二次函数有关的面积问题
二次函数的存在性问题(面积)及答案
图12-2xCOy ABD 11二次函数的存在性问题(面积问题)1、[08云南双柏]已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2． （1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）求△ABC 的面积； （4）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ， 设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（5）在（4）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标， 判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．2、 [09湖南益阳]阅读材料：如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算PABCAB 98SS =三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆； (3)是否存在一点P ，使PABCAB98S S =若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.图13、[09吉林长春]如图，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在y 轴正半轴上，点A 、C 的坐标分别 为（0，1）（2，4）．点P 从点A 出发，沿A →B →C 以每秒1个单位的速度运动，到点C 停止；点Q 在x 轴上，横坐标为点P 的横、纵坐标之和．抛物线c bx x y ++-=241经过A 、C 两点．过点P 作x 轴的垂线， 垂足为M ，交抛物线于点R ．设点P 的运动时间为t （秒），△PQR 的面积为S （平方单位）．（1）求抛物线对应的函数关系式．（2分） （2）分别求t=1和t=4时，点Q 的坐标．（3分）（3）当0＜t ≤5时，求S 与t 之间的函数关系式，并直接写出S 的最大值．（5分）4、（07云南昆明）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB 。
2020二次函数中的面积问题
二次函数——面积问题〖知识要点〗一．求面积常用方法：1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边）2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方3. 利用同底或同高三角形面积的关系4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解）二．常见图形及公式抛物线解析式y=ax 2 +bx+c (a ≠0)抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱=a ∆ 抛物线顶点坐标（-a b2, a b ac 442-）抛物线与y 轴交点（0，c ） “歪歪三角形中间砍一刀” ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.y 轴交PCD 的面3、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ，c = ．〖典型例题〗● 面积最大问题1、二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴交于点A （-1,0）、B （3 ，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）求二次函数的解析式；（2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标（3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标(4) P 为抛物线上一点，若使得ABC PAB S S ∆∆=21，求P 点坐标。
● 同高情况下，面积比=底边之比2．已知：如图，直线y=﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ，抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点B 、C ，点A 是B 图1抛物线与x 轴的另一个交点．（1）求B 、C 两点的坐标和抛物线的解析式；（2）若点P 在直线BC 上，且，求点P 的坐标．3．已知：m 、n 是方程x 2﹣6x +5=0的两个实数根，且m ＜n ，抛物线y=﹣x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0）、B （0，n ）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（注：抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标为（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标．● 三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半4．阅读材料：如图，过△ABC 的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C （1，4）交x 轴于点A ，交y 轴于点B （0，3）（1）求抛物线解析式和线段AB 的长度；（2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）在第一象限内抛物线上求一点P ，使S △PAB =S △CAB ．法一：同底情况下，面积相等转化成平行线法二：同底情况下，面积相等转化成铅垂高相等变式一：如图2，点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA ，PB ，是否存在一点P ，使S △PAB =S △CAB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．变式二：抛物线上是否存在一点P ，使S △PAB =S △CAB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明 ● 点动+面积5．如图1，已知△ABC 中，AB=10cm ，AC=8cm ，BC=6cm ，如果点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm/s ，连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）（0≤t ≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．形动+面积6．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？。
二次函数与图形面积问题
二次函数与图形面积问题1、阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）.我们可行出生种计算三角形面积的新方示：y=a(x-1)2+4 ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题:如图2，抛物线顶点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求△ABC的铅垂高CD及S △ ABC（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使a=-1 ，且S△PAB=9/8 S△CAB若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.2、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2,3）,B（6,1）,C（0,-2）．（1）求此抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为顶点式；（2）点P是抛物线对称轴上的动点,当AP⊥CP时,求点P的坐标；（3）设直线BC与x轴交于点D,点H是抛物线与x轴的一个交点,点E（t,n）是抛物线上的动点,四边形OEDC的面积为S．当S取何值时,满足条件的点E只有一个?当S取何值时,满足条件的点E有两个?3、如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0＜m＜3，连接OA，OB，OA⊥OB。
（1）求证：mn=-6；（2）当S△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使S△POF：S△QOF=1：3？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。
4、如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），二次函数y=x2的图象记为抛物线l1。
（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：______ （任写一个即可）；（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图2，求抛物线l2的函数表达式；（3）设抛物线l2的顶点为C，K为y轴上一点，若S△ABK=S△ABC，求点K的坐标；（4）请在图3上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由。
二次函数中常见图形的的面积问题
二次函数中常见图形的的面积问题说出如何表示各图中阴影部分的面积？如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平垂直的三条线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高h”。
三角形面积的新方法:，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
xyOMENA图五O xyDC图四xyODCEB图六PxyOA BD图二ExyOA BC图一xyOA B图三抛物线322+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接BD ，CD ， （1）求四边形BOCD 的面积.（2）求△BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）如图1，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)， 交y 轴于点B 。
（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ； （3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB＝S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标； 若不存在，请说明理由。
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三点，且与x 轴的另一个交点为E 。
（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点D 的坐标和对称轴； （3）求四边形ABDE 的面积已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为在双曲线3y x=上是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.AxyO BC变式二图抛物线322+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ，若点E 为第二象限抛物线上一动点， 点E 运动到什么位置时，△EBC 的面积最大,并求出此时点E 的坐标和△EBC 的最大面积．如图，抛物线顶点坐标为点C(1，4),交x 轴于点A(3,0)，交y 轴于点B (1)求抛物线和直线AB 的解析式;(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及;(3)在(2)中是否存在一点P ，使，若存在，求出P 点的坐标;若不存在，请说明理由.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．3．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－4与直线y＝x交于点A、BA、B的横坐标分别为－1和4。
二次函数面积问题(整)
二次函数面积问题(整)1.题型一：割补法1.1 求解析式已知抛物线经过点A（4，）和点B（，2），且对称轴为直线l，顶点为C，求解析式。
由对称性可知，顶点C的横坐标为4/2=2，代入抛物线方程得2b+c=-4，又由于抛物线经过点A和B，代入方程可得2b+c=16和-b+c=2.解方程组得b=-3，c=2，代入方程y=-x^2-3x+2即可得到解析式。
1.2 求面积连接AC、BC、BD，求四边形ADBC的面积。
由于AC和BC在对称轴上，所以它们的长度相等。
设AC=BC=x，由顶点C的坐标可知，AC和BC的纵坐标分别为2和-2，因此四边形ADBC的面积为x*4+1/2*x*(-4)=2x。
2.如图，在直角坐标系中，已知直线y=x+4与y轴交于A 点，与x轴交于B点，C点坐标为（-2，），求解析式和四边形AOBM的面积。
2.1 求解析式由于抛物线经过点A、B、C，所以可以列出三个方程，分别是c=4，a+b+c=0，4a-2b+c=-2.解方程组得a=1，b=-3，c=4，因此抛物线的解析式为y=x^2-3x+4.2.2 求面积设抛物线的顶点为M，连接AM和XXX，求四边形AOBM的面积。
由于抛物线的对称轴与x轴垂直，所以顶点M的横坐标为1.5，代入抛物线方程可得纵坐标为4.25.因此，四边形AOBM的面积为1/2*2*4.25=4.25.3.已知抛物线y=3(x+1)^2-12如图所示3.1 求交点坐标抛物线与y轴的交点为(-3,-3)，因为当x=0时，y=-3.抛物线与x轴的交点为(-3±2√3,0)，因为当y=0时，x=-1±√3.3.2 求面积设顶点D的坐标为(-1,0)，连接AD和BD，求四边形ABCD的面积。
由于AD和BD在对称轴上，所以它们的长度相等。
设AD=BD=x，由顶点D的坐标可知，AD和BD的纵坐标分别为3和-3，因此四边形ABCD的面积为x*6+1/2*x*6=9x。
二次函数中的面积计算问题(包含铅垂高)
(D)二次函数中的面积计算问题【典型例子】例如，如图所示，二次函数2y x bx c =++图像x 在A 和B 两点（A 在B 的左边）与y 轴相交，在C 点与轴相交，顶点为M ，MAB ∆为直角三角形，图像的对称轴是一条直线2-=x ，该点P 是两点之间抛物线上的移动点,A C ，则PAC ∆面积的最大值为（C ）A.274 B. 112C 。
278D.3 二次函数中常见的面积问题类型：1.选择填空的简单应用2.不规则三角形的面积用S=3.使用4.使用相似的三角形5.使用分割法将不规则图形转为规则图形例 1如图 1 所示，已知正方形ABCD 的边长为 1 ， E , F , G , H 为每边的点， AE=BF=CG=DH ，设面积为小s 正方形EFGH 为, AE 为x , 那么about s 的x 函数图大致为 (乙)示例 2.回答以下问题：如图1所示，抛物线的顶点坐标为C 点( 1,4 )，与x 轴相交于A 点( 3 , 0)，与y 轴相交于B 点。
抛物线和直线AB 的解析公式；(2)求△ CA AB 和S △ CAB 的垂直高度CD ；(3)假设点P 是抛物线上（第一象限）上的一个移动点，是否存在点P ，使得S △ PA B = 89S △ CA B ，如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请解释原因。
