直线中的对称问题PPT课件
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人教版八年级数学上册课件：13.1 轴对称(共25张PPT)
的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和
结论． 原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”， 结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”．
此时 ， 逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线 段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平 分线上．” 写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，那么 需证明它；如果假 ，那么需用反例说明．请同学们自行在 练习册上完成． 学生给出了如下的四种证法．
M A A′
P
B C C′ B′
N
下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明 理由吗？
l
A B
A′ B′
(一)线段的垂直平分线的性质
教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什
么发现？
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点， 分别量一量点 P1 ， P2 ， P3…到点 A 与点 B 的距离，你有什么 发现？ 学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等． 性质的证明：
证得PA＝PB. 教师要求学生自己写已知 ， 求证，证明过程．学 生证明完后教师板书证明过程供学生对照．
已知：MN⊥AB，垂足为点 C ， AC ＝ BC ，点 P 是直线 MN 上任 意一点．求证：PA＝PB. 证明：在△APC和△BPC中，
∵PC＝PC(公共边)，∠PCA＝∠PCB(垂直的定义)，
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的 部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这 条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关
于这条直线（成轴）对称．
猜字游戏: 在艺术字中,有些汉字是轴对称的，你能猜一猜下 列是哪些字的一半吗？
问题2 观察下面每对图形（如图），你能类比前面的 内容概括出它们的共同特征吗？
《轴对称》PPT课件
轴对称
问题一： 你能从几何学的角度刻划画面中的 两个图形的特点吗
从大小 形状 位置去考虑
轴对称概念的准确描述
把一个图形沿着某一条直线折叠;如 果它能与另一个图形重合;那么就说 这两个图形关于这条直线对称 两个图形中的对应点叫做关于这条 直线的对称点
这条直线叫做对称轴 两个图形关于直线 对称也叫做轴对称
思维的延伸
１ 已知：如图;ＣＤ是△ＡＢＣ的外角平分 线;ＢＤ⊥ＣＤ;ＢＤ的延长线交ＡＥ于点Ｆ; 求证：点Ｂ与点Ｆ关于ＣＤ对称
ＦＥ
Ｃ Ｄ
Ｂ Ａ
能力训练
如图：某同学打台球时想通过击主球Ａ;使主 球Ａ撞击桌边ＭＮ后反弹回来击中彩球Ｂ;请 画出主球Ａ的运动路线
A B
Ｍ
Ｎ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｈ
B1
综合创新
设AD是△ABC的∠BAC的平分线;过A引直 线MN⊥AD;过Ｂ作ＢＥ⊥MN于Ｅ;求证： △EBC的周长大于△ABC的周长
概念理解与归纳
轴对称涉及两个图形;它们能完 全重合;因此;轴对称是指两个图 形之间的形状与位置关系
概念对两图形的重合有限制; 它们的位置关系必须满足沿 某一条直线对折后能重合
观察图形归纳特性
从两图形大小 形状来看：
定理1 关于某条直线对称的两 个图形是全等形
从两图形 位置来看：
定理2 如果两个图形关于某条直 线对称;那么对称轴是对应点连 线的垂直平分线
