北京市丰台区2004年高三第一次模拟考试数学试卷理科

北京市丰台区2004年高三第一次模拟考试数学试卷（理科）

［考生须知］

1. 本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共8页。共150分，考试时间120分钟。

2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

第I 卷 （选择题 共40分）

［注意事项］

1. 考生要按要求在机读答题卡上作答，题号要对应，答案标号涂黑要规范。

2. 考试结束，将试卷和机读答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合M y y tgx x N y y x x ==∈-==∈-{|[]}{|arcsin []}，，，，，ππ

44

11，则

A. M N y y I =-

≤≤{|}ππ

22

B. M N y y I =-≤≤{|}11

C. M N y y I =-≤≤{|}12

π

D. M N y y I =-

≤≤{|}π

2

1

（2）等比数列{a n }中，a a a a 62623430+=-=，，那么a 4等于 A. 8

B. 16

C. ±8

D. ±16

（3）函数y ax bx c =++2

的图象经过四个象限的充要条件是

A. a f b

a <-<020且() B. a

b a

c >->0402

且 C. a b ≠且00=

D. ac <0

（4）若f(x)是定义域为R 的奇函数，则下列各式中恒成立的是（ ） A. f x f x ()()-=---11 B. f x f x ()()-=--+11 C. f x f x ()()-=+11 D. f x f x ()()-=-11 （5）已知函数y=f(x)的反函数f x x -=-1

8

2

8

()log

(cos )sin

ππ

，则方程f x ()=1的解是

（ ）

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

（6）若P 是双曲线x y 222

0-=>λλ()左支上的一点，F 1、F 2是左、右两个焦点，

若|PF 2|=6，PF 1与双曲线的实轴垂直，则λ的值是（ ）

A. 3

B. 2

C. 1.5

D. 1

（7）已知平面αβγ、、，直线m 、l ，点A ，有下面四个命题： ①若，，则与l m A l m ⊂=ααI 必为异面直线； ②若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α；

③若l m l m ⊂⊂αββααβ，，∥，∥，则∥； ④若αγγαγβα⊥，，，⊥，则⊥I I ==m l l m l 。 其中正确命题的个数是

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

（8）函数y x x =-2

2在区间[a ，b]上的值域是[－1，3]，则点P （a ，b ）的轨迹是图中的

A. 线段AB 、AD

B. 线段AB 、CD

C. 线段AD 、BC

D. 线段AC 、BD

第II 卷 （非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 （9）设复数z i z i 1213=-=+，，则z z z =1

2

在复平面内对应的点位于第______象限，|z|=_______________。 （10）函数f x x x x ()sin()sin()cos =++-+π

π

66

的最小正周期是___________；函数f(x)在区间[-

π

π

2

2

，

]上的最小值是______________________。

（11）已知圆锥的体积为12π，圆锥高为4，则它的母线长为___________，侧面展开图的圆心角等于___________。 （12）若平移圆C x y 13333：为参数=-+=-+⎧⎨

⎩cos sin ()θ

θ

θ，使平移后的圆的圆心在第一象限，

且与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的圆C 2的方程是______________________，圆C1、圆C 2的外公切线的方程是______________________。 （13）设02

<<

<<x y π

π，比较大小sin y ___________sin()x y +；若tg

x 212

=，则cos x =___________。

（14）“渐升数”是指每一个数字比其左边的数字大的正整数（如236），设两位的渐升数有m 个，其中比56大的两位渐升数有n 个，则m=___________，n=___________。

三、解答题：本大题共6个小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （15）（本小题满分13分）

已知a >1，解关于x 的不等式()(||)x a a x +->0。 （16）（本小题满分13分）

已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1()022，-，F 2（0，22），且离心率e =22

3

。 （I ）求椭圆的方程；

（II ）直线l （与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A 、B ，且线段AB 中点的横坐标为-1

2

，求直线l 倾斜角的取值范围。

（17）（本小题满分14分）

如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点。

（I ）求二面角B 1—MN —B 的正切值； （II ）证明：PB ⊥平面MNB 1；

（III ）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P 、B 两点间的距离。

（18）（本小题满分13分）

某地区在抗洪抢险中接到预报，24小时后有一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，决定在24小时内筑起一道堤作为第二道防线，如果有25辆汽车同时作业20小时可以完成，但现在除一辆汽车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作，问至少还需组织多少辆这样陆续工作，才能保证一天内完成第二道防堤？

（19）（本小题满分14分）

已知数列{}{}()()()()a b A B n n n

n

C a

D b n n n n n n n 、，，，，，，，，121122++为直角坐标平面上的点。

（I ）n ∈N ，点A ，B n ，C n 在同一条直线上，求数列{a n }的通项公式；

（II ）若数列{b n }是首项为－3，公差为3的等差数列，S n 表示△AC n D n 的面积，设H S S S n n =+++12…，试用n 表示H n ；