思想分析这个问题是二次函数中的常见面积问题。
该方法不是唯一的。
可以使用截补法，但是有点麻烦。
如图第10题xyABCOM图1B铅垂高水平宽ha图2A xC Oy ABD 112所示，我们可以画出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆即三角形的面积等于水平宽度与前导垂直乘积的一半。
掌握了这个公式之后，思路就直截了当，过程也比较简单，计算量也相对少了很多。
答： （1）据已知，抛物线的解析公式可以设为y 1 = a ( x - 1 ) 2+ 4 ( a ≠ 0 ) 。
将A (3, 0)代入解析表达式，得到a = - 1 ，∴抛物线的解析公式为y 1 = - ( x - 1 ) 2+ 4，即y 1 = - x 2+2 x +3。
二次函数中的面积问题
二次函数——面积问题（一）〖知识要点〗一．求面积常用方法：1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边）2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方3. 利用同底或同高三角形面积的关系4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解） 二． 常见图形及公式抛物线解析式y=ax2 +bx+c (a≠0)抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x1–x2︱=抛物线顶点坐标（-, ） 抛物线与y 轴交点（0，c ）“歪歪三角形中间砍一刀”，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 〖基础习题〗 1、若抛物线y=-x2–x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB= ，此抛物线与y 轴交于点C ，则C 点的坐标为 ，△ABC 的面积为.2、若抛物线y=x2 + 4x 的顶点是P ，与X 轴的两个交点是C 、D 两点，则△PCD 的面积是_____________.3、已知抛物线与轴交于点A ，与轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC=3，则=，B C 铅垂高水平宽ha图1 C BA O y x DB A O y x P=．〖典型例题〗● 面积最大问题1、二次函数的图像与轴交于点A （-1,0）、B （3，0），与轴交于点C ，∠ACB=90°.（1）求二次函数的解析式；（2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标（3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标(4) P 为抛物线上一点，若使得，求P 点坐标。
● 同高情况下，面积比=底边之比2．已知：如图，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点B 、C ，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点．（1）求B 、C 两点的坐标和抛物线的解析式；（2）若点P 在直线BC 上，且，求点P 的坐标．3．已知：m 、n 是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m ＜n ，抛物线y=﹣x2+bx+c 的图象经过点A （m ，0）、B （0，n ）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（注：抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标． yx B A C O三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半4．阅读材料：如图，过△ABC的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4）交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）（1）求抛物线解析式和线段AB的长度；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）在第一象限内抛物线上求一点P，使S△PAB=S△CAB．法一：同底情况下，面积相等转化成平行线法二：同底情况下，面积相等转化成铅垂高相等变式一：如图2，点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．变式二：抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明点动+面积5．如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．形动+面积6．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？。
初中数学二次函数应用题(面积+利润)专题
二次函数的应用一、面积问题1．如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，若墙长为18米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x米．（1）若苗圃园的面积为100平方米，求x的值；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．2．一个矩形苗圃，一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，墙长为14米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．求：（1）求面积y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）x为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，求x的取值范围．3．用60m的篱笆围成一个一边靠墙、中间用篱笆隔开的矩形养鸡场．（1）如果中间只有一道篱笆，如图1，并设矩形一边的长为xm，那么当x为何值时，养鸡场的面积最大？（2）如果养鸡场中间有6道篱笆，如图2，并设矩形一边的长为xm，那么当x为何值时，养鸡场的面积最大？4．学校要围一个矩形花圃，其一边利用足够长的墙，另三边用篱笆围成，由于园艺需要，还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分（如图所示），总共36米的篱笆恰好用完（不考虑损耗）．设矩形垂直于墙面的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形花圃ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）要想使矩形花圃ABCD的面积最大，AB边的长应为多少米？5．有一个面积为30平方米的长方形ABCD的鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长8米），墙的对面有一个1米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长15米，求鸡场的宽AB是多少米？6．如图，星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙（墙的长度为20m），其余部分用篱笆围成，且中间用一段篱笆把它分隔成了两个矩形，两个矩形各留一道1m宽的门，已知篱笆的总长度为34m．（1）设图中AB（与墙垂直的边）的长为x m，请用含x的代数式表示AD的长．（2）若整个苗圃园的总面积为96m2，求AB的长．7．李爷爷借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m长的篱笆围成一个矩形花园，想在里面种些花草，篱笆只围AB、BC两边．（1）若花园的面积为252m2，求AB的长度；（2）若在P处有一棵树，与墙CD、AD的距离分别是17m和8m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．8．如图所示，工人师傅要用长2米宽10厘米的塑钢条作窗户内的横、纵梁（没有余料）要使窗户内的透光部分面积最大，问窗户的两边长分别为多少？9．广雅中学课外活动小组准备建一个矩形花房，其中一边靠墙，另外三边用长为50米的篱笆围成．已知墙长30米（如图所示），设这个花房垂直于墙的一边AB=x米，花房中间修筑两条互相垂直的宽为2m的小路，剩余部分种植花卉，仅在BC边的小路处留有2米宽的门．（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设花房中种植花卉部分的面积为S，求S与x的函数关系；（3）垂直于墙的一边长为多少米时，面积S有最大值．求这个最大值．10．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD 上，且AE=AH=CF=CG，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为S．（1）求S与x的函数表达式；（2）当x为何值时，S的值最大？求出最大值．11．如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．【利润问题】12．某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随着销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=﹣2x+280，设这种绿茶在这段时间的销售利润为y（元）．（1）求y和x的关系式；（2）当销售单价为多少元时，该公司获取的销售利润最大？最大利润是多少？13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）求商场降价后每天盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式；（2）当降价多少元时，每天盈利最大，最大盈利多少元？14．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出300件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出200件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？15．某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？16．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？17．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，（1）求y与x的函数关系式；（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？18．某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品的销售单价y（元/（1）由题意知商品的最低销售单价是元，当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围；（2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？19．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元时，则每个月少卖5件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为3200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围内，每个月的利润不低于3200元？20．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【作业】21．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m．设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2）．（1）如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．22．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分（1（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入﹣成本）；（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？23．某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．（1）写出y与x中间的函数关系书和自变量x的取值范围；（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？参考答案与试题解析一．解答题（共23小题）1．如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，若墙长为18米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x米．（1）若苗圃园的面积为100平方米，求x的值；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）根据矩形的面积公式列出关于x的方程，解方程可得答案；（2）列出矩形的面积y关于x的函数解析式，结合x的取值范围，利用二次函数的性质可得最值情况．【解答】解：（1）由题意，得：平行于墙的一边长为（30﹣2x），根据题意，得：x（30﹣2x）=100，解得：x=5或x=15，∵∴6≤x＜15．∴x=10．（2）∵矩形的面积y=x（30﹣2x）=﹣2（x﹣）2+，且30﹣2x≥8，即x≤11，∴当x=7.5时，y取得最大值，最大值为；当x=11时，y取得最小值，最小值为88．2．一个矩形苗圃，一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，墙长为14米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．求：（1）求面积y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）x为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，求x的取值范围．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据矩形的周长和面积即可求得y与x的函数关系式以及自变量x 的取值范围；（2）由y与x的函数关系式，根据二次函数的最值问题，即可求得这个苗圃园的面积最大值；（3）根据题意得﹣2（x﹣7.5）2+112.5=88，即可求得x的取值范围．【解答】解：（1）苗圃园垂直于墙的一边的长为x米则平行于墙的一边长为：30﹣2x．则y=x（30﹣2x）=﹣2x2+30x（8≤x＜15）．（2）y=﹣2（x﹣7.5）2+112.5，由（1）知，8≤x＜15，∴当x=8时，S最大值=112，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为8米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112．（3）∵这个苗圃园的面积不小于88平方米，即﹣2（x﹣7.5）2+112.5=88，解得x1=4，x2=11∴4≤x≤11，由（1）可知8≤x＜15，∴x的取值范围为8≤x≤113．用60m的篱笆围成一个一边靠墙、中间用篱笆隔开的矩形养鸡场．