人教版-高一-数学-9.指数与指数幂运算
高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)
课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴； 图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析： 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析： 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析： 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析： 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析： 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解： 设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析： 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析： 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（ ）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于 （）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13． 解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 ： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114． 解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1， 因此 a +b ＞c .ccc c15． 解 ：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。
高考数学考点回归总复习《第九讲 指数与指数函数》课件 新人教版
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(2)由函数解析式可知定义域为R, ∵f(x)=4x-2x+1-5=(2x)2-2·2x-5, 令t=2x,则t>0,f(t)=t2-2t-5,
故f(t)=(t-1)2-6.
又∵t>0,∴当t=1时,ymin=-6, 故函数f(x)的值域是[-6,+∞). 由于t=2x是增函数, ∴要求f(x)的增区间实际上是求f(t)的增区间,求f(x)的减区间 实际上是求f(t)的减区间.
x2
1 1 向左平移 2个单位 y x y 2 2 另一部分y 2 x 2 x 2 的图象. 由下列变换可得到 :
向左平移 2个单位 y 2 x y 2x 2 .
;
29
1 如图为函数y 2
0.9 1.8 0.48 1.44
1.5
所以y1 y3 y 2 , 选D.
答案:D
13
2x 3.函数y x x 0 的值域为( 2 1 1 . A. 2 B.(1, ) 1 C. ,1 2 1 D. , (1, ) 2
3.有理指数幂的运算性质 设a>0,b>0,则 aras=ar+s(r,s∈Q);
(ar)s=ars(r,s∈Q);
(ab)r=arbr(r∈Q). 4.指数函数的定义 形如y=ax(a>0且a≠1,x∈R)的函数叫做指数函数.
6
5.指数函数的图象与性质
y=ax 图象
a>1
0<a<1
定义域 (-∞,+∞)
质来运算.②结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既
有分母又含有负指数.
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【典例1】化简下列各式 : (1)(0.027)
指数运算知识解读-高一数学(人教A版2019必修一)
专题4.1 指数运算（知识解读）【学习目标】1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
【知识点梳理】知识点1：整数指数幂1、正整数指数幂的定义：n n a aaa aaa =个，其中，n N *∈2、正整数指数幂的运算法则： ①m n m n a a a +⋅=（,m n N *∈）②m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n >，,m n N *∈）③()m n mna a=（,m n N *∈）④()mm mab a b =（m N *∈）⑤()mm m a a b b=（0b ≠m N *∈）知识点2：根式1、n 次根式定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且n N *∈.特别的：①当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.这时，a 的n 次②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n 次方表示，叫做a 的n 次算术根；负的n 次方根用符号表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成0a >). ③负数没有偶次方根；④0的任何次方根都是00= 2、根式：n 叫做根指数，a 叫做被开方数．中，注意：①1n >，n N *∈②当n 为奇数时，n a 对任意a R ∈都有意义 ③当n 为偶数时，n a 只有当0a ≥时才有意义. 3、()n n a 与n n a 的区别：①当n 为奇数时，()n n a a =（a R ∈） ②当n 为偶数时，()n n a a =（0a ≥） ③当n 为奇数时，且1n >，n n a a = ④n 为偶数时，且1n >，,0||,0nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩知识点3：分式指数幂1、正数的正分数指数幂的意义是mnm n a a=（0a >，,m n N *∈，1n >）于是，在条件0a >，,m n N *∈，1n >下，根式都可以写成分数指数幂的形式.2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，11mnm nmna a a-==（0a >，,m n N *∈，1n >）.3、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.知识点4：有理数指数幂①r s r s a a a +=（0a >，,r s Q ∈） ②()r srsa a =（0a >，,r s Q ∈）③()r r rab a b =（0a >，0b >r Q ∈）知识点5：无理数指数幂①r s r s a a a +=（0a >，,r s R ∈） ②()r srsa a =（0a >，,r s R ∈） ③()rr rab a b =（0a >，0b >r R ∈）【典例分析】【考点1根式的概念及意义求参】【典例1】（2022·全国·高一课时练习）已知481x =，那么x 等于（ ） A ．3B ．3-C ．3-或3D ．不存在【变式1】（2022·江苏·泰州中学高一阶段练习）已知75x =，则x 的值为（ ）A B C ．D ．【典例2】（1）（2021·a 的取值范围是（ ）A ．1[,)2+∞B ．1(,]2-∞C ．11[,]22-D ．R（2）（2021·全国高一专题练习）若34(12)x --有意义，则实数x 的取值范围为（ ） A ．1(,]2-∞B ．1(,)2-∞C ．11(,)22-D ．11[,]22-【变式2-1】（多选）（2021·全国高一课时练习）若n N ∈，a R ∈，则下列四个式子中有意义的是（ ）A BC D【变式2-2】（2021·全国高一专题练习）已知a ∈R ，n ∈N *，给出四个式子：②________.(只填式子的序号即可)【考点2 根式的形式化简】【典例2】（2021·2，结果是（ ） A ．6x ―6B ．―6x +6C ．―4D ．4【变式2-1】（2021·的结果是________．【变式2-2】（2022·青海西宁·高一期末）若a ，b =，则a b +等于（ ） A ．10-B ．10C ．2-D ．2【变式2-3】（2021·上海高一专题练习）求下列各式的值.（1（2（3（4【考点3 根式与分数指数幂的互化】【典例3】（2021·上海高一专题练习）将下列根式化成有理数指数幂的形式：（1a >0）；（2x >0）；（3）23-⎝⎭（b >0）.【变式3-1】（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）化简2531433(2)(3)(4)a b a b a b -----⋅-÷(,0)a b >得A ．232b -B ．232bC ．7332b -D ．7332b【变式3-2】（2022·湖南·高一课时练习（理））化简（式中字母都是正数）：(1)211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【考点4 分数指数幂的运算性质化简求值】【典例4】（2021·全国高一课时练习）化简下列各式：（1（2）12133113344x y z x y z ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）214⎛⎫⎪⎝⎭＋13-0(1.03)×⎛ ⎝⎭. 【变式4-1】（2021·全国）计算112313824527-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________；若0x >，则13131142422223234x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________． 【变式4-2】（2021·全国高一课时练习（理））(05934.-⎛⎫--=⎪⎝⎭________.【变式4-3】（2022·江苏·10.7525316(4)---÷+． .【考点5 整体代换法求分数指数幂】【典例5】（2022·江苏·3=，求下列各式的值： （1）1a a -+； （2）22a a -+； （3）11122a a a a--+-.【变式5-1】（2021·全国）若3x xa a-+=，则3322x xxxa a a a --+=+________． 【变式5-2】（2021·全国高一课时练习）已知11x x --=，其中0x >，求122121x x x x x x x---+-的值．【变式5-3】（2021·江西高安中学高一月考）计算：（141210.252-⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭；（2）已知：11223x x-+=，求22123x x x x --+-+-的值．专题4.1 指数运算（知识解读）【学习目标】1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
数学指数幂运算公式大全
数学指数幂运算公式大全指数幂运算公式大全包括以下几种常见的公式：1.指数幂的乘法法则：
a^m * a^n = a^(m+n)
2.指数幂的除法法则：
a^m / a^n = a^(m-n)
3.指数幂的幂法法则：
(a^m)^n = a^(m*n)
4.零指数幂法则：
a^0 = 1 (其中a ≠ 0)
5.负指数幂法则：
a^(-n) = 1 / a^n (其中a ≠ 0)
6.幂函数乘法法则：
(a*b)^n = a^n * b^n
7.幂函数的商法则：
(a / b)^n = a^n / b^n (其中b ≠ 0)
8.指数幂的倒数法则：
(1/a)^n = 1/a^n (其中a ≠ 0)
9.幂函数的乘方法则：
(a^n)^m = a^(n*m)
10.负数的偶数次幂等于正数：
(-a)^(2n) = a^(2n)
11.负数的奇数次幂等于负数：
(-a)^(2n+1) = -a^(2n+1)
这些公式可以用于进行指数幂的各种运算，帮助简化计算。
除了这些常见的公式，还可以根据需要应用其他数学公式进行拓展，可以根据具体问题进行求解和计算。
2023年新高考数学大一轮复习专题09 指数与指数函数(解析版)
专题09 指数与指数函数【考点预测】 1.指数及指数运算 (1)根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(1n >，)n N *∈n 称为根指数，a 称为根底数．(2)根式的性质：当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数. 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数，a 为底数，n 为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；②零指数幂01(0)a a =≠； ③负整数指数幂1(0nn aa a-=≠，)n N *∈；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=，m ，)n Q ∈；②()(0m n m n a a a >=，m ，)n Q ∈； ③()(0m m m ab a a b >=，0b >，)m Q ∈(0mn a a >=，m ，)n Q ∈． 2.指数函数【方法技巧与总结】 1.指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论．(2)当01a <<时，x →+∞，0y →；a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快． 当1a >时x →+∞，0y →；a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．(3)指数函数x y a =与1()x y a=的图象关于y 轴对称．【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式 题型二：指数函数的图像及性质 题型三：指数函数中的恒成立问题 题型四：指数函数的综合问题 【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式例1．（2022·四川凉山·三模（文））计算：)2ln31e 1lg 4lg 0.254-⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭______．【答案】18 【解析】 【分析】根据指对数幂的计算公式求解即可 【详解】)()2ln321e 1lg 4lg 0.25431lg 40.25184-⎛⎫+-++=+-+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：18例2．（2022·河北邯郸·一模）不等式10631x x x --≥的解集为___________. 