第三届全国大学数学竞赛初赛(非数学专业)真题及参考解析

第三届全国大学数学竞赛初赛（非数学专业）试卷
一、计算下列各题（本题共4个小题，每题6分，共24分）
1. 220(1)(1ln(1))lim x
x x e x x →+--+。

【解析】：因为
22
ln(1)2
2(1)(1ln(1))(1ln(1))
x x
x
x e x e
e x x
x
++--+--+=
2202
2
ln(1)ln(1)22
220002222000ln(1)lim ,2
ln(1)2
1lim lim lim 11
ln(1)1lim 2lim 2lim 2x x x x
x x x x x x x e x e x
x e e e x e e x x x
x x x e e e
x x →++-→→→→→→+=+---==-+-+===- 所以220(1)(1ln(1))
lim
0x
x x e x x
→+--+= 【注】可以考虑洛必达法则、带皮亚诺余项的麦克劳力公式，具体参见视频解析！
2. 设2
cos
cos
cos
222n n
a θ
θ
θ
=⋅⋅⋅，求lim n n a →∞。

【解析】：若0θ=，则lim 1n n a →∞
=。

若0θ≠，则当n 充分大，使得02
2
n
θ
π
<
<
时，
2222221
cos cos cos
cos cos cos
sin
22
222
22sin 211sin cos cos cos sin 22222sin 2sin 22
n n n
n n
n n n n n a θθ
θθθ
θ
θ
θ
θθθ
θθ
θθ--=⋅⋅
⋅=⋅⋅
⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅⋅⋅=
从而有，sin sin lim lim 2sin 2
n n n n n
a θθ
θθ→∞→∞==。

3. 求
sgn(1)D
xy dxdy -⎰⎰，其中{}(,)|02,02D x y x y =≤≤≤≤。

【解析】：设11(,)|0,022D x y x y ⎧⎫=≤≤
≤≤⎨⎬⎩⎭
，
123
3
12
2321211(,)|2,0,
211(,)|2,2,
2112ln 2,32ln 2,sgn(1)24ln 2.
D D D D
D D D D x y x y x D x y x y x dx
dxdy dxdy x xy dxdy dxdy dxdy ⎧
⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩
⎭⎧⎫
=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭
=+=+=--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
【注】由积分的几何意义，积分等于2倍3D 矩形的面积减去矩形的面积，具体分析参见解析视频。

4. 求221212n n n n x ∞
-=-∑的和函数，并求21
1
21
2n n n ∞
-=-∑的和。

【解析】：令22
1
21()2n n
n n S x x ∞
-=-=∑
，定义区间为((x ∀∈，则 1
212222
1
1121().22
222n n x
x
n n n n n n n x x x x
S t dt t dt x --∞
∞
∞-===⎛⎫
-====
⎪-⎝⎭∑∑∑⎰
⎰
所以有2222
2(),(2(2)
x x S x x x x '+⎛⎫==∈ ⎪--⎝⎭。

22
21
11
212110
229n n n n n n n S -∞
∞-==--===∑∑。

第二题：（本题两问，每问8分，共16分）设{}0n n a ∞
=为数列，,a λ为有限数，求证：
1. 如果lim n n a a →∞=，则12lim
n
x a a a a n
→∞+++=；
【解析】：由lim ,0n n a a M →∞
=∃>使得||n a M ≤，且10,N N ε∃>∃∈，当1n N >时，
||2n a a ε
-<。

因为21N N >，当2n N >时，
1(||)2N M a n ε
+<。

于是1211(||)()22n a a a N M a n N a n n n εεε++++--≤+<，
所以1
2lim n
x a a a a n →∞+++=。

2. 如果存在正整数p ，使得lim()n p n n a a λ+→∞
-=，则lim
n n a n p
λ
→∞=
【解析】：对于0,1,
,1i p =-，令()
(1)i n n p i np i A a a +++=-，
易知{}()
i n A 为{
}
n p n a a +-的子列。

由于lim()n p n n a a λ+→∞
-=，
知()lim i n
n A λ→∞=，从而()()
()
12lim i i i n
n A A A n
λ→∞++
+=，
而()()()
12(1)i i i n n p i p i A A A a a ++++++=-，所以(1)lim
n p i p i
n a a n
λ+++→∞
-=
由(1)(1)lim lim (1)(1)n p i
n p i n n a a n
n p i n p i n p
λ++++→∞→∞==++++。

