数学规划模型序言
数学建模 前言M0-2010
根据编制者的教学经验，电子课件应该像板书一样， 将重点内容给以提纲式的演示，而不要把教师的讲解都制 作在课件上。打算基本上利用这个电子教案的教师，需要 结合教案仔细研究教材的内容，体会编制者的意图。 对教师来说，课堂教学是极具个性化的表现艺术。不 同的教师对同样的内容完全可以有不同的处理，各个学校 的学生状况也不一样。因此，提倡教师仅以这个电子教案 为参考资料，编制适合自己的教学风格和具体的教学对象 的教案。 由于时间和精力所限, 目前提供的课件存在许多不完 善之处, 欢迎大家提出各种意见，我们今后将不定期地陆 续出版增补、改进的版本。
前
言 (2010年)
数学建模是20世纪80年代初进入我国大学的一门新课，其 主要内容是通过众多的示例着重介绍如何将实际问题“翻译” 成数学问题，以及数学求解的结果又如何“翻译”回到实际中 去。课堂讲授需要简明的实际背景、合理的模型假设、有创意 的模型构造及必要的模型检验，不会涉及太多的数学概念和繁 琐的公式推导，因此适宜采用多媒体电子课件进行教学。 这个多媒体电子课件是根据《数学模型》（第四版，姜启 源、谢金星、叶俊编）研制的，包含了该书全部章节的内容， 共862页，其中大部分经过了以《数学模型》（第三版）为教 材的多年的教学实践，力求做到精练简明、形式活泼、信息量 大、便于使用。有条件时还可以将其中某些内容链接到数学软 件，作数值计算和图形演示。
第一章 建立数学模型 第二章 初等模型 第三章 简单的优化模型 第四章 数学规划模型 第五章 微分方程模型 第六章 代数方程与差分方程模型 第七章 稳定性模型 第八章 离散模型 第九章 概率模型 第十章 统计回归模型 第十一章 博弈模型 第十二章 马氏链模型 第十三章 动态优化模型
Hale Waihona Puke
第4章数学规划模型-姜启源
第4章数学规划模型在上一章中我们看到，建立优化模型要确定优化的目标和寻求的决策。
用表示决策变量，表示目标函数。
实际问题一般对决策变量的取值范围有限制，不妨记作∈Ω，Ω称为可行域。
优化问题的数学模型可表示为Ω在第3章x通常是1维或2维变量，Ω通常是1维或2维的非负域。
实际中的优化问题通常有多个决策变量，用维向量表示，目标函数是多元函数，可行域Ω比较复杂，常用一组不等式（也可以有等式）≤0 (=1,2, …,)来界定，称为约束条件。
一般地，这类模型可表述成如下形式s.t.≤这里的s. t. (subject to)是“受约束于”的意思。
显然，上述模型属于多元函数的条件极值问题的范围，然而许多实际问题归结出的这种形式的优化模型，其决策变量个数和约束条件个数一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不能简单地用微分法求解，数学规划是解决这类问题的有效方法。
需要指出的是，本章无意涉及数学规划（或运筹学）的具体计算方法，仍然着重于从数学建模的角度，介绍如何建立若干实际优化问题的模型，并且在用现成的数学软件求解后，对结果作一些分析。
4．1 奶制品的生产和销售企业内部的生产计划有各种不同的情况。
从空间层次来看，在工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。
从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。
本节选择几个单阶段生产计划的实例，说明如何建立这类问题的数学规划模型，并利用软件求解的输出对结果作一些分析。
例1 加工奶制品的生产计划问题一奶制品加工厂用牛奶生产两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤。
根据市场需求，生产的，全部能售出。
且每公斤获利24元，每公斤获利16元。
数学规划模型
数学规划模型
数学规划模型是一种数学建模方法，它使用数学方法来解决决策问题。
数学规划模型可以用来优化资源的利用，最大化或最小化某个目标函数。
首先，数学规划模型需要明确目标函数和约束条件。
目标函数是我们希望优化的指标，约束条件则是限制我们优化的条件。
例如，如果我们要找到一种最佳的生产计划，那么目标函数可以是产量的最大化，约束条件可以是原料的限制、生产设备的限制等。
接下来，数学规划模型需要定义决策变量。
决策变量是我们可以调整的变量，通过调整决策变量的值，我们可以达到最优解。
例如，对于生产计划问题，决策变量可以是每种产品的生产数量。
然后，将目标函数和约束条件用数学公式表示出来。
例如，如果我们的目标是最大化产量，那么目标函数可以表示为一个关于决策变量的函数。
