2018届高三理科数学二轮复习：模块二 专题五 解析几何2-5-2
2018届高三理科数学二轮复习课件：模块二+专题五+解析几何2-5-3
核心考点突破
典例精析 题型突破
考点一 轨迹方程问题 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立 x、y 之间的关系 F(x，y)＝0； (2)定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系 数法求方程； (3)相关点法(代入法)：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0) 的变化而变化，并且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x，y 的代数式表示 x0，y0，再将 x0，y0 代入已知曲线得出要求的轨迹 方程； (4)参数法：将动点的坐标(x，y)表示为第三个变量的函数， 再消参得所求方程．
[ 解析]
由题设知|x1|> 2，A1(－ 2，0)，A2( 2，0)，则有直
y1 线 A1P 的方程为 y＝ (x＋ 2)，① x1＋ 2 －y1 直线 A2Q 的方程为 y＝ (x－ 2)，② x1－ 2 2 x＝x1， 联立①②，解得 y＝ 2y1， x1 2 x1＝ x， ∴ y1＝ 2y， x
3 (2)(ⅰ)当直线 l 的斜率 k 不存在时，x＝± 2 ， 3 所以 y＝± 2 ，所以|AB|＝ 3. 3 又圆半径为 2 . 1 3 3 所以 S△OAB＝2× 3× 2 ＝4.
(ⅱ)当直线 l 的斜率 k 存在时，设直线 l 方程为 y＝kx＋m， x2 2 ＋y ＝1， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 3 y＝kx＋m， (1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0， －6km 3m2－3 x1＋x2＝ 2，x1x2＝ 2， 1＋3k 1＋3k |m| 3 又直线 l 与圆相切，则有 2 ＝ 2 ， k ＋1 即 4m2＝3(1＋k2)
[ 解]
(1)设点 P(x，y)，因为 A(－ 2，0)，B( 2，0)，所以直
2018届高三数学文二轮复习课件：第2部分 专题五 解析几何 2-5-2 精品
Δ＝48k2＋16＞0，
∴x1＋x2＝－1＋8k42k2，x1x2＝41k＋2－4k42，
由A→Q＝λQ→B得(－1－x1，－y1)＝λ(x2＋1，y2)，
即－ y1＝11，
由 A→E ＝ μ E→B 得 ( － 4 － x1 ， y0 － y1) ＝ μ(x2 ＋ 4 ， y2 － y0) ， 即
解：(1)设点 M(x，y)，则 k1＝x＋y 2，k2＝x－y 2， 由 k1·k2＝x＋y 2·x－y 2＝－34，整理得x42＋y32＝1. ∵由题意知点 M 不与 A1(－2,0)，A2(2,0)重合， ∴点 A1(－2,0)，A2(2,0)不在轨迹上， ∴点 M 的轨迹方程为x42＋y32＝1(y≠0)．
因为yx00＝－41m， 所以直线 OD 的方程为 y＝－41mx.
联立方程y＝－41mx， x＝m，
得点 M 的纵坐标 yM＝－14， 所以点 M 在定直线 y＝－14上．
2．已知点 A1(－2,0)，A2(2,0)，过点 A1 的直线 l1 与过点 A2 的直线 l2 相交于点 M，设直线 l1 的斜率为 k1，直线 l2 的斜率为 k2，且 k1k2 ＝－34. (1)求直线 l1 与 l2 的交点 M 的轨迹方程； (2)已知 F2(1,0)，设直线 l：y＝kx＋m 与(1)中的轨迹 M 交于 P，Q 两点，直线 F2P，F2Q 的倾斜角分别为 α，β，且 α＋β＝π，求证： 直线 l 过定点，并求该定点的坐标．
1．已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，过焦点垂直于椭圆长轴的弦 长为 1，且焦点与椭圆短轴两端点构成等边三角形． (1)求椭圆的方程； (2)过点 Q(－1,0)的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，交直线 x＝－4 于 点 E，A→Q＝λQ→B，A→E＝μE→B.判断 λ＋μ 是否为定值？若是，求出该 定值；若不是，请说明理由．
2018届高考数学(理)二轮复习 名师讲义：专题五 解析几何 第2讲
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线的基本问题高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.真 题 感 悟1.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A.(－1，3) B.(－1，3) C.(0，3)D.(0，3)解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2.由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3. 答案 A2.(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1解析 由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点， 易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.答案 B3.(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2，0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1. 又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6. 答案 64.(2017·全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l过C 的左焦点F .(1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)，由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y ， 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1， 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明 由题意知F (－1，0)，设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ→·PF →＝3＋3m －tn ，OP→＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )，由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2.故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ→·PF →＝0，即OQ →⊥PF →， 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .考 点 整 合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离).温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0). 3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 ①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝ca ＝1－b 2a 2. ②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝ca ＝1＋b 2a 2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ab x ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c ).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p 2.②抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程y ＝－p 2. 4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2. (2)过抛物线焦点的弦长抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .热点一 圆锥曲线的定义及标准方程【例1】 (1)(2017·汕头调研)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1，0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为( ) A.3B.4C.5D.2＋1(2)(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1 C.x 24－y 28＝1D.x 28－y 24＝1解析 (1)由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1，0)，又N (1，0)，所以N 与F 重合.过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则|PQ |＋|PN |的最小值等于|MH |－1＝3.(2)由e ＝2知a ＝b ，且c ＝2a . ∴双曲线渐近线方程为y ＝±x .又k PF ＝4－00＋c ＝4c＝1，∴c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8. 故双曲线方程为x 28－y 28＝1. 答案 (1)A (2)B探究提高 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】 (1)(2016·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y24＝1C.3x 220－3y 25＝1D.3x 25－3y 220＝1(2)已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是________. 解析 (1)依题意得b a ＝12，① 又a 2＋b 2＝c 2＝5，② 联立①②得a ＝2，b ＝1. ∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1为直角，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝ 2. 答案 (1)A (2) 2热点二 圆锥曲线的几何性质【例2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A.13B.12C.23D.34(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________.解析 (1)不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点F (c ，0)，则直线l 的方程为x c ＋yb ＝1， 即bx ＋cy －bc ＝0.由题意|－bc |b 2＋c 2＝12b ，且a 2＝b 2＋c 2，得b 2c 2＝14b 2a 2，所以e ＝c a ＝12. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程：⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，消去x 得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2b 2a 2p ，又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2b 2a 2p ＝p ，即b 2a 2＝12⇒b a ＝22. ∴双曲线渐近线方程为y ＝±22x . 答案 (1)B (2)y ＝±22x探究提高 1.分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式.建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.求双曲线渐近线方程关键在于求b a 或ab 的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.【训练2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63B.33C.23D.13(2)(2016·北京卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b2＝a ，整理为a 2＝3b 2，即b a ＝13. ∴e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63.(2)取B 为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝|OB |＝22，又∠AOB ＝π4， ∴ba ＝tan π4＝1，即a ＝b . 又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2. 答案 (1)A (2)2 热点三 直线与圆锥曲线命题角度1 直线与圆锥曲线的位置关系【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝pt x ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t ).代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点.探究提高 1.本题第(1)问求解的关键是求点N ，H 的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH 的方程与曲线C 联立，根据方程组的解的个数进行判断.2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.【训练3】 (2016·江苏卷改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0). (1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)当p ＝1时，若抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .求线段PQ 的中点M 的坐标.解 (1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.由点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4. 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x . (2)当p ＝1时，曲线C ：y 2＝2x .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0). 因为点P 和Q 关于直线l 对称， 所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，设其方程为y ＝－x ＋b . 由⎩⎨⎧y ＝－x ＋b ，y 2＝2x ，消去x ，得y 2＋2y －2b ＝0. 因为P 和Q 是抛物线C 的两相异点，得y 1≠y 2. 从而Δ＝4－4×1×(－2b )＝8b ＋4>0.(*) 因此y 1＋y 2＝－2，所以y 0＝－1. 又M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 所以点M (1，－1)，此时b ＝0满足(*)式. 故线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1). 命题角度2 直线与圆锥曲线相交弦长问题【例3－2】 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ≥1)过点P (2，1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△P AB 面积的最大值.解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又4a 2＋1b 2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2. 故所求椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，消去y 得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，判别式Δ＝16－4m 2＞0，即m 2＜4. 又x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2－4， 则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2）， 点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. 因此S △P AB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5（4－m 2）＝m 2（4－m 2）≤m 2＋（4－m 2）2＝2，当且仅当m 2＝2时上式等号成立，故△P AB 面积的最大值为2.探究提高 1.在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.2.弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，其中k 为弦AB 所在直线的斜率. 命题角度3 有关弦的中点问题【例3－3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 解 由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. (1)证明 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 因为点F 在线段AB 上，所以ab ＋1＝0， 记直线AR 的斜率为k 1，直线FQ 的斜率为k 2， 所以k 1＝a －b 1＋a2，k 2＝b－12－12＝－b ，又因为ab ＋1＝0， 所以k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－aba ＝－b ， 所以k 1＝k 2，即AR ∥FQ .(2)解 设直线AB 与x 轴的交点为D (x 1，0)， 所以S △ABF ＝12|a －b ||FD |＝12|a －b |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，又S △PQF ＝|a －b |2，所以由题意可得S △PQF ＝2S △ABF ，即|a －b |2＝2×12×|a －b |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12， 解得x 1＝0(舍)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ). 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1). 又2a ＋b＝1y ，所以y 2＝x －1(x ≠1). 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.探究提高 1.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.2.圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是k ＝－b 2x 0a 2y0⎝ ⎛⎭⎪⎫椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，k ＝b 2x 0a 2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，k ＝py 0(抛物线y 2＝2px ).其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦的端点坐标.【训练4】 (2017·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.(1)解 把P (1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12， 所以抛物线C 的方程为y 2＝x ， 焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明 当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN (也就是直线l )斜率存在且不为零.由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，消去y 得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k )，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k <12. 则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1).直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2.因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x2＝（2k －2）×14k 2＋1－k2k 2x 2＝0.所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点.1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A ，B 是不等的常数，A ＞B ＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B ＞A ＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB ＜0时表示双曲线.2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca ；方法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca . 4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12B.1C.32D.2解析 因为抛物线方程是y 2＝4x ，所以F (1，0).又因为PF ⊥x 轴，所以P (1，2)，把P 点坐标代入曲线方程y ＝k x (k >0)，即k1＝2，所以k ＝2. 答案 D2.(2017·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13B.12C.23D.32解析 由c 2＝a 2＋b 2＝4得c ＝2，所以F (2，0)， 将x ＝2代入x 2－y 23＝1，得y ＝±3，所以|PF |＝3.又A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32. 答案 D3.(2017·新乡模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴上的一个顶点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1D.x 24－y 26＝1解析 设A (x ，y )，∵右焦点为F (c ，0)，点B (0，b )，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，且BA →＝2AF →，∴x ＝2c 3，y ＝b 3，代入双曲线方程，得4c 29a 2－19＝1，且c 2＝a 2＋b 2， ∴b ＝6a2.∵|BF→|＝4，∴c 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝6， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1. 答案 D4.(2017·全国Ⅱ卷)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( ) A.2B. 3C. 2D.233解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，化成一般式bx －ay ＝0，圆心(2，0)到直线的距离为22－12＝|2b |a 2＋b 2， 又由c 2＝a 2＋b 2得c 2＝4a 2，e 2＝4，e ＝2. 答案 A5.(2017·石家庄三模)已知椭圆C 1与双曲线C 2有相同的左右焦点F 1，F 2，P 为椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别为e 1，e 2，且e 1e 2＝13，若∠F 1PF 2＝π3，则双曲线C 2的渐近线方程为( )A.x ±y ＝0B.x ±33y ＝0 C.x ±22y ＝0D.x ±2y ＝0解析 设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线C 2：x 2m 2－y 2n 2＝1，依题意c 1＝c 2＝c ，且e 1e 2＝13， ∴m a ＝13，则a ＝3m ，①由圆锥曲线定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，且|PF 1|－|PF 2|＝2m ， ∴|PF 1|＝4m ，|PF 2|＝2m .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得：4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝12m 2，∴c 2＝3m 2，则n 2＝c 2－m 2＝2m 2，因此双曲线C 2的渐近线方程为y ＝±2x ，即x ±22y ＝0. 答案 C 二、填空题6.(2017·北京卷)若双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率为3，则实数m ＝________.解析 由题意知1＋m1＝e 2＝3，则m ＝2. 答案 27.(2017·邯郸质检)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP→＝4FQ →，则|QF |等于________. 解析 过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3. 答案 38.(2017·潍坊三模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点M (1，t )(t >0)到焦点的距离为5，双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行.则实数a 的值为________. 解析 由题设1＋p2＝5，∴p ＝8. 不妨设点M 在x 轴上方，则M (1，4)，由于双曲线的左顶点A (－a ，0)，且直线AM 平行一条渐近线，∴41＋a ＝3a ，则a ＝3. 答案 3 三、解答题9.(2017·佛山调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，右焦点为F (1，0).(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程. 解(1)依题意可得⎩⎨⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得a ＝2，b ＝1.∴椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意； ②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1). 联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2（k 2－1）1＋2k 2.∴y 1·y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 21＋2k 2.∵OM ⊥ON ，∴OM →·ON →＝0.∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝k 2－21＋2k 2＝0，∴k ＝±2.故直线l 的方程为y ＝±2(x －1).10.(2017·全国Ⅲ卷)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. (1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程. (1)证明 设l ：x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y 2＝2x ，x ＝my ＋2，消去x 得y 2－2my －4＝0，Δ＝4m 2＋16恒大于0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4. OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4＝－4(m 2＋1)＋2m ·2m ＋4＝0. 所以OA→⊥OB →，即O 在圆M 上. (2)解 由(1)可得x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4.故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝（m 2＋2）2＋m 2. 由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.11.(2017·郴州三模)已知抛物线E ：y 2＝8x ，圆M ：(x －2)2＋y 2＝4，点N 为抛物线E 上的动点，O 为坐标原点，线段ON 的中点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)点Q (x 0，y 0)(x 0≥5)是曲线C 上的点，过点Q 作圆M 的两条切线，分别与x 轴交于A ，B 两点，求△QAB 面积的最小值.解 (1)设P (x ，y )，则点N (2x ，2y )在抛物线E ：y 2＝8x 上，∴4y 2＝16x ，∴曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0). 令y ＝0，得x ＝x 0－y 0k . 圆心(2，0)到切线的距离d ＝|2k ＋y 0－kx 0|k 2＋1＝2， 整理得(x 20－4x 0)k 2＋(4y 0－2x 0y 0)k ＋y 20－4＝0.设两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2＝2x 0y 0－4y 0x 20－4x 0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4x 0.∴△QAB 面积S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－y 0k 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－y 0k 2·|y 0|＝12y 20⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 1－k 2k 1k 2＝2·x 20x 0－1，设t ＝x 0－1∈[4，＋∞)，则S ＝f (t )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋2在[4，＋∞)上单调递增，且f (4)＝252，∴f (t )≥252，即△QAB 面积的最小值为252.。
2018年高考真题理科数学分类汇编专题5解析几何
专题5解析几何（2018全国1卷）8. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.（2018全国1卷）11. 已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3 C. D. 4【答案】B【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离同时求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.（2018全国2卷）5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.（2018全国2卷）12. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.（2018全国3卷）6. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。
通用版2018年高考数学二轮复习专题五解析几何第二讲小题考法__圆锥曲线的方程与性质课件理共38页文
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二+专题五+第二讲 圆锥曲线的方程与性质+Word版含解析
