况：若点C在线段AB上(如图①)．因为M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，所以AM=12AB=6cm，AN=12AC=2cm，所以MN=AM−AN=6−2=4(cm)；第二种情况：若点C在线段BA的延长线上(如图②)．因为M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，所以AM=12AB=6cm，AN=12AC=2cm，所以MN=AM+AN=6+2=8(cm)．综上所述，MN的长为4cm或8cm．3.【答案】:解：第一种情况：当点C在线段AB的延长线上时(如图①)．由线段的和差，得AC=AB+BC=10+5=15(cm)．由比例的性质，得BM=13AC=13×15=5(cm)．由线段的和差，得AM=AB−BM=10−5=5(cm)；第二种情况：当点C在线段AB上时，AC=AB−BC=10−5=5(cm)(如图②)．由比例的性质，得BM=13AC=13×5=53(cm)．由线段的和差，得AM=AB−BM=10−53=253(cm)．综上所述，线段AM的长为5cm或253cm．4(1)【答案】解：因为M是AC的中点，所以MC=12AC=12×8=4(cm)．因为N是BC的中点，所以CN=12BC=12×6=3(cm)．所以MN=MC+CN=4+3=7(cm)．(2)【答案】MN=7cm．理由：因为M是AC的中点，所以MC=12AC．因为N是BC的中点，所以CN=12BC．所以MN=MC+CN=12(AC+BC)=12×14=7(cm)．(3)【答案】12acm【解析】:如图所示：因为M是AC的中点，所以MC=12AC=12(AB+BC)．因为N是BC的中点，所以NC=12BC．所以MN=MC−NC=12(AB+BC)−12BC=12a(cm)．5(1)【答案】解：由(m−6)2+2|n−m+4|=0，得m−6=0，n−m+4=0.解得m=6，n=2.(2)【答案】由(1)得AB=6，AP=2PB．有两种情况：第一种情况：当点P在点B的左侧时(如图①)．则AB=AP+PB=6.因为AP=2PB，所以3PB=6，解得PB=2，则AP=2PB=2×2=4.因为Q为PB的中点，所以PQ=1PB=1，2所以AQ=AP+PQ=4+1=5;第二种情况：当点P在点B的右侧时(如图②)．因为AP=AB+PB，AP=2PB，所以2PB=6+PB，所以PB=6.因为Q为PB的中点，所以BQ=1PB=3，2所以AQ=AB+BQ=6+3=9.综上所述，AQ的长为5或9.6.【答案】:解：第一种情况：当OC在∠AOB的内部时，如图①所示，∠AOC=∠AOB−∠BOC=75∘−45∘=30∘.因为OD平分∠AOC，所以∠COD=1∠AOC=15∘，2所以∠BOD=∠BOC+∠COD=45∘+15∘=60∘；第二种情况：当OC在∠AOB的外部时，如图②所示，∠AOC=∠AOB+∠BOC=75∘+45∘=120∘. 因为OD平分∠AOC，所以∠COD=1∠AOC=60∘，2所以∠BOD=∠COD−∠BOC=60∘−45∘=15∘.综上所述，∠BOD的度数为60∘或15∘.。
正方体的旋转体积计算和几何性质
正方体的旋转体积计算和几何性质正方体是一种具有六个面的立体形状，每个面都是正方形。
在本文中，将讨论正方体的旋转体积计算和一些相关的几何性质。
一、旋转体积计算为了计算正方体的旋转体积，我们需要确定旋转的轴和旋转的范围。
在这里，我们选择以正方体的一个顶点为旋转中心，并且旋转角度为360度，即完整地绕着这个顶点旋转一圈。
思考一下正方体的结构，我们可以发现，在绕着一个顶点旋转过程中，与旋转轴相垂直的面将会成为一个圆盘。
而其他面则会以圆盘为界分割成两部分，一部分是正方形，另一部分则是矩形。
因此，正方体的旋转体积可以分解为一个圆盘与两个矩形的体积之和。
1. 圆盘体积计算：正方体的边长为a，以一个顶点O为旋转中心，绕其旋转一周形成的圆盘可以看作一个圆柱体。
圆柱体的底面半径为a，高度为a。
因此，圆盘体积的计算公式为：V1 = π * a^2 * a = π * a^32. 矩形体积计算：在正方体的旋转过程中，除了圆盘以外，还有两个具有宽度为a，高度为a的矩形体。
这两个矩形体的长度可以通过矩形的对角线长度来计算。
由正方体的性质可知，矩形的对角线长度d等于正方体的边长a。