同时，约束条件也可以用一组不等式来表示。
接下来，我们需要使用数学方法来求解这个数学规划模型。
常用的数学方法包括线性规划、整数规划、非线性规划等。
具体的求解方法取决于模型的特点和目标函数的形式。
最后，我们需要把数学模型的结果解释给决策者，帮助他们做出更明智的决策。
这个过程通常包括分析和解释模型的结果，
以及提供关于如何操作和调整决策变量的建议。
总结来说，数学规划模型是一种解决决策问题的数学方法。
通过明确目标函数和约束条件，定义决策变量，使用数学方法求解，并将结果解释给决策者，我们可以通过数学规划模型得到最优的决策方案。
这种方法在供应链管理、生产计划、资源分配等领域有着广泛的应用。
数学建模-数学规划模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类
《数学规划模型 》课件
非线性规划问题通常具有多个局 部最优解，寻找全局最优解是一
个挑战。
非线性规划的解法
梯度法
通过迭代计算，逐步逼近 最优解。每次迭代需要计 算目标函数的梯度和约束 条件的海森矩阵。
牛顿法
利用泰勒级数展开，构造 一个二次函数近似原函数 ，然后求解该二次函数的 极值点。
拟牛顿法
在牛顿法的基础上，通过 迭代更新海森矩阵的近似 值，提高算法的收敛速度 。
多目标规划的解法
总结词
多目标规划的解法包括层次分析法、权重法、主要目标法等 。
详细描述
多目标规划的解法有多种，其中较为常用的包括层次分析法 、权重法、主要目标法等。这些方法通过一定的数学手段和 计算技术，将多目标问题转化为单目标问题，以便进行求解 。
多目标规划的应用实例
总结词
多目标规划的应用非常广泛，包括经济、交通、能源 、环境等多个领域。
线性规划问题通常表示为在给定一组线性约束条件下，最小化或最大化一组线性目 标函数。
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件，且这些条件都是线性的，因此称为 线性规划。
线性规划的解法
线性规划问题可以通过多种方法求解， 其中最常用的是单纯形法。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断迭 代寻找最优解。在每一步迭代中，算法 会检查当前解是否满足所有约束条件， 并尝试通过移动到相邻解来改进目标函
非线性规划的应用实例
投资组合优化
在给定风险和收益目标下，通过 非线性规划模型优化投资组合的
配置。
生产计划优化
在生产过程中，通过非线性规划 模型优化资源分配、生产计划等
。
物流优化
在物流配送中，通过非线性规划 模型优化运输路线、车辆调度等
。
数学规划模型2014
j 1
x j 0, j 1,2,,n
LP模型的向量形式
或
min z CX
s.t. AX b 等约束的LP模型的矩阵形式
X O
注： 1. 与
2. 与
min z CX M
s.t. AX b
X O
M是常数
min z CX s.t. AX b
X O
有相同的最优解
min z CX s.t. AX b
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 （或 ， b2）
am1 x1 am2 x2 amn xn bm（或 ， bm） xj 0, j 1,2,,n 线性规划模型（LP）
n
或
min z c j x j
n j1
s.t. aij x j (,)bi ,i 1,2,,m
设 xij 为产地 Ai 到销地 Bj 的运量。 mn
则
min z
cij xij
i1 j1
线
n
s.t. xij ai , i 1,2,,m
性 规
mj 1
xij bj , j 1,2,, n
划 模
i 1
型
xij 0, i 1,2,,m; j 1,2,,n
n
注：若产大于销，则
xij ai , i 1,2,,m
数学规划模型
I 引言
一个复杂系统往往要受诸多因素的影响，而这 些因素又要受到一定的限制。最优化就是研究在一 定约束下，如何选取这些因素的值，使某项（或某 些）指标达到最优的一门学科。
数学规划是最优化中的重要部分。它包括线性规划、 整数规划、目标规划、动态规划、非线性规划等。
数学规划方法在经济、军事、科技等领域内都有广 泛的应用。
数学建模,第五章 数学规划模型
数学建模,第五章数学规划模型数学建模：第五章数学规划模型在数学的广袤领域中，数学规划模型是解决实际问题的有力工具之一。
它帮助我们在各种限制条件下，寻找最优的解决方案，从而实现资源的合理分配、效益的最大化等目标。
数学规划模型的应用场景极为广泛。