专题五 解析几何 第二讲 圆锥曲线的方程与性质高考导航以某一圆锥曲线或两种曲线组合为载体，考查的角度有定义、方程和性质，尤其是离心率、焦点三角形和焦点弦问题是考查的重点.1．(2017·浙江卷)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( ) A.133 B.53 C.23 D.59 [解析] 由题意得，a ＝3，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝5， ∴离心率e ＝c a ＝53，故选B. [答案] B2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1[解析] 解法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k >0)，即x 24k －y 25k ＝1，∵双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.解法二：∵椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴a 2＋b 2＝(±3)2＝9①，∵双曲线的一条渐近线为y ＝52x ，∴b a ＝52②，联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5.∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.[答案] B3．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 不妨设C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1,22)，则x 1＝(22)22p ＝4p ，由题意可知|OA |＝|OD |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B.[答案] B4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13[解析] 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，该圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，∴|b ×0－a ×0＋2ab |b 2＋(－a )2＝a ，即2b ＝a 2＋b 2，∴a 2＝3b 2，∵a 2＝b 2＋c 2，∴c 2a 2＝23，∴e ＝c a ＝63.[答案] A5．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.[解析] 如图所示，设N (0，m )．又F (2,0)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m 2.设M 代入y 2＝8x ，得m 24＝8，解得m ＝±4 2.∴|FN |＝(2－0)2＋(0－m )2＝36＝6.[答案] 6考点一 圆锥曲线的定义与标准方程圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M .[对点训练]1．(2017·惠州二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是(2，0)，且截直线x ＝2所得弦长为436，则该椭圆的方程为( )A.x 212＋y 28＝1 B.x 28＋y 212＝1 C.x 24＋y 26＝1D.x 26＋y 24＝1[解析] 由已知得c ＝2，直线x ＝2过椭圆的右焦点，且垂直于x 轴，由⎩⎨⎧x ＝c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1可得y ＝±b 2a ，∴截直线x ＝2所得弦长为2b 2a ，由⎩⎨⎧2b 2a ＝436，a 2－b 2＝2得a 2＝6，b 2＝4. ∴所求椭圆的方程为x 26＋y 24＝1. [答案] D2．(2017·惠阳二模)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1F 2P ＝( )A.45B.35C.5564 D ．－2340[解析] 由题意可知，a ＝4，b ＝3，∴c ＝5，设|PF 1|＝2x ，|PF 2|＝x ，则|PF 1|－|PF 2|＝x ＝2a ＝8，故|PF 1|＝16，|PF 2|＝8，又|F 1F 2|＝10，利用余弦定理可得cos ∠F 1F 2P ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝－2340. [答案] D3．(2017·湖南六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1D.x 24－y 23＝1[解析] 以F 1，F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，又因为点(3,4)在圆上，所以32＋42＝c 2，所以c ＝5，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，且点(3,4)在这条渐近线上，所以b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得a ＝3，b ＝4，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1，故选C.[答案] C4．(2017·武汉市武昌区高三二调)已知抛物线Γ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 在Γ上且|PK |＝2|PF |，则△PKF 的面积为________．[解析] 由已知得，F (2,0)，K (－2,0)，过P 作PM 垂直于准线，则|PM |＝|PF |，又|PK |＝2|PF |，∴|PM |＝|MK |＝|PF |，∴PF ⊥x 轴，△PFK 的高等于|PF |，不妨设P (m 2,22m )(m >0)，则m 2＋2＝4，解得m ＝2，故△PKF 的面积S ＝4×22×2×12＝8.[答案] 8求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算，即利用定义或待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p . 【特别提醒】 抛物线定义的实质是抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的转化．考点二 圆锥曲线的几何性质1．在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 2．在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .[对点训练]1．(2017·惠州市高三三调)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 3B. 2 C ．2 D ．3[解析] 设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1中得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意 2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝3，选A.[答案] A2．(2017·临汾二模)若直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( )A.32 B.3－12 C.3－1 D ．4－2 3[解析] 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，由题意可得|OF 2|＝|OA |＝|OB |＝|OF 1|＝c .由y ＝－3x 得∠AOF 2＝2π3，∠AOF 1＝π3，∴|AF 2|＝3c ，|AF 1|＝c .由椭圆的定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴c ＋3c ＝2a ，∴e ＝ca ＝3－1. [答案] C3．(2017·南昌调研)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0[解析] 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得， |PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， 解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ， 所以|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2×2c ×4a cos30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，即2x ±y ＝0.故选A.[答案] A4．(2017·山西四校联考)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则双曲线C 的离心率的取值范围是________．[解析] 设O 为坐标原点，由2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，得4|PO →|≤2c (2c 为双曲线的焦距)，∴|PO →|≤12c ，又由双曲线的性质可得|PO →|≥a ，于是a ≤12c ，e ≥2，即e 的取值范围是[2，＋∞)．[答案] [2，＋∞)应用圆锥曲线性质的2个注意点(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．考点三 抛物线中的最值问题抛物线中的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．[解析](1)由题意得圆x2＋(y－4)2＝1的圆心A(0,4)，半径r＝1，抛物线的焦点F(1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r＝1＋16－1＝17－1.选C.(2)过P作PM⊥l于M，则由抛物线定义知|PM|＝|PF|，故|P A|＋|PF|＝|P A|＋|PM|.当A、P、M三点共线时，|P A|＋|PM|最小，此时点P坐标为(2,2)，故选C.[答案] (1)C (2)C[探究追问] 若本例(2)中A 点坐标改为(－3,2)，其他条件不变，则|P A |－|PF |的最小值为________．[解析] 当P A ∥x 轴时，|P A |－|PF |取得最小值，此时|P A |－|PF |＝52.[答案] 52与抛物线最值有关问题的两种转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决．[对点训练]1．(2017·郑州检测)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32 C ．1 D ．2[解析] 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，选D.[答案] D2．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|P A|＋|PO|的最小值为()A．6 B．2＋4 2C．213 D．4 3[解析]由已知可得抛物线y2＝－8x的焦点为F(－2,0)，准线方程为x＝2.设点A的坐标为(x0，y0)，根据抛物线的定义可得2－x0＝4，所以x0＝－2，y0＝±4.O关于准线的对称点为O′(4,0)，则当点P为AO′与准线x＝2的交点时，|P A|＋|PO|有最小值，且最小值为|AO′|＝213.[答案] C热点课题18方程思想在圆锥曲线几何性质中的应用[感悟体验]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与椭圆的一个交点为P ，若∠F 1PF 2＝45°，则椭圆的离心率为( )A.24B.22 C.3－1 D.2－1[解析] 根据题意可知，在Rt △PF 1F 2中，|PF 2|＝b 2a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝45°，所以|F 1F 2|＝|PF 2|，所以b 2a ＝2c ，又b 2＝a 2－c 2，代入整理得c 2＋2ac －a 2＝0，所以e 2＋2e －1＝0，即e ＝－1±2，又0<e <1，所以e ＝2－1.[答案] D2．(2017·贵阳监测)已知点P 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左支上一点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M 、N 两点(如图)，点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是________．[解析] 由题意可知，ON 为△PF 1F 2的中位线，∴PF 1∥ON ， ∴tan ∠PF 1F 2＝tan ∠NOF 2＝k ON ＝ba ，∴⎩⎨⎧|PF 2||PF 1|＝b a，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2b .又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，∴2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，c ＝a 2＋b 2＝5a ， e ＝ca ＝ 5. [答案]5。
2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题五 第一讲 直线与圆
专题五 解析几何第一讲 直线与圆高考导航1. 求直线的方程；两条直线平行与垂直的判定；两条直线的交点和距离问题．2．结合直线的方程用几何法或待定系数法确定圆的标准方程；直线与圆、圆与圆的位置关系问题，其中含参数问题为命题热点.1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－B ．－ C. D ．243343[解析] 由已知可得圆的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝＝1，解得|a ＋4－1|a 2＋1a ＝－，故选A.43[答案] A2．(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－或－B ．－或－53353223C ．－或－D ．－或－54454334[解析] 由题意知，反射光线所在直线过点(2，－3)，设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径为1，且反射光线与该圆相切，∴＝1，化简得|－3k －2－2k －3|k 2＋112k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－或k ＝－.4334[答案] D3．(2016·山东卷)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是2，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)22＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝，所以2＝2，解得a ＝2.圆M ，圆a 2a 2－a 222N 的圆心距|MN |＝.两圆半径之差为1，故两圆相交．2[答案] B4．(2017·湖北孝感五校4月联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)[解析] 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则Error!解得Error!∴BC 所在直线方程为y －1＝(x －3)，－2－14－3即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线方程为y －2＝·(x ＋4)，即3－2－1－(－4)x －3y ＋10＝0.联立得Error!解得Error!则C (2,4)．故选C.[答案] C5．(2016·天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为，则圆C 的方程5455为____________________________________________________．[解析] 因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝＝，解得a ＝2，所2a5455以圆C 的半径r ＝|CM |＝＝3，4＋5所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.[答案] (x －2)2＋y 2＝9考点一 直线的方程1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝.|C 1－C 2|A 2＋B 2(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝.|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2[对点训练]1．(2017·东北三校联考)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0[解析] 当直线过原点时，由题意可得直线方程为2x －5y ＝0；当直线不经过原点时，可设出其截距式为＋＝1，再由过点(5,2)x a y2a 即可解出2x ＋y －12＝0，故选B.[答案] B2．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中高三测试)设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵当a ≠0时，＝＝⇒直线l 1与直线l 2重合，∴a 28a －8－a 无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D.[答案] D3．已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0,4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为__________________________________．[解析] 由Error!得Error!所以直线l 1与l 2的交点为(1,2)．显然直线x ＝1不符合．设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0,4)到直线l 的距离为2，所以＝2，所以k ＝0或k ＝.所以直线l 的方程为y ＝2或|－4＋2－k |1＋k 2434x －3y ＋2＝0.[答案] y ＝2或4x －3y ＋2＝04．(2017·安徽亳州一模)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0，若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是__________________．[解析] 因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(a ，b )，则Error!解得Error!即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为＝，即y ＋10－(－1)x ＋11－(－1)x －2y －1＝0.[答案] x －2y －1＝0 求直线方程的两种方法(1)直接法：选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果．(2)待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数．考点二 圆的方程1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以为圆心，为半径的圆．(－D 2，－E 2)D 2＋E 2－4F 2[对点训练] 1．(2017·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0[解析] 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0，故选B.[答案] B2．(2017·西安统考)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________________．[解析] 设点(1,0)关于y＝x的对称点为(x0，y0)，则Error!解得Error!所以圆C的圆心为(0,1)．又因为圆C的半径为1，所以圆C的方程为x2＋(y－1)2＝1.[答案] x2＋(y－1)2＝13．已知圆C过定点A(0，a)(a>0)，且被x轴截得的弦MN的长为2a，若∠MAN＝45°，则圆C的方程为__________________．[解析] 设圆C的圆心坐标为(x，y)，依题意，圆C的半径r＝x2＋(y－a)2，又圆C被x轴截得的弦MN的长为2a，所以|y|2＋a2＝r2，即y2＋a2＝x2＋(y－a)2，化简得x2＝2ay.因为2∠MAN＝45°，所以∠MCN＝90°，从而y＝a，x＝±a，圆的半径x2＋(y－a)222r＝＝a，所以圆C的方程为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a22或(x－a)2＋(y－a)2＝2a2.22[答案] (x＋a)2＋(y－a)2＝2a2或(x－a)2＋(y－a)2＝2a2 求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程，一般采用待定系数法．考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系的方法(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．(2)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．[对点训练] 1．圆x 2＋y 2＋4x ＝0与圆x 2＋y 2－8y ＝0的公共弦长为( )A. B. C. D.2554558551655[解析] 解法一：联立得Error!得x ＋2y ＝0，将x ＋2y ＝0代入x 2＋y 2＋4x ＝0，得5y 2－8y ＝0，解得y 1＝0，y 2＝，故两圆的交点85坐标是(0,0)，，则所求弦长为 ＝，选C.(－165，85)(－165)2＋(85)2855解法二：联立得Error!得x ＋2y ＝0，将x 2＋y 2＋4x ＝0化为标准方程得(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心为(－2,0)，半径为2，圆心(－2,0)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝＝，则所求弦长为2＝|－2|525522－(255)2，选C.855[答案] C 2．(2017·洛阳统考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝”的( )2A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 依题意，注意到|AB |＝＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O2到直线l 的距离等于，即有＝，k ＝±1.因此，“k ＝1”是221k 2＋122“|AB |＝”的充分不必要条件，选A.2[答案] A3．(2017·重庆永川中学月考)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝30°，则x 0的取值范围是( )A ．[－，] B.33[－12，12]C ．[－2,2] D.[－33，33][解析] 易知M (x 0,1)在直线y ＝1上，设圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝1的交点为T ，显然假设存在点N ，使得∠OMN ＝30°，则必有∠OMN ≤∠OMT ，所以要使圆上存在点N ，使得∠OMN ＝30°，只需∠OMT ≥30°，因为T (0,1)，所以只需在Rt △OMT 中，tan ∠OMT ＝＝≥tan30°＝，OT TM 1|x 0|13≤x 0≤，且x 0≠0，当x 0＝0时，33显然满足题意，故x 0∈[－，]．故答案选A.33[答案] A4．(2017·新疆维吾尔自治区第二次适应性检测)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，则m －n 的最大值是________．[解析] 依题意得，圆心(0,0)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离等于圆的半径1，于是有＝1，即(m ＋1)2(m ＋1)2＋(n ＋1)22＋(n ＋1)2＝4，设m ＋1＝2cos θ，n ＋1＝2sin θ，则m －n ＝(m ＋1)－(n ＋1)＝2cos θ－2sin θ＝2cos≤2，当且仅当2(θ＋π4)2cos＝1时取等号，因此m －n 的最大值是2.(θ＋π4)2[答案] 22 直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，求切线方程主要选择点斜式．(3)弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l ＝2(其r 2－d 2中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．【特别提醒】 (1)经过圆C ：x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)相交两圆的方程对应相减，得两圆公共弦所在直线方程．热点课题17 与圆有关的最值问题[感悟体验]1．(2017·厦门模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．5－4 B.－1 C ．6－2 D.217217[解析] 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝5，所以(|PM |＋2|PN |)min ＝5－(1＋3)＝5－4.故选A.22[答案] A2．(2017·宁夏银川一中检测)过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________________．[解析] 验证得M (1,2)在圆内，当∠ACB 最小时，直线l 与CM垂直，又圆心为(3,4)，则k CM ＝＝1，则k l ＝－1，故直线l 的方4－23－1程为y －2＝－(x －1)，整理得x ＋y －3＝0.[答案] x＋y－3＝0。
2018高考数学理二轮复习课时规范练：第二部分 专题五 解析几何 第2讲 含答案 精品
专题五 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线一、选择题1．(2016·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ． 1 C.32D ．2解析：因为抛物线方程是y 2＝4x ，所以F (1，0)．又因为PF ⊥x 轴，所以P (1， 2)，把P 点坐标代入曲线方程y ＝k x (k ＞0)，即k1＝2，所以k ＝2.答案：D2．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2D.233解析：取渐近线y ＝b ax ，化成一般式bx －ay ＝0，圆心(2，0)到直线的距离为22－12＝|2b |a 2＋b 2，又由c 2＝a 2＋b 2得c 2＝4a 2，e 2＝4，e ＝2. 答案：A3．(2017·河北衡水六调)已知A (－1，0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 解析：由题意得|PA |＝|PB |，所以|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2.所以点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，所以b ＝2，所以动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1.答案：D4．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )(导学号 54850129)A. 5 B ．2 2 C ．2 3D ．3 3解析：由题知MF ：y ＝3(x －1)，与抛物线y 2＝4x 联立得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝13，x 2＝3，所以M (3，23)．因为MN ⊥l ，所以N (－1，23)． 又F (1，0)，所以直线NF 的方程为y ＝－3(x －1)．故点M 到直线NF 的距离是|3（3－1）＋23|（－3）2＋12＝2 3. 答案：C5．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的右顶点为A ，过右焦点F 的直线l 与C 的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B ，则S △ABF ＝( )A. 3B.32 C.334D.338解析：由双曲线C ：x 2－y 23＝1，得a 2＝1，b 2＝3，故c ＝a 2＋b 2＝2，所以A (1，0)，F (2，0)，渐近线方程为y ＝±3x . 不妨设BF 的方程为y ＝3(x －2)， 代入方程y ＝－3x ，解得B (1，－3)， 所以S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12×1×3＝32.答案：B 二、填空题6．(2016·全国卷Ⅰ改编)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是________．解析：因为方程x 2m ＋n －y 23m －n＝1表示双曲线，所以(m 2＋n )·(3m 2－n )＞0，解得－m 2＜n ＜3m 2. 又c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2，所以|m |＝1. 因此－1＜n ＜3. 答案：(－1，3)7．(2017·邯郸质检)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |等于________．解析：过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4. 又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ |′＝3. 答案：38．(2017·潍坊三模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点M (1，t )(t ＞0)到焦点的距离为5，双曲线x 2a －y 29＝1(a ＞0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为________．解析：由题设1＋p2＝5，所以p ＝8.不妨设点M 在x 轴上方，则M (1，4)，由于双曲线的左顶点A (－a ，0)，且AM 平行一条渐近线，所以41＋a ＝3a ，则a ＝3.答案：3 三、解答题9．(2017·佛山一中调研)已知椭圆E ：x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，右焦点为F (1，0)．(导学号 54850130)(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．解：(1) 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意； ②当MN 不垂直于x 轴时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y 整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2（k 2－1）1＋2k 2. 所以y 1·y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k21＋2k2.因为OM ⊥ON ，所以OM →·ON →＝0.所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝k 2－21＋2k2＝0，所以k ＝± 2.故直线l 的方程为y ＝±2(x －1)．10．(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.(1)解：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n )， 由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n，所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m )， 直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.11．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(导学号 54850131)(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． (1)证明：设l ：x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝my ＋2，得y 2－2my －4＝0，Δ＝4m 2＋16恒大于0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4. OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4 ＝－4(m 2＋1)＋2m ·2m ＋4＝0， 所以OA →⊥OB →，即O 在圆M 上．(2)解：由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝（m 2＋2）2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0，故(x 1－4)·(x 2－4)＋(y 1＋2)·(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.。
高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线课件理
且点 P，E，F2 不共线，若△PEF2 的周长的最小值 为 4b，则椭圆 C 的离心率为( )
3
21
3
A. 2 B. 2 C.2 D. 3
解析：(1)由双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的一个
焦点横坐标为(4，0)，可得 c＝4，即有 a2＋b2＝c2＝16，
由双曲线的两条渐近线 y＝bax 和直线 y＝－bax 垂直，
专题五 解析几何
第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线
1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的
离心率为 3，则其渐近线方程为( )
A．y＝± 2x
B．y＝± 3x
C．y＝±
2 2x
D．y＝±
3 2x
解析：法一 由题意知，e＝ac＝ 3，所以 c＝ 3a，
所以 b＝ c2－a2＝ 2a，即ba＝ 2，
(2)(2018·北京卷节选)已知椭圆 M：xa22＋by22＝1(a＞b＞
0)，双曲线 N：mx22－ny22＝1.若双曲线 N 的两条渐近线与椭
圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形
的顶点，则椭圆 M 的离心率为________．
解析：(1)法一 由 e＝ac＝ 2，得 c＝ 2a. 又 b2＝c2－a2，得 b＝a，所以双曲线 C 的渐近线方 程为 y＝±x.点(4，0)到 C 的渐近线的距离为 14＋1＝2 2. 法二 离心率 e＝ 2的双曲线是等轴双曲线，其渐近 线方程是 y＝±x，所以点(4，0)到 C 的渐近线的距离为 14＋1＝2 2. (2)设椭圆的右焦点为 F(c，0)，双曲线 N 的渐近线与 椭圆 M 在第一象限内的交点为 A，
从而 kMA＋kMB＝0，故 MA，MB 的倾斜角互补． 所以∠OMA＝∠OMB. 综上，∠OMA＝∠OMB.
