切线和内切圆
切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(基础)
切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解（基础）责编：常春芳【学习目标】1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.三角形的内心到三角形的三边距离相等.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1．（2015秋•湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求△PCD的周长．（2）若∠P=50°求∠DOC．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵PA、PB与圆O相切，∴PA=PB=6，同理可得：AC=CE，BD=DE，△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；（2）∵PA PB与圆O相切，∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，在Rt△AOC和Rt△EOC中，，∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），∴∠AOC=∠COE，同理：∠DOE=∠BOD，∴∠COD=∠AOB=65°．【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键．2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.3421OFD CB A【答案与解析】证明：连结OD 、CD ，AC 是直径，∴OA=OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC ，∠ADC=90°，∴△CDB 是直角三角形.∵E 是BC 的中点，∴DE=EB=EC ，∴∠ECD=∠EDC ，∠ECD+∠OCD=90°， ∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD ⊥ED ， ∴DE 是⊙O 切线.【总结升华】自然连接OD ，可证OD ⊥DE. 举一反三：【变式】已知：如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D .求证：DA 为⊙O 的切线.OFD CBA【答案】证明：连接AO .∵ AO BO =，∴ 23∠=∠.∵ BA CBF ∠平分，∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ . ∴ DB ∥AO .∵ AD DB ⊥,∴ 90BDA ∠=︒.∴ 90DAO ∠=︒. ∵ AO 是⊙O 半径，∴ DA 为⊙O 的切线.3．如图，正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）A.12B.24C.8D.6【答案】D；【解析】解：∵AE与圆O切于点F，显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，设EF=EC=xcm，则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，在三角形ADE中由勾股定理得：（4﹣x）2+42=（4+x）2，∴x=1cm，∴CE=1cm，∴DE=4﹣1=3cm，∴S△ADE=AD•DE÷2=3×4÷2=6cm2．【总结升华】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF，EF=EC．类型二、三角形的内切圆4．（2015•靖江市校级二模）如图，在△ABC中，I是内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点．（1）求证：AB=AC；（2）若BC=16，⊙O的半径是5，求AI的长．【解题思路】（1）延长AI交BC于D，连结OI，如图，根据内心的性质得∠OBI=∠DBI，则可证明OI∥BD，再根据切线的性质得OI⊥AI，则BD⊥AD，加上AI平分∠BAC，所以△ABC为等腰三角形，得到AB=AC；（2）由OI∥BC，得到△AOI∽△ABD，得到比例式，再根据勾股定理求得2232 3AB BD-=，于是就可得．【答案与解析】解：（1）延长AI交BC于D，连结OI，如图，∵I是△ABC的内心，OCBA∴BI 平分∠ABC，即∠OBI=∠DBI， ∵OB=OI，∴∠OBI=∠OIB， ∴∠DBI=∠OIB， ∴OI∥BD，∵AI 为⊙O 的切线， ∴OI⊥AI， ∴BD⊥AD，∵AI 平分∠BAC，∴△ABC 为等腰三角形， ∴AB=AC；（2）∵OI∥BC， ∴△AOI∽△ABD， ∴==，∴=， ∴AB=，∴AD=22323AB BD -=， ∴AI=•AD=×=．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键． 举一反三：【变式】已知如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC 的内切圆⊙O 的半径r.OCBA【答案】解：连结OA 、OB 、OC ，∵△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5. 则S △AOB +S △COB +S △AOC =S △ABC ，即11115+4+3=34=12222r r r r ⨯⨯⨯⨯⨯，。
切线长定理与三角形内切圆
基础知识点（一）知识点一：切线长定理1.切线长的概念： 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 2. 切线和切线长是两个不同的概念切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
3. 定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
注：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法4. 方法总结解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。
（1）分别连结圆心和切点（2）连结两切点（3）连结圆心和圆外一点5. 切线，常有六性质1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3切线垂直于过切点的半径; 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