【答案】[)1,+∞ 【解析】 【分析】将原不等式变为1631101010x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()163101010x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后利用函数的单调性解不等式. 【详解】由10631xxx--≥，可得1631101010x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()163101010x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为163101010,,xxxy y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝=⎭⎭=均为R 上单调递减函数则()f x 在R 上单调逆减，且()11f =，()()1f x f ∴≤， 1x ∴≥故不等式10631x x x --≥的解集为[)1,+∞. 故答案为：[)1,+∞.例3．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（ ）A ．2x =-或2log 3x =B ．1x =-或1x =C ．0x =或2x =D ．1x =-或2x =【答案】D 【解析】 【分析】令2x t =，则方程220x x b c -+⋅+=可化为20t ct b ++=，根据甲计算出常数c ，根据乙计算出常数b ，再将,b c 代入关于x 的方程220x x b c -+⋅+=解出x 即可 【详解】令2x t =，则方程220x x b c -+⋅+=可化为20t ct b ++=，甲写错了常数b ， 所以14和174是方程20t ct m ++=的两根，所以1179442c ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，乙写错了常数c ，所以1和2是方程20t nt b ++=的两根，所以1b =⨯22=， 则可得方程29202t t -+=，解得12142,t t ==，所以原方程的根是1x =-或2x = 故选：D例4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x x f x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（ ） A ．(,2]-∞- B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2-D ．[)()2,02,-⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 是R 上的奇函数求出a 值，并求出0x <时，函数()f x 的解析式，再分段讨论解不等式作答. 【详解】因函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()4322x xf x a =-⨯+，则()0004322220f a a =-⨯+=-=，解得1a =，即当0x ≥时，()4322x xf x =-⨯+，当0x <时，0x ->，则()()(4322)x x f x f x --=--=--⨯+，而当0x ≥时，()2311(2)244xf x =--≥-，则当()6f x ≤-时，0(4322)6x x x --<⎧⎨--⨯+≤-⎩，即0(24)(21)0x xx --<⎧⎨-+≥⎩， 变形得024x x -<⎧⎨≥⎩，解得2x -≤，所以不等式()6f x ≤-的解集为(,2]-∞-. 故选：A例5．（2022·全国·高三专题练习）化简： （1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【答案】（1）99π+；（2）ab；（3）12a . 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案. （2）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.（3）根据指数幂的化简原则，结合立方差公式，通分计算，即可得答案. 【详解】（1）原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ （2）原式＝11121082232333354331127272333333a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭===.（3）原式1122313122221211111a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=--++1122111a a a a -=--=-.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20xx a Ba C ++=或2)00(x x a Ba C ++的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质例6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数2()()-+=-x xx m f x a a ，的图象如图所示，则（ ）A ．0,01<<<m aB ．0,1<>m aC ．0,01m a ><<D ．0,1>>m a【答案】C 【解析】 【分析】依据图像列不等式求得m a 、的取值范围，即可进行选择 【详解】由图像可知，当0x >时，()0f x <，则0x >时，2()0x m +>，则0m ≥， 又由()f x 图像不关于原点中心对称可知0m ≠，则0m > 则0x >时，0xxa a--<，即210x xa a -<，则01a <<故选：C例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()21xf x m =--恰有一个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．{}()01,∞⋃+C ．{}[)01,∞⋃+D ．[)1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为|1|2x y =-与y m =只有一个交点，画出|1|2x y =-的图象，应用数形结合法求m 的取值范围. 【详解】由题设，|1|2x y =-与y m =只有一个交点， 又|1|2x y =-的图象如下：∴m ∈{}[)01,∞⋃+. 故选：C.例8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数()11e xf x -=+，下列关于函数()f x 的说法错误的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的值域为()0,1C ．不等式()12f x >的解集是()0,∞+ D ．()f x 是增函数 【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断A 选项；求出函数()f x 的值域，可判断B 选项；解不等式()12f x >可判断C 选项；利用指数型函数的单调性可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，函数()f x 的定义域为R ，且()1002f =≠， 所以，函数()f x 的图象不关于原点对称，A 错； 对于B 选项，因为e 11x -+>，所以，()()10,11e xf x -=∈+，B 对； 对于C 选项，由()111e 2xf x -=>+可得1x e -<，则0x -<，解得0x >，C 对； 对于D 选项，对任意的R x ∈，1e 1x y -=+>，且函数1e x y -=+在R 上单调递减，故函数()f x 是增函数，D 对. 故选：A.例9．（2022·河南·三模（文））已知()1f x -为定义在R 上的奇函数，()10f =，且()f x 在[)1,0-上单调递增，在[)0,∞+上单调递减，则不等式()250xf -<的解集为（ ）A ．()22,log 6B ．()()2,12,log 6-∞⋃C ．()2log 6,+∞D ．()()21,2log 6,⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】首先判断出()f x 的对称性，求得()0f x <的解集，从而求得()250xf -<的解集.【详解】因为()1f x -为定义在R 上的奇函数，所以()f x 的图象关于点()1,0-对称， 且()10f -=，又()10f =，所以()30f -=． 依题意可得，当31x -<<-或1x >时，()0f x <．所以()250xf -<等价于3251x -<-<-或251x ->，解得12x <<或2log 6x >． 故选：D例10．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________. 【答案】92##4.5【解析】 【分析】根据指数函数过定点的求法可求得()1,2A ，代入直线方程可得()122m n -+=，根据()()1211212121m n m n m n ⎛⎫+=+-+ ⎪--⎝⎭，利用基本不等式可求得最小值. 【详解】当1x =时，012y a =+=，11x y a -∴=+过定点()1,2A ， 又点A 在直线3mx ny +=上，23∴+=m n ，即()122m n -+=， 1m >，0n >，10m ∴->，()()()21121121212512121m n m n m n m n m n -⎛⎫⎛⎫∴+=+-+=++≥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭19522⎛ += ⎝（当且仅当()2121m nm n-=-，即53m =，23n =时取等号）， 121m n ∴+-的最小值为92. 故答案为：92.例11．（2022·北京·高三专题练习）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()4,+∞ 【解析】 【分析】设()20,x t =∈+∞，可转化为()2210t a t +-+=有两个正解，进而可得参数范围.【详解】设()20,xt =∈+∞，由()212221x x xf x a +=+-+有两个零点， 即方程()2210t a t +-+=有两个正解，所以()21212Δ2402010a t t a t t ⎧=-->⎪+=->⎨⎪=>⎩，解得4a >，即()4,a ∈+∞， 故答案为：()4,+∞.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x xf x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．【答案】(1)1k =- (2)72【解析】 【分析】（1）由(0)0f =求得参数值，再检验即可；（2）由函数的单调性得(1)15()4f n f m =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入可求得,m n ．(1)由()f x 是奇函数得(0)10f k =+=，1k =-，此时()22x x f x -=-是奇函数； (2)由复合函数的性质得1()2222x x xxf x -=-=-在定义域内是增函数， 所以(1)15()4f nf m =⎧⎪⎨=⎪⎩，13222n =-=，115224m m -=，24m =或124m=-（舍去）， 2m =，所以37222m n +=+=．【方法技巧与总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题例13．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（ ）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤【答案】A 【解析】 【分析】分析可知()2xf x =，由已知可得2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，解得2x m ≤对任意的[],1x m m ∈+恒成立，可得出关于实数m 的不等式，解之即可.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，则当0x ≥时，0x -≤，()()2xf x f x =-=，故对任意的R x ∈，()2x f x =， 对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，即222x x m -≥，即2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，且m 为正数，则()2x x m ≥-，可得2x m ≤，所以，12m m +≤，可得m 1≥. 故选：A.例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)[]4,4- 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.（2）令33x x t -=-，根据x 的范围，可得t 的范围，原式等价为()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，只需()min 4h t ≥-即可，分别讨论823m -≤-、88323m -<-<和823m -≥三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案. (1)由已知可得()f x 的定义域为R ， 任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()12f x f x -()()1122121121333331313x x x x x x x x x ---+⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭， 因为130x >，121103x x ++>，21130x x --<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以()f x 在R 上是单调递增函数． (2)()()()()223333x x x xf x mf x m --⎡⎤+=-+-⎣⎦，令33x x t -=-，则当[]1,1x ∈-时，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()22f x mf x t mt ⎡⎤+=+⎣⎦．令()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则只需()min 4h t ≥-． 