十年高考理科数学真题 专题八 立体几何 二十三 空间中点、直线、平面之间的位置关系及答案【最新】

专题八 立体几何
第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系
2019年
1.（2019全国Ⅲ理8）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则
A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线
B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线
C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线
D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线
2.（2019全国Ⅱ理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A ．α内有无数条直线与β平行
B ．α内有两条相交直线与β平行
C ．α，β平行于同一条直线
D ．α，β垂直于同一平面
3.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；
（2）BE ⊥C 1E ．
4.（2019北京理12）已知l ，m 是平面a 外的两条不同直线.给出下列三个论断:
①l m ⊥； ②m a P ； ③l a ⊥
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题: ______.
2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截
此正方体所得截面面积的最大值为
A B C D
2．(2018全国卷Ⅱ)在长方体1111-ABCD A B C D 中，1==AB BC ，1=AA 线1AD 与1DB 所成角的余弦值为
A ．15
B ．6
C ．5
D ．2
3．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”
的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．(2018浙江)已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则
A ．123θθθ≤≤
B ．321θθθ≤≤
C ．132θθθ≤≤
D ．231θθθ≤≤ 5．(2017新课标Ⅱ)已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=o ，2AB =，
11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为
A ．2
B ．5
C ．5
D ．3
6．（2017浙江）如图，已知正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，
R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CR QC RA
==，分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面角为α，β，γ，则
R
Q P
A
B C
D
A．γ<α<βB．α<γ<βC．α<β<γD．β<γ<α
7．（2016年全国I）平面α过正方体1111
ABCD A B C D
-的顶点A，α∥平面
11
CB D，αI平面ABCD=m，αI平面11
ABB A=n，则m，n所成角的正弦值为A．
3
2
B．
2
2
C．
3
3
D．
1
3
8．（2015福建）若,l m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l m
⊥”是“l∥α”
的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2015浙江）如图，已知ABC
∆，D是AB的中点，沿直线CD将ACD
∆翻折成A CD
'
∆，所成二面角A CD B
'--的平面角为α，则
10．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线
1234
,,,
l l l l，满足
122334
,,
l l l l l l
⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是
A．
14
l l
⊥B．
14
//
l l C．
14
,l l既不垂直也不平行D．
14
,l l的位置关系不确定11．（2014浙江）设,m n是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面
A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥
B ．若//m β，βα⊥则m α⊥
C ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥则m α⊥
D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥
12．（2014辽宁）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是
A ．若//,//,m n αα则//m n
B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥
C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α
D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥
13．（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已
知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）．若15AB m =，25AC m =，30BCM ∠=︒则tan θ的最大值
A
B
C
D 14．（2014四川）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是
A
1
A
． B
．
C ．
D ． 15．（2013新课标Ⅱ）已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足
,l m l n ⊥⊥，,l l αβ⊄⊄，则
A ．α∥β且l ∥α
B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l
16．（2013广东）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面,下列命题中正确
的是
A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥
B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n
C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥
D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥
17．（2012浙江）设l 是直线，,αβ是两个不同的平面
A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β
B ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β
C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β
D ．若α⊥β, l ∥α，则l ⊥β
18．（2012浙江）已知矩形ABCD ，1AB =，BC =
将ABD ∆沿矩形的对角线BD 所
在的直线进行翻折，在翻折过程中，
A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直
B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直
C ．存在某个位置，使得直线A
D 与直线BC 垂直
D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直
19．（2011浙江）下列命题中错误．．
的是
A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβI ，那么l γ⊥平面
D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 20．（2010山东）在空间，下列命题正确的是
A ．平行直线的平行投影重合
B ．平行于同一直线的两个平面平行
C ．垂直于同一平面的两个平面平行
D ．垂直于同一平面的两条直线平行
二、填空题
21．(2018全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78
，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为_____．
22．（2016年全国II ）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：
①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥．
②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥．
③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．
④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．
其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号）
23．（2015浙江）如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，
点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是 ．
24．（2015四川）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，
动点M 在线段PQ 上，,E F 分别为,AB BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则θcos 的最大值为_________．
25．（2017新课标Ⅲ）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角
边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；
②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；
③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；
④直线AB 与a 所成角的最小值为60°；
其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)
三、解答题
26．（2018江苏）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥．
D 1
1
B 1A 1D
C B A
求证：(1)AB ∥平面11A B C ； (2)平面11ABB A ⊥平面1A BC ．
27．（2018浙江）如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，
120ABC ∠=o ，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．
C 1
B 1
A 1
C B
A
(1)证明：1AB ⊥平面111A B C ；
(2)求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．
28．（2017浙江）如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角
形，BC AD ∥，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点．
（Ⅰ）证明：CE ∥平面PAB ；
（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．
E
D C B A
P
29．（2017江苏）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，
点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．
求证：（1）EF ∥平面ABC ；
（2）AD ⊥AC ．
F A
B C D
E
30．（2017山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边
所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是»DF
的中点． （Ⅰ）设P 是»CE
上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （Ⅱ）当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小．
31．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均
为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，
11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中
部分的长度；
（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中
部分的长度．
32．（2016全国I ）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为
正方形，2AF FD =，90AFD ∠=o
，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60o ．
（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；
（II ）求二面角E BC A --的余弦值．
33．（2016全国II ）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，
点E ，F 分别在AD ，CD 上，54
AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将ΔDEF 沿EF 折到ΔD EF '的位置，10OD '=．
（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ；
（II ）求二面角B D A C '--的正弦值．
34．（2016全国III ）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC P ，
=3AB AD AC ==，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =， N 为PC 的中点．
（Ⅰ）证明MN P 平面PAB ；
（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．
P
A
B
D
C
N
M
35．（2014山东）如图，四棱锥P ABCD
-中，AP PCD
⊥平面，AD BC
∥，
1
,,
2
AB BC AD E F
==分别为线段,
AD PC的中点.
