计算几何学复习

请用数学归纳法证明， 可以引出一些启示
设f(n)为前n条输入的线段将矩形分成的 区域个数，1 n L，L为线段总数。
• 边界:f(1) = 2，即一条线段将矩形分成2个区域，如下图 (a)所 示。 • 递推:假设现在已经处理了n-1条线段，新线段为l，它和已有的 n-1条线段交于t’(n)个交点。注意其中有些交点在矩形边界上， 这些交点也是线段的端点，必须将其排除，于是剩下t(n)个交点。 如下图 (b)所示。由于题目中限定“任三线不共点”，因此这些 交点将l分成t(n)+1条线段。这t(n)+1条线段将所在区域一分为 二，这样就增加了t(n)+1个区域
分解：找出一条垂直平分线，将点集P划分为点数相 等的两个点集Pl和Pr，其中Pl上的所有点在垂直 平分线上或其左侧；Pr上的所有点在垂直平分线 上或其右侧。数组Y被划分为两个数组Yl和Yr。 类似地，数组X也被划分为Xl和Xr。划分后的Xl 和Yl包含了Pl中的点，并分别按X坐标和Y坐标单 调递增的次序进行排序；Xr和Yr包含了Pr中的点， 也按X坐标和Y坐标单调递增的次序进行排序。 解决：把P划分为Pl和Pr后再进行两次递归调用： ⑴找出Pl中的最近点对。调用的输入为子集Pl和 数组Yl，返回最近点对的距离＆l； ⑵找出Pr中的最近点对。调用的输人为子集Pr和 数组Yr，返回最近点对的距离＆r； 置＆=min{＆l，＆r)
确定目标点的可能位置
游戏者B在一张100*100纸上确定了一个目标点， 游戏者A一开始在点(0,0)上，每次游戏者A从一个点 到另一个点，如果新的点离目标点近了，那么游戏 者B说“Hotter”，如果新的点离目标远了，那么游 戏者B说“Colder”，如果距离不变，那么游戏者B说 “Same”。 输入文件包括很多行，每行包含游戏者A这一步 到达的点(x,y)和游戏者B说的话。说话的形式有三 种：“Same”、“Hotter”或“Colder”。对每次游戏 者B说话，你必须计算和输出目标点可能位置的面积， 精确到小数点后2位。
划分的起始点和结束点均以五角星标记。当他完成划分后，他想要 数一下划出的土地的块数以确保每个孩子都有一块地。例如，上图 中土地被划分成18块。然而这个庄主由于年迈常会数错，因而他寻 求你的帮助。 请写一个程序，输入原来的土地尺寸及线段的位置，输出划分出的 土地块数。
结论
平面上n条直线最多可以将平面分成f(n)个区域， 其中f(n)=（n2+n+2）/2。
f (n) f (n 1) t (n) 1 f (n 2) t (n 1) 1 t (n) 1 f (1) t (i ) n 1 t (i ) n 1
i 2 i 2 n n
u［1.. L］为线段序列，其中u[i]为第i条线段。计算 过程如下 T←0；｛交点数初始化｝ for i←1 to L do｛统计L条线段之间的交点个数｝ for j←i+1 to L do if u[i]与u[j]相交 then T←T+1； 输出T+L+1；
计算几何学的有关算法
若向量P1在向量P2的顺时针方向，则叉积 P1*P2>0; 若向量P1在向量P2的逆时针方向，则叉积 P1*P2<0; 若P2、P1两个向量共线(方向可以相同或相反)， 则叉积P2*P1=0。
地主
在Dukeswood这块土地上生活着一个富有的农庄主和他的几个孩子。 在他临死前，他想把他的土地分给他的孩子。他有许多农场，每个 农场都是一块矩形土地。他在农场地图上划上一些直线将矩形分成 若干块。当他划直线时，他总是从矩形边界上的某一点划到另一个 矩形边界上的点，这条线的结束点将成为下一条线的起始点。他划 线时从不会让任三线共点。例如下图是某一种划分结果。
设f为p2在中垂线的方位标志；d为凸多 边形顶点在中垂线的方位标志
1 f 1 回答" hotter"时p2在中垂线上方或者回答 " colder"时p2在中垂线下方 回答" hotter"时p2在中垂线下方或者回答 " colder"时p2在中垂线上方