M EA
B D
C1 N
C
课后思考：
1 沿着等腰三角形底边上 的高对折;高两边的图形 完全重合吗 2 沿着直角三形斜边上的 高对折;高两边的图形完 全重合吗
小结
概念 定理 应用
轴 对 称 知 识 结
问题一： 你能从几何学的角度刻划画面中的 两个图形的特点吗
从大小 形状 位置去考虑
轴对称概念的准确描述
把一个图形沿着某一条直线折叠;如 果它能与另一个图形重合;那么就说 这两个图形关于这条直线对称 两个图形中的对应点叫做关于这条 直线的对称点
这条直线叫做对称轴 两个图形关于直线 对称也叫做轴对称
思维的延伸
１ 已知：如图;ＣＤ是△ＡＢＣ的外角平分 线;ＢＤ⊥ＣＤ;ＢＤ的延长线交ＡＥ于点Ｆ; 求证：点Ｂ与点Ｆ关于ＣＤ对称
ＦＥ
Ｃ Ｄ
Ｂ Ａ
能力训练
如图：某同学打台球时想通过击主球Ａ;使主 球Ａ撞击桌边ＭＮ后反弹回来击中彩球Ｂ;请 画出主球Ａ的运动路线
A B
Ｍ
Ｎ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｈ
B1
综合创新
设AD是△ABC的∠BAC的平分线;过A引直 线MN⊥AD;过Ｂ作ＢＥ⊥MN于Ｅ;求证： △EBC的周长大于△ABC的周长
概念理解与归纳
轴对称涉及两个图形;它们能完 全重合;因此;轴对称是指两个图 形之间的形状与位置关系
概念对两图形的重合有限制; 它们的位置关系必须满足沿 某一条直线对折后能重合
观察图形归纳特性
从两图形大小 形状来看：
定理1 关于某条直线对称的两 个图形是全等形
从两图形 位置来看：
定理2 如果两个图形关于某条直 线对称;那么对称轴是对应点连 线的垂直平分线
M EA
B D
C1 N
C
课后思考：
1 沿着等腰三角形底边上 的高对折;高两边的图形 完全重合吗 2 沿着直角三形斜边上的 高对折;高两边的图形完 全重合吗
小结
概念 定理 应用
轴 对 称 知 识 结
直线的对称问题
=-1
y
··A′ (x，y)
A·
(2，6)
3 -4+x ·2
+
42+y-2=0
解题要点： k • kAA’ = -1
O
x
AA’中点在l 上（l为对称轴）
点关于直线的对称问题
M (a,b)关于直线l : Ax By C 0(B 0)
的对称点N (x0 , y0 )的求法：
A x0 2
B(45， 85)
l2
l1 y
A
o.
B
.E
x
故直线l2的方程为：y2((285) )
x3
3
4 5
即 2x 11y 16 0 .
求L1关于 L2的对称直线L的方程的方法
解题要点：(先判断两直线位置关系)
（1）若两直线相交，先求交点P, 再在 L1上取一点Q求其对称点得另一点Q’ 两点式求L方程
P
垂直
l
中点 O
Q
说明两点P和Q关于直线l对称的几何特征
直线l是线段PQ的垂直平分线，即 1.线段PQ的中点在直线l上， 2.线段PQ和直线l垂直
y
P
Q
O
x
例题.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方程为3x+y2=0,求点A关于直线l 的对称点A’的坐标。
解：设 A（′ x,y)
-3·
y-4 x-(-4)
5.直线关于直线y= -x的对称直线的 方程为 A( y) B(x) C 0
练习：求直线3x-2y+6=0关于直线x-2y+1=0的对
称的直线方程。
分析：在直线3x-2y+6=0上取一点 A（0,3），求它关于直线x2y+1=0的对称点为B（2，-1）。
直线的对称问题
三、规律方法： （一）常见的对称点结论
• 1. 点 ( a, b) 关于原点的对称点为
(-a,-b) (a,-b) (-a,b) (b , a ) (-b,-a)
;
• 2. 点 ( a, b) 关于点(m, n)的对称点为(2m-a,2n-b) ;
• 3. 点 ( a, b) 关于x轴的对称点为
• 4. 点 ( a, b) 关于y轴的对称点为
P
/
P
x
P ( x , y )在直线x y 2 0上
/ / /
o
4 x 3 y 9 3x 4 y 3 2 0 5 5
整理得： 7 x y 22 0
练习 1、已知直线l : y 3x 3, 求 (1)点A(5,3)关于直线l的对称点的坐标； (2)求直线l1 : x y 2 0关于直线l对称的直线方程l2 .
