最新人教A版必修5高中数学 2.4等比数列教案(二)(精品)
[精品]新人教A版必修5高中数学2.4等比数列优质课教案
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2．4等比数列（一）教学目标1`．知识与技能：理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式；理解这种数列的模型应用．２．过程与方法：通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义，通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式．３．情态与价值：培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力．（二）教学重、难点重点：等比数列的定义和通项公式难点：等比数列与指数函数的关系（三）学法与教学用具学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式。
教学用具：投影仪（四）教学设想[创设情景] 分析书上的四个例子，各写出一个数列来表示[探索研究]四个数列分别是①1, 2, 4, 8, …②1,21，41，81，… ③1,20 ,202 ,203 ,…④10000×1.0198,10000×1.01982,10000×1.0198310000×1.01984,10000×1.01985观察四个数列:对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2 对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的比都等于21 对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的比都等于20 对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1.0198 可知这些数列的共同特点:从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数.于是得到等比数列的定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示(q ≠0)因此,以上四个数列均是等比数列,公比分别是2，21,20,1.0198. 与等差中项类似,如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等差中项,这时,a,b 一定同号,G 2=ab在归纳等比数列公式时,让学生先回忆等差数列通项公式的归纳,类比这个过程,归纳如下:a 2=a 1qa 3=a 2q=(a 1q)q=a 1q 2 a 4=a 3q=(a 1q 2)q=a 1q 3 … …可得 a n =a 1q n-1 上式可整理为a n =q a 1q n 而y= q a 1q x （q ≠1）是一个不为0的常数qa 1与指数函数q x 的乘积,从图象上看,表示数列 {qa 1q n}中的各项的点是函数 y=qa 1q x的图象上的孤立点 [注意几点]① 不要把a n 错误地写成a n =a 1q n② 对于公比q,要强调它是“从第2项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒 ③ 公比q 是任意常数,可正可负 ④ 首项和公比均不为0 [例题分析]例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)? 评注:要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出数学模型;通项公式反映了数列的本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式a n =a 1q n-1例2 根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,nn a a 1 是一个常数就行了例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系 例4 已知{a n }{b n }是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什么结论?证明你的结论. 评注:两个等比数列的积仍然是等比数列 [随堂练习]第1、2、3题 [课堂小结]（1） 首项和公比都不为0（2） 分别从定义、通项公式、相应图象的角度类比等差数列和等比数列 （五）评价设计（1）课后思考：课本 [探究] （2）课后作业：第1、2、6题。
高中数学 2.4等比数列教案(二)新人教A版必修5
高中数学 2.4等比数列教案（二）新人教A 版必修5（第一课时）●教学过程 讲授新课1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） 2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且“n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件． 3︒ q= 1时，{a n }为常数。
2.等比数列的通项公式1: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n观察法：由等比数列的定义，有：q a a 12=；21123)(q a q q a q a a ===； 312134)(q a q q a q a a ===；… … … … … … …)0(1111≠⋅⋅==--q a q a q a a n n n迭乘法：由等比数列的定义，有：q a a =12；q a a =23；q a a =34；…；q a an n =-1所以11342312--=⋅⋅n n n q a aa a a a a a ，即)0(111≠⋅=-q a q a a n n ， 3.等比数列的通项公式2: )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系：等比数列｛n a ｝的通项公式)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ,它的图象是分布在曲线1xa y q q=（q>0）上的一些孤立的点。
当10a >，q >1时，等比数列｛n a ｝是递增数列； 当10a <，01q <<，等比数列｛n a ｝是递增数列； 当10a >，01q <<时，等比数列｛n a ｝是递减数列； 当10a <，q >1时，等比数列｛n a ｝是递减数列； 当0q <时，等比数列｛n a ｝是摆动数列；当1q =时，等比数列｛n a ｝是常数列。
最新人教A版必修5高中数学 §2.4等比数列教案(精品)
4
课 后 反 思 3
5
学生分析回 答
an 1 cn 1 bn 1 a b a q ( n 1 )( n 1 ) 1 ，所以，数列{ n }也一定是等比 an cn an bn q2 bn bn
数列。 课本P59的练习4 已知数列{ an }是等比数列， （1） a5
2
2
2 a3 a7 是否成立？ a5 a教师课时教案 1a9 成立吗？为什么？
高中数学 8.等比数列教案 新人教A版必修5
备课人 课题 课标要求 教 学 目 情感态度价值观 标 重点 难点 教
等比中项的理解与应用 §2.4等比数列(2)
授课时间
灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列 的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法
知识目标 技能目标
灵活应用等比数列的定义及通项公式
系统了解判断数列是否成等比数列的方法
充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现 实生活.