1 d [i] 1 0
可能位置的图形一定是个凸多边形。
证明： 因为每次对游戏者B的回答，就可以确定 可能的位置在出发点和到达点中垂线的哪一 边或就是中垂线。由于每次可能位置的图形 都是凸多边形。所以当前图形是许多个凸多 边形的交集，显然是一个凸多边形。
由于最初纸上的每一个点都可能认作为目标点，因 此凸多边形为一个四边形，(0,0),(0,100), (100,100),(100,0)。接下来，依次处理游戏者A到 达的位置和游戏者B的回答。设游戏者A先后到达的 两个位置为p1=(x1，y1)、p2=(x2，y2),p1p2线段的 中垂线方程为 2*(x2-x1)*x+2*(y2-y1)*y+ x12+y12-x22-y22=0。 若p2=(x2，y2)代入上述方程后>0，则说明p2位于中 垂线的上方；若<0，则说明p2位于中垂线的下方。 需要注意的是，若游戏者A到达的p2点和这步前的p1 点完全相同，这时就不存在中垂线了。
在点集P=(Pl…Pr) 中寻找最近点对
1、调用分治程序前预排序： P中的所有点按 其Y坐标单调递增的顺序排列，其编号序列 存人数组Y；将所有点按x坐标单调递增的 顺序排列，其编号序列存人数组X。 2、首先检查是否︱p ︱≤3。若是，则计算所 有c(︱p ︱,2) 个点对的距离并返回最近的点 对及其距离;否则采取如下分治策略
计算凸多边形的重心位置和面积
x 2 x3 x x2 x3 2 xg 1 1 2 3 y y3 y1 2 2 y y2 y3 2 yg 1 1 2 3 x1 2
1 顺时针S x2 2 x3
x1
y1 1 y2 y3
1 1 ( x1 y3 x2 y1 x3 y2 x1 y2 x2 y3 x3 y1 ) 2 1
凸多边形的顶点 i在中垂线上方 凸多边形的顶点 i在中垂线下方 凸多边形的顶点 i在中垂线上
显然，只有当d[i]与f一致时，顶点i才是包含 当前可能位置的凸多边形顶点。
按照下述方法计算凸多边形的交集：依次计算 凸多边形的每个顶点在中垂线的方位。若凸多 边形的顶点i和i+1位于中垂线的两侧 (d[i]*d[i+1]<0)，则说明连接这两个相邻顶点 的边与中垂线相交，在凸多边形的顶点i和i+1 之间插入交点，交点的d值为0。接下来，分析 扩展后的凸多边形的每个顶点：若顶点的方位 与f相反，则说明该顶点不是当前凸多边形的顶 点，应予删除。显然，该凸多边形包含了所有 的可能位置。其面积即为问题的解。
逆时针S
1 x2 2 x3
x1
y1 1 y2 1 y3 1
1 ( xห้องสมุดไป่ตู้ y2 x2 y3 x3 y1 x1 y3 x2 y1 x3 y2 ) 2
1、某个均质物体（即物体的面积与质量成正比）的形状 为平面三角形的话，则物体的质量就是三角形面积，该 物体的重心位置为物体的质点。 2、利用系统内各物体间的质点关系计算系统的质心位置 （也是系统重心位置）和质量。假设平面上有两个质点， 坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，质量分别为m1,m2，则它们 组成的系统的质量m和质心位置（x,y）满足
m1 x1 m2 x 2 m1 y1 m2 y 2 m m1 m2 , x ,y m1 m2 m1 m2
3、推广到凸多边形
对凸多边形进行三角剖分， 在此基础上进行递推