因此，矩形体积的计算公式为：V2 = a * a * d = a * a * a = a^3综上所述，正方体的旋转体积等于圆盘体积与两个矩形体积之和：V = V1 + 2 * V2 = π * a^3 + 2 * a^3 = (π + 2) * a^3二、几何性质正方体旋转体积的计算使我们更好地了解了其几何性质。
除此之外，正方体还具有一些其他的几何性质，如下所示：1. 表面积：正方体的六个面都是正方形，边长为a。
因此，正方体的表面积可以通过计算一个正方形的面积乘以6来得到，即：S = 6 * a^22. 对角线长度：正方体的对角线长度可以通过应用勾股定理来计算。
假设正方体的边长为a，那么对角线的长度d满足：d = √(a^2 + a^2 + a^2) = √3 * a3. 体对角线长度：正方体的体对角线长度可以通过应用勾股定理来计算。
高中几何知识解析圆的面积计算
高中几何知识解析圆的面积计算在高中数学中，几何知识是非常重要的一部分。
其中，圆的面积计算是一个基本而又关键的概念。
本文将对高中几何知识中关于圆的面积计算进行详细解析。
一、圆的定义和性质在讨论圆的面积计算之前，我们首先要了解圆的定义和性质。
圆是由平面上到一定距离的所有点构成的点集。
圆的性质包括以下几点：1. 圆上的任意两点之间的距离都相等。
2. 圆的半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，半径的长度都相等。
3. 圆的直径是通过圆心，并且两个端点都位于圆上的线段，直径的长度是半径长度的两倍。
二、圆的面积计算公式圆的面积计算公式是通过圆的半径来计算的。
根据圆的性质，我们可以得到圆的面积计算公式如下：S = πr²其中，S代表圆的面积，π代表圆周率，r代表圆的半径。
圆周率π是一个无理数，近似值为3.14159。
根据这个公式，我们可以计算出圆的面积。
三、圆的面积计算例题为了更好地理解圆的面积计算，我们来看几个具体的例题。
例题1：一个圆的半径为5cm，求其面积。
解析：根据圆的面积计算公式，我们可以计算出这个圆的面积为S= πr² = 3.14159 × 5² = 78.53975cm²。
例题2：一个圆的直径为10cm，求其面积。
解析：根据圆的性质，我们知道直径等于半径的两倍，所以这个圆的半径r = 10cm / 2 = 5cm。
然后，根据圆的面积计算公式，我们可以得到这个圆的面积为S = πr² = 3.14159 × 5² = 78.53975cm²。
通过以上例题，我们可以看到圆的面积计算是非常简单的，只需要知道圆的半径或直径，然后套入公式即可得出结果。
四、圆的面积计算相关知识除了基本的圆的面积计算公式外，我们还可以探讨一些与圆的面积计算相关的知识。
1. 扇形的面积计算：扇形是由圆心、圆周上的两个点以及与圆周相交的弧段组成的部分。
几何体的投影形状与体积计算
几何体的投影形状与体积计算几何体是我们在数学中常常会遇到的一个概念，它包括了许多不同形状的物体，比如立方体、圆柱体、球体等。
在研究几何体时，投影形状和体积是我们需要重点关注的两个方面。
本文将围绕这两个方面展开讨论，并介绍相应的计算方法。
一、投影形状在空间几何中，我们常常需要研究几何体在不同方向上的投影形状。
投影形状可以帮助我们更好地理解几何体的结构和特性。
下面以立方体为例，简要介绍几何体的投影形状。
1. 立方体的投影形状立方体是由六个正方形组成的几何体，它在不同方向上的投影形状各不相同。
首先，考虑立方体在正方体底面上的投影形状。
当光源位于立方体正上方时，立方体的投影形状与其底面相同，为一个正方形。
然后，我们研究立方体在侧面上的投影形状。
当光源位于立方体的侧面时，立方体的投影形状是一个矩形，长和宽分别等于立方体的边长。
最后，我们考虑立方体在其它方向上的投影形状。
当光源位于立方体的顶面或底面中心时，立方体的投影形状将变为一个菱形，其对角线为立方体的对角线。
除了立方体，其他几何体在不同方向上的投影形状也有各自的特点。
通过研究几何体的投影形状，我们可以更好地理解几何体的结构，并在实际应用中进行相应的设计和计算。
二、体积计算体积是一个几何体的重要属性，它可以帮助我们计算物体的容量、质量等相关问题。
下面将介绍一些常见几何体的体积计算方法。
1. 立方体的体积计算立方体是一个具有六个相等立方面的几何体，它的体积计算相对简单。
立方体的体积可以通过边长的立方来计算，即体积等于边长的立方，公式为V = a³，其中V表示体积，a表示边长。
2. 圆柱体的体积计算圆柱体是一个由两个平行圆面和一个连接两圆面的侧面组成的几何体。
