高三数学立体几何复习：空间中的垂直关系 知识精讲 人教实验版(B)
人教高中数学B版必修2 空间中的垂直关系 精讲精析
1·2·3. 空间中的垂直关系1.异面直线所成角：(1)异面直线所成角：过空间任意一点作异面直线的平行线，则这两条平行线相交所成角即为这两条异面直线所成角.异面直线所成角的范围：（0，].注：两条相交直线所成角指的是两条相交直线形成的角中较小的角（锐角或直角）.(2)异面直线垂直：如果两条异面直线a ，b 所成角为，则称这两条异面直线垂直，记作：a ⊥b.2.直线与平面所成角 直线与平面所成角：平面外一直线与平面相交，则该直线与它在该平面内的射影所成的角称为直线与平面所成的角；若直线与平面平行，则该直线与平面所成角为0；若直线a 与平面α内任何一条直线都垂直，那么称该直线与该平面垂直，记做：a ⊥α，此时称该直线a 是平面α的一条垂线.说明：①直线与平面所成角是直线与平面上任意一条直线所成角中最小的角；②直线与平面所成角的定义分为三个部分，分别定义了直线与平面斜交、平行和垂直.思考：画直线与平面垂直相交时，怎样画可使得垂直的直观性显得更强烈呢？——让直线与表示平面的平面多边形的一条边垂直（如下图所示）.直线与平面所成角的范围：α∈[0，].①直线与平面平行时，α=0；2π2π2π②直线与平面垂直时，α=；③直线与平面斜交时，α∈（0，）.3.平面与平面所成角(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面；(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；以直线AB 为棱、半平面α，β为面的二面角记作二面角α－AB －β.(3)二面角的平面角：以二面角的棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，如图所示的∠AOB.平面角是直角的二面角叫做直二面角.说明：二面角的取值范围：[0，π].思考：当二面角取值分别为0，，π时，其面所在的平面分别是什么关系？试着画一画.(4)两个平面互相垂直：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β，如下图中的两个阴影部分所示的平面相互垂直.4.异面直线垂直的判定方法 (1)利用定义：过空间任意一点作这两条异面直线的平行线，证明这两条平行线互相垂直； 说明：①实践中常常是过空间某一特殊点作这两条异面直线的平行线，如某线段的中点、端点，或某两条直线的交点，几何体的某顶点等；②作出平行线后，常利用解三角形的方法证明这两条异面直线的平行线所成角为直角，即将该角作为某三角形的内角进行研究.(2)利用线面垂直的性质：若线面垂直，则该直线与平面内任一直线都垂直；2π2π2π利用重要结论（三垂线定理及其逆定理）：①三垂线定理：平面内一条直线a与平面的一条斜线b垂直，则该直线a与b在平面内的射影c垂直；②三垂线定理的逆定理：平面内一条直线a与平面的一条斜线b在平面上的射影c垂直，则该直线a与斜线b垂直.5.直线与平面垂直的判定方法(1)利用定义：直线与平面上任意一条直线都垂直，则该直线和该平面垂直；说明：运用定义法时，一般地要先将任意直线间的关系转化为特殊直线间的关系；以后还可以借助向量法，比较简捷.(2)利用直线与平面垂直的判定定理：平面外一条直线和平面内两条相交直线垂直，则该直线和该平面垂直.(3)利用平面和平面垂直的性质：两个平面互相垂直，则在一个平面内作交线的垂线也垂直于第二个平面.(4)利用平面和平面垂直的性质：两个相交平面和第三个平面垂直，则这两个相交平面的交线与第三个平面也垂直.(5)利用平面与平面平行的性质：一条直线垂直于平行平面中的一个，则其必垂直于另一个平面.(6)利用直线与平面垂直的性质：平行线中的一条与一平面垂直，则另一条也与该平面垂直.6.平面和平面垂直的判定方法(1)利用定义：两个平面相交形成直二面角，则这两个平面垂直；说明：利用定义法往往需要作出二面角的平面角；(2)利用平面垂直的判定定理：一个平面经过或平行于另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；(3)利用结论：如果两个平面的垂线互相垂直，则这两个平面互相垂直.7.直线与平面垂直的性质(1)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行；(2)直线和平面垂直的性质：平面的垂线与平面的平行线互相垂直.(3)直线和平面垂直的性质：直线和平面垂直，则该直线和平面内任意一条直线都垂直.（线面垂直的定义）(4)直线和平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.(5)直线和平面垂直的性质：过一点作平面的垂线，有且只有一条.8.平面与平面垂直的性质(1)平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.(2)平面与平面垂直的性质：两个平面互相垂直，则过第一个平面内的任意一点作第二个平面的垂线一定属于第一个平面.(3)平面与平面垂直的性质：两个平面相交且都和第三个平面垂直，那么它们的交线也和第三个平面垂直.1. 在三棱台中，侧棱⊥底面，且．