高中数学导数专题训练
高考数学专题：导数大题专练(含答案)
高考数学专题：导数大题专练(含答案)一、解答题1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；(2)设()2xg x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求实数a 的取值范围.2．已知函数1()2ln f x x x x=+-． (1)求函数的单调区间和极值；(2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <． 3．已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．4．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2xg x x x x x x =-++-，)2e ,x -∈+∞⎡⎣．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值．5．已知函数()2()2e =+-xf x x a ．(1)讨论函数的单调性；(2)若(0,),()x f x a ∈+∞≥-恒成立，求整数a 的最大值． 6．已知函数()e (1)()x f x a x a -=++∈R ． (1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若函数()()ln e g x f x x =-+-在[1,)+∞有唯一的零点，求实数a 的取值范围．7．已知函数()()e ln 1xf x a x =+-+，()'f x 是其导函数，其中a R ∈．(1)若()f x 在(,0)-∞上单调递减，求a 的取值范围；(2)若不等式()()f x f x '≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，求a 的取值范围．8．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx 是()f x 的导函数，()f x ''是fx 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x x x =+与()g x x ()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小；(2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值. 9．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．10．设函数()223ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】 【分析】（1）由()()110ax f x a x xx+=+=>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解； （2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>，①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>， 所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+； ②当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-，在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)由题目知，只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，由变量分离可知2ln xa x-<，[]1,100x ∈， 令()2ln xh x x -=，下面求()h x 的最小值， 令()23ln xh x x-+'=，所以()0h x '=得3x e =， 所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数， 所以()()33min 1h x h e e -==，所以31a e ≤-. 2．(1)减区间()0,1，增区间()1,+∞，极小值3， (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可； （2）构造新函数利用函数单调性去证明121x x <即可. (1)1()2ln (0)f x x x x x =+->，则()()2221111()2(0)x x f x x x x x +-'=--=>由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<， 即()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，在1x =时()f x 取得极小值(1)2103f =+-=，无极大值. (2)不妨设12x x <且()()12f x f x a ==，则101x <<，21>x ，3a >，2101x <<令1()()2ln (0)h x f x a x x a x x=-=+-->，则()()120h x h x ==()()2221111()2x x h x x x x +-'=--=， 则当1x >时()0h x '>，()h x 单调递增；当01x <<时()0h x '<，()h x 单调递减 由()222212ln 0x x h x a x +=--=，得22212ln a x x x =+- 则2222222222211ln 2ln 2ln 1x x x x x h x x x x x ⎛⎫++-+-=-+ ⎪⎛⎫=⎪⎝⎝⎭⎭ 令21t x =，则222112ln 2ln (01)x x t t t x t -+=--<< 令()12ln (01)t m t t t t --<=<，则()()22211210t t tt m t -'=+-=> 即()12ln (01)t m t t t t--<=<为增函数，又()11100m =--=，则()12ln 0m t t tt --<=在(0,1)上恒成立.则222212ln 10x x x h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-<恒成立，则()211h h x x ⎛⎫⎪< ⎝⎭， 又01x <<时()h x 单调递减，101x <<，2101x <<则211x x >，故121x x <3．(1)详见解析； (2)详见解析； 【解析】 【分析】（1）由2a =-，得到2()2ln f x x x =-，然后求导2()2f x x x'=-求解； （2）令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，求导()()21()--'=x a x g x x，分0a ≤，012a <<，12a =，122a<<讨论求解. (1)解：当2a =-时，2()2ln f x x x =-，所以2()2f x x x'=-，令()0f x '=，得1x =，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， 所以1x =是函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，则()()2212(2)()2(2)---++'=+-+==x a x a x a x a g x x a x x x， 当0a ≤时，01x <<时，()0g x '<，12x <≤时，()0g x '>， 所以当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x ∞→+，当()110g a =+>，即10a -<≤，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；当()110g a =+=，即1a =-时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+≥⎪⎩，即21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点；当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+<⎪⎩，即2ln 2a <-，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当012a <<，即02a <<时，02ax <<或1x >时，()0g x '>，12a x <<时，()0g x '<，所以当2ax =时，()g x 取得极大值，当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>恒成立，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当12a =，即2a =时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在(0,2]上递增，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当122a <<，即24a <<时，01x <<或22a x <<时，()0g x '>，12ax <<时，()0g x '<，所以当1x =时，()g x 取得极大值，当2ax =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>，()22ln 20=+<g a ，2ln 20242⎛⎫=-+++> ⎪⎝⎭a a a g a a 恒成立，所以()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点.综上： 当10a -<≤时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；当1a =-或 2ln 2a <-或04a <<时，()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点.4．(1)答案见解析； (2)12a =. 【解析】 【分析】（1）由题可得()11ax f x a xx+'=+=，讨论0a ≥，0a <即得； （2）由题可得()g x '是一个单调递增的函数，利用零点存在定理可得()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，进而可得()0000111ln e e 1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用导数可得001e x x =，结合条件可得00ln 20x ax +=，即求. (1)()11ax f x a x x+'=+=，0x >， 当0a ≥时，函数()f x 在定义域()0,∞+上单调递增； 当0a <时，函数的单调性如表格所示：由题可得()()()22121e 1ln 2e ln 1x xg x x x x x x x x '=-++-++-=++-，0x >，则()g x '是一个单调递增的函数，当2e x -=时，()()2242ee e e e 30g ----'=+-<，当1x =时，()12e 10g '=->，故()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，且所以0x t =，020000e ln 10x g x x x x '=++-=，整理该式有()02000e 1ln x xx x +=-，()000001111e ln xx x x x +=+， ∴()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭令()()21ln ,e m x x x x -=+>，则()2ln 0m x x '=+>，所以函数在()2e ,-+∞上单调递增，故()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解满足001e xx =；又()2ln h x x x ax x =++，()1ln 21h x x ax '=+++，()0002ln 22h x x ax '=++=，所以00ln 20x ax +=，由01e xx =知，0020x ax -+=，故12a =． 5．(1)答案见解析 (2)4 【解析】【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）由(0,),()x f xa ∈+∞≥-恒成立分离常数a ，通过构造函数，结合导数求得a 的取值范围，从而求得整数a 的最大值. (1)()'2(22)e x f x x x a =++-①当1a≤时，()0f x '≥恒成立，故()f x 在R 上恒增； ②当1a >时，当(,1x ∈-∞-时()0f x '>，()f x 单调递增，(11x ∈--时()0f x '<，()f x 单调递减， (1)x ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述：当1a ≤时，()f x 在R 上恒增； 当1a >时，()f x 在(,1-∞-和(1)-++∞上单调递增，在(11--上单调递减.(2)2e (2)(e 1)xxx a +≥-，由于,()0x ∈+∞，2e (2)e 1x x x a +≤-，2e (2)()e 1x x x g x +=-，22e (2e 22)()(e 1)x x x x x x g x ---'=-， 令2()2e 22x h x x x x =---，()(e 1)(22)x h x x '=-+，由于,()0x ∈+∞，则()(e 1)(22)0x h x x '=-+>，故2()2e 22x h x x x x =---单调递增，3334443393338()e 2e 4(e )042162223h =---<-=-<，(1)2e 50h =->， 所以存在03(,1)4x ∈使得0()0h x =，即020002e 22xx x x =++，当00(0,)x x ∈时()0h x <，()g x 单调递减，当00(,)x x ∈+∞时()0h x >，()g x 单调递增； 那么()()00202000e 222e 1x x x a g x xx +≤==++-，03(,1)4x ∈，故034()()(1)54g g x g <<<=，由于a 为整数，则a 的最大值为4. 【点睛】求解含参数不等式恒成立问题，可考虑分离常数法，然后通过构造函数，结合导数来求得参数的取值范围. 6．(1)()f x 的极小值为2，无极大值； (2)(,e 1]-∞+ 【解析】 【分析】（1）当1a =时，求导分析()f x 的单调性，即可得出答案．（2）由题意可得()()ln e e ln e(1)x g x f x x ax a x x =-+-=-++-，求导得()g x '，从而可推出()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，分两种情况讨论：①当e 10a +-，②当e 10a +-<，分析()g x 的单调性，即可得出答案．(1)当1a =时，()(1)xf x e x -=++，1()1x xxe f x e e --+'=-+=，令1e 0x -+>，得0x >， 令1e 0x -+<，得0x <，则()f x 单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞， ∴()f x 存在极小值为()02f =，无极大值； (2)()()ln e e (1)ln e e ln e(1)x x g x f x x a x x ax a x x =-+-=+-++-=-++-，则1()xg x e a x'=-+，令1()xh x e a x =-+，则221()x x e h x x -'=，由1x >得，21x >，210x x e ->，则()0h x '>，故()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，①当e 10a +-，即e 1a +时，即(1,)x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0g =， ∴当1x >时，函数()g x 没有零点， ②当e 10a +-<，即e 1a >+时， 由e e (1)x y x x =->，得e e 0x y '=->， ∴e e x x >，∴11()e e xg x a x a x x '=+->+-，e ee 0e e a a g a a a⎛⎫'>⋅+-=> ⎪⎝⎭，又∵e 1e ea >=，∴存在01,e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 又∵(1)0g =，∴当0(]1,x x ∈时，()0g x <，在()01,x 内，函数()g x 没有零点， 又∵()0,x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 单调递增，又∵22e )e 1(ln e a a g a a a a a +-+>-=-+， 令2()e 1(1)>x k x x x =-+，()()e 2x s x k x x '==-，()e 2e 20x s x '=->->，∴()k x '在(1,)+∞上单调递增， 又∵(1)0k '>，∴1x >时，()0k x '>，()k x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0k a k >>， ∴()0g a >， 又∵0eaa x >>， ∴由零点的存在定理可知存在()()101,,0x x a g x ∈=， ∴在()0,x a 内，函数()g x 有且只有1个零点， 综上所述，实数a 的取值范围是(,e 1]-∞+.7．(1)1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)(],1-∞- 【解析】 【分析】（1）求出导函数()e x a f x x'=+，根据()f x 在(,0)-∞上单调递减，可得()e 0x af x x'=+≤在(,0)-∞上恒成立，分类参数可得e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0x g x x x =-⋅<，利用导数求出函数()g x 的最大值即可得解；（2）将已知不等式转化为()ln 10a a x x--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，令()()()ln 1,0ah x a x x x=--+<，在对a 分类讨论，求出()h x 的最大值小于等于0，即可求出答案. (1)解：()e xa f x x'=+，因为()f x 在(,0)-∞上单调递减，所以()e 0xa f x x'=+≤在(,0)-∞上恒成立，即e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0xg x x x =-⋅<， 则()()e e 1e x x xg x x x '=--=-+，当1x <-时，()0g x '>，当10x -<<时，()0g x '<， 所以函数()g x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减， 所以()()max 11eg x g =-=，所以a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(2)解：由()()f x f x '≤得()ln 1aa x x-+≤，即()ln 10a a x x--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立， 令()()()ln 1,0ah x a x x x=--+<，()()()221,0a x a a h x x x x x +'=+=<，当0a =时，()1h x =，不满足()0h x ≤；当0a >时，1x <-时，()0h x '<，10x -<<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),1-∞-上递减，在()1,0-上递增， 所以()()min 110h x h a =-=+>，不符合题意；当0a <时，1x <-时，()0h x '>，10x -<<时，()0h x '<， 所以函数()h x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减， 所以()()max 110h x h a =-=+≤，解得1a ≤-， 综上所述，a 的取值范围(],1-∞-. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，考查了学生的计算能力. 8．(1)12K K <； (2)1. 【解析】 【分析】（1）对()f x 、()g x 求导，应用曲率公式求出()1,1处的曲率1K ，2K ，即可比较大小；（2）由题设求出()h x 的曲率平方，利用导数求2K 的最大值即可. (1)由()11f x x '=+，()21f x x ''=，则()()()()13332222211112511f K f ''===+'+⎡⎤⎣⎦，由()g x '=，()3214g x x -''=-，则()()()2333222221124511112g K g ''===⎡⎤'+⎡⎤⎛⎫⎣⎦+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以12K K <； (2)由()cos h x x '=，()sin h x x ''=-，则()322sin 1cos xK x =+，()()2223322sin sin 1cos 2sin xxK x x ==+-，令22sin t x =-，则[]1,2t ∈，故232tK t -=， 设()32t p t t -=，则()()32643226t t t t p t t t----'==，在[]1,2t ∈时()0p t '<，()p t 递减，所以()()max 11p t p ==，2K 最大值为1.9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2- (2)()max 312f x =，()min 163f x =- 【解析】 【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案. (1)解：（1）()226f x x ax '=+-，因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =． 检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<， 所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； (2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； 当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=，()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-，()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-，所以()max 312f x =，()min 163f x =-． 10．(1)在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 (2)1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）求导，根据定义域和a 的范围，讨论导数符号可得单调区间； （2）由（1）中单调性可得函数最小值，由最小值大于0可解. (1)函数()f x 的定义域为()0+∞，， ()()()222231323'2ax ax a x ax f x a x a x x x+-+-=+-==由于0a >且()0x ∈+∞，，所以230ax +>，令()'0f x =，解得1x a=， 当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()'0f x >，函数()f x 单调递增， ()f x ∴在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增． (2)要使()y f x =的图像与x 轴没有公共点，所以只需min ()0f x >即可，由（1）知min 111()113ln 133ln 33ln 0f x f a a a a ⎛⎫==+-+=-=+> ⎪⎝⎭，解得1e >a ，即a 的取值范围为1(,)e+∞。
高中数学导数的运算精选题
导数的运算精选题32道一．选择题（共11小题）1．已知定义在R上的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f （0）＝2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）2．若函数f（x）＝x2+，则f′（﹣1）＝（）A．﹣1B．1C．﹣3D．33．函数f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A．10B．9C．8D．4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝（）A．1B．﹣1C．﹣e﹣1D．﹣e5．设函数f（x）的导函数是f'（x），若，则＝（）A．﹣B．C．D．﹣6．已知，则＝（）A．B．C．D．7．已知f（x）＝lnx，则f′（e）的值为（）A．1B．﹣1C．e D．8．若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣49．已知函数f（x）＝2x+3f′（0）•e x，则f′（1）＝（）A．e B．3﹣2e C．2﹣3e D．2+3e10．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）A．26B．29C．212D．21511．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0＝（）A．e2B．ln2C．D．e二．多选题（共2小题）（多选）12．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（）A．（）′＝B．（cos2x）'＝﹣2sin2xC．D．（lgx）′＝（多选）13．若函数f（x）的导函数f′（x）的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝3cos x B．f（x）＝x3+x C．D．f（x）＝e x+x 三．填空题（共12小题）14．已知函数f（x）＝（2x+1）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为．15．已知函数f（x）＝e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．16．已知函数f（x）＝f′（）cos x+sin x，则f（）的值为．17．设函数f（x）＝，若f′（1）＝，则a＝．18．若函数y＝f（x）满足f（x）＝sin x+cos x，则＝．19．若函数，则f'（1）＝．20．已知函数f（x）＝﹣+2xf'（2021）+2021lnx，则f′（2021）＝．21．已知的导函数为f′（x），则f′（﹣1）＝．22．设函数f（x）满足f（x）＝x2+3f′（1）x﹣f（1），则f（4）＝．23．已知：若函数f（x），g（x）在R上可导，f（x）＝g（x），则f′（x）＝g′（x）．又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a0＝，＝．24．已知函数f（x）＝3x2﹣f'（）x4，则f'（）＝．25．已知f（x）＝x2+3xf′（2），则f′（2）＝．四．解答题（共7小题）26．求下列函数的导数．（1）y＝3x2+x cos x；（2）f（x）＝．27．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）f（x）＝；（3）y＝ln．28．设f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）+f′（x）．（1）求g（x）的单调区间和最小值；（2）讨论g（x）与g（）的大小关系．29．求下列函数的导数：（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）y＝e x cos x；（3）．30．求下列函数的导数（1）f（x）＝lnx+xa x；（2）．31．求下列函数的导数（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）；（3）y＝（1+cos2x）3．32．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）．导数的运算精选题32道参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．已知定义在R上的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f （0）＝2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【分析】根据条件构造函数g（x）＝，利用导数求函数的单调性，即可解不等式．【解答】解：设g（x）＝，则g′（x）＝，∵f（x）＜f′（x），∴g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增．∵f（0）＝2，∴g（0）＝，则不等式等价为，即g（x）＞g（0），∵函数g（x）单调递增．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：B．【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．2．若函数f（x）＝x2+，则f′（﹣1）＝（）A．﹣1B．1C．﹣3D．3【分析】可先求出导函数，把x换上﹣1即可求出f′（﹣1）的值．【解答】解：；∴f′（﹣1）＝﹣2﹣1＝﹣3．故选：C．【点评】考查基本初等函数的求导，已知函数求值的方法．3．函数f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A．10B．9C．8D．【分析】求出原函数的导函数，由f′（1）＝2a+b＝2，得，把变形为后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．【解答】解：由f（x）＝ax2+bx，得f′（x）＝2ax+b，又f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以f′（1）＝2a+b＝2，即．则＝．当且仅当，即时“＝”成立．所以的最小值是9．故选：B．【点评】本题考查了导数的运算，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生灵活变换和处理问题的能力，是中档题．4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝（）A．1B．﹣1C．﹣e﹣1D．﹣e【分析】首先对等式两边求导得到关于f'（e）的等式解之．【解答】解：由关系式f（x）＝2xf′（e）+lnx，两边求导得f'（x）＝2f'（e）+，令x ＝e得f'（e）＝2f'（e）+e﹣1，所以f'（e）＝﹣e﹣1；故选：C．【点评】本题考查了求导公式的运用；关键是对已知等式两边求导，得到关于f'（x）的等式，对x取e求值．5．设函数f（x）的导函数是f'（x），若，则＝（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x＝代入导函数中，列出关于f'（）的方程，进而得到f'（）的值，再求出f′（）即可．【解答】解：，则f′（x）＝﹣f′（）sin x﹣cos x，∴f′（）＝﹣f′（）sin﹣cos，∴f′（）＝0，∴f′（x）＝﹣cos x，∴f′（）＝﹣，故选：A．【点评】本题主要考查了导数的运算，运用求导法则得出函数的导函数，求出常数f'（）的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键，属于基础题．6．已知，则＝（）A．B．C．D．【分析】对f（x）进行求导，再将x＝代入f′（x），进行求解，从而求出；【解答】解：∵，∴f′（x）＝﹣×cos x+，∴f′（）＝﹣×cos+＝﹣，∵f（π）＝＝﹣，∴＝﹣﹣＝﹣，故选：D．【点评】此题主要考查导数的运算，解决此题的关键是能否对f（x）进行求导，是一道基础题；7．已知f（x）＝lnx，则f′（e）的值为（）A．1B．﹣1C．e D．【分析】利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：∵，∴．故选：D．【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．8．若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣4【分析】利用导数的运算法则求出f′（x），令x＝1得到关于f′（1）的方程，解方程求出f′（1），求出f′（x）；令x＝0求出f′（0）．【解答】解：∵f′（x）＝2f′（1）+2x∴f′（1）＝2f′（1）+2∴f′（1）＝﹣2∴f′（x）＝﹣4+2x∴f′（0）＝﹣4故选：D．【点评】在求导函数值时，应该先利用导数的运算法则求出导函数，再求导函数值．9．已知函数f（x）＝2x+3f′（0）•e x，则f′（1）＝（）A．e B．3﹣2e C．2﹣3e D．2+3e【分析】可求出导函数f′（x）＝2+3f′（0）•e x，然后即可求出f′（0）＝﹣1，从而得出f′（x）＝2﹣3e x，然后即可求出f′（1）的值．【解答】解：f′（x）＝2+3f′（0）•e x，∴f′（0）＝2+3f′（0），解得f′（0）＝﹣1，∴f′（x）＝2﹣3e x，∴f′（1）＝2﹣3e．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．10．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）A．26B．29C．212D．215【分析】对函数进行求导发现f′（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可．【解答】解：考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，得：f′（0）＝a1a2a3…a8＝（a1a8）4＝212．故选：C．【点评】本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法．11．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0＝（）A．e2B．ln2C．D．e【分析】由题意求导f′（x）＝lnx+1，从而得lnx0+1＝2；从而解得．【解答】解：∵f′（x）＝lnx+1；故f′（x0）＝2可化为lnx0+1＝2；故x0＝e；故选：D．【点评】本题考查了导数的求法及应用，属于基础题．二．多选题（共2小题）（多选）12．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（）A．（）′＝B．（cos2x）'＝﹣2sin2xC．D．（lgx）′＝【分析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式对每个选项函数进行求导即可．【解答】解：，（cos2x）′＝﹣2sin2x，，．故选：BC．【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．（多选）13．若函数f（x）的导函数f′（x）的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝3cos x B．f（x）＝x3+x C．D．f（x）＝e x+x 【分析】根据题意，依次求出选项中函数的导数，分析其导函数的奇偶性，据此分析可得的答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝3cos x，其导数f′（x）＝﹣3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意；对于B，f（x）＝x3+x，其导数f′（x）＝3x2+1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f（x）＝x+，其导数f′（x）＝1﹣，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f（x）＝e x+x，其导数f′（x）＝e x+1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；故选：BC．【点评】本题考查导数的计算，涉及函数奇偶性的分析，属于基础题．三．填空题（共12小题）14．已知函数f（x）＝（2x+1）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为3．【分析】先求导，再带值计算．【解答】解：∵f（x）＝（2x+1）e x，∴f′（x）＝2e x+（2x+1）e x，∴f′（0）＝2e0+（2×0+1）e0＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．15．已知函数f（x）＝e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为e．【分析】根据导数的运算法则求出函数f（x）的导函数，再计算f′（1）的值．【解答】解：函数f（x）＝e x lnx，则f′（x）＝e x lnx+•e x；∴f′（1）＝e•ln1+1•e＝e．故答案为：e．【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题．16．已知函数f（x）＝f′（）cos x+sin x，则f（）的值为1．【分析】利用求导法则：（sin x）′＝cos x及（cos x）′＝﹣sin x，求出f′（x），然后把x 等于代入到f′（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f′（）的值，把f′（）的值代入到f（x）后，把x＝代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值．【解答】解：因为f′（x）＝﹣f′（）•sin x+cos x所以f′（）＝﹣f′（）•sin+cos解得f′（）＝﹣1故f（）＝f′（）cos+sin＝（﹣1）+＝1故答案为1．【点评】此题考查学生灵活运用求导法则及特殊角的三角函数值化简求值，会根据函数解析式求自变量所对应的函数值，是一道中档题．17．设函数f（x）＝，若f′（1）＝，则a＝1．【分析】先求出函数的导数，再根据f′（1）＝，求得a的值．【解答】解：∵f（x）＝，∴f′（x）＝，f′（1）＝＝，∴＝，则a＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查求函数的导数，属于基础题．18．若函数y＝f（x）满足f（x）＝sin x+cos x，则＝．【分析】由f（x）＝sin x+cos x，利用导数的运算法则，再令x＝，即可得出．【解答】解：∵f（x）＝sin x+cos x，∴f′（x）＝cos x﹣sin x，令x＝，则＝cos﹣sin，解得：＝．故答案为：．【点评】本题考查了导数的运算法则、方程的解法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19．若函数，则f'（1）＝．【分析】根据基本初等函数和商的导数的求导公式进行求导得出f′（x），然后即可求出f′（1）的值．【解答】解：∵，∴．故答案为：．【点评】本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．20．已知函数f（x）＝﹣+2xf'（2021）+2021lnx，则f′（2021）＝2020．【分析】先求出导函数f'（x），再令x＝2021求解即可．【解答】解：∵，∴，∴f'（2021）＝﹣2021+2f'（2021）+1，∴f'（2021）＝2020．