Procedure Center_of_Gravity_of_Convex-Polygon(n,P1,P2,…,Pn)； Var x0，y0，m0，x，y，m：real；｛x0,y0)和m0分别为P1PiPi+1的重心位置和质量；(x,y)和m 分别为P1P2P3…PiPi+1的重心位置和质量｝ begin x←0；y←0；m←0； for i←2 to n-1 do｛依次处理P1PiPi+1｝ begin x0←(p1.x+pi.x+pi+1.x)/3；y0←(p1.y+pi.y+pi+1.y)/3；｛计算P1PiPi+1的重心和质量｝ m0←p1.x*pi.y+pi.x*pi+1.y+pi+1.x*p1.y-p1.y*pi.x-pi.y*pi+1.x-pi+1.y*p1.x； x←(m*x+m0*x0)/(m+m0)；y←(m*y+m0*y0)/(m+m0)；｛递推系统的重心和质量｝ m←m+m0； End；｛for｝ 输出凸多边形P1P2P3…PiPi+1的重心位置(x,y)和质量m； End；｛Center_of_Gravity_of_Convex-Polygon｝
• 合并：若还存在距离小于＆的点对，则点对的一 个点在Pl中，另一个点在Pr中
1．建立一个数组Y’，Y’仅含Y数组中所有在宽度为2＆的垂直 带形区域内的点，这些点按其Y坐标单调递增的顺序存储于Y’； 2．对数组Y’中的每个点P，求出P到紧随P后的7个点间的距离， 并纪录下Y’所有点对中找出的最近点对的距离＆’。（为什么在 Y’中仅需考虑紧随P后的点） 3．如果＆’<＆，则垂直带形区域内的确包含比我们根据递归 调用所找出的最近距离＆更近的点对，于是返回该点对及其距离 ＆’；否则就返回递归调用中发现的最近点对及其距离＆。
游戏者A从(0，0)出发到达（x1，y1），游戏者B说“Hotter”。 P1与(x1，y1)的中垂线分别交、于p6和p5。由于d((x1， y1))=1,d(p1)=-1，d(p5)=d(p6)=0， d(p2)=d(p3)=d(p4)=1,f=1((x1，y1）为“Hotter”）,因此删除 p1顶点,包含可能位置的凸五边形为p2p3p4p5p6p2。接下去，游 戏者A从（x1，y1）走到（x2，y2），游戏者B说“Colder”。 （x1，y1）（x2，y2）的中垂线为（p7,p8），该中垂线交p3p4 为p7,交p1p2为p8。由于d((x2， y2))=d(p2)=d(p3)=1,d(p5)=d(p6)=-1,d(p7)=d(p8)=0,f=1((x2，y2）为“Hotter”）,因此，删除p2p3，包含可能位置的 凸五边形为p4p5p6p8p7p4。
机器蛇
在未来的某次战争中，我军计划了一次军事行动，目的 是劫持敌人的航母。由于这个计划高度保密，你只知道 你所负责的一部分：机器蛇的通信网络。计划中要将数 百条机器蛇投放到航母的各个角落里。由于航母内部舱 室、管线错综复杂，且大部分由金属构成，因此屏蔽效 应十分强烈，况且还要考虑敌人的大强度电子干扰，如 何保持机器蛇间的联系，成了一大难题。每条机器蛇的 战斗位置由作战计划部门制定，将会及时通知你。每条 机器蛇上都带有接收、发射系统，可以同时与多条机器 蛇通讯。由于整个系统承载的数据量庞大，需要一个固 定的通讯网络。情报部门提供了极其详尽的敌方航母图 纸，使你对什么地方有屏蔽了如指掌。 请你设计一个程序，根据以上信息构造通讯网络， 要求信息可以在任意两条机器蛇间传递，同时为了避免 干扰，通讯网络的总长度要尽可能的短。
⑴设计dist(s)函数：计算机器蛇通信线路s 的距离。若通信线路s与任一条屏蔽线相交， 则距离设为无穷大，即该边在无向图不存在； 否则s为无向图的一条边，边权为距离。 ⑵计算无向图的最小生成树。最小生成树的 边权和为问题的解。
计算两条相交线段的交点
由于（x，y）与p1点的距离相等于（x，y）与p2点的距离，因此 (x-x1)2+(y-y1)2=(x-x2)2+(y-y2)2 展开后得到中垂线方程: ax+by+c=0 其中a=2*(x2-x1)，b=2*(y2-y1)，c=x12+y12-x22-y22 如果将（x’，y’）代入ax+by+c后，若ax’+by’+c>0，则说明（x’，y’） 位于中垂线ax+by+c=0的上方；若ax’+by’+c<0，则说明（x’，y’）位 于该中垂线的下方;若ax’+by’+c=0，则说明（x’，y’）位于该中垂线 上。