求证：BC ⊥A1B【解析】证明：因为BC ⊥BB1，BC ⊥AB ，故由线面垂直的判定定理可知：BC ⊥平面AA1B1B ，即得BC ⊥A1B.说明：在几何体中判定两条异面直线垂直，最主要的思路有二，一是由线面垂直进行论证，二是根据异面直线垂直的定义，采用构造的方法进行论证.当然，以后我们还有更好的方法（向量法）.2. 如图，直三棱柱中，，侧面的两条对角线交于点，的中点为，求证：平面【解析】证明：连结，∵∴，在直三棱柱中，∴平面，∵，∴，∴，∵是侧面的两条对角线的交点，∴是与的中点，∴，连结，取的中点，连结，则，∵平面，∴平面，∴是在平面内的射影.在ABC C B A -1111BB ABC 2ABC π∠=111ABC A B C -90,1,ACB AC CB ∠===11AA =11AA B BD 11B C M CD ⊥BDM 1A C90,ACB ∠=BC AC ⊥111ABC A B C -1CC AC ⊥AC ⊥1CB 11AA =1AC =1AC =1A C BC=D 11AA B BD 1A B1AB CD BD ⊥1B C1B CO DO //DO AC AC ⊥1CB DO ⊥1CB CO CD 1B C 1BB C∆中，在中，∴，∴，∴平面3. 如图，为正三角形，平面，，且，是的中点，3.求证：（1）平面平面；（2）平面平面. 【解析】证明：（1）点M 、B 与AC 中点N连接，如图.则，故MN BD ，从而MD//NB.因为NB ⊥AC ，NB ⊥CE ，故NB ⊥平面ECA ，从而：MD ⊥平面ECA.由面面垂直的判定定理可知：平面BDM ⊥平面ECA.（2）由（1）知，MD ⊥平面ECA ，由面面垂直的判定定理可知：平面DEA⊥平面ECA. 说明：判定面面垂直的主要思路是其判定定理，即由线面垂直判定面面垂直.4. 如图，矩形所在的平面，分别是的中点， （1）求证：平面； （2）求证：（3）若，求证：平面.【解析】证明：（1）点N 、A 与PD 的中点E 连接，如图：则EN 是△PCD 的中位线，故NE AM ，故MN AE.1tan BB C ∠=1BB M∆1tan BMB ∠=11BB C BMB ∠=∠1B C BM⊥,CD BM BM BD B ⊥= CD ⊥BDM ABC ∆EC ⊥ABC //BD CE 2CE CA BD ==M EA BDM ⊥ECA DEA ⊥ECA CE 21MN //=//=PA ⊥ABCD ,M N ,AB PC //MN PAD MN CD ⊥4PDA π∠=MN ⊥PCD //=//=由线面平行的判定定理：MN//平面PAD.（2）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ；又CD ⊥AD ，由线面垂直的判定定理可知：CD ⊥平面PAD ，故CD ⊥AE ；又AE//MN ，故CD ⊥MN.（3）若，则AE ⊥PD ；又，AE ⊥CD ，故AE ⊥平面PCD ；由AE//MN ，故MN ⊥平面PCD.5. 四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．【解析】解：（Ⅰ）取中点，连接交于点，，，又面面，面， ．， ，，即， 面，．（Ⅱ）在面内过点作的垂线，垂足为．，，面，， 则即为所求二面角的平面角．，，， ，则cos ∠CGE=， 4PDA π∠=A BCDE -BCDE ABC ⊥BCDE 2BC=CD =AB AC =AD CE ⊥CE ABE 45C ADE --BC F DF CE O AB AC =∴AF BC ⊥ABC ⊥BCDE ∴AF ⊥BCDE ∴AF CE⊥tan tan 2CED FDC ∠=∠=∴90OED ODE ∠+∠= 90DOE ∴∠=CE DF ⊥CE ∴⊥ADF CE AD ∴⊥ACD C AD G CG AD ⊥CE AD ⊥AD ∴⊥CEG EG AD ∴⊥CGE ∠332=⋅=AD CD ACCG DG=EG ==CE =10102222-=⋅-+GE CG CE GE CGπarccosCGE∴∠=-⎝⎭C AD E--πarccos-⎝⎭，即二面角的大小为．。
高中数学：1.2.3《空间中的垂直关系》名师课件(新人教B版必修2)
3、已知PD矩形平面ABCD所在平面, 图中互相垂直的平面有几对?
P
D A
C B
4. 在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、 G分别是CD、DA、AC的中点。求证：平面BEF⊥平面
BGD
5. 四面体SABC中，△ABC是等腰三角形，AB=BC=2a，
∠ABC=1200，且SA⊥平面ABC，SA=3a。求A到平面SBC的距
α A 如果平面 ⊥平面 β ,那么平面 α 内一定存在
直线平行于平面 β
B如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 α 内所有直
线都垂直于平面 β
C如果平面 α 不垂直于平面 β ，则平面 α 内一
定不存在直线垂直于平面 β
D如果平面 α 、β 都垂直于平面γ，且 α与 β交
于直线 a，则 a ⊥平面γ
面面垂直的判定与性质
新知1:两面面垂直的定义：
如果两个平面上分别垂直于交线的两直线也 垂直，那么就说这两个平面互相垂直.