,,,,(01)m N n p i N i p ∀∈∀∈≤≤-，使得m mp i =+，当m →∞时，n →∞，所以有
lim m n a m p
λ→∞=。

【注】探索思路过程参见解析视频
第三题：（15分）设函数()f x 在闭区间[1,1]-上具有连续的三阶导数，且(1)0,(1)1,(0)0f f f '-===，
求证：在开区间(1,1)-内至少存在一点0x ，使得0()3f x '''= 【解析】：由麦克劳林公式，得2311
()(0)(0)()2!3!
f x f f x f x η'''''=++，η介于0和x 之间，[]1,1x ∈-。

分别取1,1x x ==-，得
112211
1(1)(0)(0)(),012!3!
11
0(1)(0)(0)(),10
2!3!
f f f f f f f f ηηηη'''''==+
+<<'''''=-=+--<<
两式相减，得12()()6f f ηη''''''+=。

由于()f x '''在闭区间[]1,1-上连续，因此()f x '''在闭区间[]21,ηη上有最大值M 和最小值m ，从而有12()()
2
f f m M ηη''''''+≤
≤。

再由闭区间上连续函数的介值定理，至少存在一点[]021,(1,1)x ηη∈⊂-，使得
120()()
()32
f f f x ηη''''''+'''=
=。

第四题：（15分）在平面上，有一条从点(,0)a 向右的射线，线密度为ρ。

在点(0,)h 处（其中0h >）有一质量为m 的质点。

求射线对该质点的引力。

【解析】：在x 轴的x 处取一小段dx ，其质量为dx ρ
段与质点的引力是22
Gm dx
dF h x ρ=
+（其中G 为引力常数），则有
2223/2223/2
0221/2
()()2()()x x a a a
Gm xdx Gm d x F dF h x h x Gm h x ρρρ+∞+∞+∞+∞-===
++=+=
⎰⎰⎰
类似有
222
223/233arctan 2
arctan
sec ()sec cos 1sin arctan a
y y a
a
h
a h
Gm hdx Gm h tdt F dF h x h t Gm Gm a tdt h
h h π
π
ρρρ
ρ+∞+∞
===+⎛⎫
=
=- ⎪⎝⎭
⎰⎰
⎰⎰
所求引力向量为(,)x y F F F =。

第五题：（15分）设(,)z z x y =是由方程11,0F z z x y ⎛⎫+
-= ⎪⎝⎭
确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数，求证：
2
21z z x y x y ∂∂-=∂∂，222
3322()20z z z x xy x y y x x y y ∂∂∂+--+=∂∂∂∂ 【解析】：对方程两边分别关于,x y 求导，
22
10,()v u u v u v u v F z z z z F F F F F x x x x y y F F '-∂∂∂∂'''''-+=+=''∂∂∂∂+，所以221z z x y x y ∂∂-=∂∂。

对该式再关于,x y 求导，有222
2222220,20z z z z z z x x y x y y x x y x x y y y
∂∂∂∂∂∂+-=--=∂∂∂∂∂∂∂∂ 第一个等式乘以x ，第二个等式乘以y ，相加借助于第一个等式的结论可得
222
3
322()20z z z x xy x y y x x y y ∂∂∂+--+=∂∂∂∂
第六题：（15分）设函数()f x 连续，,,a b c 为常数，∑是单位球面222
1x y z ++=。

记第一型曲面积分()I f ax by cz dS ∑
=
++⎰⎰。

求证：)
1
1
2I f
du π-=⎰。

【解析】：由∑的面积为4π。

当,,a b c 都为零时，等式显然成立。

当它们不全为0时，可知原点到平面0ax by cz d +++=。

设平面:u P u =
u 固定。

则||u 是原点到平面u P 的距离，
从而11u -≤≤。

两平面u P 和u du P +截单位球∑
的截下的部分上，被积函数取值为)
f。

这部
分弹开可以看成一个细长条，这个细长条的长是2
，它的面积为
2du π，故得证。