《古典概型》练习题(有祥细解答)
高中数学必修二 10 1 3 古典概型 练习(含答案)
10.1.3 古典概型一、选择题1．下列有关古典概型的四种说法：①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率()kP An=.其中所正确说法的序号是（）A．①②④B．①③C．③④D．①③④【答案】D【解析】②中所说的事件不一定是样本点，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.故选:D.2．某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为( )A．15B．14C．49D．59【答案】C【解析】从9个球中任意取出1个,样本点总数为9,取出的球恰好是白球含4个样本点,故所求概率为49,故选：C.3．甲乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）A ．13 B ．14 C ．15 D ．16【答案】A【解析】依题意，基本事件的总数有339⨯=种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为3193=. 4．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为（ ）A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C【解析】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,基本事件有：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c ，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,A a A b A c B b B c C c ，共 6种,∴齐王的马获胜的概率为6293P ==，故选C. 5．（多选题）下列概率模型是古典概型的为( )A ．从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小B ．同时据两枚质地均匀的骰子,点数和为6的概率C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10人站成一排,其中甲,乙相邻的概率 【答案】ABD【解析】古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等.显然A､B､D符合古典概型的特征，所以A､B､D是古典概型；C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选：ABD.6．（多选题）张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是（）A．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜D．张明､李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜【答案】ACD【解析】选项A中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A符合题意;选项B中,张明获胜的概率是12,而李华获胜的概率是14,故游戏规则不公平,B不符合题意;选项C中,扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C符合题意;选项D中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D符合题意.故选：ACD二、填空题7．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于9的概率是_______．【答案】1 6【解析】抛掷一个骰子两次，基本事件有36种，其中符合题意的有：()()()()()()4,6,5,5,,5,6,6,4,6,5,6,6共六种，故概率为61 366=.8．有红心1，2，3，4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是_______．【答案】3 5【解析】五张扑克牌中随机抽取两张，有：12、13、14、15、23、24、25、34、35、45共10种，抽到2张均为红心的有：12、13、14、23、24、34共6种，所以，所求的概率为：63105=故答案为：35. 9．从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a 、b ，则为整数的概率= ．【答案】16【解析】：从2，3，8，9中任取两个数记为,a b ，作为作为对数的底数与真数，共有2412A =个不同的基本事件，其中为整数的只有23log 8,log 9两个基本事件，所以其概率21126P ==. 10．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________． 【答案】0.2【解析】∵A ＝“摸出红球或白球”与B ＝“摸出黑球”是对立事件，且P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C ＝“摸出红球或黑球”与D ＝“摸出白球”是对立事件，且P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38. 设事件E ＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B ∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2. 三、解答题11．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y.奖励规则如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个；②若8xy≥，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅰ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【答案】（Ⅰ）516.（Ⅰ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.【解析】（Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩具的概率为5 16．（Ⅰ）满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，所以小亮获得水杯的概率为6 16；小亮获得饮料的概率为5651161616 --=，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．12．某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表.(1)求正整数a ，b ，N 的值；(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？ (3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率． 【答案】（1）25,100，250； （2）1人，1人，4人； （3）815. 【解析】 (1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =. 且0.08251000.02b =⨯= 总人数252500.025N ==⨯ (2)因为第1,2,3组共有2525100150++=人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为2561150⨯=， 第2组的人数为2561150⨯=，第3组的人数为10064150⨯=， 所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．(3)由(2)可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1C ，2C ，3C ，4C 则从6人中抽取2人的所有可能结果为：()A B ，，()1A C ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，()12C C ，，()13 C C ，，()14C C ，，()()2324 C C C C ，，，，()34C C ，共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：()1AC ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，共有8种．8 15.所以恰有1人年龄在第3组的概率为。
古典概型练习题(有详细问题详解)
古典概型练习题1.从12个同类产品(其中10个正品,2个次品)中任意抽取3个,下列事件是必然事件的是A.3个都是正品B.至少有一个是次品 ( )C.3个都是次品D.至少有一个是正品2.给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件②“当x为某一实数时可使20x<”是不可能事件③“明天要下雨”是必然事件④“从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”是随机事件. 其中正确命题的个数是 ( )A. 0B. 1C.2D.33.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于40的概率为A. 15B.25C.35D.45( )4.袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为A. 37B.710C.110D.310( )5.从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9纸片中任取2,那么这2 纸片数字之积为偶数的概率为( )A. 12B.718C.1318D.11186.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为( )A.715B.815C.35D. 17.下列对古典概型的说法中正确的个数是 ( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③基本事件的总数为n,随机事件A包含k个基本事件,则()kP An=；④每个基本事件出现的可能性相等；A. 1B. 2C. 3D. 48.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球,那么下列事件中互斥事件的个数是( )⑴至少有一个白球,都是白球；⑵至少有一个白球,至少有一个红球；⑶恰有一个白球,恰有2个白球；⑷至少有一个白球,都是红球.A.0B.1C.2D.39.下列各组事件中,不是互斥事件的是 ( )A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班数学期中考试成绩,平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C.播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒D.检查某种产品,合格率高于70%与合格率为70% 10．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6．将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件11.下列说法中正确的是 ( )A.事件A 、B 至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B.事件A 、B 同时发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件,对立事件也是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件,而对立事件一定是互斥事件12.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上1,2,3,现任取3面,它们的颜色与均不相同的概率是 （ ）A.13B.19C.114D.12713.若事件A 、B 是对立事件,则P(A)+P(B)=________________.14.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________。
古典概型 最新同步练习(含详解)
古典概型 同步练习一、选择题1．鞋柜里有3双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，恰好成双的概率为( )A.23B.13C.35D.25解析：鞋柜里有3双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，共有9种取法，恰好成双的取法共有3种，故恰好成双的概率为39＝13，故选B.答案：B2．甲乙两名同学分别从“象棋”“文学”“摄影” 三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是( )A.14B.13C.12D.23解析：由题意，甲乙两名同学各自等可能地从“象棋”“文学”“摄影” 三个社团中选取一个社团加入，共有3×3＝9种不同的结果，这两名同学加入同一个社团有3种情况，则这两名同学加入同一个社团的概率是39＝13.故选B.答案：B3．小亮、小明和小红约好周六骑共享单车去森林公园郊游，他们各自等可能地从小黄车、小蓝车、小绿车这3种颜色的单车中选择1种，则他们选择相同颜色自行车的概率为( )A.13B.19C.23D.49解析：由题意，小亮，小明和小红各自等可能地从小黄车、小蓝车、小绿车这3种颜色的单车中选择1种有27种不同的结果，他们选择相同颜色自行车有3种不同的结果，故他们选择相同颜色自行车的概率为327＝19，故选B.答案：B4．若从数字0，1，2，3，4，5中任取三个不同的数作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数，则与x 轴有公共点的二次函数的概率是( )A.15B.12C.1350D.1750解析：实验发生包含的事件是从0，1，2，3，4，5中任取三个不同的数作为二次函数的系数，对应二次函数共有C 15A 25＝100个，满足条件的事件是与x 轴有公共点的二次函数，需满足b 2≥4ac ，当c ＝0时， a ，b 只需要从1，2，3，4，5中任选2个数字即可，对应的二次函数共有A 25个；当c ≠0时，若b ＝3，此时满足条件的(a ，c )取值有(1，2)，(2，1)，共2种情况；当b ＝4时，此时满足条件的(a ，c )取值有(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，共4种情况；当b ＝5时，此时满足条件的(a ，c )取值有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(3，2), 共8种情况．