(HDUACM03版08)计算几何基础7805265PPT课件
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计算几何PPT
β
α- β
α
/
ACM/ICPC集训队 P14
向量的运算
点积 α · β = x1×x2 + y1×y2 = |α|·|β|·cosθ 叉积 α×β = x1×y2 – x2×y1 = |α|·|β|·sinθ
β
θ
α
/
凸包的求法
卷包裹法
/
ACM/ICPC集训队 P39
凸包的求法
Graham-Scan算法
push(p1); push(p2); i = 3; while i <= n do if p1在栈顶边的左手方 向 then push(pi); 并且i++ else pop();
Q1 Q1 P2 P1 Q2 P1 P2
Q2
/
ACM/ICPC集训队 P22
向量的运算的应用
计算点到线段、直线的最近点 求点到直线的距离 求点关于直线的对称点 构造两点中垂线 ……
/
ACM/ICPC集训队 P23
ACM/ICPC集训队 P29
多边形的三角剖分
多边形的三角剖分，就是仅仅使用多边形的对角 线将多边形P拆分成多个不重叠的三角形。 通过三角剖分，我们可以将复杂的多边形转化相 对比较简单的三角形集合。
定理：对于具有n条边的多边形，不论我们使用什 么剖分方法，总是只能解剖出n-2个三角形
/ ACM/ICPC集训队 P30
/
ACM/ICPC集训队 P18
判断线段和直线是否相交
取直线上一点，连接线段的两点，如果所得的两系线段都在直线的同 一侧，则不相交。
/
ACM/ICPC集训队 P19
判断两线段是否相交
两条线段恰有惟一一个不是端点的公共点，称之 为“规范相交”。 否则称为非规范相交。
北京大学ACM暑期课讲义-计算几何教程
Computational Geometry
计算几何教程
计算几何的恶心之处
代码长，难写。
需要讨论各种边界情况。后面所介绍的算
法，有些对于边界情况的处理很完美，不 需要再做讨论；有些则不然，需要自行处 理边界情况。
精度误差
二维矢量
2-Dimension Vector
矢量
既有大小又有方向的量。
算法演示
2 被弹出栈，3 进栈。
算法演示
没有点被弹出栈，4 进栈。
算法演示
4 被弹出栈，5 进栈。
算法演示
5 被弹出栈，6 进栈。
算法演示
6 被弹出栈，7 进栈。
算法演示
如此直到下凸壳被找到。
算法演示
倒序进行扫描找到上凸壳。
Graham 扫描的时间复杂度
这太傻缺了。算法的瓶颈在排序，所以时
总时间复杂度 O(N2 log N)。
算法扩展
SPOJ CIRUT
求恰好被覆盖 1 次、2 次、„、N 次的面积。
算法的本质在于对“裸露”部分进行处理。
这种方法也可以用于求很多圆与很多凸多 边形的面积并——但是情况复杂得多，要 讨论的情况也多得多。
三维矢量
3-Dimension Vector
总体来说讨论比较辛苦，写起来不算很难。
精度存在比较大的问题，而且半平面交的
题目一般都容许 O(N2) 算法，所以并不是 很常用。
半平面交练习题
POJ 1279 POJ 3525 POJ 2451 POJ 3384
求多边形的核。核中的点满足其到多边形边 界上任一点之间的线段只与多边形在那一点相交。 求凸多边形最大内切圆半径。 裸的半平面交。朱泽园专门为他的算法出的 题，要求 O(N log N) 算法。 求在凸多边形内部放两个半径为 r 的圆所能 覆盖的最大面积。两圆可以重叠，但不能与多边形相交。 需要用到旋转卡壳。
计算几何教程
计算几何的恶心之处
代码长，难写。
需要讨论各种边界情况。后面所介绍的算
法，有些对于边界情况的处理很完美，不 需要再做讨论；有些则不然，需要自行处 理边界情况。
精度误差
二维矢量
2-Dimension Vector
矢量
既有大小又有方向的量。
算法演示
2 被弹出栈，3 进栈。
算法演示
没有点被弹出栈，4 进栈。
算法演示
4 被弹出栈，5 进栈。
算法演示
5 被弹出栈，6 进栈。
算法演示