6.示例讲解例1如图，四边形 ABCD 的边AB 、BC 、CD DA 和圆O O 分别相切于点 L 、M 、N 、P ,求证： AD+BC=AB+CD 例2如图，卩是00外一点t PA.PB 分别和00切于点=4 c 叫是箱上任意•点，过点作O"的切线分 别交PA.PB 于点D&求；（I ） A PDE 的周长；例3（2014，云歯曲靖中考・23题* 10分）如图是GO 的切线胡/为切点是OO 的直径,GPR 的延长线相 交丁点“<1）若Z.1-20%求LAPB 的度数.（2）当"为多少度时请说明理由.（二）知识点二：三角形的内切圆1.问题：怎样做三角形内切圆2.方法：作角平分线1.作/ ABC 、 / ACB 的平分线 BM 和CN ，交点为I. ID 为半径作O I. O I 就是所求的圆.3. 定义和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
初中：切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(基础)
切线长定理及三角形的内切圆一知识讲解〈基础）【学习目标】l.了解切线长定义：理解三角形的内切圆及内心的定义：2.掌握切线长定理：利用切线长定理解决相关的计算和证明．【要点梳理】要点一、切线长定理1.切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长．要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称．切线是直线，而非线段．2.切线长定理z从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等．要点二、三角形的内切圆1.三角形的内切圆z与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形．三角形的内心到三角形的三边距离相等．2.三角形的内心z三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点．要点诠释z(1）任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形：(2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积户即S=;Pr (S 7'J 三角形的面积P为三角形的周长r为内切圆阳）(3）三角形的外心与内心的区别：名称｜确定方法｜图形｜性质外心（三角形｜三角形三边中垂线的外接圆的圆｜交点心）AB(1)OA=OB=OC: (2）外心不一定在三角形内部内心（三角形三角形三条角平分线内切圆的圆的交点心）【典型例题】类型一、切线长定理B c(1)到三角形三边距离相等：(2) O A、OB、oc分别平分L'.'.BAC、ζABC、丘ACB:(3）内心在三角形内部．。
1.(2叫湛江校级脚己知PA,PB :5t别切。
于A、B E为劣弧础上一点过E,#,1¥Ji;JJ�交PA于C、交PB于D.(1）若PA吨，求6PCD的周长．(2）若ζP=50°求ζDOC.p【答案与解析】解：(1）连接OE,..PA、PB与圆0相切，:.PA=PB=6,同理可得：AC=CE,BD=DE,6PCD的周长＝PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12: (2）γPA PB与圆O相切，二ζOAP＝ζOBP=90。
《切线长定理》与内切圆
4.已知：△ABC中,∠A=70º,点O是内心，求 ∠BOC的度数。
A
O
B
C
5、已知△ABC的内切圆分别和BC、AC、AB切于
点D、E、F,BC=9cm,AC=13cm,AB=14cm,求AF、
BD和CE的长。
A
F
E
B
D
C
6.如图△ABC中，∠C＝90，AC＝6，BC＝8，三角 形三边与⊙O均相切，切点分别是D、E、F，求⊙O 的半径。
A
P O
B
如何用尺规通过圆外一点画出圆的切线？
A
OO ·
P
B
1.认识切线长：
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫
做这点到圆的切线长.
A
O
·
P
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
2.研究切线长的性质：A
切线长定理：
过圆外一点
引圆的两条
O
P
切线，它们 的切线长相
B
等。
你还会得到哪些结论？再连接AB呢？
切线长定理与内切圆
圆的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
圆的判定定理：
过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
是基本思路）
新课导入：
过一点A作⊙O的切线，
1.当点A在圆内时，能画⊙O的切线吗？ 2.当点A在圆上时，能画⊙O的切线吗？ 3.当点A在圆外时，能画⊙O的切线吗？
1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线. 2.这样的切线能画出几条？
A
F
D
O
CE
B
7.已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA分别与⊙O
第2课时 切线的判定与三角形的内切圆
一、切线的判定 1.定理:过半径 外端 且 垂直于 这条半径的直线是圆的切线. 2.如果圆心到一条直线的距离等于 半径长 ,那么这条直线是圆的切线. 二、三角形的内切圆 和三角形三边都相切的圆可以作出 一个 ,并且只能作出 一个 ,这个 圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形 三条角平分线 的交点, 叫做三角形的内心,它到三角形 三边 的距离相等.
.
2.AE= OE
,BF=
OF .
解:EF=AE+BF.理由如下: 连接OA,OB, 因为O是△ABC的内心, 所以OA,OB分别是∠CAB,∠ABC的平分线, 所以∠EAO=∠OAB,∠ABO=∠FBO, 因为EF∥AB, 所以∠AOE=∠OAB,∠BOF=∠ABO, 所以∠EAO=∠AOE,∠FBO=∠BOF, 所以AE=OE,OF=BF,所以EF=AE+BF.
1.如图,☉O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的( B ) (A)三条边的垂直平分线的交点 (B)三条角平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D)三条高的交点 2.下列关于圆的切线的说法正确的是( D ) (A)垂直于圆的半径的直线是圆的切线 (B)与圆只有一个公共点的射线是圆的切线 (C)经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线 (D)如果圆心到一条直线的距离等于半径长,那么这条直线是圆的切线
3.如图,A,B是☉O上120°,那么当 ∠CAB的度数等于 60 度时,AC才能成为☉O的切线.
