初中数学圆专题复习
北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 专题课讲义 圆章节复习(解析版)
圆章节复习课前测试【题目】课前测试如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】；存在，DE=；y=（0＜x＜）．【解析】（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；（2）如图（2），存在，DE是不变的．连接AB，则AB==2，∵D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE=AB=；（3）如图（3），连接OC，∵BD=x，∴OD=，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE．∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，∴OE=OF+EF=+=∴y=DF•OE=••=（0＜x＜）．总结：本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等．【难度】4【题目】课前测试如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．【答案】OD=3；AE是⊙O的切线；【解析】（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．总结：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：圆是九年级下册的内容，是初中几何三大模块（三角形、四边形、圆）之一，也是中考几何必考内容，包含与园有关的圆性质、与圆有关的位置关系及与圆有关的计算三部分，相比三角形与四边形，圆部分的知识点更多，需要记忆的概念和公式也就更多，另外它还要跟三角形和四边形结合，综合考查几何知识，难度骤然提升，解题思维更要灵活。
初中数学圆专题复习(精心整理版)
圆一、知识点梳理知识点1：圆的定义：1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心.知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 .3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 .知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 .知识点4：垂径定理垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分 .知识点5：确定圆的条件三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的、这个三角形是圆的 .知识点6：点与圆的位置关系(1)点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外.其中r为圆的半径，d为点到圆心的距离，知识点7：直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：知识点8：切线的判定与性质判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有的直线是圆的切线。
②到圆心的距离等于的直线是圆的切线。
③经过半径的外端点并且于这条半径的直线是圆的切线。
切线的五个性质：①切线与圆只有公共点；②切线到圆心的距离等于圆的；③切线垂直于经过切点的；④经过圆心垂直于切线的直线必过；⑤经过切点垂直于切线的直线必过。
知识点9：切线长定理经过圆外一点作圆的切线，这点与之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的 .知识点10：三角形内切圆和三角形各边都相切的圆叫做三角形的，三角形内切圆的圆心叫三角形的 .课堂小结：一、这章有三条常用辅助线：一是圆心距，第二是直径圆周角，第三条是切线径，就是连接圆心和切点的，或者是连接圆周角的距离。
初中数学专题复习(圆周角定理)
初中数学专题复习（圆周角定理）1．（2020•陕西）如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（）A．25°B．30°C．40°D．50°解：∵BC∥OA，∴∠ACB＝∠A＝25°，∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故选：C．2．（2020•兰州）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝20°，则∠ADC＝（）A．40°B．60°C．70°D．80°解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝20°，∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，∴∠ADC＝∠ABC＝70°，故选：C．3．（2020•阜新）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（）A．57°B．52°C．38°D．26°解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝38°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝52°，∴∠BDC＝∠BAC＝52°．故选：B．4．（2020•眉山）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°解：∵BC＝CD，∴＝，∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是，∴∠BAC＝∠DAC＝35°，∵∠ABD＝∠ACD＝45°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣45°＝65°．故选：C．5．（2020•十堰）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E．若∠ADC＝30°，AE＝1，则BC＝（）A．2B．4C．D．2解：连接OC，如图，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA⊥BC，∴CE＝BE，在Rt△COE中，OE＝OC，CE＝OE，∵OE＝OA﹣AE＝OC﹣1，∴OC﹣1＝OC，∴OC＝2，∴OE＝1，∴CE＝，∴BC＝2CE＝2．故选：D．6．（2020•黄石）如图，点A、B、C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为（）A．140°B．70°C．110°D．80°解：如图，在优弧AB上取一点P，连接AP，BP，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∵∠DCE＝40°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠P＝∠AOB＝70°，∵A、C、B、P四点共圆，∴∠P+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣70°＝110°，故选：C．7．（2020•荆门）如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为（）A．14°B．28°C．42°D．56°解：∵在⊙O中，OC⊥AB，∴＝，∵∠APC＝28°，∴∠BOC＝2∠APC＝56°，故选：D．8．（2020•营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．110°B．130°C．140°D．160°解：如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．故选：B．9．（2020•河池）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝35°．解：如图，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠1＝∠ADE，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝55°，∴∠2＝35°，故答案为35．10．（2020•聊城）如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是60°．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵四边形OABC为菱形，∴∠B＝∠AOC，∴∠D+∠AOC＝180°，∵∠AOC＝2∠D，∴3∠D＝180°，∴∠ADC＝60°，故答案为60°．11．（2020•宜宾）如图，A、B、C是⊙O上的三点，若△OBC是等边三角形，则cos∠A＝．解：∵△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠A＝30°，∴cos∠A＝cos30°＝．故答案为：．12．（2020•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为30°．21教育网解：∵∠BAC＝∠BOC＝×120°＝60°，而AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD＝∠BAC＝30°．故答案为：30°．13．（2020•宿迁）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD＝∠ABC．（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；（2）若CD＝2，CA＝4，求弦AB的长．解：（1）直线AC是⊙O的切线，理由如下：如图，连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°＝∠OAB+∠OAD，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC，又∵∠CAD＝∠ABC，∴∠OAB＝∠CAD＝∠ABC，∴∠OAD+∠CAD＝90°＝∠OAC，∴AC⊥OA，又∵OA是半径，∴直线AC是⊙O的切线；（2）方法一、过点A作AE⊥BD于E，∵OC2＝AC2+AO2，∴（OA+2）2＝16+OA2，∴OA＝3，∴OC＝5，BC＝8，＝×OA×AC＝×OC×AE，∵S△OAC∴AE＝＝，∴OE＝＝＝，∴BE＝BO+OE＝，∴AB＝＝＝．方法二、∵∠CAD＝∠ABC，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∴＝，∴，∴BC＝8，AB＝2AD，∴BD＝6，∵AB2+AD2＝BD2，∴5AD2＝36，∴AD＝，∴AB＝2AD＝．14．（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D 作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．证明：（1）∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）连接AE，∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B，∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，∴∠ECF+∠EAF＝180°，∵BD∥CF，∴∠ECF+∠B＝180°，∴∠EAF＝∠B，∴∠AEF＝∠EAF，∴AF＝EF．15．（2020•温州）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连接CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC ＝∠G．（1）求证：∠1＝∠2．（2）点C关于DG的对称点为F，连接CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半径．解：（1）∵∠ADC＝∠G，∴＝，∵AB为⊙O的直径，∴＝，∴∠1＝∠2；（2）如图，连接DF，∵＝，AB是⊙O的直径，∴AB⊥CD，CE＝DE，∴FD＝FC＝10，∵点C，F关于DG对称，∴DC＝DF＝10，∴DE＝5，∵tan∠1＝，∴EB＝DE•tan∠1＝2，∵∠1＝∠2，∴tan∠2＝，∴AE＝＝，∴AB＝AE+EB＝，∴⊙O的半径为．16．（2020•泰州）如图，在⊙O中，点P为的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN．（1）求证：N为BE的中点．（2）若⊙O的半径为8，的度数为90°，求线段MN的长．（1）证明：∵AD⊥PC，∴∠EMC＝90°，∵点P为的中点，∴，∴∠ADP＝∠BCP，∵∠CEM＝∠DEN，∴∠DNE＝∠EMC＝90°＝∠DNB，∵，∴∠BDP＝∠ADP，∴∠DEN＝∠DBN，∴DE＝DB，∴EN＝BN，∴N为BE的中点；（2）解：连接OA，OB，AB，AC，∵的度数为90°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝8，∴AB＝8，由（1）同理得：AM＝EM，∵EN＝BN，∴MN是△AEB的中位线，∴MN＝AB＝4．。
初中数学圆的专题复习大题+答案
A B C D O P1、如图，半圆的半径为2cm ，点C2、如图，AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切与点B ，弦AC ∥OP ，PC 交BA 的延长线于点D ，求证：PD 是⊙O 的切线，3、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点C ，BD ⊥PD ，垂足为D ，连接BC 。
求证：（1）BC 平分∠PBD ；（2）2BC AB BD ＝。
4.如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E.（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；5、如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°，求∠P的度数。
第一题答案：223cm π 知识点：圆心角为n °，半径为R ，弧长为l 的扇形的面积． 第二题答案：、连结OC ，证明△POC ≌△POB ，得∠PCO=∠PBO =90度，所以PD 是圆O 的切线；第三题: 证明：（1）连结OC 。
（2）连结AC 。
∵PD 切⊙O 于点C ， ∵AB 是⊙O 的直径， 又∵BD ⊥PD ， ∴∠ACB ＝90°。
∴OC ∥BD 。
又∵BD ⊥PD ，∴∠OCB ＝∠CBD 。
∴∠ACB ＝∠CDB ＝90° 又∵OC ＝OB ， 又∵∠1＝∠2，∴∠OCB ＝∠OBC 。
∴△ABC ∽△CBD∴∠OBC ＝∠CBD ，即BC 平分∠PBD 。
∴AB BC CB BD= ∴2BC AB BD ＝第四题: （1）证明：连结OC ，如图1，∵DE 与⊙O 切于点C ，∴OC ⊥DE ，∵AD ⊥DE ，∴OC ∥AD ，∴∠2=∠3，∵OA=OC ，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，即AC 平分∠DAB ；（2）如图1，∵直径AB=4，B 为OE 的中点，∴OB=BE=2，OC=2，在Rt △OCE 中，OE=2OC ，∴∠OEC=30°，∴∠COE=60°，∵CF ⊥AB ，∴∠OFC=90°，∴∠OCF=30°，∴OF=OC=1，CF=OF=；第五题:40度选择题1.下列命题正确的是（）A.三点可以确定一个圆；B.以定点为圆心，定长为半径可确定一个圆；C.顶点在圆上的三角形叫圆的外接三角形；D.等腰三角形的外心一定在这个三角形内.2.平面直角坐标系中，点P（-3，4）与半径为5的⊙O的位置关系是（）A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.不能确定3.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若AB=10，CD=8，则AE的长度为（）A.2.5B.3C.2D.1或者4（第3题图）（第4题图）（第6题图）（第7题图）（第8题图）4.如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=6，则⊙O的半径为（）A.2B.22C.22D.625.一条弦把半径为8的圆分成1∶2的两条弧，则弦长为（）A.43B.83C.8D.166.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是（）A.4B.6C.8D.107.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°, 则∠DCF等于（）A.80°B. 50°C. 40°D. 20°8.如图，AB是⊙O的直径，∠AOC＝110°，则∠D的度数等于（）A.25°B.35°C.55°D.70°填空题1.在⊙O中，直径AB＝4厘米，弦CD⊥AB于E，OE＝3，则弦CD的长为__________厘米．2.半径为5厘米的圆中，有一条长为6厘米的弦，则圆心到此弦的距离为_________厘米3.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧 BC上的一点，已知∠BAC=80°，则∠BDC=___________度．4.如图，如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，C为OA的中点，点D在上，且CD∥OB，则∠ABD= ___________度．选择题答案:BBCAB CDB填空题答案:2 4 50度30度。
