初中数学 文档：一元一次不等式问题解题技巧五则 省赛一等奖

一元一次不等式问题解题技巧五则
一、巧用不等式性质解题：
例1、已知a b a ->，a b b +>，求、的取值范围．
解：由a b a ->两边同减去得0b ->，∴；由a b b +>两边同减去得； ∴、的取值范围为，．
例2、已知0ax a -的解集是，求的取值范围． 解：移项得ax a ，∵当时，原不等式的解集为1a x
a =，∴满足条件的的取值范围为．
评注：不等式的性质有——①、若，则a c b c ±>±；②、若，且，则ac bc >，a b c c >；③、若，且，则ac bc <，a b c c <．以上不等式的三个性质是解不等式的重要依据，其中性质③涉及到不等号方向的改变，解题时尤需注意．
二、巧用有理数符号法则解题：
例3、求不等式301
x ->-的解集． 解：由30-<且301
x ->-可知，代数式10x -<，即，∴原不等式的解集为． 例4、求不等式21021
a x +>+的解集． 解：由20a 可得2110a +>，∵21021a
x +>+，∴代数式210x +>，即12x >-，∴原不等式的解集为12x >-．
评注：有理数的符号法则包括——①、有理数积的符号法则：两数相乘，同号得正，异号得负；②、有理数商的符号法则：两数相除，同号得正，异号得负．熟练掌握以上两个法则特别是商的符号法则是解决特殊类型不等式（如上例中的分式不等式等）问题的重要手段．
三、巧用绝对值相关知识解题：
例5、已知2112x x -=-，求的取值范围．
解：∵12(21)x x -=--，即21(21)x x -=--；∴由绝对值的性质可知210x -，解之有12x ；∴满足条件的的取值范围为12
x ． 例6、求下列不等式的解集：⑴、3x <；⑵、5x ；⑶、13x -． 解：⑴、原不等式即03x -<，由绝对值的几何意义可知，所求的取值范围是距离原点不足3个单位长度的所有点的集合，∴原不等式的解集为33x -<<；
⑵、原不等式即05x -，由绝对值的几何意义可知，所求的取值范围
是距离原点不小于5个单位长度的所有点的集合，∴原不等式的解集为5x
或5x -；
⑶、由绝对值的几何意义可知，所求的取值范围是距离“+1”不超过3个单位长度的所有点的集合，∴原不等式的解集为24x -． 评注：绝对值知识点包含两个方面——①、绝对值的性质：(0)
0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
；
②、绝对值的几何意义：从数轴上看，即表示到原点的距离．以上两方面知识既是进行绝对值化简运算的依据，也是解决绝对值方程及绝对值不等式问题的重要思想方法．
四、巧用等式变形思想解题：
例7、已知、满足方程230x y --=，试求：⑴、当为何值时，？⑵、当为何值时，12
x <？ 解：⑴、由方程230x y --=移项得23y x =-．令得230x ->，解之得32x >，∴当32
x >时，； ⑵、由方程230x y --=移项得23x y =+，∴32y x +=．令12x <得3122y +<，∴31y +<，解之得2y <-，∴当2y <-时，12
x <．
例8、已知方程3(2)21x a x a -+=-+的解适合不等式2(5)8x a ->，求的取值范围．
解：由方程3(2)21x a x a -+=-+去括号得3621x a x a -+=-+，移项得3612x x a a -=-+-，∴512
a x -=．解不等式2(5)8x a ->得54x a >+，由题意有51542a a ->+，解之得113
a <-． 评注：等式的变形包括——移项、合并同类项、化系数为1等步骤，等式变形的依据是等式的两个基本性质．在方程与不等式组合型问题中，通过对方程进行合理变形，从而建立不等式进行求解是解决此类问题的一种常用思想方法．
五、巧用分类讨论思想解题：
例9、试判断下列代数式的大小：⑴、与x ；⑵、37x y +与28x y +． 解：⑴、x y x y +-=，
①、当时，0x y x +->，∴x y x +>；
②、当时，0x y x +-=，∴x y x +=；
③、当时，0x y x +-<，∴x y x +<．
⑵、37(28)x y x y x y +-+=-，
①、当0x y ->即x y >时，37(28)0x y x y +-+>，∴3728x y x y +>+； ②、当0x y -=即x y =时，37(28)0x y x y +-+=，∴3728x y x y +=+； ③、当0x y -<即x y <时，37(28)0x y x y +-+<，∴3728x y x y +<+． 例10、解关于x 的不等式：⑴、20ax a -；⑵、1()122a x a ->-． 解：⑴、原不等式可化为2ax a ， ①、当时，原式即00x ⋅，此时可取任何有理数．
②、当时，原式两边同除以得2x ；
③、当时，原式两边同除以得2x
．
⑵、原不等式可化为11()2()22a x a ->--，易知12
a ≠， ①、当即102
a ->时，原不等式两边同除以1()2a -得2x >-； ②、当12a <即102
a -<时，原不等式两边同除以1()2a -得2x <-． 评注：在用作差法比较代数式的大小及求解含有未知字母不等式问题的过程中，若题中涉及到的未知字母的取值范围不明确，则解决的办法通常是对其进行分类讨论．。