（Ⅰ）求证：AP BEF
∥平面；
（Ⅱ）求证：BE PAC
⊥平面.
36．(2014江苏)如图，在三棱锥ABC
P-中，D，E，F分别为棱AB
AC
PC,
,的中点．已知AC
PA⊥，,6
=
PA.5
,8=
=DF
BC
P
A
F
D
E
求证：（Ⅰ）直线PA∥平面DEF；
（Ⅱ）平面BDE⊥平面ABC．
37．（2014新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D AE C
--为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E ACD
-的体积．38．（2014天津）如图四棱锥P ABCD
-的底面ABCD是平行四边形，2
BA BD
==，2
AD=,5
PA PD
==E,F分别是棱AD,PC的中点．
（Ⅰ）证明: EF∥平面PAB；
（Ⅱ）若二面角P AD B
--为60°，
（ⅰ）证明：平面PBC⊥平面ABCD
（ⅱ）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．
P
C
D
B
F
39．（2013浙江）如图，在四棱锥P ABCD
-中，PA⊥面ABCD，2
AB BC
==，
7
AD CD
==，3
PA=120
ABC
∠=o，G为线段PC上的点．
P
D
A
B
G
（Ⅰ）证明：BD⊥面APC；
（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求
PG
GC
的值．
40．（2013辽宁）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．
（Ⅰ）求证：BC PAC
⊥平面；
（Ⅱ）设Q为PA的中点，G为AOC
∆的重心，求证：QG∥平面PBC．
41．（2012江苏）如图，在直三棱柱
111
ABC A B C
-中，
1111
A B AC
=，D E
，分别是棱
1
BC CC
，上的点（点D不同于点C），且AD DE F
⊥，为
11
B C的中点．
D
F
1
B
C1
B1
求证：（Ⅰ）平面ADE⊥平面
11
BCC B；
（Ⅱ）直线
1
//
A F平面ADE．
42．(2012广东)如图所示，在四棱锥P ABCD
-中，AB⊥平面PAD，//,
AB CD PD AD
=，E是PB中点，F是DC上的点，且
1
2
DF AB
=，PH为PAD
∆中AD边上的高．
（Ⅰ）证明：PH ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）若1,1PH AD FC ==
=，求三棱锥E BCF -的体积；
（Ⅲ）证明：EF ⊥平面PAB ．
43．（2011江苏）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，
BAD ∠=60°
，E 、F 分别是AP 、AD 的中点．
C
求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面PCD ； （Ⅱ）平面BEF ⊥平面PAD ．
44．（2011广东）如图在椎体P ABCD -中，ABCD
是边长为1的棱形，且DAB ∠=60︒，
PA PD ==2PB =，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．
（Ⅰ）证明：AD ⊥平面DEF ；
（Ⅱ）求二面角P AD B --的余弦值．
45．（2010天津）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，
BC ∥AD ，CD =1，AD =，∠BAD ＝∠CDA ＝45°．
F
B
C
D
E
A
（Ⅰ）求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； （Ⅱ）证明CD ⊥平面ABF ； （Ⅲ）求二面角B EF A --的正切值．
46．（2010浙江）如图，在平行四边形ABCD 中，AB =2BC ，∠ABC =120°．E 为线段
AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A DE '，使平面A DE '⊥平面BCD ，F 为线段A C '的中点．
M
F
D A
B
C
A'
E
（Ⅰ）求证：BF ∥平面A DE '；
（Ⅱ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A DE '所成角的余弦值．
专题八 立体几何
第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系
答案部分
2019年
1.解析 如图所示，联结BE ，BD .
因为点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，所以BM ⊂平面BDE ，EN ⊂平面BDE ，因为BM 是BDE △中DE 边上的中线，EN 是BDE △中BD 边上的中线，直线BM ，EN 是相交直线，设DE a =，则2BD a =
，22
35244
BE a a a =
+=，
所以
6
BM a
=，22
31
44
EN a a a
=+=，
所以BM EN
≠．故选B．
2.解析：对于A，α内有无数条直线与β平行，则α与β相交或β
α∥，排除；对于B，α内有两条相交直线与β平行，则β
α∥；
对于C，α，β平行于同一条直线，则α与β相交或β
α∥，排除；
对于D，α，β垂直于同一平面，则α与β相交或β
α∥，排除．
故选B．
3.证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED.
