九年级数学下册11锐角三角函数浅谈锐角三角函数的求值策略素材北师大版
锐角三角函数(第2课时)(课件)九年级数学下册(北师大版)
c
sin
A
=
∠A的对边
斜边
斜边
a =c
b
A
c
cos
A
=
∠A的邻边
斜边
=
b c
斜边
b邻 A 边
谢谢~
B1 A1
B2 A1
B1 A1
B2 A1
B1
（3）如果改变B2在梯子A1B1上的位置呢？
由此你可得出什么结论？
B2
（4）如果改变梯子A1B1的倾斜角的大小呢？
由此你可得出什么结论？
C1 C2
A1
探究新知
（1）Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2.
（2）相等
∵ Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2，
=
a c
tan A a a c sin A b c b cos A
若∠A+∠B=90°；一个 锐角的正弦等于它余角的余 弦，sinA=cosB；一个锐角的 余弦等于它余角的正弦；
cosA=sinB.
探究新知
锐角三角函数之间的关系:
(1)同一个角:①商的关系:tanA= sin A ；②平方
关系:sin2A+cos2A=1.
A
B
斜边
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
结论：在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与 斜边的比, ∠A的邻边与斜边的比也随之确定.
探究新知
核心知识点一： 正弦、余弦的定义
想一想：如图.
（1）直角三角形A1B1C1和直角三角形A1B2C2有什么关系？
（2）A1C1 和 A1C2 有什么关系？ B1C1 和 B2C2 呢？
探究新知
• 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构 造直角三角形). 2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去 “∠”号). 3.sinA,cosA 是一个比值，是直角边与斜边之比.注意比的顺序
九年级数学专题复习锐角三角函数
总复习锐角三角函数【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点进阶：ABCabc(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点进阶：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点进阶：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点进阶：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，一角，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点进阶：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点进阶：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：222a b c +=； (2)两锐角之间的关系：∠A+∠B ＝90°； (3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c==，cos sin b A B c ==，1tan tan a A b B==． (4) 如图，若直角三角形ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p ，则由△CBD ∽△ABC ，得a 2＝pc ；由△CAD ∽△BAC ，得b 2＝qc ；由△ACD ∽△CBD ，得h 2＝pq ；由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab ＝ch ．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则①CD ＝AD ＝BD ＝12AB ； ②点D 是Rt △ABC 的外心，外接圆半径R ＝12AB ． (6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c abr a b c+-==++． 直角三角形的面积： ①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B ===△．（h 为斜边上的高）②如图所示，1()2ABC S r a b c =++△．【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质例1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．10 sin50°(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．举一反三：【变式】如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A ．B ．C ．D ．类型二、特殊角的三角函数值 例2．解答下列各题： (1)化简求值：tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°；(2)在△ABC 中，∠C ＝90°，化简12sin cos A A -．举一反三： 【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2tan()3β的值.例3．如图，在锐角△ABC 中，AB=15，BC=14，S △ABC =84，求： （1）tanC 的值；（2）sinA 的值．CBA举一反三：【变式】如图，AB 是江北岸滨江路一段，长为3千米，C 为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥.经测量得A 在C 北偏西30°方向，B 在C 的东北方向，从C 处连接两岸的最短的桥长为多少千米？(精确到0.1千米)类型三、解直角三角形及应用例4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5DCB ∠=， AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长．例5．如图所示，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50 m 到达点D ，用高为1.5m 的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高(精确到0.1m)．(参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)．举一反三：【变式】如图所示，正三角形ABC的边长为2，点D在BC的延长线上，CD＝3．(1)动点P在AB上由A向B移动，设AP＝t，△PCD的面积为y，求y与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；(2)在(1)的条件下，设PC＝z，求z与t之间的函数关系式．例6．如图(1)所示，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子与地面的倾斜角α为60°．(1)求AO与BO的长．(2)若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．①如图(2)所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD＝2:3，试计算梯子顶端A 沿NO下滑了多少米；②如图(3)所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′＝15°，试求AA′的长．【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35,则tan A 等于 ( )A ．35 B ．45 C ．34 D ．432．在Rt △ABC 中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA=ab．