新人教B版必修2高中数学课堂设计1.2.3空间中的垂直关系(2)平面与平面垂直学案

1.2.3 空间中的垂直关系(2)——平面与平面垂直

自主学习

学习目标

1．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理，判定两个平面互相垂直．

2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能利用该定理作平面的垂线．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．

自学导引

1．如果两个相交平面的交线与第三个平面______，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相______，就称这两个平面互相垂直．

2．如果一个平面过另一个平面的__________，则两个平面互相垂直．

3．如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．

对点讲练

知识点一面面垂直的证明

例1

如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E 是SA的中点．

求证：平面EDB⊥平面ABCD.

点评将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键，另外利用面面垂直的定义求二面角的平面角是90°(如例1)．

变式训练1

如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分

别为CD、DA和对角线AC的中点．

求证：平面BEF⊥平面BGD.

知识点二面面垂直的性质定理的应用

例2

如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；

(2)求证：AD⊥PB.

点评证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．

变式训练2 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA 的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.

知识点三线线、线面、面面垂直的综合应用

例3

如图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．

(1)求证：PA⊥平面ABC；

(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．

点评证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．

在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．

变式训练3 在直三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，AB＝BC.能否在侧棱BB1上找到一点E，使得截面A1EC⊥侧面AA1C1C？若能找到，指出点E的位置；若不能找到，说明理由．

1．面面垂直的证法 (1)定义法； (2)判定定理法．

2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．至此判定线面垂直的方法主要有以下五种：

(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理； (3)面面垂直的性质定理；

(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，

⎭

⎪⎬⎪

⎫a∥b a⊥α b⊥α.

(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，

⎭

⎪⎬

⎪

⎫α∥βa⊥αβ.

课时作业

一、选择题

1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( ) A ．a⊥β B ．a∥β

C ．a 与β相交

D ．以上都有可能

2．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )

A ．0条

B ．1条

C ．2条

D ．无数条

3．已知m 、n 为不重合的直线，α、β、γ为不重合的平面，则下列命题中正确的是( )

A ．m⊥α，

β，

α⊥β B ．α⊥γ，β⊥γ

α∥β

C ．α∥β，m⊥α，n∥β

D ．α⊥β，α∩β＝m ，β

4.

如图所示，ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，则在平面PAB 、平面PAD 、平面PCD 、平面PBC 及平面ABCD 中，互相垂直的有( )

A．3对B．4对C．5对D．6对

5.

如图所示，在立体图形D—ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC 的中点，则下列命题中正确的是( )

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

二、填空题

6．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：

①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；

α，β，且l⊥m，则α⊥β；

③若β，且l⊥α，则α⊥β；

④若α，β，且α∥β，则l∥m.

其中正确的命题的序号是________．

7．空间四边形VABC的各边及对角线均为1，M是VB的中点，则平面ACM与平面VAB的位置关系是________．

8.

如图所示，已知，PA垂直于圆O所在平面．AB是圆O的直径，C 是圆周上一点．则图中面面垂直的共有________对．

三、解答题

9．在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.

10.

如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