∴共有20＋2＋4＋8＝34种情况满足题意，∴概率为34100＝1750，故选D.答案：D5．用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为( ) A. 3 B.12 C.23 D.58解析：三种不同的颜色分别用A ，B ，C 表示，随机事件所包含的基本事件有：(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9个，其中表示两个小球颜色不同的有6个，则两个小球颜色不同的概率为P ＝69＝23，故选C.答案：C6．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球．由于抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多，选B.答案：B7．有4张卡片(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿，从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片，则取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为( )A.12B.35C.13D.56解析：有4张卡片(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿，从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片，基本事件总数n ＝C 24＝6，取出的2张卡片中含有红色卡片包含的基本事件个数m ＝C 11C 13＝3，∴取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为P ＝m n ＝36＝12.故选A. 答案：A8．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任取2件，则出现次品的概率为( )A.2245B.949C.47245 D ．以上都不对解析：因为一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，所以从这批产品中任意抽2件，基本事件总数n ＝C 250＝1 225，其中出现次品的对立事件是取到两件正品，所以出现次品的概率为P ＝1－C 245C 250＝47245，故选C. 答案：C9．已知一袋中有标有号码1、2、3的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取5次卡片时停止的概率为( )A.585B.1481C.2281D.2581解析：根据题意可知，取5次卡片可能出现的情况有35种；由于第5次后停止抽取，所以前四次抽卡片时有且只有两种编号，且第五次是剩下的那种编号，所以总的可能有C 23(24－2)种．所以恰好第5次后停止取卡片的概率为P ＝C 23（24－2）35＝1481.本题选择B 选项．答案：B10．6件产品中有4件合格品，2件次品。
古典概型练习题(有详细答案)
古典概型练习题1.从12个同类产品(其中10个正品,2个次品)中任意抽取3个,下列事件是必然事件的是A.3个都是正品B.至少有一个是次品C.3个都是次品D.至少有一个是正品2.给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件②“当x为某一实数时可使20x<”是不可能事件③“明天要下雨”是必然事件④“从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”是随机事件.其中正确命题的个数是( )A. 0B. 1C.2D.34.袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为（）A. 37B.710C.110D.3105.从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张纸片中任取2张,那么这2 张纸片数字之积为偶数的概率为( )A. 12B.718C.1318D.11186.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女当选的概率为( )A.715B.815C.35D. 17.下列对古典概型的说法中正确的个数是 ( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③基本事件的总数为n,随机事件A包含k个基本事件,则()kP An=；④每个基本事件出现的可能性相等；A. 1B. 2C. 3D. 48.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球,那么下列事件中互斥事件的个数是( )⑴至少有一个白球,都是白球；⑵至少有一个白球,至少有一个红球；⑶恰有一个白球,恰有2个白球；⑷至少有一个白球,都是红球.A.0B.1C.2D.39.下列各组事件中,不是互斥事件的是 （ ）A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班数学期中考试成绩,平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C.播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒D.检查某种产品,合格率高于70%与合格率为70%10.若事件A 、B 是对立事件,则P(A)+P(B)=________________.11.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________。
古典概型习题
古典概型习题课一．选择题1．口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是（）A．B．C ．D ．2．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为（）A．B．C ．D ．3．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从{1，2，3}中随机选取一个数b，则关于x的方程x2+2ax+b2=0有两个不相等的实根的概率是（）A．B．C ．D ．4．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（）A．B．C ．D ．5、甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是（）A．B．C ．D ．6．从标有1，2，3，4，5，6的6张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为6的概率是（）A．B．C ．D ．7．某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票3张，五元餐票1张，若从他口袋中随意摸出2张，则其面值之和不少于4元的概率为（）A．B．C ．D ．8．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．19．从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为（）A．B．C ．D ．10．已知某路口最高限速50km/h，电子监控测得连续6辆汽车的速度如图的茎叶图（单位：km/h）．若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为（）A．B．C ．D ．11．从集合{2，3，4，，}中取两个不同的数a，b，则log a b＞0的概率为（）A．B．C ．D ．12．某单位计划在下月1日至7日举办人才交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，取么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为（）A ．B ．C ．D ．13．某袋中有编号为1，2，3，4，5，6的6个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（）A ．B ．C ．D ．14．书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，取出的恰好都是数学书的概率为（）A ．B ．C ．D ．二．填空题15．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污染，记甲、乙的平均成绩为，，则＞的概率是．16．从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为．17．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为．18．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2；从五张卡片中，任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为．三．解答题19、某区工商局、消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20，30），第2组[30，40），第3组[40，50），第4组[50，60），第5组[60，70]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；（Ⅱ）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率．20．某网站针对“2015年春节放假安排”开展网上问卷调查，提出了A、B两种放假方案，调查结果如表支持A方案200 400 800 支持B方案100 100 n已知从所有参与调查的人种任选1人是“老年人”的概率为．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）从参与调查的“老年人”中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求恰好有1人“支持B方案”的概率．21．某高三年级从甲（文）乙（理）两个年级组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩（满分：100分）的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85分，乙组学生成绩的中位数是83分．（1）求x和y的值；（2）从成绩在90分以上的学生中随机取两名学生，求甲组至少有一名学生的概率．22．某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．23．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率。
古典概型练习题(有详细答案)解析
古典概型练习题1.从12个同类产品(其中10个正品,2个次品中任意抽取3个,下列事件是必然事件的是A.3个都是正品B.至少有一个是次品 (C.3个都是次品D.至少有一个是正品2.给出下列四个命题:①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件②“当x为某一实数时可使20x<”是不可能事件③“明天要下雨”是必然事件④“从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”是随机事件. 其中正确命题的个数是 (A. 0B. 1C.2D.33.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于40的概率为5B.25C.35D.45(4.袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为A. 37B.710110D.310(5.从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9纸片中任取2,那么这2 纸片数字之积为偶数的概率为(A. 12B.718C.1318D.186.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为(A.715B.815C.35D. 17.下列对古典概型的说法中正确的个数是 (①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③基本事件的总数为n,随机事件A包含k个基本事件,则(kP An④每个基本事件出现的可能性相等;A. 1B. 2C. 3D. 48.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球,那么下列事件中互斥事件的个数是(⑴至少有一个白球,都是白球;⑵至少有一个白球,至少有一个红球;⑶恰有一个白球,恰有2个白球;⑷至少有一个白球,都是红球.A.0B.1C.2D.39.下列各组事件中,不是互斥事件的是 (A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班数学期中考试成绩,平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C.播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒D.检查某种产品,合格率高于70%与合格率为70%10.一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点数不小于4,则(A.A与B是互斥而非对立事件B.A与B是对立事件C.B与C是互斥而非对立事件D.B与C是对立事件11.下列说法中正确的是 (A.事件A 、B 至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B.事件A 、B 同时发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件,对立事件也是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件,而对立事件一定是互斥事件12.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上1,2,3,现任取3面,它们的颜色与均不相同的概率是 ( A.13 B.19 C.114 D.12713.若事件A 、B 是对立事件,则P(A+P(B=________________.14.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________。
高三数学古典概型试题答案及解析