比如在生产制造领域，企业需要决定生产何种产品、生产多少数量，以在有限的资源和时间内获得最大的利润；在物流运输中，如何规划运输路线，使得运输成本最低、时间最短；在资源分配方面，如电力分配、水资源分配等，怎样做到公平且高效。
数学规划模型主要包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等类型。
线性规划是其中最为基础和常见的一种。
它的目标函数和约束条件都是线性的。
举个简单的例子，一家工厂生产两种产品 A 和 B，生产A 产品每件需要 2 小时的加工时间和 1 公斤的原材料，生产B 产品每件需要 3 小时的加工时间和 2 公斤的原材料。
工厂每天有 10 小时的加工时间和 8 公斤的原材料可用，A 产品每件利润 3 元，B 产品每件利润 5 元。
那么，为了获得最大利润，应该分别生产多少件 A 和 B 产品呢？我们可以设生产 A 产品 x 件，生产 B 产品 y 件，目标函数就是利润最大化 3x ＋ 5y，约束条件则是 2x ＋3y ≤ 10 和 x ＋2y ≤ 8 以及x ≥ 0，y ≥ 0。
通过求解这个线性规划问题，我们就能得出最优的生产方案。
非线性规划则是目标函数或约束条件中至少有一个是非线性的。
比如在一个生产过程中，成本函数可能不是简单的线性关系，而是与产量的平方或者其他非线性函数相关。
整数规划要求决策变量取整数值。
例如在人员安排问题中，只能安排整数个人，不能有半个人的情况。
动态规划则适用于多阶段决策问题。
比如在项目投资中，每年都要决定是否投资以及投资多少，需要考虑不同阶段的收益和成本。
建立数学规划模型的一般步骤包括：首先，明确问题的目标和约束条件。
这需要对实际问题进行深入的分析和理解，将其转化为数学语言。
数学规划模型的建立
数学规划模型的应用领域
生产计划
用于制定生产计划，优化资源配置，提高生 产效率。
物流优化
用于优化物流运输和配送路线，降低运输成 本。
金融投资
用于制定投资组合策略，优化资产配置，实 现风险和收益的平衡。
科研项目管理
用于优化科研项目资源分配，提高项目成功 率。
02
线性规划模型
线性规划模型的定义
线性规划模型是数学规划的一个重要分支，它通过建立一组线性不等式或等式来 描述问题的约束条件和目标函数，从而找到满足所有约束条件下最大化或最小化 目标函数的最优解。
排程问题
在生产调度和任务调度中，动态规划可以用来解决资源分配和时 间表安排的问题。
THANKS
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数学规划模型的建立
• 引言 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型 • 动态规划模型
01
引言
什么是数学规划模型
数学规划模型是一种数学方法，用于 描述和解决优化问题，如线性规划、 整数规划、非线性规划等。
它通过建立数学方程或不等式来描述 问题的约束条件和目标函数，然后使 用数学算法来求解最优解。
迭代法
通过迭代的方式求解子问题，每次迭代都更新问题的解， 直到达到收敛条件。这种方法适用于难以直接求解子问题 的情况。
动态规划模型的应用案例
最短路径问题
在图论中，动态规划可以用来求解最短路径问题，例如Dijkstra 算法和Bellman-Ford算法。
背包问题
在优化资源分配的问题中，动态规划可以用来求解0-1背包问题 和完全背包问题等。
线性规划模型广泛应用于生产计划、资源分配、运输问题等领域，是解决优化问 题的有效工具之一。
第4章数学规划模型
NO. ITERATIONS= 2
2.000000 0.000000
时间增加1单位, 利润增长2 加工能力增长不影响利润
• 35元可再买到1桶牛奶，要买吗？ 35 <48, 应该买！
• 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！
DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS? Yes 最优解不变时目标函
利润 = 收入(900) –其它费用(450) –引水管理费
利润(元/千吨)
甲
乙
丙
丁
A
290
320
230
280
B
310
320
260
300
C
260
250
220
/
目标 函数
供应 限制
MZ a 2 xx 9 1 1 3 0x 2 1 2 2 0x 3 1 3 2 0x 8 140
3x 1 2 1 3 0x 2 2 2 2 0x 6 2 3 3 0x 0 2 4 2 0x 6 3 1 2 0x 5 3 2 2 0x 2 3
模型分析与假设
线性规划模型