(2)设P( x, y)是直线l2上 任意一点
P / ( x / , y / )是点P关于直线y 3x 3的对称点
y
PP l
/
P
/
/
所以 k PP/
y y 1 1 即 / 3 x x 3
P
x
o
又 PP/的中点在直线 y 3x 3上
y y/ x x/ 3 3 2 2
7x 24y 6 24x 7 y 8 4 0 25 2
10
求L1关于 L2的对称直线L的方程的方法
解题要点：(先判断两直线位置关系)
（1）若两直线相交，先求交点P, 再在 L1上取一点Q求其对称点得另一点Q’ 两点式求L方程 (2)若 L1 ‖ L ，设 L方程为x-y+m=0 2 则 L1与 L2距离等于L2 与 L距离 建立等量关系，解方程求m
对称问题PPT完美课件
点M（或直线l）的对称点仍在C上 .
1．两点之间的中心对称
如果点P1(x1, y1), P2(x2, y2),关于点M(a, b)对称，
那么点M是线段P1P2的中点，
y
根据中点坐标公式有：
.P 1(x 1,y1)
x1 x2 2 a
y1
y2
2b
M(a,b)
.x . O
P 2(x 2,y 2)
|AB | 5
B
在 RA t B 中 |C B|C 1， ta nABC 2.C o
x
设所求直线斜率为 k
则
k ( 3) 4
1 ( 3) k
2 k1或k11
2
2
4
故所求直线 x2方 y4 程 0或 1 为 x 1： 2y16 0.
对称问题PPT完美课件
对称问题PPT完美课件
巩固1.光线沿着x直 2y线 50射入 ,遇到直线
则点P关于点A(1,2)的对称点为 Q(2x,4y)
由点Q在直线 x－y＋2=0上得 (2 x ) (4 y) 2 0
即 x y 0 为所求对称直线方程.
. y
l
Q
l’
.. A P
②点A(1,2)关于直线x－y＋2=0对称的点为 ；
解：设所求的对称点为 A(x, y), 则
1 x
2 y
2
x 1
1
2 y 2
1
2
0
x
y
0 3
A(0,3).
对称问题PPT完美课件
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③直线x－y＋2=0关于点A(1,2)对称的直线为
；
解：在直线 x－y＋2=0上取两点P1(－2,0)，P2(0, 2)， 设它们关于点A(1,2)对称点Q1(x1, y1), Q2(x2, y2), 则中点公式得
1．两点之间的中心对称
如果点P1(x1, y1), P2(x2, y2),关于点M(a, b)对称，
那么点M是线段P1P2的中点，
y
根据中点坐标公式有：
.P 1(x 1,y1)
x1 x2 2 a
y1
y2
2b
M(a,b)
.x . O
P 2(x 2,y 2)
|AB | 5
B
在 RA t B 中 |C B|C 1， ta nABC 2.C o
x
设所求直线斜率为 k
则
k ( 3) 4
1 ( 3) k
2 k1或k11
2
2
4
故所求直线 x2方 y4 程 0或 1 为 x 1： 2y16 0.
对称问题PPT完美课件
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巩固1.光线沿着x直 2y线 50射入 ,遇到直线
则点P关于点A(1,2)的对称点为 Q(2x,4y)
由点Q在直线 x－y＋2=0上得 (2 x ) (4 y) 2 0
即 x y 0 为所求对称直线方程.
. y
l
Q
l’
.. A P
②点A(1,2)关于直线x－y＋2=0对称的点为 ；
解：设所求的对称点为 A(x, y), 则
1 x
2 y
2
x 1
1
2 y 2
1
2
0
x
y
0 3
A(0,3).