4.(2019曲靖一模)如图,已知点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BOC=124°,则 ∠A= 68° .
5.如图,已知CD为☉O的直径,点A为DC延长线上一点,B为☉O上一点,且∠ABC= ∠D. 求证:AB为☉O的切线.
切线长定理和三角形的内切圆
切线长定理和三角形的内切圆切线长定理和三角形的内切圆，这俩玩意儿看上去有点高深莫测，但其实嘛，真没那么复杂，大家来轻松聊聊。
想象一下，你在一个阳光明媚的下午，跟朋友们一起聚会，话题从生活琐事聊到数学，大家哈哈大笑，结果你一不小心提到了这两样东西。
你朋友们肯定会瞪大眼睛，疑惑地问：“这是什么鬼？”别急，让我来给你解解惑。
切线长定理就像是数学界的小秘密。
啥意思呢？就是在一个圆外，如果你画一条切线，这条线跟圆的交点只有一个，那就有点意思了。
这条切线的长度与从圆心到切线的距离有关。
大家可能会想，听起来好像没啥用。
切线长定理就像生活中的一条真理，适用性非常广。
举个例子，如果你想用一根绳子围住一个圆，绳子长短跟你离这个圆的远近有直接关系。
这种简单的道理其实在很多地方都能找到，比如你在超市排队，越靠近收银台，越容易看到商品，哈哈，明白了吗？说到内切圆，它就像是三角形里的小秘密武器。
内切圆的意思就是一个圆，它刚好能碰到三角形的三条边。
听上去是不是很神奇？这就好比你想象一下，一个小朋友在玩捉迷藏，躲在一个房间的正，四周都有墙壁，但它总能找到一个最舒服的位置，这就是内切圆的感觉。
三角形的每一条边都可以算得上是“朋友”，而这个内切圆就像是它们的聚会地点。
更妙的是，内切圆的半径跟三角形的面积和周长有着密不可分的关系。
这就像是你在聚会中，跟朋友们聊得开心的同时，气氛越好，大家就越会聚在一起，形成一种共鸣。
再说切线长定理和内切圆的关系。
这俩玩意儿就像是一对黄金搭档。
在三角形里，如果我们在三角形的每一边画切线，切线的长度与内切圆的半径又有妙不可言的联系。
简而言之，切线的长度告诉你这个圆有多大，而内切圆又是三角形的灵魂。
大家可以想象，内切圆就像是三角形的情感核心，而切线则是把这情感包围起来的纽带。
它们互相依存，缺一不可。
我们可以通过简单的图形来理解这一切。
想象一下，一个大三角形，中间有一个小圆，圆正好包裹住三角形的每一条边。
你站在三角形的某个顶点，伸出手，发现能碰到内切圆的点。
切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(提高)
切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.三角形的内心到三角形的三边距离相等.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1.（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】解：连接OD．∵ OA=OD，、∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【变式】已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=x ，⑴如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．【答案】解：（1）设AM 与⊙O 相切于点B ，连接OB ，则OB ⊥AB ；在Rt △AOB 中，∠A=30°， 则AO=2OB=4， ∴ AD=AO-OD ， 即AD=2．x=AD=2. （2）过O 点作OG⊥AM 于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=22 ∵OG⊥BC，2，2，在Rt △OAG 中，∠A=30°∴OA=2OG=22，MNEDO图（1）．MANEDBCO图（2）∴x=AD=22－23.（2014•高港区二模）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以AB为直径在矩形内作半圆．DE切⊙O于点E（如图），则tan∠CDF的值为（）A．B．C．D．【答案】B；【解析】解：如图，设FC=x，AB的中点为O，连接DO、OE．∵AD、DE都是⊙O的切线，∴DA=DE=3．又∵EF、FB都是⊙O的切线，∴EF=FB=3﹣x．∴在Rt△DCF中，由勾股定理得，（6﹣x）2=x2+42，解得，x=，则tan∠CDF===．故选B．类型二、三角形的内切圆4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．OCBA【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形ABCD 的内切圆， ∴AD、AB 、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD， 即∠O DA=∠ADC，∠OAD=∠BAC， ∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°， ∴∠ODA+∠OAD=90°， ∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD 中，∵AO=8cm，DO=6cm ， ∴AD==10（cm ），∵AD 切⊙O 于E ，∴OE⊥AD， ∴OE•AD=OD•OA， ∴OE==（cm ）；（Ⅲ）∵F 是AD 的中点， ∴FO=AD=×10=5（cm ）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理． 举一反三：【变式】如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切与△ABC ，则△ABC 去除⊙O 剩余阴影部分的面积为（ ）A.12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π【答案】D.。
圆的切线的判定和三角形的内切圆
D
l
经过半径的外端并且垂直于这条半径
的 直线是圆的切线
几何语言描述：
OD是⊙O的半 径OD⊥l于
l是⊙O的切线
说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端” 和“垂直于这条半 径”，结论为“直线是圆的切 线”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，
下面两个反例说明只满足其中一圆心与交点得半径
1、已知直线与圆有交点，
（再证明垂直）
过圆心作直线的垂线段 2、没有明确的公共点， （再证明垂线段长等于半径）
例3、如图，AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，⊙O的弦BC平行于OD.