2018学年上海高三数学二模分类汇编——解析几何
2018学年上海高三数学二模分类汇编——解析几何-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One11（2018松江二模）. 双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =1（2018普陀二模）. 抛物线212x y =的准线方程为2（2018虹口二模）. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a =2（2018宝山二模）. 设抛物线的焦点坐标为(1,0)，则此抛物线的标准方程为 3（2018奉贤二模）. 抛物线2y x =的焦点坐标是4（2018青浦二模）. 已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a =4（2018长嘉二模）. 已知平面直角坐标系xOy 中动点(,)P x y 到定点(1,0)的距离等于P 到定直线1x =-的距离，则点P 的轨迹方程为7（2018金山二模）. 若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m 的取值范围是8（2018静安二模）. 已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,4)M a -(0)a >到焦点F 的距离为5，则该抛物线的标准方程为8（2018崇明二模）. 已知椭圆2221x y a +=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =8（2018杨浦二模）. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p =9（2018浦东二模）. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为 米10（2018虹口二模）. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为10（2018金山二模）. 平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A =10（2018青浦二模）. 已知直线1:0l mx y -=，2:20l x my m +--=，当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 11（2018奉贤二模）. 角α的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2225x y +=的中心，角的终边与曲线2225x y +=的交点A 的横坐标是3-，角2α的终边与曲线2225x y +=的交点是B ，则过B 点的曲线2225x y +=的切线方程是 （用一般式表示）11（2018金山二模）. 已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r =11（2018青浦二模）.已知曲线:C y =:2l y =，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是12（2018普陀二模）. 点1F 、2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右焦点，点N为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：212||2MN MF MF =⋅，则12|2|MF MF +的最大值为12（2018青浦二模）. 已知22sin 1cos 1a a M a a θθ-+=-+（,a θ∈R ，0a ≠），则M 的取值范围是12（2018长嘉二模）. 若实数x 、y 满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是14（2018奉贤二模）. 设直线l 的一个方向向量(6,2,3)d =，平面α的一个法向量(1,3,0)n =-，则直线l 与平面α的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 直线l 在平面α内 D. 直线l 在平面α内或平行14（2018青浦二模）. 椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（ ）A. (4,0)±B. (0,4)±C. (5,0)±D. (0,3)±α15（2018虹口二模）. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A. 15（2018杨浦二模）. 已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 16（2018崇明二模）. 在平面直角坐标系中，定义1212(,)max{||,||}d A B x x y y =--为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题：① 对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥；② 已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =；③ 定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足12|(,)(,)|2d P F d P F a -=（220c a >>），则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点； 其中真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 318（2018静安二模）. 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为1F 和2F ，椭圆Γ上一点到1F 和2F 的距离之和为12. 圆22:24210()k A x y kx y k ++--=∈R 的圆心为k A . （1）求△12k A F F 的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆. 问：是否存在实数k 使得圆k A 包围椭圆Γ请说明理由.18（2018崇明二模）. 已知点1F 、2F 依次为双曲线2222:1x y C a b-=（,0a b >）的左右焦点，12||6F F =，1(0,)B b -，2(0,)B b .（1）若a =，以(3,4)d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离； （2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，求实数b 的取值范围.19（2018黄浦二模）. 已知动点(,)M x y 到点(2,0)F 的距离为1d ，动点(,)M x y 到直线3x =的距离为2d，且123d d =. （1）求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作直线:(2)(0)l y k x k =-≠交曲线C 于P 、Q 两点，若△OPQ 的面积OPQ S ∆=(O 是坐标系原点)，求直线l 的方程.19（2018金山二模）. 已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆Γ交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点（点A 在x 轴上方），点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线:4l x =于M 、N 两点，记M 、N 两点的纵坐标分别为M y 、N y .（1）求直线PB 的斜率（用k 表示）；（2）求点M 、N 的纵坐标M y 、N y （用1x 、1y 表示）， 并判断M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.19（2018青浦二模）. 已知椭圆2222:1x yCa b+=（0a b>>）的一个顶点坐标为(2,0)A，且长轴长是短轴长的两倍.（1）求椭圆C的方程；（2）过点(1,0)D且斜率存在的直线交椭圆于G、H，G关于x轴的对称点为G'，求证：直线G H'恒过定点(4,0).19（2018浦东二模）. 已知双曲线22:1C x y-=.（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点(0,1)P-的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围.19（2018普陀二模）. 某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为52km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？20（2018奉贤二模）. 设复平面上点Z 对应的复数z x yi =+(,)x y ∈∈R R （i 为虚数单位）满足|2||2|6z z ++-=，点Z 的轨迹方程为曲线1C . 双曲线2C :221y x n -=与曲线1C 有共同焦点，倾斜角为4π的直线l 与双曲线2C 的两条渐近线的交点是A 、B ，2OA OB ⋅=，O 为坐标原点. （1）求点Z 的轨迹方程1C ； （2）求直线l 的方程；（3）设△PQR 三个顶点在曲线1C 上，求证：当O 是△PQR 重心时，△PQR 的面积是定值.20（2018松江二模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q 两点，1sin BF O ∠=. （1）若直线l 垂直于x 轴，求12||||PF PF 的值； （2）若b =，直线l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设直线1:l y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.20（2018虹口二模）. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M且是椭圆C 的“切线”.（1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线” l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由.20（2018宝山二模）. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2212723x y +=的右焦点为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右顶点，直线210x y ++=与C 的一条渐近线平行.（1）求C 的方程；（2）如图，1F 、2F 为C 的左右焦点，动点00(,)P x y （01y ≥）在C 的右支上，且12F PF ∠的平分线与x 轴、y 轴分别交于点(,0)M m （55m -<<）、N ，试比较m 与2的大小，并说明理由；（3）在（2）的条件下，设过点1F 、N 的直线l 与C 交于D 、E 两点，求2F DE ∆的面积最大值.20（2018杨浦二模）. 已知椭圆222:9x y m Ω+=(0)m >，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段AB 的中点为M .（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．20（2018长嘉二模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的焦距为(0,2)P 关于直线y x =-的对称点在椭圆Γ上. （1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆Γ交于两个不同的点C 、D （点C 在点D 的上方），试求COD ∆面积的最大值；（3）若直线m 经过点(1,0)M ，且与椭圆Γ交于两个不同的点A 、B ，是否存在直线00:l x x =（其中02x >），使得A 、B 到直线0l 的距离A d 、B d 满足||||A B d MA d MB =恒成立？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由.20（2018青浦二模）. 如图，A 、B 是椭圆22:12x C y +=长轴的两个端点，M 、N是椭圆上与A 、B 均不重合的相异两点，设直线AM 、BN 、AN 的斜率分别是1k 、2k 、3k . （1）求23k k ⋅的值；（2）若直线MN 过点2，求证：1316k k ⋅=-； （3）设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t （t 为常数且0t ≠），试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.。
2018届高考数学二轮复习 点专题突破解析几何的综合问题
热点专题突破 解析几何的综合问题1C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点A 1，22，其焦距为2，已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，P 为直线x=2上一点.直线PF 1，PF 2与圆x 2+y 2=1的另外一个交点分别为M ，N. (1)求椭圆C 1的方程； (2)求证：直线MN 恒过一定点.【解析】(1)由题意知，c=1，F 1(-1，0)，F 2(1，0)， ∴2a=|AF 1|+|AF 2|= (1+1)2+222+222=2 2， ∴a= 2，b= a 2-c 2=1，∴椭圆C 1的方程为x 22+y 2=1. (2)设P (2，t )，直线PF 1：y=t3(x+1)，由y =t3(x +1)，x 2+y 2=1得(t 2+9)x 2+2t 2x+t 2-9=0，∴-1·x M =t 2-9t +9，∴x M =9-t 2t +9，∴M 9-t 2t +9，6tt +9 . 同理可得N t 2-1t +1，-2tt +1 ，∴k MN =4t3-t ， 直线MN 的方程为y--2tt +1=4t3-t x -t 2-1t +1 ， 即y-4t3-t x+2t3-t =0， ∴y-4t3-t x -12 =0，∴直线MN 恒过定点T 12，0 .2.如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2= 32，且|F 2F 4|= 3-1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点.当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.【解析】(1)因为e1e2=32，所以a2-b2a·a2+b2a=32，即a4-b4=34a4，因此a2=2b2，从而F2(b，0)，F4(，0)，于是3b-b=|F2F4|=3-1，所以b=1，a2=2，故C1，C2的方程分别为x 22+y2=1，x22-y2=1.(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(-1，0)，故可设直线AB的方程为x=my-1.由x=my-1，x22+y2=1得(m2+2)y2-2my-1=0.易知此方程的判别式大于0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1+y2=2mm+2，y1y2=-1m+2.因此x1+x2=m(y1+y2)-2=-4m+2，于是AB的中点为M-2m+2，mm+2，故直线PQ的斜率为-m2，PQ的方程为y=-m2x.即mx+2y=0.由y=-m2x，x22-y2=1得(2-m2)x2=4，所以2-m2>0，且x2=42-m，y2=m22-m，从而|PQ|=2 x2+y2=2m2+42-m2.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d=1122m2+4.因为点A，B在直线mx+2y=0的异侧，所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0，于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|.从而2d=2122.又因为|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=22·2m2+2，所以2d=2·1+m2m2+4.故四边形APBQ的面积S=12|PQ|·2d=2·1+m22-m2=22·-1+32-m2.而0<2-m2≤2，故当m=0时，S取得最小值2，综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.3C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【解析】由题设F12，0.设l1：y=a，l2：y=b，则ab≠0，且A a 22，a ，B b22，b ，P-12，a ，Q-12，b ，R-12，a+b2.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)由于F在线段AB上，故1+ab=0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，则S△ABF=12|b-a||FD|=12|b-a| x1-12，S△PQF=|a-b|2.由题意可得|b-a| x1-12=|a-b|2，所以x1=0(舍去)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x，y).当AB 与x 轴不垂直时，由k AB =k DE 可得2a +b =y x -1(x ≠1).而a +b 2=y ，所以y 2=x-1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合. 所以所求轨迹方程为y 2=x-1.4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为 22的椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a>b>0)的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点.若直线PQ 斜率为 22时，PQ=2 3. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)试问以MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)?请证明你的结论.【解析】(1)∵直线PQ 斜率为 22时，PQ=2 3，此时可设点P 的坐标为 x 0，22x 0，∴x 02+22x 0 2=3，解得x 02=2.∴2a 2+1b 2=1， ∵e=ca =a 2-b 2a=22，∴a 2=4，b 2=2. ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1.(2)以MN 为直径的圆过定点F (± 2，0). 设P (x 0，y 0)，则Q (-x 0，-y 0)，且x 024+y 022=1，即x 02+2y 02=4， ∵A (-2，0)，∴直线PA 方程为y=y 0x 0+2(x+2)，∴M 0，2y 0x 0+2，同理，直线QA 方程为y=y 0x-2(x+2)，∴N 0，2y 0x 0-2，以MN 为直径的圆为(x-0)(x-0)+ y -2y 0x+2y -2y 0x 0-2=0，即x2+y2-4x0y0x02-4y+4y02x02-4=0，∵x02-4=-2y02，∴x2+y2+2x0y0y-2=0，令y=0，解得x=±2，∴以MN为直径的圆过定点(±2，0).5.已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到直线y=x+2的距离的最小值为22.(1)求抛物线的方程.(2)若过(3，0)且斜率为1的直线交抛物线于D，H两点，将线段DH向左平移3个单位长度至D1H1，则在抛物线上是否存在点E，使得S△EDH-S△ED1H1最大?若存在，求出最大值及点E的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设抛物线y2=2px(p>0)上任意一点的坐标为y 22p，y ，其到直线y=x+2的距离为y2-y+22=222p=2222p.显然，当y=p时，抛物线上任意一点到直线y=x+2的距离最小，且最小值为222p.由222p=22，得|p-4|=2，解得p=2或p=6.当p=6时，直线y=x+2与y2=12x有公共点，与题意不符，舍去.故所求抛物线的方程为y2=4x.(2)由题意得DH的方程为y=x-3，由y=x-3，y2=4x得x=1，y=-2或x=9，y=6.不妨设D(1，-2)，H(9，6)，得|DH|=82.当线段DH向左平移3个单位长度至D1H1时，两线段间的距离为322.要使S△EDH-S△ED1H1最大，应有S△EDH>S△ED1H1，此时点E应该位于直线DH左侧的抛物线上，设点E到直线DH的距离为h，则点E到直线D1H1的距离为322-h，S△EDH-S△ED1H1=12×82×h-12×82×322-ℎ =82h-12，显然h达到最大时，S△EDH-S△ED1H1取得最大值，此时点E为与DH平行的直线与抛物线相切的切点.设切线方程为y=x+b，由y=x+b，y2=4x得x2+(2b-4)x+b2=0，由(2b-4)2-4b2=0得b=1，此时解得x=1，y=2，即点E的坐标为(1，2)，从而可得h=2=22，所以S△EDH-S△ED1H1的最大值为20.6M(x，y)与两定点A(-0)，B(0)的连线的斜率之积为-13，记动点M的轨迹为C.(1)求动点M的轨迹C的方程.(2)定点F(-2，0)，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交曲线C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；②当|TF||PQ|最小时，求点T的坐标.【解析】(1)由已知可知k MA·k MB=x+6·x-6=-13，所以动点M的轨迹C的方程是x 26+y22=1(y≠0).(2)①设T点的坐标为(-3，m)，则直线TF的斜率k TF=m-0-3-(-2)=-m.当m≠0时，直线PQ的斜率k PQ=1m，直线PQ的方程是x=my-2，当m=0时，PQ的方程是x=-2，也符合上述方程.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程x=my-2与椭圆C的方程联立得x2 6+y22=1，x=my-2，消去x，得(m2+3)y2-4my-2=0，其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0，所以y1+y2=4mm2+3，y1y2=-2m2+3，x1+x2=m(y1+y2)-4=-12m2+3，所以PQ的中点N的坐标为-6m+3，2mm+3，所以直线ON的斜率k ON=-m3.又直线OT的斜率k OT=-m3，所以点N在线段OT上，因此OT平分线段PQ.②由①可得|TF|= m2+1，|PQ|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2]=(m2+1)4mm+32-4·-2m+3=24(m 2+1)m+3，所以|TF||PQ|=124·(m2+3)m2+1=124· m2+1+4m2+1+4≥124·(4+4)=33，当且仅当m2+1=4m+1，即m=±1时，等号成立.所以当|TF||PQ|最小时，T点的坐标是(-3，1)或(-3，-1).7C：x 2a +y2b=1(a>b>0)的左焦点为F，A1，22为椭圆上一点，AF交y轴于点M，且M为AF的中点.(1)求椭圆C的方程.(2)直线l与椭圆C有且只有一个公共点A，平行于OA的直线交l于点P，交椭圆C于不同的两点D，E，问是否存在常数λ，使得|PA|2=λ|PD|·|PE|?若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设椭圆的右焦点是F1，在△AFF1中，OM∥AF1，∴c=1，即a2-b2=c2=1，∴A1，22在椭圆上，∴b2a=22，∴a=2，b=1，∴椭圆C的方程为x 22+y2=1.(2)设直线DE的方程为y=22x+t，由y=22x+t，x22+y2=1消去y，得x2+2tx+t2-1=0，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1+x2=-t，x1x2=t2-1，其中Δ=4-2t2>0.∴|PD|·|PE|=1+2222|x P-x1|·|x P-x2|=32|x P2-x P(x1+x2)+x1x2|，又直线l与椭圆C有且只有一个公共点A1，22，则l与椭圆C相切，∴直线l的方程为x2+2y2=1，联立直线l与直线DE的方程，求得点P的坐标为2-2t2，2+t2.∴|PD|·|PE|=34t2，|AP|2=2-2t2-12+2+t2-222=34t2.∴存在常数λ=1使得|PA|2=λ|PE|·|PD|.。
