河南省洛阳市2019届高三上学期尖子生第一次联考数学(文)试题(word版,含答案)
2019届河南省洛阳市、许昌市高三第一次质量检测数学(文)试题(word版)
河南省洛阳市、许昌市2019届高三第一次质量检测数学文试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U＝R，集合M＝{x｜＜1}，集合N＝{ y｜y＝}，则（C U M）∩N＝A. （1，2）B. [0，2]C. （0，2]D. [1，2]【答案】B2.若复数满足，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B3.已知等比数列{}中，a3＝2，a4a6＝16，则的值为A. 2B. 2C.D.【答案】C4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B5.若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A6.已知cos（α＋）－sinα＝，则sin（α－）的值为A. B. － C. D. －【答案】D7.执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则判断框内填入的条件不可以是A. k≤7?B. k＜7?C. k≤8?D. k＜8?【答案】C8.已知实数x，y满足则x2＋y2－2x的取值范围是A. [0，19]B. [－，20]C. [0，20]D. [－，19]【答案】D9.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A. B. C. 16 D. 32【答案】A11.设函数，的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（注：e为自然对数的底数）（）A. B.C. D.【答案】B12.已知F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，O为坐标原点，且（＋）·＝0，｜｜＝2｜｜，则该椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.平面直角坐标系中，为原点，三点满足，则A. 1B. 2C. 3D.【答案】C14.已知函数f（x）＝，若｜f（a）｜≥2，则实数a的取值范围是_________．【答案】15.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则A1P＋PC的最小值为_________．【答案】16.已知函数f（x）＝2cosx＋sin2x，则f（x）的最小值是__________．【答案】三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.△ABC中，已知B＝2C，AB:AC＝2:3．（1）求cosC；（2）若AC＝，求BC的长度．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数恒等变换求出结果．（2）先由两角和的余弦求得cosA,利用余弦定理即可得解．【详解】（1）由正弦定理得：，，.（2），，.，.由余弦定理知.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数恒等变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.已知{}是公差不为0的等差数列，其中a1＝1，且a2，a3，a6成等比数列．（1）求数列{}的通项公式；（2）记是数列{}的前n项和，是否存在n∈N﹡，使得＋9n＋80＜0成立?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，使得成立，的最小值为17.【解析】【分析】（1）设公差d不为0的等差数列{a n}，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d，进而得到所求通项公式；（2）求得S n，假设存在n，S n+9n+80＜0成立，运用二次不等式的解法，即可得到结论．【详解】（1）设数列公差为d，，则1+d，1+2d，1+5d成等比数列，，化简得，.，,.（2）又，由题意得.即，解得或（舍去）即存在，使得成立，n的最小值为17.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查二次不等式的解法和方程思想，运算能力，属于中档题．19.如图，等腰三角形PAD所在平面与菱形ABCD所在平面互相垂直，已知点E，F，M，N分别为边BA，BC，AD，AP的中点．（1）求证：AC⊥PE；（2）求证：PF∥平面BNM．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）连结PM，ME，推导出ME∥BD，AC⊥ME，从而PM⊥平面ABCD，进而PM⊥AC，由此能证明AC⊥平面PME，从而AC⊥PE．（2）连结DF，推导出MN∥平面PDF，MB∥平面PDF，从而平面MNB∥平面PDF，由此能证明PF∥平面BNM．【详解】（1）连接PM，ME，分别为AB、AD的中点，菱形ABCD中，，，，等腰三角形中，，且，，又，又，，，.（2）连接DF，分别为边BA、BC、AD、AP的中点，，，，又，，，，，，，.【点睛】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点P的纵坐标为3，且｜PF｜＝4，过M（m，0）作抛物线C的切线MA（斜率不为0），切点为A．（1）求抛物线C的方程；（2）求证：以FA为直径的圆过点M．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义即可求出p的值，即可得解；（2）设切线MA的方程为y=k（x﹣m），k≠0，联立方程，可得△=16k2﹣16km=0，即m=k，切点M（2m，m2），由，即可判定以FA为直径的圆过点M．【详解】（1），抛物线C的方程为：.（2）设切点，切线MA的斜率为k，，，，.切线MA方程为：，即.切线过，，又，.，，，因此，以FA为直径的圆过点M.法二：设切线MA的方程为：联立方程：，消去y得：.由题意知：.，.，∴切点A的坐标为.∴.，.∴所以FA为直径的圆点过点M.【点睛】本题考查了抛物线的定义以及直线和抛物线的位置关系，直线和圆的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.21.设函数f（x）＝（x2－1）lnx－x2＋2x．（1）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）证明：f（x）≥1．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）f′（x）=+2xlnx﹣2x+2=2xlnx﹣x﹣+2．可得f′（2），f（2）=3ln2．利用点斜式即可得出切线方程．（2）f（x）≥1⇔（x2﹣1）lnx﹣（x﹣1）2≥0．当x=1时，不等式成立．所以只需证明：x＞1时，lnx≥；0＜x＜1时，lnx≤．利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．【详解】函数的定义域为.，..∴曲线在点处的切线方程为.即.（2）证明：当x=1时，不等式显然成立.所以只需证明当时，；当时，.令，则.，∴函数在上是增函数.∴当x＞1时，；当0＜x＜1时，，.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、证明不等式、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时。
2019年河南省洛阳市高考数学一模试卷和答案(文科)
17．在公差为 d 的等差数列{an}中，已知 a1＝10，且 a1，2a2+2，5a3 成等比数列． （1）求 d，an； （2）若 d＜0，求此数列前 n 项的和 Sn 的最大值．
18．通过随机询问某地 100 名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下 2×2 列联表：
男生
女生
合计
挑同桌
30
40
第 1 页（共 14 页）
A．1
B．﹣2
C．
D．﹣
8．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个
几何体的外接球体积为（ ）
A．4π
B．
C．
D．
9．（5 分）正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1，点 P，Q，R 分别是棱 A1A，A1B1，A1D1 的中点，以△PQR 为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体 的表面上，则这个正三棱柱的高为（ ）
同桌”有关？
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k0） 0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：
，其中 n＝a+b+c+d）
第 3 页（共 14 页）
19．在四棱锥 P﹣ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB∥CD，△PAD 是等边三角形，已
a 的取值范围是（ A．（0，3）
） B．（1，3）
C．（1，+∞）
D．
6．（5 分）在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长
河南省洛阳市、许昌市2019届高三第一次质量检测数学(文)试题含答案
河南省洛阳市、许昌市2019届高三第一次质量检测数学文试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U＝R，集合M＝{x｜＜1}，集合N＝{ y｜y＝}，则（C U M）∩N＝A. （1，2）B. [0，2]C. （0，2]D. [1，2]【答案】B【解析】【分析】先求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】M={x|x＞2，或x＜0}，N={y|y≥0}；∴∁U M={x|0≤x≤2}；∴（∁U M）∩N=[0，2]．故选：B．【点睛】考查描述法表示集合的定义，分式不等式的解法，以及交集和补集的运算．2.若复数满足，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果.详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.已知等比数列{}中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则的值为 A. 2 B. 2 C. D. 【答案】C【解析】【分析】 利用等比数列的通项公式列出方程组，求出公比，由此能求出的值．【详解】∵等比数列{a n }中，a 3=2，a 4a 6=16， ∴， 解得， ∴==q 3=．故选：C ．【点睛】本题考查等比数列的两项差的比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A 、B 体积相等，A 、B 在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.若双曲线 的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线方程是，由题意圆的圆心到的距离不小于1，即，则，那么离心率，故选A.考点：双曲线的几何性质.6.已知cos（α＋）－sinα＝，则sin（α－）的值为A. B. － C. D. －【答案】D【解析】【分析】利用两角和与差的余弦函数以及两角和与差的三角函数化简已知条件，然后展开所求表达式即可得到结果．【详解】cos（α+）﹣sinα=，∴=，，∴sin（α－）==﹣．故选：D．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，基本知识的应用，考查计算能力．7.执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则判断框内填入的条件不可以是学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...A. k≤7?B. k＜7?C. k≤8?D. k＜8?【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=8时，退出循环，输出S的值为，故判断框图可以填入的条件是k＜8,由此得结果.【详解】模拟执行程序框图，可得：S=0，k=0满足条件，k=2，S=满足条件，k=4，S=+满足条件，k=6，S=+满足条件，k=8，S=++=由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k＜8．所以不可以的是k≥8的所有k.故选：C．【点睛】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键，属于基础题．8.已知实数x，y满足则x2＋y2－2x的取值范围是A. [0，19]B. [－，20]C. [0，20]D. [－，19]【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化x2+y2﹣2x为（x﹣1）2+y2﹣1，由其几何意义，即可行域内的动点与定点P（1，0）距离的平方减1求得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，4），x2+y2﹣2x=（x﹣1）2+y2﹣1，其几何意义为可行域内的动点与定点P（1，0）距离的平方减1，∵P到直线2x+y=4的距离d=，|PA|=．∴x2+y2﹣2x的取值范围是[]．故选：D．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题．9.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A. B. C. 16 D. 32【答案】A【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是，选A.10.