高考全国3卷理科数学(2016-2018共3套真题)及答案

高考全国3卷理科数学真题2016-2018年共3套
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国3卷）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，
，，则A B =
A ．{}0
B ．{}1
C ．{}12，
D ．{}012，
， 2．()()1i 2i +-= A ．3i --
B ．3i -+
C ．3i -
D ．3i +
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
4．若1
sin 3α=，则cos 2α=
A ．89
B ．79
C ．7
9-
D ．89
-
5．5
22x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 的系数为
A ．10
B ．20
C ．40
D ．80
6．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2
222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是
A ．[]26，
B ．[]48，
C ．
D ．⎡⎣
7．函数422y x x =-++的图像大致为
8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =
A ．0．7
B ．0．6
C ．0．4
D ．0．3
9．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为222
4
a b c +-，则C =
A ．π2
B ．π3
C ．π4
D ．π6
10．设A B C D ，，
，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为锥D ABC -体积的最大值为
A ．
B ．
C ．
D ．
11．设12F F ，是双曲线22
221x y C a b
-=：（00a b >>，
）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近
线的垂线，垂足为P ．若1PF ，则C 的离心率为
A
B ．2
C D
12．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则
A ．0a b ab +<<
B ．0ab a b <+<
C ．0a b ab +<<
D ．0ab a b <<+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．
14．曲线()1x y ax e =+在点()01，
处的切线的斜率为2-，则a =________． 15．函数()πcos 36f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在[]0π，
的零点个数为________． 16．已知点()11M -，
和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。

第22、23为选考题。

考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 18．（12分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：
（3）根据（2）中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2
0.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥．
19．（12分）
如图，边长为2的正方形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M
是CD 上异于C ，D 的点．
（1）证明：平面AM D ⊥平面BMC ；
（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．
20．（12分）
已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143
x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为()()10M m m >，
． （1）证明：1
2
k <-；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差． 21．（12分）
已知函数()()
()22ln 12f x x ax x x =+++-．
（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
，
（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的
直线l 与O ⊙交于A B ，两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；
（2）当[)0x +∞∈，
， ()f x ax b +≤，求a b +的最小值．
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国3卷）
理科数学试题参考答案
一、选择题
二、填空题
13．1
2
14．3-15．316．2 17．解：
（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．
由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =． 故1(2)n n a -=-或12n n a -=． （2）若1
(2)
n n a -=-，则1(2)3
n n S --=．由63m S =得(2)188m
-=-，此方程没有正整数解．
若12n n a -=，则21n n S =-．由63m S =得264m
=，解得6m =．
综上，6m =． 18．解：
（1）第二种生产方式的效率更高． 理由如下：
（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73．5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．
（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8
大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
（2）由茎叶图知
7981
80
2
m
+
==．
列联表如下：
（3）由于
2
2
40(151555)
10 6.635
20202020
K
⨯-⨯
==>
⨯⨯⨯
，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
19．解：
（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．
因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．
又BC CM=C，所以DM⊥平面BMC．
而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．
（2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz．
当三棱锥M−ABC体积最大时，M为CD的中点．
由题设得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)
D A B C M，
(2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)
AM AB DA
=-==
设(,,)x y z =n 是平面MAB 的法向量，则
0,0.AM AB ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n 即20,
20.
x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取(1,0,2)=n ．
DA 是平面MCD 的法向量，因此
5
cos ,||||DA DA DA ⋅=
=
n n n ， 2sin ,
DA =
n ， 所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是5
． 20．解：
（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则2222
12121,14343
y x y x +=+=． 两式相减，并由
12
2
1y x y k x -=-得
1122
043
y x y k x +++⋅=． 由题设知
1212
1,22
x y x y m ++==，于是 3
4k m
=-
．① 由题设得302m <<
，故12
k <-． （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则
331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=．
由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3
||2
FP =． 于是
1||(22
x
FA x ===-．
同理2
||22
x FB =-
． 所以121
||||4()32
FA FB x x +=-
+=． 故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列． 设该数列的公差为d ，则
1212||||||||||2FB FA x x d =-=
-=．② 将3
4
m =
代入①得1k =-． 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2
171404
x x -+=．
故121212,28x x x x +==
，代入②解得||28
d =．
所以该数列的公差为28或28
-． 21．解：
（1）当0a =时，()(2)ln(1)2f x x x x =++-，()ln(1)1x
f x x x
'=+-+． 设函数()()ln(1)1x g x f x x x '==+-
+，则2
()(1)
x g x x '=+． 当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>．故当1x >-时，()(0)0g x g ≥=，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=．
所以()f x 在(1,)-+∞单调递增．
又(0)0f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >．
（2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾．
（ii ）若0a <，设函数22
()2()ln(1)22f x x
h x x x ax x ax =
=+-++++．
由于当||min{x <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点．
22222222
12(2)2(12)(461)
()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=
++++++． 如果610a +>，则当6104a x a +<<-
，且||min{x <时，()0h x '>，故0x =不是()h x 的极大值点．
如果610a +<，则22
4610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈
，且||min{x <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点．
如果610a +=，则322
(24)
()(1)(612)
x x h x x x x -'=+--．则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<．所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点
综上，16
a =-． 22．解：
（1）O 的直角坐标方程为221x y +=． 当2
απ
=时，l 与O 交于两点． 当2απ≠
时，记tan k α=，则l
的方程为y kx =l 与O
交于两点当且仅当|1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,
)24
απ3π
∈． 综上，α的取值范围是(,)44
π3π
．
（2）l
的参数方程为cos ,
(sin x t t y t αα
=⎧⎪⎨
=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2
A B
P t t t +=
，且A t ，B t
满足2sin 10t α-+=．
于是A B t t α+=
，P t α．又点P 的坐标(,)x y
满足cos ,
sin .P P
x t y t αα=⎧⎪⎨
=⎪⎩ 所以点P
的轨迹的参数方程是2,2x y αα
⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 23．解：
（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧
-<-⎪⎪
⎪
=+-≤<⎨⎪
≥⎪⎪⎩
()y f x =的图像如图所示．
（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ卷）
理科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。

