一元二次方 程 课堂练习题
1元2次方程练习题及答案
1元2次方程练习题及答案1. 解方程：\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。
2. 求解：\( 2x^2 + 3x - 5 = 0 \)。
3. 找出下列方程的根：\( 3x^2 - 4x + 4 = 0 \)。
4. 计算：\( x^2 + 4x - 12 = 0 \) 的解。
5. 求出：\( 6x^2 - 11x + 6 = 0 \) 的根。
答案1. \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 可以分解为 \( (x - 2)(x - 3) = 0 \)，因此解为 \( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)。
2. \( 2x^2 + 3x - 5 = 0 \) 可以使用求根公式 \( x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) 来解，其中 \( a = 2 \), \( b = 3 \), \( c = -5 \)。
计算得 \( x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-3 \pm 7}{4} \)，解为\( x = 1 \) 或 \( x = -2.5 \)。
3. \( 3x^2 - 4x + 4 = 0 \) 同样使用求根公式，\( a = 3 \),\( b = -4 \), \( c = 4 \)。
计算得 \( x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 48}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{-32}}{6} \)。
由于根号下为负数，该方程没有实数解。
4. \( x^2 + 4x - 12 = 0 \) 可以分解为 \( (x + 6)(x - 2) = 0 \)，因此解为 \( x = -6 \) 或 \( x = 2 \)。
5. \( 6x^2 - 11x + 6 = 0 \) 使用求根公式，\( a = 6 \), \( b = -11 \), \( c = 6 \)。
第28章《一元二次方程》常考题集(17)：28.3 用一元二次方程解决实际问题
指出以下关系式中不正确的是（ ）
第1页（共5页）
A．x+y＝7
B．x﹣y＝2
C．x2+y2＝25
D．4xy+4＝49
39．一个两位数的十位数字与个位数字之和是 7，如果把这个两位数加上 45，那么恰好成为
把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（ ）
A．16
B．25
C．52
D．61
40．制造一种产品，原来每件成本是 100 元，由于连续两次降低成本，现在的成本是 81 元，
下部分种植草坪．要使草坪的面积为 540 平方米，则道路的宽为（ ）
A．5 米
B．3 米
C．2 米
D．2 米或 5 米
51．某超市 2005 年一月份的营业额为 200 万元，三月份营业额为 288 万元，如果每月比上
月增长的百分数相同，则平均每月的增长率是（ ）
A．10%
B．15%
C．20%
D．25%
52．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大 3，则这个两位数为（ ）
A．25
B．36
C．25 或 36
D．﹣25 或﹣36
填空题
53．某商场销售额 3 月份为 16 万元，5 月份为 25 万元，该商场这两个月销售额的平均增长
率是
%．
54．一种药品经过两次降价，药价从原来每盒 60 元降至现在的 48.6 元，则平均每次降价的
（）
A．24
B．24 或 8
C．48
D．8
37．一个小组有若干人，每年互送贺年卡片一张，已知全组共送贺年卡 56 张，则这个小组
有（ ）
A．16 人
B．10 人
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式典型例题(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式典型例题单选题1、已知x >0，则下列说法正确的是（ ） A ．x +1x −2有最大值0B ．x +1x −2有最小值为0 C ．x +1x−2有最大值为－4D ．x +1x−2有最小值为－4答案：B分析：由均值不等式可得x +1x ≥2√x ×1x =2，分析即得解 由题意，x >0，由均值不等式x +1x≥2√x ×1x=2，当且仅当x =1x，即x =1时等号成立故x +1x −2≥0，有最小值0 故选：B2、不等式x (2x +7)≥−3的解集为（ ） A ．(−∞,−3]∪[−12,+∞)B ．[−3,−12] C ．(−∞,−2]∪[−13,+∞)D ．[−2,−13] 答案：A分析：解一元二次不等式即可.x (2x +7)≥−3可变形为2x 2+7x +3≥0， 令2x 2+7x +3=0，得x 1=−3，x 2=−12，所以x ≤−3或x ≥−12，即不等式的解集为(−∞,−3]∪[−12,+∞).故选：A.3、已知命题“∀x ∈R ，4x 2+(a −2)x +14>0”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−∞,0]∪[4,+∞)B ．[0,4] C ．[4,+∞)D ．(0,4)答案：A分析：先求出命题为真时实数a的取值范围，即可求出命题为假时实数a的取值范围.若“∀x∈R，4x2+(a−2)x+14>0”是真命题，即判别式Δ=(a−2)2−4×4×14<0，解得：0<a<4，所以命题“∀x∈R，4x2+(a−2)x+14>0”是假命题，则实数a的取值范围为：(−∞,0]∪[4,+∞).故选：A.4、设a>b>c>0，则2a2+1ab +1a(a−b)−10ac+25c2取得最小值时，a的值为（）A．√2B．2C．4D．2√5答案：A解析：转化条件为原式=1ab +ab+1a(a−b)+a(a−b)+(a−5c)2，结合基本不等式即可得解.2a2+1ab+1a(a−b)−10ac+25c2=1ab+ab+1a(a−b)+a(a−b)−ab−a(a−b)+2a2−10ac+25c2 =1ab+ab+1a(a−b)+a(a−b)+a2−10ac+25c2=1ab+ab+1a(a−b)+a(a−b)+(a−5c)2≥2√1ab ⋅ab+2√1a(a−b)⋅a(a−b)+0=4，当且仅当{ab=1a(a−b)=1a=5c，即a=√2，b=√22，c=√25时，等号成立.故选：A.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5、若“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≥2C ．m ≥3D ．m ≥4 答案：C分析：x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0），解得﹣2m <x <m .根据“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，可得﹣2m ≤﹣2，3≤m ，m >0.解出即可得出. 解：x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0），解得﹣2m <x <m .∵“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，∴﹣2m ≤﹣2，3≤m ，(两个等号不同时取)m >0. 解得m ≥3.则实数m 的取值范围是[3，+∞）. 故选：C.6、关于x 的不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x|x 1<x <x 2}，且x 2−x 1=1，则a 2+a −2=（ ） A ．3B ．32C ．2D ．23答案：A分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得x 1+x 2=a +1a 、x 1x 2=1，结合 (x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2计算即可.由不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x |x 1<x <x 2}， 得a >0，不等式对应的一元二次方程为ax 2−(a 2+1)x +a =0， 方程的解为x 1、x 2，由韦达定理，得x 1+x 2=a 2+1a=a +1a ，x 1x 2=1，因为x 2−x 1=1，所以(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1， 即(a +1a )2−4=1，整理，得a 2+a −2=3. 故选：A7、已知关于x 的不等式ax 2+bx +c <0的解集为{x|x <−1或x >4}，则下列说法正确的是（ ）A．a>0B．不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2−√7<x<2+√7}C．a+b+c<0D．不等式ax+b>0的解集为{x|x>3}答案：B分析：根据解集形式确定选项A错误；化不等式为x2−4x−3<0,即可判断选项B正确；设f(x)=ax2+ bx+c，则f(1)>0，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.解：因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，所以a<0，所以选项A错误；由题得{a<0−1+4=−ba−1×4=ca,∴b=−3a,c=−4a，所以ax2+cx+b>0为x2−4x−3<0,∴2−√7<x<2+√7.所以选项B正确；设f(x)=ax2+bx+c，则f(1)=a+b+c>0，所以选项C错误；不等式ax+b>0为ax−3a>0,∴x<3，所以选项D错误.故选：B8、不等式1+x1−x≥0的解集为（）A．{x|x≥1或x≤−1}B．{x∣−1≤x≤1} C．{x|x≥1或x<−1}D．{x|−1≤x<1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，解得−1≤x<1，故不等式的解集为{x|−1≤x<1}，故选：D．多选题9、已知关于x的不等式ax2+bx+c>0解集为{x|−2<x<3}，则（）A．a>0B．不等式ax+c>0的解集为{x|x<6}C．a+b+c>0D．不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|−13<x<12}答案：BCD解析：根据已知条件得−2和3是方程ax2+bx+c=0的两个实根，且a<0，根据韦达定理可得b=−a,c=−6a，根据b=−a,c=−6a且a<0,对四个选项逐个求解或判断可得解.因为关于x的不等式ax2+bx+c>0解集为{x|−2<x<3}，所以−2和3是方程ax2+bx+c=0的两个实根，且a<0，故A错误；所以−2+3=−ba ，−2×3=ca，所以b=−a,c=−6a，所以不等式ax+c>0可化为ax−6a>0，因为a<0，所以x<6，故B正确；因为a+b+c=a−a−6a=−6a，又a<0，所以a+b+c>0，故C正确；不等式cx2−bx+a<0可化为−6ax2+ax+a<0，又a<0，所以−6x2+x+1>0，即6x2−x−1<0，即(3x+1)(2x−1)<0，解得−13<x<12,故D正确.故选：BCD.小提示：利用一元二次不等式的解集求出参数a,b,c的关系是解题关键.本题根据韦达定理可得所要求的关系，属于中档题.10、设0<b<a<1，则下列不等式不成立的是（）A．ab<b2<1B．√a<√b<1C．1<1a <1bD．a2<ab<1答案：ABD分析：对于ABD举例判断即可，对于C，利用不等式的性质判断对于A，取a=12,b=13，则ab=16>b2=19，所以A错误，对于B，取a=14,b=19，则√a=12>√b=13，所以B错误，对于C，因为0<b<a<1，所以1ab >0，所以b⋅1ab<a⋅1ab，即1a<1b，因为0<a<1，所以0<a⋅1a <1×1a，即1<1a，综上1<1a<1b，所以C正确，对于D，取a=12,b=13，则ab=16<a2=14，所以D错误，故选：ABD11、下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（）A．3x+4<0B．x2+mx-1>0C．ax2+4x-7>0D．x2<0答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.填空题12、若x>0,y>0,xy=10，则2x +5y的最小值为_____．答案：2分析：化简2x +5y=2x+102y=2x+xy2y=2x+x2，结合基本不等式，即可求解.由x>0,y>0,xy=10，则2x +5y=2x+102y=2x+xy2y=2x+x2≥2√2x×x2=2，当且仅当x=2时取“=”，即2x +5y的最小值为2．所以答案是：2.13、已知x，y为正数，且12+x +4y=1，则x+y的最小值为________.答案：7解析：由题设等式有x+y+2=5+y2+x +4(x+2)y，利用基本不等式可求x+y+2的最小值，从而可得x+y的最小值.x+y+2=[(x+2)+y]×(1x+2+4y)=5+y2+x+4(x+2)y，由基本不等式有y2+x +4(x+2)y≥4，当且仅当x=1,y=6时等号成立，故x+y+2的最小值为9即x+y的最小值为7.所以答案是：7.小提示：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.14、已知函数f(x)=√mx2+mx+1的定义域是R，则m的取值范围为______．答案：[0,4]分析：根据函数的定义域为R可得mx2+mx+1≥0对x∈R恒成立，对参数m的取值范围分类讨论，分别求出对应m 的范围，进而得出结果.因为函数f(x)=√mx2+mx+1的定义域为R，所以mx2+mx+1≥0对x∈R恒成立，当m=0时，mx2+mx+1=1>0，符合题意；当m>0时，由Δ=m2-4m≤0，解得0<m≤4；当m<0时，显然mx2+mx+1不恒大于或等于0．综上所述，m的取值范围是[0,4].所以答案是：[0,4].解答题15、设a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥√43．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析.分析：（1）方法一：由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0结合不等式的性质，即可得出证明；（2）方法一：不妨设max{a,b,c}=a，因为a+b+c=0,abc=1，所以a>0,b<0,c<0,a=(−b)+(−c)≥2√bc=2√1a ，则a3≥4,a≥√43．故原不等式成立．（1）［方法一］【最优解】：通性通法∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，∴ab+bc+ca=−12(a2+b2+c2).∵abc=1,∴a,b,c均不为0，则a2+b2+c2>0，∴ab+bc+ca=−12(a2+b2+c2)<0．［方法二］：消元法由a+b+c=0得b=−(a+c)，则ab+bc+ca=b(a+c)+ca=−(a+c)2+ac=−(a2+ac+c2)=−(a +c 2)2−34c 2≤0，当且仅当a =b =c =0时取等号，又abc =1，所以ab +bc +ca <0． ［方法三］：放缩法方式1：由题意知a ≠0, a +b +c =0, a =−(c +b ), a 2=(c +b )2=c 2+b 2+2cb ≥4bc ，又ab +bc +ca =a (b +c )+bc =−a 2+bc ≤−a 2+a 24=−3a 24<0，故结论得证．方式2：因为a +b +c =0，所以0=(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca=12[(a 2+b 2)+(b 2+c 2)+(c 2+a 2)]+2ab +2bc +2ca ≥12(2ab +2bc +2ca )+2ab +2bc +2ca =3(ab +bc +ca )．即ab +bc +ca ≤0，当且仅当a =b =c =0时取等号， 又abc =1，所以ab +bc +ca <0． ［方法四］：因为a +b +c =0,abc =1，所以a ，b ，c 必有两个负数和一个正数，不妨设a ≤b <0<c,则a =−(b +c ), ∴ab +bc +ca =bc +a (c +b )=bc −a 2<0. ［方法五］：利用函数的性质方式1：6b =−(a +c )，令f (c )=ab +bc +ca =−c 2−ac −a 2， 二次函数对应的图像开口向下，又abc =1，所以a ≠0， 判别式Δ=a 2−4a 2=−3a 2<0，无根， 所以f (c )<0，即ab +bc +ca <0．方式2：设f (x )=(x −a )(x −b )(x −c )=x 3+(ab +bc +ca )x −1， 则f (x )有a ，b ，c 三个零点，若ab +bc +ca ≥0， 则f (x )为R 上的增函数，不可能有三个零点， 所以ab +bc +ca <0．（2）［方法一］【最优解】：通性通法不妨设max {a,b,c }=a ，因为a +b +c =0,abc =1，所以a >0, b <0, c <0, a =(−b )+(−c )≥2√bc =2√1a，则a 3≥4,a ≥√43．故原不等式成立． ［方法二］：不妨设max {a,b,c }=a ，因为a +b +c =0,abc =1，所以a >0，且{b +c =−a,bc =1a , 则关于x 的方程x 2+ax +1a =0有两根，其判别式Δ=a 2−4a ≥0，即a ≥√43． 故原不等式成立． ［方法三］：不妨设max {a,b,c }=a ，则a >0, b =−(a +c ), abc =1, −(a +c )ac =1, ac 2+a 2c +1=0，关于c 的方程有解，判别式Δ=(a 2)2−4a ≥0，则a 3≥4,a ≥√43．故原不等式成立． ［方法四］：反证法假设max {a,b,c }<√43，不妨令a ≤b <0<√43，则ab =1c >√43,−a −b =c <√43，又√43>−a −b ≥2√ab >√√43=21−13=√43，矛盾，故假设不成立．即max {a,b,c }≥√43，命题得证．【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出． （2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．。
一元二次方程 练习题2022-2023学年人教版九年级数学上册期末复习
2022-2023学年人教版九年级数学上册期末复习《一元二次方程》练习题一、单选题1．用配方法解方程2420x x ++=，下列配方正确的是（ ）A ．()222x -=B ．()222x +=C ．()222x -=-D ．()226x -= 2．方程x 2 = 2x 的解是（ ）．A ．2x =B ．0x =C ．12x =，20x =D ．12x =-，20x =3．已知关于x 的一元二次方程()2110m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．54m ≤ B ．54m <且1m ≠ C ．54m ≥ D ．54m ≤且1m ≠ 4．已知分式()()2121x x x -+-的值为0，那么x 的值是（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．1或2-5．把方程x 2+2x ＝5（x ﹣2）化成ax 2+bx +c ＝0的形式，则a ，b ，c 的值分别为（ ）A ．1，﹣3，2B ．1，7，﹣10C ．1，﹣5，12D ．1，﹣3，10 6．若直角三角形的两边长分别是方程27120x x -+=的两根，则该直角三角形的面积是（ ）A ．6B ．12C ．12D ．6 7．已知4M m =-，23N m m =-，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M N >B ．M N ≤C ．M ND ．M N <8．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（ ）A ．()11472x x +=⨯ B ．()11472x x -=⨯ C ．(1)28x x += D ．(1)28x x -=9．如图，要设计一幅宽20cm 、长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2:3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，则横彩条和竖彩条的宽度分别是（ ）A ．2cm 和3cmB ．1cm 3和1cm 2C ．5cm 3和5cm 2D ．2cm 5和3cm 5 10．如图，将边长2cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把ABC 沿着AD 方向平移，得到A B C '''，若两个三角形重叠部分的面积为21cm ，则它移动的距离AA '等于（ ）A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm二、填空题 11．方程()200ax bx c a ++=≠的系数a ，b ，c 满足420a b c -+=，则方程有一个根为______．12．一元二次方程2341=0x x --的二次项系数和一次项系数分别为_______．13．已知1x =是方程20x ax b +-=的一个根，则2023a b -+=______．14．已知三角形两边的长是6和8，第三边的长是方程216600x x -+=的一个根，则该三角形的面积是_____．15．某城市楼盘计划以每平方米12000元的均价对外销售，由于新政调控，房产商对价格两次下调．．．．后，最终以每平方米9800元的均价开盘销售.设每次下调的百分率相同且记为x ，根据题意可以列出方程__.三、解答题16．按要求解下列方程：(1)2420x x --=；（配方法）(2)()()24540x x +-+=；（因式分解法）(3)268x x -=；（公式法）(4)22150x x --=．（因式分解法）17．如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡合的一边利用长为12m 的墙，另外三边用25m 长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD 上留一个1m 宽的门．(1)矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为280m ？(2)鸡舍面积能否达到286m ？18．已知一元二次方程220x x m -+=．(1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1233x x +=，求m 的值．19．阅读材料：22228160a ab b b --++=，求a ，b 的值．解：∵22228160a ab b b --++=，∵()()22228160a ab b b b -+++-=，∵()()2240a b b +-=-，∵()20a b -＝，()240b -＝，∵=4a ，4b =．根据你的观察，探究下面的问题：(1)若22440m n m +-+=，则=m ，=n ；(2)已知222102520x y y xy +++-＝，求xy 的值；(3)已知Rt ABC △的三边长a ，b ，c ，且满足2268250a b a b +-+=-，求ABC 的周长．20．阅读下面的例题，范例：解方程2||20x x --= ，解：（1）当0x ≥ 时，原方程化为220x x --=，解得：12x =，21x =-（不合题意，舍去）．（2）当x ＜0时，原方程化为220+-=x x ，解得：12x =-，21x =（不合题意，舍去）． ∵原方程的根是12x =，22x =-，请参照例题解方程21||10x x ---=21．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．(1)设每件童装降价x 元时，每天可销售_______________件，每件盈利____________元；（用x 的代数式表示）(2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．(3)要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．22．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．(1)求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？参考答案1．B解：2420x x ++=，242x x +=-，24424x x ++=-+，()222x +=．故选：B ．2．C解：2 20x x -=，因式分解，得：()20x x -=，∵0x =或20x -=，解得：10x =，22x =．3．D 解：关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，∴∵214(1)10m =--⋅且10m -≠， 解得：54m 且1m ≠， 故选：D ．