已知函数f（x）＝sin（ωx＋θ），其中ω＞0，θ∈（0，），＝＝0，（x1≠x2），｜x2－x1｜min＝，f（x）＝f（－x），将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是A. [kπ－，kπ＋]（k∈Z）B. [kπ，kπ＋]（k∈Z）C. [kπ＋，kπ＋]（k∈Z）D. [kπ＋，kπ＋]（k∈Z）【答案】B【解析】【分析】利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得f（x）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得G（x）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则G（x）的单调递减区间．【详解】∵f（x）=sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），f'（x1）=f'（x2）=0，|x2﹣x1|min=，∴•T==，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+θ）．又f（x）=f（﹣x），∴f（x）的图象的对称轴为x=，∴2•+θ=kπ+，k∈Z，又，∴θ=，f（x）=sin（2x+）．将f（x）的图象向左平移个单位得G（x）=sin（2x++）=cos2x 的图象，令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，则G（x）=cos2x 的单调递减区间是[kπ，kπ+]，故选：B．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．11.设函数，的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（注：e为自然对数的底数）（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：设g(x)=e f（x）∴g'(x)="-" e f（x）+ e f（x）= e（f（x）－f(x)）<0所以g(x)为减函数.∵g(0)=e0f(0)=" f(0)" ,g(-1)=,,且g(2)>g(0)>g(－1),∴< f(0)<，故选B.考点：1.求导数；2.函数的单调性.12.已知F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，O为坐标原点，且（＋）·＝0，｜｜＝2｜｜，则该椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取PF2的中点A，连接OA，根据向量的加减的几何意义和三角形的中位线的性质以及（＋）·＝0（O 为坐标原点），可得⊥，又,可得⊥不妨则由勾股定理可得4c2=5m2，再根据椭圆的定义求得离心率．【详解】如图，取PF2的中点A，连接OA，∴2=+，且=，又∵（＋）·＝0，∴⊥又∴⊥，∵，不妨设|PF2|=m，则|PF1|=m，∵|PF2|+|PF1|=2a=3m，∴|F1F2|=4c2=m2+(2m)2=5m2，∴=，∴e=故选：C．【点睛】本题考查了借助向量的加减的几何意义和向量的垂直，考查了椭圆的定义及简单性质，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.平面直角坐标系中，为原点，三点满足，则A. 1B. 2C. 3D.【答案】C【解析】∵，，∴，故选C.14.已知函数f（x）＝，若｜f（a）｜≥2，则实数a的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】根据解析式对a分类讨论，分别列出不等式后，由指数、对数函数的性质求出实数a的取值范围．【详解】由题意知，f（x）=，①当a≤0时，不等式|f（a）|≥2为|21﹣a|≥2，则21﹣a≥2，即1﹣a≥1，解得a≤0；②当a＞0时，不等式|f（a）|≥2等价于，则或，即或，解得0＜a 或a≥8；综上可得，实数a的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查利用分段函数求不等式的解集，以及指数、对数函数的性质的应用，考查分类讨论思想，化简、变形能力．15.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则A1P＋PC的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，在BC1上取一点与A1C构成三角形，由三角形两边和大于第三边，得A1P+PC的最小值是A1C的连线．由此利用余弦定理可求解．【详解】连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，在BC1上取一点与A1C构成三角形，∵三角形两边和大于第三边，∴A1P+PC的最小值是A1C的连线．可求解．作展开图：由∠ACB=90°，AC=2，BC=CC 1=，得AB==，又AA1=CC1=，∴A1B==，BC1==2，A1C1=AC=2，∴∠A1BC1=45°，∠CBC1=45°，∴∠A1BC=90°，由余弦定理A1C===．故答案为：．【点睛】本题考查两线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.已知函数f（x）＝2cosx＋sin2x，则f（x）的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【详解】由题意可得T=2π是f（x）=2cosx＋sin2x的一个周期，故只需考虑2cosx＋sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=-2sinx+2cos2x=-2sinx+2（1﹣2sin2x）=-2（2sinx-1）（sinx+1），令f′（x）=0可解得sinx=或sinx=1，可得此时x=，或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（）=，f（）=﹣，f（0）=2，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．【点睛】本题考查三角函数恒等变换，利用导数法求函数区间的最值，属中档题．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.△ABC中，已知B＝2C，AB:AC＝2:3．（1）求cosC；（2）若AC＝，求BC的长度．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变变换求出结果．（2）利用余弦定理的应用求出结果．【详解】（1）由正弦定理得：，，.（2），，.，.由余弦定理知.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.已知{}是公差不为0的等差数列，其中a1＝1，且a2，a3，a6成等比数列．（1）求数列{}的通项公式；（2）记是数列{}的前n项和，是否存在n∈N﹡，使得＋9n＋80＜0成立?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，使得成立，的最小值为17.【解析】【分析】（1）设公差d不为0的等差数列{a n}，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d，进而得到所求通项公式；（2）求得S n，假设存在n，S n+9n+80＜0成立，运用二次不等式的解法，即可得到结论．【详解】（1）设数列公差为d，，则1+d，1+2d，1+5d成等比数列，，化简得，.，,.（2）又，由题意得.即，解得或（舍去）即存在，使得成立，n的最小值为17.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查二次不等式的解法和方程思想，运算能力，属于中档题．19.如图，等腰三角形PAD所在平面与菱形ABCD所在平面互相垂直，已知点E，F，M，N分别为边BA，BC，AD，AP的中点．（1）求证：AC⊥PE；（2）求证：PF∥平面BNM．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连结PM，ME，推导出ME∥BD，AC⊥ME，从而PM⊥平面ABCD，进而PM⊥AC，由此能证明AC⊥平面PME，从而AC⊥PE．（2）连结DF，推导出MN∥平面PDF，MB∥平面PDF，从而平面MNB∥平面PDF，由此能证明PF∥平面BNM．【详解】（1）连接PM，ME，分别为AB、AD的中点，菱形ABCD中，，，，等腰三角形中，，且，，又，又，，，.（2）连接DF，分别为边BA、BC、AD、AP的中点，，，，又，，，，，，，.【点睛】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点P的纵坐标为3，且｜PF｜＝4，过M（m，0）作抛物线C的切线MA（斜率不为0），切点为A．（1）求抛物线C的方程；（2）求证：以FA为直径的圆过点M．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义即可求出p的值，即可；（2）设切线MA的方程为y=k（x﹣m），k≠0，联立方程，可得△=16k2﹣16km=0，即m=k，切点M （2m，m2），由，即可判定以FA为直径的圆过点M．【详解】（1），抛物线C的方程为：.（2）设切点，切线MA的斜率为k，，，，.切线MA方程为：，即.切线过，，又，.，，，因此，以FA为直径的圆过点M.法二：设切线MA的方程为：联立方程：，消去y得：.由题意知：.，.，∴切点A的坐标为.∴.，.∴所以FA为直径的圆点过点M.【点睛】本题考查了抛物线的定义以及直线和抛物线的位置关系，直线和圆的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.21.设函数f（x）＝（x2－1）lnx－x2＋2x．（1）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）证明：f（x）≥1．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）f′（x）=+2xlnx﹣2x+2=2xlnx﹣x﹣+2．可得f′（2），f（2）=3ln2．利用点斜式即可得出切线方程．（2）f（x）≥1⇔（x2﹣1）lnx﹣（x﹣1）2≥0．当x=1时，不等式成立．所以只需证明：x＞1时，lnx≥；0＜x＜1时，lnx≤．利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．【详解】函数的定义域为.，..∴曲线在点处的切线方程为.即.（2）证明：当x=1时，不等式显然成立.所以只需证明当时，；当时，.令，则.，∴函数在上是增函数.∴当x＞1时，；当0＜x＜1时，，.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、证明不等式、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时。
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期第一次统一考试数学(文)试题(带答案)
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期第一次统一考试数学（文)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知集合(){}20|M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则M N =（ ）A ．{}0,1B ．{}2,1--C ．{}1D ．{}0,1,22．已知复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，则1z -=（ ） A ．0B ．1CD ．23．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:1-12月 127 59.9 125.6 61.7 2019年1月 9.1 113 9.6 138 2月5.950.95.353.6根据上述图表信息，下列结论错误的是（ ） A ．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B ．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C ．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D ．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆4．已知α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，下列判断正确的是( )A ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβB ．若m γ⊥，n γ⊥，则//m nC ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥D ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 5．已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（ ） A ．14B ．12C ．2D ．46．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40337=+.在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（ ） A ．126B ．122C ．117D ．1157．圆222410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ） A ．1 B ．3C ．5D ．98．正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）A ．33033+B ．3309+C ．123D ．991022+9．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的周期为π，将其图象向右平移6π个单位长度后关于y 轴对称，现将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ，若π23g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A ．6 B ．6-C ．31- D ．13-10．已知函数()22,03,01x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪+⎩若函数()y f x m =-有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．(1,3)- B ． (]1,3- C ．