求证：DC是⊙O的切线
D
分析：直线CD与⊙O有公共点，要证明
C
CD是⊙O的切线就要连半径证垂直。
A
B
O
五、课堂小结：
（一） 判定一条直线是圆的切线有三种方法
1 根据定义直线与圆有唯一的公共点
2 根据圆心到直线的距离等于半径
3 根据判定定理
( ×)
3、作切线： 已知⊙O和⊙O上的一点A，如何过点A画⊙O的切线？
·A
【三、例题“讲”解】
例1、已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB． 求证：直线AB是⊙O的切线
分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连
结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB.
O
∠α ，当l绕点A旋转时， （1）、随着∠α的变化点O到l的距离d是如何变化？直线l与⊙O 的位置关系是如何变化？ （2）、当∠α等于多少度时，点O到l 的距离等于半径r？此时直 线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
l
直线l是圆的切线满足两个条件
1.经过半径的外端
切线长定理和内切圆
A
O
经过圆外一点的圆的 切线上，这点和切点 之间的线段的长叫做 这点到圆的切线长
· B
P
切线与切线长一样吗？
它们有什么区别与联系呢？
比一比
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点，可以度量。
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点， 直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形 E
A O
C D B
P
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
⊙O的名称
⊙O叫做 △ABC的 外接圆
例题讲解
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别
相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm， CA=13cm，求AF，BD，CE的长．
练一练
1.如图，正三角形的内切圆半径为1， 那么三角形的边长为＿＿＿＿＿＿ 2. 在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3， AC=4，则它的内切圆半径是＿ 3.如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°， 点O是内心，求∠BOC的度数。 4.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l， 求△ABC的面积。
假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形 的三条边的距离都等于半径。如何找到这个圆心呢？
三角形的内切圆
1.三角形的内切圆：与三角形 各边都相切的圆 叫做三角形的内
九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习
九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习【知识点精讲】（一）知识要点----切线长定理1.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
如图，PA,PB即为P点到圆的切线长。
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
（二）知识要点----三角形内切圆1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
练习1.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30． （1）求∠P 的大小；（2）若AB =6，求PA 的长．【总结】切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，利用切线长定理可以证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系等。
2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点D ，过点B 作BE ⊥PD ，交PD 的延长线于点C ，连接AD 并延长，交BE 于点E ．（1）求证：AB=BE ；（2）连结OC ，如果PD=∠ABC=，求OC 的长．603.如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于D，过C 作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为（3，1）．（1）OA的长为__________，OB的长为__________；（2）点C在OA的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2，将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P4，…⊙Pn．若⊙P1，⊙P2，…⊙Pn均在△OCD的内部，且⊙Pn恰好与CD相切，则此时OD的长为__________．（用含n的式子表示）【总结】三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离都相等。
