计算行列式常用的7种方法
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行列式的计算方法
介绍7种常用方法
1 三角化方法:通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式.
例1 计算n+1阶行列式
x
a a a a a x a a a a x D n
n
n
32121
211=
+
2 把某一行(列)尽可能化为零 例2 计算:
y
y x x D -+-+=
22
2
2
2222222222224
3 递归法(数学归纳法):设法找出D n 和低级行列式间的关系,然后进行递归.
例4 证明:
β
αβα
β
αβ
ααββααββα--=
++++=++1
1
10
0000
1000
1000n n n D
例5 证明范德蒙行列式(n ≥2)
∏≤<≤-----==n
j i j
i
n n
n n n n n
n x x x x x x x x x x x x x x V 11
13
12
1
1
2
23222
1
321)
(1111
4 加边法:对行列式D n 添上一适当行和列,构成行列式D n+1,且D n+1=D n 例6 证明:
)
1
1(111
1111
1111111111
1111213
21∑=+=++++=n
i i
n n
n a a a a a a a a D
5 拆分法:将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行(或列)元素均为两项和,则可拆分为两个行列式之和 例7 设abcd=1,求证:
01
111111111112
22222
22
=+
++
+d
d
d d c c c c b b b b
a a a a
6 利用行列式的乘积:为求一个行列式D 的值,有时可再乘上一个适当的行列式∆;或把D 拆分为两个行列式的积. 例8(1)
1
)
cos()cos()cos()cos(1
)cos()cos()cos()cos(1)cos()
cos()
cos()cos(1
121332312322113121
n n n n n n D αααααααααααααααααααααααα------------=
(2)设S k =λ1k +λ2k +⋯+λn k (k=1,2…),求证:
∏≤<≤-+-+--=
n
j i j i
n n n
n n n
n s s s s s s s s s s s s s s s n 12
2
21114323211
21)
(λλ
7 利用拉普拉斯定理求行列式的值.
拉普拉斯定理是行列式按某一行(或列)展开定理的推广.
定义(1) 在n 阶行列式D 中,任取k 行k 列 (1≤k ≤n),位于这k 行k 列交叉处的k 2个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式S ,称为D 的一个k 阶子式.如:
D=
3
7
5
1
48521074
4621
则D 的一个2阶子式为:S=826
1 在一个n 阶行列式中,任取k 行,由此产生
的k 阶子式有C k
n 个.
(2) 设S 为D 的一个k 阶子式,划去S 所在的k 行k 列,余下的元素按原来的相对位置组成的n-k 阶行列式M 称为S 的余子式.又设S 的各行位于D 中的第i 1,i 2…i k 行,S 的各列位于D 中的第j 1,j 2…j k 列,称
A=(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)M.
如:
3
7
5
1
485210744621
则D 的一个2阶子式为:S=826
1
M=351
7为S 的2阶子式 M=(-1)
(1+3)+(1+3)
35
1
7为S 的代数余子式.
拉普拉斯定理:若在行列式D 中任取k 行 (1≤k ≤n-1),则由这k 行所对应的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积等于D. 例9 计算
2
1
1210001210
0012100012=D 例10 块三角行列式的计算 设:
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A *0或 ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=⨯⨯n n m m C B A 0* 则:detA=(detB)(detC).特别地:若
A=diag(A 1,A 2,…,A t ),则
DetA=(detA 1)(detA 2)…(detA t ).
例11 设分块矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=D C B A 0,其中0为零
阵,B和D可逆,求A
-1
.
例12 计算
n
n b b b a a a D 1
00
10
00102121 =
例13 设:
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=C B A , BC T =0.
证明:|AA T |=|BB T ||CC T |.
(注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!)。