α
符号语言
Aa D
CD
β
AB BE
Bb E
C
AB CD BE CD
ABE 90
新知2:平面与平面垂直的判定定理
平面ABE⊥平面BCD
拓展研究1:
如果交换判定定理中的条件
“BA⊥β”和结论“α⊥β”．
即
，也就是从平面与平面垂直
出发，能否推出1
B1 A1
D
E
C
β
A
B
思考：如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？ (2)什么情况下α里的直线和β垂直？
新知3:平面与平面垂直的性质定理：
人教B版高中数学必修二1.2.3空间中的垂直关系.doc
1.2.3空间中的垂直关系【目标要求】1.了解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理.2.使学生掌握两个平面垂直的性质定理及其证明．并能应用判定定理和性质定理解决简单问题；3.了解射影等有关的概念，了解三垂线定理及其逆定理.【巩固教材——稳扎马步】1.直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是（）A.平行B.垂直C.在平面α内D.无法确定2.菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是（）A.平行B.斜交C.垂直相交D.垂直但不相交3.平面α上有不共线三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（）A.平行B.相交C.平行或相交D.垂直4.下列说法正确的是（）A.平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂直，则平面α⊥平面βB.过平面α外一点P有且只有一个平面β和平面α垂直C.直线l∥平面α，l⊥平面β，则α⊥βD.垂直于同一平面的两个平面平行【重难突破——重拳出击】5.已知l⊥α，m⊂β，则下面说法中正确的是（）①α∥β则l⊥m ②α⊥β则l∥m ③l∥m则α⊥β④l⊥m则α∥βA.①②B.③④C.②④D.①③6.设P、Q、R分别是长方体的棱AA1、AB、AD上异于点A的任意一点，则△PQR的形状为（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形D.以上都有可能A BCD D 1 O A 1 B 1C 1G图1.2.3-17.下列说法中正确的个数是 （ ） ①若直线a //平面α，平面α⊥平面β，则a ⊥β; ②平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α⊥γ； ③直线a ⊥平面α，平面α⊥平面β，则a //β；④ 平面α//平面β，直线a ⊂平面α，则a //β． A.1 B.2 C.3 D .48.若有平面α与β，且,,,l P P l αβαβα=⊥∈∉，则下列说法不正确的是 （ ）A.过点P 且垂直于α的直线平行于βB.过点P 且垂直于l 的平面垂直于βC.过点P 且垂直于β的直线在α内D.过点P 且垂直于l 的直线在α内 9.下面各选项中，不正确是 （ ）A. 平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交 D .垂直于同一直线的两个平面平行10.过空间一点的三条直线两两垂直则由它们确定的平面中互相垂直的有（ ） A .0对 B .1对 C .2对 D .3对11.两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是（ ）A.垂直B.相交或平行C.平行或垂直 D .不能确定 12.经过平面外的两点作与该平面垂直的平面，那么 （ ）A .有且只有1个B .无数个C . 1个或无数个D . 最多有2个 【巩固提高——登峰揽月】13.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，G 为CC 1的中点，O 为底面ABCD 的中心.求证：A 1O ⊥平面GBD .14. 已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ⊥CD . （2）若∠PDA=45°，求证MN ⊥面PCD .P【课外拓展——超越自我】15. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知P ，Q ，R ，S 分别为棱A 1D 1，A 1B 1，AB ，BB 1的中点，求证：平面PQS ⊥平面B 1RC .1.2.3空间中的垂直关系【巩固教材——稳扎马步】 1.D 2.D 3.C 4.C【重难突破——重拳出击】5.D6.B7.A8.D9.A 10.D 11.D 12.C 【巩固提高——登峰揽月】 13. 证明：GBDO A OG BD OGO A GA OG O A a a a G C C A G A a a a CG OC OG a a a AO A A O A OA BD AO A O A AD A BD BD AC BD A A 平面又又面平面⊥=⋂⊥∴=+∴=+=+==+=+==+=+=⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥112122122221211212222222222212111111049)2()2(43)2()22(23)22(图1.2.3-3 SCPQ B 1A B D D 1A 1 C 1 R14. 证明：,:.(//,//,21,//.21,//,,,)1(或直接用三垂线定理注平面平面面平面为平行四边形四边形又则连中点为又中点取AE CD ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA AE MN AMNE NE AM CD AM CD AM CD NE CD NE NE PC N E PD ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥∴∴∴===.,,//,,45)2(PCD MN D CD PD PD MN AE MN PD AE PAD Rt PDA 平面又则为等腰直角三角形时当⊥∴=⋂⊥∴⊥∆=∠ 【课外拓展——超越自我】15. 证明：连结BC 1交B 1C 于O ，则O 为BC 1的中点 连结RO ，AC 1，∵R 是AB 的中点 ∴RO∥AC 1 ∵P,Q 分别为A 1D 1，A 1B 1的中点，易知A 1C 1⊥PQ ∴AC 1⊥PQRCB PQS RC B RO PQS RO PQS AC AC OS 1111面面面又面面同理证⊥∴⊂⊥∴⊥∴⊥。
人教版高中必修2(B版)1.2.3空间中的垂直关系教学设计
人教版高中必修2(B版)1.2.3空间中的垂直关系教学设计一、教学目标1.了解空间中垂直关系的概念和性质，掌握相关的基本概念和定义；2.能够运用垂直关系的定义，判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直，解决与垂直相关的简单问题；3.通过垂直关系的学习，增强学生的空间想象能力和数学思维水平。