又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1.
（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.
因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
4.解析：由l，m是平面α外的两条不同直线，知：
由线面平行的判定定理得： 若l l m α⊥⊥，，则m αP ． 由线面平行、垂直的性质定理得m αP ，l α⊥，则l m ⊥.
2010-2018年
1．A 【解析】记该正方体为''''-ABCD A B C D ，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的
角都相等，即共点的三条棱'A A ，''A B ，''A D 与平面α所成的角都相等，如图，
连接'AB ，'AD ，''B D ，因为三棱锥'''-A AB D 是正三棱锥，所以'A A ，''A B ，''A D 与平面''AB D 所成的角都相等，分别取''C D ，''B C ，'BB ，AB ，AD ，'DD 的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ．GH ，IH ，IJ ，IE ，易得E ，F ，
G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面''AB D 平行，且截正方体所得截面
的面积最大，又2
======
EF FG GH IH IJ JE
，所以该正六边形的面积为26=α
，故选A ． 2．C 【解析】解法一 如图，
F 1
E 1
F
D 1
A 1
B 1
C 1
E C
D A
B
补上一相同的长方体1111-CDEF C D E F ，连接1DE ，11B E ． 易知11∥AD DE ，则11∠B DE 为异面直线1AD 与1DB 所成角． 因为在长方体1111-ABCD A B C D 中，1==AB BC
，1=AA
所以12=
==DE
，1==DB
11===B E ，
在11∆B DE
中，由余弦定理，得11cos ∠==
B DE ， 即异面直线1AD 与1DB
所成角的余弦值为
5
，故选C ． 解法二 以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．
由条件可知(0,0,0)D ，(1,0,0)A
，1D
，1(1B ，
所以1(1=-u u u u r AD
，1(1,1=u u u u r
DB ，
则由向量夹角公式，得11
11
11
cos,
5
||||
⋅
<>===
u u u u r u u u u r
u u u u r u u u u r
u u u u u r u u u u r
AD DB
AD DB
AD DB
，
即异面直线
1
AD与
1
DB
所成角的余弦值为
5
，故选C．
3．A【解析】若mα
⊄，nα
⊂，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α．若m∥α，mα
⊄，nα
⊂，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A．
4．D【解析】由题意知四棱锥S ABCD
-为正四棱锥，如图，
E M
S
O
D
C
B
A
连接BD，记AC BD O
=
I，连接SO，则SO⊥平面ABCD，取AB的中点M，连接SM，OM，OE，易得AB SM
⊥，则
2
SEO
θ=∠，
3
SMO
θ=∠，易知
32
θθ
≥．因为OM∥BC，BC AB
⊥，SM AB
⊥，所以
3
θ也为OM与平面SAB所成的角，
即BC与平面SAB所成的角，再根据最小角定理知，
31
θθ
≤，所以
231
θθθ
≤≤，故选D．
5．C【解析】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线
1
AB与
1
BC所成角为
11
B AD
∠
B
1A1
D
1
C
1
D
C
B A
11
B D===
1AD =
1AB ，
∴22211111111cos 2AB AD B D B AD AB AD +-∠===
⨯⨯．选C ． 6．B 【解析】设O 为三角形ABC 中心，底面如图2，过O 作OE RP ⊥，OF PQ ⊥，
OG RQ ⊥，由题意可知tan DO OE α=
，tan OD OF β=，tan OD
OG
γ=， G
F E
O
D
C B
A
P
Q
R
图1 图2
由图2所示，以P 为原点建立直角坐标系，不妨设2AB =，则(1,0)A -，(1,0)B
，
C
，O ，∵AP PB =，2BQ CR QC RA
==，
∴1(,33Q
，2(3R -，则直线RP
的方程为y x =，直线PQ
的方程为y =，直线RQ
的方程为39y x =
+，根据点到直线的距离公式，
知21OE =
39OF =，13
OG =，∴OF OG OE <<，tan tan tan αγβ<<， 因为α，β，γ为锐角，所以αγβ<<．选B
7．A 【解析】因为过点A 的平面α与平面11CB D 平行，平面ABCD ∥平面1111A B C D ，所
以m ∥11B D ∥BD ，又1A B ∥平面11CB D ，所以n ∥1A B ，则BD 与1A B 所成的角为所求角，所以m ，n
A ．
8．B 【解析】由“m α⊥且l m ⊥”推出“l α⊂或l α∥”，但由“m α⊥且l α∥”可
推出“l m ⊥”，所以“l m ⊥”是“l α∥”的必要而不充分条件，故选B ． 9．B 【解析】解法一 设ADC θ∠=，2AB =，则由题意知1AD BD A D '===．
在空间图形中，连结A B '，设A B '=t ．
在ΔA DB '中，2222222
112cos 22112
A D D
B A B t t A DB A D DB ''+-+--'∠==='⨯⨯⨯．
过A '作A N DC '⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N M 、． 过N 作//NP MB ，使四边形BPNM 为平行四边形，则NP DC ⊥，
连结,A P BP '，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，所以A NP α'∠=． 在ΔRt A ND '中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=． 同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==． 显然BP ⊥平面A NP '，故BP A P '⊥．
在ΔRt A BP '中，2
2
2
2
2
2
(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-．
在ΔA NP '中，222
cos cos 2A N NP A P A NP A N NP
α''+-'=∠='⨯
22222sin sin (4cos )2sin t θθθθ+--==2222222
22cos 2cos 2sin 2sin sin t t θθθθθ+--=+ 2221cos cos sin sin A DB θ
θθ
'=∠+， 所以222
1cos cos cos cos cos sin sin A DB A DB A DB θ