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
问题与情境及教师活动
学生活动
学
过
程
及
方 1 法
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与 它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字 母q表示（q≠0），即：
1项分别为：
a1 q1
及
n 1
b1 q 2 与a1 q1 b1 q 2 即为a1b1 (q1 q 2 ) n 1 与a1b1 (q1 q 2 ) n
n 1
n
高中数学教案-人教A版必修5--2.4等比数列(2)
2.4等比数列(2)教学目标：1、 能够应用等比数列的定义及通项公式，理解等比中项概念；2、 类比等差数列的性质推到等比数列的性质；3、 提升学生对数学知识的正迁移能力，增强学生的数学素养.教学重点：1.等比中项的理解与应用2.等比数列性质探究与应用.教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式及性质解决相关问题.教学过程：一、复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式.（板书）二、讲授新课第一环节：类比等差中项，探究等比中项 .问题1：(1)若在2，8中插入一个数A ，使2，A ，8成等差数列，则A = .变式1.若在2，8中插入一个数G ，使2，G ，8成等比数列，则G = .变式2.若在-2， 4中插入一个数M ，能否使-2，M ，4成等比数列呢？归纳小结：1.等差中项：若a ，A ，b 成等差数列⇔A ＝a ＋b 2，A 为等差中项. 2.等比中项：（板书）如果在a 、b 中插入一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，则G 是a 、b 的等比中项。
ab G ab G Gb a G ±=⇒=⇒=2（注意两解且同号两项才有等比中项） 练习：完成教材课后练习P预设：学生在推导过程中，部分同学会忽略对等比中项的存在性的讨论，在等比中项存在时漏掉符号为负的那一项.（有利于培养学生的严谨性和批判性）问题2()()()(){}()213n 51937519283746n b b b b n n {a }.1 a a a2 a =3a =a =3 a a =a a =a a =a a 4{b }a a a a 5{a }{lg }. A.1ka ⋅⋅⋅⋅已知无穷数列 是等比数列，那么下列说法中正确个数的有（ ）是 和 的等比中项；若 ，6，则 12；；若是等差数列，则 是 和 的等比中项,并且 也是等比数列；若数列 的每项都是正数，则数列 为等差数列 B.2 C.3 D.4师问：同学们观察第（3）你发现什么规律了吗？类比等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则,m n p q a a a a ，，之间又有怎样的关系呢？并说理.分析：由通项公式可得：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a p ＝a 1q p －1，a q ＝a 1·q q －1不难发现：a m ·a n ＝a 12q m +n －2，a p ·a q ＝a 12q p +q －2归纳小结：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q （板书）师问：同学们观察第（4）你发现什么规律了吗？学生发现：在等比数列中，若项数成等差数列，则对应的项仍然成等比数列. 归纳小结：234,,,m m m m km a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，，成等比数列问题3n 115{}(1) 2 , 3 ,(2) 6 , 2 ,n n a a q a q a a q a ====已知数列 是首相 ,公比 为的等比数列，若 求 ；若 求 ；同学们思考：在等比数列中，已知1a q 首相,公比我们可以得到通项公式n a ，如果给出m a q ,公比，又如何表示通项公式n a ？归纳小结：通项公式的变形：11=n n m n m a a q a q --=⋅⋅（板书）师问：类比等差数列()11n a a n d =+-，可以看成是以n 为自变量n a 为因变量的一次函数，它的几何意义是该一次函数图像上的点，那么对于等比数列，已知1a q 首相,公比，变量n a 与变量n 是否存在函数关系？若存在属于哪个类型函数？归纳小结：（板书）当数列}a {n 为指数型函数当{}01n q q a >≠数列为指数且时，型函数;当q=1时，数列}a {n 为常数列；当q<0时，数列}a {n 为摆动数列.思考题1 {}{}44n n a b a b 等差数列与等比数列的首项和第8项为正且相等，试比较与的大小.归纳小结：构建两个函数，为借助函数图像解题奠定了基础，体现了函数思想在数列中的运用。
人教版高中数学必修(五)2.4等比数列教案(2)
2.4
等比数列的定义与通项公式 1 课时
课 时
1.通过实例，使学生初步理解等比数列的定义 2.通过与等差数列的通项公式的推导过程的类比， 探索并归 纳出等比数列的通项公式 3.掌握并能运用定义及其通项公式解决一些实际问题。 4. 培养运用归纳类比的方法去发现并解决问题的能力及运 用方程的思想的计算能力。 1.通过实例，理解等比数列的概念；
an a1 (n 1)d
（板书） （1）等比数列的通项公式
an a1q n1
an a1q n1
得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式. （板书） （2）对公式的认识 ①一个具体的等比数列由 a1 和 q 惟一确定。 ②方程思想（在等差数列中已有认识）. 这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用 例 1：已知等比数列 an 中， a3 9, a4 18 ； 求（1）首项与公比； （2） a5 例 2：某种放射性物质不断变化为其他物质，经过一年剩留的这种物质是原来的 84%，这种物质 的半衰期为多长？ （不仅要会解题，还要注意规范表述的训练）
(1) (3) (5)
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
(2) (4) (6)
5， 5， 5， 5，… 2，4,8,12,16,…
1，-1，1，-1，… 1，0，1，0，…
a, a, a, a,
a2 q a2 a1q a1 a3 q a3 a2 q a1q 2 a2
法二：叠加法：
an a1q n1
叠乘法：
a2 a1 d
等 差 数 列 ……
a2 q a1
等 类比 n-1 个式子 比 数 列
高中数学 2.4 等比数列(第2课时)学案 新人教A版必修5
2.4等比数列(第2课时)学习目标灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项的概念;熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否是等比数列的方法.通过自主探究、合作交流获得对等比数列性质的认识.充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣.合作学习一、设计问题,创设情首先回忆一下上一节课所学主要内容:1.等比数列:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),即: .2.等比数列的通项公式: .二、信息交流,揭示规律1.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b 的等比中项.即G=±(a,b同号).如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则,反之,若G2=ab,则,即a,G,b成等比数列.分析:(1)由{a n}是等比数列,知,所以有=a n-1a n+1(n≥2);(2)当数列为0,0,0,0,…时,仍有=a n-1a n+1,而等比数列的任一项都是不为零的,所以不一定;若数列{a n}中的每一项均不为零,且=a n-1a n+1(n≥2,n∈N),则数列{a n}是等比数列,反之成立.2.几个性质分析:由等比数列的定义可得=…==q.所以=…=,由此可以看出a n,a n-1,…,a2,a1是从第2项起,每一项与它的前一项的比值都等于,所以是首项为,公比为的等比数列.(2)已知无穷等比数列{a n}的首项为a1,公比为q.分析:①由=q,得a n+1=a n q,a3=a2q=a1q2,所以=q2;a5=a4q=a3q2,所以=q2;以此类推,可得,=q2,所以数列{a n}的所有奇数项组成的数列是首项为,公比为的等比数列.②因为=…==q,所以数列{ca n}(c≠0)是首项为ca1,公比为q的等比数列.