故答案为：2020．【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了常见导数的求导公式的应用以及导数的四则运算的应用，属于基础题．21．已知的导函数为f′（x），则f′（﹣1）＝﹣4．【分析】先根据导数的运算法则求出f′（x），再求f'（﹣1）．【解答】解：∵，∴，∴f'（﹣1）＝﹣3﹣1＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．22．设函数f（x）满足f（x）＝x2+3f′（1）x﹣f（1），则f（4）＝5．【分析】求函数的导数，先求出f′（1），f（1）的值，求出函数的解析式，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）＝x2+3f′（1）x﹣f（1），∴f′（x）＝2x+3f′（1），令x＝1，则f′（1）＝2+3f′（1），即f′（1）＝﹣1，则f（x）＝x2﹣3x﹣f（1），令x＝1，则f（1）＝1﹣3﹣f（1），则f（1）＝﹣1，即f（x）＝x2﹣3x+1，则f（4）＝42﹣3×4+1＝16﹣12+1＝5，故答案为：5．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据导数的公式求出f（1），f′（1）的值以及函数的解析式是解决本题的关键．23．已知：若函数f（x），g（x）在R上可导，f（x）＝g（x），则f′（x）＝g′（x）．又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a0＝1，＝．【分析】令x＝0，可得到a0＝1，先求导数对比得到2a n＝（n+1）a n+1，再把数列裂项求和即可．【解答】解：令x＝0，则a0＝e0＝1，∵e2x＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，∴（e2x）′＝2e2x＝a1+2a2x+…+na n x n﹣1+（n+1）a n+1x n+…，∴2a n＝（n+1）a n+1，∴＝，∴＝＝2（﹣），∴＝2（1﹣++•+﹣）＝．故答案为：1；．【点评】本题主要考查导数的基本运算，数列裂项求和的应用，属于中档题．24．已知函数f（x）＝3x2﹣f'（）x4，则f'（）＝2．【分析】先求出f′（x），然后将代入解出即可．【解答】解：，所以，解得：．故答案为：2．【点评】本题主要是考查了导数的计算以及利用方程思想解决问题的能力．属于较易题．25．已知f（x）＝x2+3xf′（2），则f′（2）＝﹣2．【分析】把给出的函数求导，在其导函数中取x＝2，则f′（2）可求．【解答】解：由f（x）＝x2+3xf′（2），得：f′（x）＝2x+3f′（2），所以，f′（2）＝2×2+3f′（2），所以，f′（2）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了导数的加法与乘法法则，考查了求导函数的值，解答此题的关键是正确理解原函数中的f′（2），f′（2）就是一个具体数，此题是基础题．四．解答题（共7小题）26．求下列函数的导数．（1）y＝3x2+x cos x；（2）f（x）＝．【分析】根据导数的公式即可得到结论．【解答】（1）f′（x）＝6x+cos x﹣x sin x；（2）∵∴．【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．27．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）f（x）＝；（3）y＝ln．【分析】利用常见函数的导数公式以及和、差、积、商的求导公式、复合函数的求导公式求解即可．【解答】解：（1）函数y＝（2x2+3）（3x﹣1），所以y'＝（2x2+3）′（3x﹣1）+（2x2+3）（3x﹣1）′＝4x•（3x﹣1）+3（2x2+3）＝18x2﹣4x+9；（2）函数f（x）＝，所以；（3）函数y＝ln，所以．【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了常见函数的导数，和、差、积、商的求导公式以及复合函数的求导公式的应用，解题的关键是熟练掌握公式，属于基础题．28．设f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）+f′（x）．（1）求g（x）的单调区间和最小值；（2）讨论g（x）与g（）的大小关系．【分析】（1）利用导数研究函数g（x）的单调性极值最值即可得出．（2）令h（x）＝g（x）﹣＝2lnx+﹣x（x＞0）．可得h′（x）＝≤0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．由于h（1）＝0，即可得出大小关系．【解答】解：（1）（x＞0）．∴g（x）＝lnx+（x＞0）．∴＝，令g′（x）＝0，解得x＝1．当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g （x）单调递增．∴当x＝1时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（1）＝1．综上可得：函数g（x）单调递减区间为（0，1）；函数g（x）单调递增区间为[1，+∞），最小值为1．（2）g（x）＝lnx+（x＞0），＝﹣lnx+x．令h（x）＝g（x）﹣＝2lnx+﹣x（x＞0）．∴h′（x）＝﹣﹣1＝≤0，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．当x＝1时，h（1）＝0，此时g（x）＝．当0＜x＜1时，h（x）＞0，此时g（x）＞．当1＜x时，h（x）＜0，此时g（x）＜．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．29．求下列函数的导数：（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）y＝e x cos x；（3）．【分析】利用常见函数的导数公式以及和、差、积、商的求导公式、复合函数的求导公式求解即可．【解答】解：（1）因为y＝（2x2﹣1）（3x+1）＝6x3+2x2﹣3x﹣1，所以y′＝18x2+4x﹣3；（2）y′＝（e x cos x）′＝（e x）′cos x+e x（cos x）′＝e x cos x﹣e x sin x＝e x（cos x﹣sin x）；（3）y′＝＝＝．【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了常见函数的导数，和、差、积、商的求导公式以及复合函数的求导公式的应用，解题的关键是熟练掌握公式，属于基础题．30．求下列函数的导数（1）f（x）＝lnx+xa x；（2）．【分析】（1）直接利用常见导数的求导公式以及导数的运算法则进行求解即可；（2）利用常见函数的求导公式结合复合函数的求导法则进行求解即可．【解答】解：（1）因为f（x）＝lnx+xa x，所以；（2）因为，所以．【点评】本题考查了导数的运算，涉及了常见函数的求导公式的运用、导数的求导法则的运用、复合函数求导法则的应用，属于基础题．31．求下列函数的导数（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）；（3）y＝（1+cos2x）3．【分析】（1）（2）（3）根据导数的运算法则求导即可．【解答】解：（1）方法一：y'＝（2x2+3）′（3x﹣1）+（2x2+3）（3x﹣1）′＝4x（3x﹣1）+3（2x2+3）＝18x2﹣4x+9，方法二：∵y＝（2x2+3）（3x﹣1）＝6x3﹣2x2+9x﹣3，∴y'＝18x2﹣4x+9．（2）＝，（3）y′＝3（1+cos 2x）2•（1+cos 2x）′＝3（1+cos 2x）2•（﹣sin 2x）•（2x）′＝﹣6sin 2x•（1+cos 2x）2＝﹣6sin 2x•（2cos2x）2＝﹣6sin 2x•4cos4x＝﹣48sin x cos5x．【点评】本题考查了导数的运算，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键，是基础题．32．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）．【分析】（1）直接利用常见函数的导数公式以及导数的运算律求解即可；（2）直接利用常见函数的导数公式以及导数的运算律求解即可．【解答】解：（1）因为y＝（2x2﹣1）（3x+1）＝6x3+2x2﹣3x﹣1，所以y'＝18x2+4x﹣3；（2）＝．【点评】本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握常见函数的导数公式以及导数的运算律，属于基础题．。
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题一、基础题1. 求函数 $f(x) = x^3 3x$ 的导数。
2. 求函数 $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ 的导数。
3. 求函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 的导数。
4. 求函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的导数。
5. 求函数 $f(x) = e^{2x}$ 的导数。
二、应用题1. 已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，求 $f'(x)$ 并说明其几何意义。
2. 某物体做直线运动，其位移 $s$ 与时间 $t$ 的关系为 $s =t^2 2t + 1$，求物体在 $t=2$ 时的瞬时速度。
3. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$，求曲线在$x=4$ 处的切线方程。
4. 求函数 $f(x) = \sin(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的最大值和最小值。
5. 已知函数 $f(x) = \ln(x 1)$，求 $f(x)$ 的单调区间。
三、综合题1. 设函数 $f(x) = (x^2 1)^3$，求 $f'(x)$。
2. 已知函数 $f(x) = \frac{2x + 3}{x 1}$，求 $f'(x)$。
3. 求函数 $f(x) = \sqrt{1 + \sqrt{1 + x^2}}$ 的导数。
4. 已知函数 $f(x) = e^{x^2}$，求曲线在 $x=0$ 处的切线方程。
5. 设函数 $f(x) = \ln(\sin^2 x)$，求 $f'(x)$。
四、拓展题1. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，求 $f''(x)$。
2. 设函数 $f(x) = (x^3 + 1)^4$，求 $f'''(x)$。
3. 已知函数 $f(x) = \arctan(x)$，求 $f'(x)$。
高中数学专题练习《导数的概念及其几何意义》含详细解析
5.1.2 导数的概念及其几何意义基础过关练题组一 导数的定义及其应用1.函数y=f(x)的自变量x 由x 0变化到x 0+Δx 时,函数值的改变量Δy 为( )A.f(x 0+Δx)B.f(x 0)+ΔxC.f(x 0)·ΔxD.f(x 0+Δx)-f(x 0)2.函数f(x)在x=x 0处的导数可表示为( )A.f'(x 0)=limΔx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)ΔxB.f'(x 0)=lim Δx→0[f(x 0+Δx)-f(x 0)]C.f'(x 0)=f(x 0+Δx)-f(x 0)D.f'(x 0)=f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx3.已知函数f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a= .4.如图是函数y=f(x)的图象.(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为 ; (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 . 5.求函数y=x 2+1在x=0处的导数.题组二 导数的几何意义及其应用6.函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是( )A.在点(x0,f(x0))处与y=f(x)的图象只有一个交点的直线的斜率B.过点(x0,f(x0))的切线的斜率C.点(x0,f(x0))与点(0,0)的连线的斜率D.函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率7.某司机看见前方50m处有行人横穿马路,这时司机开始紧急刹车,在刹车的过程中,汽车的速度v是关于刹车时间t的函数,其图象可能是( )8.已知函数f(x)在R上有导函数,且f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是( )A.f'(a)<f'(b)<f'(c)B.f'(b)<f'(c)<f'(a)C.f'(a)<f'(c)<f'(b)D.f'(c)<f'(a)<f'(b)9.如图,函数y=f(x)的图象在P点处的切线方程是y=-x+8,若点P的横坐标是5,则f(5)+f'(5)=( )B.1C.2D.0A.12题组三 求曲线的切线方程10.若曲线f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,则( )A.a=-1,b=1B.a=1,b=-1C.a=-2,b=1D.a=2,b=-111.函数f(x)=x3+x-2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x-1,则P点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4)D.(2,8)或(-1,-4)12.若点A(2,1)在曲线y=f(x)上,且f'(2)=-2,则曲线y=f(x)在点A处的切线方程是 .13.(2020广东实验中学高二上期末)与直线2x-y+4=0平行且与抛物线y=x2相切的直线方程是 .14.试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.能力提升练题组一 导数的定义及其应用1.(2020浙江宁波中学高二下期中测试,)甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是( )A.甲厂B.乙厂C.两厂一样D.不确定2.(2020河南新乡高二上期末,)若f'(2)=3,则lim Δx→0f (2+2Δx )-f (2)Δx= . 3.()服用某种药物后,人体血液中药物的质量浓度f(x)(单位:μg/mL)与时间t(单位:min)的函数关系式是y=f(t),假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为f'(10)=1.5和f'(100)=-0.6,试解释它们的实际意义.题组二 导数的几何意义及其应用4.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末,)函数f(x)的图象如图所示,则下列数值排序正确的是( )A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)5.()已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率6.(多选)()已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是( )A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0>f(x1)+f(x2)2<f(x1)+f(x2)2题组三 求曲线的切线方程7.(2020浙江金华一中高二下期中,)已知f(x)=x2+2x+3,P为曲线C:y=f(x)上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为,则点P的横坐标的取值范围为( )A.-∞,-B.[-1,0]C.[0,1]D.-1,+∞28.(2020浙江丽水高二下期末,)已知过点P(-1,1)的直线m交x轴于点A,若抛物线y=x2上有一点B,使得PA⊥PB,且AB是抛物线y=x2的切线,则直线m的方程为 .,过9.(2020福建厦门二中高二上期中,)已知曲线y=f(x)=x2,y=g(x)=1x两条曲线的交点作两条曲线的切线,求两切线与x轴围成的三角形的面积.(请用导数的定义求切线的斜率,否则只得结论分)答案全解全析基础过关练1.D 分别写出x=x 0和x=x 0+Δx 时对应的函数值f(x 0)和f(x 0+Δx),两函数值相减就得到了函数值的改变量,所以Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0).2.A 由导数的定义知A 正确.3.答案 2解析 由题意得,Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=aΔx,∴lim Δx→0ΔyΔx =a,∴f'(1)=a=2.4.答案 (1)12 (2)34解析 (1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为f (1)-f (-1)1―(―1)=2―12=12.(2)由函数f(x)的图象知,,-1≤x ≤1,<x ≤3,所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)-f (0)2―0=3―322=34.5.解析 Δy=(0+Δx )2+1-0+1=(Δx )2+1―1(Δx )2+1+1=(Δx )2(Δx )2+1+1,∴ΔyΔx =Δx (Δx )2+1+1,∴y'x=0=lim Δx→0ΔyΔx =lim Δx→0Δx (Δx )2+1+1=0.6.D f'(x 0)的几何意义是函数y=f(x)的图象在点(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.7.A 在刹车过程中,汽车速度呈下降趋势,排除选项C,D;由于是紧急刹车,所以汽车开始时速度下降非常快,图象较陡,排除选项B,故选A.8.A 由题意可知,f'(a),f'(b),f'(c)分别是函数f(x)在x=a 、x=b 和x=c 处切线的斜率,则有f'(a)<0<f'(b)<f'(c),故选A.9.C ∵函数y=f(x)的图象在x=5处的切线方程是y=-x+8,∴f'(5)=-1,又f(5)=-5+8=3,∴f(5)+f'(5)=3-1=2.故选C.10.B 由题意得,f'(1)=lim Δx→0ΔyΔx=lim Δx→0(1+Δx )2+a(1+Δx )+b -1-a -bΔx =lim Δx→0(Δx )2+2Δx +aΔxΔx =2+a.∵曲线f(x)=x 2+ax+b 在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,∴2+a=3,解得a=1.又∵点(1,1)在曲线y=x 2+ax+b 上,∴1+a+b=1,解得b=-1,∴a=1,b=-1.故选B.11.C f'(x)=lim Δx→0ΔyΔx=lim Δx→0(x +Δx )3+(x +Δx )-2-x 3-x +2Δx=3x 2+1.设P(x 0,y 0),则f'(x 0)=3x 20+1=4,所以x 0=±1,当x 0=1时,f(x 0)=0,当x 0=-1时,f(x 0)=-4,因此P 点的坐标为(1,0)或(-1,-4).12.答案 2x+y-5=0解析 由题意知,切线的斜率k=-2.∴在点A(2,1)处的切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.13.答案 2x-y-1=0解析 设切点坐标为(x 0,y 0),y=f(x)=x 2,则由题意可得,切线斜率f'(x 0)=limΔx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=2x 0=2,所以x 0=1,则y 0=1,所以切点坐标为(1,1),故所求的直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.14.