高三数学古典概型试题答案及解析1.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是种结果，满足条件得事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到，故选A.【考点】古典概型及其概率计算公式.2.甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由.【答案】（1）;（2）这种游戏规则是公平的.【解析】（1）设“两个编号和为8”为事件A,计算甲、乙两人取出的数字等可能的结果数，事件A包含的基本事件为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个，按古典概型概率的计算公式计算；（2）首先按古典概型计算两人分别获胜的概率，通过比较大小，作出结论.所以这种游戏规则是公平的.试题解析：（1）设“两个编号和为8”为事件A,则事件A包含的基本事件为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个，又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36（个）等可能的结果，故 6分（2）这种游戏规则是公平的. 7分设甲胜为事件B,乙胜为事件C，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有18个：(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)所以甲胜的概率,乙胜的概率＝ 11分所以这种游戏规则是公平的. 12分【考点】古典概型概率的计算.3.（本小题满分12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同。
古典概型练习题(有详细答案)(可编辑修改word版)
古典概型练习题1.从12 个同类产品(其中 10 个正品,2 个次品)中任意抽取 3 个,下列事件是必然事件的是A.3 个都是正品B.至少有一个是次品( )C.3 个都是次品D.至少有一个是正品2.给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件②“当 x 为某一实数时可使x2< 0 ”是不可能事件③“明天要下雨”是必然事件④“从 100 个灯泡中取出 5 个,5 个都是次品”是随机事件. 其中正确命题的个数是( )A. 0B. 1C.2D.33.从数字 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于 40 的概率为1 2 3 4A. B. C. D. ( )5 5 5 54.袋中有 3 个白球和 2 个黑球,从中任意摸出 2 个球,则至少摸出 1 个黑球的概率为3 7 1 3A. B. C. D. ( )7 10 10 105.从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9 的9 张纸片中任取2 张,那么这2 张纸片数字之积为偶数的概率为( )1 7 13 11A. B. C. D.2 18 18 186.某小组共有 10 名学生,其中女生 3 名,现选举 2 名代表,至少有 1 名女生当选的概率为( )7 8 3A. B. C. D. 115 15 57.下列对古典概型的说法中正确的个数是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；k③基本事件的总数为n,随机事件A 包含k 个基本事件,则P (A)=；n④每个基本事件出现的可能性相等；A. 1B. 2C. 3D. 48.从装有2 个红球和2 个白球的口袋中任取两球,那么下列事件中互斥事件的个数是( )⑴至少有一个白球,都是白球；⑵至少有一个白球,至少有一个红球；⑶恰有一个白球,恰有 2 个白球；⑷至少有一个白球,都是红球.A.0B.1C.2D.39.下列各组事件中,不是互斥事件的是( ) A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8 与命中环数小于6B.统计一个班数学期中考试成绩,平均分数不低于 90 分与平均分数不高于 90 分C.播种菜籽100 粒,发芽90 粒与发芽80 粒D.检查某种产品,合格率高于70%与合格率为70%10.一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6．将这个玩具向上抛掷1 次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A．A 与B 是互斥而非对立事件B．A 与B 是对立事件C．B 与C 是互斥而非对立事件D．B 与C 是对立事件11.下列说法中正确的是( )A.事件 A、B 至少有一个发生的概率一定比 A、B 中恰有一个发生的概率大B.事件 A、B 同时发生的概率一定比 A、B 中恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件,对立事件也是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件,而对立事件一定是互斥事件12.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3 面,在每种颜色的3 面旗帜上分别标上号码1,2,3,现任取3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是（）1 1 1 1A. B. C. D.3 9 14 2713.若事件A、B 是对立事件,则P(A)+P(B)= .14.从1,2,3,4,5 这5 个数中任取两个,则这两个数正好相差1 的概率是。
古典概型练习题(有详细答案)
古典概型练习题1.从12个同类产品(其中10个正品,2个次品)中任意抽取3个,下列事件是必然事件的是A.3个都是正品B.至少有一个是次品 ( )C.3个都是次品D.至少有一个是正品2.给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件②“当x为某一实数时可使20x<”是不可能事件③“明天要下雨”是必然事件④“从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”是随机事件. 其中正确命题的个数是 ( )A. 0B. 1C.2D.33.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于40的概率为A. 15B.25C.35D.45( )4.袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为A. 37B.710C.110D.310( )5.从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张纸片中任取2张,那么这2 张纸片数字之积为偶数的概率为( )A. 12B.718C.1318D.11186.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为( )A.715B.815C.35D. 17.下列对古典概型的说法中正确的个数是 ( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③基本事件的总数为n,随机事件A包含k个基本事件,则()kP An=；④每个基本事件出现的可能性相等；A. 1B. 2C. 3D. 48.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球,那么下列事件中互斥事件的个数是( )⑴至少有一个白球,都是白球；⑵至少有一个白球,至少有一个红球；⑶恰有一个白球,恰有2个白球；⑷至少有一个白球,都是红球.A.0B.1C.2D.39.下列各组事件中,不是互斥事件的是 ( )A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班数学期中考试成绩,平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C.播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒D.检查某种产品,合格率高于70%与合格率为70% 10．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6．将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件11.下列说法中正确的是 ( )A.事件A 、B 至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B.事件A 、B 同时发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件,对立事件也是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件,而对立事件一定是互斥事件12.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1,2,3,现任取3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是 （ ） A.13 B.19 C.114 D.12713.若事件A 、B 是对立事件,则P(A)+P(B)=________________.14.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________。
11.2 古典概型 练出高分(含答案解析)
§11.2 古典概型A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2011·课标全国)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )A.13B.12C.23D.34答案 A解析 甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3种．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13.2． (2011·陕西)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )A.136B.19C.536D.16答案 D解析 最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P ＝636＝16D.3． 甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0,5,10三个数字，每人则可喊0,5,10,15,20五个数字，当两人所出数字之和等于某人所喊数字时喊该数字者获胜，若甲喊10，乙喊15时，则( )A ．甲胜的概率大B ．乙胜的概率大C ．甲、乙胜的概率一样大D ．不能确定谁获胜的概率大 答案 A解析 甲、乙两人喊拳，每人用手出0,5,10三个数字，有(0,0)，(0,5)，(0,10)，(5,0)，(5,5)，(5,10)，(10,0)，(10,5)，(10,10)，共9种情况．若甲喊10，则有(0,10)，(5,5)，(10,0)，共3种情况获胜，所以甲胜的概率为1315时，有(5,10)，(10,5)，共2种情况获胜，所以乙胜的概率为29.所以甲胜的概率大．4． 一个袋中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )A.15B.310C.25D.12答案 C解析 从袋中任取两个球，其一切可能结果有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，黑3)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，(红1，红2)共10个，同色球为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)共4个结果，∴P ＝25.二、填空题(每小题5分，共15分)5． 一根绳子长为6米，绳子上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为________． 答案35解析 随机选一个节点将绳子剪断共有5种情况，分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．满足两段绳长均不小于2米的为(2,4)，(3,3)，(4,2)，共3种情况．所以所求概率为35.6． 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________． 答案34解析 从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为347． 在平面直角坐标系中，从五个点：A (0,0)、B (2,0)、C (1,1)、D (0,2)、E (2,2)中任取三个，则这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示)． 答案45解析 从五个点中任取三个点有10种不同的取法，其中A 、C 、E 和B 、C 、D 共线．故能构成三角形10－2＝8(个)，所求概率为P ＝810＝45.三、解答题(共22分)8． (10分)(2012·天津)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查． (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率． 解 (1)由分层抽样定义知， 从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种， 所以P (B )＝315＝15.9． (12分)已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设集合P ＝{－1,1,2,3,4,5}，Q ＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数的概率．解 分别从集合P 和Q 中任取一个数作为a 和b ，则有(－1，－2)，(－1，－1)，…，(－1,4)；(1，－2)，(1，－1)，…，(1,4)；…；(5，－2)，(5，－1)，…，(5,4)，共36种取法．由于函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a ，要使y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 必有a >0且2ba≤1，即a >0且2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－2，－1；若a ＝2，则b ＝－2，－1,1； 若a ＝3，则b ＝－2，－1,1；若a ＝4，则b ＝－2，－1,1,2； 若a ＝5，则b ＝－2，－1,1,2.故满足题意的事件包含的基本事件的个数为2＋3＋3＋4＋4＝16.因此所求概率为1636＝49.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )A.13B.14C.16D.112答案 C解析 复数(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，则n 2－m 2＝0⇒m ＝n ，而投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有6种，所以所求概率为66×6＝16.2． 