(3)已知数列{a n}是等比数列.分析:①设数列{a n}的公比为q,则a3=a1q2,a5=a1q4,a7=a1q6,q8,a3a7=(a1q2)(a1q6)=q8,所以=a3a7,同理=a1a9.②=a n-1a n+1(n>1)成立.③=a n-k a n+k(n>k>0)成立.④由等比数列定义,得a m=a1q m-1,a n=a1q n-1,a p=a1q p-1,a k=a1q k-1,结论:若m+n=p+k,则.三、运用规律,解决问题【例1】等比数列{a n}中,(1)已知a2=4,a5=-,求数列{a n}的通项公式;(2)已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.【例3】设a,b,c,d成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.【例4】若a,b,c成等差数列,且a+1,b,c与a,b,c+2都成等比数列,求b的值.四、变式训练,深化提高变式训练3:已知数列{a n}为等比数列,且a n>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5= .变式训练4:三个数成等比数列,它们的和为14,它们的积为64,求这三个数.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.=q(q≠0)二、信息交流,揭示规律1.⇒G2=ab⇒G=±2.(1)a n(2)①a1q2(3)a m a n=a p a k(m,n,p,k∈N*)三、运用规律,解决问题【例1】解:(1)∵a5=a2q5-2,∴q=-.∴a n=a2q n-2=4×.(2)∵a3a5=,a3a4a5==8,∴a4=2.又∵a2a6=a3a5=,∴a2a3a4a5a6==32.因为=q1q2,【例3】证明:法一:∵a,b,c,d成等比数列,∴,∴b2=ac,c2=bd,ad=bc,∴左边=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2=2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2)=a2-2ad+d2=(a-d)2=右边.证毕.法二:∵a,b,c,d成等比数列,设其公比为q,则b=aq,c=aq2,d=aq3,∴左边=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2=a2-2a2q3+a2q6=(a-aq3)2,=(a-d)2=右边证毕.【例4】解:设a,b,c分别为b-d,b,b+d,由已知b-d+1,b,b+d与b-d,b,b+d+2都成等比数列,有整理,得所以b+d=2b-2d,即b=3d,代入①,得9d2=(3d-d+1)(3d+d),解之,得d=4或d=0(舍d=0),所以b=12.四、变式训练,深化提高答案:25由a1+a2+a3=7得a1+a3=5, ②由①②解得当时,q==2,a n=2n-1,当时,q=,a n=4×=23-n.答案:2n-1或23-n变式训练3:解析:因为a2a4=a3a3=,a4a6=a5a5=,所以a2a4+2a3a5+a4a6=+2a3a5+=(a3+a5)2=25.又a n>0,所以a3+a5=5.答案:5变式训练4:解:设这三个数为,a,aq,由题意解得于是所求的三个数为2,4,8或8,4,2.五、反思小结,观点提炼略。
人教A版高中数学必修五 2-4 等比数列 教案 精品
2.4 等比数列一、教学目标：知识与技能：1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列;2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式;3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题;4.体会等比数列与指数函数的关系.过程与方法：1.采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动;3.密切联系实际，激发学生学习的积极性.情感、态度与价值观：1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的 兴趣.二．重点难点重点：1.等比数列的概念; 2.等比数列的通项公式.难点：1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系;2.等比数列与指数函数的关系.三、教材与学情分析本节内容先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出等比数列的概念，再由教师引导学生与等差数列类比探索等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，体会等比数列与指数函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程。
教学中应充分利用信息和多媒体技术，给学生以较多的感受，激发学生学习的积极性和思维的主动性. 四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程(一)创设情境，引入新知师 现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗？ 生 一粒种子繁殖出第二代120粒种子，用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代120×120粒种子，用第三代的120×120粒种子可以繁殖出第四代120×120×120粒种子，… 师 非常好的一个例子！现实生活中，我们会遇到许多这类的事例. 教师出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型.师 细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？生 通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从而得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列： 1，2，4，8，…①教师出示投影胶片1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”师 这是《庄子·天下篇》中的一个论述，能解释这个论述的含义吗？ 生 思考、讨论，用现代语言叙述.师 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？ 生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，21，41，81，161，… ② 教师出示投影胶片2：计算机病毒传播问题.一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢?师 (读题后)这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染20台计算机”中蕴涵的等比关系.生发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，20，202，203，204，…③教师出示多媒体课件二：银行存款利息问题.师介绍“复利”的背景：“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.给出计算本利和的公式：本利和=本金×(1+本金)n，这里n为存期.生列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.师生合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下面数列：10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85.④ 师回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？师引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系.引入课题：板书课题 2.4等比数列的概念及通项公式(二)探究新知师从上面的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？生回忆等差数列的定义，并进行类比，说出：一般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.［教师精讲］师同学们概括得很好，这就是等比数列( geometric seque n ce)的定义.有些书籍把等比数列的英文缩写记作G.P.(Geometric Progressio n).