解析 Δy Δx =(x +Δx )3+1―x 3-1Δx =3x (Δx )2+3x 2Δx +(Δx )3Δx=3xΔx+3x 2+(Δx)2,则lim Δx→0ΔyΔx =3x 2,因此y'=3x 2.设过点M(1,1)的直线与曲线y=x 3+1相切于点P(x 0,x 30+1),根据导数的几何意义知曲线在点P 处的切线的斜率为k=3x 20①,过点M 和点P 的切线的斜率k=x 30+1―1x 0-1②,由①-②得3x 20=x 30x 0-1,解得x 0=0或x 0=32,所以k=0或k=274,因此过点M(1,1)且与曲线y=x 3+1相切的直线有两条,方程分别为y-1=274(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0和y=1.能力提升练1.B 在t 0处,虽然有W 甲(t 0)=W 乙(t 0),但W 甲(t 0-Δt)<W 乙(t 0-Δt),所以在相同时间Δt 内,甲厂比乙厂的平均治污率小,所以乙厂治污效果较好.2.答案 6解析 limΔx→0f (2+2Δx )-f (2)Δx=2lim Δx→0f (2+2Δx )-f (2)2Δx =2f'(2)=6.3.解析 f'(10)=1.5表示服药后10 min 时,血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL ·min).也就是说,如果保持这一速度,每经过1 min,血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL. f'(100)=-0.6表示服药后100 min 时,血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL ·min).也就是说,如果保持这一速度,每经过1 min,血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL.4.B 如图所示, f'(2)是函数f(x)的图象在x=2(即点A)处切线的斜率k 1, f'(3)是函数f(x)的图象在x=3(即点B)处切线的斜率k 2,f (3)-f (2)3―2=f(3)-f(2)=k AB 是割线AB 的斜率.由图象知0<k 2<k AB <k 1,即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).故选B.5.D ∵f(x)在a 到b 之间的平均变化率是f (b )-f (a )b -a,g(x)在a 到b 之间的平均变化率是g (b )-g (a )b -a ,f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴f (b )-f (a )b -a=g (b )-g (a )b -a,∴A 、B 错误;易知函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x 0处的导数,即函数f(x)在该点处的切线的斜率,同理函数g(x)在x=x 0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数,即函数g(x)在该点处的切线的斜率,由题中图象知C 错误,D 正确.故选D.6.AD 由题中图象可知,导函数f'(x)的图象在x 轴下方,即f'(x)<0,且其绝对值越来越小,因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负,并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得f(x)的大致图象如图所示.A 选项表示x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)异号,即f(x)图象的割线斜率f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2为负,故A 正确;B 选项表示x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)同号,即f(x) 图象的割线斜率f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2为正,故B 不正确表示x 1+x 22对应的函数值,即图中点B 的纵坐标,f (x 1)+f(x 2)2表示当x=x 1和x=x 2时所对应的函数值的平均值,即图中点A 的纵坐标,显然有<f (x 1)+f(x 2)2,故C 不正确,D 正确.故选AD.7.D 设点P 的横坐标为x 0,则点P 处的切线倾斜角α与x 0的关系为tan α=f'(x 0)=lim Δx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =2x 0+2.∵α,∴tan α∈[1,+∞),∴2x 0+2≥1,即x 0≥-12,∴点P 的横坐标的取值范围为-12,+∞.8.答案 x-y+2=0或x+3y-2=0解析 令y=f(x)=x 2,设B(t,t 2),则k AB =lim Δx→0f (t +Δx )-f (t )Δx =2t,则直线AB 的方程为y=2tx-t 2.当t=0时,符合题意,此时A(-2,0),∴直线m 的方程为x-y+2=0.当t ≠0时,0,PA=+1,―1,PB =(t+1,t 2-1),∵PA ⊥PB,∴PA ·PB =0,+1(t+1)-(t 2-1)=0,解得t=4或t=-1(B,P重合,舍去),此时A(2,0),∴直线m 的方程为x+3y-2=0.综上,直线m 的方程为x-y+2=0或x+3y-2=0.9.解析 由y =x 2,y =1x,得x =1,y =1,故两条曲线的交点坐标为(1,1).两条曲线切线的斜率分别为f'(1)=lim Δx→0f (Δx +1)―f (1)Δx =lim Δx→0(Δx +1)2-12Δx =lim Δx→0(Δx+2)=2,g'(1)=lim Δx→0g (Δx +1)―g (1)Δx =lim Δx→01Δx +1-11Δx=lim Δx→0-所以两条切线的方程分别为y-1=2(x-1),y-1=-(x-1),即y=2x-1与y=-x+2,两条切线与x,0,(2,0),所以两切线与x轴围成的三角形的面积为12×1×|2―12|=34.。
高中数学函数与导数练习题及参考答案
高中数学函数与导数练习题及参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1. 设函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，则f'(x)的值为：A. 6x^2-6x+4B. 6x^2-3x+4C. 6x^2-6x-4D. 6x^2-3x-42. 已知函数f(x)=e^(2x)-x，下列说法正确的是：A. f(x)的定义域为RB. f(x)的值域为RC. 对任意x∈R，f(x)≥0D. f(x)在R上递增3. 函数f(x)=log(2x+1)的定义域为：A. x>1/2B. x≥1/2C. x>1D. x≥-1/24. 函数f(x)=(x-2)^2-1的图像对称于：A. x轴B. y轴C. 原点D. 直线x=25. 函数f(x)=x^3+3x^2-x+2的最小值为：A. -∞B. -4C. 1D. 66. 函数f(x)=log_a(x^2-4)的定义域为：A. x>2B. x<-2C. x>2或x<-2D. x>07. 设函数f(x)=(x+1)e^x，则f'(x)=：A. (x+2)e^xB. xe^xC. (x+1)e^x+e^xD. (x+1)e^x+18. 函数y=2^(x^2)的图像在y轴的左侧为：A. 上拋曲线B. 下落曲线C. 开口向上的曲线D. 开口向下的曲线9. 函数f(x)=√(x-1)的定义域为：A. x>1B. x≥1C. x>0D. x≥010. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f''(x)的值为：A. 6x-6B. 6x-2C. 6x-3D. 6x-4二、计算题（每小题5分，共40分）1. 计算函数f(x)=e^(2x)-3x在x=1处的导数f'(1)的值。
解答：f'(x)=2e^(2x)-3f'(1)=2e^2-32. 已知函数y=log_a(x^2-4)，求f(x)在x=0处的导数f'(0)。
高二数学导数练习题及答案
高二数学导数练习题及答案导数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中具有广泛的应用。
为了帮助高二学生巩固导数的知识和提高解题能力，本文为大家准备了一些高二数学导数练习题及答案。
希望通过这些练习题的训练，同学们能够更好地理解导数的概念和运用。
练习题一：1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 在点 x = 2 处的导数。
2. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x，求函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数。
3. 求函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数。
答案一：1. 函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 的导数为：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
2. 函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数为：f'(x) = 2x + 3。
3. 函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数为：f'(-1) = 0。
练习题二：1. 求函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点及极值。
2. 已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x+ 2 的拐点。
3. 求函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点。
答案二：1. 函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点为 x = 1/2，极值为 f(1/2) = 47/16。
2. 函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 的拐点为 x = 2。
3. 函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点为 x = 1。
练习题三：1. 求函数 f(x) = e^x 的导数。
2. 已知函数 f(x) = ln(x)，求函数 f(x) = ln(x) 的导函数。
导数练习题(含答案)
导数概念及其几何意义、导数的运算一、选择题：1 已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于A193B103C163D1332 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A3B-3C 5D -53 函数2y x a a =+2（）(x-)的导数为 A222()x a -B223()x a +C223()x a -D 222()x a +4 曲线313y x x =+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A19B 29C 13D 235 已知二次函数2y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 A3B52C 2 D326 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B()2(1)f x x =-C2()2(1)f x x =-D ()1f x x =-7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x'+=+B21(log )ln 2x x '=C3(3)3log x x e '=⋅D 2(cos )2sin x x x x '=-8 曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A6π B 34π C 4π D 3π9 曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A34y x =-B32y x =-+C43y x =-+ D 45y x =-10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为11 一质点的运动方程为253s t =-，则在一段时间[1,1]t +∆内相应的平均速度为 A36t ∆+B36t -∆+C36t ∆- D 36t -∆-12 曲线()ln(21)f x x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是ABCD 013 过曲线32y x x =+-上的点0P 的切线平行于直线41y x =-，则切点0P 的坐标为 A (0,1)(1,0)-或B(1,4)(1,0)--或C(1,4)(0,2)---或D (2,8)(1,0)或14 点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 A[0,]2πB3[0,)[,)24πππ C 3[,)4ππ D 3(,]24ππ二、填空题15 设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等实根，且()22f x x '=+，则()y f x =的表达式是______________16 函数2sin x y x=的导数为_________________________________17 已知函数()y f x =的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=_________ 18 已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，则k 的最大值为___________________________ 三、解答题19 求下列函数的导数（1）1sin 1cos x y x-=+ (2) 52sin x x y x +=(3) y = (4) tan y x x =⋅ 20 已知曲线21:C y x =与22:(2)C y x =--，直线l 与12,C C 都相切，求直线l 的方程21 设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --= （1）求()f x 的解析式（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值。
高中数学专题练习《基本初等函数的导数》含详细解析
5.2 导数的运算5.2.1 基本初等函数的导数基础过关练题组一 利用导数公式求函数的导数1.(2020浙江绍兴稽山中学高二下期中)已知f(x)=cos30°,则f'(x)的值为( )A.-12B.12C.-32D.02.已知函数f(x)=1x2,则 )A.-14B.-18C.-8D.-163.函数y=1x在x=4处的导数是( )A.116B.-116C.18D.-184.下列求导运算正确的是( )A.(cos x)'=sin xB.(3x)'=3x log3eC.(lg x)'=1x ln10D.(x-2)'=-2x-15.设f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),……,f n+1(x)=f n'(x),n∈N,则f2 019(x)=( )A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x6.(多选)下列求导运算正确的是( )'=1x2B.(x)'=12xC.(x a)'=ax a-1D.(log a'=1x ln a 7.求下列函数的导数.(1)y=1x5;(2)y=x2x;(3)y=lg x;(4)y=5x-x.题组二 导数公式的应用8.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末)曲线y=1x在点A(-1,-1)处的切线方程是( )A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y+2=0D.x-y-2=09.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为( )A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=010.(2020福建三明第一中学月考)以正弦曲线y=sin x上一点P为切点作切线l,则切线l的倾斜角的范围是( )A.0,πB.[0,π), D.0,,11.已知函数f(x)=ln x,则函数g(x)=f(x)-f'(x)的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)12.若曲线y=x-12在点(m,m-12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则m=( )A.64B.32C.16D.813.(多选)已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列函数中,有“巧值点”的是( )A.f(x)=x2B.f(x)=e-xC.f(x)=ln xD.f(x)=1x14.(2019广东东莞高二上期末)设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线,计算a1+a2+a3+…+a2019.与x轴交点的横坐标为x n,令a n=lg1x n答案全解全析基础过关练1.D ∵f(x)=cos 30°=32,∴f'(x)=0.2.D f'(x)=-2x -3=-2x 3,则故选D.3.B y'=-12x -32,∴y'x=4=-12×4-32=-116,故选B.4.C (cos x)'=-sin x,故A 不正确;(3x )'=3x ·ln 3,故B 不正确;(lg x)'=1x ·ln10,故C 正确;(x -2)'=-2x -2-1=-2x -3,故D 不正确.故选C.5.D f 0(x)=sin x,f 1(x)=f 0'(x)=(sin x)'=cos x,f 2(x)=f 1'(x)=(cos x)'=-sin x,f 3(x)=f 2'(x)=(-sin x)'=-cos x,f 4(x)=f 3'(x)=(-cos x)'=sin x,所以4为最小正周期,故f 2 019(x)=f 3(x)=-cos x.6.BCD 在A 中-1)'=-1x 2,故A 错误;在B 中,(x )'=(x 12)'=12×x -12=12x ,故B 正确;在C 中,(x a )'=ax a-1,故C 正确;在D 中,(log a '=1x ln a ,故D 正确.故选BCD.7.解析 (1)∵y=1x 5=x -5,∴y'=-5x -6.(2)∵y=x 2x =x 2x 12=x 32,∴y'=32x 12.(3)∵y=lg x,∴y'=1x ln10.(4)∵y=5x ,∴y'=5x ln 5.(5)∵-x =sin x,∴y'=cos x.8.C 由y=1x 得y'=-x -2,因此切线的斜率为k=-(-1)-2=-1,∴切线方程为y+1=-(x+1),即x+y+2=0,故选C.9.A ∵直线x+4y-8=0的斜率为-14,∴直线l 的斜率为4,又y'=4x 3,∴4x 3=4,得x=1,又当x=1时,y=x 4=1,∴直线l 的方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.10.A ∵y=sin x,∴y'=cos x,∵cos x ∈[-1,1],∴切线斜率的范围是[-1,1],∴倾斜角的范围是0,,π,故选A.11.B 由f(x)=ln x,得f'(x)=1x ,则g(x)=f(x)-f'(x)=ln x-1x .易知函数g(x)的定义域为(0,+∞),且函数g(x)在(0,+∞)上为增函数,又g(1)=ln 1-1=-1<0,g(2)=ln 2-12=ln 2-ln e >0,所以函数g(x)在区间(1,2)上有唯一零点.12.A 因为y'=-12x -32,所以曲线y=x -12在点(m,m -12)处的切线方程为y-m -12=-12·m -32(x-m),令x=0,得y=32m -12,令y=0,得x=3m,由题意可得,12×32m -12×3m=18,解得m=64.13.ACD 在A 中,若f(x)=x 2,则f'(x)=2x,则x 2=2x,这个方程显然有解,故A 符合要求;在B 中,若f(x)=e -x ,则ln 1e =-e -x ,即e -x =-e -x ,此方程无解,故B 不符合要求;在C 中,若f(x)=ln x,则f'(x)=1x ,由ln x=1x ,数形结合可知该方程存在实数解,故C 符合要求;在D 中,若f(x)=1x ,则f'(x)=-1x 2,由1x =-1x 2,可得x=-1,故D 符合要求.故选ACD.14.解析 因为y=x n+1,所以y'=(n+1)x n ,所以曲线y=x n+1(n ∈N *)在(1,1)处的切线斜率为k=n+1,切线方程为y-1=(n+1)(x-1).令y=0,得x=n n +1,即x n =n n +1,所以a n =lg 1x n =lg(n+1)-lg n,所以a 1+a 2+a 3+…+a 2 019=lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+lg 4-lg 3+…+lg 2 020-lg 2 019=lg 2 020-lg 1=1+lg 202.。