圆柱体的体积可以通过底面的面积乘以高来计算，即体积等于底面积乘以高，公式为V = πr²h，其中V表示体积，r表示底面半径，h表示高。
3. 球体的体积计算球体是一个由所有到球心距离相等的点组成的几何体。
数学中的几何算法
数学中的几何算法几何学是数学的一个重要分支，它研究空间的形状、大小、位置以及其它与空间相关的性质。
而几何算法则是应用数学在几何学中解决问题的科学方法。
本文将介绍数学中的几何算法，并讨论它们在实际应用中的重要性。
一、点与线的相关算法1. 直线的方程在解决几何问题中，求直线的方程是一个非常重要的步骤。
直线的方程可以采用不同的形式表示，比如一般式、截距式、斜截式等。
通过给定直线上的两个点，我们可以轻易地求得直线的斜率和截距，从而得到直线的方程。
2. 点到直线的距离计算一个点到直线的距离是几何算法中的常见问题。
通过点到线段的最短距离公式，我们可以轻松地求得一个点到直线的距离。
3. 直线的交点当我们需要求两条直线的交点时，可以通过解方程组的方法得到。
选取其中一条直线的方程，将另一条直线的方程代入，并从中解出交点的坐标，即可得到两条直线的交点。
二、多边形算法1. 多边形的面积计算多边形的面积是几何算法中的重要问题。
根据多边形的顶点坐标，我们可以利用向量叉积的性质来计算多边形的面积。
2. 多边形的凸包多边形的凸包是包含该多边形的最小凸多边形。
通过凸包算法，我们可以将一个给定的多边形转化为一个凸多边形，并找到凸包上的所有顶点。
3. 多边形的切割将一个多边形切割为几个子多边形是几何算法中的一个常见问题。
通过切割算法，我们可以将一个复杂的多边形切割为若干个简单的多边形，以便于后续的处理或计算。
三、曲线算法1. 圆的方程计算圆的方程是几何算法中的基础问题。
圆的方程可以采用标准方程或参数方程表示，通过给定圆心和半径的值，我们可以很容易地得到圆的方程。
2. 切线的斜率当我们需要求圆上某一点的切线斜率时，可以利用圆的方程和导数的概念来求解。
通过求导，我们可以得到切线的斜率，从而得到圆上某一点的切线方程。
3. 弧长的计算计算圆弧的长度是几何算法中的一个实际问题。
通过圆的半径和圆心角的大小，我们可以利用弧长公式来计算圆弧的长度。
几何图形周长与面积计算
几何图形周长与面积计算1. 引言在数学中，几何图形是研究空间中的形状、大小、相对位置和度量等性质的一门学科。
而几何图形的周长和面积是其中最基本的两个概念。
本文将讨论如何计算不同几何图形的周长和面积，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
2. 点、线、面及其关系在进一步讨论几何图形的周长和面积之前，我们首先需要了解一些基本概念。
•点：点是几何图形的基本要素，用于表示位置，没有大小和方向。
•线：线由多个点连接而成，是一维的几何要素，没有宽度。
•面：面由多个线组成，是二维的几何要素，有宽度和长度。
这些基本要素之间有着严格的关系。
例如，两个点可以确定一条线，而三条线可以构成一个面等等。
3. 周长的计算方法周长是指几何图形的边界长度，通常用于表示封闭曲线的长度。
以下是几种常见几何图形的周长计算方法：3.1. 矩形的周长计算矩形是一种有四个直角的四边形，它的周长可以通过其边长计算得出。
一个矩形的周长等于两倍的长加两倍的宽。
周长 = 2 * (长 + 宽)3.2. 正方形的周长计算正方形是一种特殊的矩形，其边长都相等。
因此，正方形的周长可以通过一个边长的值计算得出。
一个正方形的周长等于边长的四倍。
周长 = 4 * 边长3.3. 圆的周长计算圆是平面上一个点到另一个点的距离恒定的平面图形，其周长也有一个特殊的计算公式。
一个圆的周长等于直径乘以圆周率π。
周长 = 直径* π4. 面积的计算方法面积是指几何图形所覆盖的平面区域的大小。
以下是几种常见几何图形的面积计算方法：4.1. 矩形的面积计算矩形的面积可以通过其长和宽的乘积计算得出。
面积 = 长 * 宽4.2. 正方形的面积计算正方形的面积可以通过其边长的平方计算得出。
面积 = 边长 * 边长4.3. 圆的面积计算圆的面积可以通过其半径的平方乘以圆周率π 计算得出。
面积 = 半径^2 * π5. 结论通过本文的介绍，我们了解了几何图形周长和面积的计算方法。
这些计算方法可以帮助我们更好地理解和应用几何图形的特性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7. then if s的一个端点在L上且该端点是s两端点中纵坐标较大的端点
9. then count ← count+1