αθθ'''-∠=∠+-∠ 2222221sin cos cos cos (1cos )0sin sin sin A DB A DB θθθ
θθθ
-''=∠+=+∠≥，
所以cos cos A DB α'∠≥（当2
πθ=
时取等号），
因为α，[0,]A DB π'∠∈，而cos y x =在[0,]π上为递减函数， 所以A DB α'∠≤，故选B ．
解法二 若CA CB ≠，则当απ=时，A CB π'∠<，排除D ； 当0α=时，0A CB '∠>，0A DB '∠>，排除A 、C ，故选B ．
10．D 【解析】利用正方体模型可以看出，1l 与4l 的位置关系不确定．选D ．
11．C 【解析】选项,,A B D 中m 均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选C ． 12．B 【解析】对于选项A ，若//,//,m n αα，则m 与n 可能相交、平行或异面，A 错误；
显然选项B 正确；对于选项C ，若m α⊥，m n ⊥，则n α⊂或//n α，C 错误；对于选项D ，若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n 与α相交，D 错误．故选B ． 13．D 【解析】作PH BC ⊥，垂足为H ，设PH x =
，则CH =
，由余弦定理
AH =
1
tan tan (0)PH
PAH AH
x
θ=∠=
=>，
故当
1125x =时，tan θ
取得最大值，最大值为9
． 14．B 【解析】直线OP 与平面1A BD 所成的角为α的取值范围是
1112
AOA C OA π
∠→
→∠
，由于1sin AOA ∠=
11sin 2C OA ∠==>
，sin 12
π
= 所以sin α
的取值范围是． 15．D 【解析】作正方形模型，α为后平面，β为左侧面
可知D 正确．
16．D 【解析】A 中,m n 可能平行、垂直、也可能为异面；B 中,m n 还可能为异面；C 中m
应与β中两条相交直线垂直时结论才成立，选D ．
17．B 【解析】利用排除法可得选项B 是正确的，∵l ∥α，l ⊥β，则αβ．如选项A ：
l ∥α，l ∥β时，α⊥β或α∥β；选项C ：若α⊥β，l ⊥α，l ∥β或l β⊂；
选项D ：若α⊥β, l ⊥α，l ∥β或l ⊥β．
18．B 【解析】过点A 作AE BD ⊥，若存在某个位置，使得AC BD ⊥，则BD ⊥面ACE ，
从而有BD CE ⊥，计算可得BD 与CE 不垂直，则A 不正确；当翻折到AC CD ⊥时，因为BC CD ⊥，所以CD ⊥面ABC ，从而可得AB CD ⊥；若AD BC ⊥，因为
BC CD ⊥，所以BC ⊥面ACD ，从而可得BC AC ⊥
，而1AB BC =<=，所以
这样的位置不存在，故C 不正确；同理，D 也不正确，故选B ．
19．D 【解析】对于D ，若平面α⊥平面β，则平面α内的某些直线可能不垂直于平面β，
即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其余选项易知均是正确的． 20．D 【解析】D 两平行直线的平行投影不一定重合，故A 错；由空间直线与平面的位置
关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可知B 、C 均错误，故选D ． 21
．【解析】如图所示，
S'
S
A
B
设S 在底面的射影为S '，连接AS '，SS '．SAB ∆的面积为
2211sin 22SA SB ASB SA SA ⋅⋅⋅∠=⋅==， ∴280SA =
，SA =．∵SA 与底面所成的角为45o ，∴45SAS '∠=o
，
cos 452
AS SA '=⋅==o
∴底面周长2l AS π'=⋅=，
∴圆锥的侧面积为
1
2
⨯=．
22．②③④【解析】对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：
如图，不妨设AA'为直线m，CD为
直线n,ABCD所在的平面为α．
ABC D''所在的平面为β，显然这些
直线和平面满足题目条件，但αβ
⊥不成立．
命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l n
∥，由mα
⊥，有m l
⊥，从知m n
⊥结论正确．
由平面与平面平行的定义知命题③正确．
由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．
23．
7
8
【解析】如图连接ND，取ND的中点E，连接,
ME CE，则//
ME AN．则异面直线AN，CM所成的角为EMC
∠，由题意可知1
CN=，22
AN=，∴2
ME=．又22
CM=，22
DN=，2
NE=，∴3
CE=，则
2227
cos
28
2222
CM EM CE
CME
CM EM
+-
∠===
⨯⨯⨯
．
24．
2
5
【解析】AB为x轴，AD为y轴，AQ为z轴建立坐标系，
设正方形边长为2．
2
cos,
55
m
θ=
+
令[]
2
()(0,2)
525
f m m
m
=∈
+
2
2
(2)10
525
2525
()
m m
m
m
f m
-⨯
-+-
+
'=
[]
0,2,()0
m f m
'
∈∴<
Q
max
2
()(0)
5
f m f
==，即
max
2
cos
5
θ=．
25．②③【解析】如图BDEF 为底面圆的内接正方形，设1AC BC ==，
则AB AD AE AF FB FE ED BD ========
即侧面均为等边三角形，∵AC ⊥底面BDEF ，
F
E
D
C
B
A
假设a FB ∥，由题意b BD ∥，当直线AB 与a 成60°角时，由图可知AB 与b 成60°角，所以①错，②正确；假设a EB ∥，可知③正确，④错．所以正确为②③． 26．【证明】(1)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ∥11A B ．
因为AB ⊄平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ， 所以AB ∥平面11A B C ．
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
(2)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，四边形11ABB A 为平行四边形． 又因为1AA AB =，所以四边形11ABB A 为菱形， 因此1AB ⊥1A B ．
又因为1AB ⊥11B C ，BC ∥11B C ， 所以1AB ⊥BC ．
又因为1A B I BC =B ，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ， 所以1AB ⊥平面1A BC ．
因为1AB ⊂平面11ABB A ， 所以平面11ABB A ⊥平面1A BC ．
27．【解析】(1)由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥得
111AB A B ==，
所以222
1111A B AB AA +=．
故111AB A B ⊥．
由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥
得11B C =
