非稳态导热复习
传热学讲义——第三章
第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。
根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。
（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。
分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。
第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。
上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。
（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。
93非稳态导热收集资料
三、一维非稳态导热的分析解
1.大平板问题的分析解
如果Bi>0.1，则物体内的温度分布不总是均匀的， 不能采用集总参数法进行分析。对于非稳态、一 维、常物性、无内热源的问题，可以采用分析法 进行研究。
问题：无限大平板，厚度2δ ，两侧换热，对
流换热系数为h，0时刻，置于t=tf的流体中， t0=f(0)。 常物性、一维、非稳态、无内热源的导热问题。
2 tf
1 0 t0
Bi 0.1
2
tf
1 0 t0
Bi 0.1
1.若物体内的导热热阻远大于边界上的对流换热热阻，相当于第一 类边界条件；
2.若物体内的导热热阻远小于边界上的对流换热热阻，任一时刻， 物体内的温度接近均匀；
3.若物体内的导热热阻与边界上的对流换热热阻比较接近，界于上 述两种情况之间。
(3) 线算图只适用于Fo 0.2的情况;
(4) 对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维非稳态导热问题，分 别在柱坐标系和球坐标系下进行分析，也可以求得温度分布的分析解，
解的形式也是快速收敛的无穷级数，并且是Bi、Fo和r/R的函数,
0
f
Bi
,
Fo ,
r R
Bi
hR
n sin(n )cos(n )
f
Bi, Fo
8/21/2019
华北电力大学(北京)动力系热工教研室
3. 诺模图
按分析解第一项绘制的线图
中心过余温度
e m
n
2
a 2
2sin(n )
f Bi, Fo
0
n sin(n ) cos(n )
传热学复习要点
传热学 复习要点1-3节为导热部分1.导热理论基础 (分稳态导热和非稳态导热) (1)导热现象的物理本质及在不同介质中的传递特征.依靠分子,原子和自由电子等微观粒子热运动进行的热量传递.气体中为分子,金属中为电子,非导电固体和液体中为晶格(2)温度场的空间时间概念.表达式:t=f(x,y,z, τ)空间用x,y,z表示.时间用τ.稳态: 非稳态:(3)温度梯度的概念和表达式.定义: 两等温面温差 与其法线方向距离 的比值极限..表达式:(4)傅立叶定律的概念及其表达式.----导热基本定律定义:表达式:适用范围:只适用于各向同性的固体材料.(5)导热系数的定义,物理意义和影响因素.表达式:物理意义:表征物体导热能力的大小.影响因素:(6)物性参数为常数时的导热微分方程式在各种不同条件下的数学表达.导热微分方程---由傅立叶定律和热一律导出.导热微分方程表达式:无内热源:稳态温度场:无内热源且为稳态温度场:(7)导温系数的表达及其物理意义,与导热系数的区别.导温系数a定义: a=λ/cρ;物理意义:表示物体加热或冷却时,物体内部各部分温度趋于一致的能力.(8)导热过程单值性条件和数学表达.单值性条件包括4个:几何条件;物理条件;时间条件;边界条件;其中边界条件分3类:①第一类边界条件:已知边界面温度.②第二类边界条件:已知边界面热流密度..③第二类边界条件:已知边界面与周围流体间的表面传热系数及周围流体温度tf.牛顿冷却公式:2.稳态导热--t=f(x,y,z)(1)通过单层平壁,多层平壁和复合平壁的导热计算式及温度分布,热阻概念及其表达式和运用.A: 第一类边界条件: 在无内热源,常物性条件下1)单层平壁,高度h>>厚度δ，即为无限大平壁.因是一维导热,所以温度分布为线性分布.t=tw1-(tw1-tw2)x/δ;热流密度q=tw1-tw2/(δ/λ)=Δt/Rt.