则下列关系式中不成立的是（ ）A ．tanA•cotA=1B ．sinA=tanA•cosAC ．cosA=cotA•sinAD ．tan 2A+cot 2A=1第2题 第3题3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（ ） A ．34 B ．43 C ．35 D ．454．如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是( )A ．247B ．73C ．724D ．135．如图所示，已知∠α的终边OP ⊥AB ，直线AB 的方程为y ＝－33x ＋33，则cos α等于 ( ) A ．12B ．22C ．32D ．336．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB 长是（ ）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里二、填空题7．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的两根之差为5．则θ＝．8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为 .9．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB= .第8题第9题第11题10．当0°＜α＜90°时，求21sincosαα-的值为．11．如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则t an∠OBE=．12．在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为 .三、解答题13．如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m 时，求点D离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m）14. 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，如图所示．按规定，地下停车库坡道1:3上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE(精确到0.1 m)（sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）15．如图所示，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB上，测量湖中两个小岛C、D间的距离．从山顶A处测得湖中小岛C的俯角为60°，测得湖中小岛D的俯角为45°．已知小山AB的高为180米，求小岛C、D间的距离．(计算过程和结果均不取近似值)16. 在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA，交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．(1)在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；(2)当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系；然后证明你的猜想；(3)当三角尺在②的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C 不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)。
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案1
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》是学生在初中阶段学习三角函数的起点，起着承前启后的作用。
本节课主要介绍了锐角三角函数的定义及概念，通过生活中的实例让学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材以实例引入，引导学生探究锐角三角函数的定义，并通过自主学习、合作交流的方式，让学生掌握锐角三角函数的基本概念和性质。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念有一定的理解。
但是，对于锐角三角函数的理解还需要通过具体的实例和生活情境来引导学生。
学生在学习过程中，需要通过合作交流、自主探究的方式，掌握锐角三角函数的定义和性质。
此外，学生还需要在学习过程中，培养运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的基本概念和性质。
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的合作交流、自主探究能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义及概念。
2.教学难点：锐角三角函数的性质和运用。
五. 教学方法1.实例引入：通过生活中的实例，引导学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用。
2.自主学习：引导学生通过自主学习，掌握锐角三角函数的定义和性质。
3.合作交流：学生进行合作交流，分享学习心得和解决问题的方法。
4.实践操作：让学生通过实际操作，加深对锐角三角函数的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助讲解和展示。
2.实例素材：收集生活中的实例，用于引导学生感受锐角三角函数的应用。
3.练习题库：准备一定数量的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程导入（5分钟）1.利用实例引入：展示一些生活中的实例，如测量国旗的高度、计算房屋的面积等，引导学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用。
初中数学教学课例《锐角三角函数》教学设计及总结反思
怎么去证，可以采取小组合作的方式，让学生发现，证 比例相等是要把它放在直角三角形中证三个直角三角 形相似，从而来证明此题的结论。
设计意图：（证明结论）通过这个题，让学生进行 几何猜想的论证，培养学生观察、猜想、验证和证明的 方法，培养学生演绎推理的能力。
知识建构 那么在学生完成列题的基础上，师生之间进行总结 提炼，发现了正切定义 数学上，我们把这个确定的比叫做一个锐角的正 切.如图 1—5，我们把的对边与的邻边的比，叫做的正 切（tangent），记作.即 接着请同学们学生思考，梯子的倾斜程度与的值有 关吗？这时我会通过几何画板动态演示，密切数学与生 活的联系，更加直观、严谨地验证学生的猜想：的值越 大，梯子越陡 （四）巩固应用，拓展延伸 接着进行第四个环节，巩固应用，先出示例一。 设计意图：通过前面的学习，学生已经理解了正切 的定义，此时给学生设置一些问题，引发思考，以展示 自我，让学生体验成功，让学生先独立思考，培养孩子 学以致用的这样一个好习惯。然后选择 1 到 2 名学生进
1.（启）生活感悟，创设情景 2.（承）探索发现，验证猜想 3.（转）证明结论，构建知识 4.（合）巩固应用，拓展延伸 1.启，通过生活中的感悟创设情景。2 承，让学生 教学过程 用旧知识来进行探索发现，进行一些猜想，来发现新的 知识。3.转，通过学生对知识的延承，利用了旧的知识 来对新的知识进行发现，进行二次构建，然后让学生运 用所学知识进行逻辑推理证明，从而构建本节课的所 学。第 4 个环节就是合，整合，通过学生对于知识的概 念的理解，然后进行巩固和应用，进行拓展和延伸，整
（二）、探索发现，验证猜想 探究一：1.如图 1，在中，。如果，那么所对的边 和邻边的比值是多少？ 2.过点做，思考的对边和邻边的比又是多少？ 3.如图二，如果呢？ 在直角三角形中，当时学生非常容易回答出，从而 引发孩子应用勾股定理来解决对边和邻边比值的关系， 学生不难得到，接着出示第 2 题，对边与邻边的比值又 会发生什么变化？接着出示第三题，当时，以上规律还 是否存在？ 设计意图：（提出猜想）引导学生观察和分析，当 直角三角形的锐角等于时，锐角的对边和邻边的比值是