初三数学知识点总结归纳(4篇)
初三数学知识点总结归纳初三数学复习五大方法初三新学期数学知识点一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。
（2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质1、圆的对称性（1）圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是对称图形。
2、垂径定理。
（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
（2）推论：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
（1）同弧所对的圆周角相等。
（2）直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r，OP=d。
初三数学知识点总结归纳（二）1.数的分类及概念数系表：说明：分类的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准2.非负数：正实数与零的统称。
（表为：x0）性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。
3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a1/a（a1）;B.1/a中，aC.04.相反数：①定义及表示法②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5.数轴：①定义（三要素）②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
初中数学中考专题复习之圆专题01切线长定理
专题01切线长定理切线长定理（Theorem of length of tangent），是初等平面几何的一个定理。
它指出，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
即如图，AB、AC切圆O于B、C，切线长AB=AC。
1．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2，则线段AB的长是（）A．B．3 C．2D．3解析：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB，∵△PCD的周长等于2，∴PA+PB＝2，∴PA＝PB＝，连接PA和AO，∵⊙O的半径为1，∴tan∠APO＝＝＝，∴∠APO＝30°，∴∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴AB＝PA＝PB＝．选A．2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA＝4，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．10解析：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴PB＝PA＝4，∵CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，∴CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝8，选C．3．如图，PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，若PA＝7，则△PCD的周长为（）A．7 B．14 C．10.5 D．10解析：∵PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，∴PB＝PA＝7，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长＝PC+CD+PB＝PC+CE+DE+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝14，选B．4．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，若⊙O 的半径为r，△PCD的周长为3r，连接OA，OP，则的值是（）A．B．C．D．解析：∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，∴CA＝CF，DF＝DB，PA＝PB，∴PC+CF+DF+PD＝PA＝PB＝2PA＝3r，∴PA＝r，则的值是：＝．选D．5．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D 两点，则△PCD的周长是（）A．8 B．18 C．16 D．14解析：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，∴PB＝PA＝8，CA＝CE，DB＝DE，∴△PCD的周长＝PC+CE+PD＝PC+CE+DE+PC＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝16．选C．6．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（）A．5，（90°+∠P）B．7，90°+C．10，90°﹣∠P D．10，90°+∠P解析：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴PA＝PB＝10，ED＝AD，CE＝BC；∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA，即△PCD的周长＝2PA＝10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE，∵AO＝OE＝OB，易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，∴∠COD＝∠AOB，∴∠AOB＝180°﹣∠P，∴∠COD＝90°﹣∠P．选C．7．P是⊙O外一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点C是劣弧AB上任意一点，经过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E．若PA＝4，则△PDE的周长是（）A．4 B．8 C．12 D．不能确定解析：根据题意画出图形，如图所示，由直线DA和直线DC为圆O的切线，得到AD＝DC，同理，由直线EC和直线EB为圆O的切线，得到EC＝EB，又直线PA和直线PB为圆O的切线，所以PA＝PB＝4，则△PDE的周长C＝PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝4+4＝8．选B．8．如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，如果AD＝20，则△ABC的周长为（）A．20 B．30 C．40 D．50解析：据切线长定理有AD＝AE，BE＝BF，CD＝CF；则△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BF+CF+AC＝AB+BE+AC+CD＝AD+AE＝2AD＝40．选C．9．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC ＝35°，∠P的度数为（）A．35°B．45°C．60°D．70°解析：根据切线的性质定理得∠PAC＝90°，∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．根据切线长定理得PA＝PB，所以∠PBA＝∠PAB＝55°，所以∠P＝70°．选D．10．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．解析：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，PA⊥OA，∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；故答案为：76．11．如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD＝BC；③PB＝PF；④AD2＝4AB•DC．其中正确的是（）A．①②③④B．只有①②C．只有①②④D．只有③④解析：∵BA，BE是圆的切线．∴AB＝BE，BO是△ABE顶角的平分线．∴OB⊥AE∵AD是圆的直径，∴DE⊥AE，∴DE∥OF，故①正确；∵CD＝CE，AB＝BE，∴AB+CD＝BC，故②正确；∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD＝∠BFP若PB＝PF，则有∠PBF＝∠BFP＝∠ODF而△ADP与△ABO不一定相似，故PB＝PF不一定成了，故③不正确；连接OC．可以证明△OAB∽△CDO∴，即：OA•OD＝AB•CD∴AD2＝4AB•DC，故④正确．故正确的是：①②④．选C．12．一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，则该菱形的内切圆的半径是cm．解析：如图所示：菱形ABCD，对角线AC，BD，可得菱形内切圆的圆心即为对角线交点，设AB与圆相切于点E，可得OE⊥AB，∵一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，∴AB＝5cm，设BO＝4x，则AO＝3x，故（4x）2+（3x）2＝25，解得：x＝1，则AO＝3，BO＝4，故EO•AB＝AO•BO，解得：EO＝．13．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD 的周长为．解析：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故答案为：44．14．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝cm．解析：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA＝PB；同理，可得：DE＝DA，CE＝CB；则△PCD的周长＝PD+DE+CE+PC＝PD+DA+PC+CB＝PA+PB＝10（cm）；∴PA＝PB＝5cm，故答案为：5．15．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC 以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是．解析：根据切线长定理，得AD＝AE，BC＝BE，所以梯形的周长是5×2+4＝14，故答案为：14．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC 分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为．解析：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AF＝x，∵⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形，∵r＝2，BC＝5，∴CE＝CF＝2，BD＝BE＝3，∴由勾股定理得，（x+2）2+52＝（x+3）2，解得，x＝10，∴△ABC的周长为12+5+13＝30，故答案为30．17．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，若∠BOC＝90°，（1）求证：AB∥CD；（2）若OB＝3，OC＝4，求由BE、BC、CG、及弧EFG围成图形的面积（即图中阴影部分）．解析：（1）∵∠BOC＝90°，∴∠OBC+∠OCB＝90°，又BE与BF为圆O的切线，∴BO为∠EBF的平分线，∴∠OBC＝∠OBF，同理可得∠OCB＝∠OCG，∴∠OBF+∠OCG＝90°，∴∠OBC+∠OCB+∠OBE+∠OCG＝180°，即∠ABF+∠DCF＝180°，∴AB∥CD；（2）连接OE，OF，OG，如图所示：由BE和BF为圆的切线，可得OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB＝∠OFB＝90°，∴BE＝BF，又OB＝OB，∴Rt△OEB≌Rt△OFB（HL），∴∠BOE＝∠BOF，S△OEB＝S△OFB，∴S扇形OEM＝S扇形OFM，∴S△OEB﹣S扇形OEM＝S△OFB﹣S扇形OFM，即S阴影BEM＝S阴影BFM，同理S阴影NFC＝S阴影NCG，由∠BOC＝90°，OB＝3，OC＝4，根据勾股定理得：BC＝5，∵BC为圆的切线，∴OF⊥BC，∴OB•OC＝BC•OF，即OF＝，∴S△BOC＝OB•OC＝6，S扇形OMN＝＝，则阴影部分面积S＝2（S阴影BFM+S阴影NFC）＝2（S△BOC﹣S扇形OMN）＝12﹣18．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°．（1）求∠BAC的度数；（2）当OA＝2时，求AB的长．解析：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，∴AP＝BP，∵∠P＝60°，∴∠PAB＝60°，∵AC是⊙O的直径，∴∠PAC＝90°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°．（2）连接OP，则在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°，∴OP＝4，由勾股定理得：，∵AP＝BP，∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴．19．如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°．（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）若AB＝2，求PA的长（结果保留根号）．解析：（Ⅰ）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，∴∠BAP＝90°；∵∠BAC＝30°，∴∠CAP＝90°﹣∠BAC＝60°．又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA＝PC，∴△PAC为等边三角形，∴∠P＝60°．（Ⅱ）如图，连接BC，则∠ACB＝90°．在Rt△ACB中，AB＝2，∠BAC＝30°，∵c o s∠BAC＝，∴AC＝AB•c o s∠BAC＝2c o s30°＝．∵△PAC为等边三角形，∴PA＝AC，∴PA＝．20．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB＝8，边BC比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．解析：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F在Rt△DFC中，DF＝AB＝8，FC＝BC﹣AD＝6∴DC2＝62+82＝100，即DC＝10设AD＝x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x+6∴x+（x+6）＝10．∴x＝2．∴AD＝2，BC＝2+6＝8方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知∠DOC＝90°，AD＝DE，CB＝CE设AD＝x，则BC＝x+6，由射影定理可得：OE2＝DE•EC，即：x（x+6）＝16，解得x1＝2，x2＝﹣8，（舍去）∴AD＝2，BC＝2+6＝8（2）存在符合条件的P点设AP＝y，则BP＝8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况①△ADP∽△BCP时，∴y＝②△ADP∽△BPC时，∴y＝4故存在符合条件的点P，此时AP＝或4。
中考数学复习 专题34 与圆的有关计算试题(A卷,含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