宋庆龄基金会计划给西南某干旱地区援助，6家矿泉水企业参与了竞标．其中A 企业来自浙江省，B ，C 两家企业来自福建省，D ，E ，F 三家企业来自河南省．此项援助计划从两家企业购水，假设每家企业中标的概率相同．则在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是( )A.45B.35C.12D.15答案 A解析 在六家矿泉水企业中，选取两家有15种情况，其中至少有一家企业来自河南的有12种情况，故所求概率为45.3． 连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512B.712C.13D.12答案 A解析 ∵(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n <0，∴m >n .基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)． ∴P ＝1536＝512，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 为了了解某市工厂“一创双优”活动的开展情况，从A 、B 、C 3个县区中抽取7个工厂进行调查，已知A 、B 、C 3个县区中分别抽取2、3、2个工厂．若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，则这2个工厂中至少有1个来自A 县区的概率为________．答案1121解析 从A 县区抽取的2个工厂记为A 1、A 2，从B 县区抽取的3个工厂记为B 1、B 2、B 3，从C 县区抽取的2个工厂记为C 1、C 2，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能结果为(A 1，A 2)、(A 1，B 1)、(A 1，B 2)、(A 1，B 3)、(A 1，C 1)、(A 1，C 2)、(A 2，B 1)、(A 2，B 2)、(A 2，B 3)、(A 2，C 1)、(A 2，C 2)、(B 1，B 2)、(B 1，B 3)、(B 1，C 1)、(B 1，C 2)、(B 2，B 3)、(B 2，C 1)、(B 2，C 2)、(B 3，C 1)、(B 3，C 2)、(C 1，C 2)，共21种．随机抽取的2个工厂中至少有1个来自A 县区的结果为(A 1，A 2)、(A 1，B 1)、(A 1，B 2)、(A 1，B 3)、(A 1，C 1)、(A 1，C 2)、(A 2，B 1)、(A 2，B 2)、(A 2，B 3)、(A 2，C 1)、(A 2，C 2)，共11种．所以这2个工厂中至少有1个来自A 县区的概率P ＝1121.5. 如图在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点．在A 、P 、M 、C 中任 取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F .设G 为满足向量OG →＝OE →＋OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不 含边界)的概率为________． 答案34解析 基本事件的总数是4×4＝16，在OG →＝OE →＋OF →中，当OG →＝OP →＋OQ →，OG →＝OP →＋ON →，OG →＝ON →＋OM →，OG →＝OM →＋OQ →时，点G 分别为该平行四边形各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34. 6． 若集合A ＝{a |a ≤100，a ＝3k ，k ∈N *}，集合B ＝{b |b ≤100，b ＝2k ，k ∈N *}，在A ∪B中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A ∩B 中的概率为________． 答案1667解析 易知A ＝{3,6,9，…，99}，B ＝{2,4,6，…，100}， 则A ∩B ＝{6,12,18，…，96}，其中有元素16个． A ∪B 中元素共有33＋50－16＝67(个)， ∴所求概率为1667.三、解答题7． (13分)(2012·北京)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a >0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．(注：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数)解 (1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23. (2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )≈400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值． 因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.即s 2的最大值为80 000.。
古典概型练习题
古典概型练习题古典概型是概率论中的一个重要概念，用于解决实际问题中的概率计算。
它是指在一个随机试验中，所有可能的结果都是等概率出现的情况。
下面将给出几个古典概型练习题，通过解答这些问题来加深对古典概型的理解。
（1）问题描述：某班级中有25名男生和15名女生，随机抽取一位同学，求该同学为男生的概率。
解答：首先我们可以计算男生和女生分别所占的比例，男生人数占总人数的比例为25/(25+15)=5/8，女生人数占总人数的比例为15/(25+15)=3/8。
由于每个同学被抽到的概率是相同的，所以该同学为男生的概率就是男生所占比例，即5/8。
（2）问题描述：有一盒中有4个红球和6个蓝球，从盒中随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率。
解答：首先我们可以计算红球和蓝球各自所占的比例，红球所占比例为4/(4+6)=2/5，蓝球所占比例为6/(4+6)=3/5。
现在我们来计算两个球颜色相同的情况。
如果我们先抽取到红球，那么第二次也是红球的概率为3/9（因为第一次已经选出了一个红球，红球还剩下3个，蓝球还剩下9个）；同理，如果我们先抽取到蓝球，那么第二次也是蓝球的概率为5/9（因为第一次已经选出了一个蓝球，蓝球还剩下5个，红球还剩下9个）。
所以两个球颜色相同的概率为(2/5)*(3/9) + (3/5)*(5/9) = 6/45 + 15/45 = 21/45 = 7/15。
（3）问题描述：某种花朵有红、黄、蓝三种颜色，其中70%的花朵为红色，20%的花朵为黄色，剩余的为蓝色。
随机选择一朵花，求其为非红色的概率。
解答：首先我们可以计算红色、黄色和蓝色各自所占的比例，红色花朵所占比例为70%，黄色花朵所占比例为20%，蓝色花朵所占比例为10%。
非红色的花朵包括黄色和蓝色两种情况，所以非红色的概率为20%+10%=30%。
通过以上三道题目的解答，我们可以看到古典概型的应用非常广泛，可以帮助我们解决实际问题中的概率计算。
古典概型(含答案)
古典概型（写过程）1．袋中有大小相同的三个白球和两个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（ ） A ．15 B ．25 C ．35 D ．452．(原创)口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为（ ） A ．15 B.25 C. 13 D. 163．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示，其中茎为十位数，叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则恰有1名优秀工人的概率为( ) A.158 B.94 C.31 D.914．若集合{}2,3A =，{}1,2,3B =，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是 A ．23 B ．12 C ．13 D ． 165．一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A ，“第2次拿出的是白球”为事件B ，则事件A 与B 同时发生的概率是（ ） A ．85 B ．165 C ．74 D ．145 6．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A ．35 B ．310 C ．12 D ．6257．若(010,)4k k k Z πθ=≤≤∈，则sin cos 1θθ+≥的概率为（ ） A ．15 B ．25 C ．211 D ．6118．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ） A.19 B.29 C.13D.49 9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ） A ．122B ．111C ．322D ．21110．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 .11．两枚质地均匀的骰子同时掷一次，则向上的点数之和不小于7的概率为 . 12．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,如果甲夺得冠军的概率为37,乙夺得冠军的概率为14,那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为 .13．有标号分别为1、2、3的蓝色卡片和标号分别为1、2的绿色卡片，从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率是 ．14．在一个袋子中装有分别标注1,2，3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为6的概率等于15．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为________．16．从字母a 、b 、c 、d 、e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为 .17．袋中又大小相同的红球和白球各1个，每次任取1个，有放回地摸三次． （Ⅰ）写出所有基本事件‘（Ⅱ）求三次摸到的球恰有两次颜色相同的概率； （Ⅲ）求三次摸到的球至少有1个白球的概率．18．一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．(1)求连续取两次都是白球的概率；(2)若取1个红球记2分，取1个白球记1分，取1个黑球记0分，求连续取两次的分数之和为2的概率．参考答案1．B 【解析】试题分析：所有不同方法数有25C 种,所求事件包含的不同方法数有2223C C 种,因此概率52252223=+=C C C P ,答案选B. 考点：古典概型的概率计算2．C 【解析】试题分析：从5个球中随机抽取两个球，共有246C =种取法. 满足两球编号之和大于5的情况有（2,4），（3,4）共2种取法. 所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为2263=. 考点：1、古典概型及其概率计算公式；2、组合及组合数公式. 3．A 【解析】试题分析：解：()11321719202125302266x =+++++== 因为六名工人的日加工零件个数互不相同，可用该数据代表相应的工人，则从他们中任取两人，共有()17,1()17,2()17,2()17,()17,()19,()19()19()19()20,2()20,2()20,3()21,()21,()25,15个基本结果，由于是任取的，所以每个结果出现的可能性是相等的，其中恰有一名优秀工人的有()17,25,()17,30,()19,25,()19,30,()20,25,()20,30,()21,25,()21,30,共8个，所以恰有一名优秀工人的概率为815，故选A. 考点：古典概型；2、茎叶图；3、均值的概念. 4．C 【解析】,2,12,221==..63A B C 从集合中各任取一数所有结果为（）,(）,(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共6种，其中两数和为4的有2种，因此所求概率为P 选考点：本题主要考查古典概型的概率的概念和运算，考查分析问题、解答问题的能力和运算能力. 5．D 【解析】 试题分析：从装有大小相同的5个白球和3个红球共8个球的袋中先后不放回的各取出一个球的方法共有2856A =种，事件A 与B 同时发生的即两次中第1次取出的是白球，第2次取出的还是白球，这样的取法有255420A =⨯=种，由古典概型的概率计算公式得事件A 与B 同时发生的概率是2055614=，故选择D.考点：古典概型的概率计算. 6．B【解析】设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310． 7．D 【解析】 试题分析：(010,)4k k k Z πθ=≤≤∈,∴θ有11个sin cos )14πθθθ+=+≥∴sin()42πθ+≥∴322,444n n n Z ππππθπ+≤+≤+∈∴22,2n n n Z ππθπ≤≤+∈发现当k=0,1,2,8，9,10时，成立，所以P=611考点：1.三角恒等变换；2.古典概型. 8．A 【解析】试题分析：先求个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数有一个为奇数，一个为偶数，共有4514151515=+C C C C 个，然后再求个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为0包括的结果有：10，30,50,70,90共5个，由古典概率的求解公式可求解. 考点：古典概型及其概率计算公式． 9．D【解析】略 10．31. 【解析】试题分析：事件“甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种”包含的基本事件有（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）共9个；记“他们选择相同颜色运动服”为事件A,则事件A 包含的基本事件有（红，红），（白，白），（蓝，蓝）共3个；所以3193)(==A P . 考点：古典概型. 11．712【解析】试题分析：记两枚质地均匀的骰子同时掷一次的结果为数对(,)x y ，这样的数对有6636⨯=对，而向上的点数之和不小于7，即7x y +≥，则1,6x y ==；2,5,6x y ==；3,4,5,6x y ==；4,3,4,5,6x y ==；5,2,3,4,5,6x y ==；6,1,2,3,4,5,6x y ==，因此满足条件的数对共有12345621+++++=，从而向上的点数之和不小于7的概率为2173612=. 考点：古典概型的概率计算. 12．1928【解析】由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37+14=1928. 