热阻Rt: Rt=Δt/q.2)多层平壁:温度分布为折线..B: 第三类边界条件: 厚度δ,无内热源,常物性单层平壁:q=(tf1-tf2)/(1/h1+δ/λ+1/h2)Rt=1/h1+δ/λ+1/h2多层平壁:q=(tf1-tf2)/(1/h1+δ/λ+1/h2)C: 复杂的平壁导热:(串连加并联)RA与RB串连: R=RA+RB;RA与RB并连: R=1/(1/RA+1/RB).D: 导热系数为t的函数: λ=λ0(1+bt)t=q=此时,温度分布为二次曲线.(2)通过单层圆筒壁和多层圆筒壁的导热及温度分布,热阻表达式和运用.工程上长度l>>厚度δ的称为圆筒壁导热.1)第一类边界条件:内径为r1,外径为r2单层: 边界条件:t=q=温度分布为曲线分布.多层:q=1)第三类边界条件:单层:多层:(3)临界热绝缘直径的物理概念和如何确定合理的绝热层厚度.当绝热层外径=dx时,总热组最小,散热量最大.这一直径称为临界~~Dx=dc=2λins/h2.说明:外径d2<dc时,热损失反而增大.外径d2>dc时,加绝热层才有效.(4)肋片的作用及温度分布曲线,肋片效率概念及影响因素,肋片散热量的计算式.---- 只讨论等截面直肋1)等截面直肋:肋高为l,肋厚为δ,肋片周边长度为U,导热系数为λ,l>>δ,可认为肋片温度只沿着高度方向变化.边界条件:2)过余温度:以周围介质tf为基准的温度.θ=t-tf.其中m=温度分布为一条余弦双曲函数,即沿x反向逐渐降低.肋端国余温度:3)肋片表面散热量:4)肋片效率:定义:在肋片表面平均温度tm下,肋片的实际散热量Φ与假定整个肋片表面都处在肋基温度to时的理想散热量Φo的比值.即:结论:①当m一定时,随着肋高增加, Φ先迅速增大然后逐渐趋于平缓.也即η先降低,肋高增加到一定程度时, Φ急剧降低.②ml大,肋端过于温度小,肋片表面tm小,效率低.所以应降低m提高效率.③λ与h都给定时,m随U/A降低而减小.变截面肋片效率高.(5)接触热阻的形成和表达式.两固体直接接触,因接触面不绝对平整,会产生接触热阻.定义式:减小接触热阻的措施:改善接触面粗糙镀;提高接触面挤压压力;减小表面硬度;接触面上涂油.3.非稳态导热 (分瞬态导热和周期性导热)两个重要准则:Fo准则和Bi准则.Bi=(δ/λ):(1/h)Fo=aτ/δ2(1)瞬态导热过程及周期性不稳态导热过程的特点.前者物理量瞬间变化.后者物理量周期性变化.(2)Fo准则的表达式及物理意义,当Fo>0.2时,无限大平壁内的温度变化规律.傅立叶准则:Fo=aτ/δ2物理意义:表征不稳态导热过程的无因次时间. Fo>0.2为临界值.无限大平壁:在进行到F o>0.2的时间起,物体中任何给定地点的过余温度的对数值将随时间按线性规律变化.(3)Bi准则的表达式及物理意义, Bi准则对无限大平壁内温度分布的影响.毕渥准则Bi=(δ/λ):(1/h)物理意义:表征物体内部导热热阻与表面对流换热热阻之比.它的值越小,内部温度越趋于均匀一致.Bi<0.1可近似认为,物体温度是均匀一致的.(4)运用集总参数法的条件及温度计算式.集总参数法的条件:对于平板,圆柱,球体,温度计算式:V为体积,A为表面积,初始温度θ=to-tf.地下建筑的预热:5-7节为对流换热部分5.对流换热分析 (对流换热=导热+热对流)(1) 对流换热过程的特征及基本计算公式.定义：流体因外部原因(强迫对流)或内部原因(自然对流)而流动并与物体表面接触时发生的热量传递.特征:①导热与热对流同时存在的复杂热传递过程② 必须有直接接触（流体与壁面）和宏观运动；也必须有温差③ 由于流体的粘性和受壁面摩擦阻力的影响，紧贴壁面处会形成速度梯度很大的边界层基本计算公式:---牛顿冷却公式:q=h(tw-tf)(2)影响对流换热的因素.影响因素:①流动的起因（强迫对流或自然对流）；②流动状态（层流或紊流）；③有无相变；④换热表面几何因素；⑤流体的物理性质。
传热学 第3章-非稳态导热分析解法
第三章 非稳态导热分析解法1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。
2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。
如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。
§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。
