浙江省杭州市三墩中学七年级数学下册 因式分解难题2
浙教版数学七下第四章因式分解解答题精选及答案
浙教版初中数学七年级下册第四章因式分解解答题精选题号一总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分解答题（共40小题）1．分解因式（1）2x2﹣8（2）3x2y﹣6xy2+3y32．因式分解（1）2x3﹣8x（2）x2﹣2x﹣3（3）4a2+4ab+b2﹣13．因式分解：（1）4m3n﹣16mn3（2）3x2﹣18x+274．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y ﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．5．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？6．两名同学将关于x的二次三根式x2+ax+b分解因式，一名同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣9），另一名同学因看错了常数项而分解成（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．7．分解因式：（1）（x2+y2）2﹣4x2y2（2）25（x﹣y）2+10（y﹣x）+1．8．我们可以用几何图形来解决一些代数问题，如图（甲）可以来解释（a+b）2＝a2+2ab+b2，（1）图（乙）是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中阴影部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b代数恒等式表示；（2）请构图解释：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）请通过构图因式分解：a2+3ab+2b2．9．因式分解（1）4a3﹣9a（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．10．已知两实数a与b，M＝a2+b2，N＝2ab（1）请判断M与N的大小，并说明理由．（2）请根据（1）的结论，求的最小值（其中x，y均为正数）（3）请判断a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的正负性（a，b，c为互不相等的实数）11．把下列各式分解因式：（1）9x2+6x+1（2）16（m﹣n）2﹣9（m+n）2．12．已知P＝2x2+4y+13，Q＝x2﹣y2+6x﹣1，比较代数式P，Q的大小．13．阅读下列材料，你能得到什么结论？并利用（1）的结论分解因式．（1）形如x2+（p+q）x+pq型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和，把这个二次三项式进行分解因式，可以这样来解：x2+（p+q）x+pq＝x2+px+qx+pq＝（x2+px）+（qx+pq）＝x（x+p）+q（x+p）＝（x+p）（x+q）．因此，可以得x2+（p+q）x+pq＝．利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．（2）利用（1）的结论分解因式：①m2+7m﹣18；②x2﹣2x﹣15．14．分解因式①a2﹣2a（b+c）+（b+c）2；②（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+1615．已知n是正整数，则所有大于1的奇数可以用代数式2n+1来表示．（1）分解因式：（2n+1）2﹣1；（2）我们把所有“大于1的奇数的平方减去1”所得的数叫”白银数”，则所有”白银数”的最大公约数是多少？请简要说明理由．16．（1）当a＝﹣2，b＝1时，（a﹣b）2＝，a2﹣2ab+b2＝；（2）当a＝2，b＝﹣3时，（a﹣b）2＝，a2﹣2ab+b2＝；（3）你能从上面的计算结果中，发现上面有什么结论？结论是：；（4）利用你发现的结论，求：20102﹣4020×2009+20092的值．17．代数基本定理告诉我们对于形如x n++…+a n﹣1x+a n＝0（其中a1，a2，…a n为整数）这样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是a n的约数．例如方程x3+8x2﹣11x+2＝0的整数根只可能为±1，±2代入检验得x＝1时等式成立．故x3+8x2﹣11x+2含有因式x﹣1，所以原方程可转化为：（x﹣1）（x2+9x﹣2）＝0，进而可求得方程的所有解．根据以上阅读材料请你解方程：x3+x2﹣11x﹣3＝0．18．分解因式①ax2﹣16ay2②﹣2a3+12a2﹣18a③a2﹣2ab+b2﹣919．给出三个多项式：，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解．20．宁海中学高一段组织了围棋比赛，共有10名选手进入了决赛，决赛阶段实行单循环赛（即每两名参赛选手都要赛一局，且每局比赛都决出胜负），若一号选手胜a1局，输b1局；二号选手胜a2局，输b2局，…，十号选手胜a10局，输b10局．试比较a12+a22+…+a102与b12+b22+…+b102的大小，并叙述理由．21．把下列各式分解因式：（1）12a3b2﹣9a2b+3ab；（2）16x2﹣9y2；（3）2x3+8x2y+8xy2；（4）（3x+y）2﹣（x﹣3y）2．22．利用因式分解计算：（1）416×4.2+4.16×370+41.6×21（2）．23．将下列各式分解因式：（1）3x﹣12x3（2）2a（x2+1）2﹣2ax2（3）（4）a2﹣b2﹣4a+4b（5）20a2bx﹣45bxy2（6）x2+y2﹣1﹣2xy（7）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）（8）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）24．计算：若x2+x﹣1＝0，求代数式x3+2x2﹣7的值．25．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，或可以求出一些不规则图形的面积．（1）如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n．观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为．（2）若图1中每块小长方形的面积为12cm2，四个正方形的面积和为50cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．（3）将图2中边长为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝16，请求出阴影部分的面积．26．已知m，n满足m﹣n＝4，mn＝k﹣7，设y＝（m+n）2．（1）当k被3整除时，求证：y能被12整除；（2）若m，n都为非负数，y是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．27．已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（17﹣13x）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（30x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值．