二、教学重点和难点1.垂直关系的定义和应用；2.掌握判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直的方法；3.解决与垂直相关的简单问题。
三、教学方法本课采用讲授、讨论和练习相结合的教学方法，倡导“启发式”教学，让学生在教师的引导下自主思考，发掘规律和方法，并通过课堂讨论和解决问题的过程中加深对知识的理解和记忆。
四、教学步骤1. 引入（10分钟）通过一个有趣的例子，激发学生对垂直关系的兴趣，引导学生了解垂直关系的概念和性质。
举例：小明在修建房屋时，需要确定柱子是否和地面垂直。
那么，垂直现象出现在我们生活中的哪些场合呢？2. 讲解垂直关系的基本概念和定义（20分钟）通过演示、讲解等方式，介绍垂直关系的定义和性质，如“两条直线垂直的条件是什么？两个平面垂直的条件是什么？”等等。
3. 探究垂直关系的应用（30分钟）带领学生探究判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直的方法和步骤，并通过练习，帮助学生巩固相关知识，增强应用能力。
4. 实际应用（30分钟）分组或个人作业，设计一些实际问题，让学生通过运用垂直关系的知识，解决实际问题。
举例：如何确定大型建筑物的每根柱子是否与地面垂直？5. 总结（10分钟）对本节课的重点知识、难点问题进行总结，并对学生问题进行答疑解惑，解决学生的困惑。
五、教学工具黑板、粉笔、几何模型、PPT等。
六、教学评价1.通过课堂练习，检验学生对垂直关系的掌握程度；2.通过实际应用的作业，检验学生对垂直关系的应用能力；3.通过教师观察、记录等方式，评价学生的表现和进步情况。
人教版高中必修2(B版)1.2.3空间中的垂直关系课程设计
人教版高中必修2(B版)1.2.3空间中的垂直关系课程设计一、课程目标通过本课程的学习，学生将能够：1.掌握空间直线和平面的基本概念和相关性质；2.理解垂直关系的定义和特性；3.熟练掌握垂直关系的判定方法，并能在实际问题中运用；4.培养学生的空间想象和几何证明能力。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括以下三个部分：1. 空间直线和平面的基本概念和相关性质1.直线的定义及其特点；2.平面的定义及其特点；3.直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及其判定方法；4.直线和平面的交、垂足、投影等概念。
2. 垂直关系的定义和特性1.垂直关系的定义；2.垂直关系的性质；3.正交坐标系的建立及其应用。
3. 垂直关系的判定方法和实际应用1.垂直关系的判定方法；2.垂线的性质；3.垂直关系在直线、平面交角和空间角中的应用；4.垂足、投影的实际应用。
三、教学过程1. 导入（15分钟）介绍本课程的教学目标和内容，并通过展示直线、平面和正交坐标系等教具，激发学生的学习兴趣和想象力。
2. 知识点讲解（80分钟）根据教学大纲，系统地讲解课程中的相关知识点，包括各种概念、定理、性质、判定方法和应用等，同时通过具体的几何图形和实际问题进行讲解和解题指导。
3. 课堂练习（50分钟）组织学生进行课堂练习，加强对知识点的理解和掌握，同时培养学生的几何想象和证明能力。
4. 课后作业（15分钟）布置课后作业，要求学生巩固和扩展课堂所学知识点，同时要求学生归纳总结本课程的学习内容。
四、教学方法本课程采用多种教学方法相结合，包括讲授法、演示法、问答式教学、小组讨论和课堂练习等，旨在提高学生的学习兴趣和参与度，加强知识点的记忆和理解，培养学生的科学思维和解决问题的能力。
五、教学评估本课程采用多项评估方法，包括课堂表现评估、课堂练习成绩评估和课后作业评估等，旨在全面评估学生对本课程所学内容的掌握和应用能力。
同时，也为调整和优化教学过程提供参考和依据。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修2 1.2.3 空间中的垂直关系》
高中数学人教B版必修2
空间的垂直关系（第一课时）教学设计
线与平面垂直，
并归纳直线与
平面垂直的判
定定理。
【教师】巡视学
生的实践活动，
用
α
⊥a b a ,//.α⊥b ，n ． 根据直线与平面垂直的定义知
.,n a m a ⊥⊥又因为a b //
n m n m ,,,αα⊂⊂是两条相交
直线，
【学生】独立思考，并给出证
明，之后小组交
流， 【教师】巡视，指导，用
ααα⊥PO
1.在空间四边形ABCD 中, DA ⊥面
ABC, AC ⊥BC, 若AE ⊥ DB,
AF ⊥ DC
求证：EF ⊥DB
3.如图：已知：
A
PA 于，αβα⊥= ,B PB 于β⊥Q AQ 于 ⊥,
求证： ⊥BQ
l Q B
A
P
αβ
板书设计
直线与平面垂直
一、直线与直线垂直的定义 二、直线与平面垂直的定义 a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c 若α⊂⊥a a ，任意性)( ，则α⊥ 作用：证明线线垂直
三、直线与平面垂直的性质 四、直线与平面垂直的判定定理 m m ⊥⇒⎩⎨⎧⊂⊥ αα
ααα⊥⇒⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l P n m n m ,,,
五、直线与平面垂直的推论a∥b，b⊥α，则a⊥α。
人教B版高中数学必修2-1.2教学教案-空间中的垂直关系：平面与平面垂直
1.2.3 空间中的垂直关系平面与平面垂直一、教材分析平面与平面的垂直是两个平面的一种重要的位置关系.是继教材直线与直线的垂直、直线与平面的垂直之后的迁移与拓展.这一节的学习对理顺学生的知识架构体系、提高学生的綜合能力起着重要的作用.二、学生分析学生通过学习直线与直线的垂直、直线与平面的垂直,已经初步掌握了线线垂直与线面垂直的判定和性质.这为学生学习平面与平面垂直的判定定理与性质定理打下了良好的基础.但是,有一部分学生的空间象想能力和逻辑思维能力较差，因此，在学习的过程仍有一定的难度,教学中必须注意这一点.三、设计理念学生是学习和发展的主体,教师是学习活动积极的组织者和引导者.立体几何的学习主要培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力,因此在学习与教学过程中应充分发挥学生在学习中的主动性和创造性, 通过探究性的学习方法,使学生在不断的探究学习的过程中积极参与、独立思考.多媒体与教具的应用是教学情景的设置、表现立体几何中丰富多彩的线面关系、加深定理与性质的理解的一个重要手段.也是教师调动学生的情感体验、关注学生的学习兴趣和诱导学生积极独立思考的重要方法，为实现学生的主体地位起着重要的作用.四、教学目标理解和掌握面面垂直的定义、判定定理及性质定理，并能应用定理解决相关问题五、教学重点、难点教学重点：两个平面垂直的定义、判定定理、性质定理。
教学难点：两个平面垂直的定义、判定定理、性质定理的推导及应用。
六、教学方法与教学手段教学方法：本节课采用“问题探究式”教学法，通过观察、归纳、启发探究，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动．．教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大教学容量，提高效率。