对称问题PPT完美课件
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③直线x－y＋2=0关于点A(1,2)对称的直线为
；
解：在直线 x－y＋2=0上取两点P1(－2,0)，P2(0, 2)， 设它们关于点A(1,2)对称点Q1(x1, y1), Q2(x2, y2), 则中点公式得
沪教版数学高二下-1直线中的对称问题PPT全文课件
6
y
l2 : 2x y 1 0
l2
:
2x
y
1
0的
交
点
为(
1 3
,
1 3
),
4
显 然 所 求 直 线 斜 率 存 在， 可 设 所
求 直 线 方 程 为y 1 k(x 1 )，
3
3
即k x y 1 k 1 0, 在 直 线 33
l-215 : 2x y 1 0上 取 点-10(0,1)， 利 用
，
P(x0 , y0 )
2
解方程-组15 aa(yx2yx00)
b(x x0 ) b y y0
2 -10
c
0
-5
o
5x
解出x, y，即得P点的坐标
-2
l：ax by c 0
-4
沪教版数学高二下-1直线中的对称问 题PPT全 文课件 【完美 课件】
-6
线线对称
8
例4 求直线 l1:2x y 6 0关于直线l: 2x y 1 0对称的直线方程
(5,2)
-15
-10
-5
(3,0)
o
(4,0)5 x
2x y 6 0
-2
沪教版数学高二下-1直线中的对称问 题PPT全 文课件 【完美 课件】
线点对称
例2 求直线 l: 2x y 6 0 关于点 M(1,1) 对称的直线方程
解 法 二 ： 由 中 心 对 称 性质 可 知 ， 所 求 直 线 与 已 知直 线 平 行 ， 故 可 设 所 求 直线 为2x y c 0， 由 点M(1,1) 到直线的距离公式得
(2,2)
2
(2,0)
-5
1o 1
必修二3.2直线的方程-直线方程中的对称问题
②
2
2
联立①② 解得m=9 n= -7
∴B( b) l:AxByc0 A'
【训练】
已知在△ABC中，顶点A(2，1)，B(-2，0)， ∠C的平分线所在直线的方程为x+y=0. (1)求顶点C的坐标. (2)求△ABC的面积.
【解析】(1)B(-2，0)关于直线x+y=0的对称点B′(0，
对称问题
中心对称问题
点关于于点的对称
对 称 问 题
轴对称问题
线关于点的对称 点关于线的对称
线关于线的对称
一.中心对称(关于点的对称)
（一）点关于点对称
1.点A（2，3）关于坐标原点的对称点的坐标 _(_-_2_,_-_3_)__。 2.求点A（2，3）关于点B（-1，1）的对称点 的坐_(_-__4_,__-__1_)_。
2)，AB′的直线方程为x+2y-4=0，
联立
x x
2y 4 y0
0,
解得
x y
4， 4,
所以C(-4，4).
(2)|AB|= 42 12 A1B7方, 程为:x-4y+2=0，
点C到AB的距离d=4 16 2 18 ，
17
17
所以，S△ABC=
1 2
AB
d
1 2
17
18 9. 17
解：x-y-2=0 得 P(- 5 ，- 9 ) L y L2
3x-y+3=0
22
L1
在 L1上任取一点Q(2,0),
Q’(x,y)
· · 求其关于y-L02的对称点Q’(x,y)
O
Q(2,0),
· 则 3· x-2 =-1
X
《轴对称的再认识》课件
轴对称在建筑设计中的应用
建筑设计中的对称原则
在建筑设计中，轴对称是一种常见的构图手法。通过将建筑 物的不同部分进行对称布局，可以创造出更加平衡、和谐和 稳定的视觉效果。
轴对称在建筑结构中的作用
在建筑结构中，轴对称也起着重要的作用。它可以提高建筑 物的稳定性和抗震性能，同时也可以使建筑物的外观更加美 观。
轴对称变换具有可逆性，即变 换前后的图形是等价的。
轴对称变换在几何学中具有重 要地位，是研究几何图形的基 本方法之一。
轴对称与几何图形的关系
轴对称是几何图形的一种基本性质，许多几何图形都具有轴对称性。
轴对称性可以用于研究几何图形的性质和特点，如等腰三角形、正方形等都具有轴 对称性。
轴对称性也可以用于解决几何问题，如利用轴对称性质证明几何定理、求解几何问 题等。