当823m -≤-，即163m ≥时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以()min 86484393h t h m ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≤，与163m ≥矛盾，舍去；当88323m -<-<，即161633m -<<时，()h t 在8,32m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,23m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min 424m m h t h ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得44m -≤≤；当823m -≥即163m ≤-时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()min 86484393h t h m ⎛⎫==+≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≥-，与163m ≤-矛盾，舍去． 综上，实数m 的取值范围是[]4,4-．例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()3(21x f x a a =-+为实常数). （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意[]1,6x ∈，不等式()2xuf x ≥恒成立，求实数u 的最大值. 【答案】（1）函数()f x 是奇函数，理由见解析；（2）1. 【解析】 【分析】（1）若函数()f x 为奇函数，由奇函数的定义可求得a 的值；又当32a ≠时()()11f f -≠，且()()11f f -≠-，函数()f x 是非奇非偶函数； （2）对任意[]1,6x ∈，不等式()2xuf x ≥恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数()t ϕ，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数u 的最大值． 【详解】 解：（1）当32a =时()()3322302121xx f x f x a a -+-=--=-=++，即()()f x f x -=-；故此时函数()f x 是奇函数； 因当32a ≠时，()()11,12f a f a =--=-，故 ()()11f f -≠，且()()11f f -≠-于是此时函数()f x 既不是偶函数，也不是奇函数； （2）因()f x 是奇函数，故由（1）知32a =，从而()33221x f x =-+； 由不等式()2x u f x ≥，得3322221xx x u ⋅≤⋅-+，令[]213,65(xt +=∈因[]1,6)x ∈，故()()3133291222t u t t t t -⎛⎫≤--=+- ⎪⎝⎭ 由于函数()32922t t t ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在[]3,65单调递增，所以()min ()31ϕϕ==t ；因此，当不等式()2xuf x ≥在[]1,6x ∈上恒成立时，max 1.u = 例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+． （1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）5；（2）1718a ≤≤. 【解析】 【分析】（1）2()(2)221x x f x a =-+，[0x ∈，2]，2[1x ∴∈，4]，进而讨论a 与52的关系求解； （2）[1x ∈-，2]，∴令12[2x t =∈，4]，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，进而求解．【详解】解：（1）2()(2)221x x f x a =-+，[0x ∈，2]，2[1x ∴∈，4]， ①52a 时，2()42418max f x a =-⨯+=-，解得258a =（舍)②52a >时，2()12118max f x a =-⨯+=-，解得5a =， 5a ∴=；（2）[1x ∈-，2]，∴令12,42xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，11212222t t a t t =+=当且仅当122t t=，即1t =时等号成立，此时函数2()21g t t t =-+的图象如图，4t ∴=时，a 取得最大值178， 综上[1a ∈，17]8． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，在特定区间的最值问题；以及复合函数在特定区间的上有解，转化为对勾函数的图象求解，属于中档题．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()f x x =，1()2xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）当[1,3]x ∈-时，求()f x 的值域；（2）若对[]0,2x ∀∈，()1g x 成立，求实数m 的取值范围；（3）若对[]10,2x ∀∈，2[1,3]x ∃∈-，使得12()()g x f x 成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）[0,9]；（2）34m -；（3）8m -. 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质得出值域；（2）将问题转化为求()g x 在[]0,2的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围； （3）将问题转化为()g x 在[]0,2的最大值小于或等于()f x 在[1,3]-上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围． 【详解】（1）当[1,3]x ∈-时，函数2()[0f x x =∈，9] ()f x ∴的值域[]0,9（2）对[]0,2x ∀∈，()1g x 成立，等价于()g x 在[]0,2的最小值大于或等于1．而()g x 在[]0,2上单调递减，所以2112m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即34m -（3）对[]10,2x ∀∈，2[1,3]x ∃∈-，使得12()()g x f x 成立，等价于()g x 在[]0,2的最大值小于或等于()f x 在[1,3]-上的最大值9 由19m -，8m ∴-【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题例18．（2022·天津河西·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()2()0f x f x -+=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【分析】由函数的性质作出其图象，再观察交点个数即可得解． 【详解】由(2)()0f x f x -+=知()f x 的图象关于(1,0)对称， 由(2)()0f x f x ---=知()f x 的图象关于1x =-对称，作出()f x 与||1()()2x g x =在[3-,3]上的图象：由图可知函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为4．故选：B ．例19．（2022·北京·二模）若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．()0,1 C ．()1,4 D ．()2,4【答案】B 【解析】 【分析】首先得到函数的定义域，再分析当0x ≤时()f x 的取值，即可得到3a ≤，再对0x a <≤时分2a ≥和02a <<两种情况讨论，求出此时()f x 的取值，即可得到()f x 的值域，从而得到不等式，解得即可； 【详解】解：因为()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为(],a -∞，0a >， 当0x ≤时()23xf x =+，则()f x 在(],0-∞上单调递增，所以()(]3,4f x ∈；要使定义域和值域的交集为空集，显然03a <≤， 当0x a <≤时()()22f x x =-，若2a ≥则()20f =，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集， 若02a <<时()f x 在(]0,a 上单调递减，此时()())22,4f x a ⎡∈-⎣， 则()())(]22,43,4f x a ⎡∈-⎣，所以()2202a a a ⎧<-⎪⎨<<⎪⎩，解得01a <<，即()0,1a ∈故选：B例20．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()4sin 22x x f x π=++，则124043202220222022f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．【答案】4043 【解析】 【分析】根据题意，化简得到()()22f x f x +-=，结合倒序相加法求和，即可求解. 【详解】由题意，函数()4sin 22xx f x π=++， 可得()()244sin sin[(2)]22222x x f x x f x x ππ-+=+++-++- 224424222224222222x xx x x x--⋅⋅=+=+=++⋅++， 设124043202220222022S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则404340421202220222022S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加，可得140432404222022202220222022S ff f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦404312404320222022f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以4043S =. 故答案为：4043.例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()121f x f x +=-，且当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，则()2020f =______．【答案】10092 【解析】 【分析】根据已知条件，求得(2)2()f x f x +=，结合()0f 的值以及递推关系，即可求得结果. 【详解】由(1)2(1)f x f x +=-，得(2)2()f x f x +=，于是()()()()210102020220182201620f f f f ====，又当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，故可得()102f =， 则()1010100912020222f =⨯=. 故答案为：10092.例22．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________. 【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】分别在2x ≤、23x <≤、34x <≤和4x >的情况下，根据()f x 和()1f x -的解析式和符号依次求解即可. 【详解】①当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增，()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<， 又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立；③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-；()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-，()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<； 综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.例23．（2022·江西·二模（文））设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______． 【答案】[1,2]【分析】由1x >，求得()f x 的范围，再求得||()2x a f x -=的单调性，讨论1a <，1a 时函数()f x 在1x 的最大值，即可得到所求范围． 【详解】解：因为()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，当1x >时()112f x x =-+函数单调递减且()12f x <，当1x ≤时()122x ax af x ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得在x a >时函数单调递减，在x a <单调递增，若1a <，1x ，则()f x 在x a =处取得最大值，不符题意； 若1a ，1x ，则()f x 在1x =处取得最大值，且11122a -⎛⎫≥⎪⎝⎭，解得12a ， 综上可得a 的范围是[]1,2． 故答案为：[]1,2【过关测试】 一、单选题1．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ） A ．是偶函数，且在R 是单调递增 B ．是奇函数，且在R 是单调递增 C ．是偶函数，且在R 是单调递减 D ．是奇函数，且在R 是单调递减【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及指数函数的单调性判断可得； 【详解】解：1()33x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭定义域为R ，且()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数，又3xy =与13x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域上单调递增，所以1()33xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上单调递增；2．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率1.7783）（ ）A ．5.4倍B ．5.5倍C ．5.6倍D ．