4．B解：分式()()2121x x x -+-的值为0， ∴()()120x x -+=且210x ， ∵1=020x x -+=，，解得：11x =，22x =-，∵210x ，∵1x ≠±，∵11x =舍去，∵2x =-．故选：B ．5．D先把x 2+2x ＝5（x ﹣2）化简，然后根据一元二次方程的一般形式即可得到a 、b 、c 的值． 解：x 2+2x ＝5（x ﹣2），x 2+2x ＝5x ﹣10，x 2+2x ﹣5x +10＝0，x 2﹣3x +10＝0，则a ＝1，b ＝﹣3，c ＝10，故选：D ．6．D根据题意，先将方程27120x x -+=的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．解方程27120x x -+=得13x =，24x =当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为134=62⨯⨯；当4为斜边，3，面积为12则该直角三角形的面积是6 故选：D ．7．B 利用完全平方公式把N -M 变形，根据偶次方的非负性解答．解：N -M =（m 2-3m ）-（m -4）=m 2-3m -m +4=m 2-4m +4=（m -2）2≥0，∵N -M ≥0，即M ≤N ，故选：B ．8．B先根据题意求出每支球队进行(1)x -场比赛，再根据每个队之间比赛一场即可表示总的场次，然后根据总的比赛场次47=⨯（场）列出方程即可．根据题意可知1(1)472-=⨯x x ． 故选：B ．9．C要求彩条的宽度，可设横彩条的宽为x ，则竖彩条宽为32x ，横彩条的长为矩形的宽，竖彩条的长为矩形的长，由此可分别求出横竖彩条的面积，由图可知横竖彩条有重叠的面积，所以横竖彩条的面积减去重叠的部分等于总面积的三分之一，由此列方程并求解即可．解：设横彩条的宽度为xcm ，则竖彩条的宽度为32x ， 由图可知一个横彩条的面积为：20x ，一个竖彩条的面积为：3302x ⨯， 有四个重叠的部分，重叠的面积为：342x x ⨯⨯，因为所有彩条的面积为总面积的三分之一，所以列方程为：33122023042030223x x x x ⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯， 解得：153x =，220x =（不符合题意，舍去）， ∵3522x =， 应设计横的彩条宽为53cm ，竖的彩条宽为52cm ． 故选：C ．于总面积的三分之一．10．B根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，∵AA′H 与∵HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x ，则阴影部分的底长为x ，高A′D=2-x ，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．解：设AC 交A′B′于H ，∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∵∵A=45°，∵D=90°，∵∵A′HA 是等腰直角三角形，设AA′=x ，则阴影部分的底A′H=x ，高A′D=2-x ，∵x•(2-x)=1，即2210x x -+=，解得：121x x ==，即AA′=1cm ．故选：B ．11．2x =-由20ax bx c ++=满足420a b c -+=且0a ≠，可得当2x =-时，有420a b c -+=．由此即可解答．由题意，一元二次方程20ax bx c ++=满足420a b c -+=且0a ≠，∵2x =-时，代入方程20ax bx c ++=，有420a b c -+=；综上可知，方程必有一根为2x =-．故答案为2x =-．12．3；4-方程整理为一般形式，确定出二次项系数与一次项系数即可．解：由题意，得二次项系数为3，一次项系数为4-，故答案为：3；4-．13．2022把1x =代入方程可得1a b -=-，进而问题可求解．解：把1x =代入方程可得1a b -=-，∵2023120232022a b -+=-+=；故答案为：2022．14．24或先解出方程216600x x -+=的根；再结合三角形的三边关系判断是否能构成三角形及是否为特殊三角形等；最后计算三角形的面积．解：设三角形的第三边的长为a ，∵216600x x -+=，∵()()6100x x --=，∵16x =，210x =，∵三角形两边的长是6和8，∵8668a -<<+，∵214a <<，∵第三边的长为6或10．∵三角形有两种：∵当三边为6、6、8时，如图，在ABC 中，6AC BC ==，=8AB ，∵ABC 为等腰三角形，过点C 作CD AB ⊥于点D ， ∵118422AD AB ==⨯=， 22226425CD AC AD -=-= ∵118258522ABC S AB CD =⋅=⨯⨯△∵当三边为6、8、10时，如图，在ABC 中，8AC =，=6BC ，10AB =，∵2228610+=，∵ABC 为直角三角形， ∵11862422ABC S AC BC =⋅=⨯⨯=△．综上所述，该三角形的面积为24或故答案为：24或．15．12000（1-x ）2=9800设出平均每次下调的百分率为x ，利用“楼盘对外销售每平方米的均价×（1-每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格”列方程即可．解：设平均每次降价的百分率是x ，根据题意列方程得，12000（1-x ）2=9800．故答案为：12000（1-x ）2=9800．16．（1）解：2420x x --=2446x x -+=()226x -=2x -=∵12x ，22x =；（2）解：()()24540x x +-+= ()()4450x x ++-=40x +=或x +4-5=0∵1241x x =-=，；（3）解：268x x -=2680x x --=a =1，b =-6，c =-8∵()()2246418680b ac ∆=-=--⨯⨯-=>，∵3x ==±∵13x =23x =（4）解：22150x x --=()()530-+=x xx -5=0或x +3=0∵1253x x ==-，．17（1）解：设矩形鸡舍垂直于房墙的一边AB 长为am ，则矩形鸡舍的另一边BC 长为262a m -（）．依题意，得262=80a a -（）， 解得1=5a ，28=a ．当=5a 时，262=1612a -＞（舍去），当=8a 时，262=1012a -＜． 答：矩形鸡舍的长为10m ，宽为8m ；（2）解：当2=86S m ，则262=86a a -（）， 整理得：21343=0a a +-，则=169172=30-∆-＜，故所围成鸡舍面积不能为86平方米．18（1）解：∵方程220x x m -+=有两个实数根，∵2(2)40m ∆=--≥，解得1m ．故m 的范围是1m ；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可知，122x x +=，12x x m ⋅=，∵1233x x +=，∵2223x +=， 解得212x =， ∵113222x =-=， ∵12313224m x x =⋅=⨯=． 19．（1）解：∵22440m n m +-+=，∵()22440m m n ++-＝，∵()2220m n -+＝，∵20m -=，=0n ，∵=2m ，=0n ，故答案为：2；0；（2）解：∵222102520x y y xy +++-＝，∵()()222210250x xy y y y ++++=-， ∵()()2250x y y -++＝，∵0x y -=，50y +=，∵5y =-，5x =-，∵25xy =；（3）解：∵2268250a b a b +-+=-，∵22698160a a b b ++-+=-，∵()()22340a b -+-＝，∵30a -=，40b -=，∵=3a ，4b =，当90C ∠︒＝时，5c =，此时ABC 的周长为34512++=，当90B ∠︒＝时，c =此时ABC 的周长为347+综上，ABC 的周长为12或720．解：21||10x x ---=，（1）当1x ≥时，原方程化为20x x -=，解得：1=1x ，20x =（不合题意，舍去）．（2）当1x <时，原方程化为220+-=x x ，解得：12x =-，21x =（不合题意，舍去）． 故原方程的根是1=1x ，22x =-．21．（1）解：设每件童装降价x 元时，每天可销售(202)x +件，每件盈利(40)x -元， 故答案为：(202)x +，(40)x -；（2）依题可得：(202)(40)1200x x +-=，∵2302000x x -+=，∵(10)(20)0--=x x ，∵110x =，220x =，扩大销售量，增加利润，20x ∴=，答：每件童装降价20元时，平均每天赢利1200元；（3）根据题意得：(202)(40)2000x x +-=，∵2306000x x -+=，∵∵=24b ac - =2(30)--4×1×600=-1500<0，∵原方程无解.答：不可能平均每天赢利2000元．22．（1）解：设年平均增长率为x ，由题意得：2()20128.8x +=，解得：120%x =，2 2.2x =-（舍去）．答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为20%． （2）解∵ 设每杯售价定为a 元，由题意得：(6)[30030(25)]6300a a -+-=，解得：121a =，220a =．∴为了能让顾客获得最大优惠，故a 取20．答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．。
一元二次方程韦达定理、根与系数的关系练习+答案
韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x的方程2x2-3x，m=0，当_______________ 时，方程有两个正数根；当m ____________ 时，方程有一个正根，一个负根；当m ___________ 时，方程有一个根为0。
2、已知一元二次方程2x2 - 3x -1 = 0的两根为x-i、x2，则x< x2 = __________ .3、如果X i，X2是方程x2-5x ■ 6 = 0的两个根，那么X i・X2 = _______________ .4、已知x i，X2是方程X2+6X+3=0的两实数根，则竺+殂的值为____________ .x1 x25、设x-i、x2是方程2x2，4x-3=0 的两个根，贝U (x-i 1)(x2 1) = _______ .& 若方程 2X2-4X-3=0 的两根为：•、一：，则a2-2ap，/ = ___________ .17、已知x1> x2是关于x的方程(a -1)x2 x a20的两个实数根，且为+ x2= 一，则3% X2 _______ .8、已知关于x的一元二次方程mx2-4x-6=0的两根为x1和x2，且为• x2 - -2，贝U m =____ ，占■ x2 MX?二__________ 。
9、若方程2x2 -5x • k = 0的两根之比是2: 3,则k二_________ .10、如果关于x的方程x2 6x ^0的两根差为2,那么k二________________ 。
11、___________________________________________________________ 已知方程2x2，mx-4=0两根的绝对值相等，则m = __________________________________________ 。
12、__________________________________________________________ 已知方程x2-mx ■ 2=0的两根互为相反数，则m = ________________________________________ 。
一元二次方程练习题及答案
一元二次方程练习题及答案一元二次方程练习题及答案《一元二次方程》是初中数学的重点内容之一,同样也是初中数学计算的基础。
以下是一元二次方程练习题及答案，欢迎阅读。
一、选择题(每小题3分，共30分)1、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成下列的( )A、(x-p)2=5B、(x-p)2=9C、(x-p+2)2=9D、(x-p+2)2=52、已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式m2-m的值等于( )A、-1B、0C、1D、23、若、是方程x2+2x-2005=0的两个实数根，则2+3+的值为( )A、2005B、2003C、-2005D、40104、关于x的方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是( )A、k-B、k- 且k0C、k-D、k- 且k05、关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是( )A、 x2+3x-2=0B、x2-3x+2=0C、x2-2x+3=0D、x2+3x+2=06、已知关于x的`方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实根，那么k的最大整数值是( )A、-2B、-1C、0D、17、某城2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意所列方程正确的是( )A、300(1+x)=363B、300(1+x)2=363C、300(1+2x)=363D、363(1-x)2=3008、甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为-3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2+ 和2- ，则原方程是( )A、 x2+4x-15=0B、x2-4x+15=0C、x2+4x+15=0D、x2-4x-15=09、若方程x2+mx+1=0和方程x2-x-m=0有一个相同的实数根，则m的值为( )A、2B、0C、-1D、10、已知直角三角形x、y两边的长满足|x2-4|+ =0，则第三边长为( )A、 2 或B、或2C、或2D、、2 或二、填空题(每小题3分，共30分)11、若关于x的方程2x2-3x+c=0的一个根是1，则另一个根是 .12、一元二次方程x2-3x-2=0的解是 .13、如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，那么a+b的值是 .14、等腰△ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两根，则m的值是 .15、2005年某市人均GDP约为2003年的1.2倍，如果该市每年的人均GDP增长率相同，那么增长率为 .16、科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高根鞋鞋根的最佳高度约为 cm.(精确到0.1cm)17、一口井直径为2m，用一根竹竿直深入井底，竹竿高出井口0.5m，如果把竹竿斜深入井口，竹竿刚好与井口平，则井深为 m，竹竿长为 m.18、直角三角形的周长为2+ ，斜边上的中线为1，则此直角三角形的面积为 .19、如果方程3x2-ax+a-3=0只有一个正根，则的值是 .20、已知方程x2+3x+1=0的两个根为、，则 + 的值为 .三、解答题(共60分)21、解方程(每小题3分，共12分)(1)(x-5)2=16 (2)x2-4x+1=0(3)x3-2x2-3x=0 (4)x2+5x+3=022、(8分)已知：x1、x2是关于x的方程x2+(2a-1)x+a2=0的两个实数根，且(x1+2)(x2+2)=11，求a的值.23、(8分)已知：关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0(1) 当m取何值时，方程有两个实数根?(2) 为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根.24、(8分)已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根(1) 求k的取值范围(2) 如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值.25、(8分)已知a、b、c分别是△ABC中A、B、C所对的边，且关于x的方程(c-b)x2+2(b-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.26、(8分)某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2求：(1)该工程队第二天第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数.27、(分)某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克(1) 现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?(2) 若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多?一元二次方程单元测试题参考答案一、选择题1～5 BCBCB 6～10 CBDAD提示：3、∵是方程x2+2x-2005=0的根，2+2=2005又+=-2 2+3+=2005-2=2003二、填空题11～15 4 25或16 10%16～20 6.7 ， 4 3提示：14、∵AB、AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两根在等腰△ABC中若BC=8，则AB=AC=5，m=25若AB、AC其中之一为8，另一边为2，则m=1620、∵△=32-411=50又+=-30，0，0，0三、解答题21、(1)x=9或1(2)x=2 (3)x=0或3或-1(4)22、解：依题意有：x1+x2=1-2a x1x2=a2又(x1+2)(x2+2)=11 x1x2+2(x1+x2)+4=11a2+2(1-2a)-7=0 a2-4a-5=0a=5或-1又∵△=(2a-1)2-4a2=1-4a0aa=5不合题意，舍去，a=-123、解：(1)当△0时，方程有两个实数根[-2(m+1)]2-4m2=8m+40 m-(2)取m=0时，原方程可化为x2-2x=0，解之得x1=0，x2=224、解：(1)一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根△=16-4k0 k4(2)当k=3时，解x2-4x+3=0，得x1=3，x2=1当x=3时，m= - ，当x=1时，m=025、解：由于方程为一元二次方程，所以c-b0，即bc又原方程有两个相等的实数根，所以应有△=0即4(b-a)2-4(c-b)(a-b)=0，(a-b)(a-c)=0，所以a=b或a=c所以是△ABC等腰三角形26、解：(1)1250(1-20%)=1000(m2)所以，该工程队第一天拆迁的面积为1000m2(2)设该工程队第二天，第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是x，则1000(1+x)2=1440，解得x1=0.2=20%，x2=-2.2，(舍去)，所以，该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是20%.27、解：(1)设每千克应涨价x元，则(10+x)(500-20x)=6000解得x=5或x=10，为了使顾客得到实惠，所以x=5(2)设涨价x元时总利润为y，则y=(10+x)(500-20x)=-20x2+300x+5000=-20(x-7.5)2+6125当x=7.5时，取得最大值，最大值为6125答：(1)要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元.(2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多.。
公式法解一元二次方程练习题及答案
公式法解一元二次方程练习题一．选择题（共11小题）1．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根为（）A ．B ．C ．D ．2．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．p2﹣4q≥0B．p2﹣4q≤0C．p2﹣4q＞0D．p2﹣4q＜03．当﹣1＜k＜0时，关于x的一元二次方程x2+4x﹣k ＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根4．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣2m＝0（其中m）的根的情况是（）A．没有实数根B．有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根5．如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m B．m C．mD．m6．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+2＝0的实根的个数是（）A．0B．1C．2D．1或27．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k且k≠1B．k且k≠1C．k D．k8．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．49．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k B．kC．k且k≠0D．k且k≠010．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．b2﹣4ac≥0B．b2﹣4ac≤0C．b2﹣4ac＞0D．b2﹣4ac＜011．下列各项中，以x为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c＝0B．x2+bx﹣c＝0C．x2﹣bx+c＝0D．x2﹣bx﹣c＝0二．填空题（共2小题）12．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x﹣1＝0有两个不等实数根，则实数m的取值范围是．13．如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为．三．解答题（共5小题）14．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．（1）求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形的三边长分别为a，b，c，其中a ＝1，并且b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．15．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？16．已知关于x的方程kx2﹣（k+2）x+2＝0．（1）证明：不论k为何值，方程总有实数根；（2）k为何整数时，方程的根为正整数．17．（1）解方程（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；（2）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a ﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．①如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；③如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．18．已知关于x 的方程．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；（3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？公式法解一元二次方程练习题参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：x2+x﹣1＝0由题意可得，a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵，∴，即，故选：B．2．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．p2﹣4q≥0B．p2﹣4q≤0C．p2﹣4q＞0D．p2﹣4q＜0【解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q，∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，故选：A．3．当﹣1＜k＜0时，关于x的一元二次方程x2+4x﹣k ＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根【解答】解：x2+4x﹣k＝0，Δ＝42+4k＝4（4+k），∵﹣1＜k＜0，∴4+k＞0，∴Δ＞0，∴该方程有两个不等的实数根．故选：B．4．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣2m＝0（其中m）的根的情况是（）A．没有实数根B．