与圆的有关计算一、选择题1. （某某东营，7，3分）如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥底面圆的直径是60cm ，则这块扇形铁皮的半径是（ ） A ．40cm B ．50cm C ．60cm D ．80cm【答案】A【逐步提示】本题考查弧长公式与圆锥侧面展开图，先计算圆锥的底面周长，再根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列出方程求解．【详细解答】解：圆锥的底面周长为：π×60=60πcm，所以扇形的弧长为60πcm．根据扇形的弧长公式可得27060180rππ=，解得r=40cm ．故选A ． 【解后反思】解答本题易出现两处错误：一是公式错误，如把弧长公式与扇形面积公式搞错搞混；二是把直径误以为半径．圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的面积等于圆锥的侧面积． 【关键词】弧长公式；圆锥的侧面展开图2. （某某东营，17，4分）如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形ABD 的面积为__________．【答案】25【逐步提示】本题考查弧长公式及扇形面积公式，【详细解答】解：∵正方形的边长为5，∴弧BD 的弧长=10，∴S 扇形ABD =111052522lr =⨯⨯=．故答案为25.【解后反思】解答本题需掌握：(1)弧长公式：l=180n r π；扇形面积公式：S 扇形=2360n r π=12lr ．【关键词】弧长公式；扇形面积公式 3.4. ．(某某某某，10，3分)如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AC 经过点O ，与⊙∠ACB=30°，AB=3，则阴影部分的面积是（ ）（A ）32 （B ）6π（C ）32－6π （D ）33－6π 【答案】C【逐步提示】本题考查切线的性质及扇形面积公式的应用，连接OB ，先由切线的性质求出圆心角∠AOB 的度数，再分别计算△AOB 和扇形BOD 的面积，相减可得阴影部分面积．【详细解答】解：连接OB ，∵AB 是⊙O 的切线，B 为切点，∴∠ABO=90°.∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°.在Rt△AOB 中，OB=tan AB AOB ∠=1.∴S 阴影=S △AOB －S 扇形BOD =12·AB ·OB －2601360π⨯⨯=32－6π．故选择C ．【解后反思】计算阴影部分的面积，通常情况下运用转化的思想，将不规则的图形、零散的几个图形面积转化为规则图形之间的和差关系和相对集中形成的规则图形面积． 【关键词】切线的性质；扇形面积公式5. （ 某某某某，7，3分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC 的 夹角为120°，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为15cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面 积为（）.A . 175πcm 2B . 350πcm 2C .πcm 2D ． 150πcm 2【答案】B【逐步提示】先由AB 和BD 的长求出AD 的长，再分别求出扇形BAC 和扇形DAE 的面积，然后根据“贴纸部分的面积等于扇形BAC 的面积减去扇形DAE 的面积”求解.【详细解答】解：∵AB =25cm ，BD =15cm ，∴AD =25-15=10cm ，∴S扇形BAC =2120251250=1803ππ⨯（cm 2），S 扇形DAE =212010200=1803ππ⨯（cm 2），∴贴纸部分的面积＝125020035033πππ-=（cm 2），故选择B .【解后反思】1.弧长公式：l ＝nπr 180 ，扇形面积公式：S =360n 2r π＝12lr ，其中n 为扇形圆心角的度数，r 为扇形半径．2.扇环的面积等于两个扇形面积之差. 【关键词】 扇形的面积计算6.（ 某某某某，5，3分）如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为（ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°【答案】B【逐步提示】本题考查了三视图及圆锥侧面展开图的圆心角的计算，解决问题的关键是把图中的数据与圆锥结合起来．圆锥的主视图和左视图是一样的，数字“6”是底面直径，数字“2出圆锥的母线．然后利用扇形的弧长等于圆锥的底面周长即2180n Rl r ππ＝＝，可以求得圆心角的度数． 626 第5题图【详细解答】解：圆锥的母线长＝()226239＋＝，∵2180nR l r ππ＝＝∴×923180n ππ⨯＝，解得n ＝120°，故选择B . 【解后反思】了解圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线.弄清楚这些关系才能正确解决问题.另外，左视图看到的两个量要清楚分别代表什么，不要把底面直径和周长混淆，导致解题错误.另外，对于涉及到圆锥的底面圆半径r 、母线长l 与圆锥侧面展开图的圆心角n 三个量之间的关系时，公式360r nl =的合理应用来得快捷得很，其推导过程如下：如图，由扇形ABC 的面积的两种表达形式可知，2123602n l l r ππ=⋅⋅，整理后即得360r nl =． 【关键词】左视图；圆锥的侧面展开图．7. (某某威海，16，3)如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，其边长为4，则⊙O 的内接正三角形EFG 的边长为____________.O GFED C B A 第16题图【答案】6【逐步提示】先求得⊙O 的半径，再求得内接正三角形EFG 的边长。
初中数学圆专题复习(精心整理版)
圆一、知识点梳理知识点1：圆的定义：1. 圆上各点到圆心的距离都等于.2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心.知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的.3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是.知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别.知识点4：垂径定理垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分.知识点5：确定圆的条件三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的、这个三角形是圆的.知识点6：点与圆的位置关系(1)点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外.其中r为圆的半径，d为点到圆心的距离，知识点7：直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：知识点8：切线的判定与性质判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有的直线是圆的切线。
②到圆心的距离等于的直线是圆的切线。
③经过半径的外端点并且于这条半径的直线是圆的切线。
切线的五个性质：①切线与圆只有公共点；②切线到圆心的距离等于圆的；③切线垂直于经过切点的；④经过圆心垂直于切线的直线必过；⑤经过切点垂直于切线的直线必过。
知识点9：切线长定理经过圆外一点作圆的切线，这点与之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的.知识点10：三角形内切圆和三角形各边都相切的圆叫做三角形的，三角形内切圆的圆心叫三角形的.知识点11：圆和圆的位置关系设两圆半径分别为R和r。
中考数学复习 专题23 圆的有关位置关系-人教版初中九年级全册数学试题
圆的有关位置关系☞解读考点知识点名师点晴点和圆的位置关系理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外 d>r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d<r及其运用．直线和圆的位置关系切线的判定定理理解切线的判定定理，会运用它解决一些具体的题目切线的性质定理理解切线的性质定理，会运用它解决一些具体的题目切线长定理运用切线长定理解决一些实际问题．圆和圆的位置关系理解两圆的互解关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．☞2年中考【2015年题组】1．（2015贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B．考点：1．点与圆的位置关系；2．三角形中位线定理；3．最值问题；4．轨迹．2．（2015湘西州）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（）A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定【答案】B．【解析】试题分析：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．故选B．考点：点与圆的位置关系．3．（2015某某）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为（）A．65° B．130° C．50° D．100°【答案】C．【解析】试题分析：∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故选C．考点：切线的性质．4．（2015某某）如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（）A．圆形铁片的半径是4cm B．四边形AOBC为正方形C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm2【答案】C．考点：1．切线的性质；2．正方形的判定与性质；3．弧长的计算；4．扇形面积的计算；5．应用题；6．综合题．5．（2015襄阳）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°【答案】C．【解析】试题分析：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，∴∠A=40°，∠A′=140°，故∠BAC的度数为：40°或140°．故选C．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．圆周角定理；3．分类讨论．6．（2015某某）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值X围是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5【答案】A．考点：1．直线与圆的位置关系；2．勾股定理；3．垂径定理．7．（2015某某）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：43y kx=+与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A．【解析】试题分析：∵直线l ：43y kx=+与x轴、y轴分别交于A、B，∴B（0，43），∴OB=43，在RT△AOB中，∠OAB=30°，∴OA=3OB=343⨯=12，∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，∴PM=12PA，设P（x，0），∴PA=12﹣x，∴⊙P的半径PM=12PA=162x-，∵x为整数，PM为整数，∴x可以取0，2，4，6，8，10，共6个数，∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．故选A．考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．新定义；4．动点型；5．综合题．8．（2015贺州）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：①AD=DC；②AB=BD；③AB=12BC；④BD=CD，其中正确的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B．故选B．考点：切线的性质．9．（2015某某）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A．133 B．92 C．4133 D．25【答案】A．考点：1．切线的性质；2．矩形的性质；3．综合题．10．（2015某某）相切两圆的半径分别是5和3，则该两圆的圆心距是．【答案】2或8．【解析】试题分析：若两圆内切，圆心距为5﹣3=2；若两圆外切，圆心距为5+3=8，故答案为：2或8．考点：1．圆与圆的位置关系；2．分类讨论．11．（2015某某市）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于．（只需写出一个符合要求的数）【答案】14（答案不唯一）．考点：1．圆与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系；3．开放型．12．（2015某某）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值X围是．【答案】3＜r＜5．【解析】试题分析：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，则BD=2234=5．由图可知3＜r＜5．故答案为：3＜r＜5．考点：点与圆的位置关系．13．（2015某某市）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于．（只需写出一个符合要求的数）【答案】14（答案不唯一）．【解析】试题分析：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在⊙B上，∴⊙B的半径为5，∵如果⊙D与⊙B相交，∴⊙D的半径R满足8＜R＜18，∵点B在⊙D内，∴R＞13，∴13＜R＜18，∴14符合要求，故答案为：14（答案不唯一）．考点：1．圆与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系；3．开放型．14．（2015义乌）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为．【答案】3或73．考点：1．点与圆的位置关系；2．勾股定理；3．垂径定理；4．分类讨论．15．（2015某某）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA= °．【答案】125．【解析】试题分析：连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=70°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠A=12∠COD=35°，∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=125°，故答案为：125．考点：切线的性质．16．（2015某某）如图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若21，则∠ACD= °．【答案】112.5．考点：切线的性质．17．（2015某某）小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M．现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距离是．433．考点：1．切线的性质；2．轨迹；3．应用题；4．综合题．18．（2015某某）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E= ．【答案】50°．【解析】试题分析：连接DF，连接AF交CE于G，∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴ ，∵EF是⊙O的切线，∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，AC AD∵∠DFE=∠DCF，∠GFD=∠AFC，∠EFG=∠EGF=65°，∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°，故答案为：50°．考点：切线的性质．19．（2015某某）已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB是⊙O 的弦，AB=2，连接PB，则PB= ．【答案】1或5．考点：1．切线的性质；2．分类讨论；3．综合题．20．（2015某某）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确结论是________ （只需填写序号）．