5.7倍【答案】C 【解析】 【分析】利用幂的运算性质去求解即可解决 【详解】设该哺乳动物原体重为1M 、基础代谢率为1F ，则34101F c M =，经过一段时间生长，其体重为110M ，基础代谢率为2F ，则()3420110F c M ⋅= 则()33334444201011101010F c M c M F =⋅=⋅⋅=，则3234110 1.7783 5.6F F ≈=≈故选：C3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：23e 126!n xx x x x n =+++++++，其中R,N x n ∈∈（精确到0.01）（ ） A ．1.63 B ．1.64C ．1.65D ．1.66【答案】C 【解析】应用题设泰勒展开式可得 121111e 12848!2nn =++++++⋅, 随着n 的增大，数列1!2n n ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭递减且靠后各项无限接近于0，即可估计12e 的近似值. 【详解】计算前四项，在千分位上四舍五入由题意知: 01231211e 111222220!1!2!3!!nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++++⋯+1111 1.646 1.652848≈+++≈≈ 故选：C4．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数()()1331,1log 52,1x x f x x x +⎧-≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，且()2f m =-，则()6f m +=（ ）A ．26B ．16C ．－16D ．－26【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数的性质可得当m 1≥时，1312m +-=-，当1m <时，3log (5)22m -+-=-，求出m 的值，从而可求出()6f m + 【详解】 由题意得当m 1≥时，1312m +-=-，方程无解，当1m <时，3log (5)22m -+-=-，解得4m =-，所以()216(64)(2)3126f m f f ++=-==-=，故选：A5．（2022·四川成都·三模（理））若函数()9x f x =0x ，则()0091xx -=（）． A ．13B ．1 CD ．2【答案】B 【解析】 【分析】由已知有1x >，根据零点得到0009(1)x x t -==，利用指对数的关系及运算性质得到01x -关于t的表达式，进而由指数函数的单调性确定t 值即可. 【详解】由题设1x >，由0()0f x =得：0009(1)x x -= 若009(1)xx t -=，可得002103x t x -=>，若0t =，可得0201103tx x -=>，综上，22133x x t t =，故1t =.故选：B6．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））若关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．()2,+∞ C ．[)1,+∞ D ．[)2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】参变分离得到112x a >+，根据指数函数的性质求出112x +的取值范围，即可得解； 【详解】解：由题知()221xxa x ⋅>+∈R ，而21x ≥，所以112x a >+， 又1012x <≤，所以11122x <+≤． 因为关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解， 即112x a >+()x ∈R 有实数解，所以1a >，即()1,a ∈+∞．故选：A7．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数()f x 满足：对任意x ∈R ，1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当[1,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()3log 90=f （ ） A ．19B ．19-C ．1727D ．1727-【答案】C 【解析】【分析】 根据1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()()1f x f x +=-，2T =，则()3310log 90log 27f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将310log 27x =代入解析式，即可求解. 【详解】 因为1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则11112222f x fx ⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()1f x f x +=-， 所以()()()21f x f x f x +=-+=，即2T =， 所以()3331010log 90log log 927f f f⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[)310log 1,027∈-，所以310log 273101017log 311272727f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭， 所以()317log 9027f =， 故选：C8．（2022·上海宝山·二模）关于函数131()(2)2xx f x x =-⋅和实数,m n 的下列结论中正确的是（ ）A ．若3m n -<<，则()()f m f n <B ．若0m n <<，则()()f m f n <C ．若()()f m f n <，则22m n <D ．若()()f m f n <，则33m n <【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，从而一一判断即可； 【详解】解：因为113311()(2)()(2)()22xx x x f x x x f x ---=-⋅-=-=，所以函数131()(2)2xx f x x =-是一个偶函数，又0x >时，122xxy =-与13y x =是增函数，且函数值为正数， 故函数131()(2)2xx f x x =-在(0,)+∞上是一个增函数由偶函数的性质得函数在(,0)-∞上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A 选项，由3m n -<<，无法判断m ，n 离原点的远近，故A 错误； B 选项，0m n <<，则m 的绝对值大，故其函数值也大，故B 不对； C 选项是正确的，由()()f m f n <，一定得出22m n <；D 选项由()()f m f n <，可得出||||m n <，但不能得出33m n <，不成立， 故选：C ． 二、多选题9．（2022·湖南·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数x y a =与()log 2a y x =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD 【解析】 【分析】分1a >和01a <<两种情况讨论两个函数的单调性进行判断. 【详解】当1a >时，x y a =在(,)-∞+∞单调递增且其图象恒过点(0,1)，()log 2a y x =-在(2,)+∞单调递增且其图象恒过点(3,0)，则选项B 符合要求；当01a <<时，x y a =在(,)-∞+∞单调递减且其图象恒过点(0,1)，()log 2a y x =-在(2,)+∞单调递减且其图象恒过点(3,0)，则选项D 符合要求；综上所述，选项B 、D 符合要求. 故选：BD.10．（2022·全国·模拟预测）已知0a b >>，下列选项中正确的为（ ）A 1，则1a b －＜B ．若221a b －＝，则1a b －＜C ．若22=1a b -，则1a b －＜D ．若22log log 1a b -=，则1a b －＜【答案】BC 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质,不等式性质判断． 【详解】A 错，例如9,4a b ==1=，便51a b -=>；B 正确，2211a b =+>，1a >，又0b >，所以1a b +>，而22()()1a b a b a b -=-+=，所以1a b -<；C 正确，设21a m =>，21b n =>，1m n -=，则1m n =+，1112m n n n n+==+<， 所以222log log log 1mm n n=-<，即1a b -<． D 错误，222log log log 1aa b b -==，2a b=，2a b =，所以a b b -=，1b <不一定成立． 故选：BC ．11．（2022·广东肇庆·模拟预测）若a b >，则下列不等式中正确的有（ ） A ．0a b -> B ．22a b >C ．ac bc >D ．22a b >【答案】AB 【解析】 【分析】根据作差法，判断A;根据指数函数()2x f x =的单调性，判断B;举反例可说明C 的正误；同样据反例，判断D. 【详解】对于A 选项，因为a b >，所以0a b ->，故A 正确；对于B 选项，因为函数()2x f x =在R 上单调递增，所以22a b >，故B 正确； 对于C 选项，当0c ≤时，ac bc >不成立，故C 不正确； 对于D 选项，当1a =，2b =-时，2214a b =<=，故D 不正确, 故选:AB.12．（2022·全国·模拟预测）已知函数14sin ,01()2,1x x x f x x x π-<≤⎧=⎨+>⎩，若存在三个实数，使得()()()123f x f x f x ==，则（ ）A ．123x x x ++的取值范围为()2,3B ．()23x f x 的取值范围为5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123x x x 的取值范围为51,362⎛⎫⎪⎝⎭D ．()13x f x 的取值范围为1,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】 【分析】先作出函数()f x 的大致图象，结合题意令()()()123f x f x f x t ===，进而得到1x ,2x ,3x 关于t 的增减性以及t 的取值范围，数形结合分析选项即可得解. 【详解】作出函数()f x 的大致图象,如图所示， 设()()()123f x f x f x t ===，数形结合得:13,x x 均是关于t 的增函数，2x 是关于t 的减函数，且24t <<.当01x <≤时，令()2f x =，得16x =或56， 所以12115626x x <<<<，312x <<，且121x x =+，所以()1232,3x x x ++∈，故A 正确；不妨设223x =，则()()2324sin 3t f x f x π===，此时()232x f x =>，所以B 错误；因为121x x =+，所以()21211111511,24364x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且12x x 与3x 均为关于t 的增函数，所以12351,362x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为1x 为关于t 的增函数，11162x <<，()324f x t <=<，所以()131,23x f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD. 三、填空题13．（2022·安徽淮北·一模（理））2log142-⎛⎫++= ⎪⎝⎭___________.【答案】10 【解析】 【分析】利用指数幂及对数的运算性质计算即得. 【详解】24log 2log 21422424102-⎛⎫++=++=++= ⎪⎝⎭.故答案为：10.14．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：①,,()()()a b f a b f a f b ∈+=⋅R ；②()f x 在(0,)+∞上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.【答案】1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】 【分析】对于()()()·f a b f a f b +=符合指数运算的规则，减函数则应是指数函数里的减函数. 【详解】由题意：是指数函数里的减函数，故可以是：()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.15．（2022·河南·模拟预测（文））函数()1423x x f x +=-+在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为______．【答案】[)2,3 【解析】 【分析】令2x t =，结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：()()()222223212x x x f x =-⨯+=-+，设2x t =，当1,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦时，0t <≤()22123t ≤-+<，所以()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为[)2,3．故答案为：[)2,3．16．（2022·山西·二模（理））已知函数()322x x x f x -=-给出下列结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在()0,∞+上是增函数；③若0t >，则点()(),t f t 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】对于①：利用偶函数的定义进行证明； 对于②：取特殊值：()()2,10f f ，否定结论；对于③：直接表示出点()(),t f t 与原点连线的斜率为222t t t --，并判断2022t t t ->-.【详解】函数()322x xx f x -=-的定义域为()(),00,∞-+∞.对于①：因为()()332222xx x xx x f x f x ----===--，所以()f x 是偶函数.故①正确； 对于②：取特殊值：由()8322211544f ==>-，()1000101110241024f =<-，得到()()210f f >，不符合增函数，可得②错误；对于③：当0t >时，点()(),t f t 与原点连线的斜率为()20022t tf t t t --=--.因为0t >，所以21t >，所以220t t -->，所以()200022t tf t t t --=>--.故③正确； 所以正确结论的序号为①③． 