2024版新教材高考数学复习特训卷考点练13函数的值域与最值

考点练13 函数的值域与最值
1．函数y ＝
x ＋2x －1
(x ≠1)在区间[2，5)上的最大值、最小值分别是( ) A ．74
，4 B ．无最大值，最小值为7
C ．4，0
D ．最大值为4，无最小值
2．函数y ＝2x －x －1的值域为( )
A ．(－∞，－158]
B ．(－∞，－158
) C ．(158，＋∞) D．[158
，＋∞) 3．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
2－6x ＋5的值域为( ) A ．(0，16] B ．[16，＋∞)
C ．(0，116]
D ．[116，＋∞) 4.函数y ＝x 2－3x 2＋1
的值域是________． 5．[2023·河北邢台模拟]若函数f (x )与g (x )同在一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”，已知函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c (b ，c ∈R )与g (x )＝x 2－x ＋1x 是定义在区间[12，2]上的“兄弟函数”，那么f (x )在区间[12
，2]上的最大值是________．
6．[2023·江西瑞金模拟]已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）x ＋1，x <a x ＋4x
－4，x ≥a ，若f (x )存在最小值，则a 的取值范围是____________．
考点练13 函数的值域与最值
1．答案：D
解析：函数y ＝x ＋2x －1＝1＋3x －1
在[2，5）上单调递减，所以在x ＝2处取得最大值4，而x ＝5取不到，则最小值取不到．故选D.
2．答案：D
解析：函数的定义域是{x |x ≥1}，令x －1＝t ，则t ∈[0，＋∞），x ＝t 2
＋1，所以y
＝2（t 2＋1）－t ＝2t 2－t ＋2＝2（t －14）2＋158，因为t ≥0，所以y ≥158
，所以原函数的值域为[158
，＋∞）.故选D. 3．答案：A 解析：x 2－6x ＋5＝（x －3）2－4≥－4，设t ＝x 2－6x ＋5，则t ≥－4，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t
为减函数，则0<y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，故函数的值域为（0，16].故选A.
4．答案：[－3，1）
解析：y ＝x 2－3x 2＋1＝x 2＋1－4x 2＋1＝1－4x 2＋1，因为x 2＋1≥1，所以4x 2＋1∈（0，4]，所以－4x 2＋1
∈[－4，0），所以y ＝x 2－3x 2＋1
∈[－3，1）. 5．答案：2
解析：∵g （x ）＝x 2－x ＋1x ＝x ＋1x －1≥2 x ·1x －1＝1，当且仅当x ＝1
x 即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，g （x ）取最小值g （1）＝1.
∵函数f （x ）与g （x ）同在一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”，
∴函数f （x ）在区间[12
，2]上最小值为f （1）＝1.∴点（1，1）为抛物线f （x ）＝x 2＋bx ＋c 的顶点．
∴⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＝14c －b 2
4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴f （x ）＝x 2－2x ＋2.∴y ＝f （x ）在区间[12，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增．
∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝54
，f （2）＝2，∴f （x ）在区间[12，2]上的最大值是2. 6．答案：[1，5＋12
] 解析：当1－a >0，即a <1时，f （x ）在（－∞，a ）上单调递增，故f （x ）无最小值，不符合题意；
当1≤a ≤2时，f （x ）在（－∞，a ）上单调递减，所以f （a ）＝（1－a ）a ＋1，又f （x ）在[a ，＋∞）上的最小值为f （2）＝0，要使f （x ）存在最小值，还需（1－a ）a ＋1≥0， 解得1－52≤a ≤5＋12，故⎩⎪⎨⎪⎧1－52≤a ≤5＋121≤a ≤2
⇒1≤a ≤5＋12； 当a >2时，要使f （x ）存在最小值，还需：（1－a ）a ＋1≥a ＋4a
－4，因为（1－a ）a ＋1<0，a ＋4a
－4>0，所以无解． 综上a 的取值范围为[1，
5＋12
].。