高三数学立体几何复习：空间中的垂直关系 知识精讲 人教实验版(B)

高三数学立体几何复习：空间中的垂直关系知识精讲人教实验版（B）

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

立体几何复习：空间中的垂直关系

二. 教学目的

掌握空间中的垂直关系及其应用

三. 知识分析

【知识梳理】

【空间中的垂直关系】

1、空间任意直线互相垂直的一般定义

如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为90°，则称这两条直线互相垂直．

2、直线与平面垂直

（1）空间直线与平面垂直的定义：

如果一条直线（AB）和一个平面（α）相交于点O，并且和这个平面内过交点（O）

⊥，直线AB叫做的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作ABα

平面的垂线，平面α叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离．

（2）直线与平面垂直的判定定理：

定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．

推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）直线与平面垂直的性质定理：

定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．

另外，一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的所有直线都垂直．

3、平面与平面的垂直

（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作αβ

⊥．

（2）平面与平面垂直的判定定理：

定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．

（3）平面与平面垂直的性质定理

定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

★★几点说明★★

1、直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线与平面、平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可以从直线和平面、平面和平面的交角为90°的角度讨论，又可以从已有的线线垂直、线面垂直关系出发进行推理和论证，还可以利用向量把几何推理和论证过程转化为代数运算过程．

2、无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”。

3、在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”，那一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，所以使用这些定理时，一定要注意体现逻辑推理的规X 性．

4、空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直，最终达到目的，其转化关系为：

5、注意掌握好以下几个相似结论：

（1）垂直于同一个平面的两条直线平行． （2）垂直于同一条直线的两个平面平行．

（3）垂直于同一个平面的两个平面平行或相交．

（4）垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或者异面．

★空间中的垂直关系★★

【线线垂直的判定】

例1. 如图所示，ABCD 为正方形，SA 垂直于ABCD 所在的平面，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB 、SC 、SD 于E 、F 、G ．

求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD ．

分析：要证AE ⊥SB ，只要证明AE 垂直于SB 所在的平面SBC ，因SC ⊥面AEFG ，BC ⊥面SAB ，所以易得结论．同理要证AG ⊥SD ，只需证明AG ⊥面SDC 即可．

证明：∵SA ⊥平面ABCD ∴SA ⊥BC

又BC ⊥AB ，A AB SA = ，

∴BC ⊥平面SAB ，又AE ⊂平面SAB ∴BC ⊥AE

∵SC ⊥平面AEFG ∴SC ⊥AE

又BC C SC =

∴AE ⊥平面SBC

∴AE ⊥SB ，同理可证AG ⊥SD

点评：本题的证明过程很具有代表性．即证明线线垂直，可先证线面垂直，而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直，在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，由于线线垂直是相互的，应充分考虑线和线各自所在平面的特征，以顺利实现证明需要的转化． 证明线线垂直的常用方法有：

（1）利用定义：同一平面内相交成直角时，两直线互相垂直，异面直线成直角时，两条异面直线互相垂直．

（2）利用线面垂直：一条直线与一平面垂直，这条直线垂直于平面内任一直线． （3）利用向量：把证明两直线垂直问题转化为两直线的方向向量垂直的问题．

【线面垂直的判定及性质】

例2. 如图，已知PA 垂直于矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD ．

分析：要证MN ⊥平面PCD ，只需证明MN 垂直于平面PCD 内的两条相交直线．因为∠PDA=45°，∠PAD=90°，所以PA=AD ，连接MC ，易证Rt △PAM ≌Rt △CBM ，则MP 、MC ，故MN ⊥PC ，由中点想中点，取CD 的中点E ，易证CD ⊥ME ，从而CD ⊥面MNE ，故CD ⊥MN ，因此MN ⊥平面PDC ．

解析：方法一：PA ⊥平面ABCD ⇒PA ⊥AD ，∠PDA=45°⇒PA=AD=BC ， 又M 是AB 的中点， PC MN PC N MC MP CBM Rt PAM Rt ⊥⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫

=的中点是△≌△

设E 为CD 的中点，连接ME ，EN ，

⎭

⎬⎫

⊥⇒⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥NE //PD PD CD PAD CD CD AD CD PA 平面

⎭⎬⎫

⊂⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫

=⊥⊥⇒MNE MN MNE CD E NE ME CD ME NE CD 平面平面

PCD MN C CD PC PC MN CD MN 平面⊥⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫=⊥⊥⇒

方法二：如图，取PD 的中点F ，连接AF ，NF ， ∵F 、N 分别为PD 、PC 的中点，

∴CD 2

1//FN =

又∵AB //CD =

∴AB 21

//

FN =，即AM //FN =

∴四边形AFNM 为平行四边形 ∴MN//AF

∵PA ⊥平面ABCD 且∠PDA=45° ∴△PAD 为等腰直角三角形 ∴AF ⊥PD ① 又∵CD ⊥AD ，CD ⊥PA

∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥AF ② 由①②知AF ⊥平面PDC