轴对称在日常生活中的实例
总结词
直观、生动
详细描述
日常生活中的许多事物都体现了轴对称，如建筑物、植物、动物等。这些实例可 以帮助我们更好地理解轴对称的概念。
轴对称在艺术中的应用
总结词
丰富、多样
详细描述
轴对称在艺术中有着广泛的应用，如建筑设计、图案设计、雕塑等。艺术家们利用轴对称创造出许多美丽的作品 ，展现了对称之美。
04 轴对称的作图方法
CHAPTER
通过给定的点和轴作轴对称图形
总结词
通过给定的点和轴，可以确定一 个对称点，从而作出轴对称图形 。
详细描述
首先确定给定的点和轴，然后找 出对称点，最后连接对称点和原 点，得到轴对称图形。
通过给定的图形和轴作轴对称图形
总结词
给定一个图形和轴，可以找到图形中 每个点的对称点，从而作出轴对称图 形。
05 轴对称的判定方法
两条直线的位置关系对称问题
知识迁移
反射问题 光线从A 发出， 例3. 光线从A（-2，4）发出，经过直线 2x反射，若反射光线经过B 2x-y-7=0 反射，若反射光线经过B （5，8），求反射光线所在直线方程 ），求反射光线所在直线方程
常见的对称问题： 常见的对称问题： x轴 y轴 直线 y = x P( a, b ) 直线 y = －x 直线 x = m 直线 y = n 点(m,n) P1( a, －b ) P2(－a, b ) － P3( b, a ) P4(－b, －a ) － P5( 2m－a, b ) － P6( a, 2n－b ) － P7( 2m－a, 2n－b ) － －
解题要点： 解题要点： k • kAB = -1 AB中点在l 上 中点在l 中点在
例题变型
点关于直线对称 已知点A的坐标为 3,4)， 关 的坐标为( 变型：已知点 的坐标为(-3,4)，点A关 于直线l的对称点 的坐标(-2，5) 于直线 的对称点B的坐标( 的对称点 的坐标 求直线l 求直线l的方程
练一练
1.求点A 1,3）关于点B 1.求点A（1,3）关于点B（-1,2）的对称点的坐标 求点 1,2）
2.求点A 1,3）关于直线x 2.求点A（1,3）关于直线x-y-2=0的对称点 求点 2=0的对称点 的坐标
平面内两直线位置关系
-----对称问题 -----对称问题(1) 对称问题
两条直线的位置关系
------对称问题(1) 四类对称 1.点关于点对称 点关于点对称 1.反射问题 1.反射问题 2.点关于直线对称 点关于直线对称 3.直线关于点对称 直线关于点对称 4.直线关于直线对称 直线关于直线对称 2.最短问题 最短问题 常见运用
Байду номын сангаас
7.3(5)与直线有关的对称问题
7.3 两条直线的位置关系（5）
——与直线有关的对称问题
例1.求与点P（3，5）关于直线 l:x-3y+2=0对称的点Q的坐标.
x0 3 x0 3 y0 5 PQ 的中点 M （ , ） 2 2 y0 5 1 x0 5 x 3 3 1 0 解之得 y0 1 x0 3 y0 5 3 20 2 2
x1 x 2 y 1＋ y 2 ) B( )C 0 A( 2 2 B y1 y 2
由方程组
x1 x 2
A
可得到 P1关于 l 对称的点 P2的坐标（ x 2 , y 2） ( 其中 A 0， x1 x 2 )
求直线 l1： x y 4 0 关于直线 2 例2： 对称的直线 l 2的方程 .
解：如图，设 B 关于直线 l 的对称点为 B ( x, y )
/
1 y8 x 9 / x5 2 B (9 ,6 ) y y 6 x5 y8 2 7 0 2 2 A
B
B
/
B 在入射光线上
/
入射光线所在方程为
同理地反射光线所在方
y
/
3 1 1 31
k2 3 1 3k 2
P
P
x
又直线 l1与 l 的交点坐标为
)
o
l 2 方程为 7 x y 22 0
练习2 : 光线通过A(2,4)经直线l : 2 x y 7 0反射，若反射 光线通过点B(5,8)，求入射光线和反射光线所在直线方程。
即 2 x 11 y 16 0 .
求直线 l1： x y 4 0 关于直线 2 例2： 对称的直线 l 2的方程 .