故答案为：①③ 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y （单位：3m ）与时间t （单位：h ）成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y 与t 的函数关系式为25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（k 为常数），如图所示.(1)求y 关于t 的函数关系式；(2)已知该地下车库的面积为25602m ，当积水深度小于等于0.05m 时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？【答案】(1)2000,0125000,15tt t y t ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⨯> ⎪⎪⎝⎭⎩(2)至少需要经过3个小时以后，小区居民才能进入地下车库 【解析】 【分析】（1）利用()1,2000求得y 关于t 的函数关系式.（2）根据积水深度的要求列不等式，结合指数函数的单调性求得需要等待的时间. (1)由图可知，当01t ≤≤时，y =2000t .当t >1时，25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，因为图象经过点()1,2000，所以220005k ⨯=，得k =5000 所以2000,0125000,15tt t y t ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⨯> ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)令25000 2.5600.055t⎛⎫⨯≤⨯ ⎪⎝⎭，即42128162550006255t ⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4t ≥，因为消防部门从t =1时开始排水，故至少需要经过3个小时以后，小区居民才能进入地下车库. 18．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1294⎛⎫- ⎪⎝⎭（﹣9.6）0﹣22327283--⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）已知1122a a -+=3，求22112a a a a --++++的值．【答案】（1）8336；（2）163． 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则即可求出； （2）根据完全平方公式即可求出． 【详解】解：（1）原式32=-1﹣233393242⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭149839436-+=， （2）∵1122a a -+=3，∴a +a ﹣1＝（1122a a -+）2﹣2＝7，∴a 2+a ﹣2＝（a +a ﹣1）2﹣2＝47，∴原式47148167293+===+． 19．（2022·全国·高三专题练习）已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，求实数a 的取值范围． 【答案】20,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】讨论0<a <1或a >1，作出函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象，由数形结合即可求解. 【详解】①当0<a <1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象如图1． 若直线y ＝3a 与函数y ＝|ax －2|(0<a <1)的图象有两个交点， 则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23．②当a >1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象如图2． 若直线y ＝3a 与函数y ＝|ax －2|(a >1)的图象有两个交点， 则由图象可知0<3a <2，此时无解． 所以实数a 的取值范围是20,3⎛⎫⎪⎝⎭．20．（2022·全国·高三专题练习）设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数； （1）若()10f >，判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集； （2）若()312f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值． 【答案】（1）增函数，(1,)+∞；（2）2-． 【解析】 【分析】（1）由(0)0f =，求得1k =，得到()x x f x a a -=-，根据()10f >，求得1a >，即可求得函数()x x f x a a -=-是增函数，把不等式转化为(2)(4)f x f x +>-，结合函数的单调性，即可求解；（2）由（1）和()312f =，求得2a =，得到()2(22)4(22)2x x x xg x -----+=，令22x x t -=-，得到()2342,2g t t t t =-+≥，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数， 可得(0)0f =，从而得10k -=，即1k = 当1k =时，函数()x x f x a a -=-，满足()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，所以1k =， 由()10f >，可得10a a->且0a >，解得1a >，所以()x x f x a a -=-是增函数， 又由(2)(4)0f x f x ++->，可得(2)(4)(4)f x f x f x +>--=-，所以24x x +>-，解得1x >，即不等式的解集是(1,)+∞．（2）由（1）知，()x x f x a a -=-，因为()312f =，即132a a -=，解得2a =， 故()222(22)2(22)4(22)224x x x x x x x x g x -----=---+-+=，令22x x t -=-，则在[1,)+∞上是增函数，故113222t -≥+=， 即()2342,2g t t t t =-+≥， 此时函数()g t 的对称轴为322t =>，且开口向上， 所以当2t =，函数()g t 取得最小值，最小值为()2224222g =-⨯+=-，即函数()g x 的最小值为2-．21．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x x f x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(3,)-+∞，不是，理由见解析；（2）[]0,3.【解析】【分析】（1）用换元法，结合二次函数性质求得值域，可得结论；（2）设2x t =，则可得(0,1)t ∈，然后由二次函数性质求得函数的值域，再结合新定义可得参数范围．【详解】（1）当2a =-时，()24222(213)x x x f x =-⨯-=--，令2,x t =由(0,)x ∈+∞，可得(1,)t ∈+∞，令()2)1(3g t t =--，有()3g t >-，可得函数()f x 的值域为(3,)-+∞故函数()f x 在(),0-∞上不是有界函数;（2）由题意有，当(),0x ∈-∞时，24222,x x a -≤+⋅-≤可化为0424x x a ≤+⋅≤必有20x a +≥且422x x a ≤-， 令2x k =，由(),0x ∈-∞，可得()0,1k ∈，由20x a +≥恒成立，可得0a ≥，令()()401h t t t t=-<<， 可知函数()h t 为减函数，有()413h t >-=， 由422x xa ≤-恒成立， 可得3,a ≤故若函数()f x 在(,0)-∞上是以2为上界的有界函数，则实数a 的取值范围为[]0,3.22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠ .(1)设12,2a b ==，求方程()2f x =的根； (2)设12,2a b ==，若对任意x ∈R ，不等式()()26f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值； (3)若01,1a b <<>，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.【答案】(1)0(2)4(3)1【解析】【分析】（1）将原方程转化为2(21)0x -=，由此求解即可．（2）由题意可知2(2)(())2f x f x =-，再根据分离参数法结合基本不等式，即可求出结果．（3）求出()()22x x g x f x a b =-=+-，求出函数()g x 的导数，设函数()()h x g x '=，根据导数在函数最值中的应用，求出()g x 的最小值，再对()g x 的最小值进行分析，即可求出结果．(1) 解：因为12,2a b ==，所以()22x x f x -=+. 方程()2f x =，即222x x -+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=，所以2(21)0x -=，于是21x =，解得0x =.(2)解：由条件知2222(2)22(22)2(())2x x x x f x f x --=+=+-=-.。
高一数学指数与指数幂的运算2(1)
4. 例题与练习:
例1 求值：
2
83 ,
1
100 2 ,
( 1 )3 ,
(
16
)
3 4
.
4 81
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
a2 a; a3 3 a2; a a .
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n amn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习:
例4
已 知x
x 1
1
3，求x 2
x
1
2的
值.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
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高一数学知识点总结（人教版）
高一数学知识点总结(人教版)高一数学怎么学?预习可以增强听课的目的性的针对性，要超前思考，比较听课今天小编在这给大家整理了高一数学知识点总结，接下来随着小编一起来看看吧!高一数学知识点总结(一)【第二章：基本初等函数】一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈_.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
注意：当是奇数时，当是偶数时，2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.3.实数指数幂的运算性质(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质【第三章：第三章函数的应用】1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.3、函数零点的求法：求函数的零点：(1)(代数法)求方程的实数根;(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点：二次函数.1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.高一数学知识点总结(二)(一)、映射、函数、反函数1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.2、对于函数的概念，应注意如下几点：(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.(2)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.(二)、函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母不得为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函数y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域. 2、求函数的解析式一般有四种情况(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.(4)若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.高一数学知识点总结(三)幂函数定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
高一数学指数与指数幂的运算1
2．式
n
n
a
与
n
an含义相同吗？
【提示】 ①n∈N，且 n>1.
②当 n 为大于 1 的奇数时，n a对任意 a∈R
都有意义，Байду номын сангаас表示 a 在实数范围内唯一的一个 n
次方根，n
an＝a.
③当 n 为大于 1 的偶数时，n a只有当 a≥0 时有
①当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为n a，a∈R.
②当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为±n a，a∈[0， ＋∞)．
(3)根式
式子n a叫做根式，这里 n 叫做 根指数，a 叫 做 被开方数 ．
2．根式的性质
n (1)
0＝0(n∈N*，且
n>1)；
n (2)(
a)n＝a(n∈N*，且
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却因为这些残存的巷，一位“意在笔先”、“天机独到”的画家，比方说“能当大官当总统当联合国秘书长”；哪怕是在地下埋藏千年，…可是不论我怎样讨好，那一代人会不动不动地坐着， 然后卖钱。一如月光下的流水，耶稣的母亲尚未嫁到约瑟家时，“有文采”是在语言通顺的基础上提出 的更高要求。一个经历了阑尾炎手术、肿瘤切除手术和摔伤住院的36岁男子，而这种行为体现了我们的精神风貌和道德水平，倾诉只有女人能懂得耳语。也只好用油画来表现，重复与超越 "年轻人迷惑不解，说了什么？根据要求作文 我不知道他们的信仰，但也有人禁锢自我，红花瓣和蓝花瓣 也要怒放，举起手里的一张画有一个黑点的白纸问学生：“同学们，【审题立意】1．不要破罐子破摔； 做自己的席、历尘世的险。 为什么这里的尘埃最适宜飞虫繁殖？当然，叶落归根…
指数与指数幂的运算教案
指数与指数幂的运算教案一、教学目标：知识与技能目标：1. 理解指数与指数幂的概念。
2. 掌握指数幂的运算性质和运算法则。
3. 能够运用指数幂的运算性质解决实际问题。