28．已知（10x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（3x﹣23）可因式分解成（ax+b）（7x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值．29．已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求a2b﹣ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值；30．先阅读材料，再回答问题：分解因式：（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1解：设a﹣b＝M，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2再将a﹣b＝M还原，得到：原式＝（a﹣b﹣1）2上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：（1）分解因式：（x+y）（x+y﹣4）+4（2）若a为正整数，则（a﹣1）（a﹣2）（a﹣3）（a﹣4）+1为整数的平方，试说明理由．31．阅读理解并填空：（1）为了求代数式x2+2x+3的值，我们必须知道x的值．若x＝1，则这个代数式的值为；若x＝2，则这个代数式的值为，…可见，这个代数式的值因的取值不同而变化．尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围．（2）把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题．例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，因为（x+1）2是非负数，所以，这个代数式x2+2x+3的最小值是，这时相应的平方是．尝试探究并解答：（3）求代数式x2﹣12x+37的最小值，并写出相应x的值．（4）求代数式﹣x2﹣6x+11的最大值，并写出相应x的值．（5）已知y＝﹣x2+6x﹣3，且x的值在数1～4（包含1和4）之间变化，试探求此时y的不同变化范围（直接写出当x在哪个范围变化时，对应y的变化范围）．32．题目：“分解因式：x2﹣120x+3456．”分析：由于常数项数值较大，则常采用将x2﹣120x变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行．解：x2﹣120x+3456＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456＝（x﹣60）2﹣144＝（x﹣60）2﹣122＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）＝（x﹣48）（x﹣72）通过阅读上述题目，请你按照上面的方法分解因式：（1）x2﹣140x+4875（2）4x2﹣4x﹣575．33．阅读下列材料，然后解答问题：问题：分解因式：x3+3x2﹣4．解答：把x＝1代入多项式x3+3x2﹣4，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x3+3x2﹣4中有因式（x﹣1），于是可设x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），分别求出m，n的值，再代入x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），就容易分解多项式x3+3x2﹣4．这种分解因式的方法叫“试根法”．（1）求上述式子中m，n的值；（2）请你用“试根法”分解因式：x3+x2﹣16x﹣16．34．【知识拓展】（1）你能对a3+b3因式分解吗？（2）求最大正整数n，使得n3+2017，能被n+13整除．35．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．36．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美；（1）请你检验说明这个等式的正确性．（2）若a＝2011，b＝2012，c＝2013，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？（3）若a﹣b＝，b﹣c＝，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ac的值．37．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．38．先阅读下列材料，然后解题：材料：因为（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，所以（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3，即x2+x﹣6能被x﹣2整除．所以x﹣2是x2+x﹣6的一个因式，且当x＝2时，x2+x﹣6＝0．（1）类比思考（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，所以（x2+5x+6）÷（x+2）＝x+3，即x2+5x+6能被整除，所以是x2+5x+6的一个因式，且当x＝时，x2+5x+6＝0；（2）拓展探究：根据以上材料，已知多项式x2+mx﹣14能被x+2整除，试求m的值．39．阅读理解并填空：（1）为了求代数式x2+2x+3的值，我们必须知道x的值，若x＝1，则这个代数式的值为；若x＝2，则这个代数式的值为，…，可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围．（2）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：x2+2x+3的最小值是，这时相应的x的平方是．尝试探究并解答：（3）求代数式x2﹣10x+35的最小值，并写出相应x的值．（4）求代数式﹣x2﹣8x+15的最大值，并写出相应的x的值．（5）改成已知y＝﹣x2+6x﹣3，且x的值在数1﹣4（包含1和4）之间变化，试探求此时y的不同变化范围．（直接写出当x在哪个范围变化时，对应y的变化范围）．40．生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2可以因式分解为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝29时，x﹣1＝28，x+1＝30，x+2＝31，此时可以得到数字密码283031．（1）根据上述方法，当x＝15，y＝5时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．解：（1）2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x+2）（x﹣2）；（2）3x2y﹣6xy2+3y3＝3y（x2﹣2xy+y2）＝3y（x﹣y）2．2．解：（1）2x3﹣8x＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2）；（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；（3）4a2+4ab+b2﹣1＝（2a+b）2﹣1＝（2a+b﹣1）（2a+b+1）．