高二数学对称问题
例题讲解
二、点关于直线对称
例2.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方 程为3x+y-2=0,求点A关于直线l 的 对称点A’的坐标。
解题要点： k • kAA’ = -1 AA’中点在l 上
例题讲解
三、直线关于点对称
例3.求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的 直线l 2的方程。
解题要点： 法一： l 2上的任意一点的对称点在l 1上; 法二： l 1 // l 2且P到两直线等距。
例题讲解
四、直线关于直线对称
例4. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线 l2:3x-y+3=0对称的直线l 的方 程。
解题要点：求交点抓“到角”
思考：若l1//l2, 如何求l1 关于l2的对称直线方程？
； 餐饮小吃培训学校https://
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说：“嗨！”也别劝它休息。春风休息，春天就结束了。所以，不要跟春风说话。 雨是春天的战略预备队。在春天的战区，风打前阵，就像空军作第一轮攻势一样，摧枯拉朽，瓦解冬天的军心。雨水的地面部队紧接着赶到，它们整齐广大，占领并搜索每一个角落，全部清洗一遍，让泥 土换上绿色的春装。不要跟它们讲话，春雨军纪严明。 草是春天的第一批移民。它们是老百姓，拖儿拉女，自由散漫。草随便找个地方安家，有些草跑到老房子的屋顶，以及柏油路裂缝的地方。草不管这个，把旗先竖起来再说。阳光充足的日子，草晾晒衣衫被褥，弄得乱七八糟。古人 近视，说“草色遥看近却无”。哪里无？沟沟壑壑，连电线杆子脚下都有草的族群。人见春草生芽，舒一口气，道：春天来了！还有古人作诗：“溪上谁家掩竹扉，鸟啼浑似惜春晖。”(戴叔伦《过柳溪道院》)“渭北春天树，江东日暮云。”(杜甫《春日忆李白》)春晖与春树都比不过草 的春意鲜明，它们缝春天的衣衫，不要跟忙碌的缝衣匠说话
直线方程中的对称问题
直线对称问题直线中的对称问题主要有:点关于点对称;点关于直线对称;直线关于点对称;直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称 一、点关于点的对称(运用中点坐标公式)例1 已知点A(－2,3),求关于点P(1,1)的对称点B(00y ,x )。
练习 求点A(2,4)关于点B(3,5)对称的点C 的坐标、二、直线关于点的对称求直线l :0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l ,即设1l :01=++C By Ax 。
点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C或者在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上 再将'M 代入1l 方程求出1C 。
☆转化为点关于点对称的问题例2 求直线04y x 3=--关于点P(2,－1)对称的直线l 的方程练习 求直线2x+11y+16=0关于点P(0,1)对称的直线方程、三,点关于直线的对称求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面: 1,直线1PP 必定与l 垂直关系,有11-=⋅l PP k k (k 存在) 2,1PP 的中点必在l 上例3 求点A(2,2)关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。
练习:求点A(1,3)关于直线l:x+2y-3=0的对称点A ′的坐标四、直线关于直线的对称分两种:1,关于平行直线的对称求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程 (1)设2l :02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1 (2)求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P (3)将点2P 代入2l 的方程求出2C例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。
练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。
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解：以公路为x轴，以M村为原点，建立
直角坐标系（如图）
A
则 A(–500, 500√ 3) B(400√ 3,400)
作A关于x轴的对称点A1
∴ A1(–500, –50√0 3)
连A1B交x轴于C， 则C使 |CA| +|CB|最小。
Y
B
·M C
X
又B（ 40√0 3,400)
A1
∴kA1B =
2020年10月2日
1
1、已知P(1,2),求P点关于以下各直线的对称点的坐标。 (1) l: x = 0 (2) l: y = 0 (3) l: x = 2 (4) l: y = 3 (5) l: y = x (6) l: y= -x
2、如何 求P (1,2)关于直线 2x – y +1= 0的对称点Q的坐标？
A
B
M
问题：已知直线 l : y=x, A(1,2) , B(2,4) C(3,1)
1 、在直线 l上求一点 P使|PB| + |PC|最小。
2、在直线 l 上求一点Q使 |QA| + |QB|最小。
Y
B ·
y=x
A· ·C
O
X
解:(1) 连接BC交 l 于P.
在 l 上任取一异于P的点P1,连 P1B, P1C.