（1）新课引入：提出问题，激发学生的求知欲。
（2）定义的讲解：让学生自己分析定义中的两个垂直，并和以前的知识建立联系。
（3）判定定理的分析：通过两个实际的例子，让学生自己分析两个平面怎样才能垂直，归纳定理的内容。
再进一步分析定理。
人教B版高中数学必修二1.2.3空间中的垂直关系
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）1.2.3空间中的垂直关系【目标要求】1.了解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理.2.使学生掌握两个平面垂直的性质定理及其证明．并能应用判定定理和性质定理解决简单问题；3.了解射影等有关的概念，了解三垂线定理及其逆定理.【巩固教材——稳扎马步】1.直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是（）A.平行B.垂直C.在平面α内D.无法确定2.菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是（）A.平行B.斜交C.垂直相交D.垂直但不相交3.平面α上有不共线三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（）A.平行B.相交C.平行或相交D.垂直4.下列说法正确的是（）A.平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂直，则平面α⊥平面βB.过平面α外一点P有且只有一个平面β和平面α垂直C.直线l∥平面α，l⊥平面β，则α⊥βD.垂直于同一平面的两个平面平行【重难突破——重拳出击】5.已知l⊥α，m⊂β，则下面说法中正确的是（）①α∥β则l⊥m ②α⊥β则l∥m ③l∥m则α⊥β④l⊥m则α∥βA.①②B.③④C.②④D.①③6.设P、Q、R分别是长方体的棱AA1、AB、AD上异于点A的任意一点，则△PQR的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能7.下列说法中正确的个数是（）A B C DD 1 O A 1B 1C 1G图1.2.3-1①若直线a //平面α，平面α⊥平面β，则a ⊥β; ②平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α⊥γ； ③直线a ⊥平面α，平面α⊥平面β，则a //β；④ 平面α//平面β，直线a ⊂平面α，则a //β． A.1 B.2 C.3 D .48.若有平面α与β，且,,,l P P l αβαβα=⊥∈∉，则下列说法不正确的是 （ ）A.过点P 且垂直于α的直线平行于βB.过点P 且垂直于l 的平面垂直于βC.过点P 且垂直于β的直线在α内D.过点P 且垂直于l 的直线在α内9.下面各选项中，不正确是 （ ）A. 平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交 D .垂直于同一直线的两个平面平行10.过空间一点的三条直线两两垂直则由它们确定的平面中互相垂直的有（ ） A .0对 B .1对 C .2对 D .3对11.两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是（ ）A.垂直B.相交或平行C.平行或垂直 D .不能确定 12.经过平面外的两点作与该平面垂直的平面，那么 （ ）A .有且只有1个B .无数个C . 1个或无数个D . 最多有2个 【巩固提高——登峰揽月】13.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，G 为CC 1的中点，O 为底面ABCD 的中心.求证：A 1O ⊥平面GBD .14. 已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ⊥CD . （2）若∠PDA=45°，求证MN ⊥面PCD .P AMND【课外拓展——超越自我】15. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知P ，Q ，R ，S 分别为棱A 1D 1，A 1B 1，AB ，BB 1的中点，求证：平面PQS ⊥平面B 1RC .1.2.3空间中的垂直关系【巩固教材——稳扎马步】 1.D 2.D 3.C 4.C【重难突破——重拳出击】5.D6.B7.A8.D9.A 10.D 11.D 12.C 【巩固提高——登峰揽月】 13. 证明：GBDO A OG BD OGO A G A OG O A a a a G C C A G A a a a CG OC OG a a a AO A A O A OA BD AO A O A AD A BD BD AC BD A A 平面又又面平面⊥=⋂⊥∴=+∴=+=+==+=+==+=+=⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥112122122221211212222222222212111111049)2()2(43)2()22(23)22(14. 证明：图1.2.3-3 SCPQ B 1A B D D 1A 1 C 1 R,:.(//,//,21,//.21,//,,,)1(或直接用三垂线定理注平面平面面平面为平行四边形四边形又则连中点为又中点取AE CD ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA AE MN AMNE NE AM CD AM CD AM CD NE CD NE NE PC N E PD ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥∴∴∴===.,,//,,45)2(PCD MN D CD PD PD MN AE MN PD AE PAD Rt PDA 平面又则为等腰直角三角形时当⊥∴=⋂⊥∴⊥∆=∠ 【课外拓展——超越自我】15. 证明：连结BC 1交B 1C 于O ，则O 为BC 1的中点 连结RO ，AC 1，∵R 是AB 的中点 ∴RO∥AC 1 ∵P,Q 分别为A 1D 1，A 1B 1的中点，易知A 1C 1⊥PQ ∴AC 1⊥PQRCB PQS RC B RO PQS RO PQS AC AC OS 1111面面面又面面同理证⊥∴⊂⊥∴⊥∴⊥。
高中数学第三章空间向量与立体几何章末复习课件新人教B版选修2_1
α⊥β⇔μ⊥v⇔_μ_·_v_＝__0_
l，m的夹角为θ
0≤θ≤π2，cos
|a·b| θ＝_|_a_||_b_| _
l，α的夹角为θ
0≤θ≤π2， sin
|a·μ| θ＝_|_a_||_μ_| _
|μ·v| α，β的夹角为θ 0≤θ≤π2， cos θ＝__|μ__||v_|__
2.用坐标法解决立体几何问题 步骤如下： (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)写出相关点的坐标及向量的坐标； (3)进行相关坐标的运算； (4)写出几何意义下的结论.
题型二 利用空间向量解决位置关系问题
例2 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中 点，求证： (1)PC∥平面EBD；
(2)平面PBC⊥平面PCD.
反思感悟 (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线 向量. (2)证明线面平行的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. ②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线. ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量 是共面向量.
线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直
l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R l∥α⇔_a_⊥__μ_⇔_a_·_μ_＝__0_
α∥β⇔μ∥v⇔_μ_＝__k_v_，__k_∈__R_ l⊥m⇔_a_⊥__b__⇔_a_·_b_＝__0_
l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ，k∈R
面面垂直 线线夹角 线面夹角 面面夹角
跟踪训练2 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证： 平面AED⊥平面A1FD1.
题型三 利用空间向量求角
例3 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点. (1)求点C到平面A1ABB1的距离；
2022版新高考数学人教B版一轮复习课件：第八章第四节空间中的垂直关系
(2)选C.因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，BC⊥BD，所 以BD⊥平面ABC，又AC⊂ 平面ABC，所以BD⊥AC，故①正确．因为 BD⊥AC，BD⊥BC，AC∩BC＝C，所以BD⊥平面ABC，又因为BD⊂ 平面 ABD，所以平面ABD⊥平面ABC，故②正确．因为AC⊥AB，BD⊥AC， AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC⊂ 平面ACD，所以平面ACD⊥平面 ABD，故③正确．
【基本技能小测】
1．已知直线 l1⊥平面 α，直线 l2⊂ 平面 α，则下列结论一定不正确的是( )
A．l1，l2 相交
B．l1，l2 异面
C．l1∥l2
D．l1⊥l2
【解析】选C.由平面的垂线的定义可知，在平面α内肯定不存在与直线l1平行 的直线．
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( ) A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 【解析】选C.如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1⊂ 平面BCC1B1，从 而A1B1⊥BC1. 又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂ 平面 A1B1CD，所以A1E⊥BC1.
第四节 空间中的垂直关系
必备知识·自我排查
【基础知识梳理】 1．直线与直线垂直 (1)定义：若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直 角，则称这两条直线互相垂直． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它就和平面内的任意一条直线垂直． 2．直线与平面垂直 (1)定义：直线l与平面α内的__任__意_一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相 垂直. (2)判定定理与性质定理：
(2)如图，在三棱锥A-BCD中，AC⊥AB，BC⊥BD，平面ABC⊥平面BCD.
(新课改地区)2021版高考数学一轮复习第八章立体几何初步8.4空间中的垂直关系课件新人教B版
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内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.直线与平面垂直 (1)定义：直线l与平面α内的_任__意__一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相 垂直.
(2)判定定理与性质定理：
文字语言 一条直线与一个平面 判定 内的两条_相__交__直线垂 定理 直，则该直线与此平 面垂直
(3)判定定理与性质定理：
文字语言
判定 定理
一个平面过另一个平 面的_垂__线__，则这两个
平面垂直
两个平面垂直，则一 性质 个平面内垂直于_交__线__
定理 的直线与另一个平面
垂直
图形语言
符号语言
【常用结论】 1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 2.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面. 3.三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直. 4.三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜 线的射影垂直.
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( ) (2)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. ( ) (3)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.( ) (4)若α⊥β,a⊥β,则a∥α. ( ) (5)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面. ( ) (6)如果两个平面所成的二面角为90°,则这两个平面垂直.( )
所以AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高. 同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高, 即O为△ABC的垂心. 答案:垂
高一数学空间中的垂直关系人教实验B版知识精讲
高一数学空间中的垂直关系人教实验B 版【本讲教育信息】一 教学内容：空间中的垂直关系二、学习目标1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。
三、知识要点1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。
2、直线与平面垂直的判定：常用方法有：①判定定理： ,,,P b a b a =⋂⊂⊂αα α⊥⇒⊥⊥l b l a l ,② b ⊥α, a ∥b ⇒a ⊥α；（线面垂直性质定理）③α∥β,a ⊥β⇒a ⊥α（面面平行性质定理）④α⊥β，α∩β=，a ⊥，a ⊂β⇒a ⊥α（面面垂直性质定理）3、直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
（ a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ） ②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（b a b a ⊥⇒⊂⊥αα,）4、点到平面的距离的定义： 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。
特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。
5、平面与平面垂直的定义及判定定理：（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直。
记作：平面α⊥平面β（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（简称：线面垂直，面面垂直）6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