有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根【解答】解：由题意，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣2m）＝4m2﹣4m+1+8m＝4m2+4m+1＝（2m+1）2．∵m，∴（2m+1）2＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．5．如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m B．mC．m D．m 【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝32﹣4×2m＝9﹣8m＝0，解得：m．故选：C．6．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+2＝0的实根的个数是（）A．0B．1C．2D．1或2【解答】解：∵直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，∴a≤0，∵ax2+x+2＝0，当a＝0，方程ax2+x+2＝0为一元一次方程，即x+2＝0，解得x＝﹣2；方程有一个实数根，当a＜0时，方程ax2+x+2＝0为一元二次方程，∵Δ＝1﹣8a＞0，∴方程有2个实数根．故选：D．7．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k且k≠1B．k且k≠1C．k D．k【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，解得k；当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；综上，k的取值范围是k，故选：D．8．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，∴b2﹣2（1+2c）＝b2﹣4c﹣2＝0﹣2＝﹣2．故选：A．9．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k B．kC．k且k≠0D．k且k≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0，∴k≠0，∵方程有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3≥0，解得k，∴k的取值范围是k且k≠0，故选：D．10．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．b2﹣4ac≥0B．b2﹣4ac≤0C．b2﹣4ac＞0D．b2﹣4ac＜0【解答】解：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，则b2﹣4ac≥0；故选：A．11．下列各项中，以x为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c＝0B．x2+bx﹣c＝0C．x2﹣bx+c＝0D．x2﹣bx﹣c＝0【解答】解：利用公式法可知：A．x，故不符合题意．B．x，故不符合题意．C．x，故不符合题意．D．x，故符合题意．故选：D．二．填空题（共2小题）12．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x﹣1＝0有两个不等实数根，则实数m 的取值范围是m且m≠2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x ﹣1＝0总有两个不相等的实数根，∴Δ＞0且m﹣2≠0，∴9﹣4（m﹣2）×（﹣1）＞0且m﹣2≠0，∴m 且m≠2．故答案为：m且m≠2．13．如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为．【解答】解：根据题意，得：x2+x﹣（2x﹣1）＝5，整理，得：x2﹣x﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，则x，∴x1，x2，∵点A在数轴的负半轴，∴2x﹣1＜0，即x，∴x，故答案为：．三．解答题（共5小题）14．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．（1）求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形的三边长分别为a，b，c，其中a ＝1，并且b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．【解答】（1）证明：∵关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k ＝0，∴Δ＝[﹣（k+3）]2﹣12k＝k2+6k+9﹣12k＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，则无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）解：当b＝c时，k＝3，方程为x2﹣6x+9＝0，解得：x1＝x2＝3，此时三边长为1，3，3，周长为1+3+3＝7；当a＝b＝1或a＝c＝1时，把x＝1代入方程得：1﹣（k+3）+3k＝0，解得：k＝1，此时方程为：x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝1，当x'＝1时，此时三边长为1，1，3，不能组成三角形，当x＝3时，此时三边长为1，3，3，周长为3+3+1＝7，综上所述，△ABC的周长为7．15．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？【解答】解：（1）[（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0，（m﹣1）x﹣（m+1）＝0或x﹣1＝0，所以x 1，x2＝1；（2）x 1，由于m为整数，所以当m﹣1＝1或2时，x为正整数，此时m＝2或m＝3，所以m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．16．已知关于x的方程kx2﹣（k+2）x+2＝0．（1）证明：不论k为何值，方程总有实数根；（2）k为何整数时，方程的根为正整数．【解答】解：（1）当k＝0时，方程有根x＝1；当k≠0时，Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，综上，无论k为何值时，这个方程总有两个实数根；（2）当k＝0时，方程有根x＝1，符合题意；当k≠0时，∵kx2﹣（k+2）x+2＝0，∴（kx﹣2）（x﹣1）＝0，∴x 1，x2＝1，∵方程的两个实数根都是正整数，∴k＝1或2．综上，k的整数值为0、1、2．17．（1）解方程（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；（2）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a ﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．①如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；③如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【解答】解：（1）（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；移项得，（x ﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，∴（x﹣3）（3x﹣3）＝0，∴x1＝3，x2＝1；（2）①△ABC为等腰三角形；理由如下：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，∴△ABC为等腰三角形；②△ABC为直角三角形；理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，∴△ABC为直角三角形；③∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．18．已知关于x 的方程．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；（3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？【解答】解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k）＝4（k）2≥0，此时方程有两个实数根．综上所述，无论k取何值，此方程总有实数根．（2）若x＝1是这个方程的一个根，则1﹣（2k+1）+4（k）＝0，解得k＝1，∴关于x的方程x2﹣3x+2＝0，解方程得x1＝1，x2＝2，∴方程的另一根是2；（3）当a＝4为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0．∴4（k）2＝0，解得：k．此时原方程化为x2﹣4x+4＝0∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．此时△ABC三边为4，2，2，构不成三角形，当a＝4为腰，则b＝4为腰长，c为底，则16﹣4（2k+1）+4（k）＝0，求得k，∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0．解得x＝2或4，∴c＝2，∴周长为4+4+2＝10．故这个等腰三角形的周长是10．。
一元二次方程计算题专题训练试题精选附答案(供参考)
文档根源为 :从网络采集整理 .word 版本可编写 .支持 .一元二次方程计算题专题训练试题优选附答案一．解答题（共 30 小题）（x+1 ） 2﹣ 9=0． 1．（ 2015?诏安县校级模拟）解方程：2．（ 2015?诏安县校级模拟）解方程： 4x 2﹣ 20=0．3．（ 2015?东西湖区校级模拟）解方程： （ 2x+3 ）2﹣ 25=04．（ 2015?铜陵县模拟）解方程： 4（ x+3） 2=25 （ x ﹣ 2） 2．5．（ 2015?岳池县模拟）解方程（222x ﹣3） =x．6．（ 2015 春 ?北京校级期中）解方程： （ x ﹣ 1） 2=25． 7．（ 2013 秋 ?云梦县校级期末）解以下方程：（1）用直接开平方法解方程： 2（2）用配方法解方程： 2． 2x ﹣ 24=0 x +4x+1=0 8．（ 2014 秋 ?锡山区期中）解方程：（ 1）（ x ﹣ 2） 2=25；（ 2） 2x 2﹣ 3x ﹣ 4=0；（ 3） x 2﹣ 2x=2x+1 ； （ 4） 2x 2+14x ﹣ 16=0．9．（ 2014 秋 ?丹阳市校级期中）选择适合的方法解一元二次方程：① 9（ x ﹣ 2）2﹣ 121=0 ； ② x 2﹣ 4x ﹣ 5=0． 10．（ 2014 秋 ?万州区校级期中）按要求解答：（1）解方程：（ x+3 ）2﹣2=0 ；（ 2）因式分解：4a 2﹣（ b 2﹣2b+1 ）． 11．（2014 秋 ?海口期中）解以下方程：2；2（1） x ﹣ 16=0 （ 2） x +3x ﹣ 4=0 ．12．（ 2014 秋 ?海陵区期中）解以下一元二次方程：（1） x 2﹣ 3=0 （ 2） x 2﹣3x=0 ． 13．（ 2014 秋 ?滨湖区期中）解以下方程（1） 2x 2﹣ =0；（ 2） 2x 2﹣ 4x+1=0 （配方法）（3） 2（ x ﹣ 3） 2=x （x ﹣ 3）； （ 4） 3y 2+5（ 2y+1 ） =0 （公式法）．14．（ 2014 秋 ?昆明校级期中）解方程：229（ x+1 ） =4（ x ﹣ 2） ．15．（ 2014 秋 ?深圳校级期中）解方程： （ 2x ﹣ 3）2=25 ．16．（ 2014 秋 ?北塘区期中） （1） 2（ x ﹣1） 2=32 （ 2） 2（ x ﹣ 3）2=x （ x ﹣ 3）（3） 2x 2﹣ 4x+1=0 （ 4） x 2﹣5x+6=0 ．17．（ 2014 秋 ?福安市期中）解方程：（1）（ x+1 ）2=2；（ 2） x 2﹣ 2x ﹣ 3=0 （用适合的方法）18．（ 2014 秋 ?华容县月考）用适合的方法解以下方程：（1）（ 2﹣ 3x ） 2=1； （ 2） 2x 2=3 （ 2x+1）．19．（ 2014 秋 ?宝应县校级月考）解方程：（1）（ 2x ﹣1） 2﹣ 9=0 （2） x 2﹣ x ﹣ 1=0 ． 20．（ 2014 秋 ?南华县校级月考）解方程：（1）（ x+8 ）（ x+1 ）=0（ 2） 2（x ﹣ 3） 2=8 （3） x （ x+7） =0（ 4） x 2﹣ 5x+6=0 （5） 3（ x ﹣ 2） 2=x （x ﹣ 2） （ 6）（ y+2） 2=（ 3y ﹣ 1） 2． 21．（ 2014 秋 ?广州校级月考）解方程：（1） x 2﹣ 9=0； （ 2） x 2+4x ﹣ 1=0 ． 22．（ 2013 秋 ?大理市校级期中）解以下方程：文档根源为 :从网络采集整理 .word 版本可编写 .支持.2 （ 2）用配方法解方程： 2﹣ 4x+1=0 （1）用开平方法解方程： （ x ﹣ 1） =4x （3）用公式法解方程： 3x 2+5（ 2x+1）=0 （ 4）用因式分解法解方程： 3（ x ﹣5）2=2（5﹣ x ） 23．（ 2012 秋 ?浏阳市校级期中）用适合的方法解方程：（1） 9（ 2x ﹣ 5） 2﹣ 4=0； （ 2） 2x 2﹣x ﹣ 15=0．24．（ 2013 秋 ?玉门市校级期中） （ 2x ﹣3） 2﹣ 121=0．25．（ 2015?蓬溪县校级模拟） （ 2x+3 ）2 =x 2﹣ 6x+9．26．（ 2015?泗洪县校级模拟） （ 1） x 2+4x+2=0 （ 2） x 2﹣ 6x+9= （5﹣ 2x ）2． 27．（ 2015 春 ?慈溪市校级期中）解方程：（1） x 2﹣ 4x ﹣ 6=0 （2） 4（ x+1） 2=9 （x ﹣ 2） 2． 28．（ 2015 春 ?北京校级期中）解一元二次方程：（1）（ 2x ﹣5） 22=49 （ 2） x +4x ﹣ 8=0． 29．（ 2015 春 ?北京校级期中）解一元二次方程（1） y 2=4； （2） 4x 2﹣ 8=0； （ 3） x 2﹣4x ﹣ 1=0．30．（ 2015?黄陂区校级模拟）解方程： x 2﹣ 3x ﹣7=0 ．一元二次方程计算题专题训练试题优选附答案参照答案与试题分析一．解答题（共 30 小题）21．（ 2015?诏安县校级模拟）解方程： （x+1 ） ﹣ 9=0．2剖析：先移项，写成（ x+a ） =b 的形式，而后利用数的开方解答．2解答：解：移项得，（ x+1） =9 ，开方得， x+1= ±3，解得 x 1=2， x 2=﹣ 4．x 2=a （ a ≥0）；ax 2=b （ a ， b 同号且评论：（ 1）用直接开方法求一元二次方程的解的种类有：a ≠0）；（x+a ） 2=b （b ≥0）； a （x+b ） 2=c （ a ， c 同号且 a ≠0）．法例：要把方程化为 “左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解 ”．（ 2）运用整体思想，会把被开方数当作整体．（ 3）用直接开方法求一元二次方程的解，要认真察看方程的特色．2．（ 2015?诏安县校级模拟）解方程： 4x 2﹣ 20=0． 考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法．剖析：先变形获得 x 2=5，而后利用直接开平方法求解． 解答：解：由原方程，得x 2=5 ，因此 x 1=， x 2=﹣．x 2=p 或（ nx+m ）2=p （ p ≥0）的一评论：本题考察认识一元二次方程﹣直接开平方法：形如元二次方程可采纳直接开平方的方法解一元二次方程．3．（ 2015?东西湖区校级模拟）解方程：（ 2x+3 ）2﹣ 25=0 考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法．专题 ：计算题．剖析：先移项，写成（ x+a ） 2=b 的形式，而后利用数的开方解答．2开方得， 2x+3= ±5，文档根源为 :从网络采集整理.word 版本可编写 .支持 .解得 x 1=1， x 2=﹣ 4．x 2=a （ a ≥0）；ax 2=b （ a ， b 同号且评论：（ 1）用直接开方法求一元二次方程的解的种类有：a ≠0）；（x+a ） 2=b （b ≥0）； a （x+b ） 2=c （ a ， c 同号且 a ≠0）．法例：要把方程化为 “左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解 ”．（ 2）运用整体思想，会把被开方数当作整体．（ 3）用直接开方法求一元二次方程的解，要认真察看方程的特色．4．（ 2015?铜陵县模拟）解方程： 22．4（ x+3） =25 （ x ﹣ 2） 考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法．剖析：两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．22解答：解： 4（x+3 ） =25（ x ﹣ 2） ，开方得： 2（ x+3 ）=±5（ x ﹣ 2），解得：，．评论：本题考察认识一元二次方程的应用，解本题的重点是能把一元二次方程转变成一元一次方程，难度适中．5．（ 2015?岳池县模拟）解方程（ 2x ﹣3） 2=x 2． 考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法． 专题 ：计算题．剖析：利用直接开平方法解方程． 解答：解： 2x ﹣ 3=±x ，因此 x 1=3， x 2=1 ．x 2=p 或（ nx+m ）2=p （ p ≥0）的一评论：本题考察认识一元二次方程﹣直接开平方法：形如元二次方程可采纳直接开平方的方法解一元二次方程．6．（ 2015 春 ?北京校级期中）解方程： （ x ﹣ 1） 2=25． 考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法． 专题 ：计算题．剖析：两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 解答：解：开方得： x ﹣1=±5，解得： x 1=6， x 2=﹣4．评论：本题考察认识一元二次方程的应用，题目是一道比较典型的题目，难度不大． 7．（ 2013 秋 ?云梦县校级期末）解以下方程：（ 1）用直接开平方法解方程： 2x 2﹣ 24=0（ 2）用配方法解方程： x 2+4x+1=0 ．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -配方法．剖析：（ 1）先将常数项移到等式的右侧，而后化未知数的系数为1，经过直接开平方求得该方程的解即可；（ 2）先将常数项 1 移到等式的右侧，而后在等式的两边同时加前一次项系数一半的平方，即利用配方法解方程．解答：解：（ 1）由原方程，得2x 2=24 ，∴ x 2=12，直接开平方，得x= ±2 ，文档根源为 :从网络采集整理 .word 版本可编写 .支持.∴ x 1=2 ， x 2=﹣2 ；（ 2）由原方程，得 x 2+4x= ﹣1，等式的两边同时加前一次项系数一半的平方，得x 2+4x+4=3 ，即（ x+2 ） 2=3；∴ x+2= ± ，∴ x 1=﹣2+ ， x 2=﹣ 2﹣ ．评论：本题考察认识一元二次方程﹣﹣配方法、直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的种类有： x 2=a （ a ≥0）；ax 2=b （ a ，b 同号且 a ≠0）；（ x+a ）2=b （ b ≥0）；a （x+b ）2=c （ a ，c 同号且 a ≠0）．法例：要把方程化为 “左平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解 ”．8．（ 2014 秋 ?锡山区期中）解方程：（1）（ x ﹣ 2） 2=25；（2） 2x 2﹣ 3x ﹣ 4=0 ；（3） x 2﹣ 2x=2x+1 ；（4） 2x 2+14x ﹣ 16=0 ．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程 -因式分解法．剖析：（ 1）利用直接开平方法，两边直接开平方即可；（ 2）利用公式法，第一计算出 △ ，再利用求根公式进行计算；（ 3）第一化为一元二次方程的一般形式，计算出△ ，再利用求根公式进行计算；（ 4）第一依据等式的性质把二次项系数化为 1，再利用因式分解法解一元二次方程即可．解答：解：（ 1）两边直接开平方得： x ﹣ 2=±5，x ﹣ 2=5 ，x ﹣ 2=﹣ 5， 解得： x 1=7， x 2=﹣3；（ 2） a=2， b=﹣ 3， c=﹣ 4，△ =b 2﹣4ac=9+4 ×2×4=41，x= = ，故 x 1=， x 2= ；（ 3） x 2﹣2x=2x+1 ，x 2﹣ 4x ﹣1=0 ，a=1， b=﹣ 4， c= ﹣ 1，△ =b 2﹣4ac=16+4 ×1×1=20， x===2，故 x 1=2， x 2=2﹣ ；（ 4） 2x 2+14x ﹣16=0， x 2+7x ﹣8=0 ，（ x+8）（x ﹣ 1） =0，x+8=0 ， x ﹣ 1=0 ， 解得： x 1=﹣ 8， x 2=1 ．评论：本题主要考察了一元二次方程的解法，重点是娴熟掌握一元二次方程的解法，并能熟练运用．9．（ 2014 秋 ?丹阳市校级期中）选择适合的方法解一元二次方程：① 9（ x ﹣ 2）2﹣ 121=0 ；② x 2﹣ 4x ﹣ 5=0．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程剖析：① 先移项，再两边开方即可；-因式分解法． ② 先把方程左侧因式分解，得出解答：解： ① 9（ x ﹣ 2）2 ﹣121=0 ，9（ x ﹣ 2） 2=121，x+1=0 ， x ﹣ 5=0，再分别计算即可．（ x ﹣2） 2=，x ﹣2=± ， x 1=， x 2=﹣ ；② x 2﹣ 4x ﹣5=0 ，（ x+1）（x ﹣ 5） =0，x+1=0 ， x ﹣ 5=0 ， x 1=﹣ 1，x 2=5．评论：本题考察认识一元二次方程，用到的知识点是用直接开方法和因式分解法，重点是根据方程的特色选择适合的解法．10．（ 2014 秋 ?万州区校级期中）按要求解答：（ 1）解方程： （ x+3 ）2﹣2=0 ；（ 2）因式分解： 4a 2﹣（ b 2﹣ 2b+1）．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；因式分解 -运用公式法．剖析：（ 1）第一把方程右侧化为（ x+a ）2=b ，在两边直接开平方即可；（ 2）第一把 4a 2﹣（ b 2﹣ 2b+1）化为 4a 2﹣（ b ﹣ 1） 2，再利用平方差公式进行分解即可．解答：解：（ 1） （ x+3 ） 2=2，（ x+3） 2=4，x+3= ±2，x+3=2 ， x+3= ﹣ 2，解得： x 1=﹣ 1， x 2=﹣ 5；（ 2） 4a 2﹣（ b 2﹣ 2b+1） =4a 2﹣（ b ﹣ 1）2=（ 2a+b ﹣1（ 2a ﹣ b+1）．评论：本题主要考察了直接开平方法解一元二次方程，以及因式分解，解这种问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左侧，把常数项移项等号的右侧，化成x 2=a （ a ≥0）的 形式，利用数的开方直接求解． 11．（2014 秋 ?海口期中）解以下方程：（ 1） x 2﹣ 16=0；2（2）x +3x ﹣ 4=0 ．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -因式分解法．剖析：（ 1）第一把﹣ 16 移到方程右侧，再两边直接开平方即可；（ 2）第一把等号左侧分解因式可得（ x+4 ）（x ﹣ 1） =0，从而获得 x+4=0 ，x ﹣ 1=0 ，再解一元一次方程即可．解答：解：（ 1） x 2=16 ，两边直接开平方得： x= ±4， 故 x 1=4， x 2=﹣ 4；（ 2）（x+4 ）（ x ﹣1） =0，则 x+4=0 ， x ﹣ 1=0， 解得： x 1=﹣ 4， x 2=1 ．评论：本题主要考察了一元二次方程的解法， 重点是掌握直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．12．（ 2014 秋 ?海陵区期中）解以下一元二次方程：（ 1） x 2﹣ 3=0（ 2） x 2﹣ 3x=0 ．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -因式分解法．专题 ：计算题．剖析：（ 1）先移项获得 x 2=3 ，而后利用直接开平方法解方程；（ 2）利用因式分解法解方程．2解答：解：（ 1） x =3，x= ± ，因此 x 1=， x 2=﹣ ； （ 2） x （ x ﹣ 3）=0 ， x=0 或 x ﹣ 3=0 ，因此 x 1=0， x 2=3 ．x 2=p 或（ nx+m ）2=p （ p ≥0）的一评论：本题考察认识一元二次方程﹣直接开平方法：形如元二次方程可采纳直接开平方的方法解一元二次方程．假如方程化成 2x =p 的形式，那么可得 x= ± ；假如方程能化成 （ nx+m ）2=p （ p ≥0）的形式， 那么 nx+m= ± ．也考察了因式分解法解一元二次方程．13．（ 2014 秋 ?滨湖区期中）解以下方程（ 1） 2x 2﹣ =0；（ 2） 2x 2﹣ 4x+1=0 （配方法）（ 3） 2（ x ﹣ 3） 2=x （x ﹣ 3）；（ 4） 3y 2+5（ 2y+1 ） =0 （公式法） ．