由2AB BC ==，120ABC ∠=o
得AC =
由1CC AC ⊥
，得1AC =222
1111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥．
因此1AB ⊥平面111A B C ．
(2)如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD ．
D
A
B
C
A 1
B 1
C 1
由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ， 由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ， 所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角．
由11B C =
11A B =
，11AC
得111cos C A B ∠=
，111sin C A B ∠=，
所以1C D
，故111sin 13
C D C AD AC ∠=
=
． 因此，直线1AC 与平面1ABB
所成的角的正弦值是
13
． 方法二 (1)如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -．
A
由题意知各点坐标如下：
(0,A ，(1,0,0)B
，1(0,A ，1(1,0,2)B
，1C ，
因此1(1AB =u u u r
，11(12)A B =-u u u u r
，113)AC =-u u u u r ， 由1110AB A B ⋅=u u u r u u u u r
得111AB A B ⊥． 由1110AB AC ⋅=u u u r u u u u r
得
111AB AC ⊥． 所以1AB ⊥平面111A B C ．
(2)设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ．
由(1)
可知1AC =u u u u r
，AB =u u u r ，1(0,0,2)BB =u u u r
，
设平面1ABB 的法向量=()x,y,z n ．
由100
AB BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n
，即020x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
，可取(=n ．
所以111||sin |cos ,|13
||||AC AC AC θ⋅=<>==⋅u u u u r
u u u u r u u u u r n n n ． 因此，直线1AC 与平面1ABB
所成的角的正弦值是
13
． 28．【解析】（Ⅰ）如图，设P A 中点为F ，连结EF ，FB ．
D
A
因为E ，F 分别为PD ，P A 中点，所以EF ∥AD 且1
2
EF AD =， 又因为BC ∥AD ，1
2
BC AD =，所以 EF ∥BC 且EF =BC ，
即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ， 因此CE ∥平面P AB ．
（Ⅱ）分别取BC ，AD 的中点为M ，N ．连结PN 交EF 于点Q ，连结MQ ． 因为E ，F ，N 分别是PD ，P A ，AD 的中点，所以Q 为EF 中点， 在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE ． 由PAD ∆为等腰直角三角形得 PN ⊥AD ．
由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得 BN ⊥AD ．
所以AD ⊥平面PBN ，
由BC ∥AD 得BC ⊥平面PBN ， 那么，平面PBC ⊥平面PBN ．
过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连结MH ．
MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角． 设CD =1．
在PCD ∆中，由PC =2，CD =1，PD CE
在△PBN 中，由PN =BN =1，PB 得14
QH =，
在Rt MQH ∆中，1
4
QH =
，MQ ，
所以sin QMH ∠=
，
所以，直线CE 与平面PBC 29．【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，所以EF AB ∥．
又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD I 平面BCD =BD ，
BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，
所以BC ⊥平面ABD ．
因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD ．
又AB AD ⊥，BC AB B =I ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD AC ⊥．
30．【解析】（Ⅰ）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，
AB ，AP ⊂平面ABP ，AB AP A =I ，
所以BE ⊥平面ABP ， 又BP ⊂平面ABP ，
所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒， 因此30CBP ∠=︒ （Ⅱ）解法一：
取»EC
的中点H ，连接EH ，GH ，CH ． 因为120EBC ∠=︒， 所以四边形BEHC 为菱形，
所以2
2
3213AE GE AC GC ====+=． 取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ． 则EM AG ⊥，CM AG ⊥， 所以EMC ∠为所求二面角的平面角．
又1AM =，所以13123EM CM ==-=． 在BEC ∆中，由于120EBC ∠=︒，
由余弦定理得22222222cos12012EC =+-⨯⨯⨯︒=， 所以23EC =，因此EMC ∆为等边三角形， 故所求的角为60︒． 解法二：
以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E
，G
，(C -，
故(2,0,3)AE =-u u u r
，AG =u u u r ，(2,0,3)CG =u u u r
，
设111(,,)m x y z =是平面AEG 的一个法向量．
由00
m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r
可得1111230,0,x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取12z =，可得平面AEG
的一个法向量(3,2)=m ． 设222(,,)n x y z =是平面ACG 的一个法向量．
由00
n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r
u u u r
可得22220,230,x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 取22z =-，可得平面ACG
的一个法向量(3,2)n =-． 所以1