我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比(commo n r a tio)，公比通常用字母q表示(q≠0).请同学们想一想，为什么q≠0呢？生独立思考、合作交流、自主探究.师 假设q=0，数列的第二项就应该是0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什么了 生 分母为0了.师 对了，问题就出在这里了，所以，必须q≠0. 师 那么，等比数列的首项能不能为0呢？生 等比数列的首项不能为0.师 是的，等比数列的首项和公比都不能为0，等比数列中的任一项都不会是0. 师类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念.生 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 、b 的等比中项.师 想一想，这时a 、b 的符号有什么特点呢？你能用a 、b 表示G 吗？ 生 一起探究,a 、b 是同号的Gba G ，G=±ab ，G 2=ab . 师 观察学生所得到的a 、b 、G 的关系式，并给予肯定.补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n -k +a n +k =2a n .对于等比数列来说，有什么类似的性质呢？生 独立探究，得出：等比数列有类似的性质：a n -k ·a n +k =a n 2.探究1： (1)一个数列a 1,a 2,a 3,…,a n ,…(a 1≠0)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？ (2)写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？ (3)任一项a n 及公比q 相同，则这两个数列相同吗？ (4)任意两项a m 、a n 相同，这两个数列相同吗？ (5)若两个等比数列相同，需要什么条件？师 引导学生探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学生回答. 生 探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答. ［教师精讲］ 概括总结对上述问题的探究，得出：(1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列. 概括学生对(2)(3)(4)的解答.(2)中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2，而首项不同的等比数列也是不会相同的.(3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同； (4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同； (5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.(探究的目的是为说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公式的推导做准备) ［合作探究］师 回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？ 生 推导等比数列的通项公式.［方法引导］ 师 让学生与等差数列的推导过程类比，并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项公式.具体的，设等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ，根据等比数列的定义，我们有： a 2=a 1q,a 3=a 2q=a 1q 2,…,a n =a n -1q=a 1q n -1， 即a n =a 1q n -1. 师 根据等比数列的定义，我们还可以写出q a a a a a a a a n n =====-1342312..., 进而有a n =a n -1q=a n -2q 2=a n -3q 3=…=a 1q n -1. 亦得 a n =a 1q n -1.师 观察一下上式，每一道式子里，项的下标与q 的指数，你能发现有什么共同的特征吗？ 生 把a n 看成a n q 0，那么，每一道式子里，项的下标与q 的指数的和都是n .师 非常正确，这里不仅给出了一个由a n 倒推到a n 与a 1，q 的关系，从而得出通项公式的过程，而且其中还蕴含了等比数列的基本性质，在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再提到这组关系式.师 请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子q a a a a a a a a n n =====-1342312...,再思考. 如果我们把上面的式子改写成q a a q a aq a a q a a n n ====-1342312,...,,,. 那么我们就有了n -1个等式，将这n -1个等式两边分别乘到一起(叠乘)，得到的结果是11-=n nq a a ,于是，得a n =a 1q n -1.师 这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？师 在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种方法没有涉及不完全归纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明. 师 让学生说出公式中首项a 1和公比q 的限制条件. 生 a 1，q 都不能为0.［知识拓展］ 师 前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那里是用什么方法解决问题的呢？教师出示多媒体课件三：前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为a 元，每期利率为r ，设存期是x,本利和为y 元.（1）写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式；（2）如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.师 前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决问题的.生 比较两种方法，思考它们的异同.［教师精讲］ 通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来.(1)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为a n =2 n -1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？(2)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为1)21(-=n n a 的数列的图象和函数y=(21)x-1的图象，你又发现了什么？生 借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出二者之间的关系.师 出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.观察它们之间的关系，得出结论：等比数列是特殊的指数函数，等比数列的图象是一些孤立的点.师 请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列，并填充下列表格：课本P50例1、例2、P58例3 解略。
高中数学 §2.4等比数列教案 新人教A版必修5
河北省武邑中学高中数学 8.等比数列教案新人教A版必修5 备课人授课时间课题§2.4等比数列(2)课标要求灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法教学目标知识目标灵活应用等比数列的定义及通项公式技能目标系统了解判断数列是否成等比数列的方法情感态度价值观充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活.重点等比中项的理解与应用难点灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：1-nnaa=q（q≠0）2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-qaqaa nn，)0(≠⋅⋅=-qaqaammnmn3．｛na｝成等比数列⇔nnaa1+=q（+∈Nn,q≠0）“na≠0”是数列｛na｝成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列Ⅱ.讲授新课1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±ababGabGGbaG±=⇒=⇒=2学生回答1河北武中·宏达教育集团教师课时教案教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法反之，若G2=ab,则GbaG=，即a,G,b成等比数列。