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程 -因式分解法．专题 ：计算题．剖析：（ 1）方程变形后，利用直接开平方法求出解即可；（ 2）方程利用配方法求出解即可； （ 3）方程利用因式分解法求出解即可；（ 4）方程利用公式法求出解即可．解答：解：（ 1）方程变形得： x 2= ，开方得： x= ± ；（ 2）方程变形得： x 2﹣ 2x=﹣ ，2 2，配方得： x ﹣ 2x+1=，即（ x ﹣1） =开方得： x ﹣ 1=±，解得： x 1=1+， x 2=1﹣；（ 3）方程变形得： 2（ x ﹣3） 2﹣ x （ x ﹣ 3）=0，分解因式得： （ x ﹣ 3）（ 2x ﹣ 6﹣ x ）=0， 解得： x 1=3， x 2=6 ；（ 4）方程整理得： 3y 2+10y+5=0 ， 这里 a=3， b=10，c=5， ∵ △ =100﹣ 60=40，∴ y== ．评论：本题考察认识一元二次方程﹣直接开平方法，娴熟掌握平方根定义是解本题的重点．22考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法．剖析：两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解答：解：两边开方得： 3（ x+1） =±2（ x ﹣ 2），即 3（ x+1） =2（x ﹣ 2）， 3（ x+1） =﹣2（ x ﹣ 2），解得： x 1=﹣ 7， x 2= ．评论：本题考察认识一元二次方程和解一元一次方程的应用，解本题的重点是能把一元二次方程转变成一元一次方程．215．（ 2014 秋 ?深圳校级期中）解方程： （ 2x ﹣ 3） =25 ． 考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法． 剖析：第一两边直接开平方可得 2x ﹣ 3=±5，再解一元一次方程即可．解答：解：两边直接开平方得：2x ﹣ 3= ±5，则 2x ﹣3=5 ， 2x ﹣3= ﹣ 5，故 x=4 ，x= ﹣ 1．评论：本题主要考察了直接开平方法解一元一次方程，解这种问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左侧，把常数项移项等号的右侧，化成 x 2=a （ a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．16．（ 2014 秋 ?北塘区期中） （1） 2（ x ﹣1） 2=32（ 2） 2（ x ﹣ 3） 2=x （x ﹣ 3）（ 3） 2x 2﹣ 4x+1=0（ 4） x 2﹣ 5x+6=0 ．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -配方法；解一元二次方程 -因式分解文档根源为 :从网络采集整理 .word 版本可编写 .支持.法．专题 ：计算题．剖析：（ 1）方程变形后，利用直接开平方法求出解即可；（ 2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可； （ 3）方程利用公式法求出解即可；（ 4）方程利用因式分解法求出解即可．解答：解：（ 1）方程变形得： （ x ﹣ 1） 2=16，开方得： x ﹣ 1=4 或 x ﹣ 1=﹣ 4， 解得： x 1=5， x 2=﹣3；（ 2）方程变形得： 2（ x ﹣3） 2﹣ x （ x ﹣ 3）=0，分解因式得： （ x ﹣ 3）（ 2x ﹣ 6﹣ x ）=0， 解得： x 1=3， x 2=6 ；（ 3）整理 a=2， b=﹣ 4， c=1， ∵ △ =16﹣ 8=8，∴ x 1=， x 2= ；（ 4）分解因式得： （ x ﹣ 2）（ x ﹣ 3）=0， 解得： x 1=2， x 2=3 ．评论：本题考察认识一元二次方程﹣直接开平方法，娴熟掌握平方根定义是解本题的重点．17．（ 2014 秋 ?福安市期中）解方程：（1）（ x+1 ） 2=2；（2） x 2﹣ 2x ﹣ 3=0 （用适合的方法）考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -因式分解法．剖析：（ 1）两边直接开平方得 x+1=，再解一元一次方程即可；（ 2）第一把﹣ 3 移到等号右侧，在把方程左侧配方可得（ x ﹣ 1） 2=4 ，而后再两边直接开平方即可．解答：解：（ 1） x+1=， x+1= ， x+1= ﹣ ，故 x 1=﹣1+x 2=﹣ 1﹣ ；（ 2） x 2﹣ 2x=3 ，x 2﹣ 2x+1=3+1 ，（ x ﹣ 1） 2=4 ， x+1= ±2，则 x+1=2 ， x+1= ﹣2， 故 x 1=3， x 2=﹣ 1．评论：本题主要考察了直接开平方法和配方法解一元二次方程，重点是掌握直接开平方法要把方程化为 “左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．18．（ 2014 秋 ?华容县月考）用适合的方法解以下方程：2（1）（ 2﹣ 3x ） =1；（2） 2x 2=3（ 2x+1 ）．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 专题 ：计算题．剖析：（ 1）利用直接开平方法解方程；（ 2）先把方程化为一般式，而后依据公式法解方程．-因式分解法．文档根源为 :从网络采集整理.word 版本可编写 .支持 .解答：解：（ 1） 2﹣ 3x= ±1，因此 x 1=，x 2=1；（ 2） 2x 2﹣ 6x ﹣ 3=0，△ =（﹣ 6） 2﹣ 4×2×（﹣ 3） =60，x==，因此 x 1=， x 2=．评论：本题考察认识一元二次方程﹣直接开平方法：形如x 2=p 或（ nx+m ）2=p （ p ≥0）的一元二次方程可采纳直接开平方的方法解一元二次方程．假如方程化成 2x =p 的形式，那么可得 x= ±；假如方程能化成 （ nx+m ）2=p （ p ≥0）的形式， 那么 nx+m= ± ．也 考察了公式法解一元二次方程．19．（ 2014 秋 ?宝应县校级月考）解方程：（1）（ 2x ﹣1） 2﹣ 9=0（2） x 2﹣ x ﹣1=0 ．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -公式法．专题 ：计算题．剖析：（ 1）方程利用直接开平方法求出解即可；（ 2）方程利用公式法求出解即可．解答：解：（ 1）方程变形得： （ 2x ﹣ 21） =9，开方得： 2x ﹣ 1=3 或 2x ﹣ 1=﹣ 3，解得： x 1=2， x 2=﹣1；（ 2）这里 a=1， b=﹣ 1， c=﹣1，∵ △ =1+4=5 ， ∴ x=．评论：本题考察认识一元二次方程﹣直接开平方法与公式法，娴熟掌握各样解法是解本题的重点．20．（ 2014 秋 ?南华县校级月考）解方程： （1）（ x+8 ）（ x+1 ）=0（2） 2（ x ﹣ 3） 2=8 （3） x （ x+7） =0（4） x 2﹣ 5x+6=0（5） 3（ x ﹣ 2） 2=x （x ﹣ 2）（6）（ y+2 ）2=（ 3y ﹣ 1） 2．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法．剖析：（ 1）、（3）、（ 4）、（ 5）利用因式分解法求解即可；（ 2）先将方程变形为（ x ﹣ 3） 2=4 ，再利用直接开平方法求解即可；（ 6）利用直接开平方法求解即可． 解答：解：（ 1）（ x+8）（x+1 ） =0，x+8=0 或 x+1=0 ， 解得 x 1=﹣ 8， x 2=﹣1；（ 2） 2（ x ﹣ 3）2=8，文档根源为 :从网络采集整理.word 版本可编写 .支持 .2（ x ﹣ 3） =4 ， x ﹣ 3=±2，解得 x 1=5， x 2=﹣ 1； （ 3） x （ x+7 ） =0， x=0 或 x+7=0 ，解得 x 1=0， x 2=﹣ 7；（ 4） x 2﹣ 5x+6=0 ，（ x ﹣ 2）（ x ﹣ 3）=0， x ﹣ 2=0 或 x ﹣ 3=0， 解得 x 1=2， x 2=3 ；（ 5） 3（ x ﹣ 2）2=x （ x ﹣ 2），3（ x ﹣2） 2﹣ x （ x ﹣ 2） =0，（ x ﹣ 2）（ 3x ﹣ 6﹣ x ） =0 ， x ﹣ 2=0 或 2x ﹣ 6=0， 解得 x 1=2， x 2=3 ；（ 6）（ y+2） 2=（ 3y ﹣ 1） 2， y+2= ±（ 3y ﹣ 1）， 解得 y 1， y 2=﹣，评论：本题考察了利用因式分解法与直接开平方法解一元二次方程，是基础知识，需娴熟掌握． 21．（ 2014 秋 ?广州校级月考）解方程：（ 1） x 2﹣ 9=0；（ 2） x 2+4x ﹣ 1=0 ．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -配方法．剖析：（ 1）先移项，而后利用直接开平方法解方程；2（ 2）将一元二次方程配成（ x+m ） =n 的形式，再利用直接开平方法求解．2x =9 ，开方，得x 1=3 ， x 2=﹣ 3；（ 2）由原方程，得 x 2+4x=1 ，配方，得 x 2+4x+2 2=1+2 2，即（ x+2 ） 2=5， 开方，得x+2= ± ，解得 x 1=﹣ 2 ，x 2=﹣ 2﹣ ．评论：本题考察认识一元二次方程﹣﹣配方法、直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的种类有：x 2=a （ a ≥0）；ax 2=b （ a ，b 同号且 a ≠0）；（ x+a ）2=b （ b ≥0）；a （x+b ） 2=c （ a ，c 同号且 a ≠0）．法例：要把方程化为 “左平方，右常数，先把系数化为 1，再 开平方取正负，分开求得方程解”． 22．（ 2013 秋 ?大理市校级期中）解以下方程：（ 1）用开平方法解方程： （ x ﹣ 1） 2=4（ 2）用配方法解方程： x 2﹣ 4x+1=0（3）用公式法解方程： 3x2+5（2x+1 ）=0（4）用因式分解法解方程： 3（ x ﹣ 5）2=2（ 5﹣ x ）考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -配方法；解一元二次方程 -公式法；解一元二次方程 -因式分解法．剖析：（ 1）用直接开平方法解方程： （ x ﹣1） 2=4 ，即解 x ﹣1=2 或 x ﹣1= ﹣ 2，两个方程；（ 2）用配方法解方程： x 2﹣ 4x+1=0 ，合理运用公式去变形，可得 x 2﹣ 4x+4=3 ，即（ x ﹣2） 2=3；（ 3）用公式法解方程： 3x 2 （ 2x+1 ） =0，先去括号，整理可得； 2，运+5 3x +10x+5=0 用一元二次方程的公式法，两根为，计算即可；（ 4）用因式分解法解方程： 3（x ﹣ 5）2=2（ 5﹣ x ），移项、提公因式 x ﹣ 5，再解方程．解答：解：（ 1） ∵ （ x ﹣1） 2=4，∴ x ﹣ 1=±2， ∴ x 1=3， x 2=﹣1．（ 2） ∵x 2﹣ 4x+1=0 ，∴ x 2﹣ 4x+4=3 ，∴ （ x ﹣2） 2=3，∴， ∴．（ 3） ∵3x 2+5（ 2x+1 ） =0，2∴ 3x +10x+5=0 ，∴ a=3， b=10， c=5，b 2﹣ 4ac=102﹣ 4×3×5=40，∴，∴．（ 4） ∵3（ x ﹣ 5） 2=2（ 5﹣x ），2∴ 移项，得： 3（x ﹣ 5） +2（ x ﹣ 5）=0， ∴ （ x ﹣5）（ 3x ﹣13） =0 ， ∴ x ﹣ 5=0 或 3x ﹣13=0 ，∴．评论：本题综合考察对解方程的方法的灵巧掌握状况，解答时，要先察看方程的特色，再确定解方程的方法．23．（ 2012 秋 ?浏阳市校级期中）用适合的方法解方程：（ 1） 9（ 2x ﹣ 5） 2﹣ 4=0；（ 2） 2x 2﹣ x ﹣ 15=0．考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法；解一元二次方程 -因式分解法． 剖析：先察看方程而后再确立各方程的解法；（ 1）可用直接开平方法， （ 2）可用因式分解法解方程．解答：（ 1）解：化简得： ，直接开平方得：，解得： x 1=， x 2= ；（ 2）解：因分式解得： （x ﹣ 3）（ 2x+5） =0，x ﹣ 3=0 或 2x+5=0 ，解得：．评论：本题考察了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要依据方程的特色灵巧采纳适合的方法．2考点 ：解一元二次方程 -直接开平方法．专题 ：计算题．剖析：先移项获得（ 2x ﹣ 3） 2=121，而后方程两边开方获得两个一元一次方程 2x ﹣ 3=11 或 2x ﹣3=﹣11，再解一元一次方程即可．2解答：解： ∵（ 2x ﹣ 3） =121 ，∴ 2x ﹣3=11 或 2x ﹣ 3=﹣ 11，∴ x 1=7，x 2=﹣ 4．评论：本题考察了直接开平方法解一元二次方程：先把一元二次方程变形为x2=m （m ≥0）的形式，而后两边开方获得x 1=， x 2=﹣．2225．（ 2015?蓬溪县校级模拟） （ 2x+3 ） =x ﹣ 6x+9． 剖析：先把原方程的右侧转变为完整平方形式，而后直接开平方． 解答：解：由原方程，得（ 2x+3 ）2=（ x ﹣ 3） 2，直接开平方，得 2x+3= ±（ x ﹣ 3）， 则 3x=0，或 x+6=0 ， 解得， x 1=0， x 2=﹣6．评论：本题考察了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：（ 1）形如 x 2+px+q=0 型：第一步移项，把常数项移到右侧；第二步配方，左右两边加前一次项系数一半的平方；第三步左侧写成完整平方式；第四步，直接开方即可．2型，方程两边同时除以二次项系数，即化成 2，而后（ 2）形如 ax +bx+c=0 x +px+q=0 配方．26．（ 2015?泗洪县校级模拟） （ 1） x 2+4x+2=0（ 2） x 2﹣ 6x+9= （ 5﹣ 2x ） 2． 考点 ：解一元二次方程 -配方法．剖析：（ 1）本题二次项系数为 1，一次项系数为 4，适合于用配方法．（ 2）把方程左侧化成一个完整平方式，那么将出现两个完整平方式相等，则这两个式子相等或互为相反数，据此即可转变为两个一元一次方程即可求解．222解答：解：（ 1） x +4x+2 =﹣ 2+2 ，2即（ x+2） =2 ，x 1=﹣ 2+， x 2=﹣2﹣ ；（ 2）（x ﹣ 3） 2=（ 5﹣ 2x ） 2，即（ x ﹣3+5 ﹣ 2x ）（ x ﹣ 3﹣5+2x ） =0，x 1=2 ， x 2= ．评论：（ 1）本题考察了配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数．（ 2）本题考察了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程转变为一元一次方程，从而求解．27．（ 2015 春 ?慈溪市校级期中）解方程：2（1） x ﹣ 4x ﹣ 6=0（2） 4（ x+1） 2=9 （ x ﹣2） 2．考点 ：解一元二次方程 -配方法；解一元二次方程-因式分解法．剖析：（ 1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．（ 2）先移项，方程左侧分解后，利用两数相乘积为0，两因式中起码有一个为0 转变为两个一元一次方程来求解．解答：解：（ 1）由原方程，得 x 2﹣ 4x=6 ，配方，得 x 2﹣ 4x+4=6+4 ，即（ x ﹣ 2）2=10，直接开平方，得 x ﹣ 2=±，解得 x 1=2+ ，x 2=2 ﹣ ．（ 2）由原方程获得： [2（ x+1） +3 （ x ﹣2） ] [2（x+1 ）﹣ 3（ x ﹣ 2）]=0 ，整理，得（ 5x ﹣4）（﹣ x+8） =0，解得 x 1=，x 2=8．评论：本题考察认识一元二次方程： 配方法和因式分解法． 用配方法解一元二次方程的步骤：（ 1）形如 x 2+px+q=0 型：第一步移项，把常数项移到右侧；第二步配方，左右两边加前一次项系数一半的平方；第三步左侧写成完整平方式；第四步，直接开方即可．（ 2）形如 ax 2+bx+c=0 型，方程两边同时除以二次项系数，即化成 x 2+px+q=0 ，而后 配方．28．（ 2015 春 ?北京校级期中）解一元二次方程：2（1）（ 2x ﹣5） =49（2） x 2+4x ﹣ 8=0 ．考点 ：解一元二次方程 -配方法；解一元二次方程 -直接开平方法．剖析：（ 1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求方程的解即可；（ 2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解答：解：（ 1）（ 2x ﹣ 5） 2=49 ，2x ﹣ 5=±3，x 1=4 ， x 2=1；（ 2） x 2+4x ﹣8=0 ， x 2+4x=8 ，2x +4x+4=8+4 ，（ x+2） 2=12 ，x+2=x 1=﹣ 2+2，， x 2 =﹣ 2﹣ 2．评论：本题考察认识一元二次方程的应用， 能选择适合的方法解一元二次方程是解本题的重点，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．29．（ 2015 春 ?北京校级期中）解一元二次方程2（1） y =4；（2） 4x 2﹣ 8=0；（3） x 2﹣ 4x ﹣ 1=0．考点 ：解一元二次方程 -配方法；解一元二次方程 -直接开平方法．剖析：（ 1）直接开平方即可求得x 的值；（ 2）先移项，化系数为1，而后直接开平方来求 x 的值；（ 3）第一进行移项，获得 x 2﹣ 4x=1，方程左右两边同时加上 4，则方程左侧就是完整平方式，右侧是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．解答：解：（ 1）由原方程，得y= ±2，解得 y 1=2， y 2=﹣ 2； （ 2）由原方程，得4x 2=8， 2x =2 ， 解得 x 1=， x 2=﹣ ；（ 3）解： ∵ x 2﹣ 4x ﹣1=0 ∴ x 2﹣ 4x=1∴ x 2﹣ 4x+4=1+4∴ （ x ﹣2） 2=5 ∴ x=2± ，∴ x 1=2+ ， x 2=2﹣ ．评论：本题考察认识一元二次方程的方法：配方法、直接开平方法．总结：配方法的一般步骤：（ 1）把常数项移到等号的右侧； （ 2）把二次项的系数化为 1；（ 3）等式两边同时加前一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2 的倍数．230．（ 2015?黄陂区校级模拟）解方程： x ﹣ 3x ﹣7=0 ． 剖析：利用求根公式 x=来解方程．解答：解：在方程 x 2﹣ 3x ﹣ 7=0 中， a=1， b=﹣ 3， b= ﹣7．则x= = = ，解得 x 1=， x 2= ．评论：本题考察认识一元二次方程﹣﹣公式法．熟记公式是解题的重点．。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式经典大题例题(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式经典大题例题单选题1、实数a,b满足a>b，则下列不等式成立的是（）A．a+b<ab B．a2>b2C．a3>b3D．√a2+b2<a+b答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可.A，若a=1,b=0，则a+b>ab，故A错误；B，若a=1,b=−2，则a2<b2，故B错误；C，若a>b，则a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b2)2+3b24]>0，所以a3>b3，故C正确；D，若a=1,b=−2，则√a2+b2>a+b，故D错误.故选：C2、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>0，求x的取值范围，即可得到a的取值范围.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A3、已知y=(x−m)(x−n)+2022(n>m)，且α,β(α<β)是方程y=0的两实数根，则α，β，m，n的大小关系是（）A．α<m<n<βB．m<α<n<βC．m<α<β<n D．α<m<β<n答案：C分析：根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.∵α，β为方程y=0的两实数根，∴α，β为函数y=(x−m)(x−n)+2022的图像与x轴交点的横坐标，令y1=(x−m)(x−n)，∴m，n为函数y1=(x−m)(x−n)的图像与x轴交点的横坐标，易知函数y= (x−m)(x−n)+2022的图像可由y1=(x−m)(x−n)的图像向上平移2022个单位长度得到，所以m<α<β<n.故选:C.4、关于x的不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，则实数a的取值范围为（）A．[√24,+∞)B．(−∞,√24]C．[−√24,√24]D．(−∞,−√24]∪[√24,+∞)答案：A分析：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|x2+2，分x=0和a≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.解：不等式ax2−|x|+2a≥0的解集是(−∞,+∞)，即对于∀x∈R，ax2−|x|+2a≥0恒成立，即a≥|x|x2+2，当x=0时，a≥0，当a≠0时，a≥|x|x2+2=1|x|+2|x|，因为1|x|+2|x|≤2√|x|⋅2|x|=√24，所以a≥√24，综上所述a∈[√24,+∞). 故选：A.5、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ）A ．{x|x >1或x <−16}B ．{x |−16<x <1 }C ．{x|x >1或x <−3}D ．{x |−3<x <2 } 答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1 }．法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．6、已知正实数a ，b 满足a +1b=2，则2ab +1a的最小值是（ ）A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1 答案：A分析：由已知得， a =2−1b 代入得2ab +1a =2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案. 解：因为a +1b=2，所以a =2−1b>0，所以0<b <2 ，所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b2b−1， 令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a =2t +t +12t=2t +12t +12≥2√2t ⋅12t +12=52，当且仅当2t =12t ，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a 的最小值是52. 故选：A.7、已知−1≤x +y ≤1,1≤x −y ≤5，则3x −2y 的取值范围是（ ） A ．[2,13]B ．[3,13]C ．[2,10]D ．[5,10] 答案：A分析：设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，求出m,n 的值，根据x +y,x −y 的范围，即可求出答案.设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，所以{m −n =3m +n =−2，解得：{m =12n =−52,3x −2y =12(x +y )+52(x −y ), ， 因为−1≤x +y ≤1,1≤x −y ≤5，所以3x −2y =12(x +y )+52(x −y )∈[2,13]， 故选：A.8、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca >cb B ．ab <b 2C ．a −b +1a−b ≥2D ．1a−1<1b−1 答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a<1b，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C. 多选题9、已知函数y =ax 2+bx -3，则下列结论正确的是（ ） A ．关于x 的不等式ax 2+bx -3<0的解集可以是{x |x >3 } B ．关于x 的不等式ax 2+bx -3>0的解集可以是∅C ．函数y =ax 2+bx -3的图象与x 轴正半轴可以有两个交点D ．“关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a >0” 答案：BCD分析：根据不等式的解集求出a 、b ，再解不等式ax 2+bx -3<0可判断A ；取a =-1，b =0，解不等式-x 2-3>0可判断B ；取a =-1，b =4可判断C ；根据根的分布、充要条件的定义可判断D ． 若不等式ax 2+bx -3<0的解集是{x |x >3}，则a =0且3b -3=0，得b =1，而当a =0，b =1时，不等式ax 2+bx -3<0，即x -3<0，得x <3，与x >3矛盾，故A 错误； 取a =-1，b =0，此时不等式-x 2-3>0的解集为∅，故B 正确；函数y =ax 2+bx -3的图象与x 轴正半轴可以有两个交点,即ax 2+bx -3=0可以有2个正根，取a =-1，b =4，则由y =-x 2+4x -3=0，得x =1或3，故C 正确；若关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根，则{a ≠0,−3a<0,得a >0，若a >0，则Δ=b 2+12a >0，故关于x 的方程ax 2+bx -3=0有两个不等的实根x 1,x 2， 且x 1x 2=-3a <0，即关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根．因此“关于x 的方程ax 2+bx -3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a >0”，故D 正确． 故选：BCD ．10、已知x ，y 是正实数，则下列选项正确的是（ ） A ．若x +y =2，则1x+1y 有最小值2B ．若x +y =3，则x(y +1)有最大值5C ．若4x +y =1，则2√x +√y 有最大值√2D ．x4+y 2x+1y有最小值94答案：AC分析：将已知转化，再利用基本不等式可判断ABC 选项；利用特值法判断选项D 。