北师大版数学九年级下册1.1.1《锐角三角函数》说课稿
北师大版数学九年级下册1.1.1《锐角三角函数》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级下册1.1.1《锐角三角函数》是本册教材的起始章节，主要介绍了锐角三角函数的概念、定义及其应用。
通过本节课的学习，学生能够理解锐角三角函数的定义，掌握特殊角的三角函数值，并能运用三角函数解决实际问题。
本节课的内容主要包括以下几个部分：1.锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切函数在锐角范围内的定义及图象。
2.特殊角的三角函数值：30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。
3.三角函数的性质：单调性、周期性、奇偶性。
4.三角函数在实际问题中的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念有一定的了解。
但是，对于锐角三角函数的定义及其应用，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念，并通过大量的例子让学生加深对特殊角三角函数值的理解。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解锐角三角函数的定义，掌握特殊角的三角函数值，能运用三角函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，让学生体会数学与生活的联系，培养学生的动手操作能力和创新能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 说教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值。
2.教学难点：三角函数的性质，三角函数在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等。
2.教学手段：多媒体课件、实物模型、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，如测量物体的高度、角度的计算等，引出锐角三角函数的概念。
2.新课讲解：讲解锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，并通过示例让学生理解三角函数的性质。
3.课堂练习：让学生运用三角函数解决实际问题，如测量国旗的高度等。
北师大版数学九年级下册1.1.2锐角三角函数教学设计
（7）研究锐角三角函数在其他学科领域的应用，如物理学、工程学等，撰写一篇小论文。
（8）结合信息技术，利用计算器或计算工具，研究锐角三角函数的数值变化规律。
作业布置要求：
1.学生需独立完成作业，注重作业质量，书写工整，保持卷面整洁。
2.鼓励学生互相讨论、交流，共同解决问题，但严禁抄袭。
4.通过对锐角三角函数的学习，培养学生的数学思维能力，提高学生的逻辑推理和分析问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过实际操作和观察，引导学生自主探究锐角三角函数的定义，培养学生发现问题、提出问题的能力。
2.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论、交流中掌握锐角三角函数的计算方法，提高学生的合作意识和团队协作能力。
2.难点：
（1）理解锐角三角函数的概念，特别是正弦、余弦、正切的物理意义。
（2）运用锐角三角函数解决实际问题时，建立正确的数学模型。
（3）培养学生从实际问题中抽象出数学规律，提高学生的概括能力。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境教学法，通过实际问题引入锐角三角函数的概念，激发学生的学习兴趣。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在这一环节，我将通过一个与学生生活密切相关的实际问题来导入新课。例如，我可能会提出这样一个问题：“同学们，你们在学校的升旗仪式上是否注意过旗杆的高度？如果我们想知道旗杆的具体高度，但无法直接测量，你们有没有什么好方法呢？”这个问题能够激发学生的好奇心和探究欲望，引导学生运用已有知识思考解决方法。
3.设计丰富的例题和练习题，让学生在解答过程中，掌握锐角三角函数的应用，培养学生解决问题的策略和方法。
4.引导学生运用比较、归纳等思维方法，总结锐角三角函数的性质和规律，提高学生的概括能力。
九年级下册数学锐角三角函数知识点
九年级下册数学锐角三角函数知识点九年级下册数学锐角三角函数知识点在我们平凡无奇的学生时代，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点是指某个模块知识的重点、核心内容、关键部分。
掌握知识点是我们提高成绩的关键！以下是店铺精心整理的九年级下册数学锐角三角函数知识点，希望能够帮助到大家。
九年级下册数学锐角三角函数知识点1锐角三角函数的定义锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边余割等于斜边比对边正切与余切互为倒数它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的`反函数。
它有六种基本函数(初等基本表示)：函数名正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y(斜边为r，对边为y，邻边为x。
)以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versinθ =1-cosθ余矢函数coversθ =1-sinθ锐角三角函数的性质1、锐角三角函数定义锐角角A的正弦,余弦和正切都叫做角A的锐角三角函数2、互余角的三角函数间的关系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.3、同角三角函数间的关系平方关系：sin2α+cos2α=1倒数关系：cotα=(或tanα·cotα=1)商的关系：tanα= , cotα=.(这三个关系的证明均可由定义得出)4、三角函数值(1)特殊角三角函数值(2)0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“锐角三角函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是描述直角三角形中角度与边长关系的数学工具。它们在解决实际问题中具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量树的影子长度和角度，我们可以利用锐角三角函数计算出树的高度，展示其在实际中的应用。
其次，学生在小组讨论环节表现积极，但部分学生在分析问题和解决问题时仍显得不够自信。在今后的教学中，我要更加关注这部分学生的需求，多给予鼓励和指导，提高他们的自信心和解决问题的能力。
此外，实践活动环节，学生对实验操作表现出浓厚兴趣，但也有一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ小组在操作过程中出现了一些错误。我觉得在下次实验操作前，可以提前进行一次简短的模拟演示，让学生更清楚地了解操作步骤和注意事项，从而提高实验的成功率。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了锐角三角函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对锐角三角函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.增强学生的数据分析观念：通过解决直角三角形计算问题，引导学生对数据进行整理、分析和处理，培养学生数据分析的思维方式和方法，提高解决实际问题的能力。
三角函数的计算 北师大版九年级数学下册
想一想
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端
修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?
