数学_2012年北京市东城区高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2012年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且b +(a −2)i =1+i ，则a +b 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4
2. 若集合A ={0, m 2}，B ={1, 2}，则“m =1”是“A ∪B ={0, 1, 2}”的( )
A 充要条件
B 充分不必要条件
C 必要不充分条件
D 既不充分又不必要条件 3. 设实数x ，y 满足不等式组{y +x ≤1
y −x ≤2y ≥0，则z =x −2y 的最小值是（ ）
A −7
2
B −2
C 1
D 5
2
4. 如图给出的是计算12+14+16+18+⋯+1
100的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A i <50
B i >50
C i <25
D i >25
5. 某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ） A 16 B 18 C 24 D 32
6. 已知x ，y ，z ∈R ，若−1，x ，y ，z ，−3成等比数列，则xyz 的值为（ ）
A −3
B ±3
C −3√3
D ±3√3
7. 在直角梯形ABCD 中，已知BC // AD ，AB ⊥AD ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝4，若P 为CD 的中点，则PA →
⋅PB →
的值为（ ） A −5 B −4 C 4 D 5
8. 已知函数f(x)={2−x −1(x ≤0)
f(x −1)(x >0) ，若方程f(x)＝x +a 有且只有两个不相等的实数根，
则实数a 的取值范围是（ ）
A (−∞, 1]
B (0, 1)
C [0, +∞)
D (−∞, 1)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 命题“∃x ∈(0, π
2)，tanx >sinx”的否定是________．
10. 在极坐标系中，圆ρ=2的圆心到直线ρcosθ+ρsinθ=2的距离为________．
11. 在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是
________；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是________组．
12. 如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 切⊙O 于点D ，且与AB 延长线交于
点C ，若CD =√3，CB =1，则∠ADE =________．
13. 抛物线y 2=x 的准线方程为________；经过此抛物线的焦点和点M(1, 1)，且与准线相切的圆共有________个．
14. 如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点M 在AD 上，正方形
ABCD 以AD 为轴逆时针旋转θ角(0≤θ≤π3
)到AB 1C 1D 的位置，同时点M 沿着AD 从点A 运动到点D ，MN 1→
=DC 1→
，点Q 在MN 1上，在运动过程中点Q 始终满足|QM →
|=
1cosθ
，记点Q 在面
ABCD 上的射影为Q 0，则在运动过程中向量BQ 0→
与BM →
夹角α的正切的最大值为________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 已知函数f(x)=(sin2x +cos2x)2−2sin 22x ． （1）求f(x)的最小正周期；
（2）若函数y =g(x)的图象是由y =f(x)的图象向右平移π
8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x ∈[0, π
4]时，求y =g(x)的最大值和最小值．
16. 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．
（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．
17. 在正△ABC 中，E ，F ，P 分别是AB ，AC ，BC 边上的点，满足AE
EB =CF
FA =CP
PB =1
2，将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置，使二面角A 1−EF −B 成直二面角，连接A 1B ，A 1P ．
（1）求证：A1E⊥平面BEP；
（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小．
18. 已知函数f(x)=1
2
x2+2ex−3e2lnx−b在(x0, 0)处的切线斜率为零．（1）求x0和b的值；
（2）求证：在定义域内f(x)≥0恒成立；
（3）若函数F(x)=f′(x)+a
x
有最小值m，且m>2e，求实数a的取值范围．
19. 已知椭圆C:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率是1
2
，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短
轴的端点，△A1BA2的面积为2√3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）F2为椭圆C的右焦点，若点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=4分别交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆与直线PF2相切于点F2．
20. 若对于正整数k，g(k)表示k的最大奇数因数，例如g(3)=3，g(10)=5．设S n=
g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+⋯+g(2n)．
（1）求g(6)，g(20)的值；
（2）求S1，S2，S3的值；
（3）求数列{S n}的通项公式．
2012年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）答案
1. D
2. B
3. A
4. B
5. C
6. C
7. D
8. D
9. ∀x∈(0,π
2
)，tanx≤sinx
10. √2
11. 84,乙
12. 60∘
13. x=−1
4
,2
14. √6
12
15. 解：（1）因为f(x)=(sin2x +cos2x)2−2sin 22x =sin4x +cos4x =√2sin(4x +π
4)，… 所以函数f(x)的最小正周期为π
2．…
（2）依题意，y =g(x)=√2sin[4(x −π8
)+π4
]+1=√2sin(4x −π