6 被弹出栈，7 进栈。
算法演示
如此直到下凸壳被找到。
算法演示
倒序进行扫描找到上凸壳。
Graham 扫描的时间复杂度
这太傻缺了。算法的瓶颈在排序，所以时
总时间复杂度 O(N2 log N)。
算法扩展
SPOJ CIRUT
求恰好被覆盖 1 次、2 次、„、N 次的面积。
算法的本质在于对“裸露”部分进行处理。
这种方法也可以用于求很多圆与很多凸多 边形的面积并——但是情况复杂得多，要 讨论的情况也多得多。
三维矢量
3-Dimension Vector
总体来说讨论比较辛苦，写起来不算很难。
精度存在比较大的问题，而且半平面交的
题目一般都容许 O(N2) 算法，所以并不是 很常用。
半平面交练习题
POJ 1279 POJ 3525 POJ 2451 POJ 3384
求多边形的核。核中的点满足其到多边形边 界上任一点之间的线段只与多边形在那一点相交。 求凸多边形最大内切圆半径。 裸的半平面交。朱泽园专门为他的算法出的 题，要求 O(N log N) 算法。 求在凸多边形内部放两个半径为 r 的圆所能 覆盖的最大面积。两圆可以重叠，但不能与多边形相交。 需要用到旋转卡壳。
265理论力学CAI数学基础精品文档PPT课件
A BB A
ABTATBT
2020/11/28 11
理论力学CAI 数学基础
矩阵/定义与运算/常见的运算
• 矩阵乘
元素间的关系
C AB
mn ms sn
CCij mn A A ik m s,B B ks j n s
Cij Aik Bkj (i=1, ,m; j=1, ,n) k 1
A21
A12 A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
• 用一黑斜体的大写字母来表示
– 无法区分黑白时可加下横线 A
2020/11/28 6
理论力学CAI 数学基础
矩阵/定义与运算/定义
• 矩阵A的转置矩阵，记为AT
A11
def
A Aij
mn
def
A21
A12
A22
A1n A2n
Aii= 0 (i=1,,n)
AAT
例
1 3 2
A 3 4 6
例
A
3 1
4 2
B10
0 1
32
AB 31
2410
0 1
3231
4 2
148
22
23
2020/11/28 理论力学CAI 数学基础
3 1 1 1 4 2 0 0 3 1 0 0 4 2 (( 1 1 )) 3 1 2 2 4 2 3 3
23
例
A
3 1
4 2
C 31
4 2
00
？ CA
2020/11/28 9
理论力学CAI 数学基础
矩阵/定义与运算/常见的运算
• 矩阵与标量乘 CA mn mn
元素间的关系 Cij Aij (i=1, ,m; j=1, ,n)
ABTATBT
2020/11/28 11
理论力学CAI 数学基础
矩阵/定义与运算/常见的运算
• 矩阵乘
元素间的关系
C AB
mn ms sn
CCij mn A A ik m s,B B ks j n s
Cij Aik Bkj (i=1, ,m; j=1, ,n) k 1
A21
A12 A22
A1n A2n
Am1 Am2 Amn
• 用一黑斜体的大写字母来表示
– 无法区分黑白时可加下横线 A
2020/11/28 6
理论力学CAI 数学基础
矩阵/定义与运算/定义
• 矩阵A的转置矩阵，记为AT
A11
def
A Aij
mn
def
A21
A12
A22
A1n A2n
Aii= 0 (i=1,,n)
AAT
例
1 3 2
A 3 4 6
例
A
3 1
4 2
B10
0 1
32
AB 31
2410
0 1
3231
4 2
148
22
23
2020/11/28 理论力学CAI 数学基础
3 1 1 1 4 2 0 0 3 1 0 0 4 2 (( 1 1 )) 3 1 2 2 4 2 3 3
23
例
A
3 1
4 2
C 31
4 2
00
？ CA
2020/11/28 9
理论力学CAI 数学基础
矩阵/定义与运算/常见的运算
• 矩阵与标量乘 CA mn mn
元素间的关系 Cij Aij (i=1, ,m; j=1, ,n)