（1）如果中间只有一道篱笆，如图1，并设矩形一边的长为xm，那么当x为何值时，养鸡场的面积最大？（2）如果养鸡场中间有6道篱笆，如图2，并设矩形一边的长为xm，那么当x 为何值时，养鸡场的面积最大？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）当养鸡场的中间有一道篱笆时，利用鸡场的长x表示出鸡场的宽，列出鸡场面积y关于x的二次函数式，利用函数知识即可解决问题；（2）类似于（1），当养鸡场的中间有6道篱笆时，利用鸡场的长x表示出鸡场的宽，列出鸡场面积y关于x的二次函数式，利用函数知识即可解决问题．【解答】解：（1）设养鸡场的面积为y．∵当养鸡场的长为x米时，宽为，∴面积y==﹣∴当x=30时，y取得最大值300，即当x=30时，养鸡场的面积最大．（2）∵当养鸡场的长为x米时，宽为米，∴面积y==﹣∴当x=30时，y取得最大值，即当x=30时，养鸡场的面积最大．4．学校要围一个矩形花圃，其一边利用足够长的墙，另三边用篱笆围成，由于园艺需要，还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分（如图所示），总共36米的篱笆恰好用完（不考虑损耗）．设矩形垂直于墙面的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形花圃ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）要想使矩形花圃ABCD的面积最大，AB边的长应为多少米？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）由题意得出AB=x，BC=36﹣3x，由矩形的面积公式即可得出S与x 之间的函数关系式；（2）把函数关系式化成顶点式，由二次根式的性质即可得出结果．【解答】解：（1）由题意得：AB=x，BC=36﹣3x，S=AB•BC=x（36﹣3x）=﹣3x2+36x，即S与x之间的函数关系式为：S=﹣3x2+36x（0＜x＜9）；（2）∵S=﹣3x2+36x=﹣3（x﹣6）2+108，0＜6＜9∴x=6时，S取得最大值108，答：要想使矩形花圃ABCD的面积最大，AB边的长应为6米．5．有一个面积为30平方米的长方形ABCD的鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长8米），墙的对面有一个1米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长15米，求鸡场的宽AB是多少米？【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】设AB长为x米，则根据图可知一共有三面用到了篱笆，BC=（15﹣2x+1）米，长×宽为面积30米2，根据这两个式子可解出AB的值．【解答】解：设AB长为x米，依题意得：（15﹣2x+1）x=30，解得x=3或x=5．当x=3时，BC=15﹣2x+1=15﹣6+10＞8，不合题意，舍去．故x=5符合题意．答：鸡场的宽AB是5米．6．如图，星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙（墙的长度为20m），其余部分用篱笆围成，且中间用一段篱笆把它分隔成了两个矩形，两个矩形各留一道1m宽的门，已知篱笆的总长度为34m．（1）设图中AB（与墙垂直的边）的长为x m，请用含x的代数式表示AD的长．（2）若整个苗圃园的总面积为96m2，求AB的长．【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）根据矩形的周长公式进行解答；（2）根据矩形的面积公式得到方程x（36﹣3x）=96，通过解方程求得x的值即AB的长度即可．【解答】解：（1）AD=36﹣3x；（2）x（36﹣3x）=96，解之得：x1=4 x2=8．当x=4时，AD=24＞20 （舍去），当x=8时，AD=12＜20符合题意．答：当AB=8米时，可使总面积为96m2．7．李爷爷借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m长的篱笆围成一个矩形花园，想在里面种些花草，篱笆只围AB、BC两边．（1）若花园的面积为252m2，求AB的长度；（2）若在P处有一棵树，与墙CD、AD的距离分别是17m和8m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据AB=x米可知BC=（32﹣x）米，再根据矩形的面积公式即可得出结论；（2）根据P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是18米和8米求出x的取值范围，再根据（1）中的函数关系式即可得出结论；【解答】解：（1）设AB=x米可知BC=（32﹣x）米，根据题意得：x（32﹣x）=252．解这个方程得：x1=18，x2=14，答：AB的长度18m或14m．（2）设周围的矩形面积为S，则S=x（32﹣x）=﹣（x﹣16）2+256．∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离是17m和8米，∴8≤x≤15．∴当x=15时，S=﹣（15﹣16）2+256=255（平方米）．最大答：花园面积的最大值是255平方米．8．如图所示，工人师傅要用长2米宽10厘米的塑钢条作窗户内的横、纵梁（没有余料）要使窗户内的透光部分面积最大，问窗户的两边长分别为多少？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】设窗户的长为xcm，面积为y，则窗户的宽为（200﹣x）cm，根据题意得：y=（x﹣10）（200﹣x﹣10）=﹣（x﹣100）2+8100后求得当x=100时有最大面积．【解答】解：设窗户的长为xcm，面积为y，则窗户的宽为（200﹣x）cm，根据题意得：y=（x﹣10）（200﹣x﹣10）=﹣（x﹣100）2+8100，∴当x=100时有最大面积，∴200﹣x=200﹣100=100cm，∴窗户的两边长分别是100cm，100cm9．广雅中学课外活动小组准备建一个矩形花房，其中一边靠墙，另外三边用长为50米的篱笆围成．已知墙长30米（如图所示），设这个花房垂直于墙的一边AB=x米，花房中间修筑两条互相垂直的宽为2m的小路，剩余部分种植花卉，仅在BC边的小路处留有2米宽的门．（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）设花房中种植花卉部分的面积为S，求S与x的函数关系；（3）垂直于墙的一边长为多少米时，面积S有最大值．求这个最大值．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据题意列出函数表达式，注意在BC边的小路处留有2米宽的门这一要求；（2）根据长方形的面积减去小路的面积，列出S与x的函数关系式；（3）运用二次函数的性质解决最值．【解答】解：（1）y=52﹣2x（10≤x≤）；（2）S=（x﹣2）（52﹣2x﹣2）=（x﹣2）（50﹣2x）=﹣2x2+54x﹣100；（3）S=﹣2x2+54x﹣100=﹣2（x﹣13.5）2+264.5，当垂直于墙的一边长为13.5米时，面积S有最大值，最大值是264.5平方米．10．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且AE=AH=CF=CG，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为S．（1）求S与x的函数表达式；（2）当x为何值时，S的值最大？求出最大值．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到y与x的函数关系．（2）通过对函数配方，求出函数的对称轴，对称轴在定义域内，在对称轴处取得最值．【解答】解：（1）因为△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG，﹣2S△AEH﹣2S△EFB=6×8﹣2×x2﹣2×（8﹣x）（6﹣x）=﹣2x2+14x 所以y=S矩形ABCD（0＜x≤6）．（2）y=﹣2x2+3x=﹣2（x﹣）2+．所以当x=时，y max=．11．如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）等量关系为：（原来长方形的长﹣2正方形的边长）×（原来长方形的宽﹣2正方形的边长）=48，把相关数值代入即可求解；（2）同（1）先用x表示出不同侧面的长，然后根据矩形的面积将4个侧面的面积相加，得出关于侧面积和正方形边长的函数式，然后根据函数的性质和自变量的取值范围来得出侧面积的最大值．【解答】解：（1）设正方形的边长为xcm．则（10﹣2x）（8﹣2x）=48，即x2﹣9x+8=0，解得x1=8（不合题意，舍去），x2=1．答：剪去的正方形的边长为1cm．（2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系式为：y=2（10﹣2x）x+2（8﹣2x）x，即y=﹣8x2+36x．（0＜x＜4）改写为y=﹣8（x﹣）2+，∴当x=2.25时，y最大=40.5．即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．12．某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随着销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=﹣2x+280，设这种绿茶在这段时间的销售利润为y（元）．（1）求y和x的关系式；（2）当销售单价为多少元时，该公司获取的销售利润最大？最大利润是多少？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据销售利润=每千克利润×总销量，因为y=（x﹣60）w，w=﹣2x+280，进而求出即可．（2）用配方法化简函数式求出y的最大值即可．【解答】解：（1）∵w=（x﹣60）•w=（x﹣60）•（﹣2x+280）=﹣2x2+400x﹣16800，∴y与x的关系式为：y=﹣2x2+400x﹣16800．（2）y=﹣2x2+400x﹣16800=﹣2（x﹣100）2+3200，故当x=100时，y的值最大值是3200．13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）求商场降价后每天盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式；（2）当降价多少元时，每天盈利最大，最大盈利多少元？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】认真阅读明确题意，抓住命题中给出的关键信息；（1）准确表示出每天降价x元后售出的数量，第一小问即可解决；（2）运用二次函数的性质即可解决第二小问．【解答】解：（1）∵当每件衬衫降价x元时，每天可出售（2x+20）件，此时每件可盈利（40﹣x）元∴y=（40﹣x）（2x+20）=﹣2x2+60x+800（2）∵a=﹣2＜0，所以上述抛物线开口向下，函数有最大值当x=﹣时，y取得最大值，此时y=元14．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出300件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出200件，假定每月销售件数y （件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）设出解析式，把（5，300），（6，200）代入求出系数即可；（2）根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可．【解答】解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，300），（6，200）代入得：，解得：，所以y与x之间的关系式为：y=﹣100x+800；（2）设利润为W，则W=（x﹣4）（﹣100x+800）=﹣100 （x﹣4）（x﹣8）=﹣100 （x2﹣12x+32）=﹣100[（x﹣6）2﹣4]=﹣100 （x﹣6）2+400所以当x=6时，W取得最大值，最大值为400元．答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为400元．15．某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；（2）根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可．【解答】解：（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：y=600﹣5x（0≤x＜120）；（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，则w=（600﹣5x）（100+x）=﹣5x2+100x+60000=﹣5（x﹣10）2+60500，∵a=﹣5＜0，∴w的最大值是60500，则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．16．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值．（2）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w；【解答】解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，化简得：y=﹣5x+2200；供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，则，解得：300≤x≤350．∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．∵x=320在300≤x≤350内，∴当x=320时，最大值为72000，即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．17．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？。
最全二次函数中的面积问题(中考数学必考题型)
二次函数中的面积问题二次函数中的面积问题是中考的热点，面积问题如果是规则图形可以用常见的面积公式解决问题的就直接用面积公式，如果不能直接用面积公式在坐标系中处理面积问题，通常有以下三种思路：第一是割补法：分割求和、补形作差，其中用的最多的是铅垂线法；第二是同底等高利用平行线转化求面积；第三如果遇到的是面积比可以考虑用相似的性质得到线段比去解决相关问题。