九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)
解一元二次方程专项练习题（带答案）1、用配方法解下列方程：（1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x（3） 1162＝－x x （4） 0422＝－－x x2、用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－（3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝3、用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x（3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x4、运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x（3） 2325x x ＝＋ （4） 1)53)(2(＝－－x x5、用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－（3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x6、用适当方法解下列方程：（1） 22(3)5x x -+= （2） 230x ++=（3） 2)2)(113(=--x x ； （4） 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x7、 解下列关于x 的方程:(1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7=(3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =08、解下列方程（12分）（1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0（3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：3(x -5)2=2(5-x )9、用适当方法解下列方程：（1）0)14(＝－x x （2）027122＝＋＋x x（3）562＋＝x x （4）45)45(＋＝＋x x x（5）x x 314542＝－ （6）0242232＝－＋－x x（7）12)1)(8(＝－＋＋x x （8）14)3)(23(＋＝＋＋x x x解一元二次方程专项练习题 答案1、【答案】（1）116±－； （2） 142±－； （3） 523±； （4） 51± 2、【答案】（1）11＝x ，612＝x （2）31＝x ，562＝－x（3）41＝x ，4132＝－x （4）5211±－＝x3、【答案】 （1） 4179±＝x （2） 3121＝－＝x x （3） 411＝x ，432＝－x （4）262±＝x4、【答案】 (1) x 1=561,5612--=+-x (2). x 1=－3+7,x 2=－3－7（3）21＝x ，312＝－x （4）61311±＝x5、【答案】（1）3121＝－＝x x （2）11＝x ，322＝－x（3）231＝－x ，212＝x （4）31＝x ，92＝x6、【答案】（1）11＝x ，22＝x （2）321＝－＝x x （3）4,3521==x x ； （4）3,221-==x x7、【答案】(1)x =－1±3; (2)x 1=1，x 2=－37(3)x 1=2，x 2=－4; (4)25.x 1=x 2=－2 8、【答案】解：（1） 1,321-==x x （2）32,3221-=+=x x（3）3105,310521--=+-=x x （4）313,521==x x 。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题单选题1、实数a,b 满足a >b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．a +b <ab B ．a 2>b 2C ．a 3>b 3D ．√a 2+b 2<a +b 答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可. A ，若a =1,b =0，则a +b >ab ，故A 错误； B ，若a =1,b =−2，则a 2<b 2，故B 错误；C ，若a >b ，则a 3−b 3=(a −b )(a 2+ab +b 2)=(a −b )[(a +b 2)2+3b 24]>0，所以a 3>b 3，故C 正确；D ，若a =1,b =−2，则√a 2+b 2>a +b ，故D 错误. 故选：C2、若a,b,c ∈R ，则下列命题为假命题的是（ ） A ．若√a >√b ，则a >b B ．若a >b ，则ac >bc C ．若b >a >0，则1a >1b D ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：B分析：根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案. 解：对A ：因为√a >√b ，所以a >b ≥0，故选项A 正确；对B ：因为a >b ，c ∈R ，所以当c >0时，ac >bc ；当c =0时，ac =bc ；当c <0时，ac <bc ，故选项B 错误；对C ：因为b >a >0，所以由不等式的性质可得1a>1b >0，故选项C 正确；对D ：因为ac 2>bc 2，所以c 2>0，所以a >b ，故选项D 正确. 故选：B.3、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3 答案：C分析：利用基本不等式即可求解. 解：∵x >53， ∴3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9， 当且仅当3x −5=2时，等号成立， 故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．4、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ） A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8) 答案：B分析：由不等式的性质求解即可.，故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8 故选：B5、已知a,b >0，a +4b =ab ，则a +b 的最小值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．4 答案：B分析：由题可得4a +1b =1，根据a +b =(a +b )(4a +1b )展开利用基本不等式可求.∵a,b >0，a +4b =ab ，∴4a +1b =1， ∴a +b =(a +b )(4a +1b )=4b a +a b +5≥2√4b a ⋅ab +5=9，当且仅当4ba =ab 时等号成立，故a +b 的最小值为9. 故选：B.23,21<<-<<-a b6、已知两个正实数x ，y 满足x +y =2，则1x+9y+1的最小值是（ ）A ．163B ．112C ．8D ．3 答案：A分析：根据题中条件，得到1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]，展开后根据基本不等式，即可得出结果. 因为正实数x,y 满足x +y =2，则1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]=13(10+y+1x+9x y+1)≥13(10+2√y+1x⋅9x y+1)=163，当且仅当y+1x=9xy+1，即x =34,y =54时，等号成立.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7、关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m 的值为（ ） A ．−1B ．−4C ．−4或1D ．−1或4 答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案. ∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根， ∴Δ=[2(m −1)]2−4×1×(m 2−m )=−4m +4⩾0， 解得：m ⩽1，∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β， ∴α+β=−2(m −1)，α⋅β=m 2−m ，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m −1)]2−2(m 2−m )=12，即m 2−3m −4=0，解得：m =−1或m =4(舍去). 故选：A.8、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2 答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立. 故选：C. 多选题9、下面所给关于x 的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ） A ．3x +4<0B ．x 2+mx -1>0 C ．ax 2+4x -7>0D ．x 2<0 答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A 是一元一次不等式，故错误；选项B ，D ，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a =0时，选项C 是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误. 故选：BD.10、已知a >0，b >0，且a 2+b 2=2，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ab ≥1B ．a +b ≤2 C ．lga +lgb ≤0D ．1a +1b ≤2 答案：BC分析：对于AD ，举例判断，对于BC ，利用基本不等式判断 解：对于A ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则ab =√22×√62=√32<1，所以A 错误，对于B ，因为(a +b)2=a 2+b 2+2ab =2+2ab ≤2+a 2+b 2=4，所以a +b ≤2，当且仅当a =b =1时取等号，所以B 正确，对于C ，因为lga +lgb =lgab ≤lg a 2+b 22=lg1=0，当且仅当a =b =1时取等号，所以C 正确，对于D ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则1a +1b =√2+√63≈1.414+0.8165>2，所以D 错误，故选：BC11、已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．a 2+b 2≥12B ．2a−b >12C ．log 2a +log 2b ≥−2D ．√a +√b ≤√2 答案：ABD分析：根据a +b =1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 对于A ，a 2+b 2=a 2+(1−a )2=2a 2−2a +1=2(a −12)2+12≥12， 当且仅当a =b =12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a −b =2a −1>−1，所以2a−b >2−1=12，故B 正确；对于C ，log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(a+b 2)2=log 214=−2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为(√a +√b)2=1+2√ab ≤1+a +b =2，所以√a +√b ≤√2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD小提示：本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12、下列选项中正确的是（ ） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立B ．存在实数a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b 为正实数，则ba +ab ≥2D ．若正实数x ，y 满足，则2x +1y ≥821x y +=答案：BCD分析：根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案. 解：对于A选项，当a<0,b<0时不成立，故错误；对于B选项，当a<0时，a+1a =−[(−a)+(−1a)]≤2，当且仅当a=−1等号成立，故正确；对于C选项，若a，b为正实数，则ba >0,ab>0，所以ba+ab≥2√ba⋅ab=2，当且仅当a=b时等号成立，故正确；对于D选项，由基本不等式“1”的用法得2x +1y=(2x+1y)(x+2y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8，当且仅当x=2y时等号成立，故正确.故选：BCD13、已知函数f(x)=x2−2(a−1)x+a，若对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围可以是（）A．(−∞,0]B．[0,3]C．[−1,2]D．[3,+∞)答案：AD解析：对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，分析即f(x)在区间[−1,2]上单调，利用二次函数的单调区间判断.二次函数f(x)=x2−2(a−1)x+a图象的对称轴为直线x=a−1，∵任意x1,x2∈[−1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[−1,2]上是单调函数，∴a−1≤−1或a−1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(−∞,0]∪[3,+∞).故选：AD小提示：（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．（2）二次函数的单调性要看开口方向、对称轴与区间的关系．填空题14、已知三个不等式：①ab>0，②ca >db，③bc>ad，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题． 答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可. 由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ；{ca>d bbc >ad⇒{bc−adab>0bc >ad⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.15、命题p:∀x ∈R ，x 2+ax +a ≥0，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为___________. 答案：[0,4]分析：根据二次函数的性质判别式解题即可.∀x ∈R ，要使得x 2+ax +a ≥0，则Δ=a 2−4a ≤0，解得0≤a ≤4. 若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为[0,4]. 所以答案是：[0,4]. 16、a >b >c ，n ∈N ∗，且1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，则n 的最大值为__．答案：4分析：将不等式变形分离出n ，不等式恒成立即n 大于等于右边的最小值；由于a −c =a −b +b −c ，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值． 解：由于1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，且a >c即恒成立 只要的最小值即可∵a −c a −b +a −c b −c =a −b +b −c a −b +a −b +b −cb −c=2+b −c a −b +a −bb −c∵a >b >ca c a cn a b b c --≤+--a c a cn a b b c --≤+--∴a −b >0，b −c >0，故(a−c a−b +a−cb−c )≥4，因此n ≤4 所以答案是：4． 解答题17、（1）已知x >1，求4x +1+1x−1的最小值；（2）已知0<x <1，求x (4−3x )的最大值． 答案：（1）9；（2）43．分析：（1）由于x −1>0，则4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5，然后利用基本不等式求解即可， （2）由于0<x <1，变形得x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )，然后利用基本不等式求解即可. （1）因为x >1，所以x −1>0，所以4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5≥2√4(x −1)⋅1x−1+5=9， 当且仅当4(x −1)=1x−1，即x =32时取等号，所以4x +1+1x−1的最小值为9．（2）因为0<x <1，所以x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )≤13(3x+4−3x 2)2=43，当且仅当3x =4−3x ，即x =23时取等号，故x (4−3x )的最大值为43．18、在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2acosB =2c −b ． （1）求角A 的值；（2）若b =5，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5，求△ABC 的周长； （3）若2bsinB +2csinC =bc +√3a ，求△ABC 面积的最大值． 答案：（1）A =π3;（2）20;（3）3√34. 解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得，可求得角A 的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出a,c ，即可求得周长；1cos 2A（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值； （1）∵2acosB =2c −b ⇒2sinA ⋅cosB =2sinC −sinB ,∴2sinA ⋅cosB =2⋅sin(A +B)−sinB =2(sinA ⋅cosB +cosA ⋅sinB)−sinB , ∴,∵0<A <π,∴A =π3;（2）∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =c ⋅5⋅cos π3−52=52c −25=−5⇒c =8，在△ABC 中利用余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2b ⋅c ⋅cosA =52+82−2⋅5⋅8⋅12=49， ∴a =7，∴ΔABC 的周长为：5+8+7=20； （3）∵bsinB =csinC =asinA =√32=2√3a3，∴sinB =√32ba，sinC =√32ca， ∴2b ⋅√32⋅b a+2c ⋅√32⋅ca=bc +√3a ，∴√3(b 2+c 2−a 2)=abc ⇒√3⋅cosA =a2⇒√3⋅12=a2⇒a =√3， ∴√3(b 2+c 2−3)=√3bc ⇒b 2+c 2=3+bc ， ∴3+bc ⩾2bc ⇒bc ⩽3，等号成立当且仅当， △ABC 面积的最大值为(12bcsinA)max=3√34. 小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.1cos 2A =b c =。
一元二次方程100道计算题练习(附答案)
一元二次方程100道计算题练习(附答案)(1)x^2+17x+72=0答案：x1=-8x2=-9(2)x^2+6x-27=0答案：x1=3x2=-9(3)x^2-2x-80=0答案：x1=-8x2=10(4)x^2+10x-200=0答案：x1=-20x2=10(5)x^2-20x+96=0答案：x1=12x2=8(6)x^2+23x+76=0答案：x1=-19x2=-4(7)x^2-25x+154=0答案：x1=14x2=11(8)x^2-12x-108=0答案：x1=-6x2=18(9)x^2+4x-252=0答案：x1=14x2=-18(10)x^2-11x-102=0答案：x1=17x2=-6(11)x^2+15x-54=0答案：x1=-18x2=3(12)x^2+11x+18=0答案：x1=-2x2=-9(13)x^2-9x+20=0答案：x1=4x2=5(14)x^2+19x+90=0答案：x1=-10x2=-9(15)x^2-25x+156=0答案：x1=13x2=12(16)x^2-22x+57=0答案：x1=3x2=19(17)x^2-5x-176=0答案：x1=16x2=-11(18)x^2-26x+133=0答案：x1=7x2=19(19)x^2+10x-11=0答案：x1=-11x2=1(20)x^2-3x-304=0答案：x1=-16x2=19(21)x^2+13x-140=0答案：x1=7x2=-20(23)x^2+5x-176=0答案：x1=-16x2=11(24)x^2+28x+171=0答案：x1=-9x2=-19(25)x^2+14x+45=0答案：x1=-9x2=-5(26)x^2-9x-136=0答案：x1=-8x2=17(27)x^2-15x-76=0答案：x1=19x2=-4(28)x^2+23x+126=0答案：x1=-9x2=-14(29)x^2+9x-70=0答案：x1=-14x2=5(30)x^2-1x-56=0答案：x1=8x2=-7(31)x^2+7x-60=0答案：x1=5x2=-12(32)x^2+10x-39=0答案：x1=-13x2=3(33)x^2+19x+34=0答案：x1=-17x2=-2(34)x^2-6x-160=0答案：x1=16x2=-10(35)x^2-6x-55=0答案：x1=11x2=-5(36)x^2-7x-144=0答案：x1=-9x2=16(37)x^2+20x+51=0答案：x1=-3x2=-17(38)x^2-9x+14=0答案：x1=2x2=7(39)x^2-29x+208=0答案：x1=16x2=13(40)x^2+19x-20=0答案：x1=-20x2=1(41)x^2-13x-48=0答案：x1=16x2=-3(42)x^2+10x+24=0答案：x1=-6x2=-4(43)x^2+28x+180=0答案：x1=-10x2=-18(45)x^2+23x+90=0答案：x1=-18x2=-5(46)x^2+7x+6=0答案：x1=-6x2=-1(47)x^2+16x+28=0答案：x1=-14x2=-2(48)x^2+5x-50=0答案：x1=-10x2=5(49)x^2+13x-14=0答案：x1=1x2=-14(50)x^2-23x+102=0答案：x1=17x2=6(51)x^2+5x-176=0答案：x1=-16x2=11(52)x^2-8x-20=0答案：x1=-2x2=10(53)x^2-16x+39=0答案：x1=3x2=13(54)x^2+32x+240=0答案：x1=-20x2=-12(55)x^2+34x+288=0答案：x1=-18x2=-16(56)x^2+22x+105=0答案：x1=-7x2=-15(57)x^2+19x-20=0答案：x1=-20x2=1(58)x^2-7x+6=0答案：x1=6x2=1(59)x^2+4x-221=0答案：x1=13x2=-17(60)x^2+6x-91=0答案：x1=-13x2=7(61)x^2+8x+12=0答案：x1=-2x2=-6(62)x^2+7x-120=0答案：x1=-15x2=8(63)x^2-18x+17=0答案：x1=17x2=1(64)x^2+7x-170=0答案：x1=-17x2=10(65)x^2+6x+8=0答案：x1=-4x2=-2(67)x^2+24x+119=0答案：x1=-7x2=-17(68)x^2+11x-42=0答案：x1=3x2=-14(69)x^20x-289=0答案：x1=17x2=-17(70)x^2+13x+30=0答案：x1=-3x2=-10(71)x^2-24x+140=0答案：x1=14x2=10(72)x^2+4x-60=0答案：x1=-10x2=6(73)x^2+27x+170=0答案：x1=-10x2=-17(74)x^2+27x+152=0答案：x1=-19x2=-8(75)x^2-2x-99=0答案：x1=11x2=-9(76)x^2+12x+11=0答案：x1=-11x2=-1(77)x^2+17x+70=0答案：x1=-10x2=-7(78)x^2+20x+19=0答案：x1=-19x2=-1(79)x^2-2x-168=0答案：x1=-12x2=14(80)x^2-13x+30=0答案：x1=3x2=10(81)x^2-10x-119=0答案：x1=17x2=-7(82)x^2+16x-17=0答案：x1=1x2=-17(83)x^2-1x-20=0答案：x1=5x2=-4(84)x^2-2x-288=0答案：x1=18x2=-16(85)x^2-20x+64=0答案：x1=16x2=4(86)x^2+22x+105=0答案：x1=-7x2=-15(87)x^2+13x+12=0答案：x1=-1x2=-12(89)x^2+26x+133=0答案：x1=-19x2=-7(90)x^2-17x+16=0答案：x1=1x2=16(91)x^2+3x-4=0答案：x1=1x2=-4(92)x^2-14x+48=0答案：x1=6x2=8(93)x^2-12x-133=0答案：x1=19x2=-7(94)x^2+5x+4=0答案：x1=-1x2=-4(95)x^2+6x-91=0答案：x1=7x2=-13(96)x^2+3x-4=0答案：x1=-4x2=1(97)x^2-13x+12=0答案：x1=12x2=1(98)x^2+7x-44=0答案：x1=-11x2=4(99)x^2-6x-7=0答案：x1=-1x2=7 (100)x^2-9x-90=0答案：x1=15x2=-6。
