湖南省张家界市2018届高考第三次模拟考试数学试题(理)及答案

2018届高三第三次模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}|30A x Z x x =∈-≤，{}|2,xB y y x A ==∈，则AB 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2.已知i 是虚数单位，复数()20182412iz i i =+-+在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知132a -=，141log 5b =，31log 4c =，则（ ）A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b a c >>4.数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”.图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满7个即在左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ）A ．3603B ．1326C ．510D ．3365.已知实数x ，y 满足36024023120x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．-6B ．-4C ．25-D ．0 6.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，其渐近线与圆()2234x a y -+=相切，则该双曲线的方程为（ ）A ．2213y x -=B ．22139x y -=C ．22125x y -=D ．221412x y -= 7.执行如图所示的程序框图，则输出的a =（ ）A ．14-B ．45C ．4D ．5 8.若()()89019112x x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+，x R ∈，则29129222a a a ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅的值为（ ）A ．92B ．921- C ．93D ．931-9.已知等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若124a =-，489a =-，则当n T 取得最大值时，n 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．610.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．8+B ．238πC ．434π+D ．834π11.已知函数()()21cos 02f x x ωω=->的最小正周期为2π，将函数()f x 的图象向右平移()0m m >个单位后关于原点对称，则当m 取得最小值时，函数()()2sin 21g x x m =-+的一个单调递增区间为（ ） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．53,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知函数()ln 2f x x x x a =-+，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的值域，则a 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦ B ．(],1-∞C ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞ 第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13.设非零向量a ，b 满足()a ab ⊥+，且2b a =，则向量a 与b 的夹角为．14.已知在[]0,1内任取一个实数x ，在[]0,2内任取一个实数y ，则点(),x y 位于1x y e =-上方的概率为． 15.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，抛物线C 有一点P ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ，若等边PMF ∆的面积为43p =．16.已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，ABC ∆是边长为43D 是线段AB 上一点，且3AD BD =.球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为34π，则球O 的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知在ABC ∆中，3B π=.（Ⅰ）若83AB =12AC =，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若4AB =，BM MN NC ==，23AN BM =，求AM 的长.18.生蚝即牡蛎（oyster ），是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食.某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示.保留整数）；（Ⅱ）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[)5,25间的生蚝的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.19.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，4CAB CBA π∠=∠=，1CC AB =，14AA AE =，11138AF A B =，AG GB =，点H 在线段EG 上.（Ⅰ）证明：EF CH ⊥；（Ⅱ）求平面11BCC B 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且椭圆C 过点23,2-⎭.过点()1,0做两条相互垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆C 交于P 、Q 、M 、N 四点. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若MS SN =，PT TQ =，探究：直线ST 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由. 21.已知关于x 的方程()21xx e ax a --=有两个不同的实数根1x 、2x .（Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求证：120x x +<.请考生在22、23题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线1C ：221x y +=经过伸缩变换'2'x x y y=⎧⎨=⎩后得到曲线2C .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-. （Ⅰ）求出曲线2C 、3C 的参数方程；（Ⅱ）若P 、Q 分别是曲线2C 、3C 上的动点，求PQ 的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()225f x x =+-. （Ⅰ）解不等式：()1f x x ≥-；（Ⅱ）当1m ≥-时，函数()()g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.2018届高三第三次模拟考试 数学（理科）参考答案一、选择题1-5: BBDCB 6-10: ADDCA 11、12：BA 二、填空题 13.34π 14. 42e - 15. 2 16. 100π 三、解答题17.（Ⅰ）由题意知，2228312cos 283BC B BC+-=⋅⋅12=，解得43BC = ∴222AC BC AB +=，∴143122432ABC S ∆=⨯=（Ⅱ）设BM x =，则2BN x =，23AN x =. 在ABN ∆中，()()2222342xx =+242cos3x π-⋅⋅⋅，解得1x =或2x =-（舍去），∴1BM =. 在ABM ∆中，2241241cos3AM π=+-⨯⨯⨯1318.