(1,)-+∞ D ．[1,)-+∞11．已知点12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足1221 2,4F F OP tan PF F =∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．5 B ．5C ．17D ．17912．设()f x 是定义在R 上的函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e -=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>第II 卷（非选择题)二、填空题13．平面向量a 与b 的夹角为60，且()3,0a =，1b =，则2a b += __________．14．若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值是__________．15．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan tan 1,3cos A C b c A ⋅==，则cos C __________．16．已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b +=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________．三、解答题17．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少？自已能否被录取?能获得什么样的职位？ 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分. 考试后对部分考生考试成绩进行抽样分析，得到频率分布直方图如下：试结合此频率分布直方图估计：(1)此次考试的中位数是多少分（保留为整数）？(2)若考生甲的成绩为280分，能否被录取?若能被录取，能否获得高薪职位？(分数精确到个位，概率精确到千分位)19．如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1,60AD BC AD AB ABC ==∠=︒.（1）求证:平面CDE ⊥平面BDEF .（2）点N 为线段上CE 一动点，求三棱锥F CDN -体积的取值范围.20．设函数()2ln f x x ax x =-+.(1)若当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值，并求()f x 的单调区间. (2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，求a 的取值范围，并证明：()()212142f x f x ax x a >---.21．过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点. (1)求2211APBP+的值.(2) ,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ，线段11,A B 的中点为Q ， 求证1// BQ PA .22．在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭，半径3r =，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）求圆C 的参数方程；23．设函数()211f x x x =-++.(1)画出()y f x =的图象；(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()20x x -<，解得{}|02M x x =<<，所以M N ={}1.故选：C 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项. 【详解】由于复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，即复数z 对应点在圆心为()1,0，半径为1的圆上，1z -表示复数对应的点到()1,0的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以11z -=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项. 【详解】对于A 选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量 6.8 6.83.32 3.41 1.05 2.05=≈<+，故A 选项结论正确.对于B 选项，2017年我国新能源汽车总销量125.6125.677.677010.617 1.617=≈>+，故B 选项结论正确.对于C 选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量10.1万量，高于产量9.9万量，故C 选项结论正确.对于D 选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量9.60.25 2.42⨯=>，故D 选项结论错误. 故选：D 【点睛】本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：对于A ，由αγ⊥，βγ⊥，得//αβ或α与β相交，故A 错误； 对于B ，由m γ⊥，n γ⊥，利用线面垂直的性质可得//m n ，故B 正确；对于C ，由αβ⊥，m α⊂，n β⊂，得m n ⊥或//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故C 错误；对于D ，由//αβ，m α⊂，n β⊂，得//m n 或m 与n 异面．∴判断正确的是B ．故选：B ． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，属于基础题． 5．C【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值. 【详解】由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】先求得40以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】40以内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个，任选两个的方法数有21212116621C ⨯==⨯种，和为40的有33740,112940,172340+=+=+=共3种，所以不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是316622=. 故选：B 【点睛】选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】求得圆心，代入直线30ax by --=，利用基本不等式求得12a b+的最小值.圆222410x y x y +-++=的圆心为()1,2-，由于圆关于直线30ax by --=对称，圆心坐标满足直线方程，所以23a b +=，所以12a b +()1122123253b a a b b b a a +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11554333⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22,1b aa b a b ===时等号成立. 故选：B 【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值. 8．A 【解析】 【分析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为，. 【详解】如图所示，底面正三角的高AD=3，所以223AH AD ==，AB=AC=BC=ABCS=,又SH 为侧视图中的高，所以SH=3，则AS =则在等腰SAB 中12SABS=⨯=所以侧面积为A . 【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题. 9．B【解析】 【分析】由周期求ω，由平移对称求ϕ，由()g x 求A ，然后可得答案. 【详解】由周期为π，可得=2ω. 由图象向右平移6π个单位长度后关于y 轴对称， 可得ππ2π()62k k ϕ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭Z ，结合0πϕ<<，可得5π=6ϕ. 所以5π()sin 26f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5π()sin 6g x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.ππ5πsin 336g A A ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ5π4262f ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质.一般可以通过周期性、对称性等性质求出A ωϕ，，等参数的值. 10．A 【解析】 【分析】函数()y f x m =-有两个不同的零点等价于方程()0f x m -=有两个不同的根等价于函数()22,03,01x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪+⎩与y m =由两个不同的交点.在同一直角坐标系中画出图象，求解即可. 【详解】由题意可知，函数()y f x m =-有两个不同的零点，等价于函数()22,03,01x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪+⎩与y m =由两个不同的交点.在同一直角坐标系中画出图象，如图所示.由图象可知，13m -<<. 故选：A 【点睛】本题考查函数的零点个数问题，属于中档题. 11．C 【解析】 【分析】根据12 2F F OP =判断出三角形12F F P 是直角三角形，利用214tan PF F ∠=、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率. 【详解】由于12 22F F OP c ==，所以三角形12F F P 是直角三角形.所以12121222221212424PF tan PF F PF PF PF a PF PF F F c ⎧∠==⎪⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎪⎩，化简得22179c a =，即3c e a ==.故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 12．B 【解析】 【分析】利用已知条件将()27a f log =转换为247a f log ⎛=⎫⎪⎝⎭，根据1x ≤时()f x 的单调性，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】依题意()()11f x f x +=-+，所以()22277log 1log 1227a f log f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭24log 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21.5324log 03317--<<<<，且当(],1x ∈-∞时，()3x f x e -=-为减函数，所以a c b >>. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.13【解析】 【分析】 利用()222a b a b+=+来求得2a b +.【详解】 依题意()222a b a b+=+224494a a b b =+⋅+=+=【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 14．9- 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()3,3A --位置，此时z 取得最小值为()2339⨯--=-. 故答案为：9-【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15【解析】 【分析】将tan tan 1A C ⋅=变形为cos cos sin sin 0A C A C -=，即2B π=，则222b a c =+，由3cos b c A =以及余弦定理，变形整理得222330b c a +-=，两式联立得a =，b =，再由余弦定理，求解即可. 【详解】sin sin tan tan 1cos cos A C A C A C⋅==∴cos cos sin sin cos()cos 0A C A C A C B -=+=-=又B 为ABC ∆的内角.∴2B π=，即ABC ∆为直角三角形，则222b a c =+①由余弦定理可知，2222223333cos 322b c a b c a b c A c bc b+-+-===整理的222330b c a +-=②①②联立解得a =，b =.由余弦定理可知，222222cos23a b c C ab +-===【点睛】本题考查余弦定理，属于中档题.16．2213620x y +=【解析】 【分析】设出,P Q 两点的坐标，求得M 点坐标，由,,Q M N 三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程. 【详解】设()()0000,,,P x y Q x y --，(),0A a ，所以00,22a x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，由于,,Q M N 三点共线，所以0002222y y a x x =++-，解得6a =.由于椭圆离心率23c a =，所以4c =，所以22220,b a c b =-==所以椭圆方程为2213620x y +=.故答案为：2213620x y += 【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题.17．