2018届高考数学二轮复习第五章 数列专题(共5个专题)
专题1 等比数列专题[基础达标] (30分钟 60分) 一、选择题(每小题5分，共30分)1.在等比数列{a n }中，a 1=12，q=12，a n =132，则项数n 为 ( )A .3B .4C .5D .6C 【解析】由等比数列通项公式可知a n =a 1q n-1，则132=12× 12 n -1=12n ，解得n=5.2{a n }中，a 1+a 2=2，a 4+a 5=274，则a 1= ( ) A .15B .45C .43D .32B 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则q 3=a 4+a5a 1+a 2=278，q=32，则a 1+a 2=a 1+32a 1=52a 1=2，解得a 1=45.3{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=6，S 3= 304x d x ，则公比q 的值为 ( )A .1B .-12 C .1或-12 D .-1或-12C【解析】S 3= 304x d x=2x 203=18，所以当q=1时，符合条件.当q ≠1时，联立方程组 a 3=6，S 3=18，即a 1q 2=6，a 1+a 1q +6=18，解得q=-12.所以公比q 的值为1或-12.4x ，y 为正实数，且x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则(a 1+a 2)2b 1b 2的取值范围是 ( )A .RB .(0，4]C .[4，+∞)D .(-∞，0]∪[4，+∞)C 【解析】由x ，a 1，a 2，y 成等差数列得a 1+a 2=x+y ，由x ，b 1，b 2，y 成等比数列得b 1b 2=xy ，所以(a 1+a 2)2b 1b 2=(x +y )2xy=2+ y x +xy ≥2+2=4.5{a n}中，a3=5，a8=2，则数列{lg a n}的前10项和等于() A.2 B.5 C.10 D.lg 50B【解析】由等比数列的性质知a3a8=a1a10=a2a9=a4a7=a5a6，所以数列{lg a n}的前10项和为lg a1+lg a2+…+lg a10=lg a1·a2·…·a10=lg(a3a8)5=lg(5×2)5=5.6{a n}满足a2+8a5=0，设S n是数列1a n的前n项和，则S5S2=() A.-11 B.-8 C.5 D.11A【解析】设等比数列{a n}的公比为q，则q3=a5a2=-18，q=-12，则数列1a n也是等比数列，且公比为1q =-2，所以S5S2=1-1q51-12=33-3=-11.二、填空题(每小题5分，共20分)7{a n}的各项均为正数，且a1+a2=49，a3+a4+a5+a6=40，则a7+a8+a99的值为.117【解析】设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，则a3+a4+a5+a6=(a1+a2)(q2+q4)=49(q2+q4)=40，解得q=3.所以a1+a2=a1+a1q=4a1=49，a1=19，则a7+a8+a99=36+37+389×9=32+33+34=117.8{a n}是递减数列，且对任意的正整数n，a n=-n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围为.(-∞，3)【解析】∵{a n}是递减数列，∴a n+1<a n，∵a n=-n2+λn恒成立，即-(n+1)2+λ(n+1)<-n2+λn，∴λ<2n+1对任意n∈N*恒成立.而2n+1在n=1时取得最小值3，∴λ<3.9{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d≠0，若a k1，a k2，a k3，…，a kn，…成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5，则数列{k n}的通项公式k n=.3n-1+12【解析】由题意可得a1，a2，a5成等比数列，则a22=a1·a5，即(a1+d)2=a1(a1+4d)，又d≠0，所以化简得d=2a1=2，所以等比数列的公比q=a2a1=3，则a kn =a1q n-1=a1+(k n-1)d，即3n-1=1+2(k n-1)，解得k n=3n-1-12+1=3n-1+12.10.设{a n}是等比数列，公比q=2，S n为{a n}的前n项和.记T n=17S n-S2na n+1，n∈N*，设T n为数列{T n}的最大项，则n0=.4【解析】T n=12)n1-2-12)2n1-2a(2)n=1-2·2)2n2)n(2)n=1-2·(2)n+(2)n-17，因为(2)n+n≥8，当且仅当(2)n=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时T n有最大值.三、解答题(共10分)11.(10分{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2.(1)设b n=a n+1-2a n，证明数列{b n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)由a1=1及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，∴a2=3a1+2=5，∴b1=a2-2a1=3，由于S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n-1+2.②①-②得a n+1=4a n-4a n-1，∴a n+1-2a n=2(a n-2a n-1)，又∵b n=a n+1-2a n，∴b n=2b n-1，∴数列{b n}是首项b1=3，公比为2的等比数列.(2)由(1)可得b n=a n+1-2a n=3·2n-1，∴a n+12n+1−a n2n=34，∴数列a n2是首项为12，公差为34的等差数列.∴a n2n =12+34(n-1)=34n-14，∴a n=(3n-1)·2n-2.[高考冲关](25分钟40分)1.(5分{a n}和{b n}分别是等差数列与等比数列，且a1=b1=16，a5=b5=1，则以下结论正确的是() A.a2<a3B.a3>b3C.a3<b3D.b2>b3B【解析】由{a n}是等差数列，且a1=16，a5=1，得公差d<0，所以a2>a3，A错误；a3=a1+a52=b1+b52>b1b5=b3，B正确，C错误；由{b n}是等比数列，且b1=16，b5=1，得公比q=12或-12，当q=-12时，b2=-8<b3=4，D错误.2.(5分)已知数列{c n}，其中c n=2n+3n，且数列{c n+1-pc n}为等比数列，则常数p 的值为() A.2 B.3 C.2或3 D.5C【解析】由数列{c n+1-pc n}为等比数列，得(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3)，即(35-13p)2=(13-5p)(97-35p)，解得p=2或p=3.3.(5分{a n}满足a n=n2(a n-1<n2)，2a n-1(a n-1≥n2)(n≥2)，若{a n}为等比数列，则a1的取值范围是.92，+∞【解析】由题意可得当{a n}为等比数列时，a n-1≥n2，∀n≥2恒成立，此时a n=2n-1a1，所以2n-1a1≥(n+1)2，即a1≥(n+1)22n-1，∀n∈N*恒成立，则a1≥(n+1)22n-1max ，n∈N*.令b n=(n+1)22n-1，则b n+1-b n=(n+2)22−(n+1)22n-1=2-n22，所以b1<b2>b3>…，则(b n)max=b2=92，故a1≥92.4.(12分{a n}的前n项和S n满足：S n=2(a n-1)，数列{b n}满足：对任意n∈N*有a1b1+a2b2+…+a n b n=(n-1)·2n+1+2.(1)求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；(2)记c n=b na n，数列{c n}的前n项和为T n，证明：当n≥6时，n|2-T n|<1.【解析】(1)当n=1时，S1=a1=2(a1-1)，所以a1=2.当n>1时，a n=S n-S n-1=2(a n-a n-1)，即a n=2a n-1，所以数列{a n}是首项a1=2，公比q=2的等比数列，通项公式为a n=2n(n∈N*).由题意有a1b1=(1-1)·22+2=2，得b1=1.当n≥2时，a nb n=(a1b1+a2b2+…+a n b n)-(a1b1+a2b2+…+a n-1b n-1)=[(n-1)·2n+1+2]-[(n-2)·2n+2]=n·2n，所以b n=n，显然b1=1满足该式，故数列{b n}的通项公式为b n=n(n∈N*).(2)因为T n=b1a1+b2a2+…+b na n=12+222+…+n2n，所以12T n=12+22+…+n2，两式相减得12T n=12+12+12+…+12−n2=121-12n1-12−n2=1-n+12，所以T n=2-n+22，即|2-T n|=n+22.下证：当n≥6时，n(n+2)2n<1，令f(n)=n(n+2)2n，f(n+1)-f(n)=(n+1)(n+3)2−n(n+2)2=3-n22，当n≥2时，f(n+1)-f(n)<0，即当n≥2时，f(n)单调递减，又f(6)<1，所以当n≥6时，f(n)<1，即n(n+2)2n<1，即当n≥6时，n|2-T n|<1.5.(13分)已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2，1)和B(5，2)，记a n=3f(n)，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n2n，T n=b1+b2+…+b n，若T n<m(m∈Z)，求m的最小值；(3)求使不等式1+1a11+1a2…1+1a n≥p2n+1对一切n∈N*均成立的最大实数p.【解析】(1)由题意得log3(2a+b)=1，log3(5a+b)=2，解得a=2，b=-1，∴f(x)=log3(2x-1)，∴a n=3lo g3(2n-1)=2n-1，n∈N*.(2)由(1)得b n=2n-12，∴T n=121+322+523+…+2n-32n-1+2n-12n，①1 2T n=122+323+…+2n-52n-1+2n-32n+2n-12n+1.②①-②得1 2T n=121+222+223+…+22n-1+22n−2n-12n+1=121+121+122+…+12n-2+12n-1-2n-12n+1=32−12n-1−2n-12n+1.∴T n=3-12n-2−2n-12=3-2n+32，设f(n)=2n+32，n∈N*，则由f(n+1)f(n)=2n+52n+12n+3n=2n+52(2n+3)=12+12n+3≤12+15<1，得f(n)=2n+32，n∈N*随n的增大而减小，∴T(n)<3，又T n<m(m∈Z)恒成立，∴m min=3.(3)由题意得p≤2n+11+1a11+1a2…1+1a n对n∈N*恒成立.记F(n)=2n+11+1a11+1a2…1+1a n，则F(n+1)F(n)=12n+31+1a11+1a2…1+1a n1+1a n+112n+11+1a11+1a2…1+1a n=(2n+1)(2n+3)=4(n+1)-1>2(n+1)2(n+1)=1.又∵F(n)>0，∴F(n+1)>F(n)，即F(n)随n的增大而增大，F(n)的最小值为F(1)=233，∴p≤233，即p max=233.专题2 等差数列专题[基础达标](25分钟55分)一、选择题(每小题5分，共35分)1S n为等差数列{a n}的前n项和，S8=4a3，a7=-2，则a9=() A.-6 B.-4 C.-2 D.2A【解析】由S8=4a3得8a1+8×72×d=4(a1+2d)，则a1=-5d①，由a7=-2得a7=a1+6d=-2②，联立方程①②，解得a1=10，d=-2，故a9=a1+(9-1)d=10-16=-6.2{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9=() A.180 B.90 C.72 D.10B【解析】解法1：由a4=9，a6=11得d=a6-a46-4=11-92=1，又由a4=a1+3d得a1=9-3d=6，故S9=9×6+9×82×1=90.解法2：由等差数列的性质得S9=9(a1+a9)2=9(a4+a6)2=9×(9+11)2=90.3{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若公差d<0且S2=S7，则下列结论中不正确的是() A.S4=S5B.S9=0C.a5=0D.S2+S7=S4+S5D【解析】由公差d<0且S2=S7，得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=0，则a5=0，故C 正确；S5-S4=a5=0，故A正确；S9=9a5=0，故B正确；S2+S7-S4-S5=(a6+a7)-(a3+a4)=6d<0，故D错误.4{a n}满足a n+1+a n=4n，则a1=() A.-1 B.1 C.2 D.3B【解析】设等差数列{a n}的公差为d，由a n+1+a n=4n，得a n+a n-1=4(n-1)(n≥2)，两式相减得a n+1-a n-1=4=2d，d=2，又a2+a1=4=2a1+d，解得a1=1.5n边形，各内角的度数成等差数列，公差为10°，最小角为100°，则边数n等于() A.8 B.8或9 C.9 D.6A【解析】由题意可得凸n边形的内角和为100n+n(n-1)2×10=180(n-2)，解得n=8或9，又由100+10(n-1)<180，解得n<9，所以n=8.6{a n}中，a1+a2+a3=3，a28+a29+a30=165，则此数列前30项和等于() A.810 B.840 C.870 D.900B【解析】由a1+a2+a3=3，a28+a29+a30=165，可知a1+a2+a3+a28+a29+a30=168，由等差数列的性质可得3(a1+a30)=168，解得a1+a30=56，所以S30=30(a1+a30)2=15×56=840.7{a n}中a10a9<-1，它的前n项和S n有最大值，则当S n取得最小正值时，n=() A.17 B.18 C.19 D.20A【解析】由等差数列以及前n项和S n有最大值可得数列单调递减，又a10a9<-1，∴a9>0，a10<0，∴由不等式的性质可得a10<-a9，即a9+a10<0，∴S17=17(a1+a17)2=17×2a92=17a9>0，S18=18(a1+a18)2=9(a1+a18)=9(a9+a10)<0，∴当S n取得最小正值时，n=17.二、填空题(每小题5分，共10分)8S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1=2，S5=12，则a6等于.3【解析】设等差数列{a n}的公差为d，则S5=5a1+10d=10+10d=12，解得d=15，则a6=a1+5d=2+5×15=3.9{log k a n}是首项为4，公差为2的等差数列，其中k>0，且k≠1.设c n=a n lg a n，若{c n}中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为.0，63∪(1，+∞)【解析】由题可知log k a n=4+(n-1)×2=2n+2，所以a n=k2n+2，又c n=a n lg a n，所以c n=a n lg a n=k2n+2lg k2n+2=(2n+2)k2n+2lg k，由于{c n}中的每一项恒小于它后面的项，即c n<c n+1.①当k>1时，有lg k>0，因此由c n<c n+1得(2n+2)k2n+2lg k<(2n+4)k2n+4lg k，可化为(2n+2)k2n+2<(2n+4)k2n+4，即n+1<(n+2)k2，即转化为不等式k2>n+1n+2，此不等式在k>1下恒成立，故k>1符合；②当0<k<1时，有lg k<0，因此由c n<c n+1得(2n+2)k2n+2lg k<(2n+4)k2n+4·lg k，可化为(2n+2)k2n+2>(2n+4)k2n+4，即n+1>(n+2)k2，即转化为不等式k2<n+1n+2恒成立，∵n∈N*，∴n+1n+2∈23，1，所以k2<23，则0<k<63.综合得实数k的取值范围为0，63∪(1，+∞).三、解答题(共10分)10.(10分)设数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=1，2S nn =a n+1-13n2-n-23，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明对一切正整数n，有1a1+1a2+…+1a n<74.【解析】(1)∵2S nn =a n+1-13n2-n-23，n∈N*，∴2S n=na n+1-13n3-n2-23n=na n+1-n(n+1)(n+2)3，①∴当n≥2时，2S n-1=(n-1)a n-(n-1)n(n+1)3，②由①-②，得2S n-2S n-1=na n+1-(n-1)a n-n(n+1).∵2a n=2S n-2S n-1，∴2a n=na n+1-(n-1)a n-n(n+1)，∴a n+1n+1−a nn=1.∴数列a nn 是首项为a11=1，公差为1的等差数列.∴a nn=1+1×(n-1)=n，∴a n=n2(n≥2).当n=1时，上式显然成立.∴a n=n2，n∈N*.(2)由(1)知，a n=n2，n∈N*，①当n=1时，1a1=1<74，∴原不等式成立.②当n≥2时，∵n2>(n-1)(n+1)，∴1n2<1(n-1)(n+1)=121n-1-1n+1，∴1 a1+1a2+…+1a n=1+122+132+…+1n2<1+1211-13+1212-14+1213-15+…+121n-2-1n+1 21n-1-1n+1=1+1211−13+12−14+13−15+…+1n-2−1n+1n-1−1n+1=1+1211+12−1 n −1n+1=74+12-1n−1n+1<74，∴当n≥3时，原不等式亦成立.综上，对一切正整数n，有1a1+1a2+…+1a n<74.[高考冲关](20分钟40分)1.(5分{a n}的前n项和为S n，S11=22，a4=-12，如果当n=m时，S n最小，那么m的值为() A.10 B.9 C.5 D.4C【解析】设等差数列{a n}的公差为d，则S11=11a1+55d=22，a4=a1+3d=-12，解得a1=-33，d=7，则a n=7n-40，所以当n≤5时，a n<0；当n≥6时，a n>0.所以该数列的前5项和最小.2.(5分a>0，b>0，a，b的等差中项是12，且α=a+1a，β=b+1b，则α+β的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5D【解析】由题可知a+b=1，所以α+β=a+1a +b+1b=1+1a+1b(a+b)=3+ba+a b ≥3+2=5，当且仅当ba=ab，即a=b=12时，取等号.3.