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高三数学立体几何复习：空间中的垂直关系知识精讲人教实验版（B）【本讲教育信息】一. 教学内容：立体几何复习：空间中的垂直关系二. 教学目的掌握空间中的垂直关系及其应用三. 知识分析【知识梳理】【空间中的垂直关系】1、空间任意直线互相垂直的一般定义如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为90°，则称这两条直线互相垂直．2、直线与平面垂直（1）空间直线与平面垂直的定义：如果一条直线（AB）和一个平面（α）相交于点O，并且和这个平面内过交点（O）⊥，直线AB叫做的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作ABα平面的垂线，平面α叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离．（2）直线与平面垂直的判定定理：定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）直线与平面垂直的性质定理：定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．另外，一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的所有直线都垂直．3、平面与平面的垂直（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作αβ⊥．（2）平面与平面垂直的判定定理：定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．（3）平面与平面垂直的性质定理定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．★★几点说明★★1、直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线与平面、平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可以从直线和平面、平面和平面的交角为90°的角度讨论，又可以从已有的线线垂直、线面垂直关系出发进行推理和论证，还可以利用向量把几何推理和论证过程转化为代数运算过程．2、无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”。
3、在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”，那一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，所以使用这些定理时，一定要注意体现逻辑推理的规X 性．4、空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直，最终达到目的，其转化关系为：5、注意掌握好以下几个相似结论：（1）垂直于同一个平面的两条直线平行． （2）垂直于同一条直线的两个平面平行．（3）垂直于同一个平面的两个平面平行或相交．（4）垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或者异面．★空间中的垂直关系★★【线线垂直的判定】例1. 如图所示，ABCD 为正方形，SA 垂直于ABCD 所在的平面，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB 、SC 、SD 于E 、F 、G ．求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD ．分析：要证AE ⊥SB ，只要证明AE 垂直于SB 所在的平面SBC ，因SC ⊥面AEFG ，BC ⊥面SAB ，所以易得结论．同理要证AG ⊥SD ，只需证明AG ⊥面SDC 即可．证明：∵SA ⊥平面ABCD ∴SA ⊥BC又BC ⊥AB ，A AB SA = ，∴BC ⊥平面SAB ，又AE ⊂平面SAB ∴BC ⊥AE∵SC ⊥平面AEFG ∴SC ⊥AE又BC C SC =∴AE ⊥平面SBC∴AE ⊥SB ，同理可证AG ⊥SD点评：本题的证明过程很具有代表性．即证明线线垂直，可先证线面垂直，而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直，在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，由于线线垂直是相互的，应充分考虑线和线各自所在平面的特征，以顺利实现证明需要的转化． 证明线线垂直的常用方法有：（1）利用定义：同一平面内相交成直角时，两直线互相垂直，异面直线成直角时，两条异面直线互相垂直．（2）利用线面垂直：一条直线与一平面垂直，这条直线垂直于平面内任一直线． （3）利用向量：把证明两直线垂直问题转化为两直线的方向向量垂直的问题．【线面垂直的判定及性质】例2. 如图，已知PA 垂直于矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD ．分析：要证MN ⊥平面PCD ，只需证明MN 垂直于平面PCD 内的两条相交直线．因为∠PDA=45°，∠PAD=90°，所以PA=AD ，连接MC ，易证Rt △PAM ≌Rt △CBM ，则MP 、MC ，故MN ⊥PC ，由中点想中点，取CD 的中点E ，易证CD ⊥ME ，从而CD ⊥面MNE ，故CD ⊥MN ，因此MN ⊥平面PDC ．解析：方法一：PA ⊥平面ABCD ⇒PA ⊥AD ，∠PDA=45°⇒PA=AD=BC ， 又M 是AB 的中点， PC MN PC N MC MP CBM Rt PAM Rt ⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=的中点是△≌△设E 为CD 的中点，连接ME ，EN ，⎭⎬⎫⊥⇒⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥NE //PD PD CD PAD CD CD AD CD PA 平面⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥⇒MNE MN MNE CD E NE ME CD ME NE CD 平面平面PCD MN C CD PC PC MN CD MN 平面⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥⇒方法二：如图，取PD 的中点F ，连接AF ，NF ， ∵F 、N 分别为PD 、PC 的中点，∴CD 21//FN =又∵AB //CD =∴AB 21//FN =，即AM //FN =∴四边形AFNM 为平行四边形 ∴MN//AF∵PA ⊥平面ABCD 且∠PDA=45° ∴△PAD 为等腰直角三角形 ∴AF ⊥PD ① 又∵CD ⊥AD ，CD ⊥PA∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥AF ② 由①②知AF ⊥平面PDC∴MN ⊥平面PDC方法三：向量法∵四边形ABCD 为矩形，且PA ⊥平面ABCD ，∠PDA=45° ∴PA 、AD 、AB 两两互相垂直 且PA=AD以A 为坐标原点建立如图所示的空间坐标系 设PA=AD=a ，AB=b ， 则A （0，0，0），P （0，0，a ），B （b ，0，0），C （b ，a ，0），D （0，a ，0） ∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2a ,2a ,2b N ,0,0,2b M∴)a ,a ,b (PC ),0,0,b (CD ,2a ,2a ,0MN -=-=⎪⎭⎫⎝⎛=PCMN ,CD MN 0)a (2aa 2ab 0PC MN 002a02a )b (0CD MN ⊥⊥∴=-⨯+⨯+⋅=⋅=⋅+⋅+-⋅=⋅∴即MN ⊥CD ，MN ⊥PC又PC C CD = ∴MN ⊥平面PCD点评：证明线面垂直的方法：（1）利用线面垂直的定义：证一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面． （2）用线面垂直的判定定理：证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直，这条直线与平面垂直．（3）利用线面垂直的性质：两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面．（4）用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．