4
)+1．…
因为0≤x ≤π4，所以−π4≤4x −π4≤3π4
．…
当4x −π
4
=π
2，即x =
3π16
时，g(x)取最大值√2+1；
当4x −π
4=−π
4，即x =0时，g(x)取最小值0．…
16. 生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．
17. 解：不妨设正三角形的边长为3．（1）在图1中，取BE 的中点D ，连接DF ． ∵ AE
EB =CF
FA =CP
PB =1
2，AF =AD =2，又∠A =60∘，△ADF 为正三角形．
又∵ AE =ED =1， ∴ EF ⊥AD ，
∴ 在图2中有A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ．
∴ ∠A 1EB 为二面角A 1−EF −B 的平面角． ∵ 二面角A 1−EF −B 为直二面角， ∴ A 1E ⊥BE
又∵ BE ∩EF =E ，
∴ 即A 1E ⊥平面BEF ，即A 1E ⊥平面BEP
（2）由（1）可知，A 1E ⊥平面BEP ，BE ⊥EF ，建立坐标系则E(0, 0, 0)，A 1(0, 0, 1)，B(2, 0, 0)，
F(0, √3, 0)，D(1, 0, 0)，不难得出EF // DP 且EF =DP ，DE // EP 且DE =FP ． 故P 点的坐标为(1, √3, 0)，
∴ A 1B →
=(2,0,−1)，BP →
=(−1,√3,0)，EA 1→
=(0,0,1) 设平面A 1BP 的法向量n 1→
=(x, y, z)， 则{BP →
⋅
n 1
→=√3y −x =0˙
∴ n 1→=(3,√3,6)． ∴ sin <
n 1→
，EA 1
→>=
|n 1→|
⋅|EA 1→
|˙
=
√32
． ∴ A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小为π
3．
18. （1）解：求导函数可得f′(x)=x +2e −3e 2x
．…
由题意有f ′(x 0)=0，即x 0+2e −
3e 2x 0
=0，解得x 0=e 或x 0=−3e （舍去）．…
∴ f(e)=0即1
2e 2+2e 2−3e 2lne −b =0，解得b =−1
2e 2． … （2）证明：由（1）知f(x)=1
2x 2+2ex −3e 2lnx +e 22
(x >0)，
f ′
(x)=x +2e −
3e 2x
=
(x−e)(x+3e)
x
(x >0)．
在区间(0, e)上，有f ′(x)<0；在区间(e, +∞)上，有f ′(x)>0．
故f(x)在(0, e)单调递减，在(e, +∞)单调递增，
于是函数f(x)在(0, +∞)上的最小值是f(e)=0． … 故当x >0时，有f(x)≥0恒成立． … （3）解：F(x)=f′(x)+a
x =x +a−3e 2
x
+2e(x >0)．
当a >3e 2
时，则F(x)=x +a−3e 2
x +2e ≥2√a −3e 2+2e ，当且仅当x =√a −3e 2时等号
成立，
故F(x)的最小值m =2√a −3e 2+2e >2e ，符合题意； …
当a =3e 2时，函数F(x)=x +2e 在区间(0, +∞)上是增函数，不存在最小值，不合题意； 当a <3e 2
时，函数F(x)=x +
a−3e 2
x
+2e 在区间(0, +∞)上是增函数，不存在最小值，不合
题意．
综上，实数a 的取值范围是(3e 2, +∞)． …
19. （1）解：由已知，可得{c a
=
12
ab =2√
3a 2=b 2
+c 2，解得a =2，b =√3． …
故所求椭圆方程为x 2
4+
y 23
=1． …
（2）证明：由（1）知A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)，F 2(1, 0)．
设P(x 0，y 0)(x 0≠±2)，则3x 02+4y 02
=12．
于是直线A 1P 方程为 y =y 0
x 0
+2
(x +2)，令x =4，得y M =6y 0
x
0+2
；
所以M(4, 
6y 0x 0+2
)，同理N(4, 
2y 0x 0−2
)． …
所以F 2M →
=(3, 6y 0
x
+2
)，F 2N →
=(3, 2y 0
x 0−2
)．
所以F 2M →
⋅F 2N →
=(3, 6y 0
x
+2
)•(3, 2y 0
x
−2)=9+6y 0
x 0
+2
×2y 0
x 0
−2=9+12y 0
2
x 0
2−4
=9+3(12−3x 0
2)x 0
2−4=9−
9(x 02−4)x 0
2−4=9−9=0．
所以F 2M ⊥F 2N ，点F 2在以MN 为直径的圆上． … 设MN 的中点为E ，则E(4, 
4y 0(x 0−1)
x 0
2−4)． …
又F 2E →
=(3, 
4y 0(x 0−1)
x 0
2−4)，F 2P →
=(x 0−1,y 0)，
所以F 2E →
⋅F 2P →
=(3, 4y 0(x 0−1)
x 0
2−4)⋅(x 0−1，y 0)=3(x 0−1)+
4y 02(x 0
−1)x 0
2−4
=3(x 0−1)+
(12−3x 02)(x 0
−1)x 0
2−4=3(x 0−1)−3(x 0−1)=0．
所以F 2E ⊥F 2P ． …
因为F 2E 是以MN 为直径的圆的半径，E 为圆心，F 2E ⊥F 2P ， 故以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于右焦点． … 20. 解：（1）∵ g(k)表示k 的最大奇数因数，
∴ g(6)=3，g(20)=5． …
（2）S 1=g(1)+g(2)=1+1=2；S 2=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=1+1+3+1=6； S 3=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g(7)+g(8)=1+1+3+1+5+3+7+1=22．…
（3）由(1)(II)不难发现对m ∈N ∗，有g(2m)=g(m)． …
所以当n ≥2时，S n =g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+⋯+g(2n −1)+g(2n ) =[g(1)+g(3)+g(5)+...+g(2n −1)]+[g(2)+g(4)+...+g(2n )] =[1+3+5+...+(2n −1)]+[g(2×1)+g(2×2)+...+g(2×2n−1)] =
(1+2n −1)×2n−1
2
+[g(1)+g(2)+⋯+g(2n−1)]=4n−1+S n−1…
于是S n −S n−1=4n−1，n ≥2，n ∈N ∗．
所以S n =(S n −S n−1)+(S n−1−S n−2)+...+(S 2−S 1)+S 1=4n−1+4n−2+...+42+4+2 =
4(1−4n−1)
1−4
+2=
4n 3
+2
3
，n ≥2，n ∈N ∗． …
又S 1=2，满足上式，
所以对n ∈N ∗，S n =1
3(4n +2)． …。