cos ,||||2
m n m n m n ⋅<>=
=⋅．
因此所求的角为60︒．
31．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，
所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．
因为AC =40AM =．
所以30MN =
=，从而3
sin 4
MAC ∠=
． 记AM 与水平的交点为1P ，过1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足， 则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =， 从而11
116sin PQ AP MAC
=
=∠．
答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．
( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)
（2）如图，O ，1O 是正棱台的两底面中心． 由正棱台的定义，1OO ⊥平面 EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1OO ⊥EG ． 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，1OO ⊥11E G ． 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．
过G 作GK ⊥11E G ，K 为垂足， 则GK =1OO =32． 因为EG = 14，11E G = 62，
所以1KG =
6214
242
-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=． 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114
sin sin()cos 25
KGG KGG απ=+==∠∠．
因为2απ<<π，所以3cos 5
α=-．
在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7
sin 25
β=． 因为02βπ<<
，所以24
cos 25
β=． 于是sin sin()sin()sin cos cos sin NEG αβαβαβαβ=π--=+=+∠
42473(35)525255
=⨯+-⨯=． 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则 22P Q ⊥平面EFGH ，故22P Q =12，从而 2EP =
22
20sin P NEG
Q =∠．
答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)
32．【解析】（Ⅰ）由已知可得AF DF ⊥，AF FE ⊥，所以AF ⊥平面EFDC ．
又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC ．
（Ⅱ）过D 作DG EF ⊥，垂足为G ，由（Ⅰ）知DG ⊥平面ABEF ．
以G 为坐标原点，GF u u u r 的方向为x 轴正方向，||GF uuu r
为单位长度，建立如图所示的空
间直角坐标系G xyz -．
由（Ⅰ）知DFE ∠为二面角D AF E --的平面角，故60DFE ∠=o
，则2DF =
，
DG =，可得(1,4,0)A ，(3,4,0)B -，(3,0,0)E -
，D ．
由已知，AB EF ∥，所以AB ∥平面EFDC ．
又平面ABCD I 平面EFDC DC =，故AB CD ∥，CD EF ∥．
由BE AF ∥，可得BE ⊥平面EFDC ，所以CEF ∠为二面角C BE F --的平面角，
60CEF ∠=o
．从而可得(C -．
所以EC =u u u r ，(0,4,0)EB =u u u r
，(3,AC =--u u u r ，(4,0,0)AB =-u u u r
．
设(),,n x y z =r
是平面BCE 的法向量，则
C 00
n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩u u u r r u u u
r r
，即0
40x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，
所以可取(3,0,n =r
．
设m r 是平面CD AB 的法向量，则C 0
m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩u u u r r u u u r
r ，
同理可取()
4m =r
．则cos ,19
n m n m n m ⋅==-r r r r
r r ．
故二面角C E-B -A 的余弦值为219
19
-
．
33．【解析】（I ）证明：∵5
4
AE CF ==
， ∴
AE CF
AD CD
=
，∴EF AC ∥． ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥， ∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥． ∵6AC =，∴3AO =；
又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =， ∴1AE
OH OD AO
=
⋅=，∴3DH D H '==， ∴2
2
2
'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥． 又∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ．
（Ⅱ）建立如图坐标系H xyz -．
()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，， ()430AB =uu u r ，，，()'133AD =-uuur ，，，()060AC =uuu r
，，， 设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r
，
由1100n AB n AD ⎧⋅
=⎪⎨'⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r
得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩
，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()1345n =-u r ，，． 同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r
，，
， ∴1212
9575cos 5210n n n n θ⋅+==
=⋅u r u u r
u r u u r ，∴295
sin θ=． 34．【解析】（Ⅰ）由已知得23
2
==
AD AM ， 取BP 的中点T ，连接TN AT ,． 由N 为PC 中点知BC TN //，22
1
==
BC TN ． 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是
AT MN //．