计算几何优质获奖课件
0<=a<360，也能够以为是两向量旳夹角，0<=a<=180。一般用于求夹角，a = acos( (AB * CD) / (|AB| * |CD|) )。也可：|CD| * cos(a) = AB * CD / |AB|，即向 量CD在AB上旳投影。
叉积，线段相交旳鉴定
四、叉积。
叉积旳成果为一种向量。
P1
A1 P2
P6 A4
P5 A3
A2 P4
2024/9/21
P3
14
凹多边形旳面积？
依然分割成三角形 计算措施不变
注意符号，最终取绝对值
2024/9/21
15
任意点为扇心旳三角形剖分：
我们能把多边形提成N-2个三角形，为何不能提成N个三角形呢？ 例如，以多边形内部旳一种点为扇心，就能够把多边形剖提成 N个三角
12
计算几何旳措施：
在计算几何里，我们懂得，△ABC旳面积就是“向量AB”和“向量 AC”两个向量叉积旳绝对值旳二分之一。其正负表达三角形顶点 是在右手系还是左手系。
B
C
A ABC成左手系，负面积
2024/9/21
C B
A ABC成右手系，正面积 13
凸多边形旳三角形剖分
很自然地，我们会想到以 P1为扇面中心，连接P1Pi就得到N-2个三角形，因为凸性，确保这 些三角形全在多边形内，那么，这个凸多边形旳有向面积： A=sigma(Ai) (i=1…N-2)
2、A在线段CD上旳充要条件：
a) 。
AC×AD = 0，几何意义，AC和AD构成旳平行四边形旳面积为0，即A、C、D三点共线
b)
A点在CD之间，A.x处于C.x和D.x之间而且A.y处于C.y和D.y之间
叉积，线段相交旳鉴定
四、叉积。
叉积旳成果为一种向量。
P1
A1 P2
P6 A4
P5 A3
A2 P4
2024/9/21
P3
14
凹多边形旳面积？
依然分割成三角形 计算措施不变
注意符号，最终取绝对值
2024/9/21
15
任意点为扇心旳三角形剖分：
我们能把多边形提成N-2个三角形，为何不能提成N个三角形呢？ 例如，以多边形内部旳一种点为扇心，就能够把多边形剖提成 N个三角
12
计算几何旳措施：
在计算几何里，我们懂得，△ABC旳面积就是“向量AB”和“向量 AC”两个向量叉积旳绝对值旳二分之一。其正负表达三角形顶点 是在右手系还是左手系。
B
C
A ABC成左手系，负面积
2024/9/21
C B
A ABC成右手系，正面积 13
凸多边形旳三角形剖分
很自然地，我们会想到以 P1为扇面中心，连接P1Pi就得到N-2个三角形，因为凸性，确保这 些三角形全在多边形内，那么，这个凸多边形旳有向面积： A=sigma(Ai) (i=1…N-2)
2、A在线段CD上旳充要条件：
a) 。
AC×AD = 0，几何意义，AC和AD构成旳平行四边形旳面积为0，即A、C、D三点共线
b)
A点在CD之间，A.x处于C.x和D.x之间而且A.y处于C.y和D.y之间
第7讲计算几何基础和实例分析精品PPT课件
当Q1Q2跨立P1P2时 (Q1-P1)*(P2-P1)*(P2-P1)*(Q2-P1)>=0
矢量
应用示例分析
在平面直角坐标系中，任意给出四个点的坐标值，前 两组和后两组分别确定两条直线。请判断两条直线的 关系：
① 若是同一条线，输出“LINE” ② 若两条直线平行，输出“NONE” ③ 若两条直线相交，输出交点坐标 输入格式：第一行一个数据n表示输入数据的组数 ，以后n行(每行8个数据)表示两条直线的数据 输出格式：对每组输入给出对应输出 [提示：] 用两点式推出直线方程 考虑两点式确定的直线不一定有斜率，所以使
两线段的端点）
③线段和多边形交于线段的两端点并不会影 响线段是否在多边形内；但是如果多边形的 某个顶点和线段相交，还必须判断两相邻交 点之间的线段是否包含于多边形内部。
包含关系
判断图形是否包含在多边形中
判断线段是否在多边形中的基本思想 求出所有和线段相交的多边形的顶点 按照X-Y坐标排序(X坐标小的排在前面，对于X坐标相 同的点，Y坐标小的排在前面，这种排序准则也是为了 保证水平和垂直情况的判断正确) 排序后，相邻的两个点就是在线段上相邻的两交点， 如果任意相邻两点的中点也在多边形内，则该线段一 定在多边形内。