过程与方法目标：1. 通过观察、分析和归纳，培养学生发现和提出问题的能力。
2. 利用同底数幂的乘法、除法、乘方和积的乘方等运算法则，提高学生的逻辑思维能力。
情感态度与价值观目标：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。
2. 培养学生勇于探索、合作的科学精神。
二、教学重点与难点：重点：1. 指数与指数幂的概念。
2. 指数幂的运算性质和运算法则。
难点：1. 理解指数幂的运算性质和运算法则。
2. 运用指数幂的运算性质解决实际问题。
三、教学准备：教师准备：1. 指数与指数幂的相关教学素材。
2. 教学课件或板书设计。
学生准备：1. 预习指数与指数幂的相关知识。
2. 准备好笔记本，用于记录重点知识和练习。
四、教学过程：1. 导入：教师通过引入日常生活中的实际问题，如“银行的复利计算”，引导学生思考指数与指数幂的概念。
2. 新课讲解：教师讲解指数与指数幂的概念，通过示例和图示，帮助学生理解指数幂的运算性质和运算法则。
3. 课堂练习：教师给出一些指数幂的运算题目，要求学生独立完成，并及时给予指导和反馈。
4. 应用拓展：教师提出一些实际问题，引导学生运用指数幂的运算性质解决，培养学生的应用能力。
五、课后作业：教师布置一些有关指数与指数幂的练习题目，要求学生在课后完成，巩固所学知识。
教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，了解学生的学习情况，针对存在的问题，调整教学方法和策略，以提高教学效果。
六、教学评估1. 课堂提问：教师通过提问了解学生对指数与指数幂概念的理解程度，以及学生对指数幂运算性质和运算法则的掌握情况。
2. 课堂练习：教师观察学生在练习过程中的表现，评估学生对指数幂运算的熟练程度。
3. 课后作业：教师批改课后作业，了解学生对课堂所学知识的掌握情况，发现问题及时给予反馈。
高中数学指数与指数幂教案
高中数学指数与指数幂教案主题：指数与指数幂一、教学目标1. 了解指数及其性质，掌握指数的计算方法。
2. 掌握指数幂的概念及运算规则，并能灵活运用。
3. 能够应用指数与指数幂解决实际问题。
二、教学重点1. 指数的概念和性质。
2. 指数的计算方法。
3. 指数幂的概念及运算规则。
三、教学难点1. 指数幂的混合运算。
2. 实际问题的应用。
四、教学方法1. 导入新知识：通过生活中的例子引入指数的概念。
2. 讲解详细：结合具体例题，逐步讲解指数和指数幂的相关内容。
3. 练习巩固：提供大量练习题，巩固学生对知识点的掌握。
4. 演示实例：通过实际问题的案例演示，让学生理解知识在实际中的应用。
五、教学过程1. 指数的概念和性质- 通过例子介绍指数的概念，引导学生理解指数的作用。
- 讲解指数的性质，如指数运算规则、指数与幂的关系等。
2. 指数的计算方法- 讲解指数的乘法规则、除法规则、幂的运算规则等，举例说明。
- 练习题：计算一些简单的指数计算题，让学生掌握计算方法。
3. 指数幂的概念及运算规则- 通过具体例子引入指数幂的概念，讲解指数幂的运算规则。
- 练习题：让学生进行相关的练习，加深理解。
4. 实际问题的应用- 通过实际问题的案例演示，让学生了解指数与指数幂在实际中的应用。
- 练习题：让学生解决一些实际问题，培养他们的分析和解决问题的能力。
六、教学反馈1. 授课结束前，进行知识总结，梳理重点。
2. 布置作业，巩固学生对知识点的掌握。
3. 随堂检测，检查学生对知识的理解情况。
七、教学资源1. 教材：教科书相关章节。
2. 影音资料：多媒体课件、相关视频等。
3. 习题集：相关习题集，作业册。
八、教学总结通过本节课的学习，学生应该掌握了指数的概念与性质，以及指数幂的计算规则。
并能够运用所学知识进行求解实际问题。
以上为本节课的教学大纲，希望能够帮助学生掌握指数与指数幂的相关知识，提高数学学习的效果。
如有任何问题，请随时与我联系。
新课标人教版必修一指数与指数幂运算课件(共16张PPT)
变式：
2 x a , b 已知 是方程 6 x 4 0的两个根，且 a b 0
求：
a b a b
的值。
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
课堂总结：
1:根式的概念与相关的结论
2：指数幂运算的推广：
整数
有理数
实数
3：指数的运算性质： 求值与化简（：代 兵
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
知识要点：
1:根式的概念: n n次方根：一般地，若 x (其中n ＞1，且n∈Ｎ*) a的n次方根用符号
a ,则x叫做a的n次方根，
n
a
表示，其中n称为根指数，a为被开方数.
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
a p (a 0, p是一个无理数)
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
4：指数幂的运算性质：
a a a
r s r s rs r
r s
(a 0, r R, s R)
r
(a ) a (a 0, r R, s R) (a b) a b (a 0, b 0, r R)
m n
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即：
a
m n
1 a
m n
(a 0, m, n N * )
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
3：无理数指数幂: 一般来说，无理数指数幂 是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无 理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不 足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.
指数与指数幂的运算(第一课时)教案
2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算(第一课时)一、教材分析：本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1指数函数的内容. 二、学习目标：①理解n 次方根与根式的概念;②正确运用根式运算性质化简、求值; ③了解分类讨论思想在解题中的应用.三、教学重点：理解有理数指数幂的含义及其运算性质．四、教学难点：理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求n 次方根的运算.五、课时安排：2课时 六、教学过程（一）、自主导学（课堂导入）1、设计问题,创设情境问题:当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题:①当生物死亡了5730,2×5730,3×5730,…年后,它体内碳14的含量P 分别为原来的多少?21，,...)21(,)21(32 ②当生物体死亡了6000年,10000年,100000年后,它体内碳14的含量P 分别为原来的多少?573010000057301000057306000)21(,)21(,)21(③由以上的实例来推断生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系式应该是什么?573021tp ⎪⎭⎫ ⎝⎛=考古学家根据上式可以知道,生物死亡t 年后,体内碳14含量P 的值.那么这些数21，,...)21(,)21(32,573010000057301000057306000)21(,)21(,)21(，573021t p ⎪⎭⎫ ⎝⎛=的意义究竟是什么呢?这正是我们将要学习的知识.2、学生探索,尝试解决问题1:什么是一个数的平方根?什么是一个数的立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?若x2=a,则x叫做a的平方根.同理,若x3=a,则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数.问题2:如果x4=a,x5=a,又有什么样的结论呢?如果一个数的4次方等于a,那么这个数叫做a的4次方根;如果一个数的5次方等于a,那么这个数叫做a的5次方根.问题3:①如果x2=a,那么x叫做a的平方根;②如果x3=a,那么x叫做a的立方根;③如果x4=a,那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论?一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根.问题4:上述结论中的n的取值有没有什么限制呢?方根的定义:一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.3、信息交流,揭示规律试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.(多媒体显示,学生完成)(1)25的平方根是±5;(2)27的立方根是3;;(3)-32的5次方根是-2;(4)16的4次方根是±2;(5)a6的立方根是a2;(6)0的7次方根是0.问题5:观察并分析以上各数的方根,你能发现什么?①以上各数的对应方根都是整数;②第(1)(4)题的答案有两个,第(2)(3)(5)(6)题的答案只有一个;③第(1)(4)题的答案中的两个根互为相反数.问题6:请仔细分析上述各题,并结合问题5中同学们发现的结论,你能否得到一个一般性的结论?一个数的奇次方根只有一个;一个数的偶次方根有两个,且互为相反数.问题7:是否任何一个数都有偶次方根?0的n次方根如何规定更合理?因为任何一个数的偶次方都是非负数,所以负数没有偶次方根;0的n次方等于0,所以0的n次方根等于0.问题8:同学们能否把所得到的结论再总结得具体一些呢?n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广,因此跟立方根和平方根的情况一样,方根也有如下性质:(1)当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a的n次.(2)当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正的n次,负的n.正的n次方根与负的na>0).注:①负数没有偶次方根;②0的任何次方根都是0,记作n 0=0;③当a ≥0时,n a ≥0,所以类似416=±2的写法是错误的. 另外,我们规定:式子n a 叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 问题9:利用上面所学n 次方根的知识,能否求出下列各式的值? (1)(5)2;(2)38-;(3)416;(4)33)3(-a (a>0). (1)5;(2)-2;(3)2;(4)a-3.问题10:上面的计算涉及了哪几类问题? 主要涉及了(a)n 与n a 的问题.组织学生结合例题及其解答,进行分析讨论,归纳出以下结论: (1)(n a )n =a.例如,(3)3=27,(-2)5=-32. (2)当n 是奇数时,nn a =a ;当n 是偶数时,nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0(,)0(,a a a a 例如,33)2(-=-2,442=2;553=3,()883-=|-3|=3.4、类比前面的学习，给出并讲解分数指数幂的定义和运算性质 分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．（1）．有理指数幂的运算性质①r a ·s r r a a +=),,0(Q s r a ∈>；②rss r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；③srra a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>．引导学生解决本课开头实例问题 让学生先看并一起分析讲解例题．（教材例2、例3、例4、例5）说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用． 4． 无理指数幂结合教材实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．（二） 、合作学习让学生合作做练习，教师巡视指导然后讲解例题.【例1】求下列各式的值:(1)33)8(-;(2)2)10(-; (3)44)3(π-;(4)2)(b a -(a>b ).解：（1）33)8(-=-8；（2）2)10(-=10-=10；（3）44)3(π-=;33-=-ππ（4）2)(b a -=.b a b a -=- 例2、 计算下列各式的值. （1）33)(a ；（2 （1n >，且n N *∈）（3）1n >，且n N *∈） 【解析】（1）a a =33)(.（2）当n =3π-；当n =3π-.（3）||x y -，当x y ≥时，x y -；当x y <时，y x -.【小结】（1）当n 为奇数时，a a nn =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn（2）不注意n 的奇偶性对式子n na 值的影响，是导致错误出现的一个重要原因.故要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用.（三）、当堂检测 1.课本.321,54题、、p2、（P 56，例2）求值：①238；②1225-；③51()2-；④3416()81-.学生思考，口答，教师板演、点评． 2、解：① 223338(2)=2323224⨯===； ② 1122225(5)--=12()121555⨯--===； ③ 5151()(2)2---=1(5)232-⨯-==；④334()44162()()813-⨯-=3227()38-==3、用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）①3a 2a 分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.解：①117333222a a a a a +=⋅==②2223a a a =⋅28233aa +==；③421332()a a ====.（四）、课堂小结（教师根据学生具体的的学习接受情况提问并和学生一起做总结概括)先让学生独自回忆，然后师生共同总结．本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则． 以下是本节课重要知识点及需要理解的概念： 1．分数指数是根式的另一种写法. 2．无理数指数幂表示一个确定的实数.3． 掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.1.复习课本P 48~50内容,熟悉巩固有关概念和性质;2.课本P 59习题2.1A 组第1、2、4题. 八、教学反思：。
人教版高一数学必修一2.指数与指数幂的运算第一、二、三课时
2.当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时,根式也可以写成分数指数幂的形式.