三角形的内切圆与切线
三角形的内切圆与切线三角形是几何学中最基本的图形之一，其内切圆和切线则是与三角形相关的重要概念。
本文将介绍三角形的内切圆及其性质，以及与内切圆相关的切线性质。
一、内切圆的定义与性质内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
设三角形的三边分别为a、b、c，内切圆的半径为r，内切圆的圆心到三角形的三个顶点的距离分别为d1、d2、d3。
根据内切圆的定义可知，内切圆的圆心与三角形三条边的切点分别在同一条直线上，这条直线称为内切圆的切线。
因此，内切圆的切线有以下性质：1. 内切圆的半径等于三角形三条边的内切点到三角形各边的距离之和的一半，即r = (d1 + d2 + d3)/2。
2. 内切圆的半径与三角形的面积S之间存在以下关系：r = S/s，其中s为三角形的半周长，即s = (a + b + c)/2。
3. 内切圆的圆心到三角形三条边的切点的连线与三角形的垂心共线。
二、内切圆的切线性质除了与内切圆相关的性质外，切线也是我们需要了解的重要内容。
以下是与内切圆的切线相关的性质：1. 三角形的三条边上的切线交于一点，这个点称为三角形的内切点。
内切点是三角形的一个重要特征。
2. 内切点到三角形三个顶点的连线互相垂直。
3. 内切点到三角形三边的距离相等。
4. 内切点到三条边的切点的连线是三角形三条边的平分线。
通过研究三角形的内切圆与切线的性质，我们可以更深入地了解三角形的结构，并在解决几何问题时加以应用。
三、例题分析为了更好地理解和应用内切圆与切线的性质，我们来看一个具体的例题：已知三角形ABC的边长分别为AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，求其内切圆的半径以及三个切点的坐标。
解：首先计算半周长s，s = (9 + 12 + 15)/2 = 18cm。
根据内切圆半径与面积的关系，计算内切圆的半径r：r = S/s，其中S为三角形的面积。
根据海伦公式，三角形ABC的面积S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))，代入数值计算得S = √(18(18-9)(18-12)(18-15)) = 36cm²。
初中数学 两个内切的圆的切线之间有什么关系
初中数学两个内切的圆的切线之间有什么关系
两个内切圆的切线之间有一定的关系，让我们详细讨论一下：
设两个内切圆的圆心分别为O1和O2，内切圆的半径为r，切点分别为A和B。
根据内切性质，切线与内切圆的半径垂直，因此，切线AO1和切线BO2是互相垂直的。
我们可以将切线AO1和切线BO2延长至它们的交点C，如下图所示：
```
O1-----------------O2
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
A B
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
C
```
由于切线AO1和切线BO2是互相垂直的，所以三角形ACO1和三角形BCO2构成直角三角形。
设切线AO1的长度为x，切线BO2的长度为y，根据勾股定理，可以得到以下关系：
x^2 + r^2 = (r + y)^2
y^2 + r^2 = (r + x)^2
展开后化简，可以得到：
x^2 + r^2 = r^2 + 2ry + y^2
y^2 + r^2 = r^2 + 2rx + x^2
化简后得到：
x^2 = 2ry
y^2 = 2rx
进一步化简，可得：
x^2 / y^2 = r / r
x / y = √(r / r)
x / y = 1
由此可知，两个内切圆的切线之间的长度比为1，即切线AO1的长度等于切线BO2的长度。
综上所述，两个内切圆的切线之间的长度比为1，即切线AO1的长度等于切线BO2的长度。
这个关系在解决与内切圆有关的问题以及在几何学和数学中的应用中具有重要意义。
切线长定理及三角形内切圆
A
E F
O
B
D
C
例2. 如图，四边形ABCD的边 AB、BC、CD、DA 和⊙O分别相切于L、M、N、P。
（1）图中有几对相等的线段？
（2）由此你能发现什么结论？ 为什么？
解：∵ AB，BC，CD，DA都与⊙O相切， D N
L，M，N，P是切点，
P
C
∴AL=AP，LB=MB，
M
O
DN=DP，NC=MC
A
∴AL+ LB+ DN+ NC = AP+ MB+DP+MC
L
B
即 AB+ CD = AD+BC
圆的外切四边形的两组对边的和相等（可做定理用）
练 习：
1、已知⊙O的半径为3cm，点P和 圆心O的距离为6cm，经过点P有 ⊙O的两条切线，则切线长为 P ______cm。这两条切线的夹角为 _____度6。0
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) 的结论
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
切线长定理
从圆外一点引圆的两条
切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线
平分两条切线的夹角。
B
PA、PB分别切⊙O于A、B
。
P
O
A
PA = PB ∠OPA=∠OPB
思考：
如何在一块三角形的铁皮上截下一块圆形
的用料,并且使得圆的面积尽可能大?
