2016-2017学年湖南省岳阳市岳阳县一中高二(下)第一次月考数学试卷(理科)

2016-2017学年湖南省岳阳市岳阳县一中高二（下）第一次月考
数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）
A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P
2．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p为（）
A．∂x∈R，sinx≥1 B．∀x∈R，sinx≥1 C．∂x∈R，sinx＞1 D．∀x∈R，sinx＞1 3．（5分）设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系是（）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
4．（5分）已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）
A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0
5．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
6．（5分）把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（）
A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x+）C．y=cos2x D．y=﹣sin2x
7．（5分）函数f（x）=log2（3x+1）的值域为（）
A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）
8．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，3）内是减函数的是（）A．y=2x﹣2﹣x B．y=cosx C．y=log2|x|D．y=x+x﹣1
9．（5分）设2a=5b=m，且，则m=（）
A． B．10 C．20 D．100
10．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M 到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）
A．B．C．
D．
11．（5分）已知函数y=2sin（ωx+φ）为偶函数（0＜φ＜π），其图象与直线y=2相邻的两个交点的横坐标分别为x1，x2且|x1﹣x2|=π则（）
A．ω=2，φ= B．ω=，φ=C．ω=，φ=D．ω=2，φ=
12．（5分）设定义域为R的函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解的充要条件是（）
A．b＜0且c＞0 B．b＞0且c＜0 C．b＜0且c=0 D．b＞0且c=0
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13．（5分）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=．14．（5分）若函数f（x）=+log2，则f（x）的定义域为．15．（5分）已知=2，则tanα的值为．
16．（5分）设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知cos（π+θ）=，求的值．18．（12分）已知ρ：|1﹣|≤2，q：（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）≤0（m＞0），
若q是p充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19．（12分）某种海洋生物的身长f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：
f（t）=．（设该生物出生时的时刻t=0）
（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米？
（2）该生物出生后第3年和第4年各长了多少米？并据此判断，这2年中哪一年长得更快．
20．（12分）求函数y=sin（+4x）+cos（4x﹣）的周期、单调区间及最大、最小值．
21．（12分）已知定义在R上的函数f（x）=2x﹣．
（1）若f（x）=，求x的值；
（2）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）．
2016-2017学年湖南省岳阳市岳阳县一中高二（下）第一
次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2017•沈阳一模）设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）
A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P
【解答】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，如图所示，
可知Q⊆P，
故选：B．
2．（5分）（2016•让胡路区校级三模）已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p为（）
A．∂x∈R，sinx≥1 B．∀x∈R，sinx≥1 C．∂x∈R，sinx＞1 D．∀x∈R，sinx＞1【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得，
命题p：∀x∈R，sinx≤1，的否定是∂x∈R，使得sinx＞1
故选：C
3．（5分）（2010•安徽）设a=（），b=（），c=（），则a，b，
c的大小关系是（）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【解答】解：∵在x＞0时是增函数
∴a＞c
又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b
故答案选A
4．（5分）（2010•浙江）已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）
A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0
【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0
∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），
∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）
故选B．
5．（5分）（2010•山东）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b （b为常数），则f（﹣1）=（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，
所以f（0）=20+2×0+b=0，
解得b=﹣1，
所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，
又因为f（x）为定义在R上的奇函数，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，
故选A．
6．（5分）（2015秋•金昌校级期末）把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移
个单位得到的函数解析式为（）
A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x+）C．y=cos2x D．y=﹣sin2x
【解答】解：把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位，
所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣π）=﹣sin2x．故选D．
7．（5分）（2010•山东）函数f（x）=log2（3x+1）的值域为（）
A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）
【解答】解：根据对数函数的定义可知，真数3x+1＞0恒成立，解得x∈R．
因此，该函数的定义域为R，
原函数f（x）=log2（3x+1）是由对数函数y=log2t和t=3x+1复合的复合函数．
由复合函数的单调性定义（同増异减）知道，原函数在定义域R上是单调递增的．根据指数函数的性质可知，3x＞0，所以，3x+1＞1，
所以f（x）=log2（3x+1）＞log21=0，
故选A．
8．（5分）（2017春•岳阳县校级月考）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，3）内是减函数的是（）