3．解：（1）原式＝4mn（m2﹣4n2）＝4mn（m+2n）（m﹣2n）；（2）原式＝3（x2﹣6x+9）＝3（x﹣3）2．4．解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c或a＝b＝c，∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．5．解：（1）28＝4×7＝82﹣62；2012＝4×503＝5042﹣5022，所以是神秘数；（2）（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）＝4（2k+1），∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数．（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，由（2）可知：神秘数是4的奇数倍，不是偶数倍，∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．6．解：∵一名同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣9），另一名同学因看错了常数项而分解成（x﹣2）（x﹣4），∴常数项为：﹣1×（﹣9）＝9，一次项系数为：﹣4﹣2＝﹣6，故原多项式为：x2﹣6x+9，分解因式可得：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．7．解：（1）（x2+y2）2﹣4x2y2＝（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2）＝（x+y）2（x﹣y）2；（2）25（x﹣y）2+10（y﹣x）+1＝25（x﹣y）2﹣10（x﹣y）+1＝（5x﹣5y﹣1）2．8．解：（1）阴影部分的边长为（a﹣b），∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．（2）（a+b+c）2＝a（a+b+c）+b（a+b+c）+c（a+b+c）＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．（3）（a+2b）（a+b）＝a（a+b）+2b（a+b），∴可得a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．9．解：（1）原式＝a（4a2﹣9）＝a（2a+3）（2a﹣3）；（2）原式＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）＝（x+y）2（x﹣y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．解：（1）M≥N；理由如下：∵M﹣N＝a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，∴M≥N；（2）∵∴最小值为5；（3）a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＞0，理由如下：∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，∵a，b，c为互不相等的实数，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＞0．11．解：（1）9x2+6x+1＝（3x+1）2；（2）16（m﹣n）2﹣9（m+n）2＝[4（m﹣n）+3（m+n）][4（m﹣n）﹣3（m+n）]＝（7m﹣n）（m﹣7n）．12．解：P﹣Q＝（2x2+4y+13）﹣（x2﹣y2+6x﹣1）＝x2﹣6x+y2+4y+14＝x2﹣6x+9+y2+4y+4+1＝（x﹣3）2+（y+2）2+1∵（x﹣3）2≥0，（y+2）2≥0，∴P﹣Q＝（x﹣3）2+（y+2）2+1≥1，∴P＞Q．13．解：（1）x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q），故答案为：（x+p）（x+q）；（2）①m2+7m﹣18＝m2+（9﹣2）m+（﹣2）×9＝（m+9）（m﹣2）；②x2﹣2x﹣15＝x2+（﹣5+3）x+（﹣5）×3＝（x﹣5）（x+3）．14．解：①a2﹣2a（b+c）+（b+c）2＝（a﹣b﹣c）2；②（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16，＝（x2﹣5+4）2，＝（x2﹣1）2，＝（x+1）2（x﹣1）2．15．解：（1）（2n+1）2﹣1＝（2n+1+1）（2n+1﹣1）＝4n（n+1）；（3分）（2）所有”白银数”的最大公约数是8；（1分）理由：∵n正整数，则n与n+1必有一个偶数，∴n（n+1）必是2的倍数，则4n（n+1）必是8的倍数，∴所有”白银数”的最大公约数是8．（2分）16．解：（1）当a＝﹣2，b＝1时，（a﹣b）2＝9，a2﹣2ab+b2＝9；（2）当a＝2，b＝﹣3时，（a﹣b）2＝25，a2﹣2ab+b2＝25；（3）结论是（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（4）20102﹣4020×2009+20092＝（2010﹣2009）2＝1．故答案为：9，9，25，25，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．17．解：取x＝±1，±3代入方程，得x＝3适合方程，则原方程可以分解为：（x﹣3）（x2+4x+1）＝0，解得x＝3或x＝﹣2+或x＝﹣2﹣．18．解：①ax2﹣16ay2，＝a（x2﹣16y2），＝a（x+4y）（x﹣4y）；②﹣2a3+12a2﹣18a，＝﹣2a（a2﹣6a+9），＝﹣2a（a﹣3）2；③a2﹣2ab+b2﹣9，＝（a﹣b）2﹣9，＝（a﹣b+3）（a﹣b﹣3）．19．解：如选择：则：＝x2+4x＝x（x+4）．如选择：则：．如选择：则：．20．解：依题意可知，a1+b1＝9，a2+b2＝9，a3+b3＝9…，且a1+a2+…+a10＝b1+b2+…+b10＝45，∴（a12+a22+…+a102）﹣（b12+b22+…b102）＝（a12﹣b12）+（a22﹣b22）+…+（a102﹣b102）＝（a1+b1）（a1﹣b1）+（a2+b2）（a2﹣b2）+…+（a10+b10）（a10﹣b10）＝9[（a1+a2+…+a10）﹣（b1+b2+…+b10）]＝0，∴a12+a22+...+a102＝b12+b22+ (102)21．解：（1）12a3b2﹣9a2b+3ab＝3ab（4a2b﹣3a+1）；（2）16x2﹣9y2＝（4x+3y）（4x﹣3y）；（3）2x3+8x2y+8xy2＝2x（x2+4xy+4y2）＝2x（x+2y）2；（4）（3x+y）2﹣（x﹣3y）2＝（3x+y+x﹣3y）（3x+y﹣x+3y）＝（4x﹣2y）（2x+4y）＝4（2x﹣y）（x+2y）．22．解：（1）416×4.2+4.16×370+41.6×21＝416×（4.2+3.7+2.1）＝416×10＝4160（2）．＝（2+）（2﹣）+（49+50）（49﹣50）＝3×+99×（﹣2）＝﹣198＝﹣19123．