因式分解——运用平方差公式
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教学目标
1.理解运用平方差公式分解因式与整式乘法是相反的变形： a² b² –
分解因式
(a+b)(a-b)
整式乘法
2.学会运用平方差公式分解因式，并且分解到底.
3.培养学生观察分析问题的能力.
4.渗透“整体”“换元”的数学思想和方法.
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法
平方差公式反 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积.
-( 2a –1)(2a –1) -(2a+1) (2a-1)
小结：1.具有的两式（或）两数平方差形式的多项式 可运用平方差公式分解因式。 2.公式a² b² (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数Baidu Nhomakorabea - = 也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。 3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再 进一步分解因式。 4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简，
考虑运用平方差公式分解因式。
巩固练习：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)²
C. -4 X² -y³
D
D. - X² y² +
）
2) -4a² +1分解因式的结果应是 （ A. -(4a+1)(4a-1) C. -(2a +1)(2a+1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 B. D.
注意点：
1.运用平方差公式分解因式的关键是要把分解的多项式看成两个数 的平方差，尤其当系数是分数或小数时，要正确化为两数的平方差。
2.公式 a² b² (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数，也可以是单 - = 项式或多项式，要注意“整体”“换元”思想的运用。
3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要 进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分 解为止。 4.运用平方差分解因式，还给某些运算带来方便，故应善于运用此 法，进行简便计算。 5.在因式分解时，若多项式中有公因式，应先提取公因式，再
a²- b² (a+b)(a-b) = 因式分解
引例：
对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式
1)
m² 16 -
2)
4x²- 9y²
m² 16= m² 4² m + 4)( m - 4) =( a² - b² ( a + b)( a - b ) = 4x² 9y² =(2x)² -(3y)² =(2x+3y)(2x-3y)
2) 213² -87² 解：1） 38² -37² =（38+37）（38-37）=75 =(213+87)(213-87) 用平方差公式进行简便计算: =300×126=37800
1) 38² -37² 2) 213² -87² 3) 解：3） 229² 229² -171²-171²
=（229+171）（229-171） =400×58=23200
例2.把下列各式因式分解 解：
1)( x + z )² ( y + z )² 4.原式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
×[(x+y+z)- (x-y-z)] 解： 2)4( a + b)² 25(a - c)²x ( 2 y + 2 z) =2 1.原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)] =4 x ( y + z ) 3)4a³ 4a 解： =(x+y+2z)(x-y) 2.原式=[2(a+b)]² -[5(a-c)]² 4)(x + y + z)² (x – y – z )² 解： 1 5)—a² 2 -1)=4a(a+1)(a-1) 3.原式=4a(a² 2 =(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c) =[2(a+b)+ 5(a-c)][2(a+b)- 5(a-c)]
直到不能再分解为止。
例1.把下列各式分解因式
（1）16a² 1 解：1）16a² -1=(4a)² 1 -
( 2 ) 4x² m² - n²
(3)
9 — 25
=(4a+1)(4a-1)
x²-
1 — 16
y²
解：2） 4x² m² - n²
( 4 ) –9x² 4 +
=(2x)² (mn)² =（2x+mn)(2x-mn)
1.理解运用平方差公式分解因式与整式乘法是相反的变形： a² b² –
分解因式
(a+b)(a-b)
整式乘法
2.学会运用平方差公式分解因式，并且分解到底.
3.培养学生观察分析问题的能力.
4.渗透“整体”“换元”的数学思想和方法.
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法
平方差公式反 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积.
-( 2a –1)(2a –1) -(2a+1) (2a-1)
小结：1.具有的两式（或）两数平方差形式的多项式 可运用平方差公式分解因式。 2.公式a² b² (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数Baidu Nhomakorabea - = 也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。 3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再 进一步分解因式。 4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简，
考虑运用平方差公式分解因式。
巩固练习：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)²
C. -4 X² -y³
D
D. - X² y² +
）
2) -4a² +1分解因式的结果应是 （ A. -(4a+1)(4a-1) C. -(2a +1)(2a+1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 B. D.
注意点：
1.运用平方差公式分解因式的关键是要把分解的多项式看成两个数 的平方差，尤其当系数是分数或小数时，要正确化为两数的平方差。
2.公式 a² b² (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数，也可以是单 - = 项式或多项式，要注意“整体”“换元”思想的运用。
3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要 进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分 解为止。 4.运用平方差分解因式，还给某些运算带来方便，故应善于运用此 法，进行简便计算。 5.在因式分解时，若多项式中有公因式，应先提取公因式，再
a²- b² (a+b)(a-b) = 因式分解
引例：
对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式
1)
m² 16 -
2)
4x²- 9y²
m² 16= m² 4² m + 4)( m - 4) =( a² - b² ( a + b)( a - b ) = 4x² 9y² =(2x)² -(3y)² =(2x+3y)(2x-3y)
2) 213² -87² 解：1） 38² -37² =（38+37）（38-37）=75 =(213+87)(213-87) 用平方差公式进行简便计算: =300×126=37800
1) 38² -37² 2) 213² -87² 3) 解：3） 229² 229² -171²-171²
=（229+171）（229-171） =400×58=23200
例2.把下列各式因式分解 解：
1)( x + z )² ( y + z )² 4.原式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
×[(x+y+z)- (x-y-z)] 解： 2)4( a + b)² 25(a - c)²x ( 2 y + 2 z) =2 1.原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)] =4 x ( y + z ) 3)4a³ 4a 解： =(x+y+2z)(x-y) 2.原式=[2(a+b)]² -[5(a-c)]² 4)(x + y + z)² (x – y – z )² 解： 1 5)—a² 2 -1)=4a(a+1)(a-1) 3.原式=4a(a² 2 =(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c) =[2(a+b)+ 5(a-c)][2(a+b)- 5(a-c)]
直到不能再分解为止。
例1.把下列各式分解因式
（1）16a² 1 解：1）16a² -1=(4a)² 1 -
( 2 ) 4x² m² - n²
(3)
9 — 25
=(4a+1)(4a-1)
x²-
1 — 16
y²
解：2） 4x² m² - n²
( 4 ) –9x² 4 +
=(2x)² (mn)² =（2x+mn)(2x-mn)