BC 10 1
如图，在Rt△ABC中，sinA=
，
AC 40 4
那么∠A是多少度呢?
要解决这个问题，我们可以借助科学计算器.
已知三角函数值求角度，要用到
“sin”、“cos”、“tan”键
已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α= 16°，那么缆车垂
直上升的距离 是多少？（结果精确到0.01 m)
新知讲解
合作学习
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,BC=ABsin16°
.
你知道sin16°
等于多少吗?
我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.
怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢?
tan 键，然后输入三角函数值，最后按
就可求出相应角度．
= 键
课堂练习
1．如图，一个人从山脚下的点出发，沿山坡小路走到山顶
点．已知坡角为°，山高 = 千米．用科学计算器计算小路
的长度，下列按键顺序正确的是(
A．
B．
C．
D．
【详解】在中， = 2 0° = ，
需要用科学计
你知道sin16°等
算器来进行计
于多少吗?
算.
用科学计算器求锐角的三角函数值,要用到以下按键:
例如，求sin16°的按键顺序：
第一步：按计算器
键，
第二步：输入角度值16，再按“=”。
屏幕显示结果sin 16°= 0.2756373558
sin1
sin
0.275 637 355
8
si
1.1 锐角三角函数 第1课时(教案)-北师大版数学九下
第1节锐角三角函数第1课时正切1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.2.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明.3.能够运用tan A,sin A,cos A表示直角三角形中两边的比.4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.2.在探索锐角三角函数的过程中,初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.1.通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程.2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦,从解决实际问题中感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.【重点】1.理解锐角三角函数的意义.2.能利用三角函数解三角形的边角关系.【难点】能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算.3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.【重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.【难点】理解正切的意义,并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.自制4个直角三角形纸板.2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.导入一:课件出示:你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.【引入】应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.[设计意图]创设新颖、有趣的问题情境,以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.导入二:课件出示:四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长(平直的)分别为300cm,250cm,200cm,200cm;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.【问题】四个滑梯中哪个滑梯的高度最高[设计意图]利用学生所熟悉的滑梯进行引导,使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学生的探究思路会比较顺畅.(一)探究新知请同学们看下图,并回答问题.探究一:问题1课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?小组讨论后展示结果:1组:梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角,发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.师:哪组还有不同的判定方法?2组:我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比,ED与FD的比,发现前者的比值大,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.3组:我们组的方法和1组的大致相同,借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过E作EG∥AB 交FD于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.4组:我们组发现这两架梯子的高度相同,水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子AB较陡.探究二:问题2课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.问题3课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?多给学生思考和讨论的时间.代表发言:AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以AB和EF的倾斜度一样.教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问题2与问题3中,两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.问题4课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面的探究中得到什么启示呢生讨论后得出:思路1:梯子EF较陡,因为∠EFD>∠ABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.思路2:梯子EF较陡,因为>,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.