A．y=2x﹣2﹣x B．y=cosx C．y=log2|x|D．y=x+x﹣1
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、y=2x﹣2﹣x，其定义域为R，有f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），为奇函数，不符合题意；
对于B、y=cosx，定义域R，且有f（﹣x）=cos（﹣x）=cosx=f（x）为偶函数，且其在（0，π）上为减函数，符合题意；
对于C、y=log2|x|，有y=log2|x|=，在（0，+∞）上为增函数，不符合题意；
对于D、y=x+x﹣1=x+，在（0，1）为减函数，（1，+∞）为增函数，不符合题意；故选：B．
9．（5分）（2010•辽宁）设2a=5b=m，且，则m=（）
A． B．10 C．20 D．100
【解答】解：，∴m2=10，又∵m＞0，∴．故选A
10．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）
A．B．C．
D．
【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，
∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|
=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，
其周期为T=，最大值为，最小值为0，
故选C．
11．（5分）（2017春•岳阳县校级月考）已知函数y=2sin（ωx+φ）为偶函数（0＜φ＜π），其图象与直线y=2相邻的两个交点的横坐标分别为x1，x2且|x1﹣x2|=π则（）
A．ω=2，φ= B．ω=，φ=C．ω=，φ=D．ω=2，φ=
【解答】解：函数y=2sin（ωx+φ）为偶函数（0＜φ＜π），
∴φ=；
又函数图象与直线y=2相邻的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且|x1﹣x2|=π，∴函数y的周期为T=π，
即=π，解得ω=2．
故选：A．
12．（5分）（2017春•岳阳县校级月考）设定义域为R的函数f（x）
=，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解的充要条件是（）
A．b＜0且c＞0 B．b＞0且c＜0 C．b＜0且c=0 D．b＞0且c=0
【解答】解：由f（x）图象知要使方程f2（x）+bf（x）+c=0有7解，
应有f（x）=0有3解，
f（x）≠0有4解．
则c=0，b＜0，
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13．（5分）（2011•张家界模拟）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=1．
【解答】解：因为A∩B={3}，
根据交集的运算推理得：3是集合A和集合B的公共元素，
而集合A中有3，所以得到a+2=3或a2+4=3（无解，舍去），
解得a=1．
故答案为1
14．（5分）（2017春•岳阳县校级月考）若函数f（x）=+log2，则f （x）的定义域为{x|1} ．
【解答】解：函数f（x）=+log2有意义，
其定义域满足：
解得：1．
∴函数f（x）的定义域为{x|1}．
故答案为{x|1}．
15．（5分）（2015秋•宝安区期末）已知=2，则tanα的值为1．【解答】解：由已知，将左边分子分母分别除以cosα，得，解得tanα=1；故答案为：1．
16．（5分）（2014秋•射阳县校级期中）设函数f（x）=，若f（f （a））≤2，则实数a的取值范围是a≤．
【解答】解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：
由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2．
由f（x）=﹣2，可得﹣x2=﹣2，x≥0，解得x=，
故当f（f（a））≤2时，则实数a的取值范围是a≤；
故答案为：
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（2017春•岳阳县校级月考）已知cos（π+θ）=，求
的值．
【解答】解：∵cos（π+θ）==﹣cosθ，即cosθ=﹣，
∴
====
．
18．（12分）（2017春•岳阳县校级月考）已知ρ：|1﹣|≤2，q：（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）≤0（m＞0），若q是p充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由：|1﹣|≤2，得﹣2≤x≤10，
∵m＞0，∴1+m＞1﹣m
∴由[x﹣（1+m）][x﹣（1﹣m）]≤0，
得：1﹣m≤x≤1+m
因为q是p的充分不必要条件，
所以，∴0＜m≤3，
故实数m的取值范围是（0，3]．
19．（12分）（2014•徐汇区一模）某种海洋生物的身长f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：
f（t）=．（设该生物出生时的时刻t=0）
（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米？
（2）该生物出生后第3年和第4年各长了多少米？并据此判断，这2年中哪一年长得更快．
【解答】解：（1）设f（t）=≥8，
即，
解得t≥6，
即该生物6年后身长可超过8米．
（2）由于f（3）﹣f（2）=，
f（4）﹣f（3）=，
∴第3年长了米，第4年长了米，
∴，
∴第4年长得快．
20．（12分）（2012•靖远县校级模拟）求函数y=sin（+4x）+cos（4x﹣）的周期、单调区间及最大、最小值．
【解答】解：∵（+4x）+（﹣4x）=，
∴cos（4x﹣）=cos（﹣4x）=sin（+4x），
∴原式就是y=2sin（4x+），这个函数的最小正周期为，即T=．
当﹣+2kπ≤4x+≤+2kπ（k∈Z）时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为[﹣+，+]（k∈Z）．
当+2kπ≤4x+≤+2kπ（k∈Z）时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为[+，+]（k∈Z）．
当x=+（k∈Z）时，y max=2；
当x=﹣+（k∈Z）时，y min=﹣2．
21．（12分）（2016秋•江岸区校级期中）已知定义在R上的函数f（x）=2x﹣．（1）若f（x）=，求x的值；
（2）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：由题意：f（x）=2x﹣定义在R上的函数，
∴
（1）当x≤0时，f（x）=0，无解
当x＞0时，f（x）=2x﹣，
由f（x）=，即：2x﹣=，
化简：2•22x﹣3•2x﹣2=0
因式分解：（2x﹣2）（2•2x+2）=0
解得：解得2x=2或2x=﹣，
∵2x＞0，
故：x=1．
（2）当t∈[1，2]时，
f（2t）=，f（t）=
那么：（）≥0
整理得：m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）
∵22t﹣1＞0，∴m≥﹣（22t+1）恒成立即可．
∵t∈[1，2]，∴﹣（22t+1）∈[﹣17，﹣5]．
要使m≥﹣（22t+1）恒成立，只需m≥﹣5
故：m的取值范围是[﹣5，+∞）．
22．（12分）（2017春•岳阳县校级月考）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）．
【解答】解：（1）∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2），
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）是周期为4的函数．
（2）当x∈[2，4]，4﹣x∈[0，2]，∴f（4﹣x）=2（4﹣x）﹣（4﹣x）2=﹣x2+6x ﹣8，
∴f（x）=f（x﹣4）=﹣f（4﹣x）=x2﹣6x+8（x∈[2，4]）．
（3）∵f（0）=0，f（1）=1，f（2）=0，f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1．
∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）=[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]+f （2016）+f（2017）=f（0）+f（1）=1．
参与本试卷答题和审题的老师有：lcb001；豫汝王世崇；wsj1012；wzj123；qiss；sdwdlcy；danbo7801；minqi5；742048；sllwyn；左杰；changq；caoqz；刘老师；maths；wfy814；zhczcb（排名不分先后）
菁优网
2017年5月5日。