大
中 分 校 初 三 数 学 备 课
三 角 形 的 内 切 圆
切 线 长 定 理 及
组
复习1：直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
直线和圆相交
直线和圆相切 直线和圆相离
初中数学知识点圆的切线与切圆
初中数学知识点圆的切线与切圆初中数学知识点：圆的切线与切圆在初中数学中，圆是一个重要的几何图形。
学习圆的属性和相关的知识点可以帮助我们更好地理解几何学中的其他概念和解决问题。
本文将重点介绍圆的切线和切圆的相关知识。
1. 切线概念在圆上，如果一条直线只与圆相交于一点，并且与通过该点的半径垂直，那么我们称这条直线为圆的切线，这个点为切点。
2. 切线的性质- 切线与半径的关系：切线与通过切点的半径垂直，即切线的切点处与半径的切点处垂直。
- 切线的长度关系：两条切线的长度相等。
- 切线的切点位置：圆的内切线的切点在圆的内部，圆的外切线的切点在圆的外部。
3. 切圆概念如果圆C1的一个切点刚好在另一个圆C2上，那么我们称C2为C1的切圆。
切圆与切线的概念紧密相连，因为切圆上的切点也是相应切线的切点。
4. 切圆的性质- 切圆与半径的关系：切圆上的切点与圆心和切点处圆的切线垂直。
- 切圆的切点个数：两个相交的圆可以有两个公共切点，也可以只有一个公共切点。
- 切圆的切点位置：两个相交的圆外切时，切圆的切点在两个圆的一侧，圆内切时，切圆的切点在两个圆的外侧。
总结：圆的切线与切圆是初中数学中的重要概念。
切线与半径垂直，切线的长度相等，切线的切点位置与圆的内外关系相关。
切圆是与另一个圆相切的圆，切圆上的切点与圆心和切点处圆的切线垂直，切圆的切点个数与两个圆的位置关系有关。
通过理解和掌握圆的切线和切圆的相关知识，我们可以更好地理解和解决与圆相关的几何题目。
在实际问题中，圆的切线和切圆的概念也有着广泛的应用，例如在工程建模、物理力学等领域。
因此，熟悉并掌握这些知识点对于我们的数学学习和实际应用都具有重要意义。
希望通过本文的介绍，您能对初中数学中的圆的切线与切圆有更好的理解和掌握。
祝愿您在数学学习中取得优秀成绩！。
切线长定理及三角形内切圆
例2 PA、PB是☉O的两条切线，A，B是切点，OA=3. （1）若AP=4，则OP= 5 ； （2）若∠BPA=60 °，则OP= 6 .
A
O
P
B
二、三角形的内切圆及作法
思考
图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使 截下来的圆与三角形的三条边都相切？
思路引导：半径为 r 的☉I 与△ABC 的三 边都相切，圆心 I 到三角形三边的距离相 等，都等于 r.
B
C
F O
由BD+CD=BC,可得（13-x）+（9-x）=14.
B
D
C
解得x=4.
因此AF=4，BD=5，CE=9.
归纳总结
你学会了吗？
求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为： 一是连顶点、内心产生角平分线； 二是连切点、内心产生半径及垂直条件.
小试牛刀
1.下列说法错误的是( C ) A．三角形有且只有一个内切圆 B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上 C．三角形的内心不一定都在三角形的内部 D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
24.2.2.3 切线长定理及 三角形内切圆
九年级上
学习目标
1.探索并证明切线长定理. 重点
2.了解三角形内切圆、内心的概念，对比区分内切圆与外接圆的区别
与联系. 难点 3.会运用切线长定理进行计算与证明. 难点
4.能用尺规作图：作三角形的外接圆.
Байду номын сангаас 新课引入
前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点P，你能 过点P画出⊙O的切线吗？
A
☉I是△ABC的内切圆，点I是
I
△ABC的内心，△ABC是☉I的外
课时切线——切线长定理和内切圆
第23章《圆》第10课时 切线<2）——切线长定理和内切圆 初三< ）班 学号 姓名 2005年月日学习目标：1、掌握切线长定理,并会简单应用2、了解三角形内切圆地相关概念3、会画任意三角形内切圆,并会写作法 学习过程： 一、温故知新1、如右图,BD 是⊙O 地切线,直径AC 地延长线交DB 于B, ∠ADB=120°,∠ADO=,∠A=,∠B=2、如右图：如果⊙O 经过△ABC 地三个顶点, 则⊙O 叫做△ABC 地,圆心O 叫 做△ABC 地,反过来,△ABC 叫做⊙O 地.△ABC 地外心就是AC 、BC 、AB 边地交点.3、三角形地三边地交于一点,三角形地三个内角地交于一点, 二、新课学习 1、切线长定理图1<1）,P A 为⊙O 地一条切线,点A 为切点．沿着直线PO 将纸对折,因为直线PO 经过圆心O ,所以PO 是圆地一条对称轴,两半圆重合．得到图1<2）,设与点A 重合地点为点B ,这里,OB 是⊙O 地一条____,PB 是⊙O 地一条_____,则有P APB 、∠APO ∠BPO图1①切线长：圆地切线上某一点与点之间地线段地长叫做这点到圆地如图1<2）,线段、地长就是点P 到⊙O 地切线长．②切线长定理：从圆一点可以引圆地条切线,它们地切线长．这一点和圆心地连线这两条切线地角． 