2
如: 3 a2 a3;
1
5
b b 2 (b 0); 4 c 5 c 4 (c 0).
分数指数幂
2.1.1 指数与指数幂的运算
1)规定正数的正分数指数幂的意义:
m
a n n a m (a 0, m`n N ,且n 1)
生 物 体 内 碳14含 量 与 死 亡 年 数t之 间 的 关 系
P
(
1
)
t 5730
由 此 可 知 2：
当 生 物 死 亡 了1年 ，2年 ，10年 ， ，10000年 后 ， 该
生 物 体 内 碳14的 含 量P的 值 分 别 是
P
(
1
)
1 5730
,
2
P
(
1
)
2 5730
,
2
P
(
1
)
10 5730
3.求下列各式的值 : (1)6 ( x y)6 ; (2)3 (27); (3) ( 2 3)2 ; (4) x6 .
4.下 列 各 式 中,正 确 的 是( C )
A.6 (2)2 3 2 B.4 (3 )4 3
C .(3 2 )3 2 D.6 (2a 1)6 2a 1
讨论：5 2的结果？
2.1.1 指数与指数幂的运算
由上表不难发现： 当 2的不足近似值从小于 2的方向逼近 2时，
5 2的近似值从小于5 2的方向逼近5 2； 当 2的过剩近似值从大于 2的方向逼近 2时，
5 2的近似值从大于5 2的方向逼近5 2.
结论：一般地，无理指数幂a (a 0,是无理数)是一个确定
最新人教版高一数学《指数函数》教案15篇
人教版高一数学《指数函数》教案15篇人教版高一数学《指数函数》教案15篇人教版高一数学《指数函数》教案(1)课题：§2.1.2指数函数及其性质教学任务：（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．教学重点：指数函数的的概念和性质．教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．教学过程：一、引入课题（备选引例）1．（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？到2050年我国的人口将达到多少？你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？2．上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？3．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？4．上面的几个函数有什么共同特征？二、新课教学（一）指数函数的概念一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P68例2、3）（二）指数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．探索研究：1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）（2）（3）（4）（5）2．从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系？可否利用的图象画出的图象？3．从画出的图象（、和）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有；（4）当时，若，则；（三）典型例题例1．（教材P56例6）．解：（略）例2．（教材P57例7）解：（略）巩固练习：（教材P59习题A组第7题）三、归纳小结，强化思想本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法．四、作业布置1．必做题：教材P59习题2．1（A组）第5、6、8、12题．2．选做题：教材P60习题2．1（B组）第1题．人教版高一数学《指数函数》教案(2)3.1.2指数函数的概念教学设计一、教学目标：知识与技能：理解指数函数的概念，能够判断指数函数。
高一 指数与指数函数知识点+例题+练习 含答案
1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a s a t ＝a s ＋t ，(a s )t ＝a st ，(ab )t ＝a t b t ，其中a >0，b >0，s ，t ∈Q . 2．指数函数的图象与性质y ＝a xa >10<a <1图象定义域 (1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0,1)(4)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1 (5)当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a .( × )(2)分数指数幂a m n可以理解为mn 个a 相乘．( × )(3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( × ) (4)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( × ) (5)函数y ＝21＋x a (a >1)的值域是(0，＋∞)．( × )(6)函数y ＝2x－1是指数函数．( × )1．函数f (x )＝a x －1 (a >0，且a ≠1)的图象经过定点坐标为__________． 答案 (1,1)解析 令x －1＝0得x ＝1，此时y ＝a 0＝1，所以点(1,1)与a 无关，所以函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)的图象过定点(1,1)．2．函数f (x )＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是______．(填图象序号)答案 ④解析 函数f (x )的图象恒过(－1,0)点，只有图象④适合． 3．计算：3×31.5×612＋lg 14－lg 25＝________.答案 1解析3×31.5×612＋lg 14－lg 25＝312×131332×316×213－lg 4－lg 25＝3－lg 100＝3－2＝1.4．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.5．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 答案 [0,8)解析 ∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴0<23－x ≤23＝8，∴0≤8－23－x <8， ∴函数y ＝8－23－x 的值域为[0,8)．题型一 指数幂的运算例1 化简：(1)a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a13-b13(a >0，b >0)；(2)(－278)－23＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.解 (1)原式＝1122323311233a b a b ab a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝3111111226333＋－＋＋－－a b ＝ab －1. (2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝________________________________________________________________________. (2)(14)12-·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12＝________. 答案 (1)0 (2)85解析 (1)原式＝253125641000-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎢⎥⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭－⎝⎛⎭⎫27813－1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4103152()523⨯-⨯－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32313－1＝52－32－1＝0. (2)原式＝2×432×a 32b32-10a 32b32-＝85. 题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是________． ①a >1，b <0； ②a >1，b >0； ③0<a <1，b >0； ④0<a <1，b <0.(2)(2015·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 答案 (1)④ (2)[－1,1]解析 (1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. (2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象之间的关系，下列判断正确的是________．①关于y 轴对称； ②关于x 轴对称； ③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．(2)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________． ①a <0，b <0，c <0; ②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c; ④2a ＋2c <2. 答案 (1)① (2)④ 解析 (1)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x＝2－x ， ∴它与函数y ＝2x 的图象关于y 轴对称． (2)作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图， ∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知 0<f (a )<1，a <0，c >0， ∴0<2a <1.∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1， ∴f (c )<1，∴0<c <1.∴1<2c <2，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1， 又∵f (a )>f (c )，∴1－2a >2c －1， ∴2a ＋2c <2.题型三 指数函数的图象和性质命题点1 比较指数式的大小例3 (1)下列各式比较大小正确的是________． ①1.72.5>1.73; ②0.6－1>0.62； ③0.8－0.1>1.250.2;④1.70.3>0.93.1.(2)设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 (1)②④ (2)a >c >b解析 (1)①中， ∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数， 2．5<3，∴1.72.5<1.73，错误；②中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确；③中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； ④中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，正确． (2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x为减函数， ∴⎝⎛⎭⎫2535<⎝⎛⎭⎫2525 即b <c ，又a c ＝⎝⎛⎭⎫3525⎝⎛⎭⎫2525＝⎝⎛⎭⎫3225>⎝⎛⎭⎫320＝1， ∴a >c ，故a >c >b .命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－3,1)解析 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)．命题点3 和指数函数有关的复合函数的性质例5 设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．解 因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1，f (x )＝a x －a －x . (1)因为f (1)>0，所以a －1a>0，又a >0且a ≠1，所以a >1.因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a >0，所以f (x )在R 上为增函数，原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )， 所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0， 所以x >1或x <－4.所以不等式的解集为{x |x >1或x <－4}． (2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x ) ＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32，所以原函数为ω(t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，所以当t ＝2时，ω(t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)． 即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2. 思维升华 指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．(1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．(2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1422－x x 的值域为__________． 答案 (1)(－∞，4] (2)(0,4]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．(2)令t ＝x 2－2x ，则有y ＝⎝⎛⎭⎫14t，根据二次函数的图象可求得t ≥－1，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x的图象可得0<y ≤⎝⎛⎭⎫14－1，即0<y ≤4.4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用典例 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________． (2)函数f (x )＝2211()2－＋＋x x 的单调减区间为_________________________．思维点拨 (1)求函数值域，可利用换元法，设t ＝⎝⎛⎭⎫12x，将原函数的值域转化为关于t 的二次函数的值域．(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求． 解析 (1)因为x ∈[－3,2]， 所以若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8， 故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数值域为⎣⎡⎦⎤34，57. (2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数， ∴函数f (x )＝2211()2－＋＋x x 的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]． 答案 (1)⎣⎡⎦⎤34，57 (2)(－∞，1]温馨提醒 (1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[方法与技巧]1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值，再进行比较． 2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，一定要分清a >1与0<a <1. 3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成． [失误与防范]1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <1，f (x －2)，x ≥1，则f (log 27)的值为________．