1．已知集合A ={
}
22
(,)1x y x y +=│
，B ={}
(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
2．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=
A ．
1
2
B ．
2
C D ．2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加
C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80
B ．-40
C ．40
D ．80
5．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +
=有公共焦点，则C 的方程为
A ．
22
1810
x y -=
B ．
22
145x y -= C ．
22
154x y -= D ．
22
143
x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +
3
π
)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2π
B ．y =f (x )的图像关于直线x =83
π
对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =
6π D ．f (x )在(
2
π
,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π
B ．
3π4
C ．
π2
D ．
π4
9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24
B ．-3
C ．3
D ．8
10．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线
20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为
A
．
3
B
．
3
C
．
3
D ．
13
11．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =
A ．12
-
B ．
13
C ．
12
D ．1
12．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3
B ．
C
D ．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x ，y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则z 34x y =-的最小值为__________．
14．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________．
15．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，
则满足1
()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________。

16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边
AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60°；
其中正确的是________。

（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A
A =0，a
b =2． （1）求
c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积．
18．（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19．（12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C 的余弦值．
20．（12分）
已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．
21．（12分）
已知函数()
f x=x﹣1﹣a ln x．
（1）若
()0
f x ，求a的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111
1+
+1+)222
n ()(1)(﹤m ，求m 的最小值． （二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,
,x t y kt =⎧⎨=⎩
（t 为参数），直线l 2的参数方程为
2,
,x m m m y k =-+⎧⎪
⎨
=⎪⎩
（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：
ρ(cos θ+sin θ，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；
（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围．
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国3卷）
理科数学试题正式答案
一、选择题
1.B
2.C
3.A
4.C
5.B
6.D
7.D
8.B
9.A 10.A 11.C 12.A 二、填空题
13. -1 14. -8 15.
∞1（-，+）4
16. ②③ 三、解答题 17.解：
（1）由已知得
tanA=π
2A=3
在 △ABC 中，由余弦定理得
2222844cos
+2-24=0
3
c 6c c c c c π
=+-=-，即解得（舍去），=4 （2）有题设可得π
π
∠∠=∠-∠=
=
，所以2
6
CAD BAD BAC CAD
故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为π
=1sin 261
1
2
AB AD AC AD 又△ABC
的面积为⨯⨯∠=∆1
42sin 2
BAC ABD
18.解：
（1）由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知
()216
2000.290P X +==
= ()36
3000.490
P X ===
()2574
5000.490
P X ++==
=.
因此X 的分布列为
，因此只需考虑200500n ≤≤ 当300500n ≤≤时，
若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n
若最高气温位于区间[)20，,25，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n; 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n ×0.4+（1200-2n ）×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n 当200300n <≤时，
若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n ×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n 所以n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元。