2、内切圆 ①内切圆相关概念如图2,与三角形各边都地圆叫做三角形地,三角形地内切圆地圆心叫做三角形地．这个三角形叫做圆地．三角形地内心就是三角形三条内角地交点．即：如图2,如果⊙I 与△ABC 地三边,则⊙I 叫做△ABC 地,圆心I 叫做△ABC 地,反过来,△ABC 叫做⊙I 地.△ABC 地内心就是△ABC 地三个地交点.②内切圆地作法已知△ABC ,画它地内切圆⊙O 作法：1、分别作∠A,∠B 地,两平分线交于点O2、过点O 作AB 地垂线段,交AB 于D3、以点为圆心,以地长为半径,画圆 那么,所画地⊙O 就是△ABC 地分组练习<A 组）1、如右图,P A ,PB∠APB=60°,则∠∠AOP=2、如图,P A ,PB ⊙O 为地切线OB=5,∠AOB=150°, 则∠APO=,PA=.3、若⊙O 地半径为3,圆外一点P4、如图,⊙O 是△ABC 地内切圆,与AB 、BC 、CA 分别切于点D 、E 、F , ∠DOE ＝120°,∠EOF ＝150°,B CBPP(第4题)求∠A=,∠B=,∠C=5、如图3为一张三角形铁皮,如何在它上面截一个面积最大地圆形铁皮？ <要求：写出作法） 解：这个圆其实就是 作法： 1、 2、 3、 <B 组）6、△ABC 地内切圆⊙O 与AC 、AB 、BC 分别相切于点D 、E 、F ,且AB ＝5厘M,BC ＝9厘M,AC ＝6厘M,求AE 、BF 和CD 地长.<C 组）设△ABC 地内切圆地半径为r ,△ABC 地周长为l ,求△ABC 地面积S .图3。
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1.下列直线是圆的切线的是()A.与圆有公共点的直线B.圆心到直线的距离等于半径的直线C.垂直于圆的半径的直线D.过圆直径外端点的直线2.如图，AB 是⊙O 的直径，下列条件中不能判定直线AT 是⊙O 的切线的是() A.AB ＝4，AT ＝3，BT ＝5 B.∠B ＝45°，AB ＝ATC.∠B ＝55°，∠TAC ＝55°D.∠ATC ＝∠B3.如图，△ABC 的一边AB 是⊙O 的直径，请你添加一个条件，使BC 是⊙O 的切线，你所添加的条件为.(3题) (4题) (5题) (7题) (8题) (9题)4.如图，点A ，B ，D 在⊙O 上，∠A ＝25°，OD 的延长线交直线BC 于点C ，且∠OCB＝40°，直线BC 与⊙O 的位置关系为.5.(济宁中考改编)如图，已知⊙O 的直径AB ＝12，弦AC ＝10，D 是弧BC 的中点，过点D 作DE⊥AC，交AC 的延长线于点E.求证：DE 是⊙O 的切线.6.有关三角形内心的说法正确的是()A.内心是三边垂直平分线的交点B.内心是三条中线的交点C.内心到三个顶点的距离相等D.内心到三边的距离相等7.如图，在△ABC 中，∠A ＝50°，内切圆I 与边BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，则∠EDF 的度数为() A.55° B.60°C.65° D.70°8.如图，在△ABC 中，已知∠C＝90°，BC ＝3，AC ＝4，则它的内切圆的半径是()A.32 B.1 C.2 D.239.如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是()A.点(0，3)B.点(2，3)C.点(5，1)D.点(6，1) 10.如图，∠ABC ＝80°，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心，12OB 长为半径作⊙O ，要使射线BA 与⊙O 相切，应将射线绕点B 按顺时针方向旋转()A.40°或80°B.50°或110°C.50°或100°D.60°或120° 11.(徐州中考)如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB ＝40°，则∠BOC ＝.12.(南充中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F. (1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若CF ＝2，DF ＝4，求⊙O 直径的长.13.(呼伦贝尔中考)如图，已知⊙O 的直径为AB ，AC ⊥AB 于点A ，BC 与⊙O 相交于点D ，在AC 上取一点E ，使得 ED ＝EA.(1)求证：ED 是⊙O 的切线； (2)当OE ＝10时，求BC 的长.14.(常德中考)已知，如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF. (1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD 的长.第2课时 切线的判定与三角形的内切圆 基础题 知识点1 切线的判定1.下列直线是圆的切线的是(B) A.与圆有公共点的直线B.圆心到直线的距离等于半径的直线C.垂直于圆的半径的直线D.过圆直径外端点的直线2.如图，AB 是⊙O 的直径，下列条件中不能判定直线AT 是⊙O 的切线的是(D)A.AB ＝4，AT ＝3，BT ＝5B.∠B ＝45°，AB ＝ATC.∠B ＝55°，∠TAC ＝55°D.∠ATC ＝∠B3.如图，△ABC 的一边AB 是⊙O 的直径，请你添加一个条件，使BC 是⊙O 的切线，你所添加的条件为∠ABC ＝90°或AB⊥BC .4.