因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．
（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥， 且5)2
(
2
222=-=-=
BC AB BE AB AE ． 以A 为坐标原点，AE u u u r
的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，由题意知，
)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,2
5
(N ， (0,2,4)PM =-u u u u r ，)2,1,2
5(-=，
)2,1,2
5
(
=．
设(,
,)x y z =r n 为平面PMN 的法向量，则00
PM PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u r r u u u r
n n ，即⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=-022
5042z y x z x ， 可取(0,2,1)n =r
，
于是||85
|cos ,|||||n AN n AN n AN ⋅<>==r u u u r
r u u u r r u u u r ．
35．【解析】（Ⅰ）设AC BE O =I ，连结OF ，EC ，
由于E 为AD 的中点，1
,//2
AB BC AD AD BC ==， 所以//,AE BC AE AB BC ==,
因此四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点，又F 为PC 的中点， 因此在PAC ∆中，可得//AP OF ．
又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF ．
（Ⅱ）由题意知，//,ED BC ED BC =，所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此//BE CD ．又AP ⊥平面PCD ，所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥． 因为四边形ABCE 为菱形，所以BE AC ⊥．
又AP AC A =I ，AP ，AC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面PAC ． 36．【解析】（Ⅰ）∵D E ，为PC AC ，
中点，∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，∴P A ∥平面DEF （Ⅱ）∵D E ，为PC AC ，
中点，∴132DE PA == ∵E F ，为AC AB ，
中点，∴142
EF BC == ∴2
2
2
DE EF DF +=，∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵AC EF E =I ，∴DE ⊥平面ABC
∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ． 37．【解析】（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连结EO ．
因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB ．
EO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ．
（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．
如图，以A 为坐标原点，AB u u u r
的方向为x 轴的正方向，AP u u u r 为单位长，建立空间直角
坐标系A xyz -，
则
D 1),2
E 1)2AE =
u u u
r ． 设(,0,0)(0)
b m m f ，则(
c m (AC m =u u u r
．
设1(,,)n x y z =为平面ACE 的法向量，
则110,0,n AC n AE ⎧⋅=
⎪⎨⋅=⎪⎩u
u u r u u u r 即0,10,
2
mx y z ⎧
+=+=，可取1n m =-． 又2(1,0,0)n =为平面DAE 的法向量，
由题设121cos ,2n n =
12=，解得3
2
m =
． 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E
ACD -的高为
1
2
．
三棱锥E ACD -的体积113132228
V =
⨯⨯=． 38．【解析】（Ⅰ）证明：如图取PB 中点M ，连接MF ，AM ．因为F 为PC 中点，
故MF//BC 且MF=
1
2
BC ．由已知有BC//AD ，BC=AD ．又由于E 为AD 中点， 因而MF//AE 且MF=AE ，故四边形AMFE 为平行四边形， 所以EF//AM ，又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ， 所以EF//平面PAB ．
（Ⅱ）（i ）证明：连接PE ，BE ．因为PA=PD ，BA=BD ，而E 为AD 中点，
故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P-AD-B 的平面角．在三角形PAD 中，
由2,AD PA PD ===
PE=2．
在三角形ABD 中，由BA BD ==，可解得BE=1．
在三角形PEB 中，PE=2，BE=1，60PEB ∠=o ，
由余弦定理，可解得90PBE ∠=o ，即BE ⊥PB ，
又BC//AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ．又BE ⊂平面ABCD ， 所以平面PBC ⊥平面ABCD ．
（ii ）连接BF ，由（i ）知BE ⊥平面PBC ．所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角，
由，∠ABP 为直角，而MB=1
2
，可得，
故，又BE=1，故在直角三角形EBF 中，sin BE EFB EF ∠==
所以直线EF 与平面PBC 39．【解析】（Ⅰ）设点O 为AC ，BD 的交点，
由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线． 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC ．
又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥BD ．所以BD ⊥平面APC ．
（Ⅱ）连结OG ．由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．
由题意得OG ＝
1
2
P A
在△ABC 中，AC ＝
所以OC ＝
1
2
AC
在直角△OCD 中，OD 2．
在直角△OGD 中，tan ∠OGD ＝
3
OD OG =．
所以DG 与平面APC 所成的角的正切值为
3
． （Ⅲ）连结OG ．因为PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，所以PC ⊥OG ．