人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》习题(含答案解析)
一、选择题1．方程22(1)10m x -+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠±lB ．m≥-l 且m≠1C ．m≥-lD ．m ＞-1且m≠1D 解析：D【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得．【详解】∵方程22(1)10m x -+-=是关于x 的一元二次方程，∴210m -≠，解得1m ≠±，10m +≥，解得：1m ≥-，∴1m >-且1m ≠，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．用配方法转化方程2210xx +-=时，结果正确的是（ ） A ．2(1)2x += B ．2(1)2x -= C ．2(2)3x += D ．2(1)3x +=A 解析：A【分析】方程两边都加上一次项系数的一半，利用完全平方公式进行转化，即可得到答案．【详解】解：2210x x +-=2212x x ++=∴2(1)2x +=，故选：A ．【点睛】此题考查一元二次方程的配方法，掌握配方法是计算方法是解题的关键．3．若x=0是关于x 的一元二次方程（a+2）x 2x+a 2+a-6=0的一个根，则a 的值是（ ）A ．a ≠2B ．a=2C ．a=-3D ．a=-3或a=2B解析：B【分析】将x=0代入方程中，可得关于a 的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a≥2这一隐含条件．【详解】解：将x=0代入（a+2）x 2- 2+a-6=0中，得： a 2+a-6=0，解得：a 1=﹣3，a 2=2，∵a+2≠0且a ﹣2≥0，即a≥2，∴a=2，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件，理解方程的解的意义，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键，注意隐含条件a≥0．4．某小区2018年屋顶绿化面积为22000m ，计划2020年屋顶绿化面积要达到22880m ．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．2000(12)2880x +=B ．2000(1)2880x ⨯+=C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=D ．22000(1)2880x +=D解析：D【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积的年平均增长率为x ，根据题意即可列出方程．【详解】解：设平均增长率为x ，根据题意可列出方程为：2000（1+x ）2=2880．故选：D ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a （1+x ）2=b （a ＜b ）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a （1-x ）2=b （a ＞b ）．5．一元二次方程2304y y +-=，配方后可化为（ ） A ．21()12y +=B ．21()12y -=C ．211()22y +=D ．213()24y -=A 解析：A【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得．【详解】解：∵2304y y +-=， ∴y 2+y=34， 则y 2+y+14=34+14， 即（y+12）2=1， 故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．6．设m 、n 是一元二次方程2430x x -+=的两个根，则23m m n -+=（ ） A ．1-B ．1C ．17-D ．17B 解析：B【分析】根据一元二次方程的根的定义、根与系数的关系即可得．【详解】由一元二次方程的根的定义得：2430m m -+=，即243m m -=-， 由一元二次方程的根与系数的关系得：441m n -+=-=， 则2234m m n m m m n -+=-++， ()()24m m m n =-++，34=-+，1=，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．7．若关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜－2B ．a ＞－2C ．－2＜a ＜0D ．－2≤a ＜0C解析：C【分析】由关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根可得2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭，解不等式即可求出a 的取值范围． 【详解】∵关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根， ∴2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭， 解得：a >−2，∵a <0，∴−2<a <0．故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的应用为解题关键．8．若关于x 的一元二次方程260x x c -+=有两个相等的实数根，则常数c 的值为（ ） A ．3B ．6C ．8D ．9D 解析：D【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：260x x c -+=有两个相等的实根，2(6)40c ∴∆=--=，解得：9c =故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键．9．已知一元二次方程x 2﹣6x+c ＝0有一个根为2，则另一根及c 的值分别为（ ） A ．2，8B ．3，4C ．4，3D ．4，8D解析：D【分析】设方程的另一个根为t ，根据根与系数的关系得到t +2＝6，2t ＝c ，然后先求出t ，再计算c 的值．【详解】解：设方程的另一个根为t ，根据题意得t +2＝6，2t ＝c ，解得t ＝4，c ＝8．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 10．一元二次方程（x ﹣3）2﹣4＝0的解是（ ） A ．x ＝5B ．x ＝1C ．x 1＝5，x 2＝﹣5D ．x 1＝1，x 2＝5D 解析：D【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：∵（x ﹣3）2﹣4＝0，∴（x ﹣3）2＝4，则x ﹣3＝2或x ﹣3＝﹣2，解得x 1＝5，x 2＝1，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，掌握解法是关键.二、填空题11．把方程2230x x --=化为2()x h k +=的形式来求解的方法我们叫配方法，其中h ，k 为常数，那么本题中h k +的值是_________．3【分析】首先把常数项移到等号右边经配方h 和k 即可求得进而通过计算即可得到答案【详解】根据题意移项得配方得：即∴∴故答案是：3【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法解析：3【分析】首先把常数项移到等号右边，经配方，h 和k 即可求得，进而通过计算即可得到答案．【详解】根据题意，移项得223x x -=，配方得：22131x x -+=+，即2(1)4x -=，∴1h =-，4k =∴143h k +=-+=故答案是：3．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法的性质，从而完成求解．12．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．且【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根解得又∵该方程为一元二次方程且故答案为：且【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义属于解析：1k -＞且0k ≠．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，()224241440b ac k k ∴∆=-=-⨯-=+>，解得1k >-．又∵该方程为一元二次方程，0k ∴≠，1k ∴>-且0k ≠．故答案为：1k >-且0k ≠．【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．13．将一元二次方程(32)(1)83x x x -+=-化成一般形式是_____．【分析】先计算多项式乘以多项式并移项再合并同类项即可【详解】故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式掌握多项式乘以多项式合并同类项计算法则是解题的关键解析：23710x x -+=【分析】先计算多项式乘以多项式，并移项，再合并同类项即可．【详解】(32)(1)83x x x -+=-23322830x x x x +---+=23710x x -+=故答案为：23710x x -+=．【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式，掌握多项式乘以多项式，合并同类项计算法则是解题的关键．14．一元二次方程-+=(5)(2)0x x 的解是______________．x1=5x2=-2【分析】直接利用因式分解法得出方程的根【详解】解：∵(x-5)（x+2）=0∴x-5=0或x+2=0∴x1=5x2=-2故答案为：x1=5x2=-2【点睛】此题主要考查了一元二次方 解析：x 1=5，x 2=-2【分析】直接利用因式分解法得出方程的根．【详解】解：∵(x-5)（x+2）=0，∴x-5=0或x+2=0，∴x 1=5，x 2=-2，故答案为：x 1=5，x 2=-2．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确理解因式分解法解方程是解题关键． 15．若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根，则c 的值可以是_________________．(写出一个即可)1（答案不唯一）【分析】根据非负数的性质可得于是只要使c 的值非负即可【详解】解：若关于的一元二次方程有实根则所以的值可以是1（答案不唯一）故答案为：1（答案不唯一）【点睛】本题考查了一元二次方程的解解析：1（答案不唯一）【分析】根据非负数的性质可得0c ≥，于是只要使c 的值非负即可．【详解】解：若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根，则0c ≥，所以c 的值可以是1（答案不唯一）．故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是关键． 16．已知实数a ，b 是方程210x x --=的两根，则11a b+的值为______．-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1ab=-1再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值【详解】∵是方程的两根∴a+b=1ab=-1∴===-1故答案为：-1【点睛】此题考查一元二次方程根与解析：-1【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值.【详解】∵a ，b 是方程210x x --=的两根，∴a+b=1，ab=-1，∴11a b+ =a b ab+ =11- =-1， 故答案为：-1.【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系式，异分母分式的加减法计算法则.17．对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b ＝a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）﹣5＝0的两根记为m 、n ，则（m +2）（n +2）＝_____．-1【分析】根据新定义可得出mn 为方程x2＋2x−1＝0的两个根利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2mn ＝−1变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算【详解】 解析：-1【分析】根据新定义可得出m 、n 为方程x 2＋2x−1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2、mn ＝−1，变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算．【详解】解：∵（x ◆2）﹣5＝x 2+2x +4﹣5，∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1＝0的两个根，∴m +n ＝﹣2，mn ＝﹣1，∴（m +2）（n +2）＝mn +2（m +n ）+4＝﹣1+2×（﹣2）+4＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1•x 2＝c a． 18．等腰三角形ABC 中，8BC =，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根，则m 的值是___．或【分析】等腰三角形ABC 中边可能是腰也可能是底应分两种情况进行讨论分别利用根与系数的关系三角形三边关系定理求得方程的两个根进而求得答案【详解】解：∵关于x 的方程∴∴∵是等腰三角形的长是关于x 的方程解析：25或16【分析】等腰三角形ABC 中，边BC 可能是腰也可能是底，应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进而求得答案．【详解】解：∵关于x 的方程2100x x m -+=∴1a =，10b =-，c m = ∴1210b x x a +=-=，12c x x m a == ∵ABC 是等腰三角形，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根 ∴①当8BC =为底、两根AB 、AC 均为等腰三角形的腰时，有1210AB AC x x +=+=且AB AC =即5AB AC ==，此时等腰三角形的三边分别为5、5、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则1225m x x AB AC ==⋅=；②当8BC =为腰、两根AB 、AC 中一个为腰一个为底时，有122810x x x +=+=，即22x =，此时此时等腰三角形的三边分别为2、8、8，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则1216m x x AB AC ==⋅=．∴综上所述，m 的值为25或16．故答案是：25或16【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等腰三角形的性质、三角形三边关系定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．19．已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根，则m =_________．－8【分析】利用方程的根的性质把x=2代入方程得到关于m 的方程解这个方程即可【详解】已知是关于x 的方程的一个根故答案为：-8【点睛】本题考查一元二次方程的根问题掌握方程的根的性质会用方程的解代入构造解析：－8【分析】利用方程的根的性质把x=2代入方程得到关于m 的方程，解这个方程即可【详解】已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根，22220m +⨯+=8m =-故答案为：-8【点睛】本题考查一元二次方程的根问题，掌握方程的根的性质，会用方程的解代入构造参数方程是解题关键20．如图，世纪广场有一块长方形绿地，AB ＝18m ，AD ＝15m ，在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后，剩余绿地的面积为144m 2，则x ＝_____．【分析】由在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后剩余绿地的面积为144m2即可得出关于x 的一元二次方程此题得解【详解】解：设道路的宽为xm 根据题意得：（18﹣2x ）（15﹣x ）＝144解得：或（舍去）答： 解析：3【分析】由在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后，剩余绿地的面积为144m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设道路的宽为xm ，根据题意得：（18﹣2x ）（15﹣x ）＝144，解得：13x =或221x ＝（舍去），答：道路的宽为3m ．故答案为：3．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，正确列方程是解题的关键.三、解答题21．新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必须品．某商店销售一款口罩，每袋进价为12元，计划每袋售价大于12元但不超过20元，通过市场调查发现，这种口罩每袋售价为18元时，日均销售量为50袋，而当每袋售价提高1元时，日均销售量就减少5袋． （1）在每袋售价为18元的基础上，将这种口罩的售价每袋提高x 元，则日均销售量是_________袋；（用含x 的代数式表示）（2）经综合考察，要想使这种口罩每天赢利315元，该商场每袋口罩的销售价应定为多少元？解析：（1）505x -；（2）19元．【分析】（1）销售量=原来销售量－下降销售量，据此列式即可；（2）设这种口罩的售价每袋提高x 元，根据销售量×每袋利润=总利润列出方程求解即可．【详解】（1）∵每袋售价提高1元时，日均销售量就减少5袋，∴每天销量减少5x 袋，∵售价为18元时，日均销售量为50袋，∴将这种口罩的售价每袋提高x 元，则日均销售量是：505x -．故答案为：505x -（2）设这种口罩的售价每袋提高x 元，根据题意得：(1812)(505)315x x +--=，化简得：2430x x -+=，解得：121,3x x ==，当11x =时，每袋售价是：18119+=（元）；当23x =时，每袋售价是：18321+=（元）；∵计划每袋售价大于12元但不超过20元，∴23x =舍去．∴当1x =时，每袋售价是19元．答：该商场每袋口罩的售价应定为19元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．22．若a 为方程2(16x =的一个正根，b 为方程22113y y -+=的一个负根，求+a b 的值．解析：a+b= 5【分析】先求出2(16x =的根4x ，由a 为方程2(16x =的一个正根，得4a =+，再求22113y y -+=的根=1y ±b 为方程22113y y -+=的一个负根，得1b =+a b 即可．【详解】2(16x -=，4x -=±，4x ，a 为方程2(16x =的一个正根，4a =+，22113y y -+=，()2113y -=，1y -==1y ±b 为方程22113y y -+=的一个负根，1b =415a b +=+=．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，会比较方程根的正负与大小，掌握一元二次方程的解法是解题关键．23．已知关于x 的方程kx 2﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）＝0．（1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个根x 1，x 2，且x 12+x 22＝8，求k 的值．解析：（1）见解析；（2）-1或13 【分析】（1）根据方程kx 2﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）＝0计算判别式的值得到△＝（k ＋1）2≥0，即可证明结论；（2）利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝31k k -，x 1x 2＝()21k k -，再根据x 12+x 22＝8得出（31k k -）2﹣2•()21k k-＝8，解此方程即可求解． 【详解】（1）证明：关于x 的方程kx 2﹣（3k ﹣1）x +2（k ﹣1）＝0中，∵a ＝k ，b ＝﹣（3k ﹣1），c ＝2（k ﹣1），△()()231421k k k ⋅⋅=-﹣- 2296188k k k k ++=--221k k =++2(1)k =+，∴无论k 为任何实数，△0≥．∴无论k 为任何实数，方程总有实数根；（2）解：根据题意得x 1+x 2＝31k k -，x 1x 2＝()21k k -， ∵x 12+x 22＝8，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝8，∴（31k k -）2﹣2•()21k k-＝8， 整理得3k 2+2k ﹣1＝0，解得k 1＝13，k 2＝﹣1， 经检验k 1＝13，k 2＝﹣1为原方程的解， ∵k ≠0，∴k 的值为﹣1或13． 【点睛】 本题考查了根的判别式及根与系数关系，掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．24．火锅是重庆人民钟爱的美食之一；解放碑某老火锅店为抓住“十一黄金周”这个商机，通过网上广告宣传和实地派发传单等一系列促销手段吸引了不少本地以及外地游客，火锅店门庭若市．据店员统计；仅“十一黄金周”前来店内就餐选择红汤火锅和清汤火锅的游客共2500人，其中红汤火锅和清汤火锅的人均消费分别为80元和60元．（1）“十一”期间，若选择红汤火锅的人数不超过清汤火锅人数的1.5倍，求至少有多少人选择清汤火锅？（2）随着“十一”的结束，前来店内就餐的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，与（1）选择清汤火锅的人数最少时相比，选择红汤火锅的人数下降了a %，选择清汤火锅的人数不变，但选择红汤火锅的人均消费增长了a %，选择清汤火锅的人均消费增长了1%5a ，最终第二周两种火锅的销售总额与（1）中选择清汤火锅的人数最少时两种火锅的销售总额相等，求a 的值．