师生共同总结:在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB 和EF 的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.做一做:请通过计算说明梯子AB 和EF 哪一个更陡呢?生独立解答,代表展示:∵==,==,<,∴梯子EF 比梯子AB 更陡.[设计意图]通过探究逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程,既对已学知识和生活经验进行了回味和运用,也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近.[知识拓展]梯子的倾斜程度的判定方法:(1)梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就越陡.(2)梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.(二)再探新知课件出示:【想一想】如图所示,小明想通过测量B 1C 1及AC 1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B 2C 2及AC 2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系生很容易得出两个三角形相似.由生说明理由:∵∠B 2AC 2=∠B 1AC 1,∠B 2C 2A =∠B 1C 1A =90°,∴Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.(2)和有什么关系?由于Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2,所以有=.(3)如果改变B 2在梯子上的位置呢?由此你得出什么结论?生先独立思考后分组讨论.生得出结论:改变B 2在梯子上的位置,铅直高度与水平宽度的比始终相等.想一想:现在如果改变∠A 的大小,∠A 的对边与邻边的比值会改变吗?生讨论得出:∠A 的大小改变,∠A 的对边与邻边的比值会改变.∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关.【总结提升】由于直角三角形中的锐角A 确定以后,它的对边与邻边的比也随之确定,因此我们有如下定义:如图所示,在Rt△ABC 中,如果锐角A 确定,那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A 的正切(tangent ),记作tan A ,即tan A =.当锐角A变化时,tan A的值也随之变化.能力提升:如果∠A+∠B=90°,那么tan A与tan B有什么关系?生讨论得出结论:tan A=,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.【议一议】前面我们讨论了梯子的倾斜程度,在课本图1-3中,梯子的倾斜程度与tan A有关系吗?学生思考后,统一答案:tan A的值越大,梯子越陡.(反之,梯子越陡,tan A的值越大)[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作,让学生学会由特殊到一般、数形结合及函数的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.[知识拓展]正切的注意事项:(1)tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.(2)tan A没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.(3)tan A不表示“tan”乘以“A”.(4)初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角的正切.(教材例1)如图所示表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?想一想:要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可?生思考后得出:比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出tanα,tanβ的值进行比较大小即可,正切值越大,扶梯就越陡.要求学生独立解答,代表展示:解:甲梯中,tanα==.乙梯中,tanβ==.因为tanα>tanβ,所以甲梯更陡.[设计意图]通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.课件出示:如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是: i=tanα==.结论:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),tanα=,即坡度等于坡角的正切.[设计意图]正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义,密切数学与生活的联系,使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.[知识拓展]坡度与坡面的关系:坡度越大,坡面越陡.(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tan A等于()A.B. C. D.解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tan A=.故选B.2.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是()A.B.C.D.解析:认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB=.故选B.3.(2014·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tan A的值是.解析:tan A==.故填.4.河堤横断面如图所示,堤高BC=5m,迎水坡AB的坡度是1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是.解析:在Rt△ABC中,BC=5,tan A=1∶,∴AC=5,∴AB==10(m).故填10m.第1课时(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.一、教材作业【必做题】1.教材第4页随堂练习第1,2题.2.教材第4页习题1.1第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tan A的值为()A. B. C. D.2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000m,则他升高了()A.500mB.200mC.500mD.1000m3.已知斜坡的坡度为i=1∶5,如果这一斜坡的高度为2m,那么这一斜坡的水平距离为m.【能力提升】4.