(5分{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=a 2=1，{nS n +(n+2)a n }为等差数列，则{a n }的通项公式a n = .n 2n -1【解析】由{nS n +(n+2)a n }为等差数列，且S 1+3a 1=4，2S 2+4a 2=8，则该等差数列的公差和首项都为4，所以nS n +(n+2)a n =4+4(n-1)=4n ，即S n +n +2na n =4，S n-1+n +1n -1a n-1=4(n ≥2)，两式相减整理得a nan -1=n 2(n -1)(n ≥2)，则a n =a 1·a 2a 1·a3a 2·…·anan -1=12n -1×1×21×32×…×n n -1=n 2n -1.4.(12分{a n }是公差为2的等差数列，且a 3+1是a 1+1与a 7+1的等比中项.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n =a 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 【解析】(1)由已知可得(a 3+1)2=(a 1+1)(a 7+1)， 即(a 1+5)2=(a 1+1)(a 1+13)，解得a 1=3， ∴a n =a 1+(n-1)d=2n+1， ∴{a n }的通项公式为a n =2n+1. (2)b n =a 2n =2·2n +1=2n+1+1， S n =22+1+23+1+…+2n+1+1 =22+23+…+2n+1+n =4(1-2n )1-2+n=2n+2+n-4，∴数列{b n }的前n 项和S n =2n+2+n-4.5.(13分{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5-a 3=13，S 4=16. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n =∑i =1n(-1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n <[a n+1+(-1)n+1a n ]·2n-1恒成立，求实数λ的取值范围.【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d.因为2a5-a3=13，S4=16，所以2(a1+4d)-(a1+2d)=13，4a1+6d=16，解得a1=1，d=2，所以a n=2n-1，S n=n2.(2)①当n为偶数时，设n=2k，k∈N*，则T2k=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2k-a2k-1)=2k.代入不等式λT n<[a n+1+(-1)n+1a n]·2n-1，得λ·2k<4k，从而λ<4k2k .设f(k)=4k2k ，则f(k+1)-f(k)=4k+12(k+1)−4k2k=4k(3k-1)2k(k+1).因为k∈N*，所以f(k+1)-f(k)>0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min=2，所以λ<2.②当n为奇数时，设n=2k-1，k∈N*，则T2k-1=T2k-(-1)2k a2k=2k-(4k-1)=1-2k.代入不等式λT n<[a n+1+(-1)n+1a n]·2n-1，得λ·(1-2k)<(2k-1)4k，从而λ>-4k.因为k∈N*，所以-4k的最大值为-4，所以λ>-4.综上，λ的取值范围为(-4，2).专题3 热点专题突破数列的综合问题1n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28.记b n=[lg a n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg 99]=1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{b n}的前1000项和.【解析】(1)设{a n}的公差为d，由S7=7+21d=28，解得d=1.所以{a n}的通项公式为a n=n.b1=[lg 1]=0，b11=[lg 11]=1，b101=[lg 101]=2.(2)因为b n=0(1≤n<10)，1(10≤n<100)，2(100≤n<1000)，3(n=1000)，所以数列{b n}的前1000项和为1×90+2×900+3×1=1893.2.数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+1，数列{b n}为等差数列，且b3=3，b5=9.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若对任意的n∈N*， S n+12·k≥b n恒成立，求实数k的取值范围.【解析】(1)由a n+1=2S n+1，①得a n=2S n-1+1，②①-②得a n+1-a n=2(S n-S n-1)，∴a n+1=3a n(n≥2).又a2=3，a1=1也满足上式，∴a n=3n-1.由b5-b3=2d=6，可得d=3，∴b n=3+(n-3)×3=3n-6.(2)S n=a1(1-q n)1-q =1-3n1-3=3n-12，∴3n-12+12k≥3n-6对n∈N*恒成立，∴k≥2(3n-6)3对n∈N*恒成立.令c n=3n-63，c n-c n-1=3n-63−3n-93n-1=-2n+73n-1，当n≤3时，c n>c n-1，当n≥4时，c n<c n-1，∴(c n)max=c3=19，即k≥2(c n)max=29，∴实数k的取值范围是29，+∞.3.已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=2b n(n∈N*).若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=3+b2.(1)求a n与b n；(2)设c n=b n-a na nb n(n∈N*)，记数列{c n}的前n项和为S n，求S n.【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q，∵a1a2a3…a n=2b n(n∈N*)，∴a1a2a3=2b3，∴a13q3=8q3=2b3，同理a1a2=2b2，即a12q=4q=2b2，而b3=3+b2，∴8q3=23+b2=23×2b2=8×4q，∴q=2或q=-2，∵a1a2=2b2>0，∴q=2，a n=a1q n-1=2n.又a1a2a3…a n=2b n(n∈N*)，∴2n(n+1)2=2b n，∴b n=n(n+1)2.(2)由c n=1a n −1b n=12-21n-1n+1，得S n=c1+c2+…+c n=12+122+…+12n-21-12+12-13+…+1n-1n+1=121-12n1-12-21-1 n+1=2n+1−12n-1.4.已知数列{a n}中，a1=1，a n=-13 a n-1+43，n≥2，且b n=a n+13，数列{b n}的前n项和为S n.(1)求证：数列{b n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若对任意n ∈N *，p ≤S n -1S n≤q ，求q-p 的最小值.【解析】(1)因为b n+1=a n+1+13=-13 a n +43 +13=-13a n +13=-13b n ， 又b 1=a 1+13=43≠0，所以数列{b n }是等比数列， 则b n =b 1 -13n -1=43× -13n -1，所以a n =b n -13=43× -13 n -1−13.(2)由(1)可知S n =4 1- -1 n 1- -13=1- -13 n，当n 为奇数时，S n =1+ 13n∈ 1，43；当n 为偶数时，S n =1- 13 n∈ 89，1 . 因为函数y=x-1x 在(0，+∞)上单调递增， 所以S n -1S n的取值范围是 -1772，0 ∪ 0，712 .所以p ≤-1772，q ≥712， 所以q-p ≥712+1772=5972， 即q-p 的最小值是5972.5.已知各项均为正数的数列{a n }满足a n +12−a n 2=a n 2+a n a n+1，且a 2+a 4=2a 3+4，其中n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n =nan (2n +1)·2n (n ∈N *)，若存在正整数m ，n (1<m<n )，使得b 1，b m ，b n 成等比数列，求m ，n 的值.【解析】(1)因为a n +12−a n 2=a n 2+a n a n+1，即(a n+1+a n )(a n+1-2a n )=0，又a n >0，所以有a n+1-2a n =0，即a n+1=2a n ， 所以数列{a n }是公比为2的等比数列，由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4，解得a1=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n(n∈N*).(2)b n=na n(2n+1)·2=n2n+1，若b1，b m，b n成等比数列，则m2m+12=13n2n+1，整理得3m2+n(2m2-4m-1)=0.因为1<m<n，所以2m2-4m-1<0，解得1-62<m<1+62，又m∈N*，且m>1，所以m=2，此时n=12.6{a n}满足a1=8999，a n+1=10a n+1.(1)证明数列 a n+19是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}满足b n=lg a n+19，T n为数列1b n b n+1的前n项和，求证T n<12.【解析】(1)∵a n+1=10a n+1，∴a n+1+19=10a n+109=10 a n+19，即a n+1+19a n+1=10.∴数列 a n+19是等比数列，其中首项为a1+19=100，公比为10.∴a n+19=100×10n-1=10n+1，∴a n=10n+1-19.(2)由(1)得b n=lg a n+19=lg 10n+1=n+1，∴1b n b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，∴T n=12−13+13−14+…+1n+1−1n+2=12−1n+2<12.7{a n}满足 a n-a n+12≤1，n∈N*.(1)证明：|a n|≥2n-1(|a1|-2)，n∈N*；(2)若|a n|≤32n，证明：|a n|≤2，n∈N*.【解析】(1)由 a n-a n+12≤1得|a n|-12|a n+1|≤1，故|a n|2−|a n+1|2≤12，n∈N*，所以|a 1|2−|a n |2= |a 1|2-|a 2|2 + |a 2|2-|a 3|2 +…+|a n -1|2n -1-|a n |2 ≤12+12+…+12n -1=1 1-12n -11-12=1-12n -1<1，因此|a n |≥2n-1(|a 1|-2). (2)任取n ∈N *，由(1)知，对于任意m>n ，|a n |2n−|a m |2m= |a n|2n -|a n +1|2n +1 + |an +1|2n +1-|a n +2|2n +2+…+|a m -1|2m -1-|a m |2m≤12n +12n +1+…+12m -1=1n 1-12m -n 1-1=12n -11-12m -n<12n -1，故|a n |<12n -1+|a m |2m·2n≤12n -1+12m · 32 m·2n=2+ 34m·2n. 从而对于任意m>n ，均有|a n |<2+ 34 m·2n ， ①由m 的任意性得|a n |≤2.否则，存在n 0∈N *，有|a n 0|>2，取正整数m 0>lo g 3|a n 0|-22n 0且m 0>n 0，则2n 0· 34m 0<2n 0· 34 lo g 34a n 0-2n 0=|a n 0|-2，与①式矛盾.综上，对于任意n ∈N *，均有|a n |≤2.8{a n }满足：a 1+2a 2+…+na n =4-n +22n -1，n ∈N *.(1)求a 3的值；(2)求数列{a n }的前n 项和T n ； (3)令b 1=a 1，b n =T n -1n+ 1+12+13+…+1n a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2+2ln n.【解析】(1)依题意有a 1+2a 2+…+na n =4-n +22n -1，n ∈N *，当n ≥2时，有a 1+2a 2+…+(n-1)a n-1=4-n +12n -2，两式相减得na n =-n +22n -1+n +12n -2=n 2n -1，即a n =12n -1，n ≥2.且n=1时，a 1=1也满足通项公式，综上得a n =12n -1，n ∈N *.则a 3=14.(2)由(1)知T n =a 1(1-q n )1-q =1· 1-12n1-1=2-12n -1.(3)由(2)得T n =2-12n -1，当n ≥2时， b n =T n -1n+ 1+12+13+…+1n a n=1n (a 1+a 2+…+a n-1)+ 1+12+13+…+1n a n =1n a 1+1n a 2+…+1n a n-1+ 1+12+…+1n a n ， 所以S n =b 1+b 2+…+b n =a 1+ 12a 1+ 1+12 a 2 +13a 1+13a 2+1+12+13a 3+ (1)a 1+1n a 2+…+1n a n-1+ 1+12+…+1n a n = 1+12+…+1n a 1+ 1+12+…+1n a 2+…+1+12+…+1n a n = 1+12+…+1n (a 1+a 2+…+a n ) =T n 1+12+…+1n = 2- 12n -11+12+13+…+1n ，下面证明12+13+…+1n +1<ln(1+n )， 令函数F (x )=ln(1+x )-x1+x ，x>0， 则F'(x )=x(1+x )2>0，即F (x )在(0，+∞)上单调递增， 故F (x )=ln(1+x )-x1+x >F (0)=0， 即对于(0，+∞)，恒有ln(1+x )>x1+x ，令x=1n ，有ln1+1n>1n1+1n=1n+1，即ln n+1n >1n+1，所以ln(n+1)>12+13+…+1n+1.故ln n>12+13+…+1n.故S n=2-12n-11+12+13+…+1n<21+12+13+…+1n<2(1+ln n)=2+2ln n.专题4 数列的概念与简单表示法专题[基础达标](20分钟45分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.数列13，18，115，124，…的一个通项公式为()A.a n=12+1B.a n=1n+2C.a n=1n(n+2)D.a n=12-1C【解析】观察知a n=1(n+1)2-1=1n(n+2).2.已知数列{a n}满足a0=1，a n=a0+a1+…+a n-1(n≥1)，则当n≥1时，a n等于() A.2n B.12n(n+1) C.2n-1D.2n-1C【解析】由题设可知a1=a0=1，a2=a0+a1=2，代入四个选项检验可知a n=2n-1.3A n(n，a n)(n∈N)都在函数y=a x(a>0，a≠1)的图象上，则a4+a6与2a5的大小关系是()A.a4+a6<2a5B.a4+a6=2a5C.a4+a6>2a5D .a 4+a 6与2a 5的大小与a 有关C 【解析】∵点A n (n ，a n )(n ∈N )都在函数y=a x (a>0，a ≠1)的图象上，∴a n =a n ，则a 4+a 6=a 4+a 6≥2 a 4·a 6=2a 5，当且仅当a 4=a 6时取等号，∵a>0，a ≠1，∴a 4≠a 6，则a 4+a 6>2a 5.4{a n }的前n 项和为S n ，a 1=-9，a 2+a 3=-12，则使S n 取得最小值时n 的值为 ( )A .2B .4C .5D .7C 【解析】因为a 2+a 3=2a 1+3d=-18+3d=-12，解得d=2，从而有S n =-9n+n (n -1)2×2=n 2-10n=(n-5)2-25，所以当n=5时，S n 最小.5.已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n -1，则满足an n ≤2的正整数n 的集合为 ( ) A .{1，2} B .{1，2，3，4}C .{1，2，3}D .{1，2，4}B 【解析】因为S n =2a n -1，所以当n ≥2时，S n-1=2a n-1-1，两式相减，得a n =2a n -2a n-1，整理得a n =2a n-1，所以{a n }是公比为2的等比数列，又因为a 1=2a 1-1，解得a 1=1，故{a n }的通项公式为a n =2n-1.而an n ≤2，即2n-1≤2n ，所以有n=1，2，3，4.6{a n }满足1+log 3a n =log 3a n+1(n ∈N *)，a 2+a 4+a 6=9，则lo g 13(a 5+a 7+a 9)=( )A .-15B .15C .-5D .5C 【解析】由1+log 3a n =log 3a n+1(n ∈N *)得a n+1=3a n (n ∈N *)，所以数列{a n }为等比数列，且公比为3，因此由a 2+a 4+a 6=9得a 5+a 7+a 9=(a 2+a 4+a 6)×q 3=9×33=35，所以lo g 1(a 5+a 7+a 9)=lo g 135=-5.二、填空题(每小题5分，共15分)7{a n }满足：a 1=a 2=1，a n =1-a 1+a 2+a 3+…+a n -24(n ≥3，n ∈N *)，则a 6= .316 【解析】由题意可得a 3=1-a 14=34，a 4=1-a 1+a 24=1-12=12，则a 6=1-a 1+a 2+a 3+a 44=1-1316=316.8{a n }中，a n >0，前n 项和为S n ，且S n =a n (a n +1)2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为 . a n =n 【解析】由S n =a n (a n +1)2，a n >0，得a 1=a 1(a 1+1)2，解得a 1=1，又S n-1=a n -1(a n -1+1)2(n ≥2)，两式相减得2a n =a n 2−a n -12 + a n -a n-1，化简得a n -a n-1=1(n ≥2)，则数列{a n }是首项和公差都等于1的等差数列，则a n =n.9{a n }满足a 1=1，a n+2=1+1a n(n∈N *)，若a 2014=a 2016，则a 13+a 2016= .55+13 526【解析】由题意可得a 1=1，a 3=2，a 5=32，a 7=53，a 9=85，a 11=138，a 13=2113，且a 2014=a 2016=1+1a 2014，整理得a 20142-a 2014-1=0，a 2014>0，解得a 2014=1+ 52，则a 2016=1+ 52，故a 13+a 2016=2113+1+ 52=55+13 526.[高考冲关] (15分钟 30分)1.(5分)已知数列{a n }满足：a 1=17，对于任意的n ∈N *，a n+1=72a n (1-a n )，则a 1413-a 1314=( )A .-27B .27C .-37D .37D 【解析】a 1=17，a 2=72×17×67=37，a 3=72×37×47=67，a 4=72×67×17=37，….归纳可知当n 为大于1的奇数时，a n =67；当n 为正偶数时，a n =37.故a 1413-a 1314=67−37=37.2.(5分)若数列{a n }的通项公式是a n =(n+2) 78 n，且a n ≤a n 0，n ∈N *恒成立，则n 0= ( )A .5B .6C .5或6D .4或5或6C【解析】因为a n+1-a n=(n+3)78n+1-(n+2)78n=78n·5-n8，所以a1<a2<…<a5=a6>a7>…，则数列{a n}的最大项为a5，a6，即n0=5或6.3. (5分{a n}的各项均为正整数，对于n∈N*有a n+1=3a n+5(a n为奇数)，a n2(a n为偶数，其中k为使a n+1为奇数的正整数)，a1=11，a65=.31【解析】由题设知，a1=11，a2=3×11+5=38，a3=382=19，a4=3×19+5=62，a5=622=31，a6=3×31+5=98，a7=982=49，a8=3×49+5=152，a9=1522=19，…，所以数列{a n}从第3项开始是周期为6的周期数列，所以a65=a3+(6×10+2)=a5=31.4.(5分{a n}的前n项和S n=2a n-2n+1，若不等式2n2-n-3<(5-λ)a n对∀n∈N*恒成立，则整数λ的最大值为.4【解析】当n=1时，a1=S1=2a1-22，解得a1=4，当n≥2时，S n-1=2a n-1-2n，则a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1-2n，得a n=2a n-1+2n，所以a n2n −a n-12n-1=1.又a121=2，所以数列a n2n是以2为首项，1为公差的等差数列，a n2=n+1，即a n=(n+1)·2n.因为a n>0，所以不等式2n2-n-3<(5-λ)a n，等价于5-λ>2n-32.记b n=2n-32，当n≥2时，b n+1b n=2n-12n+12n-3n=2n-14n-6，所以当n≥3时，b n+1b n <1，(b n)max=b3=38，所以5-λ>38，λ<5-38=378，所以整数λ的最大值为4.5.(10分)已知数列{a n}的前n项和S n=n2+1，数列{b n}满足b n=2a n+1，且前n项和为T n，设c n=T2n+1-T n.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)判定数列{c n}的单调性.【解析】(1)a1=2，a n=S n-S n-1=2n-1(n≥2)，则a n=2(n=1)，2n-1(n≥2，n∈N*).又b n=2a n+1，则b n=23(n=1)，1n(n≥2，n∈N*).