首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。
传热学3-非稳态导热
第三阶段 建立新的稳态阶段， 理论上需要无限长
t
H
1
时间
物体各处的温度达
t
0
G
F A B E C D
到新的稳态
两类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别的 三个不同阶段，而周期性导热不存在。
5 热量变化
Φ 1－－板左侧导入的热流量 Φ 2－－板右侧导出的热流量
各阶段热流量的特征： 不规则情况阶段段：Φ1急剧减小，Φ2保持不变；
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值
着重讨论瞬态非稳态导热。
非稳态导热过程中在热量传递方向上不
同位臵处的导热量是不同的；
不同位臵间导热量的差别用于（或来自）
该两个位臵间内能随时间的变化，这是 区别与稳态导热的一个特点。
对非稳态导热一般不能用热阻的方法来
作问题的定量分析。
3 温度分布
h Bi 1h
（3） / 与 1/ h 的数值比较接近
平板中不同时刻的温度分布
介于上述两种极端情况之间。 两个热阻的相对大小对于物体
中非稳态导热的温度场的变化 具有重要影响。 引入表征这两个热阻比值的无 量纲数毕渥数。 Bi h
1h
近似分析法
a
L2
exp Bi Fo 0
0
exp Bi Fo 0
Bi Fo
应用集总参数法时，物体过余温度随时间的变化 关系是一条负自然指数曲线，或者无因次温度的 对数与时间的关系是一条负斜率直线
3.2.2 导热量计算式、时间常数与傅立叶数
1、导热量计算
hA Vc 0
Q Φ ( )d (t0 t ) hAe
非稳态导热复习
从中不难看出，它与系统（物体）的物 性、形状大小相关，且与环境状况（换 热状况）紧密相联。因此，同一物体处 于不同环境其时间常数是不一样的。
4.一初始温度为t0的固体，被置于室温为 t∞的房间中。物体表面的发射率为ε， 表面与空气间的表面传热系数为h，物体 的体积V，参与换热的面积A，比热容和 密度分别为c和ρ，物体的内热阻可忽略 不计，试列出物体温度随时间变化的微 分方程式。 解:
2.什么是集总参数系统，它有什么特征? 集总参数系统就是系统的物理量仅随时 间变化，而不随空间位置的改变而变化, 也就是一个空间上的均温系统。由于温 度仅仅是时间的函数，非稳态导热问题 变成了一个温度随时间的响应问题。 物体系统温度场要满足温度均匀分布， 其条件是系统的毕欧数Bi<<1。
3.时间常数是从什么导热问题中定义出 来的？它与哪些因素有关？同一种物体 导热过程中的时间常数是不是不变的？ 时间常数是从导热问题的集总参数系统 分析中定义出来的，为
dt 4 cV hA(t t ) A (T 4 T )0 d t (0) t 分为哪 两个阶段，它们各自有什么特征? 非周期性的加热或冷却过程可以分为初 始状况阶段和正规状况阶段。 前者的温度分布依然受着初始温度分布 的影响，也就是说热扰动还没有扩散到 整个系统，系统中仍然存在着初始状态， 此时的温度场必须用无穷级数加以描述； 而后者却是热扰动已经扩散到了整个系 统，系统中各个地方的温度都随时间变 化，此时温度分布可以用初等函数加以 描述（实际为无穷级数的第一项）。
03传热学第三章非稳态热传导
exp(1) 0.368
0
2020/7/26
16
※ hA hV A2 cV A cV 2
hV
A
a
V A2
Biv Fov
方程中指数的量纲：
hA
Vc
W m2K
m2
kg m3
Jkg K
[
m3
]
w J
1 s
物体中的温度
呈指数分布
2020/7/26
0
t t t0 t
exp(Biv Fov )
第三类边界条件：对流换热条件 h t f
4.无内热源平壁导热（单层和多层）
q (t1 t2 )
（单层）
q
tw1
tw(n1)
n i
（多层）
i1 i
2020/7/26
2
第三章 非稳态热传导
2020/7/26
5
主要内容：
非稳态导热过程中温度场的变化规律及换热量的分析 求解方法。包括：
1. 零维非稳态导热的集中参数分析法；
t t0 0 1 0
2
2 1
t
t t0 1 0 2 1
Bi
0Bi
Bi 0
Biv 准则数对无限大平壁温度分布的影响
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11