矢量
矢量的运算——叉积的应用(判断两线段是否相交)
通过快速排斥测试和快速跨立测试进行判断 快速排斥测试 设以线段P1P2位对角线的矩形为R，以线段Q1Q2为对角线的矩 形为T，如果R和T不相交，则两线段不会相交。 快速跨立测试 若两线段相交，则必然相互跨立对方。
当P1P2跨立Q1Q2时 (P1-Q1)*(Q2-Q1)*(Q2-Q1)*(P2-Q1)>=0
矢量的运算——叉积的应用(判断点是否在线段上)
矢量
应用示例分析
在平面直角坐标系中，任意给出四个点的坐标值，前 两组和后两组分别确定两条直线。请判断两条直线的 关系：
① 若是同一条线，输出“LINE” ② 若两条直线平行，输出“NONE” ③ 若两条直线相交，输出交点坐标 输入格式：第一行一个数据n表示输入数据的组数 ，以后n行(每行8个数据)表示两条直线的数据 输出格式：对每组输入给出对应输出 [提示：] 用两点式推出直线方程 考虑两点式确定的直线不一定有斜率，所以使
两线段的端点）
③线段和多边形交于线段的两端点并不会影 响线段是否在多边形内；但是如果多边形的 某个顶点和线段相交，还必须判断两相邻交 点之间的线段是否包含于多边形内部。
包含关系
判断图形是否包含在多边形中
判断线段是否在多边形中的基本思想 求出所有和线段相交的多边形的顶点 按照X-Y坐标排序(X坐标小的排在前面，对于X坐标相 同的点，Y坐标小的排在前面，这种排序准则也是为了 保证水平和垂直情况的判断正确) 排序后，相邻的两个点就是在线段上相邻的两交点， 如果任意相邻两点的中点也在多边形内，则该线段一 定在多边形内。
矢量
矢量的运算——叉积的应用(判断两线段是否相交)
通过快速排斥测试和快速跨立测试进行判断 快速排斥测试 设以线段P1P2位对角线的矩形为R，以线段Q1Q2为对角线的矩 形为T，如果R和T不相交，则两线段不会相交。 快速跨立测试 若两线段相交，则必然相互跨立对方。
当P1P2跨立Q1Q2时 (P1-Q1)*(Q2-Q1)*(Q2-Q1)*(P2-Q1)>=0
矢量的运算——叉积的应用(判断点是否在线段上)
计算几何课件
• 向量形式与解析形式的关系
•
− , − , − ⋅ , , = 0 ⟹ + + + = 0
• Dist =
− ⋅
=
+++
2 + 2 + 2
• 性质：参数表示与隐式表示；自动适用于二维
2024/3/11
• 是直线/射线上一点， 是直线/射线的方向向量
• 线段： = 1 + 2 − 1 = 1 − 1 + 2 , ∈ 0,1
• 1 , 2 分别是线段的两个端点
2024/3/11
1
Computational Geometry
2
5
点、线、面的表示
1
• 面的表示
计算几何
Computational Geometry
主讲人：x
2024 年 3 月 18 日
什么是计算几何
2024/3/11
Computational Geometry
2
什么是计算几何
• 计算几何：✗数学 ✓计算机
• 起源于 1971 年，计算机图形学 (CG) 与计算机辅助设计 (CAD) 的推动
• = + = +
2024/3/11
• =
• ≥ 0, Dist = ℎ
• 点在直线上的投影
• ⋅+
• 点 ；直线 = +
ℎ
− ⋅
2
Computational Geometry
7
线与线的位置关系 (2D)
• 共端点射线/线段的绕序
acm计算几何_讲义
PKU 3304 segments
Output
For each test case, your program must output "Yes!", if a line with desired property exists and must output "No!" otherwise. You must assume that two floating point numbers a and b are equal if |a - b| < 10-8.