(2)因为c n=T2n+1-T n=b n+1+b n+2+…+b2n+1=1n+1+1n+2+…+12n+1，所以c n+1-c n=12n+2+12n+3−1n+1=12n+3−12n+2=-1(2n+2)(2n+3)<0，则c n+1<c n，所以数列{c n}为递减数列.专题5 数列的求和与综合应用专题[基础达标](40分钟65分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.数列1，(1+2)，(1+2+22)，…，(1+2+22+…+2n-1)，…的前n项和为()A.2n-1B.n·2n-nC.2n+1-nD.2n+1-n-2D【解析】记a n=1+2+22+…+2n-1=2n-1，∴S n=2·(2n-1)2-1-n=2n+1-2-n.2{a n}的前n项和为S n，a2，a4是方程x2-x-2=0的两个根，S5=()A.52B.5 C.-52D.-5A【解析】解法1：由x2-x-2=0解得a2=-1，a4=2，或a2=2，a4=-1，当a2=-1，a4=2时，d=32，a n=32n-4，所以S5=5×-52+5×42×32=52；当a2=2，a4=-1时，d=-32，a n=-32n+5，所以S5=5×72+5×42×-32=52.解法2：由已知得a2+a4=1，则S5=5(a1+a5)2=5(a2+a4)2=52×1=52.3{a n}的通项公式为a n=2n-2，若b n=log2a n+3，则数列1b n b n+1的前n项和T n为()A.n2(n-2)B.n2(n+2)C.2nn+2D.12(n+2)B【解析】由题可知b n=log2a n+3=log22n-2+3=n+1，1b n b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，则T n=b1+b2+…+b n=12-13+13-14+…+1n+1-1n+2=12−1n+2=n2(n+2).4{a n }和等比数列{b n }中，有a n =n ，b n =2n-1，记c n =a n b n ，则数列{c n }的前n 项和为 ( )A .(n+1)×2n +1B .(n-1)×2n -1C .(n-1)×2n +1D .(n-1)×2n+1+1C 【解析】由c n =a n b n =n ·2n-1，记其前n 项和为T n ，则T n =c 1+c 2+c 3+…+c n =1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1 ①，两边同乘以2，得2T n =1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n ②，①-②得-T n =1+21+22+23+…+2n-1-n×2n ，化简得T n =(n-1)×2n +1.5.现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余的钢管为 ( )A .9根B .10根C .19根D .29根B 【解析】设堆成x 层，得1+2+3+…+x ≤200，即求使得x (x+1)≤400成立的最大正整数x ，应为19.∴剩余的钢管为200-19(19+1)2=10.6S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，给出下列五个命题：①d<0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11；⑤|a 6|>|a 7|.其中正确命题的个数是 ( )A .5B .4C .3D .1C 【解析】由已知得S 6-S 5=a 6>0，S 7-S 6=a 7<0，S 7-S 5=a 6+a 7>0，则d=a 7-a 6<0，S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6>0，S 12=12(a 1+a 12)2=6(a 6+a 7)>0，由a 6>0，a 7<0，a 6+a 7>0，得|a 6|>|a 7|，数列{S n }中的最大项为S 6，故①②⑤正确. 二、填空题(每小题5分，共15分)7{a n }中，a 1=0，a n+2+(-1)n a n =2.记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2016-S 2013= .2016【解析】当n为奇数时，a n+2-a n=2，又a1=0，则数列{a n}的奇数项构成以0为首项，2为公差的等差数列，即a2k-1=2k-2，k∈N*；当n为偶数时，a n+2+a n=2，则S2016-S2013=a2014+a2015+a2016=a2015+2=2014+2=2016.8{a n}中，a1=2，当n≥2时，a n=2a n-1+3·2n-1，数列a n2的前n项和为S n，则不等式S n<20的解集为.{1，2，3，4}【解析】当n≥2时，a n2=a n-12n-1+32，令b n=a n2，则数列{b n}是以b1=1为首项，公差为32的等差数列，S n=n+n(n-1)2×32=3n2+n4，由S n<20得3n2+n-80<0，即(3n+16)(n-5)<0，所以n=1，2，3，4符合条件.9{a n}的首项a1=2，前n项和为S n，且a n+1=2S n+2n+2(n∈N*)，则S n=.3n+1 2-n-32【解析】由a n+1=2S n+2n+2得S n+1=3S n+2n+2，则S n+1+(n+1)+32=3 S n+n+32，且S1+1+32=92，所以数列 S n+n+32是以92为首项，3为公比的等比数列，则S n+n+32=92×3n-1，S n=3n+12-n-32.三、解答题(共20分)10.(10分{a n}中，a1=13，a n+1=a n2-a n，(n∈N*).(1)求证：数列1a n-1是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；(2)设b n=na n1-a n ，求证：∑i=1nb i<2.【解析】由已知得1a n+1=2a n-1，∴1a n+1-1=21a n-1，∴1a n+1-11 n -1=2，∴1a1-1是首项为1a1-1=2，公比为2的等比数列，∴1a n -1=2·2n-1=2n，∴a n=12+1.(2)b n=na n1-a n =n2，∴S n=12+222+…+n2n，∴12S n=122+223+…+n2n+1，两式相减得12S n=12+12+12+…+12−n2=1-n+22，∴S n=2-n+22<2，即∑i=1nb i<2.11.(10分S n为公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S1，S2，S4成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和.【解析】(1)由已知得S22=S1·S4，即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2，可得2a1d=d2，又由a1=1，d≠0得d=2，故a n=2n-1，n∈N*.(2)由已知可得b n=1(2n-1)(2n+1)，T n=11×3+13×5+15×7+…+1(2n-1)(2n+1)=1 21-13+13-15+15-17+…+12n-1−12n+1=12×1-12n+1=n2n+1，n∈N*.[高考冲关](30分钟40分)1.(5分已知点D为△ABC的边BC上一点，BD=3DC，E n(n∈N*)为边AC的一列点，满足E n A=14a n+1E n B-(3a n+2)E n D，其中实数列{a n}中a n>0，a1=1，则{a n}的通项公式为()A.3×2n-1-2B.2n-1C.3n-2D.2×3n-1-1D【解析】由BD=3DC得E n D−E n B=3(E n C−E n D)，则E n C=43E n D−13E n B，设E n A=m E n C，则E n A=43m E n D−13m E n B，则43m=-(3a n+2)，-13m=14a n+1，消去m得。
2018届高考数学(理)热点题型：解析几何(含答案解析)
解析几何热点一 圆锥曲线的标准方程与几何性质圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型.【例1】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1D.x 2－y 23＝1(2)若点M(2，1)，点C 是椭圆x 216＋y 27＝1的右焦点，点A 是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值为________.(3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与抛物线y 2＝2px(p ＞0)有相同的焦点F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点，若直线PQ 经过焦点F ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为________.答案 (1)D (2)8－26 (3)2－1解析 (1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点为F(2，0)，则a 2＋b 2＝4，①双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，由题意得2ba 2＋b2＝3，② 联立①②解得b ＝3，a ＝1， 所求双曲线的方程为x 2－y23＝1，选D.(2)设点B 为椭圆的左焦点，点M(2，1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，而a ＝4，|BM|＝（2＋3）2＋1＝26，所以(|AM|＋|AC|)最小＝8－26.(3)因为抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设椭圆另一焦点为E.如图所示，将x ＝p 2代入抛物线方程得y ＝±p，又因为PQ 经过焦点F ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p 且PF⊥OF.所以|PE|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋p 2＝2p ， |PF|＝p ，|EF|＝p. 故2a ＝2p ＋p ，2c ＝p ，e ＝2c2a＝2－1.【类题通法】(1)在椭圆和双曲线中，椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦点的距离联系在一起，可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，也可以结合三角形的知识，求出曲线上的点到两个焦点的距离.在抛物线中，利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题. (2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各个系数之间的关系，或者求出圆锥曲线方程中的各个系数，再根据圆锥曲线的几何性质通过代数方法进行计算得出结果.【对点训练】已知椭圆x 24＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A ，B 两点，以下结论：①△ABF 2的周长为8；②原点到l 的距离为1；③|AB|＝83.其中正确结论的个数为( ) A.3 B.2C.1D.0答案 A解析 ①由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝4，|BF 1|＋|BF 2|＝4，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB|，所以△ABF 2的周长为|AB|＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，故①正确；②由条件，得F 1(－2，0)，因为过F 1且倾斜角为45°的直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋2，则原点到l 的距离d ＝|2|2＝1，故②正确；③设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 24＋y 22＝1，得3x 2＋42x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－423，所以|AB|＝1＋1·|x 1－x 2|＝83，故③正确.故选A. 热点二 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.【例2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，2)在C 上.(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. (1)解 由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0，b ≠0)， A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x M ，y M ). 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【类题通法】解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值. 第二步：探究一般情况.探究一般情形下的目标结论. 第三步：下结论，综合上面两种情况定结论.【对点训练】已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点.(1)解 因为抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x.(2)证明 ①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，－t .因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以t t 24·－t t 24＝－12，化简得t 2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，联立得⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0. 根据根与系数的关系得y A y B ＝4b k ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B x B ＝－12，即x A x B ＋2y A y B ＝0.即y 2A 4·y 2B4＋2y A y B ＝0，解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32.所以y A y B ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ， 即y ＝k(x －8).综上所述，直线AB 过定点(8，0). 热点三 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.【例3】平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D.直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M. ①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标.(1)解 由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2，因为抛物线E 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)①证明 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22(m>0)，由x 2＝2y ，可得y′＝x ，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m(x －m).即y ＝mx －m 22.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 0，y 0).联立方程⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0，得0<m<2＋5(或0<m 2<2＋5).(*)且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22（4m 2＋1），因为y 0x 0＝－14m. 所以直线OD 方程为y ＝－14mx ，联立方程⎩⎨⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上.②由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22，令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ⎝⎛⎭⎪⎫0，－m 22，又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2＋1，－m 22（4m 2＋1）， 所以S 1＝12·|GF|·m ＝（m 2＋1）m4，S 2＝12·|PM|·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m （2m 2＋1）28（4m 2＋1）.所以S 1S 2＝2（4m 2＋1）（m 2＋1）（2m 2＋1）2.设t ＝2m 2＋1，则S 1S 2＝（2t －1）（t ＋1）t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t ＋2，当1t ＝12， 即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94，此时m ＝22，满足(*)式，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.【类题通法】圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法、或利用判别式构造不等关系、利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方法求最值、范围；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值. 【对点训练】如图，设抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|－1. (1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围.解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离， 由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F(1，0)， 可设A(t 2，2t)，t ≠0，t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s≠0)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0.故y 1y 2＝－4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又直线AB 的斜率为2tt 2－1， 故直线FN 的斜率为－t 2－12t，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t.所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M(m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m ＝2t ＋2t t 2－t 2＋3t 2－1， 于是m ＝2t 2t 2－1，所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞). 热点四 圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立.涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题.【例4】已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M.(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由. (1)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0，b ≠0)， A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x M ，y M ).将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kbk 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k ，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)解 四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0，k ≠3.由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x.设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎨⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m2得x 2P＝k 2m 29k 2＋81，即x P＝±km 3k 2＋9.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入l 的方程得b ＝m （3－k ）3，因此x M ＝k （k －3）m 3（k 2＋9）.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M .于是±km 3k 2＋9＝2×k （k －3）m 3（k 2＋9）， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i ＞0，k i ≠3，i ＝1，2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形.【类题通法】(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法. 【对点训练】在平面直角坐标系xOy 中，过点C(2，0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). (1)求证：y 1y 2为定值；(2)是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由. (1)证明 法一 当直线AB 垂直于x 轴时， y 1＝22，y 2＝－2 2. 因此y 1y 2＝－8(定值). 当直线AB 不垂直于x 轴时， 设直线AB 的方程为y ＝k(x －2)， 由⎩⎨⎧y ＝k （x －2），y 2＝4x ，得ky 2－4y －8k ＝0. ∴y 1y 2＝－8.因此有y 1y 2＝－8为定值.法二 设直线AB 的方程为my ＝x －2， 由⎩⎨⎧my ＝x －2，y 2＝4x ，得y 2－4my －8＝0. ∴y 1y 2＝－8.因此有y 1y 2＝－8为定值. (2)解 设存在直线l ：x ＝a 满足条件， 则AC 的中点E ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋22，y 12，|AC|＝（x 1－2）2＋y 21. 因此以AC 为直径的圆的半径r ＝12|AC|＝12（x 1－2）2＋y 21＝12x 21＋4， 又点E 到直线x ＝a 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋22－a 故所截弦长为 2r 2－d 2＝214（x 21＋4）－⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋22－a 2 ＝x 21＋4－（x 1＋2－2a ）2＝－4（1－a ）x 1＋8a －4a 2.当1－a ＝0，即a ＝1时，弦长为定值2，这时直线方程为x ＝1.。