【答案】②③．则正确的选项序号有②③．故答案为：②③．考点：1．切线的性质；2．圆周角定理；3．三角形的外接圆与外心；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．21．（2015荆州）如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数kyx=（0k≠）的图象经过圆心P，则k= ．【答案】﹣5．考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．反比例函数图象上点的坐标特征；4．综合题；5．压轴题．22．（2015某某）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=2r，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B 关于⊙O的反演点，求A′B′的长．23．【答案】【解析】考点：1．点与圆的位置关系；2．勾股定理；3．新定义．23．（2015某某）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）10 3．【解析】试题分析：（1）如图，连接OE，证明OE⊥PE即可得出PE是⊙O的切线；（2）由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，进而得到∠3=∠4，结合已知条件证得结论；（3）设EF=x，则CF=2x，在RT△OEF中，根据勾股定理求出EF的长，进而求得BE，CF的长，在RT△AEB中，根据勾股定理求出AE的长，然后根据△AEB∽△EFP，求出PF的长，即可求得PD 的长．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质；3．圆的综合题；4．压轴题．24．（2015某某）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，G 是⊙O 上两点，且AC=CG ，过点C 的直线CD⊥BG 于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线．（2）若32 FD OF ，求∠E 的度数． （3）连接AD ，在（2）的条件下，若CD=3，求AD 的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）30°；（3）13．【解析】试题解析：（1）如图1，连接OC ，AC ，CG ，∵AC=CG ，∴AC CG =，∴∠ABC=∠CBG ，∵OC=OB ，∴∠OCB=∠OBC ，∴∠OCB=∠CBG ，∴OC ∥BG ，∵CD ⊥BG ，∴OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）∵OC ∥BD ，∴△OCF ∽△BDF ，△EOC ∽△EBD ，∴23OC OF BD DF ==，∴23OC OE BD BE ==，∵OA=OB ，∴AE=OA=OB ，∴OC=12OE ，∵∠ECO=90°，∴∠E=30°；（3）如图2，过A 作AH ⊥DE 于H ，∵∠E=30°，∴∠EBD=60°，∴∠CBD=12∠EBD=30°，∵CD=3，∴BD=3，DE=33，BE=6，∴AE=13BE=2，∴AH=1，∴EH=3，∴DH=23，在Rt △DAH 中，AD=22AH DH +=221(23)+=13．考点：1．圆的综合题；2．切线的判定与性质；3．相似三角形的判定与性质；4．压轴题．25．（2015某某）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，AB=4，PC 、PD 是⊙O 的两条切线，C 、D 为切点．（1）如图1，求⊙O 的半径；（2）如图1，若点E 是BC 的中点，连接PE ，求PE 的长度； （3）如图2，若点M 是BC 边上任意一点（不含B 、C ），以点M 为直角顶点，在BC 的上方作∠AMN=90°，交直线CP 于点N ，求证：AM=MN ．【答案】（1）22；（2）25；（3）证明见试题解析．（2）如图1，连接EO ，OP ，∵点E 是BC 的中点，∴OE ⊥BC ，∠OCE=45°，则∠E0P=90°，∴EO=EC=2，2CO=4，∴22OE OP =25（3）如图2，在AB 上截取BF=BM ，∵AB=BC ，BF=BM ，∴AF=MC ，∠BFM=∠BMF=45°，∵∠AMN=90°，∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°，∴∠FAM=∠NMC ，∵由（1）得：PD=PC ，∠DPC=90°，∴∠DCP=45°，∴∠M=135°，∵∠AFM=180°﹣∠BFM=135°，在△AFM 和△CMN 中，∵∠FAM=∠CMN ，AF=MC ，∠AFM=∠M ，∴△AFM ≌△CMN （ASA ），∴AM=MN ．考点：1．圆的综合题；2．切线的性质；3．正方形的判定与性质；4．全等三角形的判定与性质； 5．压轴题．26．（2015某某）如图，已知抛物线21(76)2y x x=--+的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：2()y a x h k=-+（0a≠），并指出顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．【答案】（1）21725()228y x=--+，M（72，258）；（2）35，（72，54-）；（3）证明见试题解析．试题解析：（1）∵21(76)2y x x=--+=21725()228x--+，∴抛物线的解析式化为顶点式为：21725()228y x=--+，顶点M的坐标是（72，258）；（2）∵21(76)2y x x=--+，∴当y=0时，21(76)02x x--+=，解得x=1或6，∴A（1，0），B（6，0），∵x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3）．连接BC，则BC与对称轴x=72的交点为R，连接AR，则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC=2263+=35．设直线BC的解析式为考点：1．二次函数综合题；2．最值问题；3．切线的判定；4．压轴题．【2014年题组】1．（2014·某某）如图，圆与圆的位置关系没有（）A．相交 B．相切 C．内含 D．外离[【答案】A．考点：圆与圆的位置关系．2．（2014· 某某省某某市）如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的半径为52，CD=4，则弦EF的长为（）A． 4 B． 25C． 5 D． 6【答案】B．【解析】试题分析：连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，∵直线AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥AB，∵弦CD∥AB，∴AH⊥CD，∴CH=12CD=12×4=2，∵⊙O的半径为52，∴OA=OC=52，∴OH=2232OC CH-=，∴AH=OA+OH=52+32=4，∴AC=2225AH CH +=．∵∠CDE=∠ADF ，∴CE AF =，∴EF AC =，∴EF=AC=25．故选B ．考点：切线的性质．3．（2014·某某省某某市）如图，矩形ABCD 的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB 于点P ，O1O2=6．若⊙O2绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）A ． 3次B ．4次C ．5次D ．6次【答案】B ．考点：直线与圆的位置关系．4．（2014·某某）如图，⊙1O ，⊙2O 的圆心1O ，2O 都在直线l 上，且半径分别为2cm ，3cm ，12O O 8cm =．若⊙1O 以1cm/s 的速度沿直线l 向右匀速运动（⊙2O 保持静止），则在7s 时刻⊙1O 与⊙2O 的位置关系是（ ）A．外切 B．相交 C．内含 D．内切【答案】D．【解析】试题分析：∵O1O2=8cm，⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，∴7s 后两圆的圆心距为：1cm．根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）．因此，∵⊙O1和⊙O2的半径分别为2㎝和3㎝，且O1O2＝12㎝，∴3－2=1，即两圆圆心距离等于两圆半径之差．∴⊙O1和⊙O2的位置关系是内切．故选D．考点：1．面动平移问题；2．两圆的位置关系．5．（2014·黔西南）已知两圆半径分别为3、5，圆心距为8，则这两圆的位置关系为（）A．外离 B．内含 C．相交 D．外切【答案】D．考点：圆与圆的位置关系．6．（2014·某某）两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两圆的位置关系为（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】A．【解析】试题分析：根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）．因，即两圆圆心距离大于两圆半径此，∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，∴23<7之和．∴这两圆的位置关系为外离．故选A．考点：两圆的位置关系．7．（2014·某某）若两圆的半径分别是1cm和4cm，圆心距为5cm，则这两圆的位置关系是（）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【答案】C．考点：两圆的位置关系．8．（2014·某某省某某市）已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断【答案】A．【解析】试题分析：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，∵d=5，r=6，∴d＜r，∴直线l与圆相交．故选A．考点：直线与圆的位置关系．9．（2014·资阳）已知⊙O1与⊙O2的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x2﹣5x+5=0的两个根，则⊙O1与⊙O2的位置关系是．【答案】相离．【解析】试题分析：∵两圆的半径分别是方程x2﹣5x+5=0的两个根，∴两半径之和为5，∵⊙O1与⊙O2的圆心距为6，∴6＞5，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相离．故答案为：相离．考点：1．根与系数的关系；2．圆与圆的位置关系．10．（2014·某某）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B 为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM= ．【答案】3 3．考点：切线的性质．11．（2014·某某省某某市）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且BC CE=（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若tan∠CAB=34，BC=3，求DE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）9 5．【解析】试题分析：（1）连结OC，由BC CE=，根据圆周角定理得∠1=∠2，而∠1=∠OCA，则∠2=∠OCA，则可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连结BE交OC于F，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，在Rt△ACB中，根据正切的定义得AC=4，考点：切线的判定．☞考点归纳归纳 1：点和圆的位置关系基础知识归纳：设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r 点P在⊙O内；d=r 点P在⊙O上；d>r 点P在⊙O外．基本方法归纳：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．注意问题归纳：符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．【例1】在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙ A的半径为2，下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外【答案】A．考点：点与圆的位置关系．归纳2：直线与圆的位置关系基础知识归纳：直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：直线l与⊙O相交 d<r；直线l与⊙O相切 d=r；直线l与⊙O相离 d>r；注意问题归纳：直线与圆的位置关系，解题的关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系．【例2】已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d ＜1，则m=4．其中正确命题的个数是（）A． 1 B． 2 C． 4 D． 5【答案】C．考点：直线与圆的位置关系．归纳3：圆和圆的位置关系基础知识归纳：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种．如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种．如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．基本方法归纳：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离 d>R+r两圆外切 d=R+r两圆相交 R-r<d<R+r（R≥r）两圆内切 d=R-r（R>r）两圆内含 d<R-r（R>r）【例3】如图，当半径分别是5和r的两圆⊙O1和⊙O2外切时，它们的圆心距O1O2=8，则⊙O2的半径r为（）A． 12 B． 8 C． 5 D． 3【答案】D．【解析】试题分析：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8-5=3．故选D．考点：圆与圆的位置关系．☞1年模拟（2015届某某省某某第二中学校级模拟）已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离PO=1，1．则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切 B．相离 C．相交 D．无法判断【答案】C．考点：直线与圆的位置关系．2．（2015届某某省某某校级模拟）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙ A的半径为2，下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外【答案】A．【解析】试题分析：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．故选A．考点：点与圆的位置关系．3．（2015届某某省某某市校级模拟）如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF=52°，则∠A的度数是【答案】76°．考点：1三角形的内切圆与内心；2．圆周角定理；3．切线的性质．4．（2015届某某省某某麓山国际等四校联考）Rt ABC ∆中，90,6,8C AC BC ∠===．则ABC ∆的内切圆半径r =______．【答案】2．【解析】试题分析：利用面积分割法可得出直角三角形内切圆的半径r 与三角形的三边之间的关系为：c b a abr ++= 其中：a ，b 是直角三角形的两条直角边，c 是直角三角形的斜边由勾股定理可求出斜边AB=10所以内切圆半径2108686=++⨯=r考点：直角三角形的内切圆和内心．5．（2015届市怀柔区一模）已知两圆的半径分别为2cm 和4cm ，它们的圆心距为6cm ，则这两个圆的位置关系是 ．【答案】外切．【解析】试题分析：圆心距6=两个半径之和，所以这两个圆相外切．考点：圆有关的位置关系．6．（2015届某某省某某市一模）两圆的圆心距d=6，两圆的半径长分别是方程01272=+-x x 的两根，则这两个圆的位置关系是 ．【答案】内切．考点：1．圆与圆的位置关系；2．解一元二次方程-因式分解法．7．（2015届某某省某某市一模）如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB 与小圆相切，AB=2n ，则图中阴影部分的面积是（）．【答案】A．【解析】试题分析：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB．∵AB于小圆切于点C，∴OC⊥AB，∴BC=AC=12AB=12×2n=n∵圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2）又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2∴圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2）=π•BC2=n2π．故选A．考点：1．垂径定理的应用；2．切线的性质．8．（2015届某某中江县校级模拟）如图所示，图①中圆与正方形各边都相切，设这个圆的周长为；图②中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的周长为；图③中的九个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这九个圆的周长为；…．依此规律，当正方形边长为2时，= ____________．【答案】10100π．考点：1．相切两圆的性质；2．规律型：图形的变化类．9．（2015届某某省滕州市校级模拟）已知P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B．若PA＝6，则PB＝．【答案】6．【解析】试题分析：∵PA、PB都是⊙O的切线，且A、B是切点，∴PA=PB，即PB=6．考点：切线长定理．10．（2015届某某省如皋市校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD 切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C= 度．【答案】40°．考点：1．切线的性质；2．圆周角定理．。