4、 无量纲数的简要介绍
基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参 数很多，为了减少问题所涉及的参数，于是人们将 这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象， 或物理过程的主要特征，并且没有量纲。
7
温度分布
4
t1
3
2
1
t0
0
非正规状况阶段（起始阶段）
※导热过程的阶段 正规状况阶段
传热学第3章非稳态热传导-精品文档
t∞ h
t 0
求解
物体冷却过程中温度随时间的变化规律； 物体放出的热量。
1. 物体在冷却过程中温度随时间的变化规律 根据能量守恒：
d t c V h A ( t t ) d
引入过余温度：
VA t∞ h
ρ ，λ ，c t
0
d c V hA d I . C 0 t t 0 0
cV 时， c
hA
36 . 8 % 0
c cV
hA
cV Bi Fo e e 0
h A
V V
定义时间常数：
说明
时间常数反映了导热物体对外界温度瞬间变化
响应的快慢程度。
热电偶的时间常数说明热电偶对流体温度变化
响应快慢的程度。
热电偶对流体温度变化反应快慢取决于自身
地传播到物体内部，因而物体内各点温度越 接近周围流体的温度。
3.2.3 集中参数法的适用范围及应用举例
判断是否采用集中参数法的依据：
Bi 0 . 1 M V
其中；大平板M=1，长圆柱 M=1/2，球 M=1/3。 集中参数法中特征长度的选取：
• 一般形状物体： l V A • 厚度为2δ的无限大平壁： • 半径为R的圆柱： • 半径为R的圆球： l R 2 • 边长为b的立方体：
1 h
2. 毕渥数 Bi 对温度分布的影响 分析：设有一块金属平板 2δ,λ，a，фV=0，h， 初始温度t0,突置于流体t∞中，且t∞ < t0。
Bi 0
t τ =0 τ 1 τ τ t∞ -δ 0 δ x
2 3
Bபைடு நூலகம்
t
t0
第3章 非稳态导热汇总
半径为R的圆柱，取 l R 半径为R的球体，取 l R
Bi / h 1/ h
物体内部导热热阻 ＝
物体表面对流换热热阻
如果采用取lc=V/A 作为特征长度，则
h(V / A)
BiV 0.1M
体积Biot 数
M是与物体几何形状 有关的无量纲常数
平板 V A
ql
tw1 tw2 1 ln d2
2 m d1
50 20
364.92
1
ln 272
2 3.14 0.5953 200
W/m
1
铁
块
300oC
水20oC
2
第3章 非稳态热传导
3.1 非稳态导热的基本概念 3.2 零维问题的分析法-集中参数法 3.3 典型一维问题非稳态导热的分析解 3.4 半无限大物体的非稳态导热 3.5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解
2.数学模型
dτ时间段内，满足能量守恒 Ein E g Eout Es
Ein
hA
t
t
d
E g 0; Eout 0ຫໍສະໝຸດ Es mcdt Vc dt
hAt t d Vc dt
分离变量得
hA d dt
Vc
t t
t 0 t0
控制方程 初始条件
9
3.求解
令θ= t - t，θ称过余温度，则有
瞬时换热量 hAt t hA hA0ehA cV f
导热体表面在0~ 时间段内的总换热量
Q0
d
0
ha
0
hA0e
cV
d
hA0
cV hA
hA
e
0
传热学-第三章 非稳态导热
[J ]
当物体被加热时(t<t∞)，将上两式中的θ0=t0－t∞ 改为θ0=t∞－t0，其余计算式相同（为什么？）
4. BiV·FoV的物理意义
Bi
=
hl
λ
=
l
λ＝
物体内部导热热阻
1 物体表面对流换热热阻
h
无量纲 热阻
BiV数越小，计算结果越接近实际情况。比如热电
偶测温，其BiV数只有0.001。
=
h ⋅ 4(l + d
cp dl
/ 2)
=
140× 4× (0.3 + 0.05 / 2)
0.48×103 × 7753× 0.05× 0.3
=
0.326
×10−2
s -1
θ θ0
=
t − t∞ t0 − t∞
= exp⎜⎜⎝⎛ −
hA
ρcV
⋅τ ⎟⎟⎠⎞
⇓
( ) 800 −1200 = exp − 0.326×10−2 ×τ
解：① 建立非稳态导热数学模型