2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)含解析
2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)含解析2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）含解析第一部分：选择题（共25小题，每题4分，满分100分）1. 单选题解析：本题为单选题。
根据题意，我们可以得出答案为...2. 单选题解析：本题为单选题。
根据题意，我们可以得出答案为.........第二部分：填空题（共5小题，每题6分，满分30分）1. 填空题解析：本题为填空题。
根据题意，我们可以得出答案为...2. 填空题解析：本题为填空题。
根据题意，我们可以得出答案为.........第三部分：解答题（共3小题，每题20分，满分60分）1. 解答题解析：本题为解答题。
根据题意，我们可以得出解答如下：解：......2. 解答题解析：本题为解答题。
根据题意，我们可以得出解答如下：解：............第四部分：压轴大题（共1题，满分40分）大题1：xxx解析：本题为压轴大题。
根据题意，我们可以得出答案为... ......综合得分：选择题得分：填空题得分：解答题得分：压轴大题得分：解析：根据每部分的得分点，我们将考生的得分情况进行了统计。
选择题的得分为...，填空题的得分为...，解答题的得分为...，压轴大题的得分为...。
综合得分为...总结：通过本次模拟考试，我们可以看出考生在某些知识点上仍存在不足。
对于选择题，考生需注意细节的把握；对于填空题，考生需加强计算和推理能力；对于解答题，考生需提高解题思路和表达能力；对于压轴大题，考生需综合运用所学知识进行分析和解答。
希望考生们能在接下来的学习中加以改进，取得更好的成绩。
以上为2018年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）的解析。
祝各位考生取得好成绩！。
高考数学二轮复习专题五解析几何高频考点
专题五分析几何高频考点·真题回访1. (2018 ·全国卷Ⅲ ) 直线 x+y+2=0 分别与 x 轴,y 轴交于 A,B 两点 , 点 P在圆+y2=2上, 则△ ABP面积的取值范围是()A. B.C. D.【解题指南】此题以直线与圆作为问题背景, 考察圆的方程、点到直线的距离以及三角形的面积的求解 , 考察逻辑推理能力、运算求解能力 , 表现了逻辑推理和数学运算的中心修养 . 试题难度 : 中.【分析】选 A. 由 A(-2,0),B(0,-2),则三角形ABP 的底边 |AB|=2, 圆心 (2,0)到直线x+y+2=0 的距离为 d==2, 又由于半径为r=, 所以点 P 到直线x+y+2=0 的距离的最大值为 2+=3,最小值为 2-=, 则三角形 ABP的面积的最大值为S max=×2×3=6, 最小值为S min =×2×=2, 故△ ABP面积的取值范围为 [2,6].2.(2018 ·全国卷Ⅲ ) 设F1,F 2是双曲线C:-=1(a>0,b>0) 的左 , 右焦点 ,O 是坐标原点 .过 F2作 C 的一条渐近线的垂线, 垂足为 P. 若=, 则 C 的离心率为()A. B.2 C. D.【解题指南】此题以双曲线作为问题背景, 考察直线的交点, 双曲线的几何性质及离心率的求解 , 考察逻辑推理能力、运算求解能力, 表现了逻辑推理和数学运算的中心修养. 试题难度 :中.【分析】选 C. 方法一 : 设渐近线的方程为b x-ay=0, 则直线PF2的方程为ax+by-ac=0,由可得 P, 由 F1(-c,0)及|PF1|=|OP|,得=×, 化简可得3a2=c2, 即 e=.方法二 : 由于 |PF 2|=b,|OF 2|=c,所以 |PO|=a, 在 Rt △POF2中 , 设∠ PF2O=θ ,则有 cos θ ==;由于在△ PF1F2中,cosθ ==,所以2222222222. = ? b +4c -6a=4b ? 4c-6a =3c -3a? c =3a ? e=3.(2018 ·全国卷Ⅱ ) 双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为, 则其渐近线方程为()A.y= ±xB.y= ±xC.y=±xD.y=±x【解题指南】此题考察双曲线的简单几何性质.【分析】选 A. 由于 e= =, 所以==3, 即=2, =±, 所以渐近线方程为 y=±x.4.(2017·全国卷Ⅰ ) 设 A,B 是椭圆C: +=1 长轴的两个端点 , 若 C 上存在点M知足∠AMB=120°, 则 m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,] ∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,] ∪[4,+∞)【分析】选 A. 当 0<m<3时 , 焦点在 x 轴上 , 要使 C 上存在点M知足∠ AMB=120°, 则≥ tan60°=, 即≥, 得 0<m≤1; 当 m>3 时 , 焦点在 y 轴上 , 要使 C 上存在点M 知足∠AMB=120°, 则≥ tan 60°=, 即≥, 得 m≥ 9, 故 m的取值范围为 (0,1]∪[9,+∞),应选 A.5.(2018 ·全国卷Ⅱ ) 已知F1,F 2是椭圆 C:+=1(a>b>0) 的左 , 右焦点 ,A 是 C 的左极点 , 点 P在过 A 且斜率为的直线上,△ PF1F2为等腰三角形, ∠ F1F2P=120°, 则 C的离心率为()A. B. C. D.【解题指南】此题考察了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用以及数学运算能力.【分析】选 D. 由题意直线AP的方程为y=(x+a), △ PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120° , 所以 PF2=2c, ∠ PF2x=60° , 故 P(2c,c), 代入 y=(x+a) 得 , (2c+a) =c, 解得 e= =.6.(2018 ·全国卷Ⅰ ) 已知椭圆C:+=1 的一个焦点为, 则 C 的离心率为()A. B. C. D.【分析】选 C. 由于椭圆的一个焦点为(2,0),则c=2,所以 a2=b2+c2=8,a=2, 所以离心率e=.7.(2018 ·全国卷Ⅰ ) 已知双曲线C:-y 2=1,O 为坐标原点 ,F 为 C的右焦点 , 过 F 的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N. 若△ OMN为直角三角形,则= () A. B.3 C.2 D.4【分析】选 B. 渐近线方程为 :2即 y=±x, -y =0,所以∠ MON= .由于△ OMN为直角三角形 , 假定∠ ONM= , 如图 ,所以 k MN=, 直线 MN方程为 y=(x-2).联立所以 N,即 ON=,由于∠MON=,所以 |MN|=3.8.(2018 ·全国卷Ⅰ ) 设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F, 过点且斜率为的直线与C 交于 M,N两点,则·= ()A.5B.6C.7D.8【解题指南】在求解的过程中 , 第一需要依据题意确立直线的方程 , 以后需要联立方程组 , 消元化简求解 , 进而确立出 M(1,2),N(4,4), 以后借助于抛物线的方程求得 F(1,0), 最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标 , 以后应用向量数目积坐标公式求得结果 , 也能够不求点M,N的坐标 , 应用根与系数的关系获得结果 .【分析】 选 D. 由题意知直线 MN 的方程为 y= (x+2),F(1,0).设 M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 与 抛 物 线 方 程 联 立 有可 得 或所以=(0,2), =(3,4),所以·=0× 3+2× 4=8.9.(2018 ·全国卷Ⅲ ) 已知点 M和抛物线 C:y 2=4x, 过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B 两点 . 若∠ AMB=90°, 则 k=____________. 【解题指南】 此题以直线与抛物线作为问题背景 , 考察直线与抛物线的地点关系, 抛物线的几何性质 , 考察逻辑推理能力、运算求解能力, 表现了逻辑推理和数学运算等中心修养. 试题难度: 难.【分析】由抛物线的方程 y 2=4x 可知其焦点 F 的坐标为 (1,0), 所以直线 AB 的方程为 y=k(x-1),由得 k 2x 2-2(k 2+2)x+k 2=0,设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),所以 x +x =,x 1x =1,122因为∠AMB=90°,所以·=(x +1,y -1) · (x 2+1,y -1)=(x +1)(x 2+1)+(y-1)(y -1)=(x +1)(x +1)+11211212[k(x -1)-1] ·[k(x-1)-1]12=(1-k-k222)(x1 +x )+(1+k )x x +k +2k+221 2=(1-k-k 2)+(1+k 2)+k 2+2k+2=0,整理可解 得 k=2.答案:210.(2018 · 全 国 卷 Ⅰ) 直 线 y=x+1与 圆 x 2+y 2+2y-3=0 交 于 A,B 两 点 , 则=____________.【分析】由 x2+y2+2y-3=0, 得圆心为 (0,-1),半径为2,所以圆心到直线的距离d==.所以 |AB|=2=2.答案:211.(2018 ·全国卷Ⅱ ) 设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F, 过 F 且斜率为k(k>0) 的直线l与 C 交于A,B 两点 ,|AB|=8.(1) 求l的方程 .(2) 求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程.【解题指南】此题考察抛物线、圆的方程、直线与圆锥曲线的地点关系, 侧重考察学生的逻辑推理和数学运算的综合能力.【分析】 (1) 由题意得 F(1,0),l 的方程为y=k(x-1)(k>0).设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.212.=16k +16>0,故 x +x =所以 |AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x +1)=.2由题设知=8, 解得 k=-1( 舍去 ),k=1.所以 l 的方程为y=x-1.(2) 由 (1) 得 AB 的中点坐标为 (3,2),所以 AB的垂直均分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则解得或所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.12.(2018 ·全国卷Ⅰ ) 设抛物线C:y 2=2x, 点 A,B, 过点 A 的直线l与 C交于 M,N 两点 .(1)当 l 与x轴垂直时,求直线BM的方程.(2)证明 : ∠ABM=∠ ABN.【分析】 (1) 当l与 x 轴垂直时 , l的方程为x=2, 可得 M的坐标为 (2,2) 或 (2,-2).所以直线BM的方程为 y= x+1 或 y=-x-1.(2)当 l 与x轴垂直时,AB为MN的垂直均分线,所以∠ ABM=∠ ABN.当 l 与x轴不垂直时,设 l 的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y ),N(x2,y ), 则 x >0,x>0.1212由得 ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y 1y2=-4.直线 BM,BN的斜率之和为k BM+k BN=+=. ①将 x1=+2,x 2=+2 及 y1+y2,y 1y2的表达式代入①式分子, 可得x y +x y +2(y+y )===0.211212所以 k+k =0, 可知 BM,BN的倾斜角互补 ,BM BN所以∠ ABM=∠ ABN.综上 , ∠ ABM=∠ ABN.13.(2018 ·全国卷Ⅰ ) 设椭圆C:+y2 =1 的右焦点为F, 过 F 的直线l与 C 交于 A,B 两点 , 点M的坐标为.(1)当 l 与x轴垂直时,求直线AM的方程.(2)设 O为坐标原点 , 证明 : ∠OMA=∠ OMB.【分析】 (1) 由已知得 F(1,0),l 的方程为x=1.代入+y2=1 可得 ,点 A的坐标为或.所以直线 AM的方程为 y=-x+或y=x-. (2) 当l与 x 轴重合时 , ∠ OMA=∠ OMB=0° .当 l 与x轴垂直时,OM为线段AB的垂直均分线,所以∠ OMA=∠ OMB.当 l 与x轴不重合也不垂直时, 设l的方程为 y=k(x-1)(k ≠ 0),A(x1,y),B(x,y), 122则 x1<,x 2<, 直线 MA,MB的斜率之和为k MA+k MB=+.由 y1=kx1-k,y 2=kx2-k 得k MA+k MB=.将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k 2+1)x 2-4k 2x+2k2-2=0.所以,x 1+x2=,x 1x2=.则 2kx 1x2-3k(x 1+x2)+4k==0.进而 k MA+k MB=0, 故 MA,MB的倾斜角互补,所以∠ OMA=∠ OMB.综上 , ∠ OMA=∠ OMB.14.(2018 ·全国卷Ⅲ ) 已知斜率为k 的直线l与椭圆 C:+=1 交于 A,B 两点 . 线段 AB 的中点为M.(1)证明 :k<- .(2)设 F为 C的右焦点 ,P 为 C上一点 ,且++=0.证明:,,成等差数列 , 并求该数列的公差.【解题指南】此题考察直线与椭圆的地点关系以及椭圆的几何性质, 考察推理论证能力、运算求解能力 , 表现了逻辑推理和数学运算的中心修养. 试题难度 : 难 .【分析】 (1) 设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则+=1,+=1.两式相减 , 并由=k 得+· k=0.由题设知=1,=m,于是 k=-. ①由题设得0<m< , 故 k<-.(2) 由题意得F(1,0),设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1) 及题设得 x3=3-(x 1+x2)=1,y 3=-(y 1+y2)=-2m<0.又点 P 在 C上 , 所以 m= ,进而P,||=.于是||===2-.同理 ||=2-.所以 ||+||=4- (x 1+x2)=3.故 2||=||+||, 即 ||,||,|| 成等差数列 .设该数列的公差为d, 则 2|d|=|||-|||= |x 1-x 2|=. ②将 m= 代入①得 k=-1.所以 l 的方程为y=-x+, 代入 C的方程 , 并整理得7x 2-14x+=0.故 x1+x2=2,x 1x2=, 代入②解得 |d|=.所以该数列的公差为或 -.。
高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线课时规范练理(2021学年)
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第2讲椭圆、双曲线、抛物线一、选择题1.（20１6·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C:y2=4x的焦点，曲线y=错误!(k＞0）与Ｃ交于点Ｐ,PF ⊥ｘ轴，则k＝( ）A。
＼f(1，2） B. 1C．错误! D.2解析：因为抛物线方程是ｙ2=４ｘ，所以F(1，０).又因为PＦ⊥x轴,所以Ｐ(1, 2)，把P点坐标代入曲线方程y＝错误!(ｋ＞0),即错误!＝２，所以ｋ=2.答案:D2．(2０17·全国卷Ⅱ)若双曲线Ｃ:ｘ2a2-错误!=１(a＞０,ｂ＞０)的一条渐近线被圆（x－2）2+y2＝４所截得的弦长为2，则C的离心率为（ )A．2 Ｂ。
错误!C. 2 D。
错误!解析:取渐近线ｙ＝错误!ｘ,化成一般式bｘ－ay=0，圆心(2，0）到直线的距离为错误!＝|2ｂ|＼ｒ（ａ2+ｂ2)，又由ｃ2=a２+b２得c２＝4ａ2,e2=４,e＝2.答案:A３.(2０１7·河北衡水六调)已知A(－1,0)，B是圆F:x2-２x+ｙ２－1１＝0(F为圆心）上一动点,线段AＢ的垂直平分线交BF于P,则动点Ｐ的轨迹方程为( )A．错误!＋错误!=１B。
错误!－错误!＝1Ｃ。
2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题五 高考解答题专讲(五) 圆锥曲线的综合应用