假设加工A1,A2的牛奶桶数分别是x1 ,
x比
例2
xi对目标函数的“贡 A1,A2每公斤的获利是与各 献”与xi取值成正比 自产量无关的常数
性 xi对约束条件的“贡 每桶牛奶加工出A1,A2的数量
献”与xi取值成正比
和时间是与各自产量无关的常 数
可 加
x1对目标函数的“贡 A1,A2每公斤的获利是与相 献”与x2取值无关 互产量无关的常数
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 88700.00
VARIABLE VALUE REDUCED COST
数学模型引言
2：在高新技术领域数学建模几乎是必可少的工具。 通讯，航天，微电子，自动化，开发新工艺中计算 机模拟经常使用。 数学建模，数值计算和计算机图形等相结全形成的 计算机软件，固化于产品中 CT技术（Randon 变换）。 3；数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多处 女地。 恩格斯：十九世纪，数学主要用于物理，部分化 学——物理领域 现在： 分子化学，物理，经济，人口，生物，医 学，生态——非物理性领域 （这些领域无物理规律，定律：研究这这 些领定量关系时，数学建模成为首要的，关键的步骤， 学科发展应用的基础：马克思说过，只 有当一门科学成 功运用数学进才算达到完善的地步。）
让b尽量小：极端情况是b=0，即供应曲线 变为竖直，于是不管需求曲线如何，即不管 a多大，（6）式也总成立，经济总稳定，实 际上这相当于政府控制商品的上市数量，当 供应量少于需求时从外地收购式调拨，投入 市场，收购过剩部分，维持上市量不变。
1.5
建立数学模型的方法和步骤
一：建立数学模型的方法和步骤 1：调查研究： 应对实际问题的历史背景和内在机理在要有深刻的了解； 明确所解决问题的目的； 收集数据（必需注意精度的要求，向专家，实际工 作人员请教。） 2：现实问题的理想化 现实问题错综复杂，涉及面非常之广，要建立一个数学 模型来反映现实问题的方方面面，无所不包是不可能的， 也不必要的。建模前必须把问题理想化，简单化，即抓主要 因素， 暂不考虑次要因素，为此对所给问题给予必要的假设。 不同的假设会得到不同的模型，这一步是关键。
的某一部分进行简缩，抽象，提练出来的原型的 替代物，它虽不是原型的复制品，却集中反映了 原型中人们需要的哪一部分特征，因而有利 于人 们对客观事物的认识。 3：数学模型是：对于现实世界的一个研究对象， 为了 一个特定目的，根据内在规律做出必要的简 化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结 构。 4：数学建模：建立数学模型的全过程，包括模 型的建立，求解，分析和检验。
数学规划模型
第三章 数学规划模型§3.1 引言优化是我们在工程技术、经济管理等诸多领域中最常遇到的问题之一。
结构设计要在满足强度要求的条件下时所用的总重量最轻；编制生产计划要在人力、设备等条件限制下时产品的总利润最高；安排运输方案要在满足物资要求和不超过供应能力条件下时运输总费用最少；确定某种产品如橡胶的原料配方药是它的强度、硬度、变形等多种指标都达到最优。
人们解决这种问题的手段大致有以下几种：一是依靠过去的经验，这看来似乎切实可行，且不担风险，但会融入决策者过多的主观因素从而难以确定所给决策的优越性；二是作大量的实验，这固然真实可靠，却常要耗费太多的资金和人力；三是建立数学模型，求解最优决策。
虽然因建模时要作适当的简化可能使结果不一定可行或达到实际上的最优，但是它基于客观的数据，又不需要太大的费用，具有前两种手段无可比拟的优点。
如果在数学建模的基础上再辅以适当的经验和实验，就可以得到实际问题的一个比较圆满地解答。
在决策科学化、定量化的呼声日渐高涨的今天，这一方法的推广应用无疑是符合时代潮流和形势发展需要的。
一项工程由m 个市供电，已知每个施工点对某种材料的需求为r I （单位：吨），施工点的位置坐标为（a i ,b i ）（以公里计），i=1,2,……，m 。
现在要设立n 个料场，已知每个料场这种材料的最大容量为q j （单位：吨），j=1,2,……，n 。
时确定这n 个料场的位置坐标，及各料场向各施工点的材料运量，在保证施工需求的条件下，使材料运输的总吨公里最小。