高中数学导数的计算精选题目(附答案)
高中数学导数的计算精选题目（附答案）(1)基本初等函数的导数公式(2)导数运算法则①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．（3）复合导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ；(3)y ＝lg 5； (4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2co S 2x2－1. 3.(1)y ＝x 3·e x ； (2)y ＝x －S i n x 2co S x2； (3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1.4．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ； (2)y ＝xS i n x ＋x ； (3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x； (4)y ＝lg x －1x 2.5．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 6．求过曲线y ＝co S x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．7．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e S i n x ；(3)y ＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1) 8．求下列函数的导数． (1)f (x )＝(－2x ＋1)2； (2)f (x )＝l n (4x －1)； (3)f (x )＝23x ＋2； (4)f (x )＝5x ＋4； (5)f (x )＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6；(6)f (x )＝co S 2x .9．求下列函数的导数． (1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.10．求下列函数的导数． (1)y ＝S i n 2x3； (2)y ＝S i n 3x ＋S i n x 3； (3)y ＝11－x 2； (4)y ＝x l n (1＋x )．11. 设f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．12．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1参考答案：1.解： (1)y ′＝(10x )′＝10x l n 10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x.(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1＝S i n 2x2＋2S i n x 2co S x 2＋co S 2x 2－1 ＝S i n x ，∴y ′＝(S i n x )′＝co S x .2.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x l n 1e ＝－1e x ＝－e －x .(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x l n 110＝－ln 1010x＝－10－x l n 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3 lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(5)∵y ＝2co S 2x2－1＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x . 3.解： (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12S i n x ，∴y ′＝x ′－12(S i n x )′＝1－12co S x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.4.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.(2)y ′＝(xS i n x )′＋(x )′＝S i n x ＋x co S x ＋12x.(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. 5.解：如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.6.解：∵y ＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x ，∴曲线在点P π3，12处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝π3＝－S i n π3＝－32，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即233x －y ＋12－239π＝0. 7.解： (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2， 则y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 12′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2 .(2)设y ＝e u ，u ＝S i n x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·co S x ＝e S i n x co S x . (3)设y ＝S i n u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·2＝2co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.8.解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝l n u ，u ＝4x －1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝44x －1.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u l n 2·3＝3l n 2·23x ＋2. (4)设y ＝u ，u ＝5x ＋4， 则y ′＝y u ′·u x ′＝12u·5＝525x ＋4.(5)设y ＝S i n u ，u ＝3x ＋π6，则y ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·3＝3co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.(6)法一：设y ＝u 2，u ＝co S x ， 则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－S i n x ) ＝－2co S x ·S i n x ＝－S i n 2x ； 法二：∵f (x )＝co S 2x ＝1＋cos 2x 2＝12＋12co S 2x ， 所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 2x ′＝0＋12·(－S i n 2x )·2＝－S i n 2x . 9.解： (1)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(2)∵y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－S i n 2x )co S 2x ＝－12xS i n 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′＝－12S i n 4x －x2co S 4x ·4 ＝－12S i n 4x －2x co S 4x .10.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 3′＝2S i n x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3′ ＝2S i n x 3·co S x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝13S i n 2x3.(2)y ′＝(S i n 3x ＋S i n x 3)′＝(S i n 3x )′＋(S i n x 3)′ ＝3S i n 2x co Sx ＋co S x 3·3x 2＝3S i n 2x co S x ＋3x 2co S x 3. (3)y ′＝0－(1－x 2)′1－x 2＝－12(1－x 2)－12(1－x 2)′1－x 2＝x (1－x 2)－121－x 2＝x(1－x 2) 1－x 2.(4)y ′＝x ′l n (1＋x )＋x []ln (1＋x )′ ＝l n (1＋x )＋x 1＋x. 11.解： 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得l n 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.12.解析：选A 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2、y ＝0与y ＝x 的图象，因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.。
高三数学 导数大题20道训练
高三数学导数大题20道训练II）若函数f(x)在[0,1]上单调递增，求a的取值范围；III）若函数f(x)的最小值为-2，求a的取值范围.10.已知函数f(x)=x3-3x2+2x+1.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,1]上单调递增，求函数在[0,1]上的最小值.11.已知函数f(x)=x2e-x.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,1]上单调递减，求函数在[0,1]上的最大值.12.已知函数f(x)=x3-3x2+3x-1.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递增，求函数在[0,2]上的最小值.13.已知函数f(x)=x3-6x2+9x-2.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[1,3]上单调递减，求函数在[1,3]上的最大值.14.已知函数f(x)=x3-3x+2.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递增，求函数在[0,2]上的最小值.15.已知函数f(x)=x3-3x2+4.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递减，求函数在[0,2]上的最大值.16.已知函数f(x)=x3-6x2+12x-8.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[1,3]上单调递增，求函数在[1,3]上的最小值.17.已知函数f(x)=x3-9x2+24x-16.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[2,4]上单调递减，求函数在[2,4]上的最大值.18.已知函数f(x)=x3-2x2-5x+6.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[1,3]上单调递增，求函数在[1,3]上的最小值.19.已知函数f(x)=x3-3x2+3.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递减，求函数在[0,2]上的最大值.20.已知函数f(x)=x3-3x+1.I）求函数f(x)的单调区间；II）求函数f(x)的极值；III）若函数f(x)在[0,2]上单调递增，求函数在[0,2]上的最小值.Ⅱ) 当 $a>0$ 时，若过原点与函数 $f(x)$ 的图像相切的直线恰有三条，求实数 $a$ 的取值范围。
高考数学专题：导数大题专练含答案
高考数学专题：导数大题专练含答案一、解答题1．已知函数()ln ex f x x =，()2ln 1g x a x x =-+，e 是自然对数的底数．(1)求函数()f x 的最小值；(2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的值；(3)求证：2022202320232023e 20222022⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．2．已知函数()()e sin x f x rx r *=⋅∈N ，其中e 为自然对数的底数.(1)若1r =，求函数()y f x =的单调区间；(2)证明：对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数a ，b ，使得当[,]x a b ∈时，|()|1f x ≤.3．已知：()e xf x mx =+.(1)当1m =时，求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程；(2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-成立，求实数m 的范围4．设函数()1e ln 1xa f x a x -=--，其中0a > (1)当1a =时，讨论()f x 单调性；(2)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()00f x ≥.5．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2xg x x x x x x =-++-，)2e ,x -∈+∞⎡⎣．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值．6．已知函数()()32131.3f x x a x x =-++ (1)若1a =，求函数()f x 的单调区间; (2)证明：函数()2y f x a =-至多有一个零点. 7．已知函数()ln xf x x =， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．8．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； ②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）9．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值．(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．10．已知函数()ln 2f x x x ax =++在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 的单调区间和极值．【参考答案】一、解答题 1．(1)1- (2)2(3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数判断函数()f x 的单调性，进而可得最值；（2）将不等式恒成立转化为求函数()g x 的最大值问题，可得参数取值范围； （3）根据函数()f x 与()g x 的单调性直接可证不等式. (1)函数()ln ln ex f x x x x x ==-的定义域为()0,∞+，()ln f x x '=，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()1,x ∈+∞时，()0f x '>， 故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()min 11f x f ==-． (2)函数()2ln 1g x a x x =-+，0x >，则()()2220a a x g x x x x x-'=-=>，当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在()0,∞+上单调递减， 此时存在()00,1x ∈，使得()()010g x g >=，与题设矛盾，当0a >时，x ⎛∈ ⎝时，()0g x '>，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0g x '<，故()g x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，所以()max 1ln 12222a a a ag x g a ==+=-+，要使()0g x ≤在()0,∞+恒成立， 则()max 0g x ≤，即ln 10222aa a -+≤，又由（1）知()ln 1f x x x x =-≥-即ln 10x x x -+≥，（当且仅当1x =时，等号成立）．令2a x =有ln 10222a a a -+≥，故ln 1022a a -+=且12a =， 所以2a =． (3)由（1）知()l n 1l n x f x x x x ex ==-≥-（当且仅当1x =时等号成立）．令()10t x t t +=>，则1x >，故111ln 1t t t t t t +++->-，即11ln 1tt t ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以11e tt t ++⎛⎫> ⎪⎝⎭令2022t =，则20232023e 2022⎛⎫> ⎪⎝⎭；由（2）知22ln 1x x ≤-在()0,∞+上恒成立， 所以22ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立）．令()210m x m m +=>，则21x >，故11ln 1m m m m ++<-，即1ln 1mm m +⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以1e mm m +⎛⎫< ⎪⎝⎭．