(2015·山西中考)如图所示,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是()A.2B.C.D.5.如图所示,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B'与C重合,连接A'B,则tan∠A'BC'的值为.6.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=10cm,BC=9cm,△ABC的面积为27cm2.求tan B的值.7.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图所示).如果改动后电梯的坡面长为13m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.【拓展探究】8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,若AB=13,BC=10,试求tan∠DBC的值.【答案与解析】1.D(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tan A===.故选D.)2.B(解析:设铅直高度为x m,∵坡度为1∶2,∴水平宽度为2x m,由勾股定理得x2+(2x)2=10002,解得x=200.∴他升高了200m.故选B.)3.10(解析:∵斜坡的坡比是1∶5,∴=.∴=,∴斜坡的水平距离为=10m.故填10.)4.D(解析:如图所示,连接AC,由勾股定理,得AC=,AB=2,BC=,∴△ABC为直角三角形,∴tan B==.故选D.)5.(解析:如图所示,过A'作A'D⊥BC',垂足为D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底边上的中线,∴A'D=B'D=.∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'===.故填.)6.解:如图所示,过点A作AH⊥BC于H,∵S=27,∴×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH===8,∴tan△ABCB===.7.解:在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=±5(负值不合题意,舍去),∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3(m).答:改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3m.8.解:如图所示,过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH==12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且D为AC中点,∴DF=AH=6,∴BF=BC=,∴在Rt△DBF中,tan∠DBC==.本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的认识规律,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手,引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念,引出正切概念,再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结知识和方法.本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成为学习的主人.随堂练习(教材第4页)1.解:能.tan C====.2.解:根据题意,得AB=200,BC=55,则AC===5,所以山的坡度为=≈0.286.习题1.1(教材第4页)1.解:∵BC===12,∴tan A==,tan B==.2.解:∵tan A==,BC=3,∴AC=BC=.4.tan A=.学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系),在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件——在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为α,β.已知h=2m,α=45°,tanβ=,CD=10m.求路基底部AB的宽.〔解析〕如图所示,过D,C分别作下底AB的垂线,垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt△BCF中,可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,BF的长,进而可求得AB的值.解:如图所示,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.∵四边形ABCD为梯形,∴AB∥CD,∴EF=CD=10m.∴四边形DCFE为矩形.在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2m,∴CF=DE=h=2m.在Rt△BCF中,tanβ=,CF=2m,∴BF=2CF=4(m).故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(m).答:路基底部AB的宽为16m.[解题策略]此题主要考查了坡度问题的应用,求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.。
北师大版九年级数学下册《直角三角形的边角关系——锐角三角函数》教学PPT课件(4篇)
同理， cos
A=
AC ，cos AB
A1
=
A1C A1 B1
.
B1 B
∵AB=A1B1，
AC AB
>
A1C ，即cos A1 B1
A > cos
A1，
A A1
C
∴梯子的倾斜程度与cos A也有关系， cos A的值越 小，梯子越陡.
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
sin
A
A的对边 斜边
B1 B2 B3
A
C3 C2
C1
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2
新课学习
直角三角形的边与角的关系：
（2）BA1CC11
和B2C2
AC2
有什么关系？
B1
B2 B3
A
C3 C2
C1
B1C1 = B2C2 AC1 AC2
新课学习
直角三角形的边与角的关系： （3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3）呢？
B2
斜边的比值、邻边与斜边的比值将怎
样变化？
C1 C2
A1
这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与
斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变.同时，如果给