用（x j ,y j ）表示n 个料场的位置坐标，w ij 表示第j 料场向第I 施工点的材料运量，则材料运输的总吨公里为ij m i nj ij d w Z ∑∑===11（1）其中d ij 是第I 施工点与第j 料场之间的距离 ij d 22)()(i j i j b y a x -+-=（2）（1），（2）给出了这个模型的目标函数，模型的约束条件有三： 一是保证各施工点的需求r i ,即m i r wnj i ij,2,1,1=≥∑= (3)二是不超出各料场的最大容量q j ,即n j q wj mi ij,,2,1,1=≤∑= (4)三是对w ij 的自然要求w ij n j m i ,,2,1,,,2,1,0 ==≥ (5)总商，这个模型概括为（3）—（5）下求（x j ,y j ）和w ij ,使由（1），（2）给出的目标函数Z 最小。
数学规划模型——概述
数学规划模型——概述title: 数学规划模型——概述date: 2020-02-26 20:08:21categories: 数学建模tags: [MATLAB, 数学规划模型]什么是数学规划?数学规划是运筹学的⼀个分⽀ , 其⽤来研究: 在给定的条件 下 (约束条件), 如何按照某⼀衡量指标 (⽬标函数)来寻求计划、 管理⼯作中的优⽅案 。
总结：求⽬标函数在 ⼀定约束条件下的极值问题数学规划的⼀般形式min(或者max)Z=f(x)s.t.g i(x)<=0,i=1,2,...m(不等式约束)(也可能有等式约束,整数约束或两者皆有) x: 决策变量 ( ⼀般有多个⾃变量)f(x): ⽬标函数不等式约束 ,等式约束,整数约束 : 约束条件s.t.：subiectto数学规划的分类①线性规划 ( Lineupngramming)如果⽬标函数 和 和约束条件均是决策变量的线性表达式 , 那么此时的数学规划问题就属于线性规划。
1947年, 美国数学家丹⻬格 ( GB.Dantz.in)提出了 求解线性规划的单纯形法 , 奠定了这⻔学科的基础 。
②⾮线性规划 (nonlinear pogramming)当⽬标函数和或者约束条件中有⼀个是决策变量 ㄨ 的⾮线性表达式, 那么 此时的数学规划问题就属于⾮线性规划 。
解决⾮线性规划要⽐线性规划困难得多 , ⽬前没有通⽤算法, ⼤多数算法都是在选定决策变量的初始值后 ,通过定的搜索⽅法 寻求优的决策变量。
③整数规划 (integer pogramming）整数 规划是⼀类要求变量取整数值的数学规划 ：线性整数规划 (在线性规划模型中, 有决策变量限定为整数）⾮线性整数规划⽬前, 所流⾏的 求解整数规划的算法往往只适⽤于线性整数规划, 所以本节学习的求解均针对线性整数规划。
④ 0-1规划 (0-1 pogramming)整数规划的特例 , 整数变量的取值只能为 0 和 1 。
数学建模教材前言
前言数学建模教学在西方国家已有三十多年历史，并在国际数学教育大会（ICME: International Congress on Mathematical Education）中占有重要地位。
自1988年始，国际数学教育大会就把“问题解决、建模和应用”列入大会七个主要研究的课题之一，从教育、科学、社会、文化的观念来看，数学应用、模型和建模已被广泛地认为在数学教学的理论和实践中，具有决定性的重要意义。
我国《全日制义务教育数学课程标准》中也开始强调，不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，使学生在获得对数学理解的同时，进而在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
“中小学数学课程标准”强调，要重视培养学生的主体意识、批判意识、综合意识和合作意识，注重让学生学习自行获取数学知识的方法，经历将实际问题进行数学抽象、建模求解和解释的过程，学会自主学习和主动参与数学实践的本领，获得终身受用的数学基础能力和创造才能。
然而，在新课程实施过程中，小学日常课堂中的数学建模教学并不多见，小学教师对数学模型、数学建模以及数学建模教学等概念还较陌生，所以我们在前言部分对建模的相关内容做整体介绍。
日常数学课堂中所讨论的数学模型是从狭义角度出发，是解决实际问题时所用的一种数学框架，是指对实际问题进行分析、简化，抽象后所得出的数学结构，它是使用数学符号、数学表达式以及数量关系对实际问题简化进行的关系或规律的描述。
例如各种公式、方程和运算法则等。
数学建模的过程可简单分为四个阶段，即现实问题数学化（由现实问题经过简化抽象后建立数学模型）、模型求解、数学模型解答和现实问题解答验证。
通过这四个阶段，完成了从现实问题到数学模型，再从数学模型回到现实问题的不断循环、不断完善的过程。
周春荔先生认为，从方法论角度看，数学建模是一种数学思想方法；从教学角度看，数学建模是一种数学活动。
数学建模培训之数学规划模型
线性规划的求解