令2022m =，则20222023e 2022⎛⎫< ⎪⎝⎭综上，2022202320232023e 20222022⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2．(1)增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 减区间为52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用辅助角公式合并为同名三角函数，利用单调增减区间代入公式求解即可.（2）将绝对值不等式转化为11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，移向构造新函数，利用导数判定单调性，借助零点定理和隐零点证明新构造函数恒正，再结合三角函数的特有的周期特点寻找M 即可. (1)()e (sin cos )sin 4x x f x x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭令22242k x k πππππ-≤+≤+，得32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦令322242k x k ππππ+≤+≤π+，得24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦当32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时, ()0f x '>,()f x 单调递增 当24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦时, ()0,()f x f x '< 单调递減 综上() f x 单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为 52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)要证|()|1f x ≤，即证e sin 1xrx ⋅≤，即证11sin =e e xx rx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即证 11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[,]x a b ∈时成立即可,[,]x a b ∈时,1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 令1()sin e x h x rx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1()cos e xh x r rx ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭当222,k k x rr πππ⎛⎫+ ⎪∈⎪ ⎪⎝⎭时, cos 0,r rx > 所以1()cos 0,e xh x r rx ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭所以()h x 单调递增，2210,e k rk h rππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221210(0)e k r k h k r ππππ+⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪=±>> ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0(2)22,k k x rrπππ+∴∃∈ , 满足()00h x =由单调性可知02,k x x r π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 满足()0()0h x h x <= 又因为当021,,sin 0,0,xk x x rx r e π⎛⎫⎛⎫∈>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 0xrx e ⎛⎫∴+≥ ⎪⎝⎭，所以1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩能够同时满足， 对于任意的正实数M ，总存在正整数k ，且满足2Mr k π>时, 使得 2k M r π>成立， 所以不妨取 02,,2k Mr a k b x rππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭ 则,a b M >且[,]x a b ∈时，1sin 01sin 0xxrx e rx e ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 故对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数,a b ，使得当[,]x a b ∈ 时,|()|1f x ≤. 3．(1)21y x =+(2)ln 3m ⎡∈-⎣【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义直接可得切线方程；（2）()2213222m f x x ≥+-恒成立，可转化为()22130222xm g x e mx x =+--+≥恒成立，利用导数判断函数()g x 的单调性与最值情况. (1)当1m =时，()e xf x x =+， 则()e 1xf x '=+，设切点为()()00,x f x ，故()00e 12xk f x '==+=，解得00x =，故()000e e 01x f x x =+=+=，即切点坐标为()0,1，所以切线方程()120y x -=-，即21y x =+； (2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-成立，即2213e 0222xm mx x +--+≥恒成立，设()2213e 222xm g x mx x =+--+，()e x g x x m '=-+， ()e 1x g x ''=-，因为0x ≥，故()e 10xg x ''=-≥恒成立， 则()e xg x x m '=-+在()0,∞+上单调递增，所以()()01g x g m ''≥=+，当1m ≥-时，()()010g x g m ''≥=+≥恒成立， 故()g x 在()0,∞+上单调递增，即()()2235012222m m g x g ≥=-+=-，所以25022m -≥，解得m ≤≤故1m -≤≤当1m <-时，()010g m '=+<，()e 2m g m m -'-=+，设()e 2mh m m -=+，1m <-，()e 20m h m -'=-+<恒成立，则()h m 在(),1-∞-上单调递减，所以()()120h m h e >-=->，即()e 20mg m m -'-=+>，所以存在()00,x m ∈-，使()00g x '=，即000xe x m -+=，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 故()()02200013e 222x m g x g x mx x ≥=+--+()()00000222000011313e e e e e 022222x x x x x x x x x =+----+=-++≥，解得0ln 3x ≤，即00ln 3x ≤≤， 设()e xx m x ϕ==-，0ln3x ≤≤，()1e 0x x ϕ'=-≤恒成立，故()x ϕ在()0,3上单调递减， 故()()3ln33x ϕϕ≥=-， 即ln33m ≥-， 所以ln331m -≤<-，综上所述，ln 3m ⎡∈-⎣.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．4．(1)()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）首先确定()f x 定义域，再应用二阶导数的符号判断f x 的单调性，进而分区间判断f x 的符号，即可确定()f x 的单调性.（2）求()f x 的二阶导，根据其符号知f x 在()0,+∞上单调递增，令0f x 得到ln 1x x a+=，构造()ln 1x h x x a=+-结合其单调性，注意利用导数研究()ln 1x x x ϕ=-+的符号，再用放缩法判断1a h a ⎛⎫⎪+⎝⎭、()1ea h +的符号，即可判断零点0x 的唯一性，进而得到00011ln ln x x a x -==-，结合基本不等式求证()00f x ≥. (1)当1a =时，()1e ln 1xf x x -=--，定义域为()0,+∞，则()11e x f x x -'=-，()121e 0xf x x -+'=>'， 所以f x 在()0,+∞上单调递增，又()10f '=， 当01x <<时，0f x ，所以()f x 在区间0,1上单调递减； 当1x >时，0f x，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.综上，()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. (2)由题意，()11ex af x x -='-，()1211e 0x af x a x-=⋅+'>'，则f x 在()0,+∞上单调递增，至多有一个零点，令()ln 1x x x ϕ=-+，其中1x >，则()111xx x xϕ-'=-=， 当()0,1x ∈时，()0ϕ'>x ，()ϕx 单调递增. 当()1,x ∈+∞时，()0ϕ'<x ，()ϕx 单调递减，所以()()10x ϕϕ≤=，即ln 10x x -+≤，于是ln 1≤-x x ， 令0f x，则e e x a x ⋅=，两边取自然对数可得ln 1xx a+=，令()ln 1x h x x a=+-，则()h x 在()0,+∞上单调递增. 故11ln 1111011111a a a h a a a a a ⎛⎫=+-≤-+-=-<⎪+++++⎝⎭，又()11111e eln ee 10a a a a h a a a++++=+⋅-=+>， 所以()h x 在()0,+∞上有唯一零点0x ，则f x 有唯一零点0x ，即()f x 有唯一极值点0x .下证()00f x ≥： 因为()01001e0x af x x -'=-=，所以0101e x a x -=，可得00011ln ln x x a x -==-，所以()010000e ln 11120x ax a f x a x x a -=--=+--≥=，当且仅当0x a =时等号成立，综上，()f x 有唯一极值点0x 且()00f x ≥，得证. 【点睛】关键点点睛：第二问，利用二阶导数研究一阶导数的单调性，根据零点所得的等量关系构造()ln 1x h x x a=+-，结合单调性、零点存在性定理判断f x 零点的唯一性，进而利用基本不等式证明不等式. 5．(1)答案见解析； (2)12a =. 【解析】 【分析】（1）由题可得()11ax f x a xx+'=+=，讨论0a ≥，0a <即得； （2）由题可得()g x '是一个单调递增的函数，利用零点存在定理可得()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，进而可得()0000111ln e e 1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用导数可得001e x x =，结合条件可得00ln 20x ax +=，即求. (1)()11ax f x a x x+'=+=，0x >， 当0a ≥时，函数()f x 在定义域()0,∞+上单调递增； 当0a <时，函数的单调性如表格所示：由题可得()()()22121e 1ln 2e ln 1x xg x x x x x x x x '=-++-++-=++-，0x >，则()g x '是一个单调递增的函数， 当2e x -=时，()()2242e e e e e 30g ----'=+-<，当1x =时，()12e 10g '=->，故()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，且所以0x t =，00000e ln 10g x x x x '=++-=，整理该式有()02000e 1ln x xx x +=-，()000001111e ln xx x x x +=+， ∴()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭令()()21ln ,e m x x x x -=+>，则()2ln 0m x x '=+>，所以函数在()2e ,-+∞上单调递增，故()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解满足001e xx =；又()2ln h x x x ax x =++，()1ln 21h x x ax '=+++，()0002ln 22h x x ax '=++=，所以00ln 20x ax +=，由01e xx =知，0020x ax -+=，故12a =．6．(1)()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接求导后判断单调性即可；（2）先变形得到323033x a x x -=++，构造函数，求导后说明单调性即可证明.(1)当1a =时，()()321313f x x x x =-++，2()23f x x x '=--. 令()0f x '=，解得1x =-或3x =，当()(),13,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x '>；当(1,3)x ∈-时，()0f x '<， 故()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减.(2)()321()2333y f x a x a x x =-=-++，由于2330x x ++>，所以()20f x a -=等价于3230.33x a x x -=++设()32333x g x a x x =-++， 则()g x '()()222269033x x x xx ++=++，当且仅当0x =或3x =-时，()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，故()g x 至多有一个零点，从而()2y f x a =-至多有一个零点. 7．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；（2）由2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再 利用导数法求出()()n 1l xx x x ϕ-=在2e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解.(1)由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞，由()ln x f x x=，得()()2ln 1ln x f x x -'=， 直线y g x 过定点()1,0， 若直线yg x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，则()002000ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1=10h x x'+>， 所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=， 从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线. (2)由()()f x g x ≤，得()1ln xxk x ≤-， 22e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n xk x x -∴≥若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1xk x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可. 令()()n 1l x x x x ϕ-=，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦，令()ln 1t x x x =--+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()110t x x'=--<， 所以()t x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x()ϕx 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e ee e 1ln e e 1ϕ==--，即ee 1k ≥-. 所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【点睛】解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解.8．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关； (2)①0310p =；②()73a b + 【解析】（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K 计算公式，将计算结果与195%0.05-=所对应的k 值比较大小即可；（2）①利用独立重复试验与二项分布的特点，写出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，再利用导数求出最值点； ②利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案. (1)由题中表格数据完成22⨯列联表如下：()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关. (2)①由题得，()()733101f p C p p =-，()0,1p ∈， ∴()()()()()763236321010C 3171C 1310f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦. 令()0f p '=，得310p =，当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>； 当3,110p ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f p '<， ∴当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调选增；当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调递减， ∴()f p 的最大值点0310p =. ②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X 的数学期望. 由①知答错的概率为310， 则()33101731010E X a b a b ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故要准备的礼品大致为73a b +元.9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2- (2)()max 312f x =，()min 163f x =-【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案. (1)解：（1）()226f x x ax '=+-，因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =． 检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<， 所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； (2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； 当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=，()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-，()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-，所以()max 312f x =，()min 163f x =-． 10．(1)3a =-；(2)增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ，极小值22e -，无极大值.【解析】 【分析】（1）根据()1112f '⨯=-，代值计算即可求得参数值；（2）根据（1）中所求参数值，求得()f x '，利用导数的正负即可判断函数单调(1)因为()ln 1f x x a '=++，在点()()1,1f 处的切线斜率为()11k f a '==+， 又()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直， 所以()1112f '⨯=-，解得3a =-. (2)由（1）得，()ln 2f x x '=-，()0,x ∈+∞， 令()0f x '>，得2e x >，令()0f x '<，得20e x <<，即()f x 的增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ．又()22222e e ln e 3e 22ef =-+=-，所以()f x 在2e x =处取得极小值22e -，无极大值． 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属综合中档题.。