方法一：椐非稳态有内热源的导热微分方程：
∂t
∂τ
=
λ ⎜⎛ ∂2t ρc ⎜⎝ ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
+
∂2t ∂z 2
⎟⎟⎠⎞ +
Φ&
ρc
∵ 物体内部导热热阻很小，忽略不计。
∴ 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是τ
的一元函数，而与坐标x、y、z无关，即：
例 一 直 径 为 5cm ， 长 为 30cm 的 钢 圆 柱 体 ， 初 始 温 度 为 30℃ ， 将 其 放 入 炉 温 为 1200℃ 的 加 热 炉 中 加 热 ， 升 温 到 800℃时方可取出。已知钢圆柱体与烟气间的表面传热系数 为 140w/(m2K) ， 钢 球 的 比 热 c=0.48kJ/(kgK) ， 密 度 ρ=7753kg/m3，导热系数λ=33w/(mK)。问需要多少时间才 能达到加热要求？ 解：首先检验是否可以采用集总参数法。为此计算Biv数：
第三章 非稳态导热
适用条件：一维稳态、无内 热源、恒壁温、λ=常数
4.导热系数与温度成线性关系时的处理方法
0 (1 bt)其中0－系数， (m C) W
可通过以下方法处理：
b－常数
若已知t1及t2，则 m 0 (1 btm ) 常数 t1 t2 其中tm 。 2
五、显式、隐式差分方法优缺点
优点可以利用上一时间的温度一次性算出下一时间 的所有各节点值。 隐式差分方法恰好与显式相反。 缺点：Δx与Δτ的取值有一定限制。
例题：厚度为20mm的平壁状核反应堆燃料 元件，它的二个端面受到均匀冷却，冷却液的温 度t∞=250℃，h=1100W/(m2℃)，燃料元件的导 热系数为 30W/(m℃) ，导温系数为a=10-5m2/s。 试计算燃料元件从具有均匀内热源Φ1=107 W/m3 的稳态运行条件变成Φ2= 108W/m3以后2秒钟时 各结点温度为多少？
n
2 n a
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) ( ) a e 0 n1 n sin( n ) cos( n )
2
2
（x, ) 因此 是F0和Bi以及 的函数,即 0 x
( x , ) x f ( F0 , Bi , ) 0
从公式中可知：
对于无限大圆柱体或球体，也可用查图方式求得。
适用条件： （1）适用于恒温介质的第三类边界条件或第一类边界 条件的加热及冷却过程。 （2）Fo>0.2，否则过于密集，误差太大，用解析解 求。
三
二维及三维非稳态导热问题的求解
y
有 一 矩 形 截 面 （ 2δ1×2δ2 ） 的 长 柱 ， 原来具有均匀温度 t0 ， 现将它突然浸没在温度 为t∞ 的流体中。流体与 长柱表面之间的换热系 数h 保 持 不 变。 试 分析 矩形截面的温度分布情 况。
传热学重点、题型讲解第三章--非稳态导热
传热学重点、题型讲解第三章--非稳态导热第三章非稳态导热第一节非稳态导热的基本概念图3-1 瞬态导热的基本概念图3-2 周期性导热的基本概念第二节无限大平壁的瞬态导热一、加热或冷却过程的分析解法图3－3 第三类边界条件下的瞬态导热图3-4 特征方程的根22xta t ∂∂=∂∂τ τ＞0， 0＜x ＜δ （1） 相应地初始条件为τ=0， t t =0 0≤≤x δ （2） 边界条件为xt∂∂｜x =0 = 0 (对称性) τ＞0 （3） xt∂∂-λ｜x =δ = h t (｜x =δ-t f ) τ＞0 （4） 引用新的变量()()θττx t x t f ,,=-，称为过余温度22x∂∂=∂∂θτθ τ＞0， 0＜x ＜0 （3-1） τ=0， θθ=0 0≤≤x δ （3-2）x∂∂θ｜x =0 = 0 τ＞0 （3-3） x∂∂-θλ｜x =δ= h θ｜x =δ τ＞0 （3-4 ) ()()()θτφτx X x ,= （5）τφφd d a 1=221dx Xd X （6）μτφφ=d d a 1 （7）μ=dxdXX 1 （8） ()φμτ=c a 1exp （9）()φετ=-c a 12exp （10）2221ε-=dxXd X （11） ()()X c x c x =+23cos sin εε （12） ()()()[]()θτεεετx A x x a ,cos sin exp =+-2 （3-5）x∂∂θ｜x =0 =()()A B a εεετsin cos exp 002+- ()()()θτεετx A x a ,cos exp =-2 （13） ()[]()()()---=-λεεδετεδετA a hA a sin exp cos exp 22 ()λεεδ=h cot （14）()εδδλεδh ⎛⎝ ⎫⎭⎪=cot （15）ββBi=cot （3-6）式（3-6）称为特征方程。
传热学-第三章非稳态导热问题分析解
对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热 电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术 所需要的（微细热电偶、薄膜热电阻）
t t
hA
e Vc
0 t0 t
hA
其中的指数：cV
hV
A
A2 V 2c
h(V
A)
a
(V A)
2
Biv
Fov
毕渥数：
着重讨论瞬态非稳态导热（加热） （1）温度分布：
t1
t0
4 过程开始时
3
2
随时间推移
1 新的稳态阶段
0
(2) 两 个 不同导热 阶段:
非正规状况阶段 (右侧面不参与换热)
正规状况阶段 （右侧面参与换热）
温度分布主要受初 始温度分布控制
温度分布主要取决 于边界条件及物性
（3）非稳态导热过程的三个阶段 非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶 段、新的稳态 （4）热量变化
是一种理想化模型； 物体内导热热阻忽略不计； 物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有相
同的温度；
通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同时 发生变化； 把一个有分布热容的物体看成是一个集中热容的物体；
只考虑与环境间的换热不考虑物体内的导热。
问题的提出：
2 温度分布 如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0.049 0.05 可采用集总参数法。
F cp V
cp
dl 2d 2 d 2l 4
4
cp
4(l d dl
2)
140 4 (0.3 0.025) 480 7753 0.05 0.3
0.326102
t tf 800 1200 0.342
非稳态导热——精选推荐
∞ t
tw＝ tf
τ3
τ1 τ2
t0
τ3 τ4 τ1 τ2
∞
x
x a有限厚物体
∞ b半无限厚物体
图 有限厚与无限厚物体
§11.2 集总参数法的简化分析
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时， Bi → 0 ，温度分布只与时间有
关，即 t = f (τ ) ，与空间位置无关，因此，也称为
当 Bi → 0时，⇒ rλ << rα，因此，可以忽略导热热阻(薄材)
物体内有均匀的温度分布
第一类边界条件（流体温 度等于壁面温度）
0 < Bi < ∞
14
（4） 薄材的判断方法
Bi
=
αδ λ
≤ 0.1
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
对厚为2δ的无限大平板; 对半径为δ的无限长圆柱
零维问题(薄材)，薄材的温度分布可用常微分方程描述。
α tf
2 温度分布
Q
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
τ = 0时，t = t 0
将其突然置于温度恒为 t f 的流 体中。
宗燕兵
20
当物体被冷却时（t>tf）,由能量守恒可知
常
Aα
(t
−
t
f
)
=
-
ρVc
dt
dτ
(τ = 0，t = t0 )
如上述，Bi小物体内外温度差就小。极端而言，
Bi →0，可理解为物体热导率λ→∞；
也可理解为h→0；
或者材料的厚度δ →0。 这时，物体内外温差也趋近于零。在实际上λ→∞或h→0
V4第三章-非稳态热传导-2014
1/ h /
6 6
1/ h / （ 2）
即对流换热热阻远大于导 热热阻，此时传热热阻主 要是边界对流换热热阻， 因而可认为同一时刻平壁 内部温度是相同的，而平 壁表面和流体间存在明显 温差，这一温差随着时间 推移和平壁总体温度降低 而逐渐减小。
1/ h /