10. else if s和L相交
11. then count ← count+1;
以点P为端点，向左方作射线L，由于多边形是有界的，所以射线L的左端一定在多边形外，
考虑沿着L从无穷远处开始自左向右移动，遇到和多边形的第一个交点的时候，进入到了多
边形的内部，遇到第二个交点的时候，离开了多边形，……所以很容易看出当L和多边形的
交点数目C是奇数的时候，P在多边形内，是偶数的话P在多边形外。
判断线段、折线、多边形是否在矩形中
因为矩形是个凸集，所以只要判断所有端点是否都在矩形中就可以了。
6.判断矩形是否在矩形中
只要比较左右边界和上下边界就可以了。
7.判断圆是否在矩形中
圆在矩形中的充要条件是：圆心在矩形中且圆的半径小于等于圆心到矩形四边的距离的最
小值。
8.判断点是否在多边形中
；
线段和多边形交于线段的两端点并不会影响线段是否在多边形内；但是如果多边形的某个
顶点和线段相交，还必须判断两相邻交点之间的线段是否包含与多边形内部。因此我们可
以先求出所有和线段相交的多边形的顶点，然后按照X-Y坐标排序，这样相邻的两个点就是
在线段上相邻的两交点，如果任意相邻两点的中点也在多边形内，则该线段一定在多边形
线段在多边形内的一个必要条件是线段的两个端点都在多边形内；
如果线段和多边形的某条边内交（两线段内交是指两线段相交且交点不在两线段的端点）
，因为多边形的边的左右两侧分属多边形内外不同部分，所以线段一定会有一部分在多边
形外。于是我们得到线段在多边形内的第二个必要条件：线段和多边形的所有边都不内交
4.判断两线段是否相交
我们分两步确定两条线段是否相交：
(1)． 快速排斥试验
设以线段 P1P2 为对角线的矩形为R， 设以线段 Q1Q2 为对角线的矩形为T，如果R和T不相
交，显然两线段不会相交；
(2)． 跨立试验
如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方，如图1所示。在图1中，P1P2跨立Q1Q2 ，则
ห้องสมุดไป่ตู้
这个算法的复杂度也是O(n)。其中的排序因为交点数目肯定远小于多边形的顶点数目n，所
以最多是常数级的复杂度，几乎可以忽略不计。
10.判断折线在多边形内
只要判断折线的每条线段是否都在多边形内即可。设折线有m条线段，多边形有n个顶点，
则复杂度为O(m*n)。
11.判断多边形是否在多边形内
> 若 P × Q < 0 , 则P 在Q的逆时针方向
> 若 P × Q = 0 , 则P 与Q共线，但可能同向也可能反向
3.判断点在线段上
设点为Q，线段为P1P2 ，判断点Q在该线段上的依据是：
( Q - P1 ) × ( P2 - P1 ) = 0 且 Q 在以 P1，P2为对角顶点的矩形内
所以判断P1P2跨立Q1Q2的依据是：
( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) ≥ 0
同理判断Q1Q2跨立P1P2的依据是：
( Q1 - P1 ) × ( P2 - P1 ) * ( P2 - P1 ) × ( Q2 - P1 ) ≥ 0
的边上纵坐标较大的顶点，则计数，否则忽略；3。对于P在多边形边上的情形，直接可判
断P属于多边行。由此得出算法的伪代码如下：
1. count ← 0;
2. 以P为端点，作从右向左的射线L;
3, for 多边形的每条边s
4. do if P在边s上
5. then return true;
上就可以了。
至此我们得出算法如下：
1. if 线端PQ的端点不都在多边形内
2. then return false;
3. 点集pointSet初始化为空;
4. for 多边形的每条边s
5. do if 线段的某个端点在s上
6. then 将该端点加入pointSet;
垂线方程为：
y = (-1/k) * (x - point.x) + point.y
联立两直线方程解得：
x = ( k^2 * pt1.x + k * (point.y - pt1.y ) + point.x ) / ( k^2 + 1)
y = k * ( x - pt1.x) + pt1.y;
如果该线段不平行于X轴也不平行于Y轴，则斜率存在且不为0。设线段的两端点为pt1和pt
2，斜率为：
k = ( pt2.y - pt1. y ) / (pt2.x - pt1.x );
该直线方程为：
y = k* ( x - pt1.x) + pt1.y
其垂线的斜率为 - 1 / k，