高中数学专题练习《导数的四则运算法则》含详细解析
5.2.2导数的四则运算法则基础过关练题组一导数的四则运算法则1.函数f(x)=x 2x+3的导数f'(x)=()A.x 2+6xx+3B.-2x(x+3)2C.x2+6x(x+3)2D.3x2+6x(x+3)22.函数y=x2cos x的导数为()A.y'=2xcos x-x2sin xB.y'=2xcos x+x2sin xC.y'=x2cos x-2xsin xD.y'=xcos x-x2sin x3.已知f(x)=x2+e x,则f'(0)=()A.0B.-4 C.-2 D.14.对于函数f(x)=e xx2+ln x-2kx,若f'(1)=1,则实数k等于()A.e2B.e3C.-e2D.-e35.(2020浙江宁波余姚中学高二下月考)设f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f'(x)=g'(x),则f(x)与g(x)满足() A.f(x)=g(x) B.f(x)=g(x)=0C.y=f(x)-g(x)为常数函数D.y=f(x)+g(x)为常数函数6.若函数f(x)=x 2e x,则f'(x)=.7.已知函数f(x),g(x)满足f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,若h(x)=f(x)+2g(x),则h'(5)=.8.求下列函数的导数.(1)y=x-2+x2;(2)y=3x e x-2x+e;(3)y=lnxx2+1;(4)y=x2-4sin x2cos x2.题组二求导法则的综合应用9.已知函数f(x)=f'(1)+xln x,则f(e)=()A.1+eB.eC.2+eD.310.已知定义在R上的函数f(x)=e x+x2-x+sin x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为()A.y=3x-2B.y=x+1C.y=2x-1D.y=-2x+311.(2020浙江嘉兴高三上期末)设曲线y=x+1x-2在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0(b≠0)垂直,则ab=()A.13B.-13C.3D.-312.(2020河北保定高二上期末)设曲线f(x)=ae x-ln x(a≠0)在x=1处的切线为l,则l在y轴上的截距为()A.1B.2C.aeD.ae-113.若质子的运动方程为s=tsin t,其中s的单位为m,t的单位为s,则质子在t=2s时的瞬时速度为m/s.14.曲线y=x3+3x2+6x-10的所有切线中,斜率最小的切线方程为.15.(2020江西南昌三中高二下期中)已知函数f(x)=x-2ln x,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.能力提升练题组导数的四则运算法则及其应用1.()设函数f(x)=sinθ3x3+√3cosθ2x2+tanθ,其中θ∈[0,5π12],则导数f'(1)的取值范围是()A.[-2,2]B.[√2,√3]C.[√3,2]D.[√2,2]2.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)下面四个图象中,有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)=()A.13B.-23C.73D.-13或533.(2019河北衡水中学高三二调,)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=e x(2x-2)+f(x)(e是自然对数的底数),f(0)=1,则(易错)A.f(x)=e x(x+1)B.f(x)=e x(x-1)C.f(x)=e x(x+1)2D.f(x)=e x(x-1)24.()设函数f(x)=xsin x+cos x的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为g(t),则函数y=g(t)图象的一部分可以是()5.(多选)()给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))',若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,π)上不是凸函数的是()2A.f(x)=sin x-cos xB.f(x)=ln x-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=xe x6.()对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),现给出定义:设f'(x)是函数f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=2x3-3x2+1,则g(1100)+g(2100)+…+g(99100)=.7.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)已知函数f(x)=13x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围;(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.8.()已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在抛物线的AOB⏜上求一点P,使△ABP的面积最大.9.()已知函数f(x)(x∈(0,+∞))的导函数为f'(x),且满足xf'(x)-2f(x)=x3e x,f(1)=e-1,求f(x)在点(2,f(2))处的切线方程.答案全解全析基础过关练1.C f'(x)=(x 2)'(x+3)−x2(x+3)′(x+3)2=2x(x+3)−x 2(x+3)2=2x2+6x-x2(x+3)2=x2+6x(x+3)2.故选C.2.A对函数y=x2cos x求导,得y'=2xcos x+x2·(-sin x)=2xcos x-x2sin x.故选A.3.D由题意,得f'(x)=2x+e x,则f'(0)=1,故选D.4.A因为f'(x)=e x(x-2)x3+1x+2kx2,所以f'(1)=-e+1+2k=1,解得k=e2,故选A.5.C取f(x)=x,g(x)=x+1,满足f'(x)=g'(x),可以验证A、B、D错误;由f'(x)=g'(x),得f'(x)-g'(x)=0,即[f(x)-g(x)]'=0,所以f(x)-g(x)=c(c为常数),C 正确.故选C.6.答案2x-x 2e x解析f'(x)=2xe x-x2e x(e x)2=2x-x2e x.7.答案516解析由题意得,h'(x)=f'(x)g(x)-[f(x)+2]g'(x)[g(x)]2,由f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,得h'(5)=f'(5)g(5)-[f(5)+2]g'(5)[g(5)]2=3×4−(5+2)×142=516.8.解析(1)y'=2x-2x-3. (2)y'=(ln3+1)·(3e)x-2x ln2.(3)y'=x 2+1−2x 2lnx x(x 2+1)2.(4)∵y=x 2-4sin x2cos x 2=x 2-2sin x,∴y'=2x-2cos x.9.A ∵f'(x)=ln x+1,∴f'(1)=ln 1+1=1,则f(x)=1+xln x,∴f(e)=1+eln e=1+e.10.B ∵f'(x)=e x +2x-1+cos x,∴切线的斜率k=f'(0)=1,又f(0)=1,∴切线方程为y=x+1. 11.B 依题意得y'=x -2-(x+1)(x -2)2=-3(x -2)2,则y'x=1=-3,由于曲线y=x+1x -2在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0(b ≠0)垂直,所以(-3)·(-ab)=-1,解得a b=-13.故选B.12.A 因为函数f(x)=ae x -ln x(a ≠0), 所以f'(x)=ae x -1x ,将x=1代入,得k=ae-1,又f(1)=ae,所以曲线f(x)在x=1处的切线l 的方程为y-ae=(ae-1)(x-1), 整理得y=(ae-1)x+1,令x=0,得y=1. 所以l 在y 轴上的截距为1.故选A. 13.答案 sin 2+2cos 2解析 ∵s'=(tsin t)'=sin t+tcos t, ∴所求瞬时速度为(sin 2+2cos 2)m/s. 14.答案 3x-y-11=0解析 ∵y'=3x 2+6x+6=3(x 2+2x+2) =3(x+1)2+3≥3,∴当x=-1时,y'最小,即此时切线的斜率最小,此时切点为(-1,-14), ∴切线方程为y+14=3(x+1), 即3x-y-11=0.15.解析 ∵函数f(x)=x-2ln x 的导函数为f'(x)=1-2x ,∴曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=1-2=-1,又f(1)=1,∴曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.能力提升练1.D f'(x)=sin θ·x 2+√3cos θ·x, ∴f'(1)=sin θ+√3cos θ=2sin (θ+π3),∵θ∈[0,5π12],∴θ+π3∈[π3,3π4],∴sin (θ+π3)∈[√22,1],∴f'(1)=2sin (θ+π3)∈[√2,2].故选D.2.D 因为f'(x)=x 2+2ax+a 2-1,所以y=f'(x)的图象开口向上,排除②④.若y=f'(x)的图象为①,则a=0,f(-1)=53;若y=f'(x)的图象为③,则a 2-1=0,得a=±1.又对称轴x=-a>0,所以a=-1,所以f(-1)=-13.3.D 由f'(x)=e x (2x-2)+f(x), 得f'(x)-f(x)e x =2x-2,即[f(x)e x]'=2x-2,所以f(x)e x=x 2-2x+c(c 为常数),所以f(x)=(x 2-2x+c)e x , 又因为f(0)=1,所以c=1,所以函数f(x)的解析式是f(x)=e x (x-1)2.故选D.易错警示 已知原函数可求出唯一的导函数,已知导数求原函数,则结论不唯一,如本题中由y'=2x-2可以得到y=x 2-2x+c(c 为常数),解题时容易将c 遗漏导致解题错误. 4.A 由f(x)=xsin x+cos x,可得f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x. 则g(t)=f'(t)=tcos t,易知函数g(t)是奇函数,排除选项B,D; 当t ∈(0,π2)时,g(t)>0,排除选项C.故选A.5.AD 对于A,f'(x)=cos x+sin x, f″(x)=-sin x+cos x,当x ∈(0,π4)时,f″(x)>0,故f(x)=sin x-cos x 不是凸函数;对于B,f'(x)=1x-2,f″(x)=-1x2<0,故f(x)=ln x-2x 是凸函数; 对于C,f'(x)=-3x 2+2,f″(x)=-6x,当x ∈(0,π2)时,f″(x)<0,故f(x)=-x 3+2x-1是凸函数;对于D,f'(x)=(x+1)e x ,f″(x)=(x+2)e x ,当x ∈(0,π2)时,f″(x)>0,故f(x)=xe x 不是凸函数.故选AD.6.答案992解析 依题意得,g'(x)=6x 2-6x,g″(x)=12x -6,令g″(x)=0,解得x=12, ∵g (12)=12,∴函数g(x)的对称中心为(12,12),则g(1-x)+g(x)=1,∵1100+99100=2100+98100=…=49100+51100=1,∴g (1100)+g (99100)=g (2100)+g (98100)=…=g (49100)+g (51100)=1,∴g (1100)+g (2100)+…+g (99100) =[g (1100)+g (99100)]+[g (2100)+g (98100)] +…+[g (49100)+g (51100)]+g (12) =49+12=992.7.解析 (1)由题意得f'(x)=x 2-4x+3,则f'(x)=(x-2)2-1≥-1,即曲线C 上任意一点的切线的斜率的取值范围是[-1,+∞).(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k,则由条件和(1)中结论可知, {k ≥−1,-1k ≥−1,解得-1≤k<0或k ≥1,故由-1≤x 2-4x+3<0或x 2-4x+3≥1,得x ∈(-∞,2-√2]∪(1,3)∪[2+√2,+∞).8.解析 因为|AB|为定值,所以要使△PAB 的面积最大,只要点P 到AB 的距离最大即可,即点P 是抛物线的切线中平行于AB 的切线的切点,设P(x,y).由题图知,点P 在x 轴下方的图象上,所以y=-2√x ,所以y'=-√x . 因为k AB =-12,所以-√x =-12,解得x=4.由y=-2√x ,得y=-4, 所以点P 的坐标为(4,-4).9.解析 ∵xf'(x)-2f(x)=x 3e x ,x ∈(0,+∞),∴xf'(x)-2f(x)x 3=e x . 令g(x)=f(x)x 2,则g'(x)=xf'(x)-2f(x)x 3=e x , ∴g(x)=f(x)x 2=e x +c(c 为常数),∴f(x)=x 2(e x +c).又f(1)=e+c=e-1,∴c=-1.∴f(x)=x 2(e x -1),∴f'(x)=2x(e x -1)+x 2e x =(x 2+2x)e x -2x,∴f'(2)=8e 2-4.又f(2)=4(e 2-1),∴所求切线方程为y-4(e 2-1)=(8e 2-4)·(x-2),即y=(8e 2-4)x-12e 2+4.。
高中数学导数训练题含答案
导数训练一、单选题（共33题；共66分）1.曲线在处的切线方程是（）A. B. C. D.2.若，则等于（）A. 0B. 1C. 3D.3.下列各式正确的是（）A. (a为常数)B.C.D.4.函数+e的导函数是（）A. B. C. D.5.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.6.曲线在点（1,1）处的切线方程为（）A. B. C. D.7.函数的导函数（）A. B. C. D.8.某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为,则该物体在秒时的瞬时速度为（）A. 1米／秒B. 2米／秒C. 3米／秒D. 4米／秒9.f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为（）A. 0B. 3C. 4D. －10.函数的导数为（）A. B. C. D.11.设函数，若，则等于（）A. B. C. D.12.已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为( )．A. 4B. 16C. 8D. 213.曲线在处的切线的斜率为（）A. -1B.C.D. 114.下列求导运算的正确是（）A. 为常数B.C.D.15.已知曲线的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )A. 1B. ln2C. 2D. e16.一物体做直线运动，其位移(单位: )与时间(单位: )的关系是，则该物体在时的瞬时速度是（）A. B. C. D.17.函数的单调增区间是（）A. B. C. D.18.已知函数的值为（）A. B. C. D.19.已知函数，则（）A. B. C. D.20.函数= 的极值点为( )A. B. C. 或 D.21.已知函数,直线过点且与曲线相切,则切点的横坐标为( )A. B. 1 C. 2 D.22.函数在点处切线方程为（）A. B. C. D.23.若有极大值和极小值，则的取值范围是（）A. B. C. D.24.函数的导数为（）A. ＝2B. ＝C. ＝2D. ＝25.设，若，则（）A. B. C. D.26.函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.27.曲线在点处的切线方程是A. B. C. D.28.已知函数，则函数的图象在处的切线方程为（）A. B. C. D.29.一物体在力F(x)＝2x＋3(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1运动到x＝4处，求力F(x)所做的功．（）A. 24B. 25C. 26D. 2730.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.31.已知函数，则其导数（）A. B. C. D.32.曲线在处的切线倾斜角是（）A. B. C. D.33.已知函数，且，则的值为（）A. B. C. D.二、填空题（共10题；共11分）34.函数的单调递增区间是________.35.已知函数为的导函数,则的值为________.36.已知函数，则函数的图像在点处的切线方程为________.37.函数在处的切线方程是，则________.38.设函数可导，若，则________．39.已知函数的导函数为，若，则的值为________.40.若函数,则的值为________．41.已知，则________．42.已知函数( 为常数)，若为的一个极值点，则________.________.43.曲线在点处的切线方程为________．三、解答题（共7题；共55分）44.已知函数，当时，有极大值3.（1）求该函数的解析式；（2）求该函数的解析式；（3）求函数的单调区间.（4）求函数的单调区间.45.如果函数f(x)= (a＞0)在x=±1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求函数f(x)的解析式.46.已知函数.(I)若曲线在点处的切线方程为,求的值；(II)若,求的单调区间.47.已知（1）判断单调性（2）判断单调性（3）当时，求的最大值和最小值（4）当时，求的最大值和最小值48.已知函数，求曲线在点处的切线方程；49.已知在与时都取得极值．（1）求的值；（2）求的值；（3）若，求的单调区间和极值。
高中数学导数专题常考练习题
高中数学导数专题常考练习题高考数学中，导数是一个常考的题型。
下面介绍几道典型的导数题目。
1.已知函数$f(x)$的导函数$f'(x)$满足以下条件：①当$f'(x)>0$时，$x2$；②当$f'(x)<0$时，$-1<x<2$；③当$f'(x)=0$时，$x=-1$或$x=2$。