∴a,G,b成等比数列⇔G2=ab（a·b≠0）[范例讲解]课本P58例4 证明：设数列{}n a的首项是1a，公比为1q;{}n b的首项为1b，公比为2q，那么数列{}nnba⋅的第n项与第n+1项分别为：nnnnnn qqbaqqbaqbqaqbqa)()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(2112111211111qqqqbaqqbababannnnnn==⋅⋅-++它是一个与n无关的常数，所以{}nnba⋅是一个以q1q2为公比的等比数列拓展探究：对于例4中的等比数列{na}与{nb}，数列{nnab}也一定是等比数列吗？探究：设数列{na}与{nb}的公比分别为12q q和，令nnnacb=，则111nnnacb+++=1111112()()nn n n nnn n nnac b a b qac a b qb+++++∴===，所以，数列{nnab}也一定是等比数列。
高中数学 必修五 2.4 等比数列教案2 新人教A版必修5
2.4等比数列一、复习1．等比数列的定义．2. 等比数列的通项公式:)0,(111≠⋅=-q a q a a n n ，)0,(≠⋅=-q a q a a m m n m n ，)0,(≠=B A AB a n n3．｛an ｝成等比数列⇔)0,( 1≠∈=++q N n q a a n n4．求下面等比数列的通项公式：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……； 二、新课：思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a, G ，b 成等比数列，那么称这个数G为a 与b 的等比中项. 即G=±ab （a,b 同号） ，则abG ab G G ba G ±=⇒=⇒=2，反之，若G 2=ab,则G ba G =，即a,G,b 成等比数列 ∴a,G,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数. 解:设m,G,n 为所求的三个数,有已知得m+n+ G =14, 64=⋅⋅G n m , ,2mn G =,4643=⇒=∴G G ⎩⎨⎧=⋅=+∴,16,10n m n m ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴.8,2,2,8n m n m 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8.解法二:设所求三个数分别为,,,aq a q a则,4,643=∴=a a 又,14=++aq a q a 14444=++∴q q 解得,21,2==q q 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8.生思考第53页练习第4题，猜测并推广，得 等比数列的性质：若m+n=p+k ，则kp n m a a a a =证明：由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a11k 11 --⋅==k p p q a a q a a221-+=⋅n m n m q a a a ，221-+=⋅k p k p q a a a则kp n m a a a a =例2. 已知{na }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +．解： ∵{na }是等比数列，∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2＝25, 又na >0, ∴3a ＋5a ＝5;3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法 例3．已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列.证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别n n nn n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==⋅⋅-++它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q1q2为公比的等比数列.思考；（1）｛an ｝是等比数列，C 是不为0的常数，数列{}n ca 是等比数列吗？试证明。
高中数学 2.4等比数列(2)导学案新人教A版必修5
2.4 等比数列(2)【学习目标】1.回顾等比数列的定义、通项公式、以及推广公式2.熟记等差数列和等比数列性质的对比. 【重点难点】1．重点:等比数列的定义和通项公式2．难点:在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能灵活运用这些公式解决相应的实际问题. 【学习过程】 一、自主学习：任务1: （预习教材，找出疑惑之处）复习：等比数列的通项公式n a = = . 公比q 满足的条件是 任务2: 等差数列有何性质？ 二、合作探究归纳展示问题1：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则2G bG ab G a G=⇒=⇒= 新知1：等比中项定义如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = （a ，b 同号）. 试试：数4和6的等比中项是 . 问题2：1.在等比数列{n a }中，2537a a a =是否成立呢？2.211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？3.2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？新知2：等比数列的性质在等比数列中，若m +n =p +q ，则m n p k a a a a =.试试：在等比数列{}n a ，已知19105,100a a a ==，那么18a =三、讨论交流点拨提升例1已知{},{}n n a b 是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出什么结论?证明你的结论.例 自选1 自选2 n a 23()3n ⨯n b152n --⨯n n b a ⋅ 1410()3n --⨯}{n n b a ⋅是否等比是变式：项数相同等比数列{n a }与{n b }，数列{nna b }也一定是等比数列吗？证明你的结论.小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列.例2在等比数列{n a }中，已知51274-=⋅a a ，且38124a a +=，公比为整数，求10a .变式：在等比数列{n a }中，已知5127=a a ，则=111098a a a a ．四、学能展示课堂闯关公比为q 的等比数列{}n a 具有如下基本性质：1. 数列{||}n a ，2{}n a ，{}(0)n ca c ≠，*{}()nm a m N ∈，{}k n a 等，也为等比数列，公比分别为2||,,,,m k q q q q q . 若数列{}n b 为等比数列，则}{n n b a ⋅，{}n n ab 也等比.2. 若*m N ∈，则mn m n qa a -=. 当m =1时，便得到等比数列的通项公式.3. 若m n k l +=+，*,,,m n k l N ∈，则l k n m a a a a =.4. 若{}n a 各项为正，c >0，则{l o g }cn a 是一个以1log c a 为首项，log c q 为公差的等差数列. 若{}n b 是以d 为公差的等差数列，则{}n b c 是以1b c 为首项，d c 为公比的等比数列.1. 在{}n a 为等比数列中，0n a >，224355216a a a a a ++=，那么35a a +=（ ）.A. ±4B. 4C. 2D. 82. 若－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝（ ）.A ．8B ．－8C ．±8D ．983. 若正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，则当x >1时， log a x ，log b x ，log c x （ ） A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列 C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列4. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于 .5. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，965=a a ， 则log 31a + log 32a +…+ log 310a = . 五、学后反思 1. 等比中项定义； 2. 等比数列的性质. 【课后作业】1. 在{}n a 为等比数列中，6491=a a ，3720a a +=，求11a 的值.2. 已知等差数列{}n a 的公差d ≠0，且1a ，3a ，9a 成等比数列，求1392410a a a a a a ++++.。