初中数学 中考复习专题：圆与等腰三角形有关题型
DCOPEBA中考圆专题——等腰三角形与圆教学目标：1、复习等腰三角形的“三线合一”性质在圆的证明与计算中的运用。
2、在“三线合一”的背景下灵活解决圆的综合问题。
【例1】如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点B ，延长BO 交⊙O 于点D ，与PA 的延长线交于点E ， （1）求证：PB 为⊙O 的切线，； （2）若tan ∠ABE= 12，求sinE 的值。
举一反三：已知：如图, AB 是⊙O 的直径, AB=AC, BC 交⊙O 于点D, 延长CA 交⊙O 于点F, 连接DF, DE ⊥CF 于点E ．(1) 求证：DE 是⊙O 的切线； (2) 若AB=10, 4cos 5C ∠=, 求EF 的长．E DO BA F【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于E，过点D作DF⊥AC于F。
（1）求证：DF为⊙O的切线，；（2）若5AB=52，求AE的长.举一反三：如图，在△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE于C，过C作CD⊥AE于D，DC 的延长线与AB的延长线交于点P .（1）求证：PD为⊙O的切线，；（2）若AE=5，BE=6，求DC的长.【例3】已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC=4,cosC=13时，求⊙O的半径.【例4】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连结PC，交AD于点E．(1)求证：AD是圆O的切线；(2)若PC是圆O的切线，BC＝8，求DE的长．，AF 【例5】如图，在△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交AB于D，DE BE平分∠ABC，且AF⊥EC。
初中数学_《圆的有关计算专题复习》教学设计学情分析教材分析课后反思
《圆有关的计算（专题复习课）》教学设计一、教学目标（一）知识目标：1．掌握正多边形、弧长、扇形面积计算公式；2．熟悉平行线、三角形、四边形以及多边形等基本几何图形的性质；3．熟悉圆的性质.（二）能力目标：1．能运用平移、旋转、轴对称等图形变换等方法对图形进行再构造；2．在解决问题的过程中能合理运用转化的数学思想把复杂图形转化为基本几何图形求解．（三）情感目标：通过本专题的学习，培养学生自主探究与合作交流的能力，收获解题的成功感，并受到数学图形美的熏陶．二、过程与方法1、指导学生经历观察、猜想、验证、计算，归纳平移、旋转、轴对称、割补、等积变换等方法，掌握平行线、三角形、圆的有关性质定理的运用；2、鼓励学生在认真观察之后进行小组讨论，交流解题方法，探索最优解题途径；3、引导学生利用知识把复杂图形转化成简单几何图形进行求解，掌握转化的思想．三、教学重难点：重点：正多边形的有关计算、与圆有关的面积计算；难点：如何将复杂问题（图形）转化为简单问题（图形）．四、教学过程：(一)运用知识，发现方法本环节主要是通过三个引例，达到让学生回顾知识，归纳出解决面积计算的基本思路和方法。
23，则该圆的内接正六边形3393183363引例2：在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD沿直线l向右翻滚两次至如图所示位置，则点B所经过的路线长是（结果不取近似值）．变式训练：求矩形ABCD一次翻滚后扫过的区域面积本题在让学生充分观察图形、相互讨论交流．学生讨论后求出。
教师先引领学生回顾弧长及扇形面积公示。
在次基础上对点B的运动路线进行描述后有学生得出。
引例3：3．（2011•连云港校级一模）如图，在△ABC中，AB=4cm，BC=2cm，∠ABC=30°，把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C′处，那么AC边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是 cm2．采用先让学生独立思考探究，然后鼓励学生在自己独立思考探究的基础上，充分的发表自己的意见．教师参与到小组的讨论中，引导学生利用图形变化求出．归纳：通过以上的三个引例，引导学生归纳得出正多边形及计算方法及与圆有关的面积计算的问题所涉及到的有关知识和主要方法．主要有三种方法：1、正多边形计算与解直角三角形的联系2、和差法求阴影图形面积：S总体-S空白=S阴影3．图形变换法：通过图形变换 (平移、旋转、对称、割补)使其转化为基本几何图形的面积计算，或者为使用和差法提供条件．此法包括割补、平移、旋转、等积代换等方法．(二) 巩固提高，强化方法（对应上环节，在知识、方法及思维层面进行适度拓展．该环节设置了几各联系．）问题学生活动教师活动23，23，23）的位置，则图中阴影部分的面积为．2．如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（）学生分小组进行交流和讨论，充分说明思路和解题方法．由于该题难度不大，在提问时要多关注中下学生．4．如图，扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣D．﹣教师可先适当引导学生分析，（三）灵活运用。
专题18 圆压轴题 -备战2023年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)(解析版)
专题18 圆压轴题以圆为背景的综合问题是中考压轴题的命题趋势之一，按往年命题趋势猜测，很大概率会和平行线段分线段成比例（2020年），梯形，特殊平行四边形（最新热点）等知识点结合，主要考查学生挖掘信息的能力，难题分解能力，数学综合能力考点一定圆结合直角三角形，考察函数关系，圆心距，存在性问题；考点二定圆结合直角三角形；三角形相似，线段与周长的函数关系；考点三定圆结合直角三角形；考察函数关系，三角形面积比值问题；考点四定圆结合平行线，弧中点，考察函数关系，与圆相切问题；考点五动圆结合三角形，考察三角形相似，考察三角形相似，函数关系；考点六动圆结合内切直角三角形，三角形相似，线段比，圆位置关系；考点七动圆结合定圆，考察函数关系，与圆有关的位置关系；考点八动圆结合定圆，函数关系，四边形，正多边形结合的问题。
一、解答题1．（2022·上海嘉定·统考二模）在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．(1)如图1，求证：»等于»CD；AD(2)如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长．AB为直径Q\∠ADB=90°\∠DBA+∠DAB=90°DAC＋∠DAB＝90°Q∠\∠DAC=∠DBA又Q∠DCA=∠DBA\∠DAC=∠DCA\AD=CD\»AD=»CD（2）证明：如图：连接BD、CD，过点D作DG⊥AC于点G \аDGA=90由(1)知AD=CD\垂直平分ACDG\AC AG=2QAE DE=\ÐÐ=ADF DACDAC＋∠DAB＝90°Q∠\∠ADF＋∠DAB＝90°\ÐаDFA AGD==90又=QAD DA()\△≌△ADF DAG AASDF AG\=\AC DF=2（3）2．（2021春·上海徐汇·九年级统考阶段练习）已知：⊙O 的半径为3，OC ^弦AB ，垂足为D ，点E 在⊙O 上，ECO BOC Ð=Ð，射线CE 与射线OB 相交于点F ．设,AB x =，CE y =，(1)求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域；(2)当OEFD为直角三角形时，求AB的长；(3)如果1BF=，求EF的长．∴AB =OB =3（3）①当CF ＝OF ＝OB –BF ＝2时，可得：△CFO ∽△COE ，CE ＝292OC CF =，∴EF ＝CE –CF ＝95222-=．②当CF ＝OF ＝OB +BF ＝4时，可得：△CFO ∽△COE ，CE ＝294OC CF =，∴EF ＝CF–CE ＝97444-=．【点睛】本题考查了有关圆的知识的综合题，分类讨论是解决问题的关键．3．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，等边△ABC 内接于⊙O ，P 是»AB上任一点（点P 与点A 、B 重合），连接AP 、BP ，过点C 作CM ∥BP 交P A 的延长线于点M ．(1)求∠APC 和∠BPC 的度数；(2)求证：△ACM ≌△BCP ；(3)若P A ＝1，PB ＝2，求四边形PBCM 的面积；(4)在（3）的条件下，求»AB的长度．【答案】(1)∠APC ＝60°，∠BPC ＝60°(2)见解析(3)15344．（2021秋·上海金山·九年级期末）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A ＝12∠O ．已知：如图2，AC 是⊙O 的一条弦，点D 在⊙O 上（与A 、C 不重合），联结DE 交射线AO 于点E ，联结OD ，⊙O 的半径为5，tan ∠OAC ＝34．(1)求弦AC 的长．(2)当点E 在线段OA 上时，若△DOE 与△AEC 相似，求∠DCA 的正切值．(3)当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．由垂径定理得：AH＝在Rt△OAH中，tanÐ∴设OH＝3x，AH＝∵OH2+AH2＝OA2，由（1）可得OH＝3，∵OE＝1，∴AE＝4，ME＝6，∵EG∥OH，∴△AEG∽△AOH，又∵∠M ＝∠C ， 同理可求EG ＝185，∴EC ＝22GC EG +∵AM 是直径，∴∠ADM ＝90°＝∠EGC又∵∠M ＝∠C ，∴△EGC ∽△ADM ，5．（2021·上海·统考二模）如图，已知扇形AOB 的半径4OA =，90AOB Ð=°，点C 、D 分别在半径OA 、OB 上（点C 不与点A 重合），联结CD ．点P 是弧AB 上一点，PC PD =．（1）当3cot 4ODC Ð=，以CD 为半径的圆D 与圆O 相切时，求CD 的长；（2）当点D 与点B 重合，点P 为弧AB 的中点时，求OCD Ð的度数；（3）如果2OC =，且四边形ODPC 是梯形，求PCD OCDS S △△的值．6．（2021·上海青浦·统考二模）已知：在半径为2的扇形AOB 中，0180AOB m m Ð=°£（＜），点C 是»AB上的一个动点，直线AC 与直线OB 相交于点D ．（1）如图1，当090m BCD V ＜＜，是等腰三角形时，求D Ð的大小（用含m 的代数式表示）；（2）如图2，当90m =，点C 是»AB 的中点时，连接AB ，求ABD ABCS S V V 的值；（3）将»AC沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB所在的直线相切于点E，且OE=时，求线段AD的长．1（3）图2如下：【点睛】本题考查圆的综合菱形的判定和性质、勾股定理等是解题关键．7．（2022春·上海·九年级专题练习）已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结P A、PO，点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交P A、PO于点D、E．（1）如图，当cos∠CBO＝7时，求BC的长；8（2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；（3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积．8．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知在四边形ABCD 中，//AD BC ，90ABC Ð=°，以AB 为直径的O e 交边DC 于E 、F 两点，1AD =，5BC =，设O e 的半径长为r ．（1）联结OF ，当//OF BC 时，求O e 的半径长；（2）过点O 作OH EF ^，垂足为点H ，设OH y =，试用r 的代数式表示y ；（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，ODGV是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．Ð=Ð，GOD GDO∵//OG AD，∴ADO GODÐ=Ð，∴ADO GDOÐ=Ð，∴DO是ADGÐ的平分线，由题意知：OA AD^，，又OH CD^∴OA OH=，则此时圆O和CD相切，不合题意；综上所述，ODGV能成为等腰三角形，22r=．【点睛】本题考查了垂径定理、梯形中位线定理、勾股定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和梯形中位线定理是解题的关键．9．（2022·上海·九年级专题练习）如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C在半圆⊥，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点O上．过点A作AD OCF（点F不与点B重合）．的中点时，求弦BC的长；（1）当点F为¶BC（2）设OD＝x，DE＝y，求y与x的函数关系式；AE（3）当△AOD与△CDE相似时，求线段OD的长．10．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知半圆⊙O的直径AB＝10，弦CD∥AB，且CD＝8，E为弧CD的中点，点P在弦CD上，联结PE，过点E作PE的垂线交弦CD于点G，交射线OB于点F．（1）当点F与点B重合时，求CP的长；（2）设CP＝x，OF＝y，求y与x的函数关系式及定义域；（3）如果GP＝GF，求△EPF的面积．一、解答题1．（2022·上海嘉定·统考二模）在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．(1)如图1，求证：»等于»CD；AD(2)如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长．(3)取BC中点H，连接OH、OD，则BH=CH=1BC=3，OH⊥BC，证2Rt△OED≌Rt△BHO，推出OE=BH=3，OD=OA=5，则在Rt△OED中，求出DE的长，在Rt△AED中，可求出AD的长．（1）证明：如图：连接BD、CDAB为直径Q\∠ADB=90°\∠DBA+∠DAB=90°DAC＋∠DAB＝90°Q∠\∠DAC=∠DBA又Q∠DCA=∠DBA\∠DAC=∠DCA\AD=CD\»AD=»CD（2）证明：如图：连接BD、CD，过点D作DG⊥AC于点G\а=90DGA由(1)知AD=CD\垂直平分ACDG\AC AG=2Q=AE DE\ÐÐ=ADF DAC2．（2021春·上海徐汇·九年级统考阶段练习）已知：⊙O的半径为3，OC^弦AB，垂足为D ，点E 在⊙O 上，ECO BOC Ð=Ð，射线CE 与射线OB 相交于点F ．设,AB x =，CE y =，(1)求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数定义域；(2)当OEF D 为直角三角形时，求AB 的长；(3)如果1BF =，求EF 的长．3．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是»上任一点AB（点P与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交P A的延长线于点M．(1)求∠APC和∠BPC的度数；(2)求证：△ACM≌△BCP；(3)若P A＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积；(4)在（3）的条件下，求»的长度．AB4．（2021秋·上海金山·九年级期末）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝12∠O．已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝34．(1)求弦AC的长．(2)当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．(3)当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．由垂径定理得：AH＝∵∠DEO ＝∠AEC ，∴当△DOE 与△AEC »»AD AD=Q \12ACD DOE Ð=Ð，∴△AEG∽△AOH，∴AE EG AGAO OH AH==，∴4013345EG AG==，∴2413EG=，由（1）可得 OH ＝3，∵OE ＝1，∴AE ＝4，ME ＝6，∵EG ∥OH ，∴△AEG ∽△AOH ，∴45AE AG EG AO AH OH ===AG 16EG 12又∵∠M ＝∠C ，同理可求EG ＝185，∴EC ＝22GC EG +∵AM 是直径，∴∠ADM ＝90°＝∠EGC 又∵∠M ＝∠C ，∴△EGC ∽△ADM ，5．（2021·上海·统考二模）如图，已知扇形AOB 的半径4OA =，90AOB Ð=°，点C 、D 分别在半径OA 、OB 上（点C 不与点A 重合），联结CD ．点P 是弧AB 上一点，PC PD =．（1）当3cot 4ODC Ð=，以CD 为半径的圆D 与圆O 相切时，求CD 的长；（2）当点D 与点B 重合，点P 为弧AB 的中点时，求OCD Ð的度数；（3）如果2OC =，且四边形ODPC 是梯形，求PCD OCDS S △△的值．。