【引例1】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【铅垂法】()11112222ABCACDBCDC D B A SSSCD AE CD BF CD AE BF y y x x =+=⋅+⋅=+=-⋅-【方法梳理】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； （3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据C 、D 坐标求得铅垂高； （5）12S =⨯水平宽铅垂高．二、转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ， 若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，PQ △AB ． 当P ,Q 在AB 异侧时，AB 平分PQPABQQBA PDEF OyxCBA 铅垂高水平宽DA BCxyOE三、面积比类型例1.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝x 2﹣6x +5经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ．若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，△ABM 的面积等于△ABC 面积的，求此时点M 的坐标；例2.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ．（1）过点P 作PH△x 轴交BC 边于点H ，求PH 的最大值；（2）求△PBC 面积的最大值（可以用铅垂线法和平行线法）；PyxO CB A变式1.如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D为抛物线的顶点，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，求△BCD 的面积；变式2.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3；与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，直线BC方程为y＝x﹣3．点P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求P 的坐标；变式3.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．变式4.如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．若点D为第四象限内二次函数图象上的动点，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．例3.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求出点P的坐标；【引例2】如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．当CP与x轴不平行时，求的最大值；（化斜为直）例4.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A和点B，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF ＝3：2时，求点D的坐标．变式1.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．变式2.已知：如图，二次函数y＝﹣x2+x+4；点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE△AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；变式3.已知二次函数解析式为y＝3x2﹣3，直线l的解析式为y＝，点P 为抛物线上第四象限上的一动点，过P作y轴的平行线交AD于M，作PN△AD 于N，当△PMN面积有最大值时，求点P的坐标；例4.如图抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A（﹣1，0），点C（0，3），点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．变式1.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3．与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．若直线y＝mx﹣m﹣4将四边形ACDB的面积分为1：2两部分，则m的值为多少作业：1.已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（）A．1B．C．2D．42.已知抛物线y＝x2﹣x+3；经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△P AB 的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点，点P为线段MB上一个动点，过点P作PD△x轴于点D，若OD＝m．设△PCD 的面积为S，试判断S有最大值或最小值吗？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；。
二次函数应用几何图形的最大面积问题教学课件
求解极值点
通过求导数并令其为0，找到函 数的极值点。
确定最大面积
根据极值点和单调性，确定几 何图形的最大面积对应的点。
05
练习题与答案解析
练习题
01
02
03
题目1
一个矩形ABCD的面积为 12，其中AB=2，求BC的 最大值。
题目2
一个直角三角形ABC的面 积为6，其中∠C=90°， AC=3，求BC的最大值。
详细描述
首先设定三角形的底和高为二次函数 的变量，然后根据二次函数的性质， 找到使面积最大的底和高的值。
利用二次函数求圆形面积的最大值
总结词
通过设定圆的半径为二次函数的变量 ，利用二次函数的性质求圆的最大面 积。
详细描述
首先设定圆的半径为二次函数的变量 ，然后根据二次函数的性质，找到使 面积最大的半径的值。
02
几何图形可以由二次函数图像与x 轴、y轴的交点确定，进而形成三 角形、矩形、平行四边形等。
二次函数的最值与几何图形面积的关系
二次函数的最值出现在顶点处，此时 对应的x值为函数的零点或对称轴。
几何图形面积的最大值或最小值出现 在二次函数最值处，可以通过求导数 或配方法找到最值点。Βιβλιοθήκη 02常见几何图形面积公式
题目3
一个等腰三角形ABC的面 积为10，其中AB=AC， ∠B=45°，求BC的最大值 。
答案解析
解析1
设BC=x，则矩形的面积可以表 示为2x=12，解得x=6。由于AB 已经给定为2，所以BC的最大值
为6。
解析2
设BC=x，则直角三角形的面积 可以表示为1/2×3x=6，解得 x=4。由于AC已经给定为3，所
二次函数求最大面积公式
二次函数求最大面积公式二次函数是一种常见的数学函数，其表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
在二次函数中，最大面积是一个重要的概念。
本文将通过推导和分析，探讨如何利用二次函数求解最大面积问题。
我们首先考虑一个简单的问题：如何求解一个矩形的最大面积。
假设矩形的长为x，宽为y，则矩形的面积S为S = xy。
根据矩形的性质，我们知道长和宽是相互影响的，即当长增加时，宽会减小，反之亦然。
因此，要求解最大面积，我们需要找到长和宽的一个最佳的组合。
为了简化问题，我们假设矩形的长和宽相等，即x = y。
此时，矩形的面积可以表示为S = x^2。
现在，我们可以将这个问题转化为一个二次函数的问题。
根据二次函数的定义，我们可以将面积S表示为一个二次函数的形式，即S = f(x) = x^2。
接下来，我们需要确定这个二次函数的相关参数。
根据矩形的性质，我们知道长和宽必须是正数，因此x > 0。
另外，根据实际情况，我们也可以对x设置一个合适的取值范围。
为了方便计算，我们假设x的取值范围为[0, 10]，即0 ≤ x ≤ 10。
现在，我们需要找到这个二次函数的最大值。
根据二次函数的性质，当二次函数的系数a > 0时，函数的图像是一个开口向上的抛物线，且最低点对应的横坐标为最大值点。
因此，我们可以通过求解二次函数的顶点来找到最大值点。
二次函数的顶点坐标可以通过公式x = -b / (2a)来求解。
根据我们的二次函数f(x) = x^2，可以得到a = 1，b = 0，c = 0。
代入公式，可以得到x = 0。
由于我们限定了x的取值范围为[0, 10]，因此最大值点为x = 10。
现在，我们已经找到了二次函数的最大值点，即x = 10。
将x = 10代入二次函数f(x) = x^2，可以得到最大面积S = 10^2 = 100。
因此，当长和宽相等时，矩形的最大面积为100。
二次函数中面积问题
专题10 二次函数中面积问题方法1 割补法求面积1．如图，直线l ：33y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线()2240y ax ax a a =-++<经过点B ．(1)求该抛物线的函数表达式：(2)已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）21252528S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭;当52m =时，S 取得最大值258．【解析】 【分析】（1）根据题意先求出点B 的坐标，然后代入二次函数解析式求解即可；（2）由题意可求点A 坐标，连接OM ，由题意知，点M 的坐标为2(,23)m m m -++，则有03m <<，然后根据割补法求面积即可．【详解】解：（1）把0x =代入33y x =-+得3y =， △(0,3)B ．把(0,3)B 代入224y ax ax a =-++， 得34a =+，△1a =-．△抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++；（2）令0y =，则2230x x -++=，解得1x =-或3， △抛物线与x 轴的交点横坐标分别为1-和3． △点M 在抛物线上，且在第一象限内， △03m <<．将0y =代入33y x =-+，得033x =-+，解得1x =， △(1,0)A ．如解图，连接OM ，由题意知，点M 的坐标为2(,23)m m m -++，则2111(31)2223132AOBOBMOAMAOBOAMB S S SSSSm m m =-=+-=⨯⨯+⨯-⨯-++⨯⨯四边形 2215122522528m m m ⎛⎫=-+=--+⎪⎝⎭， △102-<，且03m <<， △当52m =时，S 取得最大值258． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．方法2 铅锤高水平宽求面积2．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （0，3）、B （﹣1，0）、D （2，3），抛物线与x 轴的另一交点为E,点P 为直线AE 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t ． （1）求抛物线的表达式；（2）当t 为何值时，△PAE 的面积最大？并求出最大面积；解：（1）由题意得：4233a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，△抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）△A（0，3），D（2，3），△抛物线对称轴为x＝1，△E（3，0），设直线AE的解析式为y＝kx+3，△3k+3＝0，解得，k＝﹣1，△直线AE的解析式为y＝﹣x+3，如图1，作PM△y轴，交直线AE于点M，设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），△PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，△12PAE PMA PMES S S PM OE=+=⋅＝()21332t t⨯⨯-+＝23327228t⎛⎫--+⎪⎝⎭，△t＝32时，△PAE的面积最大，最大值是278．方法3 △=0时求面积最大3．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点（－1，0），点C(0，－2)．（1）求抛物线的函数解析式； （2）若点是线段下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标．（1）将A （－1，0）、点C(0，－2)．代入232y ax x c =-+ 求得：213222y x x =-- （2）已求得：B （4，0）、C （0，-2），可得直线BC 的解析式为：y=12x -2； 设直线l△BC ，则该直线的解析式可表示为：y=12x+b ， 当直线l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：12x+b=12x 2-32x -2，即：12x 2-2x -2-b=0，且△=0； △4-4×12（-2-b ）=0，即b=-4； △直线l ：y=12x -4．所以点M 即直线l 和抛物线的唯一交点，有： 213222{142y x x y x =--=-，解得：2{3x y ==-即 M （2，-3）．过M 点作MN△x 轴于N ，S△BMC=S 梯形OCMN+S△MNB -S△OCB=12×2×（2+3）+12×2×3-12×2×4=4． △点M （2，﹣3），△MBC 面积最大值是4. 考点：二次函数综合题．类型拓展1 求四边形面积4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝12x ﹣2的图象与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A ． （1）求二次函数的表达式；（2）若点D 在直线BC 下方的抛物线上，如图1，连接DC 、DB ，设四边形OCDB 的面积为S ，求S 的最大值；解：（1）对于y ＝12x ﹣2，令y ＝12x ﹣2＝0， 解得：x ＝4； 令x ＝0，则y ＝﹣2，故点B 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2）；将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式得2116402c b c =-⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩，解得：322b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 故抛物线的表达式为213222y x x =--①； （2）连接OD ，点D 的坐标为（x ，213222x x --），则S ＝S △ODC ＋S △ODB ＝12×OC ×D x ＋12×BO ×（﹣D y ）＝12×2×x ＋12×4×（213222x x -++）＝﹣x 2＋4x ＋4，△﹣1＜0，故S 有最大值， 当x ＝2时，S 有最大值8；5．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，直线3y x =-+经过B ，C 两点，连接AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)点E 为直线BC 上方的抛物线上的一动点（点E 不与点B ，C 重合），连接BE ，CE ，设四边形BECA 的面积为S ，求S 的最大值； (1)解：（1）将(1A -，0)(3B ，0)代入2y x bx c =-++，∴10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，223y x x ∴=-++；(2)（2）过E 作EF x ⊥轴于点F ，与BC 交于点H ，(1A -，0)(3B ，0)，4AB ∴=当0x =时，3y =，(0,3)C ∴，3OC ∴=，设2(,23)F a a a -++，则(,3)H a a -+，222333EH a a a a a ∴=-+++-=-+，ABC BCE BECA S S S ∆∆=+四边形，21143(3)322S a a ∴=⨯⨯+-+⨯ 236(3)2a a =+-+23375()228a =--+，∴当32a =时，S 的最大值为758；类型拓展2 抛物线上有且只有三个点6．如图1，已知抛物线y ＝ax 2+2x +c （a ≠0），与y 轴交于点A （0，6），与x 轴交于点B （6，0）．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）设点P 是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P 点使得△P AB 的面积是定值S ，求这三个点的坐标及定值S ．解：(1)△抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0）．