数学：2.4等比数列教案二(新人教A版必修五)
2.4《等比数列》教案天津市武清区大良中学 孙彦强一、能力要求：1、掌握等比数列的概念，等比中项的概念，能利用定义判定等比数列；2、理解等比数列的通向公式及推导，并能简单的应用公式；3、了解等比数列的通向公式与指数函数的关系。
二、教学重点、难点：重点： 等比数列的概念和通向公式及其推导；等比数列通向公式的应用。
难点：等比数列通向公式的应用。
三、预习问题处理：1、等比数列的概念：一般的， ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q 表示。
2、若()为常数q n q a a n n ,21≥=-，则称数列{}n a 为 ，q 为 ，且≠q 。
3、若b G a ,,成等比数列，则 ；其中G 叫做a 与b 的 。
此时a 与b （填同号或异号）。
4、等比数列的通项公式为： 。
5、首项为正数的等比数列的公比1=q 时，数列为 数列；当0<q 时，数列为 数列；当10<<q 时，数列为 数列；当1>q 时，数列为 数列。
6、判断正误：①1，2，4，8，16是等比数列； （ ） ②数列Λ,81,41,21,1是公比为2的等比数列； （ ） ③若c b b a =，则c b a ,,成等比数列； （ ） ④若()*1N n n a a n n ∈=+，则数列{}n a 成等比数列； （ ） 7、思考：如何证明一个数列是等比数列。
四、新课讲解：例1、 判断下列数列{}n a 是否为等比数列：（1）()()*1,31N n a n n n ∈-=-； （2）()*3,2N n a n n ∈-=-；（3）*,2N n n a n n ∈⨯= （4）*,1N n a n ∈-=例2、（1）求12+与12-的等比中项；（2）等比数列{}n a 中，若0>n a ，252645342=++a a a a a a ，求53a a +。
例3、已知等比数列{}n a ，若8,7321321==++a a a a a a ，求数列{}n a 的通向公式。
高中数学 2.4等比数列(第2课时)教案 新人教A版必修5
2.4等比数列教案（二）教学目标（一） 知识与技能目标进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；（二） 过程与能力目标利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质（三） 方法与价值观培养学生应用意识．教学重点，难点（1）等比数列定义及通项公式的应用；（2）灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题．教学过程二．问题情境1．情境：在等比数列{}n a 中，（1）2519a a a =是否成立？2537a a a =是否成立？（2）222(2)n n n a a a n -+=>是否成立？2．问题：由情境你能得到等比数列更一般的结论吗？三．学生活动对于（1）∵451a a q =，891a a q =，∴2842219115()a a a q a q a ===，2519a a a =成立．同理 ：2537a a a =成立．对于（2）11n n a a q -=，321n n a a q --=，121n n a a q ++=，∴31222122221111()n n n n n n n a a a q a q a q a q a -+---+=⋅===，222(2)n n n a a a n -+=>成立．一般地：若m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅．四．建构数学1．若{}n a 为等比数列，m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅． 由等比数列通项公式得：111n 1 , m n m a a q a a q --==，111q 1 ,p q p a a qa a q --==⋅， 故221m n m n a a a q +-⋅=且221p q p q a a a q +-⋅=，∵m n p q +=+，∴q p n m a a a a ⋅=⋅．2．若{}n a 为等比数列，则m n m na q a -=． 由等比数列的通项公式知：，则m n m n a q a -= ． 五．数学运用1．例题：例1．（1）在等比数列{}n a 中，是否有211n n n a a a -+=⋅（2n ≥）？（2）在数列{}n a 中，对于任意的正整数n （2n ≥），都有211n n n a a a -+=⋅，那么数列{}n a 一定是等比数列．解：（1）∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列{}n a 是等比数列，∴11n n n n a a a a +-=，即211n n n a a a -+=⋅（2n ≥）成立．（2）不一定．例如对于数列0,0,0,，总有211n n n a a a -+=⋅，但这个数列不是等比数列． 例2． 已知{}n a 为GP ，且578,2a a ==，该数列的各项都为正数，求{}n a 的通项公式。
人教版高中数学必修5导学案 2.4等比数列(2)
2.4 等比数列(2)【学习目标】1.回顾等比数列的定义、通项公式、以及推广公式2.熟记等差数列和等比数列性质的对比. 【重点难点】1．重点:等比数列的定义和通项公式2．难点:在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能灵活运用这些公式解决相应的实际问题. 【学习过程】 一、自主学习：任务1: （预习教材，找出疑惑之处）复习：等比数列的通项公式n a = = . 公比q 满足的条件是 任务2: 等差数列有何性质？ 二、合作探究归纳展示问题1：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则2G bG ab G a G=⇒=⇒= 新知1：等比中项定义如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = （a ，b 同号）. 试试：数4和6的等比中项是 . 问题2：1.在等比数列{n a }中，2537a a a =是否成立呢？2.211(1)nn n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？ 3.2(0)nn k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？新知2：等比数列的性质在等比数列中，若m +n =p +q ，则m n p k a a a a =.试试：在等比数列{}n a ，已知19105,100a a a ==，那么18a =三、讨论交流点拨提升例1已知{},{}n n a b 是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出什么结论?证明你的结论.例 自选1 自选2 n a 23()3n ⨯n b152n --⨯n n b a ⋅ 1410()3n --⨯}{n n b a ⋅是否等比是变式：项数相同等比数列{n a }与{n b }，数列{nna b }也一定是等比数列吗？证明你的结论.小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列.例2在等比数列{n a }中，已知51274-=⋅a a ，且38124a a +=，公比为整数，求10a .变式：在等比数列{n a }中，已知5127=a a ，则=111098a a a a ．四、学能展示课堂闯关公比为q 的等比数列{}n a 具有如下基本性质：1. 数列{||}n a ，2{}n a ，{}(0)n ca c ≠，*{}()nm a m N ∈，{}k n a 等，也为等比数列，公比分别为2||,,,,m k q q q q q . 