13．310【解析】试题分析：由题意，从中任取两张卡片的总方法数为2510C =，颜色不同，标号和小于4的有：蓝1、红1，蓝1、红2，蓝2、红1共3种，因此其概率为310． 考点：古典概型． 14．15【解析】试题分析：从5个球任取2个球共有2510C =种取法，而数字和为6的只有(1,5),(2,4)两种取法，所以所概率为21105=. 考点：古典概型. 15．5081【解析】能获奖有以下两种情况：①5袋食品中三种卡片数分别为1,1,3，此时共有115422C C A ×A 33＝60(种)不同的方法，其概率为P 1＝5603＝2081；②5袋食品中三种卡片数分别为2,2,1，共有225322C C A ×A 33＝90(种)不同的装法，其概率为P 2＝5903＝3081，所以所求概率P ＝P 1＋P 2＝5081.16．25. 【解析】试题分析：所有的基本事件有(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a e 、(),b c 、(),b d 、(),b e 、(),c d 、(),c e 、(),d e ，共10个，其中事件“取到字母a ”所包含的基本事件有(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a e ，共4个，故所求事件的概率为42105=.考点：本题考查利用列举法计算古典概型的概率计算问题，属于中等题.17．（I ）（红，红，红），（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红【解析】18．（1）4 （2）8【解析】(1)记袋中的2个白球分别为白1，白2，则连续取两次的基本事件有(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)；(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)；(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)；(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，共16种．记事件A 为“连续取两次都是白球”，事件A 包含的事件有(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4种， 所以P(A)＝416＝14．(2)记事件B为“连续取两次的分数之和为2”．因为取1个红球记2分，取1个白球记1分，取1个黑球记0分，所以连续取两次的分数之和为2的基本事件有(红，黑)，(黑，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共6种，所以P(B)＝616＝38．。
高中数学必修二 10 1 3 古典概型(含答案)
第十章概率10.1.3 古典概型一、基础巩固1．下列试验是古典概型的是（）A．种下一粒大豆观察它是否发芽B．从规格直径为（250 0.6）mm的一批产品中任意抽一根，测量其直径C．抛一枚硬币，观察其正面或反面出现的情况D．某人射击中靶或不中靶【答案】C【解析】【分析】根据古典概型的定义判断．【详解】只有Ｃ具有古典概型两特点.【点睛】本题考查古典概型的定义，在这个型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的．2．袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸2个小球,不是基本事件的为()A．{正好2个红球} B．{正好2个黑球}C．{正好2个白球} D．{至少1个红球}【答案】D【解析】袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从中任意摸2个，其基本事件可能是2个红球，2个白球，2个黑球，1红1白，1红1黑，1白1黑而至少1个红球中包含1红1白，1红1黑，2个红球三个基本事件，故不是基本事件，故选D3．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）A．13B．12C．23D．34【答案】B【分析】基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率.【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个，所以，所求的概率3162 P==.故选：B.【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．4．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是()A．恰有1件一等品B．至少有一件一等品C．至多有一件一等品D．都不是一等品【答案】C【分析】将3件一等品编号为1,2,3，2件二等品的编号为4,5，列举出从中任取2件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案．【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5．袋中有2个红球5个白球，取出一个白球放回，再取出红球的概率是（）A．12B．27C．16D．17【答案】B【分析】取出一个白球再放回，相当于情况不变．用红球个数除以球的总数即为摸到红球的概率．【详解】解：所有机会均等的可能有7种，摸到红球的可能有2种，因此取出红球的概率为27，故选B.【点睛】本题考察古典概型，概率等于所求情况数与总情况数之比．6．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为15，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．12【答案】C【分析】设袋中球的总个数为n，根据已知条件可得出关于n的等式，由此可求得n的值. 【详解】设袋中球的总个数为n，由题意可得215n=，解得10n=.故选：C.7．如图所示，有一个正十二面体，12个面上分别写有1～12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率为（）A．23B．13C．12D．16【答案】A【分析】求得向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的数字，即可根据古典概型概率求解.【详解】正十二面体，12个面上分别写有1～12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的数字为2,3,4,6,8,9,10,12.所以由古典概型概率可知向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率为82 123=故选：A.【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，利用列举法求古典概型概率，属于基础题. 8．下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则()kP An=.A．②④B．③④C．①④D．①③④【答案】D【分析】利用随机试验的概念及古典概型及其概率计算公式直接求解．【详解】在①中，由随机试验的定义知：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，故①正确；在②中，由随机试验的定义知：每个基本事件出现的可能性相等，故②错误；在③中，由随机试验的定义知：每个基本事件出现的可能性相等，故③正确；在④中，基本事件总数为n ，随机事件A 若包含k 个基本事件，则由古典概型及其概率计算公式知P （A ）kn=，故④正确． 故选D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意随机试验的概念及古典概型及其概率计算公式的合理运用．9．对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知{1,3}M =，{1,3,5,7,9}N =，若从集合M ，N 中各任取一个数x ，y ，则3log ()xy 为整数的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C 【分析】 基本事件总数2510n，利用列举法求出3log ()xy 为整数包含的基本事件有6个，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】{1,3}M =，{1,3,5,7,9}N =，若从集合M ，N 中各任取一个数x ，y ， 基本事件总数2510n，3log ()xy 为整数包含的基本事件有()1,1，()1,3，()1,9，()3,1，()3,3，()3,9，共有6个，∴3log ()xy 为整数的概率为63105p ==. 故选：C 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、分步计数原理、列举法求基本事件个数、对数的运算，属于基础题. 10．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6 B ．0.5C ．0.4D ．0.3【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为12,A A ，3名女同学为123,,B B B ，从以上5名同学中任选2人总共有12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有121323,,B B B B B B 共三种可能 则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==， 故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A ；第二步，分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；第三步，利用公式()mP A n=求出事件A 的概率. 11．袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ） A ．3/5 B ．3/4C ．1/2D ．3/10【答案】C 【分析】先记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”，则事件AB 为“两次都取到白球”，根据题意得到()P A 与()P AB ，再由条件概率，即可求出结果. 【详解】记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”， 则事件AB 为“两次都取到白球”， 依题意知3()5P A =，3263()542010P AB =⨯==， 所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是3110()325P B A ==． 故选：C. 【点睛】本题主要考查条件概率与独立事件，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型. 12．下列说法错误的是（ ） A ．方差可以衡量一组数据的波动大小B ．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度C ．一组数据的众数有且只有一个D ．抛掷一枚图钉针尖朝上的概率，不能用列举法求得 【答案】C 【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题. 【详解】对于A ，方差可以衡量一组数据的波动大小，故选项A 正确；对于B ，抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度，故选项B 正确； 对于C ，一组数据的众数有一个或者几个，故选项C 错误；对于D ，抛掷一枚图钉,针尖朝上和针尖朝下的可能性不相等，所以针尖朝上不是一个基本事件，所以不能用列举法求得，故选项D 正确； 故选：C . 【点睛】本题考查了一组数据的方差、众数，考查了抽样方式，属于基础题.二、拓展提升13．设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[]0,3任取的一个数，b 是从区间[]0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 【答案】（Ⅰ）34（Ⅱ）23【分析】（1）本题是一个古典概型，可知基本事件共12个，方程2220x ax b ++=当0,0a b ≥≥时有实根的充要条件为a b ≥，满足条件的事件中包含9个基本事件，由古典概型公式得到事件A 发生的概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为{(,)|03a b a ，02}b ．构成事件A 的区域为{(,)|03a b a ，02b ，}a b ．根据几何概型公式得到结果． 【详解】解：设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实数根”．当0,0a b ≥≥时，方程有实数根的充要条件为a b ≥． （Ⅰ）基本事件共12个：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==． （Ⅱ）实验的全部结果所构成的区域为{(,)|03,02}a b a b ≤≤≤≤．构成事件A 的区域为{(,)|03,02,}a b a b a b ≤≤≤≤≥，所求的概率为132422()323P A ⨯-⨯==⨯ 【点睛】本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，属于基础题．14．交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T ，其范围为[]0,10，分别有五个级别：2)[0,T ∈，畅通；[)2,4T ∈，基本畅通；[)4,6T ∈，轻度拥堵；[)6,8T ∈，中度拥堵；[]8,10T ∈，严重拥堵.在晚高峰时段（2T ≥），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.【答案】（1）轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数分别为6，9，3；（2）从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1；（3）35【分析】（1）根据在频率分布直方图中，小长方形的面积表示各组的频率，可以求出频率，再根据频数等于频率乘以样本容量，求出频数；（2）根据（1）求出拥堵路段的个数，求出每层之间的占有比例，然后求出每层的个数；（3）先求出从(2)中抽取的6个路段中任取2个，有多少种可能情况，然后求出至少有1个路段为轻度拥堵有多少种可能情况，根据古典概型概率公式求出. 【详解】(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中， 轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)， 中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)， 严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个). (2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为66218⨯=，69318⨯=，63118⨯=，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为1A ，2A ，抽取的3个中度拥堵路段为1B ，2B ，3B ，抽取的1个严重拥堵路段为1C ，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：()()()()12111213,,,,,,,,A A A B A B A B()()()()()()()()()()()1121222321121311232131,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A C A B A B A B A C B B B B B C B B B C B C ，共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：()()()()()()121112131121,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C A B()()()222321,,,,,A B A B A C ，共9种.所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为93155=. 【点睛】本题考查了频率直方图的应用、分层抽样、古典概型概率的求法.解决本题的关键是对频率直方图所表示的意义要了解，分层抽样的原则要知道，要能识别古典概型.15．编号为1，2的两个纸箱中各有6个相同的小球（分别标有数字1，2，3，4，5，6），从1，2两个纸箱中各摸出一个小球，分别为,x y ，求满足条件2y x = 的概率.【答案】112. 【分析】利用古典概型公式求解. 【详解】从1，2两个纸箱中各摸出一个小球的事件总数有36种. 又2y x =，其中{},1,2,3,4,5,6x y , 满足条件的有()()()1,2,2,4,3,6, 故所求概率313612P.。
古典概型试题(含答案)2
一、选择题1、从长度为1，3，5，7，9五条线段中任取三条能构成三角形的概率是( )A、B、C、D、2、将8个参赛队伍通过抽签分成A、B两组，每组4队，其中甲、乙两队恰好不在同组的概率为( )A、B、C、D、3、袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为( )A、B、C、D、4、将4名队员随机分入3个队中，对于每个队来说，所分进的队员数k满足0≤k≤4，假设各种方法是等可能的，则第一个队恰有3个队员分入的概率是( )A、B、C、D、5、下列说法不正确的是( )A、不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1B、某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的概率是0，8C、“直线y＝k(x+1)过点(-1，0)”是必然事件D、先后抛掷两枚大小一样的硬币，两枚都出现反面的概率是6、将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是( )A、B、C、D、9二、填空题7、接连三次掷一硬币，正反面轮流出现的概率等于8、在100个产品中，有10个是次品，若从这100个产品中任取5个，其中恰有2个次品的概率等于9、4位男运动员和3位女运动员排成一列入场；女运动员排在一起的概率是；男、女各排在一起的概率是；男女间隔排列的概率是10、甲队a1,a2,a3,a4四人与乙队b1,b2,b3,b4抽签进行4场乒乓球单打对抗赛，抽到a i对b i(i＝1,2,3,,4)对打的概率为三、解答题11、在第1，3，5，8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有1位乘客等候第1路或第3路汽车、假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，求首先到站正好是这位乘客所要乘的汽车的概率、12、任意投掷两枚骰子,计算:(1)出现点数相同的概率;(2)出现点数和为奇数的概率、13、在某地区有2000个家庭，每个家庭有4个孩子，假定男孩出生率是、(1)求在一个家庭中至少有一个男孩的概率；(2)求在一个家庭中至少有一个男孩且至少有一个女孩的概率；14、有10件产品，其中有2件次品，从中随机抽取3件，求：(1)其中恰有1件次品的概率；(2)至少有一件次品的概率、15、分别以集合A＝｛2,4,6,8,11,12,13｝中任意两个元素为分子，分母构成分数，求这种分数是可约分数的概率、参考答案一、选择题1、B2、A3、D4、C5、D6、A二、填空题7、8、9、，，10、三、解答题11、解：记“首先到站的汽车正好是这位乘客所要乘的汽车”为事件A，则事件A的概率P(A)=答：首先到站正好是这位乘客所要乘的汽车的概率为12、(1)(2)13、解(1)P(至少一个男孩)＝1-P(没有男孩)＝1-()4＝；(2)P(至少1个男孩且至少1个女孩)＝1-P(没有男孩)-P(没有女孩)＝1--＝；14、解：(1)(2)15、解：。
《古典概型》练习题(有祥细解答)
3.2.1《古典概型》练习题一、选择题1．甲，乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人各住一间房的概率是( )A.12B.13C.14D.无法确定解析：我们将两个房间分为A和B，(甲住A、乙住B)、(甲住B，乙住A)、(甲、乙都住A)、(甲、乙都住B)共四种情况，其中甲、乙各住一间房的情况有两种，所以选A.答案：A2．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12B.13C.14D.16解析：从1,2,3,4中任取2个不同的数，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)6种不同的结果，取出的2个数之差的绝对值为2有(1,3)，(2,4)2种结果，概率为13，故选B.答案：B3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足log2x y＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.12解析：由log2xy＝1得2x＝y.又x∈{1,2,3,4,5,6}，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以满足题意的有x＝1，y＝2或x＝2，y＝4或x＝3，y＝6，共3种情况．所以所求的概率为336＝112，故选C.答案：C4．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为( )A.18B.316C.14D.12解析：由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4个，所以所求概率为14.答案：C5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910解析：记事件A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A 的对立事件A 仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A 的对立事件A 的概率为P (A )＝110，∴P (A )＝1－P (A )＝910.选D.答案：D 6．有一个奇数列，1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为( )A.110 B.310 C.15 D.35解析：由已知可得前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数字，其中恰为3的倍数的数有93,99,105三个，故所求概率为P ＝310.答案：B 二、填空题7．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________解析：列出10个数，找出小于8的数是关键．这10个数分别为1，－3,9，－27,81，…，(－3)8，(－3)9，小于8的数有6个，所以P (＜8)＝610＝35.答案：358．沿田字型的路线从A 往N 走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C 的概率是________．解析：解法一 按规定要求从A 往N 走只能向右或向下，所有可能走法有；A →D →S →J →N ，A →D →C →J →N ，A →D →C →M →N ，A →B →C →J →N ，A →B →C →M →N ，A →B →F →M →N 共6种，其中经过C 点的走法有4种，∴所求概率P ＝46＝23.解法二 由于从A 点出发后只允许向右或向下走，记向右走为1，向下走为2，欲到达N 点必须两次向右，两次向下即有两个2两个1.∴基本事件空间Ω＝{(1122)，(1212)，(1221)，(2112)，(2121)，(2211)}共6种不同结果，而只有先右再下或先下再右两类情形经过C 点，即前两个数字必须一个1一个2，∴事件A ＝“经过C 点”含有的基本事件的(1212)，(1221)，(2112)，(2121)共4个，∴P (A )＝46＝23.答案：239．一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是_____．解析：如图，列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P ＝1036＝518.答案：51810．记a ，b 分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x 2－ax ＋2b ＝0有两个不同实根的概率为_____．解析：由题意知投掷两次骰子所得的数字分为a ，b ，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，而方程x 2－ax ＋2b ＝0有两个不同实根的条件是a 2－8b >0，因此满足此条件的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(5,3)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，共9个，故所求的概率为936＝14.答案：B 三、解答题11．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)． (1)求使得事件“a⊥b ”发生的概率； (2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．解析：(1)由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}， 故(m ，n )所有可能的取法共36种．使得a⊥b ，即m －3n ＝0，即m ＝3n ，共有2种：(3,1)、(6,2)， 所以事件a⊥b 的概率为236＝118. (2)|a|≤|b|，即m 2＋n 2≤10，共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种使得|a|≤|b|，其概率为636＝16. 12．(2014年深圳第一次模拟)一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个．(1)求连续取两次都是白球的概率；(2)假设取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的概率是多少？解析：(1)连续取两次的基本事件有：(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)；(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)；(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)；(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，共16个．连续取两次都是白球的基本事件有：(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)共4个，故所求概率为p1＝416＝14.(2)连续取三次的基本事件有：(红，红，红)，(红，红，白1)，(红，红，白2)，(红，红，黑)，(红，白1，红)，(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白1，黑)，…，共64个．因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的基本事件如下：(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白2，白1)，(红，白2，白2)，(白1，红，白1)，(白1，红，白2)，(白2，红，白1)，(白2，红，白2)，(白1，白1，红)，(白1，白2，红)，(白2，白1，红)，(白2，白2，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，共15个，故所求概率为＝15 64 .13．(能力提升)(2014年九江一模)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A＝“恰有一个红球”，事件B＝“第3个是红球”．求(1)不放回时，事件A，B的概率；(2)每次取后放回时，A，B的概率．解析：(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中取一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共有6×5×4＝120个，又事件A中含有基本事件3×2×4×3＝72个(第1个是红球，则第2、3个是黄球，取法有2×4×3种，第2个是红球和第3个是红球和第1个是红球的取法一样多)，∴P(A)＝72120＝3 5.第3次抽取红球对前两次没有什么要求，因为红球数占总数的13，在每一次取到都是随机的等可能事件，∴P (B )＝13.(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中任取一个，有取法63＝216种，事件A 包含基本事件3×2×4×4＝96种．∴P (A )＝96216＝49.第三次取到红球包括B 1＝{红，黄，红}，B 2＝{黄，黄，红}，B 3＝{黄，红，红}三种两两互斥的情形，P (B 1)＝2×4×2216＝227，P (B 2)＝4×4×2216＝427，P (B 3)＝4×2×2216＝227，∴P (B )＝P (B 1)＋P (B 2)＋P (B 3) ＝227＋427＋227＝827.。
古典概型试题(含答案)1