九年级数学圆专题训练
九年级数学圆专题训练摘要：1.圆的概述2.圆的相关概念3.圆的性质4.圆的计算5.圆的应用正文：九年级数学圆专题训练旨在帮助学生深入理解圆的相关知识，提高解决与圆相关的数学问题的能力。
本文将从圆的概述、相关概念、性质、计算和应用五个方面进行讲解。
一、圆的概述圆是平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。
定点称为圆心，定长称为半径。
圆可以分为内接圆、外接圆、同心圆等。
二、圆的相关概念1.圆心：圆中心的点。
2.半径：从圆心到圆上任意一点的线段。
3.直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段。
4.弧：圆上任意两点间的部分。
5.圆周角：以圆心为顶点，以两条射线分别与圆相交所构成的角。
6.圆心角：以圆心为顶点，以两条射线分别与圆相交所构成的角。
三、圆的性质1.圆的直径等于半径的两倍。
2.圆周角等于其所对的圆心角的两倍。
3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，所对的圆心角相等。
4.在同圆或等圆中，直径所对的圆周角为直角，直径所对的圆心角为平角。
四、圆的计算1.计算圆的面积：圆的面积公式为πr，其中r 为半径。
2.计算圆的周长：圆的周长公式为2πr，其中r 为半径。
3.计算圆弧长：圆弧长公式为θr，其中θ为圆心角的弧度制表示，r 为半径。
4.计算圆扇形的面积：圆扇形的面积公式为(θ/360)πr，其中θ为圆心角的弧度制表示，r 为半径。
五、圆的应用1.解直角三角形：利用圆的性质，可以将直角三角形的斜边作为直径，构造外接圆，从而求解其他边和角。
2.解圆与直线的交点：通过求解圆与直线的交点，可以解决一些实际问题，如求两个圆的交点等。
3.解圆与圆的位置关系：判断两个圆的位置关系，如内含、内切、外切、相交等。
沪教版初中总复习专题训练中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(提高)
沪教版初中数学中考总复习知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（提高）【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r．要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．考点三、与圆有关的规律探究1．和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述．(1)圆中最长的弦是直径．如图①，AB是⊙O的直径，CD为非直径的弦，则AB＞CD，即直径AB是最长的弦．过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图②，P是⊙O内任意一点，过点P作⊙O的直径AB，过P作弦CD⊥AB于P，则CD是过点P的最短的弦．(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上．如图所示，P在⊙O外，连接PO交⊙O于A，延长PO交⊙O于B，则在点P与⊙O上各点连接的线段中，PB最长，PA最短．(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上．如图所示，P为⊙O内一点，直径过点P，交⊙O于A、B两点，则PB最长、PA最短．2．与三角形内心有关的角(1)如图所示，I是△ABC的内心，则∠BIC．(2)如图所示，E是△ABC的两外角平分线的交点，．(3)如图所示，E是△ABC内角与外角的平分线的交点，．(4)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，则∠DOE＝180°－∠A．(5)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，．(6)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，P为上一点，则．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用1．已知：如图所示，⊙O中，半径OA＝4，弦BC经过半径OA的中点P，∠OPC＝60°，求弦BC的长．【思路点拨】要用好60°角，构造直角三角形．在圆中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦长及半径构成直角三角形．【答案与解析】解：过O作OM⊥BC于M，连接OC．在Rt△OPM中，∠OPC＝60°，OP，∴PM＝1，OM＝．在Rt△OMC中，BC＝2MC＝．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．2．如图所示，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，，连接AC．(1)求证：△MAC是等腰三角形；(2)若AC为⊙O直径，求证：AC2＝2AM·AB．【思路点拨】(1)证明∠MCA＝∠MAC；(2)证明△AOM∽△ABC．【答案与解析】证明：(1) ∵，∴∠MCA＝∠MAC．∴△MAC是等腰三角形．(2)连接OM．∵AC为⊙O直径，∴∠ABC＝90°．∵△MAC是等腰三角形，OA＝OC，∴MO⊥AC．∴∠AOM＝∠ABC＝90°．∵∠MAO＝∠CAB，∴△AOM∽△ABC，∴，∴AO·AC＝AM·AB，∴AC2＝2AM·AB．【总结升华】本题考查的是圆周角定理，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O中，AB＝2CD，则( )A． B．C． D．与的大小关系无法确定【答案】解：要比较与的大小有两种思路．(1)把的一半作出来，比较与的大小；(2)把作出来，比较与的大小．如图所示，作OE⊥AB，垂足为E，交于F．则，且．∵AB＝2CD．∴AE＝CD．在Rt△AFE中，AF＞AE＝CD．∴AF＞CD．∴，即．答案A.【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题2】3．已知：如图所示，△ABC内接于⊙O，BD⊥半径AO于D．(1)求证：∠C＝∠ABD；(2)若BD＝4.8，sinC＝，求⊙O的半径．【思路点拨】过O作OE⊥AB于E，连接BO，再由垂径定理及三角函数进行证明与求解.【答案与解析】解法一：(1)过O作OE⊥AB于E，连接BO(如图所示)，则．又∵ BD⊥AO，∴∠ABD+∠BAD＝90°．∵∠AOE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠AOE＝∠C．（2）在Rt△ABD中，，∴．设AD＝4k，则AB＝5k，BD＝3k＝4.8，k＝1.6．∴AB＝8，AE＝4．∵，∴．∴OA＝5．解法二：（1）延长AO交⊙O于C′．（如图所示）∴∠C′＝∠C．∵AC′为⊙O的直径，∴∠ABC′＝90°．∴∠C′+∠BAD＝90°．∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C′＝∠C．（2）在Rt△BDC′中，，∴．在Rt△ABC′中，∵，∴设AB＝4k，则AC′＝5k，BC′＝3k＝6．∴k＝2．∴．【总结升华】解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心．类型二、圆的切线判定与性质的应用4．（2014秋•兴化市月考）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AC=8，BC=6，求线段BE的长．【思路点拨】（1）根据切线的性质可得结论；（2）连接OE，根据圆周角定理得∠ACB=90°，进而可推导得出△PCF是等腰三角形；（3）先在Rt△ACB中，根据勾股定理计算出AB=10，最终算得BE的值．【答案与解析】（1）证明：∵PD为⊙O的切线，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵O A=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=2∠BCE=90°，∴∠OFE+∠OEF=90°，而∠OFE=∠CFP，∴∠CFP+∠OEF=90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，∴∠PCF=∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：在Rt△ACB中，∵AC=8，BC=6，∴AB==10，∴OB=5，∵∠BOE=90°，∴△BOE为等腰直角三角形，∴BE=OB=5．【总结升华】本题考查了切线的性质，圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．举一反三：【变式】（2015•毕节市）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．【答案】（1）证明：连结OA、OD，如图，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠D+∠DFO=90°，∵AC=FC，∴∠CAF=∠CFA，∵∠CFA=∠DFO，∴∠CAF=∠DFO，而OA=OD，∴∠OAD=∠ODF，∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵圆的半径R=5，EF=3，∴OF=2，在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，∴DF==．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且，求证△DCE≌△OCB．【思路点拨】（1）由于AB是直径，那么∠ACB=90°，而∠ABC=30°，易求∠BAC=60°，结合OA=OC，易证△AOC 是正三角形，于是∠OCD=60°，结合CD是切线，易求∠DCE=30°，在Rt△AEF中，易求∠E=30°，于是∠DCE=∠E，可证△CDE为等腰三角形；（2）在Rt△ABC中，由于∠A=60°，AB=2，易求AC=AO=1，利用勾股定理可求BC=，CE=AE-AC=，那么BC=CE，而∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，从而可证△OBC≌△DCE．【答案与解析】解：(1)∵∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°．又∵OA＝OC，∴△AOC是正三角形．∵CD是切线，∴∠OCD＝90°．∴∠DCE＝180°-60°＝90°－30°．∴∠DCE＝∠DEC而ED⊥AB于F，∴∠CED＝90°－∠BAC＝30°．故△CDE为等腰三角形．(2)证明：在△ABC中，∵AB＝2，AC＝AO＝1，∴BC＝．，∴．又∵∠AEF＝30°，∴AE＝2AF＝．∴CE＝AE－AC＝＝BC．而∠OCB＝∠ACB－∠ACO＝30°＝∠ABC，故△CDE≌△COB．【总结升华】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△AOC是正三角形．举一反三：【变式】如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝________．【答案】解：连接PQ并延长交AB于E，设大圆的圆心为O，连接OA．设AB＝2x，则AE＝x，OB＝2x-2．在Rt△OAE中，OA＝5，∵OA2＝OE2+AE2，即52＝(2x-2)2+x2，∴x＝3．∴AB＝6．答案：66．如图所示，⊙O的直径AB＝4，点P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，连接AC．PM平分∠APC 交AC于M．(1)若∠CPA＝30°，求CP的长及∠CMP的度数；(2)若点P在AB的延长线上运动，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，请求出∠CMP的度数；(3)若点P在直径BA的延长线上，PC切⊙O于点C，那么∠CMP的大小是否变化？请直接写出你的结论．【思路点拨】（1）作辅助线，连接OC，根据切线的性质知：OC⊥PC，由∠CPO的值和OC的长，可将PC的长求出；（2）通过角之间的转化，可知：∠CMP=（∠COP+∠CPO），故∠CMP的值不发生变化．【答案与解析】解:(1)连接OC，则∠OCP＝90°．∵ OA＝OC，∴∠COP＝2∠CAP＝60°．∴ CP＝OC·tan60°＝AB·tan60°＝，∴ CP＝．∵ PM平分∠CPA，∴．∴∠CMP＝30°+15°=45°.(2)设∠CPA＝α，∵ PM平分∠CPA，∴∠MPA＝∠CPA．∵∠OCP＝90°，∴∠COP＝90°-α．又∵ OA＝OC，∴∠CAP＝．∴∠CMP＝∠CAP+∠MPA．（3）∠CMP的大小没有变化∵∠CMP=∠A+∠MPA=∠COP+∠CPO=（∠COP+∠CPO）=×90°=45°．【总结升华】解第(2)小题时，引用“设∠CPA＝α”这一方法，用代数方法计算得出结论，降低了解题的难度．本题主要考查切线的性质及对直角三角形性质的运用．举一反三：【变式】如图所示，AB是⊙O的直径，C是的中点，CD⊥AB于D，CD与AE相交于F．(1)求证：AC2＝AF·AE；(2)求证：AF＝CF．【答案】证明：(1)如图所示，连接CE，延长CD交⊙O于G，连接AG．∵AB是⊙O直径，CD⊥AB，∴．∴∠2＝∠3．又∵∠1＝∠1，∴△AFC∽△ACE．∴．∴ AC2＝AF·AE．(2)由(1)得．又∵C是的中点，∴．∴∠2＝∠1．∴AF＝CF．。
初中数学专题复习(圆内接四边形的性质)