若数列{}n b 为等比数列，则}{n n b a ⋅，{}n nab 也等比.2. 若*m N ∈，则mn m n q a a -=. 当m =1时，便得到等比数列的通项公式.3. 若m n k l +=+，*,,,m n k l N ∈，则l k n m a a a a =.4. 若{}n a 各项为正，c >0，则{l o g }cn a 是一个以1log c a 为首项，log c q 为公差的等差数列. 若{}n b 是以d 为公差的等差数列，则{}n b c 是以1b c 为首项，d c 为公比的等比数列.1. 在{}n a 为等比数列中，0n a >，224355216a a a a a ++=，那么35a a +=（ ）.A. ±4B. 4C. 2D. 82. 若－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝（ ）.A ．8B ．－8C ．±8D ．983. 若正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，则当x >1时， log a x ，log b x ，log c x （ ） A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列 C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列4. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于 .5. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，965=a a ， 则log 31a + log 32a +…+ log 310a = . 五、学后反思 1. 等比中项定义； 2. 等比数列的性质. 【课后作业】1. 在{}n a 为等比数列中，6491=a a ，3720a a +=，求11a 的值.2. 已知等差数列{}n a 的公差d ≠0，且1a ，3a ，9a 成等比数列，求1392410a a a a a a ++++.。
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(第2课时)教案 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学
2.4 等比数列(2)一、教学目标：知识与技能1.了解等比数列更多的性质;2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;3.当好学生学习的合作者的角色.情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.二、教学重点：1.探究等比数列更多的性质;2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点；渗透重要的数学思想（类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.）.三、学情及导入分析：这节课师生将进一步探究等比数列的知识，以教材练习中提供的问题作为基本材料，认识等比数列的一些基本性质及内在的联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决，渗透重要的数学思想方法.教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学生的学习积极性.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等四、教学过程：1.温故知新师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.师对各组的汇报给予评价.师出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：猜想：在数列{a n}中每隔m(m是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a1为首项、q m为公比的等比数列.◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法.第4题解答：(1)设{a n}的公比是q，则a52=(a1q4)2=a12q8而a3·a7=a1q2·a1q6=a12q8,所以a52=a3·a7.同理,a52=a1·a9. (2)用上面的方法不难证明a n2=a n-1·a n+1(n＞1).由此得出，a n是a n-1和a n+1的等比中项，同理可证a n2=a n-k·a n+k(n＞k ＞0).a n是a n-k和a n+k的等比中项(n＞k ＞0).师和等差数列一样，等比数列中蕴涵学生回答；生由学习小组汇报探究结果. 第3题解答：(1)将数列{a n}的前k项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令b i=a k+i,i=1,2,…,则数列a k+1,a k+2,…,可视为b1,b2，….因为qaabbikikii==++++11(i≥1),所以，{b n}是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列.(2){a n}中每隔10项取出一项组成的数列是a1,a 11,a 21，…,则109101101121111......qaaaaaakk=====-+(k≥1).所以数列a1,a 11,a21,…是以a1为首项，q10为公比的等比数列.比较分析，深化认识着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究.合作探究师出示投影胶片1例题1(教材P61B组第3题)就任一等差数列{a n}，计算a7+a10，a8+a9和a10+a40，a20+a30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？师注意题目中“就任一等差数列{a n}”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？师很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？师题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？师出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系.师从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{a n}的图象，可以看出qsaapkaaqspk==,,根据等式的性质，有1=++=++qpskaaaaqpsk.生用等差数列1，2，3，…生在等差数列{a n}中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N*)，则a k+a s=a p+a q.生思考、讨论、交流.生猜想对于等比数列{a n}，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)，则a k·a s=a p·a t.生思考、列式、合作交流，得培养学生分析，抽象能力、感受数学概念形成过程及建模思想。
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（3） a p a q 10
10
q 1 5
10
p q2 5
，∵ p, q N ，∴ p q 2 ．
∴ p q 1 1 且 p q 1 N ， ∴ 10
p q2 5 1 n5 10 ，（第 p q 1 项）．
2.4 等比数列
（第一课时） ●教学过程 讲授新课
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比 ；公比通常用字母q表示（q≠0），即：
an =q（q≠0） a n 1
1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛ a n ｝成等比数列
当 a1 当 a1 当 a1 当 a1
0 ，q >1时，等比数列｛ a n ｝是递增数列； 0 ， 0 q 1 ，等比数列｛ a n ｝是递增数列； 0 ， 0 q 1 时，等比数列｛ a n ｝是递减数列； 0 ，q >1时，等比数列｛ a n ｝是递减数列；
1 时，等比数
1 ； 10
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．
1 证：（1） a n 10 5 10 5 （常数）∴该数列成等比数列． n2 n 1
a n 1
10
n 1 5
5
（2）
an 1 10 1 n 4 10 1 ，即： a n a n 5 ． 10 a n 5 10 10 5
1 an = ( ) n- 1 2 .