（Ⅰ）12n n a -=（Ⅱ）112221n n ++-- 【解析】试题分析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，，根据已知由等比数列的性质可得32311(1)9,8a q a q +==，联立解方程再由数列{}n a 为递增数列可得11{2a q ==则通项公式可得（2）根据等比数列的求和公式，有122112nn n s -==--所以1112(21)(21)nn n nn n n a b s s +++==--，裂项求和即可试题解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，所以有323141231(1)9,8a a a q a a a q +=+===联立两式可得11{2a q ==或者18{12a q ==又因为数列{}n a 为递增数列，所以q>1，所以11{2a q == 数列{}n a 的通项公式为12n n a -=（2）根据等比数列的求和公式，有122112nn n s -==--所以1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b s s ++++===----- 所以1111111111221 (133721212121)n n n n n n T ++++-=-+-++-=-=---- 考点：等比数列的通项公式和性质，数列求和18．(1)202分 (2)能被录取，不能获得高薪职位 【解析】 【分析】(1)用样本估计总体，以频率当作概率，进行估计.根据题意可知，中位数是频率分布直方图所有小长方形的面积相等的分界线，则求频率和为0.5时的分界线横坐标，即可.(2)根据题意可知，估计不低于280分的概率，并计算不低于280分的人数，从而确定排名，即可. 【详解】(1)成绩在[)0,100的频率为0.0021000.2⨯=， 在[)100,200的频率为0.00291000.29⨯=， 在[)200,300的频率为0.00411000.41⨯=， 则中位数约为0.012001002020.41+⨯≈. (2)不低于280分的概率为200.0011000.00411000.182100⨯+⨯⨯= 不低于280分的人数为20000.182364⨯=，即考生甲大约排在第364名， 由于排在400名以前，所以能被录取.但是排在300名以后所以不能获得高薪职位，只能获得普薪职位. 【点睛】本题考查根据频率分布直方图，用样本估计总体的中位数.属于中档题. 19．（1）见解析 （2）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）由题意可知BD CD ⊥，再由平面BDEF ⊥平面ABCD ，可知CD ⊥平面BDEF ,根据面面垂直的判定定理，证明即可.（2）连接BN ，过点N 作NG CD ⊥，由题意可知，//BF 平面CDN ，则133F CDN B CDN CDN CDN V V S BD S --∆∆==⋅=，再根据NG 的取值范围，确定CDN S ∆的取值范围，从而求解三棱锥F CDN -体积的取值范围，即可. 【详解】解:（1）证明:在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1,60AD AB ABC ==∠=︒，120,30BAD CDA ADB ∴∠=∠=︒∠=︒.90CDB ∴∠=即BD CD ⊥.又平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD CD =⊂平面ABCD .CD 平面BDEF .CD ⊂平面CDE ，∴平面CDE ⊥平面BDEF .（2）解:连接BN ，过点N 作NG CD ⊥，垂足G 在CD 上.由题意可知，在ABD ∆中，3BD ==则(,//,NG BF DE DE ∈⊂平面,CDN BF ⊄平面CDN ，//BF ∴平面CDN ，F CDN B CDN V V --=.由(1)知平面CDE ⊥平面BDEF ，平面CDE ⋂平面,BDEF DE BD DE =⊥ 得BD ⊥平面CDE .13B CDN CDN CDN V S BD -∆∆∴=⋅=10,22CDNS CD NG ∆⎛=⋅∈ ⎝⎦10,2B CDN V -⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦即三棱锥F CDN -体积的取值范围10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查面面垂直的证明，以及三棱锥的体积，等体积转化法是解决本题的关键方法，属于中档题.20．（1）3a =，()f x 的单调增区间为10,,(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）a >证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导数()f x '，由题意可知1x =为方程()0f x '=的根，求解a 值，即可.再令导数()0f x '>，()0f x '<，分别求解单调增区间与单调减区间，即可.（2）函数()f x 存在两个极值点，等价于方程()0f x '=即2210x ax -+=在(0,)+∞上有两个不等实根，则>0∆，即可.()()2121f x f x x x --变形整理为2121ln ln 2x x a x x --+-；若证明不等式()()212142f x f x ax x a >---，则需证明2121ln ln 4x x x x a ->-，由1202a x x +=>变形为212121ln ln 2x x x x x x ->-+，不妨设210x x >>，即证2212111ln 21x x x x x x ->+，令211x t x =>，则()()21ln 1t h t t t -=-+，求函数()h t 的取值范围，即可证明.【详解】（1）()()21212,0x ax f x x a x x x-+'=-+=>1x =时，()f x 取得极值.()0,31f a ∴'==.()()()2211231 x x x x f x x x---+'∴== 解()0f x '>得102x <<或1x > 解()0f x '<得112x << ()f x ∴的单调增区间为10,,(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.（2）()()221,0x ax f x x x-+'=>()f x 存在两个极值点∴方程()0f x '=即2210x ax -+=在(0,)+∞上有两个不等实根.212180,02a x x ∆=->=>，1202a x x +=>a ∴>()()22212221112121ln ln f x f x x ax x x ax x x x x x -+-+--=--2121212121ln ln ln ln 2x x x x a x x a x x x x --=+-+=-+--∴所证不等式()()212142f x f x ax x a >---等价于2121ln ln 4x x x x a ->- 即212121ln ln 2x x x x x x ->-+不妨设210x x >>，即证2212111ln 21x x x x x x ->+令211x t x =>，()()21ln 1t h t t t -=-+ ()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++，()h t ∴在(1,)+∞上递增. ()()10h t h ∴>=2212111ln 21x x x x x x -∴>+成立.()()212142f x f x ax x a ∴>---成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及根据极值求参数取值范围，证明不等式.属于难题. 21．（1）14（2）见解析 【解析】 【分析】（1）设直线AB 的方程为2y kx =+与抛物线2:4C x y =联立，得2480x kx --=，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12124,8x x k x x +=⋅=-，由距离公式得22,AP BP ，代入2211APBP+，求解即可.（2）要证1// BQ PA ，只需证1BQ PA k k =，分别求解114PA k x =-，()222182BQ x k x x +=-相减求解，即可. 【详解】（1）设直线AB 的方程为2y kx =+，与抛物线C 的方程联立242x yy kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得2480x kx --=. 显然>0∆.设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12124,8x x k x x +=⋅=-，由两点间距离公式得()()222212221,1AP kx BP k x =+=+，()()2121222222222121221111111x x x x k x x k x x AP BP +-⎛⎫∴+=+= ⎪++⎝⎭ ()()22()42814641k k =+--⨯=（2）由(1)得()()1112,2,,2A x B x --，12,22x x Q +⎛⎫- ⎪⎝⎭114PA k x =-， ()22221221228422BQx x k x x x x x ++==+-- ()()()122121212211121888422BQ PA x x x x x x k k x x x x x x ++-+-=+=-- ()()()()212221212121121888022x x x x x x x x x x x x x x ++--===--1BQ PA k k ∴=1//PA BQ ∴【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系中的定值问题，以及根据斜率相等证明直线平行，属于较难的一道题.22．（1）33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2）225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，则可求得圆的标准方程；（2）结合（1）得，圆C 的极坐标方程为212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再设(),P ρθ，()1,Q ρθ，则1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程即可得解. 【详解】（1）由已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =， 所以C 的直角坐标方程为()(2239x y -+-=，所以圆C的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为()26cos 270ρρθθ-+=，即212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=， 将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题. 23．（1）见解析（2）(,3)-∞ 【解析】【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出()f x 的图形. （2）将不等式() 1f x a x >-+转化为21 22a x x -++>.利用绝对值不等式求得21 22x x -++的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】(1)根据绝对值的定义，可得()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩所以() y f x =的图象如图所示:(2)() 1f x a x >-+， 即21 22a x x -++>|21 2 2 2122|3x x x x -++≥---=，3a ∴<，即实数a 的取值范围是(,3)-∞.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.。
河南省洛阳市、许昌市2019届高三第一次质量检测数学(文)试题及答案
河南省洛阳市、许昌市2019届高三第一次质量检测数学文试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U＝R，集合M＝{x｜＜1}，集合N＝{ y｜y＝}，则（C U M）∩N＝A. （1，2）B. [0，2]C. （0，2]D. [1，2]【答案】B【解析】【分析】先求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】M={x|x＞2，或x＜0}，N={y|y≥0}；∴∁U M={x|0≤x≤2}；∴（∁U M）∩N=[0，2]．故选：B．【点睛】考查描述法表示集合的定义，分式不等式的解法，以及交集和补集的运算．2.若复数满足，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果.详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.已知等比数列{}中，a3＝2，a4a6＝16，则的值为A. 2B. 2C.D.【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组，求出公比，由此能求出的值．【详解】∵等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，∴，解得，∴==q3=．故选：C．【点睛】本题考查等比数列的两项差的比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线方程是，由题意圆的圆心到的距离不小于1，即，则，那么离心率，故选A.考点：双曲线的几何性质.6.已知cos（α＋）－sinα＝，则sin（α－）的值为A. B. － C. D. －【答案】D【解析】【分析】利用两角和与差的余弦函数以及两角和与差的三角函数化简已知条件，然后展开所求表达式即可得到结果．【详解】cos（α+）﹣sinα=，∴=，，∴sin（α－）==﹣．故选：D．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，基本知识的应用，考查计算能力．7.执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则判断框内填入的条件不可以是学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...A. k≤7?B. k＜7?C. k≤8?D. k＜8?【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=8时，退出循环，输出S的值为，故判断框图可以填入的条件是k＜8,由此得结果.