初中数学专题复习（圆内接四边形的性质）1．（2020•张家界）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：C．2．（2021•碑林区校级一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝CD，且∠ADC ＝120°，若点E为弧BC的中点，连接DE，则∠CDE的大小是（）A．25°B．30°C．35°D．40°解：连接BD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵AD＝CD，∴＝，∴∠DBC＝∠ABD＝＝30°，∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°﹣∠CBD＝60°，∵E为的中点，∴∠CDE＝∠BDE＝BDC＝30°，故选：B．3．（2020•牡丹江）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°解：连接OA，OB，OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，∵，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠ABC＝∠AOC＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．故选：B．4．（2021•涪城区模拟）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC＝30°，∠CBD＝80°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°解：由圆周角定理得，∠CAD＝∠CBD＝80°，∴∠BAD＝80°+30°＝110°，∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝70°，故选：C．5．（2020•广西）如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，DH＝，∠ABC＝120°，则AB+BC的值为（）A．B．C．2D．解：延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，如图，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×120°＝60°，∵∠DAC＝∠DBC＝60°，∠DCA＝∠DBA＝60°，∴△DAC为等边三角形，∴DA＝DC，在△ADE和△BCD中，，∴△ADE≌△BCD（SAS），∴∠E＝∠DBC＝60°，而∠DBA＝60°，∴△DBE为等边三角形，∵DH⊥AB，∴BH＝EH，在Rt△BDH中，BH＝DH＝×＝1，∴BE＝2BH＝2，∴AB+BC＝2．故选：C．6．（2021•安徽模拟）如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A、∠C的度数之比为4：5，则∠C的度数是100°．解：∵∠A、∠C的度数之比为4：5，∴设∠A＝4x，则∠C＝5x．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，即4x+5x＝180°，解得x＝20°，∴∠C＝100°．故答案为：100°．7．（2021•广西模拟）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，若∠BCD＝120°，则∠BOD度数为120°．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故答案为：120°．8．（2021•武汉模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，则∠BOD＝140°．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，∴∠BOD＝2∠C＝140°．故答案为：140．9．（2021•禹州市一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝120°，则∠AOC的度数为120°．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠B＝120°，故答案为：120°．10．（2020•张家港市模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝110°；（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＝180°﹣∠BAC＝110°，故答案为：110；（2）证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC；（3）解：过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴∠BAH＝∠CAH＝CAB，CH＝BH，∵∠BAC＝2∠DAC，∴∠CAG＝∠CAH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∴∠G＝∠AHC＝90°，∵AC＝AC，∴△AGC≌△AHC（AAS），∴AG＝AH，CG＝CH，∵∠CDG＝∠ABC，∴△CDG∽△ABH，∴＝＝，∴＝，设BH＝k，AH＝2k，∴AB＝＝k＝10，∴k＝2，∴BC＝2k＝4．11．（2020•雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形．（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD＝90°，∵∠ADC＝120°，∴∠ADM＝60°，∴∠DAM＝30°，∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，∵CD＝3，∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，＝CD•AM＝×＝，∴S△ACDRt△AMC中，∠AMD＝90°，∴AC＝＝＝，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝，∴BN＝BC＝，＝×＝，∴S△ABC∴四边形ABCD的面积＝+＝，∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠E＝60°，∴∠E＝∠BDC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAB＝∠BCD，在△EAB和△DCB中，，∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．12．（2019•十堰）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3B．3C．4D．2解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故选：D．13．（2019•德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（）A．130°B．140°C．150°D．160°解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故选：B．14．（2019•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A＝180°，∴∠C＝180°﹣40°＝140°．故选：D．15．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC 的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．16．（2019•牡丹江）如图，四边形ABCD内接于⊙O，CB＝CD，∠BCD＝2∠BAD，若BC＝6，则⊙O的半径是（）A．6B．8C．10D．4解：如图，作直径BE，连接CE，则∠E＝∠BAC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等）∵BE是⊙O的直径，∴∠BCE＝90°，∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，∵BC＝CD，∴＝，∴∠BAC＝∠DAC＝，∴∠E＝∠BAC＝30°，∵BC＝6，∴BE＝2BC＝12，∴⊙O的半径是6，故选：A．17．（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为52°．解：∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．故答案为：52°．18．（2019•盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝155°．解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为：155．19．（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为100°；解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，故答案为：100°。
初中数学中考专题复习之圆专题06 圆心角、弧、弦的关系
专题06 圆心角、弧、弦的关系1．AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．50°解析：∵的度数为50°，∴∠BOC＝50°，∵半径OC⊥AB，∴＝，，∴∠ADC＝∠BOC＝25°．选B．2．如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N 在⊙O上．下列结论：①MC＝ND，②＝＝，③四边形MCDN是正方形，④MN＝AB，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解析：连接OM、ON，如图，∵MC⊥AB、ND⊥AB，∴∠OCM＝∠ODN＝90°，∵C、D分别是OA、OB的中点，OA＝OB，∴OC＝OD＝OM＝ON，∴∠OMC＝∠OND＝30°，∴∠COM＝∠DON＝60°，∴∠MON＝60°，∴＝＝，所以②正确；∴△OMN为等边三角形，∴MN＝CD，∠OMN＝60°∴MN∥CD，∴四边形CDNM为矩形，∴MC＝ND，所以①正确；③错误；∵MN＝CD＝OA+OB＝AB，∴④正确．选C．3．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（）A．32°B．60°C．68°D．64°解析：∵＝，∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝32°∴∠COE＝32°+32°＝64°．选D．4．如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°解析：∵∠A＝50°，OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵点C是弧AB的中点，∴∠BOC＝∠AOB＝40°，选C．5．下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．90°的角所对的弦是直径C．等弧所对的弦相等D．圆的切线垂直于半径解析：A，要强调在同圆或等园，相等的圆心角所对的弧才相等；B，90°的圆周角所对的弦是直径，要强调这个90°的角是圆周角；C，等弧所对的弦相等，这个命题是正确的；D，圆的切线垂直于过切点的半径，不是垂直于所有的半径．选C．6．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，＝，∠AOB＝58°，则∠BDC的度数是（）A．58°B．42°C．32°D．29°解析：连接OC，∵＝，∴∠BOC＝∠AOB＝58°，由圆周角定理得，∠BDC＝∠BOC＝29°，选D．7．P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（）A．26°B．28°C．30°D．32°解析：∵和所对的圆心角分别为88°和32°，∴∠A＝×32°＝16°，∠ADB＝×88°＝44°，∵∠P+∠A＝∠ADB，∴∠P＝∠ADB﹣∠A＝44°﹣16°＝28°．选B．8．下列说法正确的是（）A．同弧或等弧所对的圆心角相等B．相等的圆周角所对的弧相等C．弧长相等的弧一定是等弧D．平分弦的直径必垂直于弦解析：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，故本选项正确；B、如图，∠EBF＝∠CAD，但是弧EF≠弧CD，故本选项错误；C、在同圆或等圆中，弧长相等的弧是等弧，故本选项错误；D、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，如图，弦AB和直径CD就不垂直，故本选项错误；选A．9．下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等D．圆心到弦的距离相等，则弦相等解析：A，C，D中没有强调在同圆和等圆中，故错误，只有B正确，选B．10．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC＝30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度．A．30 B．45 C．50 D．60解析：∵OD⊥BC，∠ABC＝30°，∴在直角三角形OBE中，∠BOE＝60°（直角三角形的两个锐角互余），即∠DOB＝60°．又∵∠DCB＝∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠DCB＝30°；选A．11．如图所示，AB是所对的弦，AB的垂直平分线CD分别交，AB于C，D，AD 的垂直平分线EF分别交，AB于E，F，DB的垂直平分线GH分别交，AB于G，H，则下面结论不正确的是（）A．B．C．EF＝GH D．解析：A、正确，CD是AB的中垂线，点C也是弧AB的二等分点，B、正确，在同圆中，两直线平行，则直线所夹的弧相等，C、正确，在同圆中，弦心距相等，则弦相等，弦的一半也相等D、错误．点F是AD的中点，但点E不一定是弧AC的二等分点．选D．12．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为40°，则的度数是．解析：连接OD、OE，∵的度数为40°，∴∠AOD＝40°，∵CD＝CO，∴∠ODC＝∠AOD＝40°，∵OD＝OE，∴∠ODC＝∠E＝40°，∴∠DOE＝100°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∴的度数是120°．13．如图，AB是⊙O的直径，点D、C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC＝，则⊙O的半径长为．解析：延长CO交⊙O于R，连AR，DR，过D作DM⊥AR于M，∵∠DOC＝90°，∴∠DOR＝90°，∴∠DAR＝180°﹣×90°＝135°，∴∠DAM＝45°，∵DM⊥AM，DA＝2，∴DM＝AM＝，∴MR＝2，DR＝，∵2OD2＝DR2，∴OD＝14．如图，多边形ABDEC是由边长为m的等边△ABC和正方形BDEC组成，⊙O过A、D、E三点，则∠ACO＝．解析：∵多边形ABDEC是由边长为m的等边△ABC和正方形BDEC组成，∴AC＝EC，∠ACE＝∠ACB+∠ECB＝60°+90°＝150°，∵⊙O过A，D，E三点，∴AO＝EO，又OC＝OC，∴△ACO≌ECO（SSS），∴∠ACO＝∠ECO＝∠ACE＝1/2×150°＝75°，15．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，以点B为圆心，BC长为半径作弧AC，点D为弧AC的中点，连接CD，点E为BC上一个动点（不与点B，C重合），连接DE，以DE所在直线为对称轴作△DEC的对称图形，点C的对称点为点F，当点F落在△ABC的边上时（不与端点重合），CE＝．解析：如图1中，当点F蜡烛BC上时，连接BD．此时∠BED＝90°，∠DBE＝30°，BD＝BA＝BC＝2，∴BE＝AB•c o s30°＝，∴CE＝BC﹣BE＝2﹣如图2中，当点F落在AB上时，连接DA．由题意：∠DAF＝∠DFA＝∠EFD＝∠ECD＝75°，∴∠BFE＝30°，∵∠EBF＝60°，∴∠FEB＝90°，∴EF＝EC＝BE，∴BE+BE＝2，∴BE＝﹣1，∴EC＝BC﹣BE＝2﹣（﹣1）＝3﹣，综上所述，满足条件的CE的值为2﹣或3﹣．16．如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，在ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，∴∠BCE＝∠BAC，又C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠CDB，∴∠BCE＝∠DBC，∴CF＝BF．（2）解析：连接OC交BD于G，如图2所示：∵AB是O的直径，AB＝2OC＝10，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝＝8，∵C是弧BD的中点，∴OC⊥BD，DG＝BG＝BD＝4，∵OA＝OB，∴OG是△ABD的中位线，∴OG＝AD＝3，∴CG＝OC﹣OG＝5﹣3＝2，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝2．17．如图，M为⊙O上一点，OD⊥AM于D，OE⊥BM于E，若OD＝OE．求证：＝．证明：∵OD⊥AM，OE⊥BM，∴∠ODA＝∠OEB＝90°，AD＝DM，ME＝EB，∵OD＝OE，OA＝OB，∴Rt△ODA≌Rt△OEB（HL），∴AD＝BE，∴AM＝BM，∴＝18．如图1，AB、AC为⊙O的两条弦，AO平分∠BAC．（1）求证：＝；（2）如图2，AE⊥直径BD于E①求证：BC＝2AE；②若DE＝2，BC＝8，求AB的长．（1）证明：过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，∵OA平分∠BAC，∴OD＝OE，∴AB＝CD，∴＝；（2）①延长AO交BC于H，连接AD，∵＝；∴AB＝AC，∵AO平分∠BAC，∴AH⊥BC，BH＝CH＝BC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠D+∠DAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠D，∵∠C＝∠D，∴∠C＝∠BAE，∵∠AHC＝∠AEB＝90°，∴△ABE≌△CAH（AAS），∴CH＝AE，∴BC＝2AE；②∵BC＝8，∴AE＝BC＝4，∵DE＝2，∴AD＝＝2，∵∠D＝∠BAE，∠AED＝∠AEB＝90°，∴△ABE∽△DAE，∴＝，∴＝，∴AB＝4．