解析：（1）至少有1000人选择清汤火锅；（2）a 的值为10【分析】（1）设有x 人选择清汤火锅，则有（2500﹣x ）人选择红汤火锅，根据选择红汤火锅的人数不超过清汤火锅人数的1.5倍列出一元一次不等式，然后解不等式取其最小值即可； （2）根据第二周两种火锅的销售总额与（1）中选择清汤火锅的人数最少时两种火锅的销售总额相等列出关于a 的一元二次方程，然后解方程取其正值即可解答．【详解】解：（1）设有x 人选择清汤火锅，则有（2500﹣x ）人选择红汤火锅，根据题意， 得：2500﹣x≤1.5x ，解得：x≥1000，答：至少有1000人选择清汤火锅；（2）根据题意，得：80（1+a%）×（2500﹣1000）（1﹣a%）+60（1+15a%）×1000=80×（2500﹣1000）+60×1000，整理，得：12x 2﹣120a=0，解得：a 1=10，a 2=0（不合题意，舍去），答：a 的值为10．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用，解答的关键是理解题意，找准数量间的关系，正确列出不等式和方程．25．解下列方程：（1）2410x x --=；（2）(4)123x x x -=-．解析：（1）12x =22x =2）x 4=或x 3=-【分析】（1）利用配方法解方程；（2）利用因式分解法解方程.【详解】（1）2410x x --=2445x x +=-2(2)5x -=则2x -=解得12x =22x =（2）解：(4)3(4)0x x x -+-=，(4)(3)0x x -+=，则40x -=或30x +=，解得x 4=或x 3=-.【点睛】此题考查解一元二次方程：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.26．用适当的方法解方程：（l ）2(3)26x x +=+（2）2810x x -+=．解析：（1）13x =-，21x =-；（2）1x =，24x =【分析】（1）用因式分解法求解可得；（2）用配方法求解即可．【详解】解：（1）∵（x+3）2-2（x+3）=0，∴（x+3）（x+1）=0，∴x+3=0或x+1=0，解得：x=-3或x=-1；（2）2810x x -+=281x x -=-28+1615x x -=2(4)15x -=4x -=∴1x =，24x =【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．27．定义：若关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的两个实数根1x ，()212x x x <，分别以1x ，2x 为横坐标和纵坐标得到点()12,M x x ，则称点M 为该一元二次方程的衍生点．（1）若关于x 的一元二次方程为()22210x m x m m --+-=．①求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M 的坐标；②由①得到的衍生点M 在直线l ：3y x =-+与坐标轴围成的区域上，求m 的取值范围．（2）是否存在b ，c ，使得不论()0k k ≠为何值，关于x 的方程20x bx c ++=的衍生点M 始终在直线()25y kx k =+-的图象？若有，求出b ，c 的值：若没有，说明理由． 解析：（1）①见解析，()1,M m m -；②12m ≤≤；（2）存在，12b =-，20c =【分析】（1）①根据根的判别式和衍生点的定义，即可得出结论；②先确定点出点M 在在直线y=x+1上，借助图象即可得出结论；（2）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可．【详解】解：（1）①()22210x m x m m --+-=，∵()()2221410m m m ⎡⎤∆=----=>⎣⎦， ∴不论x 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，()22210x m x m m --+-=，解得：11x m =-，2x m =，方程()22210x m x m m --+-=的衍生点为()1,M m m -．②由①得，()1,M m m -，令1-=m x ，m y =，∴1y x =+，∴点M 在在直线1y x =+上，与y 轴交于A 点，当x=0时，y=1，∴()0,1A ，∵直线1l ：3y x =-+与直线1y x =+交于B 点，解31y x y x =-+⎧⎨=+⎩， 解得12x y =⎧⎨=⎩，∴()1,2B ，∵点M 的在直线l ：3y x =-+与坐标轴围成的区域上∴12m ≤≤；（2）存在．直线()()25210y kx k k x =+-=-+，过定点()2,10M ，∴20x bx c ++=两个根为12x =，210x =，∴210b +=-，210c ⨯=，∴12b =-，20c =．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，两条直线相交问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．28．用一块边长为70cm 的正方形薄钢片制作一个长方体盒子．（1）如果要做成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图②）．当做成的盒子的底面积为2900cm 时，求该盒子的容积；（2）如果要做成一个有盖的长方体盒子，制作方案要求同时符合下列两个条件： ①必须在薄钢片的四个角上截去一个四边形（如图③阴影部分），②沿虚线折合后薄钢片即无空隙又不重叠地围成各盒面，求当底面积为2800cm 时，该盒子的高．解析：（1）18000cm 3；（2）15cm【分析】（1）根据图中给出的信息，设四个相同的小正方形边长为x ，先表示出盒子的正方形底面的边长，然后根据底面积=900即可得到方程，求解即可；（2）该盒子的高为y ，根据底面积为800列出方程，解之即可．【详解】解：（1）设四个相同的小正方形边长为x ，由题意可得：（70-2x ）2=900，解得：x 1=20，x 2=50（舍），∴该盒子的容积为900×20=18000cm 3；（2）设该盒子的高为y ， 根据题意得：()7027028002y y -⨯-=， 解得：y 1=15，y 2=55（舍）， 因此当底面积是800平方厘米时，盒子的高是15厘米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，只要搞清楚盒子底面各边的长和盒子的高的关系即可作出正确解答．。
考点07 一元二次方程(精练)(解析版)
考点07.一元二次方程（精练）限时检测1：最新各地模拟试题（40分钟）1．（2023·辽宁抚顺·统考一模）若1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则24a b +的值等于()A ．－2B ．－3C ．－1D ．－6【答案】A【分析】将x =1代入原方程即可求出答案．【详解】解：将x =1代入原方程可得：1+a +2b =0，∴a +2b =-1，∴24a b +=2(a +2b )=2×(-1)=-2，故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属基础题型．2．（2023·湖北鄂州市·校考模拟预测）关于x 的一元二次方程240x x m -+=的两实数根分别为1x 、2x ，且1235x x +=，则m 的值为（）A ．74B ．75C ．76D ．04．（2023·湖北·校联考一模）如果方程()2(1)2+=0x x x m --的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A ．01m B ．34m C ．314m D ．3<14m4．（2023·安徽·校考模拟预测）若方程20(a 0)++=≠ax bx c 中，,,a b c 满足0a b c ++=和420a b c -+=，则方程的根是（）A ．1,2-B ．1,0-C ．1,0D ．无法确定【答案】A【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．【详解】解：∵20(a 0)++=≠ax bx c ，把1x =代入得：0a b c ++=，即方程的一个解是1x =，把2x =-代入得：420a b c -+=，即方程的一个解是2x =-；故选：A ．【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．5．（2023·浙江杭州·校联考一模）若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（）A ．方程x 2－3x ＋2＝0是2倍根方程B ．若关于x 的方程(x －2)(mx ＋n )＝0是2倍根方程，则m ＋n ＝0C ．若m ＋n ＝0且m ≠0，则关于x 的方程(x －2)(mx ＋n )＝0是2倍根方程D ．若2m ＋n ＝0且m ≠0，则关于x 的方程x 2＋(m －n )x －mn ＝0是2倍根方程6.（2023春·江苏南京·九年级专题练习）设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程2x x n mx ++=的两个实数根．若120x x <<，则（）A ．1,0m n >⎧⎨>⎩B ．1,0m n >⎧⎨<⎩C ．1,0m n <⎧⎨>⎩D ．1,0m n <⎧⎨<⎩【详解】解：依题意得：()23201405x +=，故选：B ．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．8．（2023·山东·统考三模）新定义：关于x 的一元二次方程a 1(x ﹣m )2+k ＝0与a 2(x ﹣m )2+k ＝0称为“同族二次方程”．如2(x ﹣3)2+4＝0与3(x ﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程2(x ﹣1)2+1＝0与(a +2)x 2+(b ﹣4)x +8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax 2+bx +2026能取的最小值是（）A ．2020B ．2021C ．2023D ．201810．（2023·广东·校考模拟预测）关于x 的方程263x x k x -++=-有两个解，则k 的取值范围是（）A ．k ＞﹣9B ．k ≤3C ．﹣9＜k ＜6D ．k 384-＞∵原方程有两个解，∴方程290t t k +--=有一正根和负根，∴1290,t t k =--< 解得k ＞﹣9，∴k 的取值范围是k ＞﹣9．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由原方程有两个解得到方程290t t k +--=有一个正根与一个负根是解本题的关键．11．（2023·四川绵阳·二模）已知实数,m n 满足22220,220m am n an -+=-+=．若m n ≠，且4m n +≥，则()()2211m n -+-的最小值是（）A ．6B ．3-C ．3D ．0【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出2,2m n a mn +==，将代数式化简，然后整体代入求解即可【详解】解：∵实数,m n 满足22220,220m am n an -+=-+=，∴m 、n 是方程2220x ax -+=的两个根，∴2,2m n a mn +==，∴()()2211m n -+-222121m m n n =-++-+()()2222m n mn m n =+--++24442a a =--+()2213a =--∵m n ≠，且4m n +≥，∴()()2211m n -+-的最小值是()2413936--=-=，故选：A ．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．12．（2023·浙江台州·统考二模）已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，且0a ≠），此方程的解为12x =，23x =．则关于x 的一元二次方程2930ax bx c -+=的解为______．【答案】23-或1-##1-或23-13.（2023·浙江·校考模拟预测）已知实数m ，n 满足21m n -=，则代数式22242m n m ++-的最小值等于_____．【答案】13-【分析】由21m n -=可得21,n m =-再代入22242m n m ++-，再利用配方法配方，从而可得答案.【详解】解： 21m n -=，21,n m \=-()222242=2142m n m m m m ∴++-+-+-264m m =+-()231313,m =+-³-所以22242m n m ++-的最小值是13,-故答案为：13-【点睛】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用，熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题关键.14．（2023·广东九年级课时练习）将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如()32x x x x px q =⋅=-= ，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，且x ＞0，则4323x x x -+的值为______．15.（2023·浙江·校考模拟预测）小丽在解一个三次方程x 3－2x ＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．1【分析】由(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0变形为()()321=0x b x c b x c +-+--，根据一一对应的原则求得b 、c 的值，然后运用因式分解和公式法求解即可．【详解】解：∵(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0，∴()()321=0x b x c b x c +-+--，又由题意得：()()33221=1x x x b x c b x c -++-+--，∴1021b c b c -=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩解得：11b c =⎧⎨=-⎩∴()()2110x x x -+-=，∴1=0x -，210x x +-=，∴由求根公式得：11=22x --=，则原方程所有的解为：12-或1，故答案为：12-或1．【点睛】本题主要考查了方程的解的定义和公式法求解一元二次方程，解题关键是根据一一对应的关系求出b 、c 的值．16．（2023·四川泸州·校考一模）喜迎2022年10月16日“二十大”的召开，某公司为了贯彻“发展低碳经济，建设美丽中国”的理念，对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司七月份的产值为200万元，第三季度的产值为720万元，设公司每月产值的平均增长率相同且为x ，则根据题意列出的方程是______．【答案】()()220020012001720x x ++++=【分析】可先表示出八月份的营业额，那么八月份的营业额×（1+增长率）=九月份的营业额，等量关系为：七月份的营业额+八月份的营业额+九月份的营业额=900，把相应数值代入即可求解．【详解】解：∵七月份的营业额为200万元，平均每月的增长率为x ，∴八月份的营业额为()2001x +万元，∴九月份营业额为()22001x +万元，∴可列方程为()()220020012001720x x ++++=，故答案为：()()220020012001720x x ++++=．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键．注意本题的等量关系为3个月的营业额之和．17．（2023·四川成都·二模）已知m 、n 是方程x 2+2019x ﹣2＝0的两个根，则（m 2+2018m ﹣3）（n 2+2020n ﹣1）＝__．【答案】2020【分析】由于m 、n 是方程x 2+2019x ﹣2＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m +n ＝﹣2019，mn ＝﹣2，并且m 2+2019m ﹣2＝0，n 2+2019n ﹣2＝0，将所求的代数式变形后代入即可求出结果．【详解】解：∵m 、n 是方程x 2+2019x ﹣2＝0的两个实数根，【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．19．（2023·福建·校考一模）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=．(1)判断这个一元二次方程的根的情况．(2)若等腰三角形的一边长为3，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【答案】(1)一元二次方程有两个不相等的实数根(2)8或10【分析】（1）求出判别式的符号，进行判断即可；（2）根据方程有两个不相等的实数根，得到3是等腰三角形的腰长，是方程的一个根，进行求解即可．【详解】（1）解：()()2224214b ac m m m ∆=-=-+-+⎡⎤⎣⎦2244144m m m m =++--10=>；∴一元二次方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴3是腰长，3x =是方程22(21)0x m x m m -+++=的一个根，∴2233(21)0m m m -+++=，整理，得：2560m m -+=，解得：2m =或3m =，当2m =时，2560x x -+=，解得122,3x x ==，此时等腰三角形的三边长：3,3,2，周长3328=++=；当3m =时，27120x x -+=，解得124,3x x ==，此时等腰三角形的三边长：3,3,4，周长33410=++=．【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程与几何的综合应用．熟练掌握一元二次方程的判别式与根的个数的关系，一元二次方程的解的定义，是解题的关键．20．（2023.广西九年级期中）某超市经营款新电动玩具进货单价是15元．在1个月的试销阶段，售价是20元，销售量是200件．根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出5件．（1）若商店在1个月获得了2250元销售利润，求这款玩具销售单价定为多少元时，顾客更容易接受？（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，设销售单价为y （y 为正整数）元，求该超市销售这款玩具有哪几种方案？哪一种方案利润最高？【答案】（1）30元；（2）有三种销售方案：方案一：销售价为22元；方案二：销售价为23元；方案三，销售价为24元，第三种方案利润最大．【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元二次方程，再根据考虑顾客更容易接受的价格，即可得到这款玩具的销售单价；（2）根据题意可以得到利润与销售单价的函数关系，再根据玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，可以得到单价的取值范围，再根据销售单价为整数，计算每种方案的实际利润，选取其中利润最大的方案即可．【详解】解：（1）设销售单价为x 元（20x >），(15)[2005(20)]2250x x ---=，解得，130x =，245x =，3045<，∴销售单价定为30元时，顾客更容易接受；（2）由题意得，222005(20)180y y ≥⎧⎨--≥⎩解得：2224y ≤≤，因为y 取正整数，所以y 取22或23或24，所以有三种销售方案：方案一：销售价为22元，销售利润为(2215)(300522)1330--=⨯⨯（元），方案二：销售价为23元，销售利润为()23153005231480()-⨯-⨯=（元），方案三，销售价为24元，销售利润为()24153005241620()-⨯-⨯=（元），162014801330>>，第三种方案利润最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答可以是解答变得简捷．【答案】(1)1米；(2)①21251682a a -++；②14a =．【分析】（1）设小道进出口的宽度为x 米，然后利用其种植花草的面积为（2）①先用a 表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；22．（2023·湖南长沙·校考三模）已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，且0a ≠），我们规定：若该方程的两根满足122x x =-，则称该方程为“灵粹二次方程”，其中，1x 、2x 称为该“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”．(1)判断：下列方程中，为“灵粹二次方程”的是________（仅填序号）①23530x x -+=②2280x x +-=③12x x+=-(2)已知关于x 的一元二次方程()22210x t x t t -+++=为“灵粹二次方程”，求：当12x -≤≤时，函数22391y x tx t =+++的最大值．(3)直线3y x =+与直线1y x =-+相交于点A ，并分别与x 轴相交于B 、C 两点，若m 、n 是某“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”，设D 点坐标为（m ，n ），当点D 位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部时．①试求出m 的取值范围．②若m 为整数，且“灵粹二次方程”的二次项系数为1，是否存在满足此情况的“灵粹二次方程”？若存在，请直接写出该“灵粹二次方程”；若不存在，请说明理由．限时检测2：最新各地中考真题（40分钟）1．（2022·湖南怀化·中考真题）下列一元二次方程有实数解的是（）A．2x2﹣x+1＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+3x﹣2＝0D．x2+2＝0【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则第一轮传染了x 个人，第二轮作为传染源的是(1)x +人，则传染(1)x x +人，依题意列方程：1(1)36x x x +++=．【详解】由题意得：1(1)36x x x +++=，故选：C ．【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．4．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x ，那么可列出方程是（）A ．()201231.2x +=B ．()20122031.2x +-=C ．()220131.2x +=D ．()22012031.2x +-=【答案】D【分析】设年平均增长率为x ，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了31.2万辆列方程即可．【详解】解：设年平均增长率为x ，由题意得()22012031.2x +-=，故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．5．（2022·山东临沂·中考真题）方程22240x x --=的根是（）A ．16x =，24x =B ．16x =，24x =-C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-【答案】B【分析】先把方程的左边分解因式化为()()460,x x +-=从而可得答案．【详解】解：22240x x --=，()()460,x x \+-=40x ∴+=或60,x -=解得：126, 4.x x ==-故选B【点睛】本题考查利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．7．（2022·宜宾·中考真题）已知m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则22m mn m ++的值为（）A ．0B ．－10C ．3D ．10【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn =－5，把x =m 代入方程得m 2+2m -5=0，即m 2+2m =5，代入即可求解．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，∴mn =－5，m 2+2m -5=0，∴m2+2m =5，∴22m mn m ++=5－5=10，故选：A ．【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn =-5，m 2+2m =5是解题的关键．8．（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x 2-2x =2时，配方后正确的是（）A ．()213x +=B ．()216x +=C ．()213x -=D ．()216x -=10．（2022·广西贵港·中考真题）若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（）A ．