则函数$f(x)$的大致图象是什么？2.已知直线$2x-y+1=0$与曲线$y=ae^{x}$相切（其中$e$为自然对数的底数），则实数$a$的值是多少？3.已知函数$f(x)=ax+(1-a)x^3$是奇函数，则曲线$y=f(x)$在$x=1$处的切线的倾斜角为多少？4.已知函数$f(x)=x+ax+bx^2+a$在$x=1$处的极值为10，则数对$(a,b)$为什么？5.函数$f(x)=x^3-4x^2+mx$在$[0,3]$上的最大值为4，则$m$的值为多少？6.已知函数$f(x)=x-mx^3+4x^2-3$在区间$[1,2]$上是增函数，则实数$m$的取值范围为什么？7.已知偶函数$f(x)(x\neq0)$的导函数为$f'(x)$，且满足$f(1)=0$。
当$x>0$时，$xf'(x)0$成立的$x$的取值范围是什么？8.已知曲线$y=x+\ln x$在点$(1,1)$处的切线与曲线$y=ax^2+(a+2)x+1$相切，则$a$等于多少？9.若函数$f(x)=x^3+x^2-3$在区间$(a,a+5)$上存在最小值，则实数$a$的取值范围是什么？10.已知$f'(x)$是函数$f(x)$的导函数，$f(1)=e$，$x\in\mathbb{R}$，且$2f(x)-f'(x)>0$。
则不等式$f(x)<e^{2x}-1$的解集是什么？11.已知函数 $f(x)=2x^3-ax^2+b$，讨论 $f(x)$ 的单调性。
高中求导专项练习题
高中求导专项练习题1. 求导问题一已知函数$y=x^3-2x^2$，求该函数在$x=2$处的导数值。
解析：求导即求函数的斜率，利用导数的定义进行求解。
函数$y=x^3-2x^2$的导数为$\frac{dy}{dx}=3x^2-4x$。
将$x=2$代入导数表达式中，即可求出该函数在$x=2$处的导数值。
2. 求导问题二已知函数$y=\sqrt{x+1}$，求该函数的导数。
解析：利用导数的定义求解。
函数$y=\sqrt{x+1}$的导数为$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$。
将导数表达式简化后即可得到该函数的导数。
3. 求导问题三已知函数$y=e^x\ln x$，求该函数的导数。
解析：利用乘法法则和链式法则求解。
函数$y=e^x\ln x$的导数为$\frac{dy}{dx}=e^x\ln x+\frac{e^x}{x}$。
利用指数函数和对数函数的导数规则，将导数表达式简化后即可得到该函数的导数。
4. 求导问题四已知函数$y=\sin^2x$，求该函数的导数。
解析：利用链式法则求解。
函数$y=\sin^2x$的导数为$\frac{dy}{dx}=2\sin x\cos x$。
利用三角函数的导数规则，将导数表达式简化后即可得到该函数的导数。
5. 求导问题五已知函数$y=\frac{1}{\log_2x}$，求该函数的导数。
解析：利用倒数法则和链式法则求解。
函数$y=\frac{1}{\log_2x}$的导数为$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x\ln 2(\ln x)^2}$。
利用对数函数的导数规则，将导数表达式简化后即可得到该函数的导数。
6. 求导问题六已知函数$y=\frac{x^2}{\sqrt{1+x}}$，求该函数的导数。
解析：利用除法法则和链式法则求解。
函数$y=\frac{x^2}{\sqrt{1+x}}$的导数为$\frac{dy}{dx}=\frac{2x\sqrt{1+x}-\frac{1}{2}x^2\frac{1}{\sqrt{1+x}}}{1+x}$。
导数大题经典练习及答案
导数大题专题训练1．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2，(Ⅰ)对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1＞成立．2、已知函数.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点P（1，f (1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；（Ⅱ）若对于都有f (x)＞2(a―1)成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g (x)=f (x)+x―b（b∈R）.当a=1时，函数g (x)在区间[e―1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围.3．设函数f (x)=lnx+(x－a)2，a∈R.（Ⅰ）若a=0，求函数f (x)在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数f (x)在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）求函数f (x)的极值点.4、已知函数.(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.5、已知函数(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对于任意成立，试求a的取值范围；(Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．6、已知函数．(1)若函数在区间(其中)上存在极值，求实数a的取值范围；(2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立；令，则，在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，即，所以.(Ⅱ)当，，由得.①当时，在上，在上因此，在处取得极小值，也是最小值. .由于因此，②当，，因此上单调递增，所以，……9分(Ⅲ)证明：问题等价于证明由(Ⅱ)知时，的最小值是，当且仅当时取得，设，则，易知，当且仅当时取到，但从而可知对一切，都有成立.2、解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1.函数f (x)的定义域为（0，+∞），因为，所以，所以a=1.所以. .由解得x＞0；由解得0＜x＜2. 所以f (x)的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）（Ⅱ），由解得；由解得.所以f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，函数f (x)取得最小值，. 因为对于都有成立，所以即可. 则.由解得.所以a的取值范围是.（Ⅲ）依题得，则.由解得x＞1；由解得0＜x＜1.所以函数在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数.又因为函数在区间[e－1，e]上有两个零点，所以.解得.所以b的取值范围是.3．解：（Ⅰ）f (x)的定义域为（0，+∞）. 因为，所以f (x)在[1，e]上是增函数，当x=1时，f (x)取得最小值f (1)=1.所以f (x)在[1，e]上的最小值为1.（Ⅱ）解法一：设g (x)=2x2―2ax+1，依题意，在区间上存在子区间使得不等式g (x)＞0成立. 注意到抛物线g (x)=2x2―2ax+1开口向上，所以只要g (2)＞0，或即可由g (2)＞0，即8―4a+1＞0，得，由，即，得，所以，所以实数a的取值范围是.解法二：，依题意得，在区间上存在子区间使不等式2x2―2ax+1＞0成立.又因为x＞0，所以.设，所以2a小于函数g (x)在区间的最大值.又因为，由解得；由解得.所以函数g (x)在区间上递增，在区间上递减.所以函数g (x)在，或x=2处取得最大值.又，，所以，所以实数a的取值范围是.（Ⅲ）因为，令h (x)=2x2―2ax+1①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h (x)＞0恒成立，f (x)＞0，此时函数f (x)没有极值点；②当a＞0时，（i）当Δ≤0，即时，在（0，+∞）上h (x)≥0恒成立，这时f (x)≥0，此时，函数f (x)没有极值点；（ii）当Δ＞0时，即时，易知，当时，h (x)＜0，这时f (x)＜0；当或时，h (x)＞0，这时f (x)＞0；所以，当时，是函数f (x)的极大值点；是函数f (x)的极小值点.综上，当时，函数f (x)没有极值点；当时，是函数f (x)的极大值点；是函数f (x)的极小值点.4．解：. (Ⅰ)，解得.(Ⅱ).①当时，，，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是.②当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.③当时，，故的单调递增区间是.④当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.(Ⅲ)由已知，在上有.由已知，，由(Ⅱ)可知，①当时，在上单调递增，故，所以，，解得，故.②当时，在上单调递增，在上单调递减，故.由可知，，，所以，，，综上所述，.5、解：(Ⅰ)直线y＝x＋2的斜率为1，函数f(x)的定义域为因为，所以，所以a＝1，所以由解得x＞2 ；由解得0＜x＜2所以f(x)得单调增区间是，单调减区间是(Ⅱ)，由解得由解得所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减所以当时，函数f(x)取得最小值因为对于任意成立，所以即可则，由解得；所以a得取值范围是(Ⅲ)依题意得，则由解得x＞1，由解得0＜x＜1所以函数g(x)在区间上有两个零点，所以解得所以b得取值范围是6、解：(1)因为，，则，当时，；当时，．∴在上单调递增；在上单调递减，∴函数在处取得极大值．………3分∵函数在区间(其中)上存在极值，∴解得．(2)不等式，即为，记∴，…9分令，则，∵，∴，∴在上递增，∴，从而，故在上也单调递增，∴，∴．。
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高二数学导数专题训练一、选择题1. 一个物体的运动方程为S=1+t+2t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A 7米/秒B 6米/秒C 5米/秒D 8米/秒2. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ）A.1B.2C.－1D. 03 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ()f x =2()g xB ()f x -()g x 为常数函数C ()f x =()0g x =D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3y x x =+的递增区间是（ ）A )1,(-∞B )1,1(-C ),(+∞-∞D ),1(+∞5.若函数f(x)在区间（a ，b ）函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）有（ ） A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 D.无法确定6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件7．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A (1,0) B (2,8)C (1,0)和(1,4)--D (2,8)和(1,4)-- 8．函数313y x x =+- 有 （ ）A.极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值3D. 极小值-2，极大值29. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A (0)(2)2(1)f f f +<B (0)(2)2(1)f f f +≤ C(0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +>10.若函数()y f x =在区间(,)a b 可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．0二、填空题11．函数32y x x x =--的单调区间为___________________________________.12．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值围是 . 13.曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________.14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 . 三、解答题：15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程16．如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？17．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-，请解答下列问题：（1）求)(x f y =的解析式； （2）求)(x f y =的单调递增区间。
18．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值围．19．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，数k 的取值围；20.已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<， （1）求m 与n 的关系式； （2）求()f x 的单调区间；（3）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值围.参考答案一、选择题 AABCB ACCDB 二、填空题11．递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（13-，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，13）∪（1，+∞））12．(,0)-∞ 13．34π14．122n +- ()()/11222,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，令0x =，求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012n y n =+，所以21n na n =+，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212nn n S +-==--三、解答题：15．解：设切点为(,)P a b ，函数3235y x x =+-的导数为'236y x x =+切线的斜率'2|363x a k y a a ===+=-，得1a =-，代入到3235y x x =+-得3b =-，即(1,3)P --，33(1),360y x x y +=-+++=16．解：设小正方形的边长为x 厘米，则盒子底面长为82x -，宽为52x - 32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+ '2'10125240,0,1,3V x x V x x =-+===令得或，103x =（舍去）(1)18V V ==极大值，在定义域仅有一个极大值， 18V ∴=最大值17．解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)- 得591,,22a b c a b ++=-==-得 4259()122f x x x =-+（2）'3()1090,0,1010f x x x x x =->-<<>或单调递增区间为()1010-+∞ 18．解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分）（I ）由图可知 函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f得 ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=03023233c d b a c b a d …………（4分） （II ）依题意 3)2('-=f 且5)2(=f⎩⎨⎧=+--+-=--+534648323412b a b a b a b a 解得 6,1-==b a所以396)(23++-=x x x x f …………（8分）（III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点；42381432--=+-='x x x x x g ，()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,276832． …………（10分） 当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点， 故而，276816<<-m 为所求． …………（12分）19．解：（I ）当1k =时，2()1xf x x -'=-)(x f 定义域为（1，+∞），令()0,2f x x '==得， ………………（2分） ∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<， ∴()(1,2)f x 在是增函数，(2,)+∞在上是减函数∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f = ………………（4分） （II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点，∴函数()f x 有零点，不合要求； ………………（8分）②当0k >时，1()11()111k k x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………（6分） 令1()0,k f x x k +'==得，∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1(1,),()0x f x k '∈++∞<时，∴1()(1,1)f x k +在是增函数，1[1,)k++∞在上是减函数，∴()f x 的最大值是1(1)ln f k k+=-，∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<，1k >，因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值围(1,)k ∈+∞．………………（10分）20．解(1)2()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+（2）由（1）知，2()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0m <时，有211>+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表： 故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭单调递减， 在2(1,1)m+单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （3）由已知得()3f x m '>，即22(1)20mx m x -++>又0m <所以222(1)0x m x m m -++<即[]222(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设212()2(1)g x x x m m=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，所以22(1)0120(1)010g m mg ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得 43m -<又0m < 所以403m -<<即m 的取值围为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭。