生活中的平面图形

§2~2尺規作圖(1)了解下列名詞的意義：1.垂直：如果兩直線或線段相交成直角，就稱它們互相垂直。

2.垂線：如果一直線與另一直線或線段垂直，就稱它為該直線或 線段的垂線，垂線是垂直線的簡稱。

3.垂足：兩直線或線段互相垂直時，交點就是垂足。

4.中點：將一線段平分為兩等長線 段的點。

5.分角線：將一角平分為兩等角的直線，也叫做角平分線。

6.中垂線：過一線段中點而與此線段垂直的直線，也叫做垂直平分線。

(2)會用尺規作圖作出： 等線段 等角 ●一線段的中點、中垂線 ❍一角的分角線 ⏹過線上一點作垂線 ☐過線外一點作垂線(1)中線：ΔABC 中，若D 是BC 中點，則AD 為BC 上的中線。

＊三角形任一中線，分原三角形為兩個等面積之小三角形。

三角形的三中線分原三角形為六個等面積的三角形。

＊每一三角形有三條中線，且這三條中線相交於一點，此點叫做三角形的重心；三角形的重心一定在三角形的內部，重心到頂點的距離等於重心到對邊中點距離的兩倍。

＊如圖，AD 是BC 上的中線，BE 是AC 上的中線，CF 是AB 上的中線，G AFEGBDC(2)分角線：ΔABC 中，AD 是∠A 的平分線交BC 於D ，則AD 是 ∠A 的分角線。

＊每一三角形有三條分角線，且這三條分角線相交於一點，此點叫做三角形的內心(內切圓的圓心)，內心到三角形的三邊等距離。

＊ 如圖，AD 是∠A 的分角線，BE 是∠B 的分角線，CF 是∠C 的分角線，I 為內心，三角形的內心一定在三角形的內部。

＊ I 為△ABC 的內心，則∠BIC=900+21∠A 。

＊ I 為△ABC 的內心，則△AIB ：△BIC ：△AIC=AB ：BC ：AC (3)高：ΔABC 中，若AD ⊥BC 於D ，則AD 叫做BC 上的高。

＊每一三角形有三個高，且這三個高相交於一點，此點叫做三角形的垂心。

＊如圖，AD 是BC 上的高，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，且D 、E 、F 點均是垂足，H 為垂心。

(4)三角形三邊的垂直平分線交於一點，此點稱為三角形的外心(外接圓的圓心)；外心到三頂點的距離相等。

＊銳角三角形的外心在形內；鈍角三角形的外心在形外；直角三角形的外心在斜邊的中點上，故斜邊是外接圓直徑。

＊O 為△ABC 的外心，○1若∠A 為銳角，則∠BOC=2∠A ○2若∠A 為鈍角，則∠BOC=3600-2∠A 。

(5)正三角形中，外心、內心、重心、垂心，四心重合。

(6)直角三角形內切圓半徑r =2斜邊兩股和-；外接圓半徑R = 2斜邊。

(7)三角形內切圓半徑r =周長面積⨯2。

(8)直角三角形的重心到外心的距離為斜邊長的1。

AFBD CI E AFEH例1.已知∠1和∠2，試畫出：(1)一角等於∠1+∠2 (2)一角等於∠2-∠1 解：例2.設AB 為圓O 的直徑，量量看：(1)∠1、∠2、∠3各幾度？ (2)請問你有什麼發現？ 解： 【答：(1)∠1=900、∠2=900、∠3=900 (2)略】例3.在直線L 上有相異4點，則此4點可決定幾條不同線段？試用記號寫出線段的名稱。

解： 【答：6；AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 】例4.設L 、M 為兩條平行線，若L 上有A 、B 、C 、D 四點，M 上有E 、F 、G 三點，則此七點共可決定幾條線？ 【答：14】 解：例5.直線L 上有A 、B 、C 、D 四點，用一把刻度尺去量時，A 點對應於尺上4.6公分的點，B 點對應於尺上6.3公分的點，而C 點對應於尺上5.5公分的點，已知CD AB ，則D 點對應於尺上多少公分的點？ 【答：3.8公分或7.2公分】 12LAB CDB例6.如圖，設A 、O 、D 三點在同一直線上：(1)∠1+∠2+∠3等於幾度？(2)設∠1=4x 0、∠2=(2x+55)0、∠3=(3x –10)0，則x =？(3)設∠3=300、∠2–∠1=13(∠1+∠3)，則∠1=？解： 【答：(1)1800；(2)15；(3)600】例7.平面上相異10點，其中任三點不共線，則可形成多少條直線？ 解： 【答：45條】例8.平面上相異10點，其中恰4點共線，則可形成多少條直線？ 解： 【答：40條】例9.如圖，試求此六點可造幾條直線？ 【答：10條】解：例10.設A(a ，1)、B(2，5)、C(-3，9)三點共線，則a=？【答：7】 解：1 2 3ADO∙∙ ∙ ∙∙∙例11.A(-2，1)、B(2，5)、C(-3，k)，若AB直線與BC直線重合，則k=？【答：0】解：例12.A(0，-3)、B(1，-1)、C(5，a)，若ABC三點所圍成之三角形面積為0，則a=？【答：7】解：例13.若A(2，2)、B(m，3)、C(6，1)、D(-6，n)四點共線，則m2+n2=？解：【答：20】例14.已知：AB求作：四等分AB作法：例15.已知：∠AOB求作：四等分∠AOB作法：A BAO B例16.(1)設A 、B 、D 在一直線上，BE 平分 ∠ABC ，BF 平分∠CBD ，求∠EBF 的度數。

(2)承(1)之條件，設∠DBF=400，求∠1、∠2及∠EBA 的度數。

(3)承(1)之條件，設∠ABE=600，求∠1、∠2及∠FBD 的度數。

解：【答：(1)900 (2)∠1=500、∠2=400、∠EBA=500(3)∠1=600、∠2=300、∠FBD=300】例17.設直線L 上有A 、B 、C 三點，且B 介於A 、C 之間，又點M 為BC 中點，AB =9公分，AC =15公分，求AM 的長。

解： 【答：12公分】例18.設∠AOB=1500，直線OC 將∠AOB 分成∠AOC ：∠COB=9：6，又直線OD 為∠COB 的平分線，求(1)∠BOD 的度數(2)∠AOD 的度數(3)設直線OE 平分∠AOC ，求∠EOD 的度數。

解： 【答：(1)300 (2)1200 (3)750】例19.設A 、B 、C 三點不共線，O 為AB 、BC 的垂直平分線的交點，若OC =10公分，求OB OA 的長。

【答：20公分】 解：DA BECF1 2例20.(1)將一角n 等分，共用“角平分線作圖”作15次，求n=？(2)將∠BAC 分成兩個角，使兩個角度數比為9：7，需用“角平分線作圖”至少作幾次？ 解：【答：(1)16 (2)4次】例21.如圖，設A 、B 、C 三點共線，求：(1)∠1+∠2+∠3的度數。

(2)設∠1=2x 0，∠2=3x 0，∠3=∠2-∠1，求x 及∠2的度數。

(3)∠1=4x 0，∠2=(2x+55)0，∠3=(3x -10)0，求x 及∠3的度數。

解： 【答：(1)1800 (2)x=30、∠2=900 (3)x=15、∠3=350】例1.試說明三角形任一中線，將此三角形分為兩個等面積之小三角形。

說明：例2.∆ABC 中，AM 是BC 之中線，P 是AM 上任一點，試說明∆ABP 面積=∆ACP面積。

解： CAB1 2 3例3. ∆ABC 中，D 是BC 之中點，若A -P -Q -D 且P 、Q 三等分AD ，若∆ABC面積=36cm 2，則(1)∆QBC 面積=？(2)∆ABQ 面積=？(3)∆ABP 面積=？(4) ∆PBC 面積=？ 解： 【答：12 cm 2、12 cm 2、6 cm 2、24 cm 2】例4.在座標平面上有相異三點A(4，8)、B(-4，0)、C(6，4)，試求通過A點且平分∆ABC 面積的直線方程式？ 【答：y=2x 】解：例5.在座標平面上有相異三點A(3，10)、B(-5，-5)、C(6，1)，試求通過C 點且平分∆ABC 面積的直線方程式？ 解： 【答：y=143-x+716】例6.如右圖，∆ABC 中，AB =AC ，且AD 、BE 為∠BAC 與∠ABC 之分角線，則下列何者不一定成立？(A) ∠ ABC=∠ ACB (B) AD ⊥BC (C)CD BD = (D) ∠CBE=21∠BAC解： 【答：D 】AEBDC例7.已知內心為三角形內切圓之圓心，試說明三角形的面積等於周長與內切圓半徑乘積之半。

說明：例8.設三角形ABC的面積為48平方公分，若三角形周長為24公分，則此三角形ABC之內切圓半徑為？【答：4公分】解：例9.三角形ABC中，ACAB==10公分，BC=12公分，則此三角形ABC之內切圓半徑為？【答：3公分】解：例10.一直角三角形兩股分別為7公分與24公分，則此三角形之內切圓半徑為？【答：3公分】解：例11.三角形ABC中，AB=5公分、BC=6公分、CA=7公分，O為三角形之內心，試求∆AOB面積:∆BOC面積:∆COA面積=？解：【答：5：6：7】1.已知二線段長a 、b ，求作一線段長使其等於2a -b 解：2.已知圓O 的半徑2公分，在圓上畫出一弦AB ，(1)若AB =3公分，連接OB OA ,，則ΔAOB 為何種三角形？ (2)若AB =2公分，連接OB OA ,，則ΔAOB 為何種三角形？ 解：3.在直線L 上有相異7點，則此7點可決定幾條不同線段？ 解：4.設L 、M 為兩條平行線，若L 上有4點，M 上有5點，則 (1)此9點共可決定幾條線？ (2)若L 、M 除外，共可決定幾條線？ 解：5.如圖、AB 、CD 相交於一點，∠3=∠5=900、∠6=500，試求∠1、∠2、∠4的度數。

解： a b6 43 2 1CA B6.若3∠A 與2∠B 互補且∠A ：∠B=2：3，試求∠B=？ 解：7.已知：AB求作：在AB 上取一點D ，使得AD ：DB =1：3 作法：8.已知：∠AOB求作：將∠AOB 分成兩部分，使其兩角比為1：3 作法：9.如圖，OB OA ⊥，OD 平分∠AOC ，OE 平分∠COB ，求∠DOE 的度數。

解：10.在AC 上，B 介於A 、C 之間，若點M 為AB 中點，點N 為BC 中點，AB =10公分，AC =18公分，求AN 、MN 各為多少公分？ 解：ABABAOBD CE11.如圖，PM 平分∠BPQ ，PN 平分∠APQ ， (1)若∠1=∠2，求∠APQ 的度數。

(2)若∠BPM=350，求∠APN 的度數。

(3)若∠MPQ=41∠QPN ，求∠APN 及∠BPM 的度數。

解：12.M 為AB 中點，C 為AB 上一點，若AC =8公分，BC =4公分，且D 、E 分別為AC 、BC 中點，求(1)AD (2)BE (3)DE (4)DM 的長。

解：13.如圖，若AB AD ⊥，AE AC ⊥，且∠DAE=750，求∠BAC 的度數。