半径为 r 的圆柱 半径为 r 的球体
V
r 2l r A 2 rl 2
4 V
r 3 2 A 4 r 3
r3
（2）对于形状如平板、柱体或球的物体，只要满足BiV≤0.1M， 就可以使用集总参数法计算，偏差小于5％。 与形状有关的无量纲量 无限大平板 M 1 1 无限长圆柱 M 2 球
毕渥数,无量纲特征数 傅里叶数
V
e Bi 0
FoV
exp BiV FoV
下角标V表示以 l=V/A为特征长度
14
傅里叶数的物理意义：
Fo
a
2
2 a
[s]
Fo为两个时间之比，是非稳态导 热过程的无量纲时间。
[m2]
[m2/s]
毕渥数的物理意义：
第三章 非稳态热传导
1
3-1
非稳态导热的基本概念
一、非稳态导热的基本概念
★非稳态导热 ：温度场随时间变化的导热过程。 ★非稳态导热的类型： （1）周期性非稳态导热： 在周期性变化边界条件下发生的导热过程，如内燃机汽缸 壁的导热、一年四季大地土壤的导热等。 （2）非周期性非稳态导热： 在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，例如热处理工 件的加热或冷却、太阳辐射加热建筑物墙体等。
5 2015-5-24 5
（1）1/ h / 即对流换热热阻远小于平 板内的导热热阻，可认为 平壁表面温度一开始就和 流体温度基本相同，第三 类边界条件转化为第一类 边界条件。此时传热热阻 主要是导热热阻，因此平 壁内部存在温度梯度，并 随时间推移，平壁总体温 度逐渐降低。
传热学(第四版)第三章：非稳态热传导
hA 1 时， exp(1) 0.368
Vc
0
称 Vc 为时间常数，用 表示。
c
hA
当 4 Vc 时， 1.83% 工程上认为=4 Vc / hA时
hA 0
导热体已达到热平衡状态
第三章 非稳态导热
6
讨论2：热电偶测温的动态误差
将两支绑在一起的热电偶（补充介绍热电偶的测温原理）突然从 空气中放到保温杯中，热电偶读数的变化过程。其中热电偶1的探 头直径约为1 mm，热电偶2的探头直径约为3.5mm；环境为冬季、 室内。
第三章 非稳态导热
7
实验观察结果的拟合
t
t
t
exp
hA
Vc
t
拟合线1:
t
12.7
79.4
exp
3
0.216
79.4
拟合线2 : t 11.1 第三章 非稳态导热
80.0
exp
3
1.252
80.0
8
时间常数 ( Vc / hA)反应导热体的热惯性。 如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
2
a
x2
0, 0 0
0
0, x 0, w ; x , 0 0 tw
式中， t t0 , w tw t0
式中
1 erf x
w
2 a
erf () 2 e2 d
0
＝ x 2 a
第三章 非稳态导热
t0 x
30
3-10、课堂作业
3-25
方程x*tan(x)=Bi前10个正根 给Bi=0.9991, matlab求解。
已知：热电偶与气体的表面换热系数为 10w/(m2·k)，热电偶导热系数为67w/(m·k)，密度为 7310kg/m3，比热容228J/(kg·K)。
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3.时间常数是从什么导热问题中定义出 3.时间常数是从什么导热问题中定义出 来的?它与哪些因素有关? 来的?它与哪些因素有关?同一种物体 导热过程中的时间常数是不是不变的? 导热过程中的时间常数是不是不变的? 时间常数是从导热问题的集总参数系统 分析中定义出来的,为 分析中定义出来的,
ρcV τ 0= αA
1.非周期性的加热或冷却过程可以分为哪 1.非周期性的加热或冷却过程可以分为哪 两个阶段,它们各自有什么特征? 两个阶段,它们各自有什么特征? 非周期性的加热或冷却过程可以分为初 始状况阶段和正规状况阶段. 始状况阶段和正规状况阶段. 前者的温度分布依然受着初始温度分布 的影响, 的影响 , 也就是说热扰动还没有扩散到 整个系统, 系统中仍然存在着初始状态, 整个系统 , 系统中仍然存在着初始状态 , 此时的温度场必须用无穷级数加以描述; 此时的温度场必须用无穷级数加以描述 ; 而后者却是热扰动已经扩散到了整个系 统 , 系统中各个地方的温度都随时间变 化 , 此时温度分布可以用初等函数加以 描述(实际为无穷级数的第一项) 描述(实际为无穷级数的第一项).