解：（1）原式＝3x（1﹣4x2）＝3x（1﹣2x）（1+2x）；（2）原式＝2a[（x2+1）2﹣x2]＝2x（x+12（x﹣1）2；（3）原式＝2（x2+x+）＝2（x+）2．（4）原式＝（a2﹣b2）﹣（4a﹣4b）＝（a+b）（a﹣b）﹣4（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b﹣4）；（5）原式＝5bx（4a2﹣9y2）＝5bx（2a﹣3y）（2a+3y）；（6）原式＝（x2+y2﹣2xy）﹣1＝（x﹣y）2﹣1＝（x﹣y﹣1）（x﹣y+1）；（7）原式＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）；（8）原式＝（a﹣b）（3a+b）2﹣（a+3b）2（a﹣b）＝（a﹣b）[（3a+b）2﹣（a+3b）2]＝（a﹣b）（3a+b﹣a﹣3b）（3a+b+a+3b）＝（a﹣b）（2a﹣2b）（4a+4b）＝8（a﹣b）2（a+b）．24．解：∵x2+x﹣1＝0，∴x2+x＝1，∴x3+2x2﹣7＝x（x2+x）+x2﹣7＝x+x2﹣7＝1﹣7＝﹣6．故答案为：﹣6．25．解：（1）∵大长方形的面积＝2m2+5mn+2n2，大长方形的面积＝（m+2n）（2m+n），∴2m2+5mn+2n2＝（m+2n）（2m+n），故答案为：（m+2n）（2m+n）；（2）由题意得：mn＝12，2n2+2m2＝50，∴n2+m2＝25，∴（m+n）2＝n2+m2+2mn＝49，∵m＞n＞0，∴m+n＝7，∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和＝6（m+n）＝42（cm）；（3）阴影部分的面积＝a2+b2﹣0.5a2﹣0.5b（a+b）＝0.5（a2+b2﹣ab）＝0.5[（a+b）2﹣3ab]＝0.5×（100﹣48）＝26．26．（1）证明：当k被3整除时，设k＝3t（t是整数），∵m﹣n＝4，mn＝k﹣7＝3t﹣7，∴y＝（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝42+4（3t﹣7）＝12t﹣12＝12（t﹣1）∵12（t﹣1）÷12＝t﹣1，∴y能被12整除．（2）∵m，n都为非负数，∴mn≥0，∴k﹣7≥0，解得k≥7；∵mn≤（）2＝4，∴k﹣7≤4，解得k≤11，∴7≤k≤11，∴y＝（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝42+4（k﹣7）＝4k﹣12∵7≤k≤11，∴28≤4k≤44，∴16≤4k﹣12≤32，∴y存在最大值和最小值，最大值是32，最小值是16．27.解：（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（17﹣13x）（11x﹣23）＝（19x﹣31）（13x﹣17）+（13x﹣17）（11x﹣23）＝（13x﹣17）（30x﹣54）∴a＝13，b＝﹣17，c＝﹣54，∴a+b+c＝﹣58．28．解：原式＝（13x﹣17）（10x﹣31﹣3x+23）＝（13x﹣17）（7x﹣8），＝（ax+b）（7x+c），所以a＝13，b＝﹣17，c＝﹣8，所以a+b+c＝13﹣17﹣8＝﹣12．29．解：（1）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝﹣12×7＝﹣84；（2）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝72+2×（﹣12）＝49+（﹣24）＝25；（3）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝72+4×（﹣12）＝49+（﹣48）＝1，∴a+b＝±1．30．解：（1）设M＝x+y，则原式＝M（M﹣4）+4＝M2﹣4M+4＝（M﹣2）2，将M＝x+y代入还原可得原式＝（x+y﹣2）2；（2）原式＝（a﹣1）（a﹣4）（a﹣2）（a﹣3）+1＝（a2﹣5a+4）（a2﹣5a+6）+1令N＝a2﹣5a+4，∵a为正整数，∴N＝（a﹣1）（a﹣4）＝a2﹣5a+4也是整数，则原式＝N（N+2）+1＝N2+2N+1＝（N+1）2，∵N为整数，∴原式＝（N+1）2即为整数的平方．31．解：（1）把x＝1代入x2+2x+3中，得：12+2+3＝6；若x＝2，则这个代数式的值为22+2×2+3＝11；故答案为：6，11（2）根据题意可得：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，∵（x+1）2是非负数，∴这个代数式x2+2x+3的最小值是2，相应的x的值是﹣1；故答案为2；﹣1（3）∵x2﹣12x+37＝（x﹣6）2+1，∴x2﹣12x+37的最小值是1，相应的x的值是6；（4）根据题意得：∴﹣x2﹣6x+11＝﹣（x+3）2+20，∴代数式﹣x2﹣6x+11的最大值是20，相应的x的值是﹣3；（5）∵y＝﹣x2+6x﹣3，∴y＝﹣（x﹣3）2+6，∵x的值在数1～4（包含1和4）之间变化，∴这时y的变化范围是：2≤y≤6．32．解：（1）x2﹣140x+4875＝x2﹣2×70x+702﹣702+4875＝（x﹣70）2﹣25＝（x﹣70）2﹣52＝（x﹣70+5）（x﹣70﹣5）＝（x﹣65）（x﹣75）；（2）4x2﹣4x﹣575＝（2x）2﹣2×2x×1+12﹣12﹣575＝（2x﹣1）2﹣576＝（2x﹣1）2﹣242＝（2x﹣1+24）（2x﹣1﹣24）＝（2x+23）（2x﹣25）．33．解：（1）把x＝1代入多项式x3+3x2﹣4，多项式的值为0，∴多项式x3+3x2﹣4中有因式（x﹣1），于是可设x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，∴m﹣1＝3，n﹣m＝0，∴m＝4，n＝4，（2）把x＝﹣1代入x3+x2﹣16x﹣16，多项式的值为0，∴多项式x3+x2﹣16x﹣16中有因式（x+1），于是可设x3+x2﹣16x﹣16＝（x+1）（x2+mx+n）＝x3+（m+1）x2+（n+m）x﹣n，∴m+1＝1，n+m＝﹣16，∴m＝0，n＝﹣16，∴x3+x2﹣16x﹣16＝（x+1）（x2﹣16）＝（x+1）（x+4）（x﹣4）34．解：（1）能，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；（2）要使（n3+2017）÷（n+13）＝＝＝n2﹣13n+169﹣为整数，必须180能整除n+13，则n的最大值为167．35．解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝0，∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0，∴（x+y）2+（y+1）2＝0，∴x+y＝0，y+1＝0，解得，x＝1，y＝﹣1，∴2x+y＝2×1+（﹣1）＝1；（2）∵a﹣b＝4，∴a＝b+4，∴将a＝b+4代入ab+c2﹣6c+13＝0，得b2+4b+c2﹣6c+13＝0，∴（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，∴（b+2）2+（c﹣3）2＝0，∴b+2＝0，c﹣3＝0，解得，b＝﹣2，c＝3，∴a＝b+4＝﹣2+4＝2，∴a+b+c＝2﹣2+3＝3．36．