专题五解析几何高考解答题专讲(五)圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线中的范围、最值问题解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解．(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．[思维流程]定义法(1)EB∥AC―→|EB|＝|ED|―→|EA|＋|EB|＝4――→点E的轨迹方程(2)设直线l 方程并联立―→根与系数的关系―→求|MN |―→求|PQ |―→面积S 用k 表示―→利用函数知识求范围[解] (1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC .所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．解圆锥曲线范围、最值问题的要点求解范围或最值问题的关键是建立关于求解某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．[对点训练]1．(2017·安徽皖西南十校期末联考)已知右焦点为F 2(c,0)的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0作直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中点为M ，点A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围．[解] (1)∵椭圆C 过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，∴1a 2＋94b 2＝1，① ∵椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点，∴a ＝2c ， ∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝34a 2，②由①②得a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)依题意，直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且斜率不为零，故可设其方程为x ＝my ＋12.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12，x 24＋y 23＝12消去x ，并整理得4(3m 2＋4)y 2＋12my－45＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0) ∴y 1＋y 2＝－3m3m 2＋4， ∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m2(3m 2＋4)，∴x 0＝my 0＋12＝23m 2＋4，∴k ＝y 0x 0－2＝m4m 2＋4. ①当m ＝0时，k ＝0 ②当m ≠0时，k ＝14m ＋4m ， ∵4m ＋4m ≥8，∴0<14m ＋4m ≤18.∴0<k ≤18， ∴－18≤k ≤18且k ≠0. 综合①、②可知，直线MA 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，18.二、圆锥曲线中的定点、定值问题 1．定点问题的求解策略解决动直线恒过定点问题的一般思路是设出直线y ＝kx ＋m (k 存在的情形)．然后利用条件建立k 与m 的关系．借助于点斜式方程思想确定定点坐标．2．定值问题的求解策略定值的证明与探索一般是先利用特殊情形确定定值，再给出一般化的证明或直接推证得出与参数无关的数值．在这类试题中选择消元的方法是非常关键的．[思维流程] (1)P 3、P 4关于y 轴对称――→椭圆的性质P 3、P 4∈C――→点与椭圆位置关系P 2∈C ――→待定系数法求C 方程(2)设直线l ：y ＝kx ＋m并与C 方程联立――→根与系数的关系Δ、x 1＋x 2、x 1·x 2―→k 1＋k 2＝－1―→k 、m 的等量关系式―→直线l 方程[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22. 则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2， 不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得 (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2， 由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)·(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ， 即y ＋1＝－m ＋12(x －2)， 所以l 过定点(2，－1)．解答圆锥曲线的定值、定点问题应把握3点(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关； (2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值； (3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标．[对点训练]2．(2016·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A (a,0)，B (0，b )，O (0,0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，12ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由(1)知，A (2,0)，B (0,1)．设P (x 0，y 0)，则x 20＋4y 20＝4.当x 0≠0时，直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.所以|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4. 综上，|AN |·|BM |为定值． 三、圆锥曲线中的探索性问题处理探索性问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出相符的结论，则存在性随之解决；若导出矛盾，则否定了存在性．若证明某结论不存在，也可采用反证法．[思维流程]由椭圆对称性猜定直线x ＝x 0―→联立l 、C 方程，得根与系数的关系―→求出直线A 1M 、A 2N 方程 ―→将x G ＝x 0代入方程―→证得结论[解] (1)设点A 1(－a,0)，F 2(c,0)，由题意可知c ＝－a ＋42，即a ＝4－2c .①又椭圆的离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c ，②联立方程①②可得，a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)解法一：根据椭圆的对称性猜测点G 在与y 轴平行的直线x ＝x 0上．假设当点M 为椭圆的上顶点时，直线l 的方程为3x ＋4y －43＝0，此时点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335， 则联立直线lA 1M ：3x －2y ＋23＝0和直线lA 2N ：33x ＋2y －63＝0，可得点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，332. 据此猜想点G 在直线x ＝1上，下面对猜想给予证明． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，联立方程得⎩⎨⎧y ＝k (x －4)x 24＋y 23＝1，可得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，Δ>0.可得x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2，(*)直线lA 1M ：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，lA 2N ：y ＝y 2x 2－2(x －2)，联立两直线的方程得y 1x 1＋2(x ＋2)＝y 2x 2－2(x －2)(其中x 为G 点的横坐标)，即证3y 1x 1＋2＝－y 2x 2－2，即3k (x 1－4)·(x 2－2)＝－k (x 2－4)·(x 1＋2)，即证4x 1x 2－10(x 1＋x 2)＋16＝0，将(*)代入上式可得4×(64k 2－12)3＋4k 2－10×32k 23＋4k 2＋16＝0，即16k 2－3－20k 2＋3＋4k 2＝0，此式明显成立，原命题得证，所以点G 在定直线x ＝1上． 解法二：显然l 与x 轴不垂直，设l 的方程为y ＝k (x －4)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，Δ>0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，G (x 3，y 3)，x 1，x 2，x 3两两不相等， 则x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2，|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝121－4k 23＋4k 2，由A 1，M ，G 三点共线，得y 3x 3＋2＝y 1x 1＋2，①由A 2，N ，G 三点共线，得y 3x 3－2＝y 2x 2－2，②①与②两式相除得x 3＋2x 3－2＝y 2(x 1＋2)y 1(x 2－2)＝k (x 2－4)(x 1＋2)k (x 1－4)(x 2－2) ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋3(x 2－x 1)－8x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋(x 1－x 2)＋8＝－3， 解得x 3＝1，所以点G 在定直线x ＝1上．存在性问题的解题步骤[对点训练]3．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．[解] (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或 M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a .当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．热点课题20 圆锥曲线综合问题的求解策略[感悟体验](2017·沈阳市高三一测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－6，0)，e ＝22.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，设R (x 0，y 0)是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．[解] (1)由题意得，c ＝6，e ＝22，解得a ＝23， ∴椭圆C 的方程为x 212＋y 26＝1.(2)由已知，直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x ，且与圆R 相切， ∴|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2，化简得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－4＝0， 同理，可得(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－4＝0，∴k 1，k 2是方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0的两个不相等的实数根，∴x 20－4≠0，Δ>0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4.∵点R (x 0，y 0)在椭圆C 上，∴x 2012＋y 206＝1，即y 20＝6－12x 20，∴k 1k 2＝2－12x 20x 20－4＝－12. (3)|OP |2＋|OQ |2是定值18.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立得⎩⎨⎧y ＝k 1x ，x 212＋y 26＝1，解得⎩⎨⎧x 21＝121＋2k 21，y 21＝12k211＋2k 21，∴x 21＋y 21＝12(1＋k 21)1＋2k 21，同理，可得x 22＋y 22＝12(1＋k 22)1＋2k 22. 由k 1k 2＝－12，得|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝12(1＋k 21)1＋2k 21＋12(1＋k 22)1＋2k 22＝12(1＋k 21)1＋2k 21＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 121＋2⎝⎛⎭⎪⎫－12k 12＝18＋36k 211＋2k 21＝18. 综上：|OP |2＋|OQ |2＝18.。
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2019年5月18日
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3．(2017·南昌调研)已知 F1，F2 是双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的两个焦点，P 是 C 上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2 最小内角的大小为 30°，则双曲线 C 的渐近线方程是( )
得 a2＝6，b2＝4.
∴所求椭圆的方程为x62＋y42＝1.
[答案] D
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2．(2017·惠阳二模)已知 F1，F2 为双曲线 C：1x62 －y92＝1 的左、
右焦点，点 P 在双曲线 C 上，且|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1F2P＝
24
【特别提醒】 抛物线定义的实质是抛物线上的点到焦点的 距离与到准线的距离的转化．
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考点二 圆锥曲线的几何性质 1．在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为 e＝ac＝
1－ba2.
2．在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为 e＝ac＝ 1＋ba2. 3．双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±bax.
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高考真题体验
细研真题 探明考向
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1．(2017·浙江卷)椭圆x92＋y42＝1 的离心率是(
)
13 5 2 5 A. 3 B. 3 C.3 D.9
[解析] 由题意得，a＝3，b＝2，
＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若在双曲线上存在点 P 满足 2|P→F1＋
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[对点训练] 1．(2017·惠州二模)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的一个焦点是
( 2，0)，且截直线 x＝ 2所得弦长为43 6，则该椭圆的方程为( )
A.1x22 ＋y82＝1
B.x82＋1y22 ＝1
C.x42＋y62＝1
13
[解析] 如图所示，设 N(0，m)． 又 F(2,0)，则 M1，m2 .设 M 代入 y2＝8x，得m42＝8，解得 m ＝±4 2. ∴|FN|＝ 2－02＋0－m2＝ 36＝6.
[答案] 6
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核心考点突破
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[对点训练] 1．(2017·惠州市高三三调)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点， 且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|为 C 的实 轴长的 2 倍，则 C 的离心率为( ) A. 3 B. 2 C．2 D．3
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[解析] 设双曲线 C 的标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，由 于直线 l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线 l 的方程为 x ＝c 或 x＝－c，代入ax22－by22＝1 中得
y2＝b2ac22－1＝ba42，∴y＝±ba2，故|AB|＝2ab2，依题意 2ab2＝4a，∴ab22＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝ 3，选 A.
6 3.
[答案] A
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5．(2017·全国卷Ⅱ)已知 F 是抛物线 C：y2＝8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN| ＝________.
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[答案] C
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4．(2017·武汉市武昌区高三二调)已知抛物线 Γ：y2＝8x 的焦 点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 P 在 Γ 上且|PK|＝ 2|PF|，则 △PKF 的面积为________．
[解析] 由已知得，F(2,0)，K(－2,0)，过 P 作 PM 垂直于准 线，则|PM|＝|PF|，又|PK|＝ 2|PF|，∴|PM|＝|MK|＝|PF|，∴PF ⊥x 轴，△PFK 的高等于|PF|，不妨设 P(m2,2 2m)(m>0)，则 m2 ＋2＝4，解得 m＝ 2，故△PKF 的面积 S＝4×2 2× 2×12＝8.
D．4－2 3
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[解析] 设椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原点， 由题意可得|OF2|＝|OA|＝|OB|＝|OF1|＝c.由 y＝－ 3x 得∠AOF2＝ 23π，∠AOF1＝3π，∴|AF2|＝ 3c，|AF1|＝c.由椭圆的定义知，|AF1| ＋|AF2|＝2a，
[答案] B
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3．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点．已知|AB|＝4 2，|DE|＝2 5， 则 C 的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4 C．6 D．8 [解析] 不妨设 C：y2＝2px(p>0)，A(x1,2 2)，则 x1＝22p22＝ 4p，由题意可知|OA|＝|OD|，得4p2＋8＝p22＋5，解得 p＝4.故选 B.
A. 2x±y＝0
B．x± 2y＝0
C．x±2y＝0
D．2x±y＝0
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[解析] 由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据双曲线的定义得， |PF1|－|PF2|＝2a， 又|PF1|＋|PF2|＝6a， 解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. 在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c，而 c>a， 所以|PF2|<|F1F2|， 所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2 －2×2c×4acos30°，
D.x62＋y42＝1
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[解析] 由已知得 c＝ 2，直线 x＝ 2过椭圆的右焦点，且垂
x＝c， 直于 x 轴，由ax22＋by22＝1
可得 y＝±ba2，∴截直线 x＝ 2所得弦
长为2ab2，由a2a2b－2＝b432＝62，
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[解析] 以线段 A1A2 为直径的圆的方程为 x2＋y2＝a2，该圆
与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，
∴|b×0b－2＋a×－0＋a22ab|＝a，即 2b＝ a2＋b2，
∴a2＝3b2，∵a2＝b2＋c2，∴ac22＝23，∴e＝ac＝
()
4 A.5
3 B.5
55 C.64
D．－2430
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[解析] 由题意可知，a＝4，b＝3，∴c＝5，设|PF1|＝2x，|PF2| ＝x，则|PF1|－|PF2|＝x＝2a＝8，故|PF1|＝16，|PF2|＝8，又|F1F2| ＝10，利用余弦定理可得 cos∠F1F2P＝|PF2|22＋|P|FF21|F·|F2|21－F2||PF1|2＝ －2430.
∴c＝ a2－b2＝ 5，
∴离心率 e＝ac＝ 35，故选 B.
[答案] B
2019年5月18日
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2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一
条渐近线方程为 y＝ 25x，且与椭圆1x22 ＋y32＝1 有公共焦点，则 C
1. 解法二：∵椭圆1x22 ＋y32＝1 的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆1x22
＋y32＝1 有公共焦点，∴a2＋b2＝(±3)2＝9①，
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∵双曲线的一条渐近线为 y＝ 25x，∴ba＝ 25②， 联立①②可解得 a2＝4，b2＝5.∴双曲线 C 的方程为x42－y52＝ 1.
[答案] A
2019年5月18日
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2．(2017·临汾二模)若直线 y＝－ 3x 与椭圆 C：ax22＋by22＝
1(a>b>0)交于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆恰好经过椭圆的
右焦点，则椭圆 C 的离心率为( )
3 A. 2
3－1 B. 2
C. 3－1
模
块 专题整合与考点突破篇
二
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1
专
题
解析几何
五
2019年5月18日
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2
第二讲
圆锥曲线的方程与性质
2019年5月18日
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3
高考导航 以某一圆锥曲线或两种曲线组合为载体，考查的角度有定 义、方程和性质，尤其是离心率、焦点三角形和焦点弦问题是考 查的重点.