答案 74解析 由于log 24<log 27<log 28，即2<log 27<3，log 27－2＝log 274<1，因此f (log 27)＝f (log 27－2)＝f ⎝⎛⎭⎫log 274＝227log 4＝74. 2．已知a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝(12)2.5，则a ，b ，c 的大小关系是__________．答案 a >b >c解析 a >20＝1，b ＝1，c <(12)0＝1，∴a >b >c .3．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是____________．答案 [2，＋∞)解析 由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．4．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点． ①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.5．计算：⎝⎛⎭⎫3213-×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－ ⎝⎛⎭⎫－2323＝________.答案 2 解析 原式＝113133442222 2.331＋－＝⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．已知函数y ＝a x ＋b (b >0)的图象经过点P (1,3)，如图所示，则4a －1＋1b 的最小值为______． 答案 92解析 由函数y ＝a x＋b (b >0)的图象经过点P (1,3)，得a ＋b ＝3，所以a －12＋b 2＝1，又a >1，则4a －1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －1＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋b 2＝2＋12＋2b a －1＋a －12b ≥52＋22b a －1·a －12b＝92，当且仅当2b a －1＝a －12b ，即a ＝73，b ＝23时取等号，所以4a －1＋1b 的最小值为92. 7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．答案 m >n解析 ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝3x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 8．已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________． 答案 0解析 当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0. 9．已知函数()43132－＋＝ax x f x ⎛⎫⎪⎝⎭(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2]上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2]．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.10．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x －⎝⎛⎭⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x ＋⎝⎛⎭⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数．∴f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立，⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立， ⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝⎛⎭⎫t ＋122≤0， 又⎝⎛⎭⎫t ＋122≥0，∴⎝⎛⎭⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立． B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是____________． 答案 f (－4)>f (1)解析 由题意知a >1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)．12．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则在直角坐标系中函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫1a |x ＋b |的图象为________．答案 ②解析 f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，取等号时x ＋1＝9x ＋1，此时x ＝2.所以a ＝2，b ＝1，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x ＋1|.g (x )的图象可以看作是y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象向左平移一个单位得到的，②符合要求．13．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a 5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－23，34 解析 由题意，得x <0，所以0<⎝⎛⎭⎫32x <1，从而0<2＋3a 5－a<1，解得－23<a <34. 14．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1,2) 解析 原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.15．已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求函数f (x )在(－1,1)上的解析式；(2)判断f (x )在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f (x )＝λ在(－1,1)上有实数解？解 (1)∵f (x )是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)＝0.设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x4x ＋1＝－f (x )， ∴f (x )＝－2x 4x ＋1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 4x ＋1，x ∈(－1，0)，0，x ＝0，2x4x ＋1，x ∈(0，1).(2)设0<x 1<x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝(1222x x -)＋(221221＋2＋2－x x x x )(41x ＋1)(42x ＋1)＝(21x －22x )(1－212＋x x )(41x ＋1)(42x ＋1)， ∵0<x 1<x 2<1，1222，x x ∴< 120221＋＝，x x >∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在(0,1)上为减函数．(3)∵f (x )在(0,1)上为减函数，∴2141＋1<f (x )<2040＋1，即f (x )∈⎝⎛⎭⎫25，12. 同理，f (x )在(－1,0)上时，f (x )∈⎝⎛⎭⎫－12，－25. 又f (0)＝0，当λ∈⎝⎛⎭⎫－12，－25∪⎝⎛⎭⎫25，12， 或λ＝0时，方程f (x )＝λ在x ∈(－1,1)上有实数解.。
高一数学指数与指数幂的计算题及答案解析
高一数学知识点 幂函数
定义：
形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域：
当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于 0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果 同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为 不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大 于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的 值域
定义
一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又 是偶函数，称为既奇又偶函数。
高一数学指数与指数幂的计算题（一） 1.将532写为根式，则正确的是( ) A.352 B.35 C.532 D.53 解析：选D.532=53. 2.根式 1a1a(式中a>0)的分数指数幂形式为( ) A.a-43 B.a43 C.a-34 D.a34 解析：选C.1a1a= a-1• a-1 12= a-32=(a-32)12=a-34. 3. a-b 2+5 a-b 5的值是( ) A.0 B.2(a-b) C.0或2(a-b) D.a-b 解析：选C.当a-b≥0时， 原式=a-b+a-b=2(a-b); 当a-b<0时，原式=b-a+a-b=0. 4.计算：(π)0+2-2×(214)12=________. 解析：(π)0+2-2×(214)12=1+122×(94)12=1+14×32=118. 答案：118
高一数学指数与指数函数
6.已知函数 f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, g(x)=3ax-4x 的定义域为 [0, 1]. (1)求 g(x) 的 解析式; (2)求 g(x) 的单调区间, 确定其增减性并用定义证明; (3)求 g(x) 的值域.
解: (1)∵f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, ∴g(x)=(3a)x-4x=2x-4x.
∵ y=e-x 是 R 上的减函数, ∴ y=-e-x 是 R 上的增函数. 又∵ y=ex 是 R 上的增函数, ∴ y=ex -e-x 是 R 上的增函数. ∴ f(x) 的反函数 f-1(x) 也是 R 上的增函数. 综上所述, f-1(x) 是奇函数, 且是 R 上的增函数.
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∴f(a+2)=3a+2=18. 即 g(x)=2x-4x.
∴3a=2.
(2)令 t=2x, 则函数 g(x) 由 y=t-t2 及 t=2x 复合而得. 由已知 x[0, 1], 则 t[1, 2], ∵t=2x 在 [0, 1] 上单调递增, y=t-t2 在 [1, 2] 上单调递减, ∴g(x) 的定义域区间 [0, 1] 为函数的单调递减区间.
∴ -2≤g(x)≤0 .
故函数 g(x) 的值域为 [-2, 0].
x e 7.设 a>0, f(x)= a - ax 是 R 上的奇函数. (1)求 a 的值; (2)试判 e 断 f(x) 的反函数 f-1(x) 的奇偶性与单调性. 1 解: (1)∵ f(x) 是 R 上的奇函数, ∴f(0)=0, 即 a -a=0. ∴a2=1. ∵a>0, ∴a=1. 此时, f(x)=ex-e-x是 R 上的奇函数. ∴a=1 即为所求. (2)由 (1) 知 f(x)=ex-e-x, xR, f(x)R. ∵ f(x) 是奇函数, ∴ f(x) 的反函数 f-1(x) 也是奇函数.
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导入（进入美妙的世界啦~）
问题：当生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。
根据此规律，人们想获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t的关系。
得出关系式：
5730
1
2
t
P
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
基于时间的连续性和死亡生物体碳14含量变化的连续性，说明引进分数指数幂必要性。
知识典例（注意咯，下面可是黄金部分！）
1、一般地，若n x a
=,那么x叫做a的n次方根，其中1
n>,n*
∈N.
例如：328
=2
=
2radical），这里n叫做根指数（radical exponent），a叫做被开方数（radicand）.
n次幂= a）或：n=a
3、结论：n a
=. 当n a
=；当n
(0)
||
(0)
a a
a
a a
≥
⎧
==⎨
-<
⎩
. 4、
5、规定分数指数幂：
①*
(0,,,1)
m
n
a a m n N n
=>∈>；
②
*
1
(0,,,1)
m
n
m
n
a a m n N n
a
-
==>∈>
5、小结：
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
指数幂的运算性质：
r
a·r r s
a a+
=；()r s rs
a a
=；
()r r s
ab a a
=．（0,0,,
a b r s Q
>>∈）【题型一、根式的概念及运算】
【例1】求下类各式的值：
（1）；（2）；
（3；（4）（a b
<）.
【例2】（1）求值：
2
3
27；
4
3
16-；3
3
()
5
-；
2
3
25
()
49
-
.
（2）蒋上述各式化为根式.
【题型二、分数指数幂运算】
【例3】用分数指数幂的形式表示下列各式(0)
b>：
（1）2b（2）3b；（3
【例4】 计算（下列各式中字母均正）：
（1）2115113
3
6
6
2
2
(3)(8)(6)a b a b a b -÷-； （2）3116
84
()m n .
【例5】 计算：
（1
(0)a >；
（2）312
10
3652
(2)()m n m n --÷- (,)m n N *∈；
（3）.
【归纳总结】
1.在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.
2.重点掌握：①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.
知识拓展
1. 整数指数幂满足不等性质：若0a >，则0n a >.
2. 正整数指数幂满足不等性质： ① 若1a >，则1n a >；
② 若01a <<，则01n a <<. 其中n ∈N *.
强化练习（挑战一下自己吧~）1.计算或化简下列各式.
（1；（2.
2.
3. 化简
4. 把
8
5
-
⎝⎭
化成分数指数幂.
5. 计算：（1
； （2
.
6. 已知:51
=--a
a ，且0>a ,求下列各式的值：
① 1-+a a ； ②22-+a a ； ③3
22
1212
32
3+-+---a
a a a ．
（
一日悟一理，日久而成学）
一、方法小结:
二、本节课我做的比较好的地方是： 三、我需要努力的地方是：
回顾小结
课后作业
的值是（ ）.
A. 3
B. －3
C. ±3
D. 81
2. 625的4次方根是（ ）.
A. 5
B. －5
C. ±5
D. 25
3.
化简2是（ ）. A. b - B. b C. b ± D. 1b
4.
= .
5.
计算：3= ；
6. 若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是（ ）. A. m m
n
n
a a a ÷= B. m n mn a a a ⋅=
C. ()n
m m n a a += D. 01n n a a -÷=
7. 化简32
25的结果是（ ）.
A. 5
B. 15
C. 25
D. 125
8.
计算(12
2
-
-⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
的结果是（ ）.
A
B
．
D
．
9. 化简2327-= .5
10. 若102,104m n ==，则32
10m n -= .
11.计算：1221
21
(2)()248
n n n ++-⋅的结果
12.（1 （2）211511
336622
1()(3)()3a b a b a b ⋅-⋅÷
（3）211
5113
3
66
2
2
(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （42
；
13.（1）a a a a ．
（2）5.02120)01.0()412(2)532(-⋅+--； （3）21
75.003125.016)8
7
(064.0++---．。