PKU 3304 segments
Description
ห้องสมุดไป่ตู้
Given n segments in the two dimensional space, write a program, which determines if there exists a line such that after projecting these segments on it, all projected segments have at least one point in common.
You are to find the length of the shortest path through a chamber containing obstructing walls. The chamber will always have sides at x = 0, x = 10, y = 0, and y = 10. The initial and final points of the path are always (0, 5) and (10, 5). There will also be from 0 to 18 vertical walls inside the chamber, each with two doorways. The figure below illustrates such a chamber and also shows the path of minimal length.
ACM算法 计算几何基础ppt课件
57 2020/4/15
58 2020/4/15
59 2020/4/15
60 2020/4/15
61 2020/4/15
62 2020/4/15
63 2020/4/15
64 2020/4/15
特别提醒：
以上介绍的线段的三个属性， 是计算几何的基础，在很多方 面都有应用，比如求凸包等等， 请务必掌握！
15 2020/4/15
第二单元
多边形面积 和重心
16 2020/4/15
基本问题（1）：
给定一个简单多边形，求其 面积。
输入：多边形（顶点按逆时 针顺序排列）
输出：面积S
17 2020/4/15
A=sigma(Ai) (i=1…N-2)
P1
A1 P2
P6 A4
P5 A3
A2 P4
P3
25 2020/4/15
凹多边形的面积？
P3
P2 P4
P1
26 2020/4/15
依然成立！！！
多边形面积公式：A=sigma(Ai) (i=1…N-2)
结论： “有向面积”A比“面积”S其实更本
质！
27 2020/4/15
思考如下图形：
18 2020/4/15
Any good idea?
19 2020/4/15
先讨论最简单的多边形——三角形
20 2020/4/15
三角形的面积：
在解析几何里， △ABC的面积可以通过 如下方法求得：
点坐标 => 边长 => 海伦公式 => 面积
21 2020/4/15
思考：此方法的缺点：
C=sigma((↑Pi +↑Pi+1)(↑Pi ×↑Pi+1) ) /(6A)
算法设计实例教程 第8章 计算几何基础
} 以点O为起点、A为端点作向量a，以点为起点、B为端点作向 量b，则以点O为起点、P为端点的向量称为a与b的和a+b，如 下左图。
8 计算几何基础
8.1.2 向量的运算
• 1.向量的加减法 • 减法
a (x1,y1)
b (x 2,y 2 )
a b (x1 x2,y1 y 2)
从A点作AB，则以B为起点、A为端点的向量称为a与b的差a-b，如下右图。。
8 计算几何基础
8.1.2 向量的运算
• 4.向量的向量积（叉积）
• 向量积的一般含义：两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模等于由a和b作成的平行四 边形的面积，方向与平行四边形所在平面垂直，当站在这个方向观察时，a逆时针转过一个小于π的 角到达b的方向。这个方向也可以用物理上的右手定则判断：右手四指弯向由A转到B的方向（转过的 角小于π），拇指指向的就是向量积的方向。
P A
a
a+b
O
bB
O
图8-3向量的加法和减法
Vector operator - (Point A,Point B) {
return Vector(A.x-B.x,A.y-B.y); }B来自ba-ba
A
8 计算几何基础
8.1.2 向量的运算
• 2.向量的分解
• 定理：如果空间三个向量a,b,c不共面，那么对任 一向量p，一定存在一个且仅一个有序实数组 x,y,z，使得：p=xa+yb+zc。含义与物理上的合 力和力的分解一样。