∵ A(1,2) ∴A1(2,1) 又 B(2,4)
｛ ｛ ∴
由
直线A1B方程为x =
x =2
得
y=x
2
x y
=2 =2
即Q(2,2)
∴直线 l 上的点Q使|AQ|+|BQ|最小.
已知平面内有两个定点 A、B和一条定直线 l
1 、当 A与B在直线 l 异侧时，线段AB与 l 的 交点 P使 |PA|+|PB|最小,且最小值为|AB|.
A ·
l
P ·B
2、当A、B在直线 l 的同侧时，作A(或B)关于
l 的对称点 A1(或B1),则线段A1B(或AB1)与 l 的 交点P使|PA|+|PB| 最小,且最小值为|A1B|(|AB1|).
·B
A
·
P
l
A1·
已知直线 l ： x+y=0, 点 A(–3, 0), B( 0, –5). 试在 l 上求一点 P 使 |PA| + |PB| 最小.
√ √ 解： y = x2+6x+18 + x2－10x+26
Y
√ √ = (x+3)2+(0－3)2 + (x－5)2+(0－1)2
A·
则y表示动点M(x,0)到定点A(-3, 3) 和B(5,1)距离之和，即直线 y = 0上 的点到两。点A、B 的距离之和
而A、B位于直线 y = 0的同侧
O A1 ·
∴ 当 x = 3时y取最小值√4 5 注：等价转化、数形结合
1、同一平面内，在定直线 l上求点P使P到两定点 A、B距离和最小的方法。
2、探究过程中: （1）坐标法使数和形有机的结合起来，充分体现
了数形结合的思想。
（2）类比联想和等价转化使问题的解决找到了突 破口。
演讲完毕，谢谢观看！
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·B
P
X
故作点A关于 y = 0的对称点A1 ∴A1(–3, –3) 连A1B交y = 0于P，则 P使 |PA|+|PB|=|A1B|最小，即y最小值为|A1B|
√ 由A1(–3, –3) B(5,1) 得 |A1B|= 4 5
且 A1B方程为 y = 12(x-3)
由y = 0 得x = 3 ∴P(3,0)
则|P1B|+ | P1C|＞|BC|=|BP|+|PC|.
∴P点为所求的点
y=x
Y ·B
P1,
A· P ·C
O X
∵B(2,4) C(3,1) ∴直线 BC的方程为: y= －3x +10
｛ ｛ 由
y= x y=－3x
+10得:
x= 2.5 y = 2.5
即直线 l 上的点P(2.5,2.5)使 |PA| + |PB|最小.
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
11
在某东西方向公路边有一村庄M. 在M村的北偏西30o 方向且与M村相距1000米处有一村A ，在M村的北偏东 60o的方向且相距800米处有一村B. A庄的村民主要靠 每天外出打工、做生意获得收入， B庄的村民主要靠种 菜、卖菜获得收入。前几年，风调雨顺，两村村民都忙 于自己的生活，没有意识到脚下的泥土路给生活带来的 不便。今年8、9两月的连绵秋雨，使两村村民深受交通 不便之苦。于是他们集资修路，拟定在公路上找一C处， 由C向两村分别修路，为了使修路费用最低，C处应如何 选择？
(2)做点 A 关于直线 y = x 的对称点A1
连接 A!B交 l 于Q
在 l 上任取一异于点Q的点Q1·
连接AQ , AQ1, A1Q1, BQ1.
y=x
Y
·B A· Q
·Q1
OHale Waihona Puke ·A1X则 |AQ1|+|BQ1|= |A1Q1|+|BQ1| ＞|A1B| = |A1Q|+|BQ| =|AQ|+|BQ| ∴点Q 使 |AQ| + |BQ| 最小.
4+√5 3 4√ 3 +5
∴直线A1B 的方程为
y+50√0
3=
4+√5 4√ 3
3 (x+500) +5
注 ︱ 坐 标
由y=0， 得x =316
∴ C( 316 , 0)
法 的
答：当C处选在M村正东 316 米时可使修路费用最低。 应
用
√ √ 例3：求函数 y = x2+6x+18 + x2－10x+26 的最小值及对应x的值。