例1 max z 5 x1 10x2 s.t. 5 x1 4 x2 24, 2 x1 5 x2 15, x1 x2 1 x1 0, x2 0
x2
Q3
Q4 x2-x1 =1
O
Q2
2x1+5x2=15
Q1 x1 5x1+4x2=24
数学建模
Mathematical Modelling
第一讲 数学规划模型
优化问题： 现实世界当中经常遇到的一类问题。
Байду номын сангаас
最优化方法：
解决优化问题的数学方法。 解决优化问题的基本步骤： 1)建立优化模型; 2)利用优化方法辅以计算机求解 优化模型。
优化模型：
1) 数学规划：线性规划
非线性规划
整数规划 动态规划 多目标规划 生产与服务业的运作管理：计划问题、调度问 题、运输问题、下料问题，… 经济与金融领域：经济均衡问题、投资组合问 题、市场营销问题， …
2)图与网络的优化模型
运输问题 指派问题 最大匹配问题 最小覆盖问题
最短路问题
最小树问题 行遍性问题(旅行商问题/中国邮递员问题) 网络流问题(最大流/最小费用流) 计划网络图优化问题
3)对策论（博弈论） 4)排队论 5)存贮论 参考书：
▲运筹学(第3版)，《运筹学》教材编写组编，清
华大学出版社,2005
2. 罚函数法：
利用目标函数 f (x)和约束函数 g (x) 构造带参数的“增广” 目标函数 ，将约束NLP 转化为一系列无约束NLP来求解： min F(x) = f (x) + Pk(x) 其中Pk(x)为由g (x)构成的“惩罚”函数。
数学规划模型的建立
50 60 50
∑a ai
i
j
i
= 160
30 70 10 10 bj 50 70 20 40
∑b
j
= 300
问题分析： 可看成是 产小于销”的运输问题。 可看成是“ 问题分析：…可看成是“产小于销”的运输问题。
模型建立 分别表示水库A,B,C(i=1,2,3)向居民区甲千吨水须 向居民区甲,乙 设 xij 分别表示水库 向居民区甲 乙, 因160千吨水须 全部输出 丙,丁(j=1,2,3,4)的供水量。其中X34=0. 丁 的供水量。其中 的供水量 由题意目标函数为： 由题意目标函数为： 3 4 max z1 = 900 × 160 − 450 × 160 − ∑ ∑ cij xij 可转化为： 可转化为：
一、运输问题 例1
运 产地 价 销地
B1
B2 L Bn
产量
A1 A2 M Am
需求量
c11 c21 M cm 1 b1
c12 c22 M
L c1n L c2 n M M
a1 a2 M am
cm 2 L cmn b2 L bn
求使总运费最少的调运方案。试建模。 求使总运费最少的调运方案。试建模。
42
例1
的圆木锯成矩形横梁。 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形横梁。已知 成正比， 横梁强度 z 与宽度 x 成正比，与高度 y 的平 方成正比。求宽、高各为多少时强度最大？ 方成正比。求宽、高各为多少时强度最大？
该问题的数学模型为： 该问题的数学模型为： z = kxy 2 ( k > 0)
x2 + y2 = d 2 ,
出发的车流量， 的车流量， 设 v 为从 1 出发的车流量， xij 为 i 到 j 的车流量， max ( x12 + x13 ) max v 则 s .t . x12 + x13 = v 去掉 x12 = x24 + x25 流量守恒条件 LL x47 + x57 + x67 = v x12 + x13 = x47 + x57 + x67
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单位工件的加工费用 工件 1 13 11 工件 2 9 12 工件 3 10 8
可用台 时数 800 900
解
乙
设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在 乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建立以下 模型：
m in z 1 3 x 1 9 x 2 1 0 x 3 1 1 x 4 1 2 x 5 8 x 6
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（2）非线性规划（NLP）
目标函数和约束条件中，至少有一个是决策变 量的非线性函数。
m in z f ( x )
s . t . h i ( x ) 0 , i 1, 2 ,..., m .
g i ( x ) 0 ( g i ( x ) 0 ), i 1, 2 ,..., p .