8 计算几何基础
8.1几何基础概念
8.1.1 点、直线、线段和向量 • 点：在二维平面中点用坐标（x，y）表示。 • 直线：是一个点在平面或空间沿着一定方向和其相反方向运动的
8 计算几何基础
8.1.2 向量的运算
• 1.向量的加减法 • 减法
a (x1,y1)
b (x 2,y 2 )
a b (x1 x2,y1 y 2)
从A点作AB，则以B为起点、A为端点的向量称为a与b的差a-b，如下右图。。
8 计算几何基础
8.1.2 向量的运算
• 4.向量的向量积（叉积）
• 向量积的一般含义：两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模等于由a和b作成的平行四 边形的面积，方向与平行四边形所在平面垂直，当站在这个方向观察时，a逆时针转过一个小于π的 角到达b的方向。这个方向也可以用物理上的右手定则判断：右手四指弯向由A转到B的方向（转过的 角小于π），拇指指向的就是向量积的方向。
P A
a
a+b
O
bB
O
图8-3向量的加法和减法
Vector operator - (Point A,Point B) {
return Vector(A.x-B.x,A.y-B.y); }B来自ba-ba
A
8 计算几何基础
8.1.2 向量的运算
• 2.向量的分解
• 定理：如果空间三个向量a,b,c不共面，那么对任 一向量p，一定存在一个且仅一个有序实数组 x,y,z，使得：p=xa+yb+zc。含义与物理上的合 力和力的分解一样。
8 计算几何基础
8.1几何基础概念
8.1.1 点、直线、线段和向量 • 点：在二维平面中点用坐标（x，y）表示。 • 直线：是一个点在平面或空间沿着一定方向和其相反方向运动的
计算几何课件知识讲解
枚举三角形三个顶点，用叉积判断其他点是 否在三角形内
POJ 1292
平面上有一些墙，人可以在墙上走，也可以 在两堵墙间架木板走到另一堵墙上，求从起 点到终点至少要带多长的木板
主要问题在于求两条线段的距离：若相交则 为0，否则可转化为点到线段的距离
POJ 3944
空间内有一些可反射光线的球，现从某一点 向某一方向射出一束光，求光线与球的最后
若共面，问题转化为二维：分两种情况考虑： 一个三角形的顶点在另一个三角形内（利 用叉积） 一个三角形的边与另一个三角形的边相交 （利用线与线的交点）
先判断是否有唯一解（不平行），再利用叉 积求解
CPoint intersect(CLine l, CLine m, string msg) {
double x = area(m.a – l.a, l.b – l.a);
double y = area(l.b – l.a, m.b – l.a);
if (isZero(x + y)) {
}
CVector operator -(CVector p, CVector q) { return CVector(p.x - q.x, p.y - q.y, p.z - q.z);
}
CVector operator *(double k, CVector p) { return CVector(k * p.x, k * p.y, k * p.z);
CVector n = normal(s);
double x = project(l.b – l.a, n);
if (isZero(x)) {
if (isZero(dist(l.a, s))) msg = “共面n”;
else msg = “平行”;
POJ 1292
平面上有一些墙，人可以在墙上走，也可以 在两堵墙间架木板走到另一堵墙上，求从起 点到终点至少要带多长的木板
主要问题在于求两条线段的距离：若相交则 为0，否则可转化为点到线段的距离
POJ 3944
空间内有一些可反射光线的球，现从某一点 向某一方向射出一束光，求光线与球的最后
若共面，问题转化为二维：分两种情况考虑： 一个三角形的顶点在另一个三角形内（利 用叉积） 一个三角形的边与另一个三角形的边相交 （利用线与线的交点）
先判断是否有唯一解（不平行），再利用叉 积求解
CPoint intersect(CLine l, CLine m, string msg) {
double x = area(m.a – l.a, l.b – l.a);
double y = area(l.b – l.a, m.b – l.a);
if (isZero(x + y)) {
}