如图，点A ，B ，D 在⊙O 上，∠A ＝25°，OD 的延长线交直线BC 于点C ，且∠OCB＝40°，直线BC 与⊙O 的位置关系为相切.5.(济宁中考改编)如图，已知⊙O 的直径AB ＝12，弦AC ＝10，D 是弧BC 的中点，过点D 作DE⊥AC，交AC的延长线于点E.求证：DE 是⊙O 的切线.证明：连接OD.∵D 为弧BC 的中点，∴BD ︵＝CD ︵.∴∠BOD ＝∠BAE. ∴OD ∥AE.∵DE ⊥AC ，∴∠AED ＝90°. ∴∠ODE ＝90°.∴OD ⊥DE. ∴DE 为⊙O 的切线.知识点2 三角形的内切圆6.有关三角形内心的说法正确的是(D) A.内心是三边垂直平分线的交点 B.内心是三条中线的交点 C.内心到三个顶点的距离相等 D.内心到三边的距离相等7.如图，在△ABC 中，∠A ＝50°，内切圆I 与边BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，则∠EDF 的度数为(C)A.55°B.60°C.65°D.70°8.如图，在△ABC 中，已知∠C＝90°，BC ＝3，AC ＝4，则它的内切圆的半径是(B)A.32 B.1 C.2 D.23中档题9.如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(C)A.点(0，3)B.点(2，3)C.点(5，1)D.点(6，1)10.如图，∠ABC ＝80°，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心，12OB 长为半径作⊙O ，要使射线BA 与⊙O 相切，应将射线绕点B 按顺时针方向旋转(B)A.40°或80°B.50°或110°C.50°或100°D.60°或120°11.(徐州中考)如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB ＝40°，则∠BOC＝125°.12.(南充中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F. (1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若CF ＝2，DF ＝4，求⊙O 直径的长.解：(1)证明：连接OD ，CD. ∵AC 为⊙O 的直径， ∴△BCD 是直角三角形. ∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ＝DE.∴∠CDE＝∠DCE. ∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD.∵∠ACB ＝90°，∴∠OCD ＋∠DCE＝90°. ∴∠ODC ＋∠CDE＝90°，即OD⊥DE. ∴DE 是⊙O 的切线.(2)设⊙O 的半径为r ，∵∠ODF ＝90°，∴OD 2＋DF 2＝OF 2，即r 2＋42＝(r ＋2)2.解得r ＝3. ∴⊙O 的直径为6.13.(呼伦贝尔中考)如图，已知⊙O 的直径为AB ，AC ⊥AB 于点A ，BC 与⊙O 相交于点D ，在AC 上取一点E ，使得 ED ＝EA.(1)求证：ED 是⊙O 的切线；(2)当OE ＝10时，求BC 的长.解：(1)证明：连接OD.∵AC⊥AB， ∴∠BAC ＝90°， 即∠OAE＝90°.在△AOE 和△DOE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD ，AE ＝DE ，OE ＝OE ，∴△AOE ≌△DOE(SSS).∴∠OAE ＝∠ODE＝90°，即OD⊥ED.又∵OD 是⊙O 的半径，∴ED 是⊙O 的切线. (2)∵AB 是直径.∴∠ADB ＝90°，即AD⊥BC. 又∵由(1)知，△AOE ≌△DOE ， ∴∠AEO ＝∠DEO.又∵AE＝DE ，∴OE ⊥AD. ∴OE ∥BC.∴△AOE ∽△ABC. ∴OA AB ＝OE BC ＝12. ∴BC ＝2OE ＝20，即BC 的长是20.综合题14.(常德中考)已知，如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF. (1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD 的长.解：(1)证明：连接FO ，∵点O 为AC 的中点，点F 为BC 的中点， ∴OF ∥AB.∵AC 为⊙O 的直径， ∴CE ⊥AE.∵OF∥AB，∴OF⊥CE.∴OF所在直线垂直平分CE.∴FC＝FE，OE＝OC.∴∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE.∵∠ACB＝90°，∴∠OCE＋∠FCE＝90°.∴∠OEC＋∠FEC＝90°，即∠FEO＝90°.∵点E在⊙O上，∴FE为⊙O的切线.(2)∵⊙O的半径为3，∴AO＝CO＝EO＝3.∵∠EAC＝60°，OA＝OE，∴∠EOA＝60°，∴∠COD＝∠EOA＝60°.∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，∴CD＝3 3.∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，CD＝33，AC＝6，∴AD＝37.。