（Ⅰ）由表中数据可以估计每只生蚝的质量为1(6101020123040⨯+⨯+⨯840450)28.5g +⨯+⨯=， ∴购进500kg ，生蚝的数量约有50000028.517544÷≈（只）. （Ⅱ）由表中数据知，任意挑选一个，质量在[)5,25间的概率25P =， X 的可能取值为0，1，2，3，4，则()438105625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31423216155625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()222423216255625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3342396355625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()421645625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为∴()3346256256255E X =⨯+⨯+⨯=或()455E X =⨯=.19.（Ⅰ）不妨设2AB =，则1AG =，12AE =，132A E =，134A F =. 在Rt EAG ∆和1Rt FA E ∆中，1112A F AE AG A E ==，12EAG FA E π∠=∠=，∴1Rt EAGRt FA E ∆∆，∴1AEG A FE ∠=∠，∴1AEG A FE ∠=∠112A FE A EF π=∠+∠=，∴2FEG π∠=，即EF EG ⊥；∵4CAB CBA π∠=∠=，AG GB =，∴CG AB ⊥，∵111ABC A B C -为直三棱柱，∴CG ⊥平面11ABB A ，∴CG EF ⊥； ∴EF ⊥平面CEG ，∵点H 在线段EG 上，∴EF CH ⊥.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，CG ⊥平面11ABB A ，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -， 不妨设2AB =，则()0,1,0A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()11,0,2C ，10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,,24F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴11,1,2CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，330,,42EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1,1,0)BC =，()10,0,2CC =.设平面11BCC B 的法向量(),,m x y z =，则10m BC m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0x y z +=⎧⎨=⎩，取1x =，则1y =-，0z =，则平面11BCC B 的一个法向量()1,1,0m =-；设平面CEF 的法向量(),,n x y z =，则00n CE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即10233042x y z y z ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取2z =，则5x =，4y =，则平面CEF 的一个法向量()5,4,2n =； ∴cos ,m n m n m n⋅<>=⋅10245==⨯， 故平面11BCC B 与平面CEF 10.20.（Ⅰ）由题意知，22222311222a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为22142x y +=. （Ⅱ）∵MS SN =，PT TQ =，∴S 、T 分别为MN 、PQ 的中点. 当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线1l 的方程为()1y k x =-， 则直线2l 的方程为()11y x k=--，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ， 联立()221421x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(21)4240k x k x k +-+-=，∴224160k ∆=+>， ∴2122421k x x k +=+，21222421k x x k -=+，∴PQ 中点T 的坐标为2222,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭； 同理，MN 中点S 的坐标为222,22k k k ⎛⎫⎪++⎝⎭，∴232(1)ST k k k -=-， ∴直线ST 的方程为223212(1)kky k k -+=+-22221k x k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，即2322(1)3k y x k -⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，∴直线ST 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭；当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST 的方程为0y =，也过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭； 综上所述，直线ST 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 21.（Ⅰ）∵()21xx e axa --=，∴()211x x e a x -=+.令()21()1x x e f x x -=+，则()()22223'()1xx x x f x e x --+=+()()222121x x x e x ⎡⎤-+⎣⎦=-+， 令'()0f x >，解得0x <，令'()0f x <，解得0x >， 则函数()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,+∞上单调递减， ∴max ()(0)1f x f ==；又当1x <时，()0f x >，当1x >时，()0f x <， 画出函数()f x 的图象.要使函数()f x 的图象与y a =有两个不同的交点， 则01a <<，即实数a 的取值范围为()0,1.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12x x ≠，不妨设12x x <，则()1,0x ∈-∞，()20,x ∈+∞. 要证120x x +<，只需证21x x <-.∵()210,x x -∈+∞，且函数()f x 在()0,+∞上单调递减，∴只需证()()21f x f x >-，又()()21f x f x =，∴只需证()()11f x f x >-， 即证111122111111x x x x e e x x --+>++，即证()()110x xx e x e ---+>对(),0x ∈-∞恒成立. 令()()()11x x g x x e x e -=--+，(),0x ∈-∞，则()()'x xg x x e e -=-，∵(),0x ∈-∞，∴0xx ee -->，∴()'0g x <恒成立，则函数()g x 在(),0-∞上单调递减，∴()(0)0g x g >=. 综上所述，120x x +<.22.（Ⅰ）曲线1C ：221x y +=经过伸缩变换'2'x x y y=⎧⎨=⎩，可得曲线2C 的方程为2214x y +=， ∴其参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-，即22sin ρρθ=-，∴曲线3C 的直角坐标方程为222x y y +=-，即()2211x y ++=，∴其参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=-+⎩（β为参数）.（Ⅱ）设()2cos ,sin P αα，则P 到曲线3C 的圆心()0,1-的距离d ===∵[]sin 1,1α∈-，∴当1sin 3α=时，max 43d =. ∴max max PQ d r =+434331+==23.（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩， 解得8x ≤-或∅或2x ≥，综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(][),82,-∞-+∞.（Ⅱ）当1m =-时，则()2251g x x x =+-++315x =+-， 此时()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意：当1m >-时，()225g x x x m =+-+-37,13,133,x m x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增. 要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，则()()140230g m g m m -=-<⎧⎪⎨=-≥⎪⎩，解得342m ≤<；综上所述，实数m 的取值范围为{}3,412⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.。