0，2-B ．0，0C ．2-，2-D ．2-，0【答案】B【分析】直接把2x =-代入方程，可求出m 的值，再解方程，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意，∵2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，把2x =-代入220x x m ++=，则2(2)2(2)0m -+⨯-+=，解得：0m =；∴220x x +=，∴(2)0x x +=，∴12x =-，0x =，∴方程的另一个根是0x =；故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．11．（2020·上海中考真题）用换元法解方程21x x ++21x x +=2时，若设21x x +=y ，则原方程可化为关于y 的方程是()A ．y 2﹣2y +1=0B ．y 2+2y +1=0C ．y 2+y +2=0D ．y 2+y ﹣2=0【答案】A【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设21x x+=y ，则原方程化为y+1y =2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．【详解】把21x x+=y 代入原方程得：y +1y =2，转化为整式方程为y 2﹣2y +1=0．故选：A ．【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得23,340a b a a +=-+-=，从而得到234+=a a ，然后代入，即可求解．【详解】解：∵a ，b 是方程2340x x +-=的两根，∴23,340a b a a +=-+-=，∴234+=a a ，∴243a a b ++-233a a a b =+++-()433=+--2=-．故答案为：2-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．13.（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程2430x x -+=配方为()22x k -=，则k 的值是______．【答案】1【分析】将原方程2430x x -+=变形成与()22x k -=相同的形式，即可求解．【详解】解：2430x x -+=；243101x x -++=+；2441x x -+=；()221x -=∴1k =故答案为：1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．14.（2022·云南·中考真题）方程2x 2+1=3x 的解为________．【答案】1211,2x x ==【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解：移项得：22310x x -+=，∴()()2110x x --=，∴210x -=或10x -=，解得：1211,2x x ==，故答案为：1211,2x x ==．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为(2)羊圈的面积能达到6502m【详解】（1）解：设矩形ABCD 的边m AB x =，则边()7022722BC x x =-+=-m ．根据题意，得()722640x x -=．化简，得2363200x x -+=．解得116x =，220x =．当16x =时，722723240x -=-=；当20x =时，722724032x -=-=．答：当羊圈的长为40m ，宽为16m 或长为32m ，宽为20m 时，能围成一个面积为6402m 的羊圈．（2）解：不能，理由如下：由题意，得()722650x x -=．化简，得2363250x x -+=．∵()236432540⨯=--=-<∆，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到6502m ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．19.（2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨(2)m 的值20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元【分析】（1）设3月份再生纸产量为x 吨，则4月份的再生纸产量为()2100x -吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y ，5月份再生纸的产量为a 吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；【解析】(1)解：设3月份再生纸产量为x 吨，则4月份的再生纸产量为()2100x -吨，由题意得：()2100800x x +-=，解得：300x =，∴2100500x -=，答：4月份再生纸的产量为500吨；(2)解：由题意得：500(1%)10001%6600002m m ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭，解得：%20%m =或% 3.2m =-（不合题意，舍去）∴20m =，∴m 的值20；(3)解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y ，5月份再生纸的产量为a 吨，21200(1)(1)(125%)1200(1)y a y y a +⋅+=+⨯+⋅∴()2120011500y +=答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．20．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：材料1：为了解方程()22213360x x -+=，如果我们把2x 看作一个整体，然后设2y x =，则原方程可化为213360y y -+=，经过运算，原方程的解为1,22x =±，3,43x =±．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2：已知实数m ，n 满足210m m --=，210n n --=，且m n ≠，显然m ，n 是方程210x x --=的两个不相等的实数根，由韦达定理可知1m n +=，1mn =-．根据上述材料，解决以下问题：(1)直接应用：方程42560x x -+=的解为_______________________；(2)间接应用：已知实数a ，b 满足：422710a a -+=，422710b b -+=且a b ¹，求44a b +的值；(3)拓展应用：已知实数x ，y 满足：42117m m +=，27n n -=且0n >，求241n m+的值．。
第一节 一元二次方程的定义 练习题
第一节一元二次方程的定义练习题一．选择题（共12小题）1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．1x2+4x＝6C．x2﹣3x＝x2﹣2D．（x+1）（x﹣1）＝2x2．下列方程中一定是关于x的一元二次方程是（）A．ax2+bx+c＝0B．1x2+1x−2＝0C．3（x+1）2＝2（x+1）D．x2﹣x（x+7）＝0 3．将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，5B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5 4．把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（）A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a＝1，b＝﹣2，c＝3D．a＝1，b＝﹣2，c＝6 5．若方程kx2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（）A．k＞0B．k≠0C．k＜0D．k为实数6．若（m﹣3）x m2−7−x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．±3B．﹣3 C．3D．±√7 7．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为（）A．2019B．2020 C．2021D．20228．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0的一个根为x ＝﹣1，则b的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．29．已知x＝2是一元二次方程x2+ax+b＝0的解，则4a+2b+1的值是（）A．﹣6B．﹣8C．﹣5D．﹣710．已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣1或2B．﹣1C．2D．011．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足4a+2b+c ＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（）A．1，0B．﹣1，0C．1，﹣1D．2，﹣2 12．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0必有一根为（）A．2024B．2025C．2026D．2027二．填空题（共4小题）13．填空：在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这些数中，是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的根的是．14．若关于x的一元二次方程（3a﹣6）x2+（a2﹣4）x+a+9＝0没有一次项，则a＝．15．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2024﹣6a+2b的值为．16．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2+1m2=．三．解答题（共3小题）17．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）4x2+3＝5x；（2）3x2＝5；（3）2x（x+5）＝7；（4）（3x+2）（x﹣3）＝2x﹣6．18．已知m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式m3+m2﹣m﹣1的值．19．请阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x所以x=y 2．把x=y2代入已知方程，得（y2）2+y2−1＝0化简，得y2+2y﹣4＝0故所求方程为y2+2y﹣4＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为：；（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．第一节一元二次方程的定义 练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：A 、当a ≠0时，是关于x 的一元二次方程，故此选项错误；B 、不是一元二次方程，故此选项错误；C 、不是一元二次方程，故此选项错误；D 、是一元二次方程，故此选项正确； 故选：D ．2．【解答】解：A 、a ＝0时是一元一次方程，故A 不符合题意；B 、是分式方程，故B 不符合题意；C 、是一元二次方程，故C 符合题意；D 、是一元一次方程，故D 不符合题意； 故选：C ．3．【解答】解：一元二次方程3x 2＝5x ﹣1化成一般式为：3x 2﹣5x +1＝0，故二次项系数是3，一次项系数是﹣5． 故选：D ．4．【解答】解：去括号得，x 2+x ＝3x ﹣6， 移项得，x 2﹣2x +6＝0，所以a 、b 、c 的值可以分别是1，﹣2，6． 故选：D ．5． 【解答】解：根据题意得：k ≠0． 故选：B ．6．【解答】解：∵（m ﹣3）x m 2−7−x +3＝0是关于x 的一元二次方程， ∴{m −3≠0m 2−7=2， 解得m ＝﹣3． 故选：B ．7．【解答】解：把x ＝3代入方程，得：9a ﹣3b ＝6，即：3a ﹣b ＝2，∴2023﹣6a +2b ＝2023﹣2（3a ﹣b ）＝2023﹣2×2＝2019； 故选：A ．8．【解答】解：因为关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣2＝0的一个根为x ＝﹣1，所以将x ＝﹣1代入方程可得1﹣b ﹣2＝0， 解得b ＝﹣1， 故选：A ．9．【解答】解：∵x ＝2是一元二次方程x 2+ax +b ＝0的解，∴4+2a +b ＝0， ∴2a +b ＝﹣4，∴4a +2b +1＝2（2a +b ）+1＝2×（﹣4）+1＝﹣7， 故选：D ．10．【解答】解：把x ＝1代入（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0得：m ﹣2+4﹣m 2＝0， ﹣m 2+m +2＝0，解得：m 1＝2，m 2＝﹣1，∵（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0是一元二次方程， ∴m ﹣2≠0， ∴m ≠2， ∴m ＝﹣1， 故选：B ．11．【解答】解：∵ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）， 把x ＝2代入得：4a +2b +c ＝0，即方程的一个解是x ＝2， 把x ＝﹣2代入得：4a ﹣2b +c ＝0， 即方程的一个解是x ＝﹣2， 故选：D ．12．【解答】解：把方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+2＝0看作关于（x ﹣1）的一元二次方程，∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +2＝0（a ≠0）有一根为x ＝2024，∴关于x﹣1的一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0有一根为x﹣1＝2024，解得x＝2025，∴一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0必有一根为x＝2025．故选：B．二．填空题（共4小题）13．填空：在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这些数中，是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的根的是3，﹣2．【解答】解：x2﹣x﹣6＝0，（x﹣3）（x+2）＝0∴x1＝3，x2＝﹣2．故本题的答案是3，﹣2．14．若关于x的一元二次方程（3a﹣6）x2+（a2﹣4）x+a+9＝0没有一次项，则a＝﹣2．【解答】解：由题意得：a2﹣4＝0，且3a﹣6≠0，解得：a＝﹣2，故答案为：﹣2．15．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2024﹣6a+2b的值为2020．【解答】解：∵x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，∴a×32﹣3b＝6，化简，得：3a﹣b＝2，∴2024﹣6a+2b＝2024﹣2（3a﹣b）＝2024﹣2×2＝2024﹣4＝2020，故答案为：2020．16．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2+1m2=6．【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，∴m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，∴m2+1m2＝（m−1m）2+2＝（m2−1m）2+2＝22+2＝6．故答案为：6．三．解答题（共3小题）17．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）4x2+3＝5x；（2）3x2＝5；（3）2x（x+5）＝7；（4）（3x+2）（x﹣3）＝2x﹣6．【解答】解：（1）移项，得4x2﹣5x+3＝0，∴其二次项系数是4，一次项系数是﹣5，常数项是3；（2）移项，得3x2﹣5＝0，∴其二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是﹣5；（3）去括号，得2x2+10x＝7，移项，得2x2+10x﹣7＝0，∴其二次项系数是2，一次项系数是10，常数项是﹣7；（4）去括号，得3x2﹣7x﹣6＝2x﹣6，移项并合并，得3x2﹣9x＝0，两边都除以3，得x2﹣3x＝0，∴其二次项系数是1，一次项系数是﹣3，常数项是0．18．已知m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式m3+m2﹣m﹣1的值．【解答】解：把x＝m代入方程得：m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，∴m3+m2﹣m﹣1＝m（m2+m）﹣m﹣1＝m﹣m﹣1＝﹣1．即m3+m2﹣m﹣1＝﹣1．19．请阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x所以x=y 2．把x=y2代入已知方程，得（y2）2+y2−1＝0化简，得y2+2y﹣4＝0故所求方程为y2+2y﹣4＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为：y2﹣y﹣2＝0；（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【解答】解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x所以x＝﹣y．把x＝﹣y代入已知方程，得y2﹣y﹣2＝0，故所求方程为y2﹣y﹣2＝0；（2）设所求方程的根为y，则y=1x（x≠0），于是x=1y（y≠0）把x=1y代入方程ax2+bx+c＝0，（a≠0），得a（1y）2+b•1y+c＝0去分母，得a+by+cy2＝0．若c＝0，有ax2+bx＝0，即x（ax+b）＝0，可得有一个解为x＝0，不符合题意，因为题意要求方程ax2+bx+c＝0有两个不为0的根．故c≠0，故所求方程为cy2+by+a＝0（c≠0），（a≠0）．。
一元二次方试题
一元二次方程测试题（时间：90分钟，120分）一、选择题（只有一个正确，每题3分，共36分）1、方程（m ²-1）x ²+m x -5=0是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是 （ ）（A ） m ≠1 (B) m ≠0 (C )∣m ∣≠1 (D) m=±12、方程（3x+1）(x -1)=(4x -1)(x -1)的解是 （ ）（A ） x 1=1 x 2=0 (B) x 1=1 x 2=2 (C) x 1=2 x 2=-1 (D) 无解3、已知方程x ²+x-1=0，以它的两根的倒数为根的新方程应是（ ）(A) y ²-y-1=0 (B) y ²+y+1=0 (C) y ²-y+1=0 (D) y ²-2y-1=04、下列方程没有实数根的方程是（ ）(A) x ²+3x =0 (B)2004 x ²+56x-1=0(C)2004 x ²+56x+1=0 (D) (x -1)(x -2)=05、若分式m x x +-212不论x 取何值总有意义，则m 的取值范围是（ ）(A)m ≥1 (B)m >1 (C)m ≤1 (D)m <16、关于x 的一元二次方程x ²-2x+2k =0有实数根，则k 的取值范围是 （ ）（A ）k <21 （B ）k ≤21 （C ）k >21 （D ）k ≥217、已知关于x 的方程x ²-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m 的值是（ ）（A ） 5 （B ）-1 （C ）5或-1 （D ）-5或18、用换元法解方程 x ²+x-1=x x +26时，如果设x ²+x=y ，那么原方程可变形为（ ）（A ） y ²-y-6=0 （B ）y ²-y+6=0（C ）y ²+y-6=0（D ）y ²+y+6=09、如果方程组⎩⎨⎧=+=xy m x y 422只有一个实数解，那么m 的值为（ ） （A ）-21（B ）21 （C ）-1 （D ）010、王刚同学在解关于x 的方程x ²-3x+c =0时，误将-3x 看作+3x ，结果解得x 1=1 x 2=-4，则原方程的解为（ ）（A ） x 1=-1 x 2=-4（B ）x 1=1 x 2=4（C ）x 1=-1 x 2=4（D ）x 1=2x 2=311、某饲料厂一月份生产饲料500吨，三月份生产饲料720吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为x ，则有（ ）（A ）500（1+x 2）=720 （B ）500(1+x)2=720（C ）500(1+2x)=720 （D ）720(1+x)2=50012、一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米/时，则根据题意所列方程正确的是（ ）（A ）x 312-26312-x =1 （B ）26312+x -x312=1 (C) x 312-26312+x =1 （D ）26312-x -x 312=1 一、 填空题（每题3分，共30分）13、若分式2652-+-x x x 的值为零，则x= 。
一元二次方练习
7．x2-5x+3=0;a=1,b=－5,c=3
解析
试题分析：把 移项在合并同类项,左边为关于x的二次三项式,右边为0,即为一般形式,再找出二次项系数,一次项系数,常数项即可．
考点：一元二次方程的的一般形式和二次项系数,一次项系数,常数项
8．k≤4且k≠0；
解析
试题分析：首先根据非负数的性质求得a、b的值,再由二次函数的根的判别式来求k的取值范围．
故选D
考点：一元二次方程根的判别式
3．B
解析
试题分析：根据题意可得：2 +x=4,则原式=22 +x－3=2×4－3=5．
考点：整体思想进行求解．
4．A．
解析
试题分析：：解方程 得,x=9或4,即第三边长为9或4．当边长为9,3,6不能构成三角形；而4,3,6能构成三角形,所以三角形的周长为3+4+6=13,故答案选A．
2由题知 ,解得 , 答： 的取值范围是
考点：分式的化简、一元二次方程根的判别式．
18．0．2元．
解析
试题分析：设每千克小型西瓜降价x元,根据利润=总售价-总进价-固定成本,列方程 ,解方程即可,根据尽快销售确定方程的解．
试题解析：解：设每千克小型西瓜的售价降低x元．
考点：一元二次方程的应用．
试题解析：∵ ,
∴b-1=0,a-4=0,
解得,b=1,a=4；
又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根,
∴△=a2-4kb≥0且k≠0,
即16-4k≥0,且k≠0,
解得,k≤4且k≠0；
考点：1.根的判别式；2.绝对值；3.算术平方根．
9． ．
解析
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一：
1，基础训练：
1．方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．
例如：一元二次方程7x-3=22x化成一般形式是________•其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________．
2．解一元二次方程的一般解法有
（1）_________；（2）________；（•3）•_________；•（•4）•求根公式法，•求根公式是______________．
3．一元二次方程a2x+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．
例如：不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）2x+9=6x （2）2x-3x=-5
4．设一元二次方程2x+px+q=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=_______，x1·x2=______．
例如：方程2x+3x-11=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=________；x1·x2=_______．5．设一元二次方程a2x+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=•_______，•x1·x2=________．
1，按括号中的要求解下列一元二次方程：
（1）4(1+x)2=9（直接开平方法）；（2）x2+4x+2=0（配方法）；
（3）3x2+2x-1=0（公式法）；（4）(2x+1)2= -3 (2x+1) （因式分解法）
二，课堂练习题：
（1）解方程(x2-1) 2-5(x2-1) 2+4=0
（2）已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是多少？
三：
（1）已知关于x的方程x2-mx-3=0的两实根为x1，x2，若x1+x2=2，求x1，x2的值．。