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（1）线性规划（LP）
目标函数和所有的约束条件都是决策变量
的线性函数。
m in z
n
i 1
n
ci xi
a ik x k b i , i 1, 2 , ..., n . s .t . k 1 x 0 , i 1, 2 , ..., n . i
数学规划模型 序言
任课教师：刘伟
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规划模型的一般意义
（一）规划模型的数学描述
将一个规划问题用数学式子来描述，即求函数
z f (x)
x ( x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n )
在约束条件 h i ( x ) 0 , i 1, 2 ,..., m .
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（3）二次规划问题(QP)
目标函数是决策变量的二次函数，约束条 件为线性约束
m in z f ( x )
n
i 1
n
ci xi
1
2
n
b ij x i x j
i , j 1
a ij x j b i , i 1, 2 , ..., n . s .t . j 1 x 0 .i 1, 2 , ..., n . i
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产品
原料 A B C 价格（元/吨）
甲
1 2 0 50
乙
1 1 2 100
原料数量 （吨）
300 400 250
解：设变量xi为第i种（甲、乙）产品的生产吨数 目标函数 max z = 50x1 + 100x2 s.t. x1 + x2 ≤300 2x1 + x2 ≤ 400 2x2 ≤ 250 x1 ,x2 , ≥ 0
加工费用最低
三种工件的数量分别为 400、600和500 两台车床的可用台时数分别为 800和900
线性规划
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总收益最大 原料有限
线性规划
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两个引例
问题二 ： 某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。
假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的 数量分别为400吨、600吨和500吨，且已知用三种不同车床加 工单位吨数不同工件所需的台时数和加工费用如下表。为了 满足加工工件的要求，问怎样分配车床的加工任务使加工费 用最低？
g i ( x ) 0 ( g i ( x ) 0 ), i 1, 2 , ..., p .
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优化模型的一般意义
（二）优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。
2.根据决策变量的性质
静态问题和动态问题。 3.根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。 4. 根据决策变量的允许值 整数规划（0-1规划）和实数规划。
车床 类 型 甲 乙 单位工件所需加工台时数 工件 1 0 .4 0 .5 工件 2 1 .1 1 .2 工件 3 1 .0 1 .3 单位工件的加工费用 工件 1 13 11 工件 2 9 12 工件 3 10 8 可用台 时数 800 900
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车床 类 型 甲
单位工件所需加工台时数 工件 1 0 .4 0 .5 工件 2 1 .1 1 .2 工件 3 1 .0 1 .3
g i ( x ) 0 ( g i ( x ) 0 ), i 1, 2 ,..., p .
下的最大值或最小值。
其中
x
决策变量（设计变量） 目标函数
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f (x)
m in ( o r
s. t.
m a x)
z f (x)
h i ( x ) 0 , i 1, 2 , ..., m ,
x 1 x 4 400 x x 5 600 2 x 3 x 6 500 s .t . 0 . 4 x 1 1 . 1 x 2 x 3 800 0 . 5 x 1 . 2 x 1 . 3 x 900 4 5 6 x i 0 , i 1, 2 , , 6
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（三）建立规划模型的一般步骤
1.确定决策变量； 2.确定目标函数的表达式； 3.寻找约束条件。
（四）规划模型主要解决的问题 •
一个方面的问题是：对于给定的人力、物力 和财力，怎样才能发挥他们最大的功效； • 另一个方面的问题是：对于给定的任务，怎 样才能用最少的人力、物力和财力去完成它。
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两个引例
问题一：某工厂拥有A、B、C三种类型的原料，生产甲、 乙两种产品。每吨产品在生产中消耗的原料数量，每吨 产品的价格以及三种原料可利用的数量如下表所示：
产品 原料
甲
1 2 0
乙
1 1 2
100
原料数量 （吨）
300 400 250
A B C
价格（元/吨）
问题：工厂应如何安排生产可获得最大的总收益？