在直角△P AC 中，得PC
所以GC ＝
5AC OC PC ⋅=．
从而PG ， 所以
3
2
PG GC =． 40．【解析】（Ⅰ）由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ．
由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC ，
又PA∩AC=A,PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以BC ⊥平面PAC ．
（Ⅱ）连OG 并延长交AC 与M ，链接QM ，QO ．
由G 为∆AOC 的重心，得M 为AC 中点， 由G 为PA 中点，得QM//PC ． 又O 为AB 中点，得OM//BC ． 因为QM∩MO=M,QM ⊂平面QMO ． 所以QG//平面PBC ．
41．【解析】（Ⅰ）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC,
又AD ⊂平面ABC ,所以1CC AD ⊥，又因为AD 1,,DE CC ⊥
DE ⊂平面11BCC B ，1CC ,DE E ⋂=所以AD ⊥平面11BCC B ,
又AD ⊂平面ADE,所以平面ADE ⊥平面11BCC B ．
（Ⅱ）因为1111A B AC =，F 为11C B 的中点，所以111A F B C ⊥．因为1CC ⊥平面111A B C ，
且1A F ⊂平面111A B C ，所以1CC 1.A F ⊥又因为1CC ，11B C ⊂平面11BCC B ，
1CC ⋂111B C C =，所以1A F ⊥平面11BCC B ，所以1//A F AD ．
又AD ⊂平面ADE ，1A F ⊄平面ADE ，所以1//A F 平面ADE ． 42．【解析】（Ⅰ）AB ⊥平面PAD ，PH ⊂面PAD PH AB ⇒⊥
又,PH AD AD AB A PH ⊥=⇒⊥I 面ABCD （Ⅱ）E 是PB 中点⇒点E 到面BCF 的距离11
22
h PH =
=
三棱锥E BCF -
的体积1111113326212
BCF V S h FC AD h ∆=
⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯= （Ⅲ）取PA 的中点为G ，连接,DG EG ，PD AD DG PA =⇒⊥，
又AB ⊥平面PAD ⇒面PAD ⊥面PAB DG ⇒⊥面PAB ， 点,E G 是棱,PB PA 的中点11
//,//////22
EG AB DF AB EG DF DG EF ⇒⇒⇒，得：EF ⊥平面PAB ．
43．【证明】：（Ⅰ）在△PAD 中，因为E 、F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF//PD ．
又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF//平面PCD ．
（Ⅱ）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°，所以△ABD 为正三角形，因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD=AD ，所以BF ⊥平面PAD ．又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD ．
44．【解析】法一：（Ⅰ）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD ．因PA=PD ，
有PG AD ⊥，在ABD ∆中，1,60AB AD DAB ==∠=︒，有ABD ∆为等边 三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥⋂=， 所以AD ⊥平面PBG ,.AD PB AD GB ⇒⊥⊥
又PB//EF ，得AD EF ⊥，而DE//GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ⋂=， 所以AD ⊥平面DEF ．
（Ⅱ）,PG AD BG AD ⊥⊥Q ，PGB ∴∠为二面角P —AD —B 的平面角，
在222
7,4
Rt PAG PG PA AG ∆=-=
中
在sin 60Rt ABG BG AB ∆⋅o
中,=
2
2
2
734
cos 27PG BG PB PGB PG BG +-+-∴∠===-⋅法二：（Ⅰ）取AD 中点为G ，因为,.PA PD PG AD =⊥
又,60,AB AD DAB ABD =∠=︒∆为等边三角形，因此，BG AD ⊥， 从而AD ⊥平面PBG ．
延长BG 到O 且使得PO ⊥OB ，又PO ⊂平面PBG ，PO ⊥AD ，
,AD OB G ⋂=所以PO ⊥平面ABCD ．
以O 为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB ，OP 分别为x 轴，z 轴，平行于AD 的直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系． 设1
1(0,0,),(,0,0),(,,0),(,,0).22
P m G n A n D n -则
||||sin
60GB AB =
︒=
u u u r u
u u r
Q
11(((,0),(,).22
22
n m B n C
n E n F ∴+
+++ 由于(0,1,0),(()2242n m
AD DE FE ===+-u u u r u u u r u u u r 得0,0,,,AD DE AD FE AD DE AD FE DE FE E ⋅=⋅=⊥⊥⋂=u u u r u u u r u u u r u u u r
AD ∴⊥平面DEF ．
（Ⅱ）1(,,),()22
PA n m PB n m =--=+
-u u u r u u u r Q
22,1,2
m m n ====解之得 取平面ABD 的法向量1(0,0,1),n =- 设平面PAD 的法向量2(,,)n a b c =
由220,0,0,0,2222
b b
PA n a c PD n c ⋅=--=⋅=+-=u u u r u u u r 得由得
取2(1,0,
2
n =
12cos ,7n n -
∴<>=
=- 45．【解析】（Ⅰ）因为四边形ADEF 是正方形，所以FA //ED ．故CED ∠为异面直线CE
与AF 所成的角．因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD ．故ED ⊥CD ． 在Rt △CDE 中，CD =1，ED
=CE
故cos CED ∠=
ED CE
=3．
所以异面直线CE 和AF
． （Ⅱ）证明：过点B 作BG //CD ,交AD 于点G ，则45BGA CDA ∠=∠=o
．由
45BAD ∠=o ,可得BG ⊥AB ,从而CD ⊥AB ,又CD ⊥FA ,FA ⋂AB =A ,所以
CD ⊥平面ABF ．
(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG
，即G 为AD 的中点．取EF 的中点N ，连接GN ，则GN ⊥EF ,因为BC //AD ,所以BC //EF ．过点N 作NM ⊥EF ，交BC 于M ，则GNM ∠为二面角B -EF -A 的平面角．。