（5）用面面平行的性质定理：一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面．（6）用面面垂直的性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面．（7）利用向量证明．【面面垂直的判定】例3. 如图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠ABC=60°，PC ⊥面ABCD ，PC=a ，E 是PA 的中点．（1）求证：面BDE ⊥面ABCD ； （2）求点E 到面PBC 的距离；（3）求二面角A —EB —D 的平面角的正切值． （1）证明：设O 是AC 、BD 的交点，连接EO ． ∵ABCD 是菱形，∴O 为AC 、BD 的中点， 又E 为PA 的中点，∴EO//PC ，又PC ⊥面ABCD ， ∴EO ⊥面ABCD ，BDE EO 面⊂ ∴面BDE ⊥面ABCD（2）解：EO//PC ，PBC PC 面⊂，EO//面PBC∴点O 到面PBC 的距离等于点E 到面PBC 的距离， 作OF ⊥BC 于F ．∵PC ⊥面ABCD ，PBC PC 面⊂，∴面PBC ⊥面ABCD ，于是OF ⊥面PBC ，OF 的长等于O 到面PBC 的距离．由条件可得a 4321a 23OF ,a 23OB =⨯==∴E 到面PBC 的距离为a 43（3）解：作OG ⊥EB 于G ，连接AG ∵OE ⊥AC ，BD ⊥AC ∴AC ⊥面BDE ∴AG ⊥EB∴∠AGO 是二面角A —EB —D 的平面角∵OE=a 23OB ,a 21PC 21== ∴EB=aa 43EB OB OE OG =⋅=∴又a 21AO =∴332OG AO AGO tan ==∠即所求二面角的正切值为332点评：垂直和平行关系在立体几何问题中无处不在，对垂直和平行关系证明的考查是高考每年必考的内容，多以简单几何体尤其是棱柱、棱锥为主，或直接考查垂直和平行关系的判断及证明，或通过求角和距离间接考查，试题灵活多样．因此，在平时的复习中要善于总结、归纳并掌握此类问题的通性通法，加强空间想象能力，逻辑思维能力及语言表达能力的训练．在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决；而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加．在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化条件和转化运用，这种转化方法是本节内容的显著特征．掌握转化思想方法是解决这类问题的关健．【二面角的求法】例 4. 如图所示，在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC=CD ，∠BCD=90°，︒=∠30ADB ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC（2）求平面BEF 和平面BCD 所成角的余弦值．分析：对于问题（1）可采用“线面关系转化法”证明线面垂直；解决问题（2）可采用“定义法——作角、证明、求值”或面积射影公式求解．（1）证明：利用线面、面面垂直的判定定理和性质定理． 如图所示，⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥⇒⊥⇒⎭⎬⎫==ABC CD B BC AB CD BC CD AB BCD AB CD //EF FD AF EC AE 平面平面ABC BEF BEF EF ABC EF 平面平面平面平面⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒（2）解：如图所示，作EH ⊥BC 于H ，则EH ⊥平面BCD ．因为三个平面BEF ，ACD ，BCD 两两相交，且交线EF//CD ，所以在平面BCD 内过B 作l//CD ，则l 是平面BEF 与BCD 的交线，由BC ⊥CD 知BC ⊥l ，∴BE ⊥l ，∴∠EBH 是平面BEF 与平面BCD 所成二面角的平面角．设AB=1，则262BD BC ,3BD === 在Rt △EHB 中，46BC 21BH ,21AB 21EH ====∴364621BH EH EBH tan ===∠ 又∵∠EBH ],0[π∈∴515EBH cos =∠ 点评：有许多涉及求角与距离的问题（既可以用线面关系和解三角形理论求解，又可以用向量法求解，如果问题能通过一个基底或能建系求点，则可选用向量法，借助向量中的理论求解；否则可直接利用“线线问题 线面问题 面面问题 转 化 转化”来研究，并在研究的基础上比较优劣，优化思维程序和解题方法．【模拟试题】1、已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m//α,n//α，则m//n ； ②若m//α,n ⊥α，则n ⊥m ； ③若m ⊥α，m//β，则α⊥β．其中真命题的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、32、设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则m ⊥β的一个充分条件是（ ）A 、α⊥β，α β=l ，m ⊥lB 、γ⊥βγ⊥α=γα,,mC 、α⊥γ⊥βγ⊥αm ,,D 、α⊥β⊥α⊥m ,n ,n3、给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线1l 、2l 与同一平面所成的角相等，则1l 、2l 互相平行；④若直线1l 、2l 是异面直线，则与1l 、2l 都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、已知正方体ABCD —1111D C B A ，直线1BC 与平面BD A 1所成的角的余弦值是（ ）A 、32 B 、33 C 、22 D 、42 5、若三棱锥S —ABC 的顶点S 在底面上的射影H 在△ABC 的内部，且是△ABC 的垂心，则（ ）A 、三条侧棱长相等B 、三个侧面与底面所成的角相等C 、H 到△ABC 三边的距离相等D 、点A 在平面SBC 上的射影是△SBC 的垂心 6、如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 、△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P ，那么在四面体P —DEF 中，必有（ ）A 、DM ⊥平面PEFB 、PM ⊥平面DEFC 、平面PDE ⊥平面PEFD 、平面PDE ⊥平面DEF7、正方形ABCD 的边长是2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角（如图），M 为矩形AEFD 内一点，如果∠MBE = ∠ MBC ，MB 和平面BCF 所成的角的正切值为12，那么点M 到直线EF 的距离为_______________________8、若正四棱锥的底面边长为23cm ，体积为4cm 3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是_________9、已知平面α和平面β交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为______________．10、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD ，且PA=AB ，点E 是PD 的中点．（1）求证：AC ⊥PB ；（4分） （2）求证：PB//平面AEC ；（3）求二面角E —AC —B 的大小．11、如图，在棱长为1的正方形ABCD —1111D C B A 中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP=m ．（1）试确定m ，使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为23；（2）在线段A 1C 1上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP ？并证明你的结论．12、如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC 是⊙O 的直径，AB=AC=6，OE//AD ．（1）求二面角B —AD —F 的大小； （2）求直线BD 与EF 所成的角．【试题答案】1、C2、D3、D4、B5、D6、C7、228、30° 9、5 10、（1）（2）略 （3）135°11、（1）31m（2）Q 为A 1C 1的中点 12、（1）45°（2）1023arcsin。