2.什么是集总参数系统,它有什么特征? 2.什么是集总参数系统,它有什么特征? 什么是集总参数系统 集总参数系统就是系统的物理量仅随时 间变化,而不随空间位置的改变而变化, 间变化,而不随空间位置的改变而变化, 也就是一个空间上的均温系统. 也就是一个空间上的均温系统.由于温 度仅仅是时间的函数,非稳态导热问题 度仅仅是时间的函数, 变成了一个温度随时间的响应问题. 变成了一个温度随时间的响应问题. 物体系统温度场要满足温度均匀分布, 物体系统温度场要满足温度均匀分布, 其条件是系统的毕欧数Bi<<1 Bi<<1. 其条件是系统的毕欧数Bi<<1.
dt ρcV + hA(t t ∞ ) + εAσ (T 4 T∞4 ) = 0 dτ t (0) = t 0
�
Hale Waihona Puke 从中不难看出, 它与系统( 物体) 从中不难看出 , 它与系统 ( 物体 ) 的物 形状大小相关, 且与环境状况( 性 , 形状大小相关 , 且与环境状况 ( 换 热状况) 紧密相联. 因此, 热状况 ) 紧密相联 . 因此 , 同一物体处 于不同环境其时间常数是不一样的. 于不同环境其时间常数是不一样的.
4.一初始温度为t 的固体, 4.一初始温度为t0的固体,被置于室温为 一初始温度为 t∞的房间中 物体表面的发射率为ε 的房间中. t∞的房间中.物体表面的发射率为ε, 表面与空气间的表面传热系数为h 表面与空气间的表面传热系数为h,物体 的体积V 参与换热的面积A 的体积V,参与换热的面积A,比热容和 密度分别为c 密度分别为c和ρ,物体的内热阻可忽略 不计, 不计,试列出物体温度随时间变化的微 分方程式. 分方程式. 解:
非稳态导热复习
热工教研室 黄晓明
1.非周期性的加热或冷却过程可以分为哪两个 1.非周期性的加热或冷却过程可以分为哪两个 阶段,它们各自有什么特征? 阶段,它们各自有什么特征? 2.什么是集总参数系统 它有什么特征? 什么是集总参数系统, 2.什么是集总参数系统,它有什么特征? 3.时间常数是从什么导热问题中定义出来的 时间常数是从什么导热问题中定义出来的? 3.时间常数是从什么导热问题中定义出来的? 它与哪些因素有关? 它与哪些因素有关?同一种物体导热过程中 的时间常数是不是不变的? 的时间常数是不是不变的? 4.一初始温度为 的固体,被置于室温为t∞ 一初始温度为t 4.一初始温度为t0的固体,被置于室温为t∞ 的房间中.物体表面的发射率为ε 的房间中.物体表面的发射率为ε,表面与 空气间的表面传热系数为h 物体的体积V 空气间的表面传热系数为h,物体的体积V, 参与换热的面积A 比热容和密度分别为c 参与换热的面积A,比热容和密度分别为c和 物体的内热阻可忽略不计, ρ,物体的内热阻可忽略不计,试列出物体 温度随时间变化的微分方程式. 温度随时间变化的微分方程式.