定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值、邻边与
斜边的比值是唯一确定的.
讲授新课
斜边
B ∠A的对边
A
C
∠A的邻边
定义：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那
∴ B1C1∥ B2C2，
C1 C2
A1
∴Rt△B1A1C1 ∽ Rt△B2A1C2.
讲授新课
想一想：如图.
（2）BA11CA11 和
A1C2 B2 A1
(完整版)新北师大九年级数学下册知识点总结
图1新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
2.正弦．．： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。
4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。
用字母i 表示，即A lhi tan ==5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。
如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
《直角三角形的边角关系》锐角三角函数 教学设计及教学反思、评课稿.doc
锐角三角函数一、教材分析1 •教材内容本节课是义务教育课程标准北师大版实验教科书九年级（下）第一章《直角三角形的边角关系》的第一节•本课为第一课时，主要内容是：理解正切的概念，会进行简单的计算，了解坡度.2. 地位及作用正切在生活中的运用非常广泛，如物体的倾斜程度、山的坡度等都往往用正切来刻画•同时正切也是学生接触的第一个三角函数•学好正切，既为正弦余弦的学习打下基础，又为高中系统学习三角函数做好铺垫•因此本节内容极其重要.二、学情分析1. 知识基础九年级学生已经学习了直角三角形，函数和相似三角形的相关知识，具备了学习锐角三角函数的知识基础•但是，锐角三角函数和学生以前学习过的一次函数、反比例函数有所不同，它揭示的是角度与线段比值之间的对应关系•学生是第一次接触用符号表示的函数，因此学生对锐角三角函数的理解仍然比较抽象和困难.2. 能力基础学生已经经历了多次小组合作，探索新知的过程，对探究性学习掌握了一定的方法，具有一定的活动学习的经验，这为本节课采用小组活动来感知概念打下了基础.3. 任教学生特点我班学生数学基础较扎实，求知欲强，想彖力丰富•能较好地运用所学的知识解决问题.三、目标分析1 •教学目标：（1）经历探索直角三角形边角关系的过程，理解正切的概念并能进行简单的计算.（2）经历数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理的、清晰的阐述自己的观点.教学环节教师活动学生活动以诗句引导学生欣赏剑门关、乐山大佛、窦团山登山阶梯图片，再由“激流勇进”让学生感受斜坡的陡悄，提出问题：我们用数学知识怎样來比较阶梯的倾斜程度呢？设计意图用实际问题引出本课的探索问题，让学生感悟数学来源2. 教学重点理解正切概念.3. 教学难点正切概念的形成过程.4•突出重点、突破难点的策略抓住学生的认知盲点，教师加以启发诱导，抽象出本节课重要的数学模型——直角三角形，配合实验直观展示，帮助学生理解一个锐角和它的对边与邻边的比值之间的对应关系，确定这是一种函数关系，给出正切概念，突破本节课的难点•理解概念后，通过小组合作辨析、应用概念，突出本节课重点.四、教法、学法教法：启发式与自主探究结合的教法.学法：自主探究、合作交流的学法.五、过程设计结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节如下:感悟概念C=> 理解概念应用概念 ^=> 归纳小结生活.现实模型学生欣赏图片，思考问题合作探究念1・请学生观察4幅图片.教师提出问题并巡视各个小组交流情况.并请小组代表汇报观察得出的结论.小组活动1学牛观察4幅图片，展开讨论.学生代表发言，展示探究四幅图片的成果.判断梯子的倾斜程度可以通过研究倾斜角的度数.教师活动问题1：如图，梯子AB和DE 哪个更陡？你是怎么判断的？学生活动设计意图合作探感7S m1（图• 澜/顾］11\14f>Llmre L打Y'图1中的梯子等高，底小的更陡。
北师大版九年级数学下册：1.1《锐角三角函数》教学设计
北师大版九年级数学下册：1.1《锐角三角函数》教学设计一. 教材分析《锐角三角函数》是北师大版九年级数学下册第一章的第一节内容。
本节主要介绍正弦、余弦、正切三个锐角三角函数的定义及它们之间的关系。
通过本节的学习，学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系，为后续解决三角形及三角恒等式等问题打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的代数和几何知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但是，对于锐角三角函数这一概念，学生可能较为抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，需要结合具体实例和实际问题，引导学生理解和掌握锐角三角函数的概念和性质。
三. 教学目标1.了解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系。
2.能够运用锐角三角函数解决一些实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的合作交流能力和创新思维能力。
四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的概念，正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系。
2.难点：理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例和实际问题，引导学生理解和掌握锐角三角函数的概念和性质。
2.合作学习法：引导学生分组讨论和交流，培养学生的合作交流能力。
3.启发式教学法：教师提问，引导学生思考和探索，激发学生的创新思维。
六. 教学准备1.课件：制作课件，包括锐角三角函数的定义、性质、实际问题等内容。
2.教学素材：准备一些与锐角三角函数相关的实际问题，用于课堂练习和巩固。
3.板书设计：设计板书，突出锐角三角函数的重点知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些与三角形相关的实际问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）介绍锐角三角函数的概念，讲解正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系。
通过具体实例和实际问题，帮助学生理解和掌握锐角三角函数的概念和性质。
北师大版九年级数学下册：1.1《锐角三角函数——梯子的倾斜程度与正切》教案
北师大版九年级数学下册：1.1《锐角三角函数——梯子的倾斜程度与正切》教案一. 教材分析《锐角三角函数——梯子的倾斜程度与正切》这一节主要介绍了正切函数的概念及其应用。