CVector operator -(CVector p, CVector q) { return CVector(p.x - q.x, p.y - q.y, p.z - q.z);
}
CVector operator *(double k, CVector p) { return CVector(k * p.x, k * p.y, k * p.z);
CVector n = normal(s);
double x = project(l.b – l.a, n);
if (isZero(x)) {
if (isZero(dist(l.a, s))) msg = “共面n”;
else msg = “平行”;
《计算机数学基础》教学课件 3-计算机数学基础
为凸时，其切线斜率 是单调减少的，
线 的 凹
因而
；当曲线为凹时，其切线斜率 是单调增加的，因而
．这说明曲线
的凹凸性可由函数 的二阶导数的符号确定．这就是曲线凹凸性的判定定理．
凸
性
与
定理 1 设 在 上连续，在 内存在二阶导数 ，则
拐
（1）若在 内，
，则曲线
在 上是凹的；
点
（2）若在 内，
，则曲线
在 上是凸的．
对于当
（或
）时，未定式 同样有对应的洛必达法则，定理如
下．
洛
定理 2 设
必 达
（1）当
时，函数 与 都趋于 ；
法
（2）当
时， 与 都存在且
；
则
（3）
存在（或为无穷大），
那么
．
第3章 导数的应用
第 10 页
例6
求
．
解 原式
．
3.1
洛 必
其他有一些 型， 型等未定式也可通过 或 型的未定式来计算．下面举例说明．
数 称为最大值（最小值），最大值和最小值统称为最值．
显然，最值点只可能出现在驻点、不可导点和区间 的端点．因此，只需要求出这三类
点的函数值加以比较即可．
例6
求出函数
在 上的最值．
解 求导得
．
令
，得
．计算得，
．
比较得，函数的最大值为
，最小值为
．
过渡页
第 21 页
3.3 曲线的凹凸性与拐点
第3章 导数的应用
．
，函数单调减少． ，函数单调增加．
例2
判定函数
在 上的单调性．
解 因为在 内有
第六章计算几何学.ppt
• 设二维矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2 , y2 ) 。矢量加法定义为： P + Q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )。矢量加法的几何意义是以向量 P、Q为邻边的平行四边形的对角线
Q
P+Q Q
P O
图8-2 两个矢量
P
O
图8-3 矢量加法的几何意义
矢量减法定义为： P − Q = ( x1 − x2 , y1 − y2 )
int inside_polygon(point p,int n,point *pt){ //设多边形有n个顶点，pt是顶点数组
point p1; int i=0,count; while (i<n){ //随机取一个足够远的点p1
p1.x=rand()+offset,p1.y=rand()+offset; //以p为始点、p1为终点作射线L;
return (fabs(area)-OnEdge(n,p))/2+1; }
6.2 基本算法
1．判断线段和直线是否相交 2．判断矩形是否包含点 3．判断线段、折线、多边形是否在矩形中 4．判断矩形M1是否在矩形M2中 5．判断圆是否在矩形中 6．判断点是否在多边形中 7．判断线段是否在多边形内 8．判断折线是否在多边形内 9．判断多边形是否在多边形内 10．判断矩形是否在多边形内 11．判断圆是否在多边形内 12．判断点是否在圆内 13．判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内 14．判断圆是否在圆内
=0 O、A、B共线
<0 OB在OA的顺时针方向 叉积符合右手法则（通过正负号，判断两矢量的顺逆关系）
3、任意三点A、B、C组成的向量AB、AC的叉积
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第二单元
多边形面积和重心
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基本问题（1）：
给定一个简单多边形，求其面积。 输入：多边形（顶点按逆时针顺
序排列） 输出：面积S
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思考如下图形：
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Any good idea?