19.解：
（1）由题设可得，,ABD CBD AD DC ∆≅∆=从而 又ACD ∆是直角三角形，所以0=90ACD ∠ 取AC 的中点O ，连接DO,BO,则DO ⊥AC,DO=AO 又由于ABC BO AC ∆⊥是正三角形，故 所以DOB D AC B ∠-
-为二面角的平面角 2222222220,Rt AOB BO AO AB AB BD BO DO BO AO AB BD ACD ABC
∆+==+=+==∠⊥在中，又所以
，故DOB=90所以平面平面
（2）
由题设及（1）知，OA,OB,OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA
为单位长，
建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则
-(1，0，0),(0(1，0，0),(0，0，1)A B C D
由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的
1
2
，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的
12，即E 为DB 的中点，得E 10，，22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.故
()()11，0，1，2，0，0，1，2AD AC AE ⎛⎫
=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
设()=x,y,z n 是平面DAE
的法向量，则00，即1
00，2x z AD x y z AE -+=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨-++==⎪⎪⎩⎩
n n
可取11=⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
n
设m 是平面AEC 的法向量，则0，
0，
AC AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m
同理可得(01,=-m
则77
cos ,=
=
n m n m n m 所以二面角
D-AE-C 的余弦值为7
20.解
（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+ 由2
22x my y x
=+⎧⎨
=⎩可得2
12240则4y my ,y y --==-
又()2
22
12121212==故=224
y y y y x ,x ,x x =4
因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4
==-14
y y x x 所以OA ⊥OB
故坐标原点O 在圆M 上.
（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m +
故圆心M 的坐标为(
)2
+2，m m ，圆M 的半径r =
由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ， 所以2
210m m --=，解得1
1或2
m m ==-
.
当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M ，圆M 的方程为
()()
22
3110x y -+-=
当12m =-
时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫
⎪⎝⎭
，圆M M 的方程为2
2
9185++4216x y ⎛
⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
21.解：（1）()f x 的定义域为()0，+∞.
①若0a ≤，因为11=-+2＜022
f aln ⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以不满足题意；
②若＞0a ，由()1a x a f 'x x x
-=-
=知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x=a 是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥. 故a =1
（2）由（1）知当()1，+x ∈∞时，1＞0x ln x -- 令1=1+
2n x 得11
1+＜22
n n ln ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而
2211111
111++1+++1+＜+++=1-＜122222
22n n n ln ln ln ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故21111+1+
1+＜222n e ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
而231111+1+1+＞2222⎛
⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
，所以m 的最小值为3. 22.解：
（1）消去参数t 得l 1的普通方程()12l :y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21
2l :y x k
=
+ 设P （x,y ）,由题设得()()21
2y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩
，消去k 得()22
40x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠ （2）C 的极坐标方程为()()2
2
240＜＜2cos sin ,r
q
q
q p q
p
-=≠
联立()(
)222
4+cos sin cos sin
r q q r q q ⎧-=⎪⎨⎪⎩得()=2+cos sin cos sin q q q q -.
故13tan
q =-，从而2
291=，
=1010
cos sin q q 代入()2
2
2
-=4cos sin r
q q 得2
=5r
，所以交点M
23.解：
（1）()3＜121123＞2
,x f x x ,
x ,x --⎧⎪
=--≤≤⎨⎪⎩
当＜1x -时，()1f x ≥无解；
当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤ 当＞2x 时，由()1f x ≥解得＞2x . 所以()1f x ≥的解集为{}
1x x ≥.
（2）由()2f x x x m ≥-+得212m x x x x ≤+---+，而
222
12+1+235=--+
2454
x x x x x x x x
x +---+≤--+⎛
⎫ ⎪⎝⎭≤
且当32x =
时，2
512=4
x x x x +---+. 故m 的取值范围为5-，4⎛
⎤∞ ⎥⎝⎦
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试题类型：
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国3卷）
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
（1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P ，则S I T =
(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则
41
i
zz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i
（3）已知向量1(,22BA =uu v ,1
(),22
BC =uu u v 则∠ABC=
(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是
(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上
(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个 （5）若3
tan 4
α=
，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625
（6）已知4
3
2a =，34
4b =，13
25c =，则
（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n = （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
（8）在ABC △中，π4B =
，BC 边上的高等于1
3
BC ,则cos A =
（A （B
（C ）-
（D ）-
(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
（A ）18+
（B ）54+ （C ）90 （D ）81
(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是
（A ）4π （B ）
92
π
（C ）6π （D ）
323
π
（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P
为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）
1
3
（B ）
12
（C ）
23
（D ）
34
（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k
a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有 （A ）18个
（B ）16个
（C ）14个
（D ）12个
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）若x ，y 满足约束条件错误！未找到引用源。

则z=x+y 的最大值为_____________.
（14）函数错误！未找到引用源。

的图像可由函数错误！未找到引用源。

的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。

（15）已知f(x)为偶函数，当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，则曲线y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是_______________。