点评：依次循环程序框图，得出数列的前几项，然后归纳通项公式.
例2．一个等比数列的第3项与第4项分 别是12与18，求它的第1项与第2项. 解：Q
18 3 3 q 12 2 2
a2
a3 2 a 2 16 12 8, a1 2 8 . q 3 q 3 3
2.等比数列的通项公式及变形式
4
七、板书设计 Ⅴ.课后作业:课本P53习题A组1、2题 阅读教材第48～50页；
（第二课时） ●教学过程 Ⅱ.讲授新课
1．等比中项：如果在a与b 中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么 称这个数G为a与b的等比中项. 即G=± ab （a,b同号）
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则
a n 1 =q（ n N ,q≠0） an
2 隐含：任一项 a n 0且q 0 “ a n ≠0”是数列｛ a n ｝成等比数列的必要非充分条件． 3 q= 1时，{an}为常数。 2.等比数列的通项公式1: a n a1 q n 1 (a1 q 0) 观察法：由等比数列的定 义，有：
2
a1 = 1 1 = 2 1 a3 = a2 ´ = 2 1 a4 = a3 ´ = 2 1 a5 = a4 ´ = 2 a2 = a1 ´ 1 2 1 4 1 8 1 16 ，
ì a1 = 1 ï ï ï í 1 ï an = an- 1 ï ï 2 于是，可得递推公式： î .易知该数列为等比数列，通项公式为：
G b G 2 ab G ab ， a G
输出A n=n+1
A= 1 A 2
当 q 0 时，等比数列｛ a n ｝是摆动数列；当 q 列｛ a n ｝是常数列。 [范例讲解]
n>5? 否 是
例1 结束 根据图示框图，写出所打印数列的前5项，并建立递推公式，这个数列是等比数 列吗？ 解：若打印出来的数字一次记为 a1 (即A), a2 , a3 .... .由图可知
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系： 等比数列｛ a n ｝的通项公式 a n 的图象是分布在曲线 y
a1 q n 1 (a1 q 0) ,它
开始 A=1 n=1
a1 x q （q>0）上的一些孤 立的点。 q
Ⅲ.课堂练习 课本P52练习1、2 [补充练习]
2.（1） 一个等比数列的第9项是
4 1 ，公比是－ ，求它的第1项（答案： a1 =291 6） 9 3
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案： a1 =
a2 =5, a 4 = q
a3 q=40）
Ⅳ. 课堂小结： 1.等比数列的定义；
a 2 a1 q ；
a3 a 2 q (a1 q )q a1 q 2 ； a 4 a3 q (a1 q 2 )q a1 q 3 ；
… … … … … … …
a n a n 1 q a1 q n 1 (a1 q 0)
迭乘法：由等比数列的定义，有：
点评：考察等比数列项和通项公式的理解 例3．求下列各等比数列的通项公式：
(1) a1 2, a3 8;
( 2) a1 5, 且 2an 1 3an
解：(1) a3 a1 q q 2 4 q 2
a n (2)2 n 1 2 n 或a n (2)(2) n 1 (2) n
a a2 a a q ； 3 q ； 4 q ；…； n q a1 a2 a3 a n 1
1
所以
a2 a3 a4 a L n q n 1 ，即 an a1 q n 1 (a1， q 0) a1 a2 a3 an 1
3.等比数列的通项公式2: a n a m q m 1 (a1 q 0)
(2) q
an 1 3 an 2
3 又：a1 5 an 5 ( ) n 1 2
点评：求通项时，求首项和公比 例4．教材P50面的例1。
3
0
1
2
例5． 已知无穷数列 10 5 ,10 5 ,10 5 , L L 10
n 1 5
,L L ，
求证：（1）这个数列成等比数列； （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的