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先看最简单的多边形——三角形
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思考：
1、传统的计算线段相交的方法是什么？ 2、传统方法和本方法的区别是什么？
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特别提醒：
以上介绍的线段的三个属性，是计 算几何的基础，在很多方面都有应 用，比如求凸包等等，请务必掌握！
剖分成N个三角形，分别求出其重心和面 积，这时可以想象，原来质量均匀分布 在内部区域上，而现在质量仅仅分布在 这N个重心点上（等假变换），这时候就 可以利用刚才的质点系重心公式了。
不过，要稍微改一改，改成加权平均数， 因为质量不是均匀分布的，每个质点代 表其所在三角形，其质量就是该三角形 的面积（有向面积！），——这就是权！
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看看一个特例：
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原因：
错误的推广公式是“质点系重心公式”， 即如果认为多边形的质量仅分布在其顶 点上，且均匀分布，则这个公式是对的。
但是，现在多边形的质量是均匀分布在 其内部区域上的，也就是说，是与面积 有关的！
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Solution:
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603Leabharlann .09.2020就是“向量AB”和“向量AC”两个向量叉
积的绝对值的一半。其正负表示三角形
顶点是在右手系还是左手系。
B
C
C
B
A ABC成左手系，负面积
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A ABC成右手系，正面积
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大功告成：
Area(A,B,C)= 1/2 * (↑AB) × (↑AC)
=∣ ∣/2 Xb – X a Yb –Ya Xc – X a Yc –Y a
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（ i=1…N ）
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能否把扇心移到多边形以外呢？
P3 P4
P2 P1
P0
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既然内外都可以，为什么不设P0 为坐标原点呢？
P3
P4 P2
P1
现在的公式？
O
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简化的公式：
面积问题 搞定！
A= ∣ ∣ sigma
Xi Yi
/2 X(i+1) Y(i+1)
比如，以多边形内部的一个点为扇心，就可以 把多边形剖分成 N个三角形。
P3 P2
P4
P0
P1
P5 P6
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前面的三角剖分显然对于多边形内部 任意一点都是合适的！
我们可以得到： A=sigma(Ai) （ i=1…N ）
即 A= ∣ ∣/2 Xi–X0
Yi –Y0
：
sigma X(i+1) – X0 Y(i+1) –Y0
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三角形的面积：
在解析几何里， △ABC的面积可以通过 如下方法求得：
点坐标 => 边长 => 海伦公式 => 面积
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思考：此方法的缺点：
计算量大 精度损失 更好的方法？
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计算几何的方法：
在计算几何里，我们知道，△ABC的面积
A1
P2
A2 P4
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P3
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凹多边形的面积？
P3
P2 P4
P1
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依然成立！！！
多边形面积公式：A=sigma(Ai) (i=1…N-2)
结论： “有向面积”A比“面积”S其实更本
质！
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任意点为扇心的三角形剖分：
我们能把多边形分成N-2个三角形，为什么不 能分成N个三角形呢？
ACM
1
今天，
你
吗？
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2
每周一星（7）：
dwj
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第八讲
计算几何初步
(Computational Geometry Basic)
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第一单元
线段属性
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公式：
C=sigma(Ai * Ci) / A (i=1…N) Ci=Centroid(△ O Pi Pi+1)
= (O + ↑Pi +↑Pi+1 )/3
C=sigma((↑Pi +↑Pi+1)(↑Pi ×↑Pi+1) ) /(6A)
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全部搞 定！
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第三单元
凸包( Convex Hull )
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特别注意： 以上得到是有向面积（有正负）！
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凸多边形的三角形剖分
很自然地，我们会想到以 P1为扇面中心， 连接P1Pi就得到N-2个三角形，由于凸性， 保证这些三角形全在多边形内，那么， 这个凸多边形的有向面积：
A=sigma(Ai) (i=1…N-2)
P6
P1
A4
P5
A3
（ i=1…N ）
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基本问题（2）：
给定一个简单多边形，求其重心。 输入：多边形（顶点按逆时针顺
序排列） 输出：重心点C
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从三角形的重心谈起：
三角形的重心是： (x1+x2+x3) / 3，(y1+y2+y3) / 3 可以推广否？
Sigma(xi)/N , sigma(yi)/N (i=1…N) ???