△603612ca c=⎧⎨=++⎩△126 ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩△抛物线解析式为：y＝﹣12x2+2x+6，△y＝﹣12x2+2x+6＝﹣12（x﹣2）2+8，△顶点坐标为（2，8）(2)△点A（0，6），点B（6，0），△直线AB解析式y＝﹣x+6，当x＝2时，y＝4，△点D（2，4）如图1，设AB上方的抛物线上有点P，过点P作AB的平行线交对称轴于点C，且与抛物线只有一个交点为P，设直线PC解析式为y＝﹣x+b，△﹣12x2+2x+6＝﹣x+b，且只有一个交点，△△＝9﹣4×12×（b﹣6）＝0△b ＝212， △直线PC 解析式为y ＝﹣x +212， △当x ＝2，y ＝172， △点C 坐标（2，172）， △CD ＝92，△﹣12x 2+2x +6＝﹣x +92，△x ＝3， △点P （3，152） △在此抛物线上有且只有三个P 点使得△P AB 的面积是定值S ，△另两个点所在直线与AB ，PC 都平行，且与AB 的距离等于PC 与AB 的距离， △DE ＝CD ＝92，△点E （2，﹣12），设P 'E 的解析式为y ＝﹣x +m ， △﹣12＝﹣2+m ， △m ＝32△P 'E 的解析式为y ＝﹣x +32，△﹣12x 2+2x +6＝﹣x +32，△x ＝△点P '（，﹣32﹣，P ''（3﹣，﹣32，△S ＝12×6×（152﹣3）＝272．7．如图，直线334y x =-+与 x 轴交于点 C ，与 y 轴交于点 B ，抛物线 234y ax x c =++经过 B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 E 是抛物线上的一动点（不与 B ，C 两点重合），△BEC 面积记为 S ，当 S 取何值时，对应的点 E 有且只有三个？【答案】（1）233384y x x =-++；（2）3【解析】 【分析】（1）先利用一次函数解析式确定B （0，3），C （4，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）由于E 点在直线BC 的下方的抛物线上时，存在两个对应的E 点满足△BEC 面积为S ，则当E 点在直线BC 的上方的抛物线上时，只能有一个对应的E 点满足△BEC 面积为S ，所以过E 点的直线与抛物线只有一个公共点，设此时直线解析式为34y x b =-+，利用方程组23433384y x b y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩只有一组解求出b 得到E 点坐标，然后计算此时S △BEC ． 【详解】（1）当x=0时，y=-34x+3=3，则B （0，3），当y=0时，-34x+3=0，解得x=4，则C （4，0），把B （0，3），C （4，0）代入y=ax 2+34x+c 得383a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以抛物线解析式为233384y x x =-++；（2）当E 点在直线BC 的下方的抛物线上时，一定有两个对应的E 点满足△BEC 面积为S ， 所以当E 点在直线BC 的上方的抛物线上时，只能有一个对应的E 点满足△BEC 面积为S ， 即此时过E 点的直线与抛物线只有一个公共点，设此时直线解析式为34y x b =-+， 方程组23433384y x b y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩只有一组解， 方程23333844x x x b -++=-+有两个相等的实数解， 则△=122-4×3×（-24+8b ）=0，解得b=92，解方程得x 1=x 2=2， E 点坐标为（2，3）， 此时1343322BEC S ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 所以当S=1时，对应的点E 有且只有三个．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．8．如图，直线4y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线223y x bx c =-++经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是抛物线上的一动点(不与B ，C 两点重合)，当14BEC BOC S S =△时，求点E 的坐标；（3）若点F 是抛物线上的一动点，当BFC S △为什么取值范围时，对应的点F 有且只有两个？【答案】（1）225433y x x =-++；（2）1E ⎝⎭，2E ⎝⎭，34222E ⎛-+ ⎝⎭，44222E ⎛+- ⎝⎭；（3）当163BFC S >△时，对应的点F 有且只有两个．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）过点E 作x 轴的垂线交BC 于点N ，设点225,433E a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，点(,4)N a a -+，根据12BEC B C S EN x x =-△，14BEC BOC S S =△，列出方程，即可求解； （3）当F 点在直线BC 的下方的抛物线上时，一定有两个对应的F 点满足BCF △面积为S ，当F 点在直线BC 的上方的抛物线上时，无F 点满足BCF △面积为S 才符合题意，故只需要求出当点F 在直线BC 的上方时，BFC S △的最大值，即可得到结论 ．【详解】（1）△直线4y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，△(0,4)B ，(4,0)C ，将(0,4)B ，(4,0)C 代入223y x bx c =-++， 可得2424403c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得534b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， △225433y x x =-++； （2）如图，过点E 作x 轴的垂线交BC 于点N ， 设点225,433E a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点(,4)N a a -+， △2212541624423333BEC B C S EN x x a a a a a =-=-+++-=-+△， △182BOC S BO OC =⋅=△，14BEC BOC S S =△， △2416233a a -+=，解得：1x =2x =3x =4x = 将1x ，2x ，3x ，4x代入抛物线解析式，可得：1y =，2y =3y =4y =△1E ⎝⎭，2E ⎝⎭，34222E ⎛ ⎝⎭，44222E ⎛ ⎝⎭； （3）当点F 在直线BC 上方的抛物线上时，设点225,433F m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， 由（2）同理可得：22416416(2)3333BFC S m m m =-+=--+△， △当2m =时，BFC S △的最大值为163， △当BFC S △＞163时，在直线BC 的上方的抛物线上无法找到F 点， 综上所述：当163BFC S >△时，对应的点F 有且只有两个．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握待定系数法，函数图像上的点的坐标特征以及三角形的面积=铅垂高×水平宽，是解题的关键．类型拓展3 综合运用9．综合与实践 如图，二次函数234y x bx c =++的图象与x 轴交于点A 和B ，点B 的坐标是()4,0，与y 轴交于点()0,3C -，点D 在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)如图2，当点D 在第四象限的抛物线上运动时，连接BD ，CD ，BC ，当BCD △的面积最大时，求点D 的坐标及BCD △的最大面积；(1)解：点B ()4,0和点()0,3C -代入二次函数234y x bx c =++， 得：01243b c c=++⎧⎨-=⎩ 解得943b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩． △抛物线的表达式是239344y x x =--． (2) 解：如图，连接OD ，过点D 作DM x ⊥轴，作DN y ⊥轴．设点D 的坐标是239,344m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．△239344DM m m =-++，DN m =． △()4,0B ，()0,3C -，△4OB =，3OC =．△BCD OCD OBD OBC S S S S =+-△△△△111222OC DN OB DM OB OC =⋅+⋅-⋅ 2113913434322442m m m ⎛⎫=⨯+⨯-++-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 2362m m =-+ 23(2)62m =--+． △302-<， △当2m =时，BCD △的面积最大且为6．当2m =时，2239399322344442m m --=⨯-⨯-=-． △点D 的坐标是92,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，BCD △的最大面积是6． 10．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为()()3,0,0,3B C ，点M 是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式；(2)点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，若OD m =，PCD 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求当S 取得最大值时，点P 的坐标；(1)解：将点B （3，0），C （0，3）代入y =-x 2+bx +c ，得09333b c =-++⎧⎨=⎩；解得23b c =⎧⎨=⎩， △二次函数的解析式为y =-x 2+2x +3；(2)△y =-x 2+2x +3=-（x -1）2+4，△顶点M （1，4），设直线BM 的解析式为y =kx +b ，将点B （3，0），M （1，4）代入，得304k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得26k b =-⎧⎨=⎩， △直线BM 的解析式为y =-2x +6，△PD △x 轴且OD =m ，△P （m ，-2m +6），△S =S △PCD =12PD •OD =12m （-2m +6）=-m 2+3m ，即S =-m 2+3m ，△当点P 与点B 重合时，不存在以P 、C 、D 为顶点的三角形，△1≤m <3，△S =-m 2+3m =-（m -32）2+94， △-1＞0，△当m =32时，S 取最大值94；此时点P 的坐标为332⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2x =，与y 轴交于点A 与x 轴交于点E 、B ，且点(0,5)A ，(5,0)B ，过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的点，且在AC 的上方，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ．(1)求二次函数的解析式；(2)当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；(1) 解：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2x =， △22b a-=， 4b a ∴=-，∴抛物线解析式为24y ax ax c =-+，点(0,5)A ，(5,0)B ，∴52550c a b c =⎧⎨-+=⎩， ∴15a c =-⎧⎨=⎩， ∴二次函数的解析式为245y x x =-++；(2)解：//AC x 轴，点(0,5)A ，当5y =时，2455x x -++=，10x ∴=，24x =，(4,5)C ∴，4AC ∴=，设直线AB 的解析式为y mx n =+，(0,5)A ，(5,0)B ，由点A 、B 的坐标得，直线AB 的解析式为5y x =-+；设2(,45)P m m m -++，,5()D m m ∴-+，224555PD m m m m m ∴=-+++-=-+，4AC =， △()221525252222APCD S AC PD m m m ⎛⎫=⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭四边形 ∴当52m =时，四边形APCD 的面积最大， ∴即点5(2P ，35)4时，四边形APCD 的面积最大为252； 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2＋bx ＋c 的图象与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中点B 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），点D 的坐标为（0，2），点P 为二次函数图象上的动点．（1）求二次函数的解析式和直线AD 的解析式；（2）当点P 位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD ，AP ，以AD ，AP 为邻边作平行四边形APED ，设平行四边形APED 的面积为S ，求S 的最大值．【答案】（1）y ＝－x 2－3x ＋4，122y x =+；（2）814【解析】【分析】 （1）利用待定系数法将B （1，0），C （0，4）代入二次函数y ＝﹣x 2＋bx ＋c 即可求出二次函数的解析式，令y ＝0，可求出A 点坐标，然后设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b ，利用待定系数法将A 点坐标和D 点坐标代入y ＝kx ＋b 即可求出直线AD 的解析式；（2）连接PD ，作PG y 轴交AD 于点G ，根据题意设出点P 和点G 的坐标，然后表示出线段PG 的长度，进而根据2APD S S ∆=表示出平行四边形APED 的面积，最后根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）将B （1，0），C （0，4）代入y ＝－x 2＋bx ＋c 中，得014b c c =-++⎧⎨=⎩，解得34b c =-⎧⎨=⎩， △二次函数的解析式为y ＝－x 2－3x ＋4在y ＝－x 2－3x ＋4中，令y ＝0，即2340x x --+=，解得x 1＝－4，x 2＝1，△A （－4，0）．设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b'．△D （0，2），△04'2'k b b =-+⎧⎨=⎩， 解得：12'2k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ △直线AD 的解析式为122y x =+． （2）连接PD ，作PG y 轴交AD 于点G ，如图所示．设P （t ，－t 2－3t ＋4）（－4＜t ＜0），则G （t ，122t +）， △2217342222PG t t t t t =--+--=--+， △2122||41482APD D A S S PG x x t t ∆==⨯⋅-=--+， 27814()44t =-++． △－4＜0，－4＜t ＜0，△当74t =-时，S 有最大值814．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数和一次函数表达式，二次函数中有关面积的综合题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数表达式，根据题意设出点的坐标表示出平行四边形APED的面积．。
专题58 二次函数中的面积问题(解析版)