（16）已知直线错误！未找到引用源。

与圆错误！未找到引用源。

交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

__________________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知数列错误！未找到引用源。

的前n项和错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，其中λ错误！未找到引用源。

0
（I）证明错误！未找到引用源。

是等比数列，并求其通项公式
（II）若
531 32
S=错误！未找到引用源。

，求λ
（18）（本小题满分12分）
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明
（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。

（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，
PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（I）证明MN∥平面PAB;
（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
（20）（本小题满分12分）
,l l分别交C于A，B两点，交C的准线于P，已知抛物线C：22
的焦点为F，平行于x轴的两条直线
y x
12
Q两点.
（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
（21）（本小题满分12分）
设函数f（x）=a cos2x+（a-1）（cos x+1），其中a＞0，记错误！未找到引用源。

的最大值为A.
（Ⅰ）求f＇（x）；
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明错误！未找到引用源。

≤2A.
请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。

作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O 中AB 的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点. （I ）若∠PFB =2∠PCD ，求∠PCD 的大小；
（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD .
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()
sin x y θ
θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩
为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴
为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4
ρθπ+=.
（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+
（I ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集；
（II ）设函数()|21|,g x x =-当x ∈R 时，f （x ）+g （x ）≥3，求a 的取值范围.
绝密★启封并使用完毕前
试题类型：Ⅲ2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学正式答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）A （7）B
（8）C （9）B （10）B （11）A （12）C
【11】
【12】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：
0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；
0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；
0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．
故选：C ．
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）
32 （14）
3
2π （15）21y x =-- （16）4
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得1111a S a λ+==，故1≠λ，λ
-=
11
1a ，01≠a . 由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1.由01≠a ，0≠λ得0≠n a ，所以
1
1-=
+λλ
n n a a . 因此}{n a 是首项为
λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1
)1
(11---=
n n a λλλ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1
(1--=λλ，由32315=
S 得3231
)1(15=--λλ，即=-5)1
(λλ321，
解得1λ=-．
（18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得
4=t ，28)(712
=-∑=i i t t ，55.0)(712=-∑=i i y y ，
89.232.9417.40))((717171=⨯-=-=--∑∑∑===i i i i i i i i y t y t y y t t
，
99.0646
.2255.089.2≈⨯⨯≈r . 因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系. （Ⅱ）由331.1732.9≈=y 及（Ⅰ）得103.028
89.2)())((ˆ71271≈=
---=∑∑==i i i i i t
y y t t b ， 92.04103.0331.1ˆˆ≈⨯-≈-=t b y a
. 所以，y 关于t 的回归方程为：t y
10.092.0ˆ+=. 将2016年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0ˆ=⨯+=y
. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知得23
2==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，22
1==BC TN . 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.
因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .
（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且5)2
(2222=-=-=BC AB BE AB AE . 以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，由题意知， )4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,2
5(N ， )4,2,0(-=，)2,1,25(-=，)2,1,2
5(=.
设),,(z y x n =为平面PMN 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-022
5042z y x z x ，可取)1,2,0(=n ， 于是25
58|||||,cos |==><AN n AN n AN n
.
（20）解：由题设)0,2
1
(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且 )2
,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分
（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .
记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则
222111k b a
ab a ab a b a a b a k =-=-==--=+-=. 所以FQ AR ∥. ......5分
（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2
,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得
221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .
当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(1
2≠-=+x x y b a .
而y b a =+2
，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---．
（Ⅱ）当1a ≥时，
'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =
因此，32A a =-． ………4分
当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--．
令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14a
t a
-=时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a
--++=--=-． 令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），15
a >． （ⅰ）当105a <≤
时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-． （ⅱ）当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4a g g g a
-->>． 又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a --+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a
-++==． 综上，2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩
． ………9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得'|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-. 当105a <≤
时，'|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=. 当115a <<时，131884
a A a =++≥，所以'|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时，'|()|31642f x a a A ≤-≤-=，所以'|()|2f x A ≤.
请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,.
因为BP AP =，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠.
又PCD PFB BFD PFD ∠=∠=∠+∠2,180 ，所以
1803=∠PCD ， 因此 60=∠PCD .
（Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以 180=∠+∠EFD PCD ，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）1C 的普通方程为2
213
x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分
（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值， 即为P 到2C 的距离()d α的最小值，
()sin()2|
3d παα==+-. ………………8分
当且仅当2()6k k Z π
απ=+∈时，()d α取得最小值，最小值为，此时P 的直角坐标为
31(,)22
. ………………10分 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.
解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.
因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. ………………5分
（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-
|212|x a x a ≥-+-+
|1|a a =-+，
当12
x =时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解.
当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥.
所以a 的取值范围是[2,)+∞. ………………10分。