【详解】模拟执行程序框图，可得：S=0，k=0满足条件，k=2，S=满足条件，k=4，S=+满足条件，k=6，S=+满足条件，k=8，S=++=由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k＜8．所以不可以的是k≥8的所有k.故选：C．【点睛】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键，属于基础题．8.已知实数x，y满足则x2＋y2－2x的取值范围是A. [0，19]B. [－，20]C. [0，20]D. [－，19]【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化x2+y2﹣2x为（x﹣1）2+y2﹣1，由其几何意义，即可行域内的动点与定点P（1，0）距离的平方减1求得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，4），x2+y2﹣2x=（x﹣1）2+y2﹣1，其几何意义为可行域内的动点与定点P（1，0）距离的平方减1，∵P到直线2x+y=4的距离d=，|PA|=．∴x2+y2﹣2x的取值范围是[]．故选：D．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题．9.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A. B. C. 16 D. 32【答案】A【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是，选A.10.已知函数f（x）＝sin（ωx＋θ），其中ω＞0，θ∈（0，），＝＝0，（x1≠x2），｜x2－x1｜min＝，f（x）＝f（－x），将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是A. [kπ－，kπ＋]（k∈Z）B. [kπ，kπ＋]（k∈Z）C. [kπ＋，kπ＋]（k∈Z）D. [kπ＋，kπ＋]（k∈Z）【答案】B【解析】【分析】利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得f（x）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得G（x）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则G（x）的单调递减区间．【详解】∵f（x）=sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），f'（x1）=f'（x2）=0，|x2﹣x1|min=，∴•T==，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+θ）．又f（x）=f（﹣x），∴f（x）的图象的对称轴为x=，∴2•+θ=kπ+，k∈Z，又，∴θ=，f（x）=sin（2x+）．将f（x）的图象向左平移个单位得G（x）=sin（2x++）=cos2x 的图象，令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，则G（x）=cos2x 的单调递减区间是[kπ，kπ+]，故选：B．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．11.设函数，的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（注：e为自然对数的底数）（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：设g(x)=e f（x）∴g'(x)="-" e f（x）+ e f（x）= e（f（x）－f(x)）<0所以g(x)为减函数.∵g(0)=e0f(0)=" f(0)" ,g(-1)=,,且g(2)>g(0)>g(－1),∴< f(0)<，故选B.考点：1.求导数；2.函数的单调性.12.已知F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，O为坐标原点，且（＋）·＝0，｜｜＝2｜｜，则该椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取PF2的中点A，连接OA，根据向量的加减的几何意义和三角形的中位线的性质以及（＋）·＝0（O为坐标原点），可得⊥，又,可得⊥不妨则由勾股定理可得4c2=5m2，再根据椭圆的定义求得离心率．【详解】如图，取PF2的中点A，连接OA，∴2=+，且=，又∵（＋）·＝0，∴⊥又∴⊥，∵，不妨设|PF2|=m，则|PF1|=m，∵|PF2|+|PF1|=2a=3m，∴|F1F2|=4c2=m2+(2m)2=5m2，∴=，∴e=故选：C．【点睛】本题考查了借助向量的加减的几何意义和向量的垂直，考查了椭圆的定义及简单性质，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.平面直角坐标系中，为原点，三点满足，则A. 1B. 2C. 3D.【答案】C【解析】∵，，∴，故选C.14.已知函数f（x）＝，若｜f（a）｜≥2，则实数a的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】根据解析式对a分类讨论，分别列出不等式后，由指数、对数函数的性质求出实数a的取值范围．【详解】由题意知，f（x）=，①当a≤0时，不等式|f（a）|≥2为|21﹣a|≥2，则21﹣a≥2，即1﹣a≥1，解得a≤0；②当a＞0时，不等式|f（a）|≥2等价于，则或，即或，解得0＜a 或a≥8；综上可得，实数a的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查利用分段函数求不等式的解集，以及指数、对数函数的性质的应用，考查分类讨论思想，化简、变形能力．15.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则A1P＋PC的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，在BC1上取一点与A1C构成三角形，由三角形两边和大于第三边，得A1P+PC的最小值是A1C的连线．由此利用余弦定理可求解．【详解】连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，在BC1上取一点与A1C构成三角形，∵三角形两边和大于第三边，∴A1P+PC的最小值是A1C的连线．可求解．作展开图：由∠ACB=90°，AC=2，BC=CC1=，得AB==，又AA1=CC1=，∴A1B==，BC1==2，A1C1=AC=2，∴∠A1BC1=45°，∠CBC1=45°，∴∠A1BC=90°，由余弦定理A1C===．故答案为：．【点睛】本题考查两线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.已知函数f（x）＝2cosx＋sin2x，则f（x）的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【详解】由题意可得T=2π是f（x）=2cosx＋sin2x的一个周期，故只需考虑2cosx＋sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=-2sinx+2cos2x=-2sinx+2（1﹣2sin2x）=-2（2sinx-1）（sinx+1），令f′（x）=0可解得sinx=或sinx=1，可得此时x=，或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（）=，f（）=﹣，f（0）=2，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．【点睛】本题考查三角函数恒等变换，利用导数法求函数区间的最值，属中档题．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.△ABC中，已知B＝2C，AB:AC＝2:3．（1）求cosC；（2）若AC＝，求BC的长度．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变变换求出结果．（2）利用余弦定理的应用求出结果．【详解】（1）由正弦定理得：，，.（2），，.，.由余弦定理知.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.已知{}是公差不为0的等差数列，其中a1＝1，且a2，a3，a6成等比数列．（1）求数列{}的通项公式；（2）记是数列{}的前n项和，是否存在n∈N﹡，使得＋9n＋80＜0成立?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，使得成立，的最小值为17.【解析】【分析】（1）设公差d不为0的等差数列{a n}，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d，进而得到所求通项公式；（2）求得S n，假设存在n，S n+9n+80＜0成立，运用二次不等式的解法，即可得到结论．【详解】（1）设数列公差为d，，则1+d，1+2d，1+5d成等比数列，，化简得，.，,.（2）又，由题意得.即，解得或（舍去）即存在，使得成立，n的最小值为17.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查二次不等式的解法和方程思想，运算能力，属于中档题．19.如图，等腰三角形PAD所在平面与菱形ABCD所在平面互相垂直，已知点E，F，M，N分别为边BA，BC，AD，AP 的中点．（1）求证：AC⊥PE；（2）求证：PF∥平面BNM．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连结PM，ME，推导出ME∥BD，AC⊥ME，从而PM⊥平面ABCD，进而PM⊥AC，由此能证明AC⊥平面PME，从而AC⊥PE．（2）连结DF，推导出MN∥平面PDF，MB∥平面PDF，从而平面MNB∥平面PDF，由此能证明PF∥平面BNM．【详解】（1）连接PM，ME，分别为AB、AD的中点，菱形ABCD中，，，，等腰三角形中，，且，，又，又，，，.（2）连接DF，分别为边BA、BC、AD、AP的中点，，，，又，，，，，，，.【点睛】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点P的纵坐标为3，且｜PF｜＝4，过M（m，0）作抛物线C的切线MA（斜率不为0），切点为A．（1）求抛物线C的方程；（2）求证：以FA为直径的圆过点M．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义即可求出p的值，即可；（2）设切线MA的方程为y=k（x﹣m），k≠0，联立方程，可得△=16k2﹣16km=0，即m=k，切点M（2m，m2），由，即可判定以FA为直径的圆过点M．【详解】（1），抛物线C的方程为：.（2）设切点，切线MA的斜率为k，，，，.切线MA方程为：，即.切线过，，又，.，，，因此，以FA为直径的圆过点M.法二：设切线MA的方程为：联立方程：，消去y得：.由题意知：.，.，∴切点A的坐标为.∴.，.∴所以FA为直径的圆点过点M.【点睛】本题考查了抛物线的定义以及直线和抛物线的位置关系，直线和圆的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.21.设函数f（x）＝（x2－1）lnx－x2＋2x．（1）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）证明：f（x）≥1．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）f′（x）=+2xlnx﹣2x+2=2xlnx﹣x﹣+2．可得f′（2），f（2）=3ln2．利用点斜式即可得出切线方程．（2）f（x）≥1⇔（x2﹣1）lnx﹣（x﹣1）2≥0．当x=1时，不等式成立．所以只需证明：x＞1时，lnx≥；0＜x＜1时，lnx≤．利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．【详解】函数的定义域为.，..∴曲线在点处的切线方程为.即.（2）证明：当x=1时，不等式显然成立.所以只需证明当时，；当时，.令，则.，∴函数在上是增函数.∴当x＞1时，；当0＜x＜1时，，.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、证明不等式、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时。
河南省洛阳市2019届高三上学期第一次统一考试数学(文)试题+Word版含解析 - 副本
洛阳市2018-2019学年高三年级第一次统一考试数学试卷（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】计算得到集合的元素，根据集合并集的概念得到结果.【详解】集合,，则，故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的并集的概念以及运算，题目很基础.2.若复数为纯虚数，且（其中），则（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算得到z,由纯虚数的概念得到参数值，进而求得模长.【详解】复数为纯虚数,,,根据题干得到.=故答案为：A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及复数的模的计算，也考查了复数的基本概念；如果复数a+bi（a，b是实数）是纯虚数，那么a=0并且b≠0．3.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图.据此可估计该校上学期400名教师中,使用多媒体进行教学次数在内的人数为（）A. 100B. 160C. 200D. 280【答案】B【解析】由茎叶图，可知在20名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为8，据此可以估计400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为400×＝160．4.已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则等于（）A. 5B. 6C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．【详解】将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣3＞11﹣m>0，即11>m＞4，焦距为4,则(m-3)-(11-m)=4，解得m＝9.故选：C．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系明了．5.已知是上的增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知是上的增函数，则，则，选D.6.在平行四边形中，与相交于点，是线段的中点，的延长线与交于点，若，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，做FG平行BD交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果．【详解】作FG平行BD交AC于点G，∵由题意可得△DEF∽△BEA，∴，再由AB＝CD可得，∴∴∴∵∴故选：A．【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的，本题属于中档题．7.函数,()则函数的最小值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】整理函数的解析式有：，，结合三角函数的性质可得，当时，函数取得最小值：.本题选择C选项.点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚．8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的外接球体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先通过三视图找到几何体原图，再求几何体外接球的半径和体积.详解：由题得几何体原图为四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥底面ABCD,PA=2.把几何体放在边长为2的正方体中，P,A,B,C,D恰好是正方体的五个顶点，所以正方体的外接球和四棱锥的外接球是同一个球，所以四棱锥的外接球半径为所以几何体外接球的体积为故答案为: B点睛：（1）本题主要考查三视图和几何体外接球体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)通过三视图找几何体原图常用的有直接法和模型法，本题选择的是模型法，简洁明了.9.正方体的棱长为1，点分别是棱的中点，以为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【详解】连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE平行且等于A1C，QF平行且等于A1C，RG平行且等于A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h＝PE＝A1C＝．故选：C．【点睛】本题考查了正棱柱的结构特征，作出三棱柱的底面是计算棱柱高的关键，属于中档题．10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式，人们还用过一些类似的近似公式，根据，判断下列近似公式中最精确的一个是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据球的体积公式，所以，代入，设选项口的常数为，则，选项A代入得。
河南省洛阳市2019届高三上学期尖子生第一次联考 数学(文)(含答案)
河南省洛阳市2019届高三上学期尖子生第一次联考数学（文）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题，共60分)注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2. 考试结束，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2230x x A x --≤=，B={x|y=ln(2-x)}，在A ∩B= A. (1，3) B. (1，3]C. [-1，2)D. (-1，2)2. 设复数22(1)iz i +=+(i 为虚数单位)，则z 的虚部为 A. -1B. 1C. –iD. i3. 为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额(单位：元)都在[10，50]，期中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n= A. 180 B. 160 C. 150D. 2004. 已知34sin()45πα-=，则sin()4πα+= A.45B. 45-C. 35D. 35-5. 已知实数x ，y 满足2040440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则21y x ++的最大值为A. 3B.13C. 2D.526. 已知双曲线2213x y t -=(t ＞0)的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则双曲线的离心率为 A. 2B. 2C. 4D. 107. 已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图像大致为A.B.C.D.8. 已知菱形ABCD 的对角线AC 长为2，则AB AC ⋅= A. 1B. 2C. 2D. 229. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 426+ B. 428+ C. 4212+ D. 4210+10. 如图，已知边长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，点E 为线段CD 1的中点，则直线AE 与平面A 1BCD 1所成角的正切值为 A.22B.12 C.3 D. 211. 设函数9()sin(2)([0,])48f x x x ππ=+∈，若方程()f x a =恰好有三个根，分别为123,,x x x 123()x x x <<，则1232x x x ++的值为A. πB.34π C.32π D.54π 12. 已知函数22018()2018log (1)20181x x f x x x -=++-+，则关于x 的不等式(21)(1)20f x f x +++->的解集为A. 1(,)2018-+∞ B. (2018,)-+∞ C. 2(,)3-+∞D. 2(,)3-∞-第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知矩形ABCD 的边AB=2， AD=1， 则BD CD ⋅=__________.14. 直线ax-y+3=0与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点且22AB =， 则a=__________. 15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231122n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式 n a =__________.16. 已知A ，B ，C ，D 5的球面上，且AC=BD=4，11，AB=CD ，则三棱锥D-ABC 的体积是__________.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足(2a-c)cosB=bcosC ，222sin sin sin sin A B C BsinC λ=+-.(1) 求角B 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求实数λ的取值范围.18. (本小题满分12分)在2018年3月洛阳第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，数学成绩的频率分布直方图如图:(1)如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人.①从(1)中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率.②根据以上数据，完成2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.语文特别优秀语文不特别优秀合计 数学特别优秀 数学不特别优秀合计参考数据：①22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++；②20()P k k ≥0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001 0k0.4550.708…6.6357.87910.82819. (本小题满分12分)如图，在三棱锥ABC-A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1与侧面CBB 1C 1都是菱形，∠ACC 1=∠CC 1B 1=60°，23AC =(1)求证：AB 1⊥CC 1；(2)若132AB =D 1为线段A 1C 1上的点，且三棱锥C-B 1C 1D 131111A D C D .20. (本小题满分12分)已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为M ，若直线MF 1的斜率为1，且与椭圆的另一个焦点为N ，△F 2MN 的周长为42(1)求椭圆的标准方程；(2)过点F1的直线l(直线l 的斜率不为1)与椭圆交于P 、Q 两点，点P 在点Q 的上方，若1116F NQ F MP S S ∆∆=，求直线l 的斜率.21. (本小题满分12分)已知函数()()()1ln 1f x x x a x =+--.(1)当a=4时，求曲线()y f x =在(1，f(1))处的切线方程； (2)若()1,x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围.选考部分：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程(10分)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 曲线C 1的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，曲线C 2的参数方程是12cos 2sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）. (1)求曲线C 1的直角坐标方程及C 2的普通方程；(2)已知点1(,0)2P =，直线l 的参数方程为122222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数），设直线l 与曲线C 1相交于M ，N 两点，求11PM PN+的值.23. 选修4-5：不等式选讲(10分)已知函数()12f x x x =++-. (1)求函数的最小值k ；(2)在(1)的结论下，若正实数a ，b 满足11k a b +=，求证：22122a b+≥.参考答案一、选择题1-5 CBABD 6-10 BBCBA 11-12CC 二、填空题13. 4 14. 1 15. ()()3,131,2n n n =⎧⎪⎨-≥⎪⎩ 16. 27三、解答题17. (1)因为(2a-c)cosB=bcosC ，由正弦定理得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC ，……1分 所以2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC ，2sinAcosB=sin(B+C)=sinA ， ……3分因为sinA ≠0，所以1cos 2B =. ……4分 因为()0,B π∈，所以3B π=.……6分(2)因为222sin sin sin sin A B C BsinC λ=+-，由正弦定理得：222a b c bc λ=+-，所以222cos 22b c A b a c λ==-+， ……8分因为3B π=，且三角形为锐角三角形，(,)62A ππ∈ ……10分所以3cos (0,A ∈，所以(0,3λ∈.……12分18. 解：(1)我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人， 语文成绩特别优秀的概率为P 1=1-0.95=0.05，语文特别优秀的同学有100×0.05=5人，数学成绩特别优秀的概率为P 2=0.002×20=0.04，数学成绩特别优秀的同学有100×0.04=4人；……2分(2)①语文数学两科都优秀的有3人，单科优秀的有3人，……3分记两科都优秀的3人分别为A 1，A 2，A 3，单科优秀的3人分别为B 1，B 2，B 3，从中随机抽取2人，共有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，共15种，其中这两人两科成绩都优秀的有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3) 3种，则这两人两科成绩邰优秀的概率为：31155P ==……7分②2×2列联表:语文特别优秀语文不特别优秀合计数学特别优秀 3 1 4 数学不特别优秀2 94 96 合计595100……10分∴22100(39412)245042.982 6.63549659554K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ ∴有95%的把握认为语文特别优秀的同学，数学页特别优秀.……12分19. 证明：(1)连AC 1，CB 1，∵在三棱锥ABC-A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1与侧面CBB 1C 1都是菱形，∠ACC 1=∠CC 1B 1=60°， ∴△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形.……2分 取CC 1的中点O ，连OA ，OB 1，则CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1， ∵OA ∩OB 1=O ，∴CC 1⊥平面OAB 1， ∵1AB ⊂平面OAB 1，∴CC 1⊥AB 1.……5分(2)解：∵123,32AC AB ==，∴又(1)知，OA=OB 1=3，∴22211OA OB AB +=， ∴OA ⊥OB 1，∴OA ⊥平面B 1C 1C ，……8分1111112333322B C C CC O S B ∆=⋅=⨯⨯=，∴1111113333333C C A B C B C V AO S -∆=⨯⨯=⨯⨯=，……10分∵D 1为线段A 1C 1上的点，且三棱锥C-B 1C 1D 1的体积为3，∴11111111131333D B C C C A B C V A D AC V --===， ……11分 ∴111111312A D C D ==-. ……12分20. 解：(1)因为△F 1MN 的周长为42，所以442a =即2a =，……1分 由直线MF 1的斜率1，得1bc=，因为222a b c =+，所以b=1，c=1， ……2分所以椭圆的标准方程为2212x y +=.……3分(2)由题意可得直线MF 1方程为y=x+1，联立得22121x y y x =+=+⎧⎪⎨⎪⎩解得41(,)33N --，所以1113NF MF =，因为1116F NQ F MP S S ∆∆=，即111111111sin (sin )262NF QF QF N MF PF PF M ∠=⋅∠ 所以112F P FQ =，所以11F P FQ =- ……7分 当直线l 的斜率为0时，不符合题意.……8分故设直线l 的方程为x=my-1，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由点P 在点Q 的上方， 则12 y y =-，……9分联立22112my x y x +-==⎧⎪⎨⎪⎩所以22(2)210m y my +--=，所以12122221, 22y y y y m m m ++-=+=，……10分 消去y 1得2222m y m -+=，222122y m =+，所以2222(2)812m m m =++，得227m =，147m =±，……11分又点P 在点Q 的上方14m =14m =， 故直线l 的斜率为1142m =.……12分21. 解：(1)()f x 的定义域为()0,+∞，当a=4时，()()()1ln 41f x x x x =+--，1'()ln 3f x x x=+-，……1分∴'(1)2,(1)0f f =-=曲线()y f x =在(1，f(1))处的切线方程为 2x+y-2=0 ……3分 (2)当()1,x ∈+∞时，()0f x >等价于(1)ln 01a x x x -->+……4分设(1)()ln 1a x g x x x -=-+，则222122(1)1'()(1)(1)a x a x g x x x x x +-+=-=++，(1)0g = ①当a ≤2，()1,x ∈+∞时，222(1)1210x a x x x +-+≥-+>，故'()0g x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此()0g x >；……8分②当a ＞2时，令'()0g x =，得211(1)1x a a =---221(1)1x a a =--- 由21x >，和121x x =得11x <，故当2(1,)x x ∈时，'()0g x <，()g x 在2(1,)x 单调递减， 此时()0g x <，综上a 的取值范围是(,2]-∞.……12分22. 解：(1)因为2sin 4cos 0ρθθ-=，所以22sin 4cos 0ρθρθ-=， 所以24y x =……2分因为12cos 2sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=⎩，所以22(1)4x y ++=……4分(2)将直线l 的参数方程12222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =得，24240t t --=设M ，N 两点对应的参数为t 1，t 2，则1212424t t t t +==- ……6分所以12212112121111t t t t PM PN t t t t t t +-+=+== 2121212()43t t t t t t +-==……10分23. 解：(1)因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--= 所以函数()f x 的最小值为3.……5分(2)由(1)知，113a b+= 因为()()()()222222222202m ncd mc nd m d n c mcnd md nc +-+=+-=-+≥所以222221212()[1()](1)322a b a b ++≥⨯+⨯= 所以22122a b +≥. ……10分。
2019年河南省洛阳市第一高级学校高三数学文联考试题含解析
2019年河南省洛阳市第一高级学校高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数则满足f(x)≤2的x的取值范围是(A)[-1，2] (B)[0，2] (C)[1，+∞)(D)[0，+∞)参考答案：D略2. 若将圆x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，则在网内随机放一粒豆子，落入M的概率是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】几何概型；定积分在求面积中的应用．【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积，代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=，故选：B．3. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若则B．若则C．若则D．若,则参考答案：D4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】该几何体由一个圆柱和半个圆锥构成，半圆锥和圆柱的底面半径均为1，半圆锥的高为2，圆柱的高为2，代入圆锥和圆柱的体积公式，可得答案．【解答】解：该几何体由一个圆柱和半个圆锥构成，半圆锥和圆柱的底面半径均为1，半圆锥的高为2，圆柱的高为2，故组合体的体积：，故选B．【点评】本题考查的知识点是圆锥的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．5. 集合，，则A∩B=（）A．（0,2）B．(1,2) C．(0,1)D．()参考答案：C6. 若x，y满足则x＋2y的最大值为A．B．6 C．11 D．10参考答案：C略7. 已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．8. 已知，由如右程序框图输出的（）A. B. C. D.参考答案：C9. 定义在R上的偶函数满足时，；当且时，有，则函数是的零点个数是A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：10. 给出下列三个等式：，，，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．B． C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则直线AM 与BN所成角的余弦值为.参考答案：如图，取的中点，分别连接，易知（或其补角）是异面直线与所成的角，不妨设正方体的棱长为，则，，在中，由余弦定理，得，故答案为.12. 等比数列中，，，则的前项和为参考答案：12013. 设随机变量服从正态分布,若,则.参考答案：2试题分析：正态分布曲线关于对称，，得.考点：正态分布的应用.14. 函数的最小正周期为．参考答案：15. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．参考答案：【考点】循环结构．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=+++…++的值，由裂项法即可求值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=+++…++的值．由于S=+++…++=1﹣+++…+=1﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了裂项法求数列的和，属于基础题．16. 设、为平面内两个互相垂直的单位向量，向量满足，则的最大值为．参考答案：17. 已知关于x,y的二元一次不等式组，则x+2y+2的最小值为_________参考答案：-6三、解答题：本大题共5小题，共72分。
河南省洛阳市2019届高三上学期第一次统一考试数学(文)试题+Word版含解析
洛阳市2018-2019学年高三年级第一次统一考试数学试卷（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】计算得到集合的元素，根据集合并集的概念得到结果.【详解】集合,，则，故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的并集的概念以及运算，题目很基础.2.若复数为纯虚数，且（其中），则（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算得到z,由纯虚数的概念得到参数值，进而求得模长.【详解】复数为纯虚数,,,根据题干得到.=故答案为：A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及复数的模的计算，也考查了复数的基本概念；如果复数a+bi（a，b是实数）是纯虚数，那么a=0并且b≠0．3.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图.据此可估计该校上学期400名教师中,使用多媒体进行教学次数在内的人数为（）A. 100B. 160C. 200D. 280【答案】B【解析】由茎叶图，可知在20名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为8，据此可以估计400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为400×＝160．4.已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则等于（）A. 5B. 6C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．【详解】将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣3＞11﹣m>0，即11>m＞4，焦距为4,则(m-3)-(11-m)=4，解得m＝9.故选：C．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系明了．5.已知是上的增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知是上的增函数，则，则，选D.6.在平行四边形中，与相交于点，是线段的中点，的延长线与交于点，若，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，做FG平行BD交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果．【详解】作FG平行BD交AC于点G，∵由题意可得△DEF∽△BEA，∴，再由AB＝CD可得，∴∴∴∵∴故选：A．【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的，本题属于中档题．7.函数,()则函数的最小值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】整理函数的解析式有：，，结合三角函数的性质可得，当时，函数取得最小值：.本题选择C选项.点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚．8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的外接球体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先通过三视图找到几何体原图，再求几何体外接球的半径和体积.详解：由题得几何体原图为四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥底面ABCD,PA=2.把几何体放在边长为2的正方体中，P,A,B,C,D恰好是正方体的五个顶点，所以正方体的外接球和四棱锥的外接球是同一个球，所以四棱锥的外接球半径为所以几何体外接球的体积为故答案为: B点睛：（1）本题主要考查三视图和几何体外接球体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)通过三视图找几何体原图常用的有直接法和模型法，本题选择的是模型法，简洁明了.9.正方体的棱长为1，点分别是棱的中点，以为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【详解】连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE平行且等于A1C，QF平行且等于A1C，RG平行且等于A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h＝PE＝A1C＝．故选：C．【点睛】本题考查了正棱柱的结构特征，作出三棱柱的底面是计算棱柱高的关键，属于中档题．10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式，人们还用过一些类似的近似公式，根据，判断下列近似公式中最精确的一个是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据球的体积公式，所以，代入，设选项口的常数为，则，选项A代入得。
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洛阳市2018—2019学年上学期尖子生第一次联考高三数学试题(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题，共60分)注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2. 考试结束，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2230x x A x --≤=，B={x|y=ln(2-x)}，在A ∩B= A. (1，3) B. (1，3]C. [-1，2)D. (-1，2)2. 设复数22(1)iz i +=+(i 为虚数单位)，则z 的虚部为 A. -1B. 1C. –iD. i3. 为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额(单位：元)都在[10，50]，期中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n= A. 180 B. 160 C. 150D. 2004. 已知34sin()45πα-=，则sin()4πα+= A.45B. 45-C. 35D. 35-5. 已知实数x ，y 满足2040440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则21y x ++的最大值为A. 3B.13C. 2D.526. 已知双曲线2213x y t -=(t ＞0)的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则双曲线的离心率为 A. 2B. 2C. 4D. 107. 已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图像大致为A.B.C.D.8. 已知菱形ABCD 的对角线AC 长为2，则AB AC ⋅=u u u r u u u rA. 1B. 2C. 2D. 229. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 426+ B. 428+ C. 4212+ D. 4210+10. 如图，已知边长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，点E 为线段CD 1的中点，则直线AE 与平面A 1BCD 1所成角的正切值为 A.22B.12 C.3 D. 211. 设函数9()sin(2)([0,])48f x x x ππ=+∈，若方程()f x a =恰好有三个根，分别为123,,x x x 123()x x x <<，则1232x x x ++的值为A. πB.34π C.32π D.54π12. 已知函数2018()2018log )20181x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式(21)(1)20f x f x +++->的解集为A. 1(,)2018-+∞ B. (2018,)-+∞ C. 2(,)3-+∞D. 2(,)3-∞-第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知矩形ABCD 的边AB=2， AD=1， 则BD CD ⋅=u u u r u u u r__________.14. 直线ax-y+3=0与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点且AB =， 则a=__________.15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231122n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式 n a =__________.16. 已知A ，B ，C ，D AC=BD=4，，AB=CD ，则三棱锥D-ABC 的体积是__________.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足(2a-c)cosB=bcosC ，222sin sin sin sin A B C BsinC λ=+-.(1) 求角B 的大小；(2) 若△ABC 为锐角三角形，求实数λ的取值范围.18. (本小题满分12分)在2018年3月洛阳第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，数学成绩的频率分布直方图如图:(1)如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人.①从(1)中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率.②根据以上数据，完成2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.语文特别优秀语文不特别优秀合计 数学特别优秀 数学不特别优秀合计参考数据：①22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++；②20()P k k ≥0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001 0k0.4550.708…6.6357.87910.82819. (本小题满分12分)如图，在三棱锥ABC-A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1与侧面CBB 1C 1都是菱形，∠ACC 1=∠CC 1B 1=60°，23AC =.(1)求证：AB 1⊥CC 1；(2)若132AB =D 1为线段A 1C 1上的点，且三棱锥C-B 1C 1D 131111A D C D .20. (本小题满分12分)已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为M ，若直线MF 1的斜率为1，且与椭圆的另一个焦点为N ，△F 2MN 的周长为2. (1)求椭圆的标准方程；(2)过点F1的直线l(直线l 的斜率不为1)与椭圆交于P 、Q 两点，点P 在点Q 的上方，若1116F NQ F MP S S ∆∆=，求直线l 的斜率.21. (本小题满分12分)已知函数()()()1ln 1f x x x a x =+--.(1)当a=4时，求曲线()y f x =在(1，f(1))处的切线方程； (2)若()1,x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围.选考部分：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程(10分)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 曲线C 1的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，曲线C 2的参数方程是12cos 2sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）. (1)求曲线C 1的直角坐标方程及C 2的普通方程；(2)已知点1(,0)2P =，直线l的参数方程为12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数），设直线l 与曲线C 1相交于M ，N 两点，求11PM PN+的值.23. 选修4-5：不等式选讲(10分)已知函数()12f x x x =++-. (1)求函数的最小值k ；(2)在(1)的结论下，若正实数a ，b满足11a b +=，求证：22122a b+≥.洛阳市2017—2018学年上学期尖子生第一次联考高三数学试题(文科)参考答案一、选择题1-5 CBABD 6-10 BBCBA 11-12 CC 二、填空题13. 4 14. 1 15. ()()3,131,2n n n =⎧⎪⎨-≥⎪⎩16. 三、解答题17. (1)因为(2a-c)cosB=bcosC ，由正弦定理得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC ，……1分 所以2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC ，2sinAcosB=sin(B+C)=sinA ， ……3分因为sinA ≠0，所以1cos 2B =. ……4分 因为()0,B π∈，所以3B π=.……6分(2)因为222sin sin sin sin A B C BsinC λ=+-，由正弦定理得：222a b c bc λ=+-，所以222cos 22b c A b a c λ==-+， ……8分因为3B π=，且三角形为锐角三角形，(,)62A ππ∈ ……10分所以cos (0,A ∈，所以(0λ∈.……12分18. 解：(1)我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人， 语文成绩特别优秀的概率为P 1=1-0.95=0.05，语文特别优秀的同学有100×0.05=5人，数学成绩特别优秀的概率为P 2=0.002×20=0.04，数学成绩特别优秀的同学有100×0.04=4人；……2分(2)①语文数学两科都优秀的有3人，单科优秀的有3人，……3分记两科都优秀的3人分别为A 1，A 2，A 3，单科优秀的3人分别为B 1，B 2，B 3，从中随机抽取2人，共有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，共15种，其中这两人两科成绩都优秀的有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3) 3种，则这两人两科成绩邰优秀的概率为：31155P == ……7分②2×2列联表:语文特别优秀语文不特别优秀合计 数学特别优秀 3 1 4 数学不特别优秀2 94 96 合计595 100……10分∴22100(39412)245042.982 6.63549659554K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ ∴有95%的把握认为语文特别优秀的同学，数学页特别优秀.……12分19. 证明：(1)连AC 1，CB 1，∵在三棱锥ABC-A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1与侧面CBB 1C 1都是菱形，∠ACC 1=∠CC 1B 1=60°， ∴△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形.……2分 取CC 1的中点O ，连OA ，OB 1，则CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1， ∵OA ∩OB 1=O ，∴CC 1⊥平面OAB 1， ∵1AB ⊂平面OAB 1，∴CC 1⊥AB 1. ……5分(2)解：∵123,32AC AB ==，∴又(1)知，OA=OB 1=3，∴22211OA OB AB +=，∴OA ⊥OB 1，∴OA ⊥平面B 1C 1C ， ……8分1111112333322B C C CC O S B ∆=⋅=⨯⨯=，∴1111113333333C C A B C B C V AO S -∆=⨯⨯=⨯⨯=，……10分∵D 1为线段A 1C 1上的点，且三棱锥C-B 1C 1D 1的体积为3，∴11111111131333D B C C C A B C V A D AC V --===， ……11分 ∴111111312A D C D ==-. ……12分20. 解：(1)因为△F 1MN的周长为4a =即a =……1分 由直线MF 1的斜率1，得1bc=，因为222a b c =+，所以b=1，c=1， ……2分所以椭圆的标准方程为2212x y +=.……3分(2)由题意可得直线MF 1 方程为y=x+1，联立得22121x y y x =+=+⎧⎪⎨⎪⎩解得41(,)33N --，所以1113NF MF =，因为1116F NQ F MP S S ∆∆=，即111111111sin (sin )262NF QF QF N MF PF PF M ∠=⋅∠ 所以112F P FQ =，所以11F P FQ =-u u u r u u u r……7分 当直线l 的斜率为0时，不符合题意.……8分故设直线l 的方程为x=my-1，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由点P 在点Q 的上方， 则12 y y =-，……9分联立22112my x y x +-==⎧⎪⎨⎪⎩所以22(2)210m y my +--=，所以12122221, 22y y y y m m m ++-=+=，……10分 消去y 1得2222m y m -+=，222122y m =+，所以2222(2)812m m m =++， 得227m =，m =，……11分又点P 在点Q的上方m =m = 故直线l的斜率为12m =.……12分21. 解：(1)()f x 的定义域为()0,+∞，当a=4时，()()()1ln 41f x x x x =+--，1'()ln 3f x x x=+-，……1分∴'(1)2,(1)0f f =-=曲线()y f x =在(1，f(1))处的切线方程为 2x+y-2=0……3分 (2)当()1,x ∈+∞时，()0f x >等价于(1)ln 01a x x x -->+……4分设(1)()ln 1a x g x x x -=-+，则222122(1)1'()(1)(1)a x a x g x x x x x +-+=-=++，(1)0g = ①当a ≤2，()1,x ∈+∞时，222(1)1210x a x x x +-+≥-+>，故'()0g x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此()0g x >；……8分②当a ＞2时，令'()0g x =，得11x a =-21x a =- 由21x >，和121x x =得11x <，故当2(1,)x x ∈时，'()0g x <，()g x 在2(1,)x 单调递减， 此时()0g x <，综上a 的取值范围是(,2]-∞.……12分22. 解：(1)因为2sin 4cos 0ρθθ-=，所以22sin 4cos 0ρθρθ-=， 所以24y x =……2分因为12cos 2sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=⎩，所以22(1)4x y ++=……4分(2)将直线l的参数方程1222x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 代入24y x =得，240t --=设M ，N 两点对应的参数为t 1，t 2，则12124t t t t +==-……6分所以12212112121111t t t t PM PN t t t t t t +-+=+====……10分23. 解：(1)因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=所以函数()f x 的最小值为3.……5分 (2)由(1)知，11a b += 因为()()()()222222222202m n c d mc nd m d n c mcnd md nc +-+=+-=-+≥所以22222121()[1](13a b a b ++≥⨯+= 所以22122a b +≥.……10分。