例题精讲求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积．这是在“补”，同样可以采用“割”：()111222ABC ACD BCD S S S AE BF CD AE BF=+=⋅+⋅=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离．由题意得：AE +BF =6．下面求CD ：根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：1233y x =+由点C 坐标（4,7）可得D 点横坐标为4，将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2，故D 点坐标为（4,2），CD =5,165152ABC S =⨯⨯= ．【方法总结】作以下定义：A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”．如图可得：=2ABC S ⨯ 水平宽铅垂高【解题步骤】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ；（3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标；（4）根据C 、D 坐标求得铅垂高；（5）利用公式求得三角形面积．例题精讲【例1】．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．点P为抛物线第二象限上一动点，连接PB、PC、BC，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标．解：令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3（k≠0），把点B坐标代入y＝kx+3得﹣3k+3＝0，解得k＝1，∴直线BC的解析式为y＝x+3，设P的横坐标是x（﹣3＜x＜0），则P的坐标是（x，﹣x2﹣2x+3），过点P作y轴的平行线交BC于M，则M（x，x+3），∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，＝PM•|x B﹣x C|＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣（x2+3x）＝﹣（x+）2+，∴S△PBC∵﹣＜0，有最大值，最大值是，∴当x＝﹣时，S△PBC∴△PBC面积的最大值为；当x＝﹣时，﹣x2﹣2x+3＝，∴点P坐标为（﹣，）．变式训练【变1-1】．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．解：（1）∵y＝ax2+bx+3经过A（1，0），C（4，3），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；设直线AC的解析式为y＝kx+h，将A、C两点坐标代入y＝kx+h得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x﹣1；（2）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y＝x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m＝0，△＝（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）＝0，解得：m＝﹣，即m＝﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x＝，y＝﹣＝﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF＝﹣1＝，∵直线AC的解析式为y＝x﹣1，∴∠CAB＝45°，∴点F到AC的距离为AF•sin45°＝×＝，又∵AC＝＝3，∴△ACE的最大面积＝×3×＝，此时E点坐标为（，）．【变1-2】．如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣+bx+c 经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M 的坐标．解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，∴A（0，2），令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得x＝4，∴C（4，0）．把A、C两点代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图，设M（a，﹣a2+a+2），则N（a，﹣a+2），＝•MN•OC＝（﹣a+2﹣a2﹣a﹣2）×4＝﹣a2+2a，∴S△ACMS△ABC＝•BC•OA＝×（4+2）×2＝6，＝S△ACM+S△ABC＝﹣a2+2a+6＝＝﹣（a﹣2）2+8，∴S四边形ABCM∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，此时M的坐标为（2，2）．【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m），点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当P在何处时，△ACE面积最大．解：（1）抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）把C（2，m）代入y＝x2﹣2x﹣3得m＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C（2，﹣3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；设E（t，t2﹣2t﹣3）（﹣1≤t≤2），则P（t，﹣t﹣1），∴PE＝﹣t﹣1﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+t+2，∴△ACE的面积＝×（2+1）×PE＝（﹣t2+t+2）＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，△ACE的面积有最大值，最大值为，此时P点坐标为（，﹣）．变式训练【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：，故抛物线的表达式为：，则点C（0，2），函数的对称轴为：x＝﹣1；（2）连接OP，设点，＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝则S＝S四边形ADCP＝，∵﹣1＜0，故S有最大值，当时，S的最大值为．【变2-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值．解：（1）把x＝0代y＝x﹣2得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．把y＝0代y＝x﹣2得x＝4，∴B（4，0），设抛物线的解析式为y＝（x﹣4）（x﹣m），将C（0，﹣2）代入得：2m＝﹣2，解得：m＝﹣1，∴A（﹣1，0）．∴抛物线的解析式y＝（x﹣4）（x+1）＝x2﹣x﹣2；（2）如图所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．设D（x，x2﹣x﹣2），则F（x，x﹣2），DF＝（x﹣2）﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+2x．△BCD2+4．∴当x＝2时，S有最大值，最大值为4．1．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是（）A．（2，3）B．（，）C．（1，3）D．（3，2）解：对于y＝﹣x2+x+2y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或4，令x＝0，则y ＝2，故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，2），过点P作y轴的平行线交BC于点H，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+2，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点H的坐标为（x，﹣x+2），+S△PHC＝PH×OB＝×4×（﹣x2+x+2+x﹣2）＝﹣则△BCP的面积＝S△PHBx2+4x，∵﹣1＜0，故△BCP的面积有最大值，当x＝2时，△BCP的面积有最大值，此时，点P的坐标为（2，3），故选：A．2．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上直线BC上方的一动点，求△PBC面积的最大值，并求出点P坐标；（3）若点Q为抛物线对称轴上一动点，求△QAC周长的最小值．解：（1）令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），令y＝0，则x＝4，∴B（4，0），将点B（4，0）和点C（0，2）代入，得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）作PD∥y轴交直线BC于点D，设P（m，﹣m2+m+2），则D（m，﹣m+2），∴PD＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，＝×4×（﹣m2+2m）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∴S△PBC∴当m＝2时，△PBC的面积有最大值4，此时P（2，3）；（3）令y＝0，则，解得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∵A点与B点关于对称轴对称，∴AQ＝BQ，∴AQ+CQ+AC＝BQ+CQ+AC≥BC+AC，∴当B、C、Q三点共线时，，△QAC周长最小，∵C（0，2），B（4，0），A（﹣1，0），∴BC＝2，AC＝，∴AC+BC＝3，∴△QAC周长最小值为3．3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值．若没有，请说明理由．解：（1）根据题意得：，解得，则抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；（2）理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，对于y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，则y＝3，故点C（0，3），设BC的解析式是y＝mx+n，则，解得，则BC的解析式是y＝x+3．x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，∴点Q的坐标是Q（﹣1，2）；（3）过点P作y轴的平行线交BC于点D，设P的横坐标是x，则P的坐标是（x，﹣x2﹣2x+3），对称轴与BC的交点D是（x，x+3）．则PD＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣x＝＝﹣（x+）2+，则S△PBC∵﹣＜0，故△PBC的面积有最大值是．4．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的二次函数解析式：（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；（3）如图2，点H是直线BC下方抛物线上的动点，连接BH，CH．当△BCH的面积最大时，求点H的坐标．解：（1）∵y过A（﹣1，0），B（5，0）把A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣5得，解得y＝x2﹣4x﹣5；（2）当x＝0时，y＝﹣5，∴C（0，﹣5），设P（m，m2﹣4m﹣5），Q（n，0），①BC为对角线，则x Q﹣x C＝x B﹣x P，y Q﹣y C＝y B﹣y P，解得，（舍去），∴P（4，﹣5），②CP为对角线，则x Q﹣x C＝x P﹣x B，y Q﹣y C＝y P﹣y B，解得或，∴P（2+，5）或（2﹣，5），③CQ为对角线时，CP∥BQ，则点P （4，﹣5）；综上P （4，﹣5）或（2﹣，5）或（2+，5）；第三种，CQ 为对角线不合要求，舍去；（3）过H 作HD ∥y 轴交BC 于D ，∴S △BCH ＝S △CDH +S △BDH ＝HD （x H ﹣x C ）+HD （x B ﹣x H ）＝HD （x B ﹣x C ）＝HD ，设BC ：y ＝kx +b 1，∵BC 过B 、C 点，代入得，，，∴y ＝x ﹣5，设H （h ，h 2﹣4h ﹣5），D （h ，h ﹣5），S △BCH ＝HD ＝×[h ﹣5﹣（h 2﹣4h ﹣5）]＝﹣（h ﹣）2+，∴当h ＝时，H （，﹣）时，S △BCHmax ＝．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C．是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，∵点B（3，0）在二次函数图象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，∵四边形POP'C为菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE＝OC，∵点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE＝，∴E（0，﹣），∴点P的纵坐标为﹣，由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴x2﹣2x﹣3＝﹣，∴x＝或x＝，∵点P在直线BC下方的抛物线上，∴0＜x＜3，∴点P（，﹣）；（3）如图2，过点P作PF⊥x轴于F，则PF∥OC，由（1）知，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），∴设P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3），∴F（m，0），＝S△AOC+S梯形OCPF+S△PFB＝OA•OC+（OC+PF）•OF+PF•BF∴S四边形ABPC＝×1×3+（3﹣m2+2m+3）•m+（﹣m2+2m+3）•（3﹣m）＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，四边形ABPC的面积最大，最大值为，此时，P（，﹣），即点P运动到点（，﹣）时，四边形ABPC的面积最大，其最大值为．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直线BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：a＝﹣，b＝，c＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）设点P的坐标为（t，﹣t2+t+2）．∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4．∴S＝AB•PD＝×4×（﹣t2+t+2）＝﹣t2+t+4（0＜t＜3）；（3）当△ODP∽△COB时，＝即＝，整理得：4t2+t﹣12＝0，解得：t＝或t＝（舍去）．∴OD＝t＝，DP＝OD＝，∴点P的坐标为（，）．当△ODP∽△BOC，则＝，即＝，整理得t2﹣t﹣3＝0，解得：t＝或t＝（舍去）．∴OD＝t＝，DP＝OD＝，∴点P的坐标为（，）．综上所述点P的坐标为（，）或（，）．7．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+经过点A，与抛物线的另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P、Q的坐标；（3）在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由．