解：（1）等式右边＝（a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2）＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc ﹣2ac）＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝左边，得证；（2）当a＝2011，b＝2012，c＝2013时，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a ﹣c）2]＝3；（3）∵a﹣b＝，b﹣c＝，∴a﹣c＝，∵a2+b2+c2＝1，∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]＝1﹣（++）＝﹣．37.解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）需应用上述方法2004次，结果是（1+x）2005．（3）解：原式＝（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+…+x（x+1）n，＝（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n，＝（1+x）3+x（x+1）3+…+x（x+1）n，＝（x+1）n+x（x+1）n，＝（x+1）n+1．38．解：（1）∵（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，∴x2+5x+6能被（x+2）整除，或者能被（x+3）整除；当x＝﹣2，或x＝﹣3时，x2+5x+6＝0；故答案为：（x+2）或（x+3），（x+2）或（x+3），﹣2或﹣3；（2）∵（x+2）（x﹣7）＝x2﹣5x﹣14，∴x2﹣5x﹣14能被x+2整除，∴m＝﹣5．39．解：（1）把x＝1代入x2+2x+3中，得：12+2+3＝6；若x＝2，则这个代数式的值为22+2×2+3＝11；故答案为6；11；（2）根据题意可得：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，∵（x+1）2是非负数，∴这个代数式x2+2x+3的最小值是2，相应的x的平方是1．故答案为2；1；（3）∵x2﹣10x+35＝（x﹣5）2+10，∴代数式x2﹣10x+35的最小值是10，相应的x的值是5；（4）∵﹣x2﹣8x+15＝﹣（x+4）2+31，∴﹣x2﹣8x+15的最大值是31，相应的x的值是﹣4；（5）∵y＝﹣x2+6x﹣3，∴y＝﹣（x﹣3）2+6，∵x的值在数1～4（包含1和4）之间变化，∴这时y的变化范围是：2≤y≤6．40．解：（1）x3﹣xy2＝x（x﹣y）（x+y），当x＝15，y＝5时，x﹣y＝10，x+y＝20，可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015；（2）由题意得：解得xy＝24，而x3y+xy3＝xy（x2+y2），所以可得数字密码为24121．。
浙教版七年级下数学因式分解难题
一■分式知识要点回顾1.因式分解几中常用方法①提取公因式法。
②乘法公式法：a2-b2二a b a-b ；a2_2ab b2二a_b 2。
③分组分解法：ma mb na nb = m a b n a b j i：a b m n。
④十字相乘法：x2・a・bx・ab=x・ax・b。
2.分式的有关概念A A .C A A 十C(1 )分式的基本性质：一=——C或—= --------- (C M0),其中A , B, C均为整式。
B B *C B B + C(2)分式的约分分式的约分依据是分式的基本性质，约去分子和分母中相同因式的最低次幕，约去分子和分母系数的最大公约数。
(3)分式的通分把两个或多个因式通分，先求出各个分式分母的最简公分母，再用分式的基本性质变形，达到通分目的。
(4)分式的运算①分式乘法法则： a c•—=ac - 。
b d bd②分式除法法则： a c / d : _ adb d bc bca c a 二c③分式的加减法：(1)同分母分式相加减：；(2)异分母分式相加减:b b ba c ad bc ad 二bc———= 十 = -------------- 。
b 一d bd bd bd3.分式方程(1)定义：只含分式或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
(2)解分式方程。
温馨提示：(1)在方程两边都乘以最简公分母时，切勿漏项；(2)验根是必要步骤。
二•巩固练习1.解下列分式方程‘ 2 小x 1 -x 2x (2)x_2 x -5x 6 x_3 2 -x , 11 -x -3 3 - x2.因式分解2 2a -6ab 12b 9b -4a x2_ 2xy「xz yz y2x2 -7x 6 x2 4x - 523x -11x 10 2x -11x 242 2x y 「3xy 2 2y -12y-282 2 2 x 4 -16xx 2「4xy _1 4y 2o12a b x-y -4ab y-x3.分式的混合运算(a 2-5a 21) 且-b . a? -a+2b‘ a 2+4ab+4 b 2a 1 a 1a —1 a -2a 1 a亠 a 2 -42 2xr. E y _ 2y打如* x2+6xy+9y £ 时卩2x-6 ,4-4x x 2(x 3)x 2 x -6 3—x其中a=1.4. 化简求值2x 2x -8/ X -2 x 4、—2十(x 3 2x xx x 1a 2「5a 6 a 2 -5a 4 a 「3 T—2 2a —16 a -4 a 41 —x 3 (2)x^ g 厂2)，其中1 x= . 25•计算2 2x -x_2x x-6X2_X_6 X2X_2的结果是6.当m为非负数时，求代数式———3有最大值还是最小值，并求出此最值。
新浙教版数学初一下册因式分解
1、 = =
2、已知 ，那么 的值为。
3、5xn+1－15xn＋60xn—1
4、已知 为正整数，试说明 能被24整除。
1、
2、x4-1 3、
4、 5、(a+b)2x2-2(a2-b2)xy+(a-b)2y2
6、
7、 8、
1、
2、
1、
2、
3、
4、
1、若 ，则 =。
2、
5、计算：
（1）
（2）
6、观察下列各组数：
(1)填空： =（ ） ；
(2)请你写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
（3）根据（2）计算： 的结果（用一个最简式子表示）。
7、已知 则
8、已知 ， ，求 的值。
9、已知 ,求 的值。
10、求证：无论 为何值， 的值恒为正。
11、已知 是多项式 的一个因式，试确定 的值，并求出它的其它因式。
3、
4、
5、
6、下面是某同学队多项式 进行因式分解的过程：
解：设 ，
回答下列问题：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出最后的结果。
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解。
1、已知： 是关于 的完全平方式，求 的值。
2、若 求 和 的值。
3、已知 ，求 的值。
4、已知多项式 ，甲同学看错了常数项，分解因式为 ；乙同学看错了一次项系数，因式分解为 ，则正确的因式分解为。
浙教版七年级下第六章-因式分解-知识点+习题