一、选择题1、下列事件中，随机事件是( )A、连续两年的国庆节都是星期日B、国庆节恰为星期日C、相邻两年的国庆节，星期几不相同D、国庆节一定不在星期日2、抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于( )A、B、C、D、3、100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽到6件：至少有1件正品；至少有3件是次品；6件都是次品；有2件次品、4件正品、以上四个事件中，随机事件的个数是( )A、3B、4C、2D、14、下列正确的结论是( )A、事件A的概率P(A)的值满足0＜P(A)＜1B、如P(A)＝0、999、则A为必然事件C、灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为99%、D、如P(A)＝0、001、则A为不可能事件5、下列试验能构成事件的是( )A、掷一次硬币B、射击一次C、标准大气压下，水烧至100℃D、摸彩票中头奖6、已知某人在某种条件下射击命中的概率是，他连续射击两次，其中恰有一次射中的概率是( )A、B、C、D、7、掷一枚骰子三次，所得点数之和为10的概率是( )A、B、C、D、二、填空题8、甲、乙、丙、丁四人中选3人当代表,写出所有基本事件,并求甲被选上的概率9、一箱内有十张标有0到9的卡片,从中任取一张,则取到卡片上的数字不小于6的概率是多少?10、9支球队中，有5支亚洲队，4支非洲队，从中任意抽2队进行比赛，则两洲各有一队的概率是.11、从1，2，3，……，9九个数字中任取两个数字.两个数字都是奇数的概率是；两个数字之和为偶数的概率是；两个数字之积为偶数的概率是.12、从0，1，2，3，4，5中任取3个组成没有重复数字的三位数，这个三位数是5的倍数的概率等于 .三、解答题13、在100000张奖券中设有10个一等奖，100个二等奖，300个三等奖、从中买一张奖券，那么此人中奖的概率是多少?14、某城市的电话号码由五个数字组成，每个数字可以是从0到9这十个数字中的任一个，计算电放号码由五个不同数字组成的概率、15、甲、乙二人参加知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题、①甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少?②甲、乙二人中至少有一个抽到选择题的概率是多少?参考答案一、选择题1、B2、C3、C4、C5、D6、C7、 B二、填空题8、9、10、11、，，12、0.3三、解答题13、答：P＝＝14、解：根据题意，由五个数字组成的电话号码中的每个数字可以是由0到9这十个数字中的任一个，因此所有不同的电话号码的种数为105、另外，其中由五个不同数字组成的电话号码的个数，就是从这10个数字中任取5个出来进行排列的种数A105，因此所求的概率P＝＝15、解：①甲从选择题中抽到一题的可能结果有C61个，乙从判断题中抽到一题的可能结果有C41个，又甲、乙依次抽一题的结果共有C101·C91个，所以甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是：＝②甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1-＝、所求概率为或：++＝++＝，所求概率为。
高中数学必修三习题：第三章3.2古典概型含答案
第三章概率3.2古典概型古典概型（整数值）随机数（random numbers ）的产生A 级基础稳固一、选择题1．以下是古典概型的是()A．任意扔掷两枚骰子，所得点数之和作为基本领件B．求任意的一个正整数平方的个位数字是 1 的概率，将拿出的正整数作为基本领件时C．从甲地到乙地共n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．扔掷一枚平均硬币初次出现正面为止分析： A 项中因为点数的和出现的可能性不相等，故 A 不是； B 项中的基本领件是无穷的，故 B 不是； C项中知足古典概型的有限性和等可能性，故 C 是； D项中基本领件既不是有限个也不拥有等可能性，故D不是．答案： C2．小明同学的QQ密码是由0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，8， 9 这 10 个数字中的6 个数字构成的六位数，因为长时间未登录QQ，小明忘掉了密码的最后一个数字，假如小明登录QQ时密码的最后一个数字任意选用，则恰巧能登录的概率是()1111A. 105B.104C.102D.10分析：只考虑最后一位数字即可，从0 至 9 这 10 个数字中随机选择一个作为密码的最1后一位数字有10 种可能，选对只有一种可能，所以选对的概率是10.答案： D3．同时扔掷两颗大小完整同样的骰子，用( x，y) 表示结果，记A为“所得点数之和小于 5”，则事件A包含的基本领件数是 ()A．3B．4C．5D．6分析：事件 A 包含的基本领件有 6 个： (1 ，1)，(1 ， 2) ，(1，3) ，(2 ，1)，(2 ，2) ，(3，1)．答案： D4．已知会合A＝{2，3，4，5，6，7}， B＝{2，3，6，9}，在会合 A∪ B 中任取一个元素，则它是会合A∩ B 中的元素的概率是()2332A.3B.5C.7D.5分析： A∪B＝{2，3，4，5，6，7，9}， A∩ B＝{2，3，6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是3 . 7答案： C5．以下图是某企业 10 个销售店某月销售某产品数目( 单位：台 ) 的茎叶图，则数据落在区间 [22 ， 30) 内的概率为 ()A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6分析： 10 个数据落在区间[22 ，30) 内的数占有22，22，27，29 共 4 个，所以，所求的4频次即概率为10＝ 0.4. 应选 B.答案： B二、填空题6．从字母a， b， c， d， e 中任取两个不一样字母，则取到字母a 的概率为________．解：总的取法有： ab， ac， ad， ae， bc， bd， be， cd， ce， de，共10种，此中含有 a 的有 ab， ac， ad， ae 共4种．4 2故所求概率为10＝5.2答案：57．分别从会合A＝ {1 ，2， 3， 4} 和会合B＝ {5 ， 6， 7， 8} 中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是 ________．分析：基本领件总数为4×4＝ 16，记事件M＝{两数之积为偶数} ，则M包含的基本领12 3件有 12 个，进而所求概率为16＝4.3答案：48．某人有 4 把钥匙，此中 2 把能翻开门，现随机地取 1 把钥匙试着开门，不可以开门的就抛弃，问第二次才能翻开门的概率是________；假如试过的钥匙不抛弃，这个概率是________．2 21分析：第二次翻开门，说明第一次没有翻开门，故第二次翻开门的概率为4×3＝3. 如2 21果试过的钥匙不抛弃，这个概率为4×4＝4.1 1答案：3 4三、解答题9．用红、黄、蓝三种不一样颜色给图中 3 个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求3个矩形颜色都不一样的概率．解：全部可能的基本领件共有27 个，如下图．记“3 个矩形颜色都不一样”为事件A，由图，可知事件 A 的基本领件有2×3＝ 6( 个 ) ，6 2故 P( A)＝27＝9.10．(2015 ·天津卷 ) 设甲、乙、丙 3 个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9， 18. 现采纳分层抽样的方法从这 3 个协会中抽取 6 名运动员组队参加竞赛．(1)求应从这 3 个协会中分别抽取的运动员的人数．(2) 将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取 2 人参加双打竞赛．①用所给编号列出全部可能的结果；②设事件A为“编号为A5和 A6的2名运动员中起码有 1 人被抽到”，求事件 A 发生的概率．解： (1) 应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3， 1， 2.(2) ①从 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打竞赛的全部可能结果为{A，A }，{A，A}，1213{ A1，A4} ，{ A1，A5} ， { A1，A6} ，{ A2，A3} ，{ A2，A4} ，{ A2，A5} ，{ A2，A6} ，{ A3，A4} ，{ A3，A5 } ， { A3，A6} ， { A4，A5} ， { A4，A6} ， { A5，A6} ，共 15 种．②编号为A5和 A6的两名运动员中起码有 1 人被抽到的全部可能结果为{ A1，A5} ， { A1，A6}，{ A2， A5}，{ A2， A6}，{ A3， A5}，{ A3，A6}，{ A4， A5}，{ A4， A6}，{ A5， A6}，共9种．9 3所以，事件 A发生的概率P3B 级能力提高1．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所拿出的三条线段能构成一个三角形的概率是()1112C.2D.5A.4B.3分析：从四条长度各异的线段中任取一条，每条被拿出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又全部基本领件包含(1 ，3，5) ，(1 ， 3，7) ，(1 ，5，7) ，(3 ，5，7) ，共1四种，此中能构成三角形的有(3 ， 5， 7) 一种，故概率为P＝4.答案： A2．将 2 本不一样的数学书和1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 ________．分析： 2 本不一样的数学书用a1， a2表示，语文书用 b 表示，由Ω＝{( a1，a2，b)，( a1，b， a2)，( a2， a1， b)，( a2，b， a1)，( b， a1， a2)( b， a2， a1)}．于是两本数学书相邻的状况4 2有 4 种，故所求概率为6＝3.2答案：33．一个盒子里装有三张卡片，分别标志有数字1， 2， 3，这三张卡片除标志的数字外完整同样．随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字挨次记为a， b，c.求：(1)“抽取的卡片上的数字知足a＋ b＝c”的概率；(2)“抽取的卡片上的数字 a， b， c 不完整同样”的概率．解：(1) 由题意知， ( a，b，c) 全部的可能为(1 ，1， 1) ，(1 ，1，2) ，(1 ，1， 3) ，(1 ，2，1) ，(1 ，2，2) ，(1 ， 2，3) ， (1 ，3，1) ， (1 ，3， 2) ，(1 ，3， 3) ，(2 ，1，1) ， (2 ， 1，2) ，(2 ，1，3) ， (2 ，2，1) ，(2 ，2， 2) ，(2 ， 2，3) ， (2 ，3， 1) ， (2 ，3，2) ，(2 ， 3， 3) ，(3 ，1，1) ，(3 ， 1，2) ，(3 ，1， 3) ， (3 ，2，1) ，(3 ， 2，2) ，(3 ，2，3)，(3 ，3，1) ，(3 ， 3，2) ，(3，3，3) ，共27种．设“抽取的卡片上的数字知足a＋ b＝ c”为事件A，则事件 A包含(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．3 1所以 P(A)＝＝.2791所以，“抽取的卡片上的数字知足a＋ b＝ c”的概率为9.－(2) 设“抽取的卡片上的数字a ， ， 不完整同样”为事件，则事件 B 包含 (1 ，1，1) ，b c B(2， 2，2) ， (3，3，3) ，共 3 种．－3 8 所以 P ( B ) ＝1－ P ( B ) ＝ 1－27＝ 9.8所以，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完整同样”的概率为 9.。
《古典概型》基础训练
《古典概型》基础训练一、单项选择题1.甲、乙、丙是同班同学，假设他们三个人早上到学校先后的可能性是相同的，则事件“甲比乙先到学校，乙又比丙先到学校”的概率是（）A.12B.13C.14D.162.如图所示，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A.12B.14C.34D.383.某班有男生30人，女生20人，按分层抽样的方法从班级中选5人负责校园开放日的接待工作.现从这5人中随机选取2人，至少有1名男生的概率是（）A.110B.310C.710D.9104.边长为2的正三角形的顶点和各边的中点共6个点，从中任选两点，所选出的两点之间的距离大于1的概率是（）A.13B.12C.25D.355.袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（）A.15B.310C.35D.45二、多项选择题6.以下试验是古典概型的有（）A.从6名同学中选出4名同学参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性大小B.同时掷两枚骰子，点数和为7的概率C.近三天中有一天降雪的概率D.3个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率三、填空题7.有5张卡片，上面分别标有数字1,2,3,4,5，从中任取2张，则卡片上数字之积为偶数的概率为________.8.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_________.四、解答题a b是一颗骰子掷两9.已知关于x的一元二次方程22---+=.若(,)2(2)160x a x b次所得的点数.（1）求方程有两个正根的概率；（2）求方程没有实根的概率.10.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图.（1）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均成绩状况和方差的角度考虑，你认为哪位学生的成绩更稳定？请说明理由；（2）在乙同学的6次预赛成绩中，从不小于70分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽取的2个成绩均大于80分的概率.参考答案一、单项选择题1.答案：D解析：甲、乙、丙三人到学校的次序共有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲6种结果，而事件“甲比乙先到学校，乙又比丙先到学校”含“甲乙丙”1种结果，因此其概率16P=，故选D.2.答案：D解析：只考虑A，B两个方格的填法，不考虑大小，A，B两个方格有16种填法要使填入A方格的数字大于B方格的数字，则从1,2,3,4中选2个数字，大的放入A格，小的放入B格，有{(4,3),(4, 2) ,(4,1),(3,2),(3,1),(2,1)}，共6个样本点，故填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为63 168=.3.答案：D解析：由分层抽样知识得，男生中抽取530350⨯=人，设为,,a b c；女生中抽取520250⨯=人，设为,d e.