解：（1）∵点C的横坐标为3，∴y＝×3+＝2，∴点C的坐标为（3，2），把点C（3，2）代入抛物线，可得2＝9a﹣9a﹣4a，解得：a＝，∴抛物线的解析式为y＝；（2）设点P（m，0），Q（m+1，0），由题意，点D（m，m+）m，E（m，），G（m+1，m+1），F（m+1，），∵四边形DEFG为平行四边形，∴ED＝FG，∴（）﹣（m+）＝（）﹣（m+1），即＝，∴m＝0.5，∴P（0.5，0）、Q（1.5，0）；（3）设以D、E、F、G为顶点的四边形面积为S，由（2）可得，S＝（）×1÷2＝（﹣m2+m+）＝，∴当m＝时，S最大值为，∴以D、E、F、G为顶点的四边形面积有最大值，最大值为．8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．E是BC上一点，PE∥y轴．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求BCP面积的最大值；（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当m为何值时MN＝BM，解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式是y＝x2﹣4x+3；（2）当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），设BC的表达式为y＝kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得解这个方程组，得．故直线BC的解析是为y＝﹣x+3，过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E（t，﹣t+3），PE＝﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+3t，∴S△BCP∵﹣＜0，∴当t＝时，S＝．△BCP最大（3）M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3），∴MN＝|m2﹣3m|，BM＝|m﹣3|，当MN＝BM时，m2﹣3m＝（m﹣3），解得m＝．9．已知直线y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A和点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）把x＝0代入y＝x﹣3得y＝﹣3，则C点坐标为（0，﹣3），把y＝0代入y＝x﹣3得x﹣3＝0，解得x＝4，则A点坐标为（4，0），把A（4，0），C（0，﹣3）代入y＝﹣x2+mx+n得，解得，所以二次函数解析式为y＝﹣x2+x﹣3；（2）存在．过D点作直线AC的平行线y＝kx+b，当直线y＝kx+b与抛物线只有一个公共点时，点D 到AC的距离最大，此时△ACD的面积最大，∵直线AC的解析式为y＝x﹣3，∴k＝，即y＝x+b，由直线y＝x+b和抛物线y＝﹣x2+x﹣3组成方程组得，消去y得到3x2﹣12x+4b+12＝0，∴△＝122﹣4×3×（4b+12）＝0，解得b＝0，∴3x2﹣12x+12＝0，解得x1＝x2＝2，把x＝2，b＝0代入y＝x+b得y＝，∴D点坐标为（2，）．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝＝x﹣2交抛物线于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中，得：，解得：，∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E（m，m﹣2），∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，联立方程组：，解得：，．∵点B坐标为（3，0），∴点C的坐标为（﹣，﹣），∴BD+CF＝3+||＝．＝S△PEB+S△PEC＝PE•BD+PE•CF∴S△PBC＝PE（BD+CF）＝（﹣m2+m+1）×＝﹣（m﹣）2+，（其中﹣＜m＜3）．∵﹣＜0，∴这个二次函数有最大值．的最大值为．∴当m＝时，S△PBC11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△P AB存在，请说明理由；（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+ON的最小值．解：（1）∵直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A（4，0），点B（0，﹣2），设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），∴﹣2＝﹣4a，∴a＝，∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；（2）如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，∵OP∥AB，∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，＝S△ABO，∴S△P AB∵OP∥AB，∴直线PO的解析式为y＝x，联立方程组可得，解得：或，∴点P（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）；当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，连接AP''，BP''，∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，＝S△ABO，∴S△AP''B∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4），∴直线EP''解析式为y＝x﹣4，联立方程组可得，解得，∴点P''（2，﹣3），综上所述：点P坐标为（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）或（2，﹣3）；（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，m2﹣m﹣2），则点F（m，m﹣2），∴MF＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣（m﹣2）2+2，∴△MAB的面积＝×4×[﹣（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，∴点M（2，﹣3），如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，∴KN＝ON，∴MN+ON＝MN+KN，∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+ON有最小值，即最小值为MP，∵∠KOB＝30°，∴直线OK解析式为y＝x，当x＝2时，点Q（2，2），∴QM＝2+3，∵OB∥QM，∴∠PQM＝∠PON＝30°，∴PM＝QM＝+，∴MN+ON的最小值为+．12．直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B 两点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；①当△PBA的面积最大时，求点P的坐标；②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）①过点P作y轴的平行线交BC于点N，设P（m，﹣m2+m+2），点N（m，﹣m+2），则：△PBA的面积S＝PN×OA＝×4×（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣2m2+8m，当m＝2时，S最大，此时，点P（2，5）；②点P（2，5），则点Q（，5），设点M（a，﹣a+2）；（Ⅰ）若：∠QM1B＝2∠QAM1，则QM1＝AM1，则（a﹣）2+（a+3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2，解得：a＝，故点M1（，）；（Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1，则∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2，作QH⊥AB于H，BQ的延长线交x轴于点N，则tan∠BAO＝＝，则tan∠QNA＝2，故直线QH表达式中的k为2，设直线QH的表达式为：y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b＝2，故直线QH的表达式为：y＝2x+2，故H（0，2）与B重合，M2、M1关于B对称，∴M2（﹣，）；综上，点M的坐标为：（，）或（﹣，）．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（﹣3，0）和点C（1，0）．（1）求此抛物线的表达式．（2）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当△ABP的面积最大时，求出此时点P 的坐标和△ABP的最大面积．（3）设抛物线顶点为D，在（2）的条件下直线AB上确定一点H，使△DHP为等腰三角形，请直接写出此时点H的坐标（﹣，﹣）．解：（1）将点B（﹣3，0）和点C（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，得，∴，∴y＝x2+2x﹣3；（2）令x＝0，则y＝﹣3，∴A（0，﹣3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x﹣3，过点P作PG⊥x轴交AB于点G，设P（t，t2+2t﹣3），则G（t，﹣t﹣3），∴PG＝﹣t﹣3﹣t2﹣2t+3＝﹣t2﹣3t，∴S△ABP＝×3×（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+，当t＝﹣时，S△ABP有最大值，此时P（﹣，﹣）；（3）由y＝x2+2x﹣3的顶点D（﹣1，﹣4），设H（m，﹣m﹣3），∵△DHP为等腰三角形，∴DH＝PH，∴（m+1）2+（﹣m+1）2＝（m+）2+（﹣m+）2，解得m＝﹣，∴H（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标．解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1；（2）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC＝＝3，同理可得：AN＝，＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．∴C△ANM∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+；（3）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，PF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点Q的坐标为（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．∴S△APC∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C （0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．（3）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图1，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y＝x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，＝S△PFC+S△PFB＝PF•OE+PF•BE＝PF•（OE+BE）＝PF•OB＝（﹣t2+4t）∴S△PBC×4＝﹣2（t﹣2）2+8，最大值为8，此时t2﹣3t﹣4＝﹣6，∴当t＝2时，S△PBC∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．（3）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图2，∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）．16．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线的对称轴交x轴于点M，连接BC、CM．求△BCM的周长及tan∠BCM的值；（3）如图2，过点A的直线m∥BC，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PD⊥m，垂足为点D，连接BD，CD，CP，PB．当四边形BDCP的面积最大时，求点P 的坐标及四边形BDCP面积的最大值．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴y＝﹣x2+2x+3．（2）由解析式可得M（1，0），C（0，3），∴．∴△BCM的周长为．如图1，过点M作MN⊥BC于点N，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠BMN＝45°．∴．∴．∴．＝S△BDC+S△BPC，（3）由题意可知：S四边形BDCP∵过点A的直线m∥BC，∴．∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4．∵抛物线y＝﹣x2+2x+3交y轴于点C（0，3），∴OC＝3．∴．如图2，过点P作PF⊥x轴，垂足为点F，交BC于点E，直线BC的解析式为：y＝﹣x+3．设P（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3），∵点P是直线BC上方抛物线上一动点，∴PE＝PF﹣EF＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x．则＝．∴．当时，四边形BDCP的面积最大，最大面积为．此时，点P的坐标为．17．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B （1，0）．（1）求抛物线F1的解析式；（2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值．∴，解得，∴y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），∵顶点（﹣1，﹣4）关于原点的对称点为（1，4），∴抛物线F2的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，∴y＝﹣x2+2x+3；（3）由题意可得，抛物线F3的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+6＝﹣x2+2x+5，①联立方程组，解得x＝2或x＝﹣2，∴C（﹣2，﹣3）或D（2，5）；②设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝2x+1，过点M作MF∥y轴交CD于点F，过点N作NE∥y轴交CD于点E，设M（m，m2+2m﹣3），N（n，﹣n2+2n+5），则F（m，2m+1），E（n，2n+1），∴MF＝2m+1﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2+4，NE＝﹣n2+2n+5﹣2n﹣1＝﹣n2+4，∵﹣2＜m＜2，﹣2＜n＜2，∴当m＝0时，MF有最大值4，当n＝0时，NE有最大值4，＝S△CDN+S△CDM＝×4×（MF+NE）＝2（MF+NE），∵S四边形CMDN∴当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为16．