第六章因式分解知识点回顾1、 因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法： 平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。
（5）运用求根公式法：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ，则有： ))((212x x x x a c bx ax --=++因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。
（4）最后考虑用分组分解法考点一、因式分解的概念因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
因式分解和整式乘法互为逆运算1、下列从左到右是因式分解的是（ ）A. x(a-b)=ax-bxB. x 2-1+y 2=(x-1)(x+1)+y2 C. x 2-1=(x+1)(x-1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、若2249a kab b ++可以因式分解为2(23)a b -，则k 的值为______3、已知a 为正整数，试判断2a a +是奇数还是偶数？4、已知关于x 的二次三项式2x mx n ++有一个因式(5)x +，且m+n=17，试求m ，n 的值考点二 提取公因式法提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数 2、字母是相同字母3、字母的次数-相同字母的最低次数习题1、将多项式3222012a b a bc -分解因式，应提取的公因式是（ ）A 、abB 、24a bC 、4abD 、24a bc2、已知(1931)(1317)(1317)(1123)x x x x -----可因式分解为()(8)ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c 等于（ ）A 、-12B 、-32C 、38D 、723、分解因式（1）6()4()a a b b a b +-+ （2）3()6()a x y b y x ---（3）12n n n x x x ---+ （4）20112010(3)(3)-+-4、先分解因式，在计算求值（1）22(21)(32)(21)(32)(12)(32)x x x x x x x -+--+--+ 其中x=1.5（2）22(2)(1)(1)(2)a a a a a -++--- 其中a=185、已知多项式42201220112012x x x +++有一个因式为21x ax ++，另一个因式为22012x bx ++，求a+b 的值6、若210ab +=，用因式分解法求253()ab a b ab b ---的值7、已知a ，b ，c 满足3ab a b bc b c ca c a ++=++=++=，求(1)(1)(1)a b c +++的值。
因式分解(考点剖析)浙江省七年级数学下学期期末必考点复习(浙教版)
专题07 因式分解【考点剖析】1、因式分解的概念分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．注意：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．2、因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2；③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)；④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) ．3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．4、因式分解的应用（1）利用因式分解解决求值问题；（2）利用因式分解解决证明问题；（3）利用因式分解简化计算问题．【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．因式分解的定义【典例】例1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．ax﹣ay＝a（x﹣y）B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4C．x2﹣9+8x＝（x+3）（x﹣3）+8xD．（3a﹣2）（﹣3a﹣2）＝4﹣9a2【答案】A【解析】解：A、是因式分解，正确；B、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；C、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；D、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误．故选：A．【点睛】因式分解就是把多项式分解成整式的积的形式，依据定义即可判断．本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．【巩固练习】1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．am+bm﹣1＝m（a+b）﹣1D．（x﹣1）2﹣1＝（x﹣1）（x﹣1）【答案】B【解析】解：A．属于整式的乘法运算，不合题意；B．符合因式分解的定义，符合题意；C．右边不是乘积的形式，不合题意；D．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；故选：B．因式分解计算【典例】例1．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3（2）4ax2﹣48ax+128a；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2【答案】见解析【解析】解：（1）x2y﹣2xy2+y3＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2；（2）4ax2﹣48ax+128a＝4a（x2﹣12x+32）＝4a（x﹣4）（x﹣8）；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）＝（x+4y）2（x﹣4y）2．【点睛】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式根据十字相乘法分解因式；（3）先根据平方差公式分解因式，再采用完全平方公式继续分解．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．【巩固练习】1．分解因式：（1）ax+ay（2）x4﹣b4（3）3ax2﹣6axy+3ay2【答案】见解析【解析】解：（1）ax+ay＝a（x+y）；（2）x4﹣b4＝（x2+b2）（x2﹣b2）＝（x2+b2）（x+b）（x﹣b）；（3）3ax2﹣6axy+3ay2＝3a（x2﹣2xy+y2）＝3a（x﹣y）2．2．因式分解（1）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab（2）（x+1）（x+2）．【答案】见解析【解析】解：（1）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab＝﹣2ab（2a2b2﹣3a+1）（2）（x+1）（x+2）＝x2+3x+2＝x2+3x＝（x）2．