从中任取2人的样本空间{,,,,,,,,,}ab ac ad ae bc bd be cd ce deΩ=，共10个样本点.设“至少有1名男生”为事件A，则A为2人全是女生，所以A中含{}de，共1个样本点，因此11(),()11010P A P A=∴=-910=，故选D.4.答案：C解析：如图，从,,,,,6A B C D E F个点中任选两个点，样本空间{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A D A E A F B C B D B E B F C D C E C F Ω=(,),(,),(,)}D E D F E F，共15个样本点，其中所选出的两点之间的距离大于1包含6个样本点，即{(,)(,),(,),(,),(,),(,)}A B A C A E B C B F C D ，故所求概率62155P ==.5. 答案：C解析：设2个红球为12,a a ，2个黄球为12,b b ，2个蓝球为12,c c ，从中任取3个，其样本空间{121122121122112111112121122112,,,,,,,,,a a b a a b a a c a a c a bb a b c a b c a b c a b c a c c Ω=, }212211212221222212121122112212,,,,,,,,,a bb a b c a b c a b c a b c a c c bb c bb c b c c b c c ，共20个样本点设“恰有两球同色”为事件A ，则A中含有{121122121122112112212212121122,,,,,,,,,a a b a a b a a c a a c a bb a c c a bb a c c bb c bb c }112212,b c c b c c ，共12个样本点.123()205P A ∴==，故选C. 二、多项选择题 6.答案：ABD解析：对于A ，从6名同学中选出4名同学参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性相等，满足有限性和等可能性，是古典概型；在B 中，同时掷两枚骰子，点数和为7的事件是随机事件，满足有限性和等可能性，是古典概型；在C 中，不满足等可能性，不是古典概型；在D 中，3个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率，满足有限性和等可能性，是古典概型. 三、填空题 7. 答案：710解析：从标有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任取2张，其样本空间{(1,2)Ω=，(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}，共10个样本点.解法一：卡片上数字之积为偶数的有{(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,5)}，共7个样本点，故所求概率710P =. 解法二：从5张卡片中任取2张，有“卡片上数字之积为奇数”“卡片上数字之积为偶数”两种结果，且二者必居其卡片上数字之积为奇数有{(1,3),(1,5),(3,5)}， 共3个样本点，则“卡片上数字之积为奇数”的概率为310，所以所求概率3711010P =-=. 8.答案：23解析：设2本不同的数学书为12,,a a 语文书为b ，在书架上的排法为{}121221211221,,,,,a a b a ba a a b a ba ba a ba a ，共6个样本点，其中2本数学书相邻的有{}12211221,,,a a b a a b ba a ba a ，共4个样本点，因此2本数学书相邻的概率4263P ==. 四、解答题 9.答案：见解析解析：（1）样本空间中的样本点共有36个，方程有两个正根等价于22(2)0,160,0,a b ->⎧⎪->⎨⎪∆⎩即222,44,(2)16.a b a b >⎧⎪-<<⎨⎪-+⎩设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含4个样本点，即{(6,1),(6,2),(6,3),(5,3)}，故所求概率为41()369P A ==. （2）方程没有实根等价于0∆<，即22(2)16a b -+<.设“方程没有实根”为事件B ，则事件B 包含的样本点有14个，即{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2)}，故所求概率为147()3618P B ==.10.答案：见解析解析：（1） 1(69787979867+88)=80x =⨯++++甲，22222221(6980)(7880)(7980)(7980)(8780)(8880)6s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-⎣⎦甲40= . 1(657779828889)806x =⨯+++++=乙，22222221(6580)(7780)(7980)(8280)(8880)(8980)64.6s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-=⎣⎦乙 22,x x s s =<甲乙甲乙，∴甲学生的成绩更稳定. （2）在乙同学的6次预赛成绩中，从不小于70分的成绩中随机抽取2个成绩，样本空间(77,88),(77,89),(79,82),(79,88{(7),(7,79),(779,89),(78,82)2,,,88)Ω=(82,89),(88,89)}，共10个样本点，2个成绩均大于80分的有{(82,88),(82,89)(88,89)}，，共3个样本点，∴抽取的2个成绩均大于80分的概率310P =.。
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《古典概型》练习题（有祥细解答）重庆南川中学罗光军 2016.5.30一、选择题1．甲，乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人各住一间房的概率是( )A.12B.13C.14D.无法确定解析：我们将两个房间分为A和B，(甲住A、乙住B)、(甲住B，乙住A)、(甲、乙都住A)、(甲、乙都住B)共四种情况，其中甲、乙各住一间房的情况有两种，所以选A.答案：A2．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12B.13C.14D.16解析：从1,2,3,4中任取2个不同的数，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)6种不同的结果，取出的2个数之差的绝对值为2有(1,3)，(2,4)2种结果，概率为13，故选B.答案：B3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足log2x y＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.12解析：由log2xy＝1得2x＝y.又x∈{1,2,3,4,5,6}，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以满足题意的有x＝1，y＝2或x＝2，y＝4或x＝3，y＝6，共3种情况．所以所求的概率为336＝112，故选C.答案：C4．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为( )A.18B.316C.14D.12解析：由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4个，所以所求概率为14.答案：C5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910解析：记事件A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件A仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A的对立事件A的概率为P(A)＝110，∴P(A)＝1－P(A)＝910.选D.答案：D6．有一个奇数列，1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为( )A.110B.310C.15D.35解析：由已知可得前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数字，其中恰为3的倍数的数有93,99,105三个，故所求概率为P＝310.答案：B二、填空题7．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________解析：列出10个数，找出小于8的数是关键．这10个数分别为1，－3,9，－27,81，…，(－3)8，(－3)9，小于8的数有6个，所以P(＜8)＝610＝35.答案：358．沿田字型的路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C的概率是________．解析：解法一按规定要求从A往N走只能向右或向下，所有可能走法有；A→D→S→J→N，A→D→C→J→N，A→D→C→M→N，A→B→C→J→N，A→B→C→M→N，A→B→F→M→N共6种，其中经过C点的走法有4种，∴所求概率P＝46＝23.解法二由于从A点出发后只允许向右或向下走，记向右走为1，向下走为2，欲到达N点必须两次向右，两次向下即有两个2两个1.∴基本事件空间Ω＝{(1122)，(1212)，(1221)，(2112)，(2121)，(2211)}共6种不同结果，而只有先右再下或先下再右两类情形经过C点，即前两个数字必须一个1一个2，∴事件A＝“经过C点”含有的基本事件的(1212)，(1221)，(2112)，(2121)共4个，∴P(A)＝46＝23.答案：239．一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是_____．解析：如图，列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P＝1036＝518.答案：5 1810．记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2－ax＋2b＝0有两个不同实根的概率为_____．解析：由题意知投掷两次骰子所得的数字分为a，b，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，而方程x2－ax＋2b＝0有两个不同实根的条件是a2－8b>0，因此满足此条件的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(5,3)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，共9个，故所求的概率为936＝14.答案：B三、解答题11．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．解析：(1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．使得a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3,1)、(6,2)，所以事件a⊥b的概率为236＝118.(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种使得|a|≤|b|，其概率为636＝16.12．(2014年深圳第一次模拟)一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个．(1)求连续取两次都是白球的概率；(2)假设取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的概率是多少？解析：(1)连续取两次的基本事件有：(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)；(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)；(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)；(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，共16个．连续取两次都是白球的基本事件有：(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)共4个，故所求概率为p1＝416＝14.(2)连续取三次的基本事件有：(红，红，红)，(红，红，白1)，(红，红，白2)，(红，红，黑)，(红，白1，红)，(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白1，黑)，…，共64个．因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的基本事件如下：(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白2，白1)，(红，白2，白2)，(白1，红，白1)，(白1，红，白2)，(白2，红，白1)，(白2，红，白2)，(白1，白1，红)，(白1，白2，红)，(白2，白1，红)，(白2，白2，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，共15个，故所求概率为＝15 64 .13．(能力提升)(2014年九江一模)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A＝“恰有一个红球”，事件B＝“第3个是红球”．求(1)不放回时，事件A，B的概率；(2)每次取后放回时，A，B的概率．解析：(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中取一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共有6×5×4＝120个，又事件A中含有基本事件3×2×4×3＝72个(第1个是红球，则第2、3个是黄球，取法有2×4×3种，第2个是红球和第3个是红球和第1个是红球的取法一样多)，∴P(A)＝72120＝3 5.第3次抽取红球对前两次没有什么要求，因为红球数占总数的13，在每一次取到都是随机的等可能事件，∴P (B )＝13.(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中任取一个，有取法63＝216种，事件A 包含基本事件3×2×4×4＝96种．∴P (A )＝96216＝49.第三次取到红球包括B 1＝{红，黄，红}，B 2＝{黄，黄，红}，B 3＝{黄，红，红}三种两两互斥的情形，P (B 1)＝2×4×2216＝227，P (B 2)＝4×4×2216＝427，P (B 3)＝4×2×2216＝227，∴P (B )＝P (B 1)＋P (B 2)＋P (B 3) ＝227＋427＋227＝827.。