通过生活中的实例——梯子的倾斜程度，引导学生理解正切函数的概念，并学会用正切函数解决实际问题。
教材通过具体的例子，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的数学知识，对函数有一定的理解。
但是，对于正切函数的理解可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要通过生活中的实例，让学生直观地理解正切函数的概念，并通过大量的练习，让学生熟练运用正切函数解决实际问题。
三. 教学目标1.理解正切函数的概念，掌握正切函数的定义；2.学会用正切函数解决生活中的实际问题；3.培养学生的数学应用能力，提高学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.正切函数的概念理解；2.用正切函数解决实际问题。
五. 教学方法采用情境教学法、实例教学法和练习法。
通过生活中的实例，引导学生理解正切函数的概念，并通过大量的练习，让学生熟练运用正切函数解决实际问题。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例，如梯子的倾斜程度；2.准备PPT，展示正切函数的定义和应用；3.准备练习题，让学生巩固所学知识。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示一张梯子倾斜的图片，引导学生思考：如何计算梯子的倾斜程度？从而引出正切函数的概念。
2. 呈现（15分钟）教师通过PPT呈现正切函数的定义，并用生活中的实例解释正切函数的含义。
让学生理解正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值。
3. 操练（15分钟）教师引导学生进行正切函数的计算练习。
让学生分组合作，互相讨论，教师巡回指导。
4. 巩固（10分钟）教师给出一些实际问题，让学生运用正切函数解决。
如：一个直角三角形，已知斜边为10cm，对边为6cm，求邻边的长度。
5. 拓展（10分钟）教师引导学生思考：正切函数在实际生活中有哪些应用？让学生举例说明，并进行讨论。
挖掘教材育人价值 落实学科核心素养——以“锐角三角函数”教学设计为例
2021年第3期中学数学教学参考（中旬>r z h o n g s h u c a n.c o m年研:课题挖掘教材育人价值落实学科核心素养—以“锐角三角函数”教学设汁为例彭晓妹（广东省佛山市顺德区沙滘初级中学）摘要：核心素养是学生在接受相应学段教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品质与关键能力。
在初中数学课堂教学中，如何使学生的核心素养落地生根？怎样才能有效发展学生的核心素养？一方面，需要教师认真研究教材的教育价值，弄清楚“教什么”“怎么教”“为什么教”，充分挖掘教材所蕴含的数学思想方法；另一方面，教师在教学中要积极改变观念，即学科核心素养强调的不是知识与技能，而是学生获取知识的能力。
关键词：教育价值；核心素养；思维能力文章编号：1002-2171 (2021)3-0072-03《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称 《课标(2011年版）》)明确提出，数学课程能使学生掌握 必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象能力和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，促进学生 在情感、态度与价值观等方面的发展。
此外，以北京师 范大学林崇德教授为负责人的研究团队撰写的《中国 学生发展核心素养》中，明确提出数学学科应注重培养 学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学 运算、数据分析六大数学核心素养。
数学核心素养的提出是对课标的继承和发展，学 生核心素养的培养不是一朝一夕就能实现的。
然而，作为一线教师，如何在平时的数学课堂教学中，有效 落实学生核心素养的培养？笔者以北师大版教材九年级下册第一章“直角三角形的边角关系”第1节“锐 角三角函数”为例，深挖教材素材的育人功能，将发展 学生的核心素养落到实处。
1在引人中发展学生的直观想象和抽象能力1.1素材呈现梯子是我们日常生活中常见的物体(如图1)。
1.2设计分析(1)主题图中为什么要呈现两个斜靠在墙上的梯子而不是一个梯子？意味着要进行对比。
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浅谈锐角三角函数的求值策略
一、准确根据三角函数的概念求值
例1、△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a ，
b ，
c ，已知b=3，
sinA 的值．
解：如图，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得：
a =
∴sin a A c =．
点评：在直角三角形中求解三角函数值或运用三角函数值时，都须准确根据三角函数的概念来进行，决不能张冠李戴．
二、运用参数法求三角函数值
例2、在△ABC 中，∠C=90°,如果125tan =A ，那么sinB 的值等于（ ）
A ．513
B ．1213
C ．512
D ．125
解：如图，根据题意可设BC=5k ，AC=12k ，则k k k AB 13)12()5(22=+=，
∴1212sin 1313
k B k ==，故本题应选B ． 点评：由于三角函数值实质上就是直角三角形两边的比值，所以有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式来表示出直角三角形各边长，然后结合相关条件解决问题。
三、运用转化手段求三角函数值
例3、如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD 的值是（ ）
A ．35
B ．34
C ．43
D ．45 解：在Rt △ABC 中，由AC=4，BC=3可求出AB=5，又CD 是Rt △ABC 斜边上的高，可得△ABC ∽△CBD ，∴∠BCD=∠A ，∴cos ∠
BCD=cosA=45，故本题应选D ． 点评：三角函数值的大小与角的大小有关，与边的长短无关，故当一个锐角的三角函数值不能直接求解时，往往采用转化手段，通过求其等角的三角函数值来达到目的。
四、通过构造直角三角形求三角函数值
例4、如图，在△ABC
中，AB=
AC=6，∠B=45
°，试
D
A
B C D
2 求出∠C 的正弦值。
解：过点A 作AD ⊥BC 于D ，∵∠B=45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，根据勾股定理可得：BD=AD=4．在Rt △ADC 中，sinC ＝4263
AD AC ==
点评：一般情况下，Rt △是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中所提供的并非Rt △时，需通过添加辅助线构造Rt △，然后运用三角函数解答问题．。