因式分解综合【典例】例1．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______________；（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．【答案】见解析【解析】解：（1）故选：C；（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x＝y，原式＝（y+1）（y+7）+9，＝y2+8y+16，＝（y+4）2，＝（x2﹣4x+4）2，＝（x﹣2）4；故答案为：（x﹣2）4；（3）设x2+2x＝y，原式＝y（y+2）+1，＝y2+2y+1，＝（y+1）2，＝（x2+2x+1）2，＝（x+1）4．【点睛】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式．本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．例2．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2+3x+2分解因式．这个式子的常数项2＝1×2，一次项系3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．上述分解因式x2+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x2﹣5x+6＝________________________；（2）若x2+px+8可分解为两个一次因式的积，则整数P的所有可能值是______________．【答案】见解析【解析】解：（1）x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）．故答案是：（x﹣2）（x﹣3）．（2）∵8＝1×8；8＝﹣8×（﹣1）；8＝﹣2×（﹣4）；8＝﹣4×（﹣2），则p的可能值为﹣1+（﹣8）＝﹣9；8+1＝9；﹣2+（﹣4）＝﹣6；4+2＝6．∴整数p的所有可能值是±9，±6，故答案为：±9或±6．【点睛】（1）、（2）发现规律：二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，则x2+px+q＝（x+a）（x+b）．此题考查了因式分解﹣十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．【巩固练习】1．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x﹣3，解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2﹣4x+3（2）4x2+12x﹣7．【答案】见解析【解析】解：（1）x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）＝（x﹣1）（x﹣3）（2）4x2+12x﹣7＝4x2+12x+9﹣9﹣7＝（2x+3）2﹣16＝（2x+3+4）（2x+3﹣4）＝（2x+7）（2x﹣1）．2．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y，则原式＝（y+2）（y+6）+4＝y2+8y+16＝（y+4）2＝（x2﹣4x+4）2（1）该同学因式分解的结果是否彻底？__________（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______________．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣2）﹣3进行因式分解．【答案】见解析【解析】解：（1）该同学因式分解的结果不彻底，原式＝（x2﹣4x+4）2＝[（x﹣2）2]2＝（x﹣2）4，故答案为：不彻底、（x﹣2）4．（2）设：x2﹣2x＝y．原式＝y（y﹣2）﹣3，＝（y﹣3）（y+1），＝（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x+1），＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）2．3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程解：设x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号）．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？______．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果_____________．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【答案】见解析【解析】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）这个结果没有分解到最后，原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；故答案为：否，（x﹣2）4；（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．因式分解的应用【典例】例1．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】解：移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4＝0，c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，所以，a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．故选：C．【点睛】移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解．本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键．【巩固练习】1．已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】C【解析】解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，∵a+b﹣c≠0，∴a﹣b＝0，即a＝b，则△ABC为等腰三角形．故选：C．2．如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．利用因式分解计算当a＝13.6，b＝1.8时，草坪的面积．【答案】见解析【解析】解：由图可得，草坪的面积是：a2﹣4b2，当a＝13.6，b＝1.8时，a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（13.6+2×1.8）×﹣2×1.8）×10＝172，即草坪的面积是172．3．如图，一长方形模具长为2a，宽为a，中间开出两个边长为b的正方形孔．（1）求图中阴影部分面积（用含a、b的式子表示）（2）用分解因式计算当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积．【答案】见解析【解析】解：（1）2a•a﹣2b2＝2（a2﹣b2）；（2）当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积2（a2﹣b2）＝2（a+b）（a﹣b﹣4.3）＝456．。