18.将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y ＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式．（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A、C重合），过点P作PD ⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值．（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为．解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，解得：a＝﹣1，∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣时，PE有最大值，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝45°，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠AOC，∴PD∥OC，∴∠PEF＝∠ACO＝45°，∵PF⊥AC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PF＝EF＝PE，＝PF•EF＝PE2，∴S△PEF＝×（）2＝；∴当m＝﹣时，S△PEF最大值（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中，，∴△PQG≌△ACO（AAS），∴PG＝AO＝3，∴点P到对称轴的距离为3，又∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设点P（x，y），则|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣4时，y＝﹣5，∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴M（﹣，），∵点Q在对称轴上，∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，∴x＝﹣2，此时y＝3，∴P（﹣2，3）；综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．。
二次函数求面积问题解题思路
二次函数求面积问题解题思路我们知道，二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c 是常数，且a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线。
对于二次函数求面积的问题，一般指的是求抛物线与x轴之间的面积。
下面我将介绍一种常见的解题思路及其步骤。
步骤一：确定二次函数的解析式首先，我们需要确定给定问题中的二次函数的解析式。
这可以通过题目中的条件或直接给出的函数表达式得到。
比如，如果题目已经给出了函数表达式y = ax^2 + bx + c，那我们可以直接使用这个表达式来进行后续的计算。
步骤二：求出二次函数的根接下来，我们需要求出二次函数的根，即解方程ax^2 + bx + c = 0。
通过求根公式或配方法，我们可以得到二次函数的根。
步骤三：确定计算区间根据题目要求，我们需要确定计算面积的区间。
一般情况下，这个区间就是二次函数的根所确定的x的取值范围。
根据根的大小关系，我们可以将区间分为几个小区间。
步骤四：计算小区间的面积对于每个小区间，我们可以通过求解二次函数与x轴的交点，确定该小区间所对应的抛物线部分的面积。
一般情况下，这可以通过计算定积分来实现。
具体的计算方法需要根据题目给出的函数表达式来决定。
步骤五：求解总面积将每个小区间的面积加起来，即可得到整个抛物线与x轴之间的面积。
这就是我们最终要求解的问题。
通过上述步骤，我们可以解决大部分二次函数求面积的问题。
下面，我将通过一个实例来具体说明这些步骤的应用。
例题：已知二次函数y = 2x^2 - 3x + 1，求抛物线与x轴之间的面积。
解题步骤：步骤一：确定二次函数的解析式根据题目给出的函数表达式，我们得到y = 2x^2 - 3x + 1。
步骤二：求出二次函数的根我们可以使用求根公式或配方法来求解2x^2 - 3x + 1 = 0的根。
计算后可得x1 ≈ 1.5，x2 ≈ 0.333。
步骤三：确定计算区间根据根的大小关系，我们可以将区间分为两个小区间：[0.333, 1.5]和[1.5, 正无穷)。
《二次函数专题提优》：二次函数有关面积问题
《二次函数提优专题》：二次函数有关面积问题2、如图，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线BC．（1）、求抛物线的解析式．（2）、设点P为抛物线对称轴上的一个动点．①、如图①，若点P为抛物线的顶点，求△PBC的面积．②、是否存在点P使△PBC的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．（二）、三角形面积最值：3、如图，已知抛物线c bx x y ++=2-与x 轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与抛物线交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB 。
(1)、求该抛物线的解析式；(2)、在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D ，使得BCD △的面积最大?若存在，求出D 点坐标及BCD △面积的最大值；若不存在，请说明理由。
(3)、在(1)中的抛物线上是否存在点Q ，使得QMB △与PMB △的面积相等?若存在，直接写出满足条件的所有点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
（三）、有关三角形面积倍数关系：4、如图，已知：m 、n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m<n ，•抛物线y=－x 2+bx+c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ）． （1）、求这个抛物线的解析式；（2）、设（1）中的抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C ，D 的坐标和△BCD 的面积； （3）、P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标。
5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数5-x 6-x y 2+=的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l 。
二次函数与面积问题
例1在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°， 点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度 A
解（2）设过B（2，0） M（ 的解析式为：ｙ＝ｋｘ＋ｂ 3 则 ｋ＝ ｂ＝－３ 2 ∴直线ＢＭ的解析式为：
1 9 ，－ ） 2 4
y 5 4 3 2
1 Q B 3 A ｙ＝ ｘ－３ 2 -3 -2 -1 O 1 2 3 ∵QＮ=t ∴把ｙ＝ｔ代入直线 -1 N ＭＢ的解析式， 2 -2Ｃ M 得ｘ＝２－ ｔ -3 3 1 1 2 ∴S＝ ×２×１＋ （２＋ｔ）（2－ t） 2 2 3
A
（0<t<4）
P
=-t2 +4t (2)s=-t2 +4t
=-（t2 -4t +4 -4） = -（t - 2）2 + 4 t=2,s有最大值4
最大面积是 4 cm2
C
Q
B
所以，当P、Q同时运动2秒后Δ PBQ的面积最大
练习２．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形， 点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴 出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).
移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，
1)△PBQ的面积S随出发时 间t如何变化?写出函数关系 式及t的取值范围. (2)当t为何值时,s的值最大? 最大值为多少?
C Q
二次函数面积最值问题
二次函数面积最值问题一、问题概述二次函数面积最值问题是指在给定的二次函数中，找到使其面积最大或最小的变量取值。
这个问题在数学中有着广泛的应用，比如在经济学、物理学、工程学等领域都有着重要的作用。
二、问题分析为了解决二次函数面积最值问题，我们需要先了解一些基本概念和公式。
下面是一些常见的数学公式：1. 二次函数的标准形式：y=ax^2+bx+c其中a,b,c都是实数，且a≠0。
2. 二次函数的顶点坐标：(h,k)其中h=-b/2a，k=f(h)，f(x)表示二次函数。
3. 二次函数的对称轴方程：x=h4. 两点之间距离公式：d=sqrt[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]5. 矩形面积公式：S=lw其中S表示矩形面积，l表示矩形长，w表示矩形宽。
了解了这些基本概念和公式后，我们可以开始分析如何解决二次函数面积最值问题。
三、求解方法1. 求最大值要求一个二次函数在给定区间内的最大面积，我们可以通过以下步骤来实现：步骤一：将二次函数化为标准形式。
步骤二：求出二次函数的顶点坐标。
步骤三：根据顶点坐标和区间端点，确定矩形的长和宽。
步骤四：计算矩形面积，并比较得出最大值。
具体的，可以按照以下函数来实现：```pythondef max_area(a,b,c,start,end):# 将二次函数化为标准形式f = lambda x: a*x**2+b*x+c# 求出二次函数的顶点坐标h = -b/(2*a)k = f(h)# 根据顶点坐标和区间端点，确定矩形的长和宽l = end-startw = abs(f(start)-k)*2# 计算矩形面积，并比较得出最大值S = l*wreturn S if S>0 else 0```其中，a,b,c分别表示二次函数的系数，start,end表示给定区间的端点。
这个函数会返回一个最大面积值。
2. 求最小值要求一个二次函数在给定区间内的最小面积，我们可以通过以下步骤来实现：步骤一：将二次函数化为标准形式。
二次函数综合专题一面积问题
二次函数专题一ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）是否存在抛物线上一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）．2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．题型一：面积问题变式训练1变式训练2如图已知：直线y=﹣x+3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D 的坐标为（﹣1，0），在直线y=﹣x+3上有一点P ，使△ABO 与△ADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使△ADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．堂堂清一．选择题（共5小题）1．如图，如果把抛物线y=x 2沿直线y=x 向上方平移2个单位后，其顶点在直线y=x 上的A 处，那么平移后的抛物线解析式是（ ）A ．y=（x+2）2+2B ．y=（x+2）2+2C ．y=（x ﹣2）2+2D ．y=（x ﹣2）2+22．已知抛物线c ：y=x 2+2x ﹣3，将抛物线c 平移得到抛物线c ′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是（ ）A ．将抛物线c 沿x 轴向右平移个单位得到抛物线c ′B ．将抛物线c 沿x 轴向右平移4个单位得到抛物线c ′C ．将抛物线c 沿x 轴向右平移个单位得到抛物线c ′D ．将抛物线c 沿x 轴向右平移6个单位得到抛物线c ′3．将抛物线y 1=x 2﹣2x ﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线y 2=ax 2+bx+c 重合，现有一直线y 3=2x+3与抛物线y 2=ax 2+bx+c 相交，当y 2≤y 3时，利用图象写出此时x 的取值范围是（ ）A ．x ≤﹣1B ．x ≥3C ．﹣1≤x ≤3D ．x ≥04．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④2a+b=0；⑤a ﹣b+c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二．填空题（共5小题）6．已知抛物线y=ax 2+x+c 与x 轴交点的横坐标为﹣1，则a+c= ．7．如果抛物线y=ax 2﹣2ax+c 与x 轴的一个交点为（5，0），那么与x 轴的另一个交点的坐标是 ．8．如果抛物线y=ax 2+5的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是 ．9．已知点（﹣1，m ）、（2，n ）在二次函数y=ax 2﹣2ax ﹣1的图象上，如果m ＞n ，那么a 0（用“＞”或“＜”连接）．10．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3；③3a+c ＞0；④当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1≤x ＜3；⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大；其中结论正确有 ．三．解答题（共4小题）11．甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．12．如图，在直角坐标系中，已知直线y=x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为（﹣2，0）．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）如果M为抛物线的顶点，联结AM、BM，求四边形AOBM的面积．13．抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．14．如图，已知抛物线y=+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP 的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
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二次函数有关的面积问题
1、:已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），
求（1）抛物线解析式
（2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C
（3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE
（4）若点F（x,y)为抛物线上一动点，其中-1≤x≤4，求当△AEF面积最大时点F的坐标及最大面积。
2．已知平面直角坐标系xOy中, 抛物线2(1)
=-+与直线y kx
y ax a x
=的一个公共点为(4,8)
A. （1）求此抛物线和直线的解析式；
（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；
（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN 的面积.。