或 centerPoint.y - radius， 如图4 (b)所示。
如果PO不平行于X轴和Y轴，则PO的斜率存在且不为0，如图4(c)所示。这时直线PO斜率为
k = （ P.y - O.y ）/ ( P.x - O.x )
连接点P和圆心O，如果PO平行于X轴，则根据P在O的左边还是右边计算出最近点的横坐标为
centerPoint.x - radius 或 centerPoint.x + radius， 如图4 (a)所示；如果如果PO平
行于Y轴，则根据P在O的上边还是下边计算出最近点的纵坐标为 centerPoint.y -+radius
至此已经完全解决判断线段是否相交的问题。
5.判断线段和直线是否相交
如果线段 P1P2和直线Q1Q2相交，则P1P2跨立Q1Q2，即：
( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) ≥ 0
6.判断矩形是否包含点
只要判断该点的横坐标和纵坐标是否夹在矩形的左右边和上下边之间。
矢量 ( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位于矢量( Q2 - Q1 ) 的两侧，即
( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) < 0
上式可改写成
( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) > 0
内。计算圆心到多边形每条边最短距离的算法在后文阐述。
14.判断点是否在圆内
计算圆心到该点的距离，如果小于等于半径则该点在圆内。
15.判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内
因为圆是凸集，所以只要判断是否每个顶点都在圆内即可。
16.判断圆是否在圆内
设两圆为O1,O2，半径分别为r1, r2，要判断O2是否在O1内。先比较r1，r2的大小，如果r
当 ( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) = 0 时，说明 ( P1 - Q1 ) 和 ( Q2 - Q1 )共线，
但是因为已经通过快速排斥试验，所以 P1 一定在线段 Q1Q2上；同理，( Q2 - Q1 ) ×(
P2 - Q1 ) = 0 说明 P2 一定在线段 Q1Q2上。
1. 矢量减法
设二维矢量 P = （x1,y1） ，Q = (x2,y2)
则矢量减法定义为： P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )
显然有性质 P - Q = - ( Q - P )
如不加说明，下面所有的点都看作矢量，两点的减法就是矢量相减；
2.矢量叉积
设矢量P = （x1,y1） ，Q = (x2,y2)
然后再判断垂足是否在线段上，如果在线段上则返回垂足；如果不在则计算两端点到垂足
的距离，选择距离垂足较近的端点返回。
18.计算点到折线、矩形、多边形的最近点
只要分别计算点到每条线段的最近点，记录最近距离，取其中最近距离最小的点即可。
19.计算点到圆的最近距离
如果该点在圆心，则返回UNDEFINED
7. else if s的某个端点在线段PQ上
8. then 将该端点加入pointSet;
9. else if s和线段PQ相交 // 这时候可以肯定是内交
10. then return false;
11. 将pointSet中的点按照X-Y坐标排序，X坐标小的排在前面，对于X坐标相同的点，Y坐
边形内的充要条件是：P，Q在多边形内且对于i =1, 2,……, n-1，Pi ,Pi+1的中点也在多
边形内。
在实际编程中，没有必要计算所有的交点，首先应判断线段和多边形的边是否内交，倘若
线段和多边形的某条边内交则线段一定在多边形外；如果线段和多边形的每一条边都不内
交，则线段和多边形的交点一定是线段的端点或者多边形的顶点，只要判断点是否在线段
内部，P1-Q-P'完全连续，所以P1Q和QP'一定跨越多边形的边界，因此在P1,P'之间至少还
有两个该线段和多边形的交点，这和P1P2是相邻两交点矛盾，故命题成立。证毕
由命题1直接可得出推论：
推论2：
设多边形和线段PQ的交点依次为P1,P2,……Pn，其中Pi和Pi+1是相邻两交点，线段PQ在多
1<r2则O2不可能在O1内；否则如果两圆心的距离大于r1 - r2 ，则O2不在O1内；否则O2在
O1内。