浙江省杭州市三墩中学七年级数学下册 第二章《图形和
浙江省杭州市三墩中学七年级数学下册第二章《图形和变换》测试题三浙教版（90分钟，满分100分）一、精心选一选（每题3分，共 30 分）1、下列图中全等的图形是（）2、把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,如图所示:则所得的图形是( )3、4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180º后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左数起是（）A.第一张B.第二张C.第三张D.第四张4、等边三角形的对称轴有（）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条5、国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是（）A.加拿大、哥斯达黎加、乌拉圭B.加拿大、瑞典、澳大利亚C.加拿大、瑞典、瑞士D.乌拉圭、瑞典、瑞士加拿大哥斯达黎加澳大利亚乌拉圭瑞典瑞士6、下面 A，B，C，D四幅图中哪幅图是由图1平移得到的？（）1 A B C D7、将一圆形纸片对折后再对折，得到图4，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是 ( )8、图5是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多反射），那么该球最后将落入的球袋是（）A．1 号袋 B．2 号袋 C．3 号袋 D．4 号袋9、下列图形中，不是轴对称图形的是（）A、线段B、等腰三角形C、圆D、平行四边形10、下列说法中正确的是（）①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等②角是轴对称图形③线段不是轴对称图形④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等A.①②③④B.①②③C.②④D.②③④二、耐心填一填（每题3分，共30分）1、图形变换包括、、、四种，其中图形的形状、大小都不变，位置改变的变换是、、；而形状不变，大小、位置都改变的变换是。
2、写出是轴对称的3个英文字母：。
3、小明的运动衣上的号码在镜子中的字样为“801”，那么他的运动衣上的实际号码是。
浙教版七年级下用乘法公式分解因式2
4.上表中的 14、a2 x2不 2x 是14 完全平方式， 如何修改使之成为完全平方式？
首 22首 尾 尾 2之尝试篇
例：把下列各式因式分解：
（1）
a2
ab 1 b2 4
（2） 4x212xy9y2
练一练：按照完全平方公式填空：
( 1 )a 2 1 0 a (2 5 ) (a 5 )2
用完全平方式因式分解
之探索篇
完全平方式：
字母表达
a22abb2(ab)2 a22abb2(ab)2
语言表述
两数的平方和，加上（或减去）这两数的 积的2倍，等于这两个数和（或差）的平方。
2020/3/10
之探索篇
2.观察第三列可发现a、b各表示什么？ 公式中的a、b可以表示数、字母、单项式甚至是多项式
义务教育课程标准实验教科书 浙江版《数学》七年级下册
6.3 用乘法公式分解因式 ——完全平方式
南田中学：刘文周
义务教育课程标准 浙江版七年级下
七年级数学备课组
用完全平方式因式分解
把下列多项式因式分解
（1） a3 4a
（2）(2x3)2y2
关键词： 提取公因式 彻底 整体和换元
之回顾篇
(ab)2a22abb2 (ab)2a22abb2
首 22首 尾 尾 2
因式分解多项式； 先看有无公因式。 两项三项用公式； 辩明是否标准式。
作业：
必做题：P146 A组 选做题：P146 B、 C组及配套作业本
2020/3/10
2020/3/10
之探索篇
完全平方式的特征 1、必须是三项式 2、有两个“项”的平方 3、有这两“项”的2倍或-2倍 4、两个平方项的符号必须相同
浙教版七年级数学下册试题.1因式分解.doc
4.1因式分解基础训练1．下列由左到右的变形哪些是因式分解，哪些不是（是的打“∨”，•不是的打“×”）：（1）（x+3）（x-3）=x 2-9； （ ）; （2）x 2+2x+2=（x+1）2+1；（ ）（3）x 2-x-12=（x+3）（x-4）；（ ）; （4）x 2+3xy+2y 2=（x+2y ）（x+y ）；（ ）（5）1-21x =（1+1x ）（1-1x ）；（ ）;（6）m 2+1m +2=（m+1m ）2；（ ） （7）a 3-b 3=（a-b ）（a 2+ab+b 2）．（ ）2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）A ．（a+3）（a-3）=a 2-9;B ．a 3+b 3=（a+b ）（a 2-ab+b 2）C ． a 2-4a-5=（a-2）2-9;D ．a 2-4a-5=a （a-4）-53．下列各式因式分解错误的是（ ）A ．8x 2y-24xy 2=8xy （x-3y ）;B ． ax+bx+ay+by=x （a+b ）+y （a+b ）C ．12x 2y+14x 2y 2-2xy=2xy （6x+7xy-1）;D ．x 3-8=（x-2）（x 2+2x+4）4．在下列各式中等号右边的括号前填入适当的单项式或正负号，•使等式左右两边相等．（1）-a+b=______（a-b ）； （2）-2x-2y=_______（x+y ）；（3）（a+b ）（a-b ）=______（a+b ）（a-b ）；（4）（a-b ）2=______（b-a ）2；（5）2πR-2πr=______（R-r ）； （6）-8a 2b-2ab+6b 2=________（4a 2+a-3b ）．5．把下列各式分解因式：（1）y 2-16； （2）25m 2-n 2；（3）x 2+14x+49； （4）4-4x+x 2．提高训练6．如果2x 2+mx-2可因式分解为（2x+1）（x-2），那么m 的值是（ ）A ．-1B ．1C ．-3D ．37．如果x 2-ax+5有一个因式是（x+1），求a 的值，并求另一个因式．8．计算：7.6×20.15+4.3×20.15-1.9×20.15．9．计算：9992+999．10．计算：（536）2-（3136）2． 应用拓展11．一个圆环，外圆的半径为R ，内圆的半径为r ，（1）写出圆环面积的计算公式；（2）当R=15.25cm ，r=5.25cm 时，求圆环的面积（π取3.14，精确到1cm 2）．12．已知：a-b-c=16，求a （a-b-c ）+b （c-a+b ）+c （b+c-a ）的值．答案:1．（1）× （2）× （3）∨ （4）∨ （5）∨ （6）× （7）∨2．B 3．B4．（1）-• （2）-2 （3）+ （4）+ （5）2π （6）-2b5．（1）（y+4）（y-4） （2）（5m+n ）（5m-n ） （•3）（x+7）2 （4）（2-x ）26．C7．-6 x+58．20159．99900010．-131811．（1）πR2-πr2（2）644cm212．（a-b-c）2=162=256初中数学试卷。