19．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．证明：（1）∵C是的中点，∴，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴，∴，∴CD＝BF，在△BFG和△CDG中，∵，∴△BFG≌△CDG（AAS）；（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，∵，∴，∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，解得：r＝1（舍）或3，∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，∴BF＝2；解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵，∴∠HAC＝∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE＝AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝2+2＝4，∴AB＝4+2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴，∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12，∴BF＝BC＝2．解法三：如图，连接OC，交BD于H，∵C是的中点，∴OC⊥BD，∴DH＝BH，∵OA＝OB，∴OH＝AD＝1，∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，∴△COE≌△BOH（AAS），∴OH＝OE＝1，∴CE＝EF＝＝2，∴BF＝＝＝2．20．如图，A、B是⊙O上两点，点C是弧AB的中点，∠AOB＝120°．（1）求证：四边形OACB是菱形；（2）延长OA至P使得OA＝AP，连接PC，PC＝，求⊙O的半径．证明：（1）连结OC，如图，∵C是的中点，∠AOB＝l20°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等边三角形，∴AC＝OA＝OB＝BC，∴四边形OACB是菱形．（2）∵由（1）知，△OAC是等边三角形，∴AC＝OA，∠OAC＝∠ACO＝60°，∴∠PAC＝120°．又∵OA＝AP，∴AP＝AC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴∠PCO＝∠PCA+∠ACO＝90°，即PC⊥OC．又∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线，∵PC＝，∴OC＝1，即⊙O的半径是1．。
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一、知识点梳理 知识点1圆的定义：1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .2. 圆是 ________ 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 _____________ ；圆又是 _________ 对称图形， _______________ 是它的对称中心.知识点2:弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念1. 在同圆或等圆中，相等的弧叫做 _________2. 同弧或等弧所对的圆周角 __________ ，都等于它所对的圆心角的—_3. 直径所对的圆周角是 _________ ，90°所对的弦是 _______ —例1 P 为。
o 内一点，op=3cm 。
o 半径为5cm 贝燈过P 点的最短弦长为 _________________ ； ?最长弦 长为 ________ . 例2 如图，在Rt △ ABC 中，/ ACB=9（度.点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP 交AC 于点D,若 半圆弧的圆心为O,点D 点E 关于圆心O 对称.则图中的两个阴影部分的面积 S i , S 2之间的关系是 （ ）A. S v S 2B. S > S 2C. S i =S 2D.不确疋P例3如图，正方形的边长为a ,以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）1例3小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为 1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A. 2 B . 5 C . 2、2 D . 3例4如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦 的长，就计算出了圆环的面积，若测量得 AB 的长为20米，则圆环的面积为（）AB.10 n 平方米 C . 100平方米 D . 100n 平方米铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位: 则该铁球的直径为（）cm ），A. 8.8cm B . 8cm C . 9cm D . 10cm例6如图，BE 是半径为6的圆D 的 圆周，C 点是弧BE 上的任意一点，△ ABD 是等边三角形,4（1） 由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由.（2） 若交点P 在。
O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由.例2在圆柱形油槽内装有一些油•截面如图，油面宽 AB 为6分米，如果再注入一些油后，油 面AB 上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径 皿助（ ）A. 6分米 B . 8分米 C . 10分米 D . 12分米BCA. 10平方米B则四边形ABCD 勺周长P 的取值范围是（）A. 12v P W 18 B . 18v P W 24 C . 18v P < 18+6.2 D . 12v P < 12+6 2知识点5:确定圆的条件及内切圆三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的 ________________ 、这个圆的圆心叫做三 角形的 ___________ 、这个三角形是圆的 .切线的判定与性质判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有 ________________ 的直线是圆的切线。
② 到圆心的距离等于 _________ 的直线是圆的切线。
③ 经过半径的外端点并且 ____________ 于这条半径的直线是圆的切线。
切线的五个性质：①切线与圆只有 ____________ 公共点；② 切线到圆心的距离等于圆的 _________ ； ③ 切线垂直于经过切点的 ___________ ；④ 经过圆心垂直于切线的直线必过 ___________ ； ⑤ 经过切点垂直于切线的直线必过 ___________ 。
三角形内切圆和三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ___________ ，三角形内切圆的圆心叫三角形的 _________ • 切线长定理经过圆外一点作圆的切线，这点与 __________ 之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长•过圆 外一点可以引圆的两条切线，它们的 _______________ 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线 的 .例1 如图，△ ABC 是O O 的内接三角形，ADLBC 于D 点，且AC=5 CD=3 AB=4迁，则O O 的外心.若A 点坐标为（3, 4），M 点坐标为（-1，1），则B 点坐标为何（ ）A. （3，-1 ） B . （3，-2） C . （3，-3） D . （3，-4）例3如图所示，已知O 0是厶ABC 的外接圆，AD 是O O 的直径，连接CD 若AD=3 AC=2则cosD 的值为（）<5 2A.的直径等于（）A. 5 2 B . 3 2 C . 5 2 D . 7例2如图，在坐标平面上，Rt △ ABC 为直角三角形，/ ABC=90，AB 垂直x 轴，M 为Rt △ ABC知识点6:点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外其中r为圆的半径，d为点到圆心的距离，例1如图，在Rt △ ABC中，直角边AB=3，BC=4，点E，F分别是BC，AC的中点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，则点E在圆A的_______________ 点F在圆A的____________ .例2在直角坐标平面内，圆0的半径为5,圆心0的坐标为（-1,-4）•试判断点P（3,-1）与圆0 的位置关系.例3 如图，铁路MN和公路PQ在点0处交汇，/ Q0N=3°，公路PQ上A处距离0点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/ 小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（）A. 12 秒B . 16 秒C . 20 秒D . 24 秒例4 矩形ABCD中, AB=8 BC=35，点P在边AB上，且BP=3AP如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A.点B、C均在圆P外 B .点B在圆P夕卜、点C在圆P内C•点B在圆P内、点C在圆P外 D .点B、C均在圆P内例5 一个点到圆的最大距离为11cm最小距离为5cm则圆的半径为（）A. 16cm或6cm B . 3cm或8cm C . 3cm D . 8cm知识点7:直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：例1、在期RC中，BC=6cm/ B=30°，Z C=45，以A为圆心，当半径r多长时所作的O A 与直线BC 相切？相交？相离？例2.如图，AB为。
O的直径，C是。
O上一点，D在AB的延长线上，且/ DCB=0 A.(1) CD与相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由.(2)若CD与O 0相切，且/ D=30，BD=10求O O的半径.例3如图，在平面直角坐标系中，O 0的半径为1，则直线y=x- 2与。
0的位置关系是(A.相离B .相切C .相交D .以上三种情况都有可能例4如图，已知线段0A交。
0于点B,且OB=AB点P是。
0上的一个动点，那么/ OAP的最大值是()A. 30° B . 45° C . 60° D . 90知识点8:圆和圆的位置关系设两圆半径分别为R和r。
圆心距为d o (R>r)1.两圆外离0；2.两圆外切：3.两圆相交0；4.两圆内切：5.两圆内含二例1.如图所示，点A坐标为(0，3)，0A半径为1，点B在x轴上.(1)若点B坐标为(4，0)，O B半径为3,试判断O A与。
B位置关系;(2)若O B过M (-2, 0)且与O A相切，求B点坐标.例2已知两圆半径「1、「2分别是方程X2-7X+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是( )□A.相交 B •内切 C •外切 D •外离例3如图，O 0,0 0,0 02的半径均为2cm O C 3,O Q 的半径均为1cm O O 与其他4个圆均 相外切，图形既关于00所在直线对称，又关于00所在直线对称，则四边形0C4QQ 的面积为（）2 2 2 2A. 12cmB. 24cm C . 36cm D . 48cm例4定圆0的半径是4cm 动圆P 的半径是2cm 动圆在直线I 上移动，当两圆相切时，0P 的 值是（ ）A. 2cm 或 6cmB . 2cmC . 4cmD . 6cm课堂小结：一、 这章有三条常用辅助线：一是圆心距，第二是直径圆周角，第三条是切线径，就是连接圆心和切点的，或者是连接圆周角的距离。
二、 有几个分析题目的思路，在圆中有一个非常重要，就是弧、弦与圆周角互相转换，那么怎么去应用，就根据题目条件而定。
作业一、选择题1.（北京市西城区）如图, BC 是O 0的直径，P 是CB 延长线上一点, =1，那么/ APC 等于()(A ) 15 (B ) 30 (C ) 45 (D ) 602.（北京市西城区）如果圆柱的高为 20厘米，底面半径是高的那么这个圆柱的侧面积是（）（A ） 100 n 平方厘米 （B ） 200 n 平方厘米 （C ） 500 n 平方厘米（D ） 200平方厘米3.（北京市西城区）“圆材埋壁” 是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题, “今在圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是: 为O 0的直径，弦AB 丄CD 垂足为 E CE= 1寸，AB= 10寸，求直径CD 的长”25(A )25寸2(B ) 13 寸 (C ) 25 寸 4.（北京市朝阳）已知：如图，O 于（ ）（A 6（ B ） 2、5 C ） 2 .10 （ D ） 2 .PA 切O 0于点A ，如果PA= ： 3，PB B P“如图，CD依题意，CD 长为( )(D ) 26 寸0半径为5, PC 切O 0于点C,5.（北京市朝阳）如果圆锥的侧面积为20n平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于（）(A) 2厘米(B) 2 .2厘米(C) 4厘米(D) 8厘米、填空题1.（北京市东城区）如图，AB AC是O O的两条切线，切点分别为B、C,D是优弧従上的一点，已知/ BAC= 80 ［那么/ BDC= ___________ 度.2.（北京市东城区）在Rt△ ABC中，/ C= 90 ', A B = 3, BC= 1,以AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的侧面展开图的面积是 ____________3.（北京市海淀区）如果圆锥母线长为6厘米，那么这个圆锥的侧面积是 __________ 平方厘米4.（北京市海淀区）一种圆状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为“20厘米X 60米”经测量这筒保鲜膜的内径S、外径「2的长分别为3.2厘米、4.0厘米，则该种保鲜膜的厚度约为_________ 厘米（n取3.14，结果保留两位有效数字）.三、解答题:1.（苏州市）已知：如图，△ ABC内接于O O,过点B作O O的切线，交CA的延长线于点E，Z EBC= 2 /C.①求证：AB= AC1 AB②若tan / ABE=—，（i）求的值；（ii）求当AC= 2时，AE的长.2 BC2. （广州市）如图，PA为O O的切线，A为切点，O O的割线PBC过点O与O O分别交于B C, PA= 8cm PB= 4cm 求O O 的半径.3. （河北省）已知：如图，BC是O O的直径，AC切O O于点C, AB交O O于点D,若AD:DB= 2 : 3，AC= 10,求sin B 的值.4. （北京市海淀区）如图，PC为O O的切线，C为切点，PAB是过O的割线，CDL AB于点1D,若tan B=丄，PC= 10cm 求三角形BCD勺面积.25. （宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切，D为切点，且MN/ AB MN= a, ON CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积.E 6. （四川省）已知，如图，以△ ABC的边AB作直径的O O,分别并AC BC于点D E,O等于（ ）弦 FG// AB S A CDE S A ABC= 1 : 4, DE= 5cm FG= 8cm7.(贵阳市)如图所示： PA 为O O 的切线，A 为切点,PA= 10，PB= 5，求：(1) 0 O 的面积(注：用含 n 的式子表示)； (2) cos / BAP 的值.的面积为（ ）A. n a * 2-a 2 B . 2 n a 2-a 2 C. 1 n a 2-a 2 D .a 2-1 n a 22 4例4车轮半径为0.3m 的自行车沿着一条直路行驶，车轮绕着轴心转动的转速为100转/分，则自行车的行驶速度（）A. 3.6 n 千米/时 B . 1.8 n 千米/时 C . 30千米/时 D . 15千米/时例5如图，。