09 包含与排除 简单
包含与排除
（二十九）包含与排除（上）《奥赛天天练》第二十一讲《包含与排除》。
包含与排除问题也叫重叠问题，从三年级奥数课堂开始由浅入深逐步学习，此类问题说明及容斥原理具体内容，请查阅：三年级奥数解析（三十九）重叠问题与容斥原理四年级奥数解析（二十九）容斥原理这一讲将在三、四年级学习的基础上，进一步学习运用容斥原理二解答稍复杂的包含与排除问题。
【容斥原理二】如果被计数的事物有A、B、C三类，则:三类元素总个数二A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数一既是A类乂是B类的元素个数一既是A类乂是C类的元素个数一既是B类乂是C类的元素个数+既是A类乂是B类又是C类的元素个数。
【原理证明】如下图，三个圆片两两重叠，用红色圆片面积表示A类事物元素个数、黄色圆片面积表示B类事物元素个数、蓝色圆片面积表示C类事物元素个数，三个圆片覆盖的总面积就表示三类元素的总个数：A、B、C三个圆片共同重叠的正中间的一块，覆盖了三层圆片，重叠了2次；剩下的重叠部分都覆盖了两层圆片，重叠了1次。
三个圆片覆盖的总面积就等于三个圆片的面积之和减去重叠部分的面积，重叠1次的减去重叠面积，重叠2次的减去重叠面积的2倍。
但用三个圆片的总面积依次减去AB的重叠部分、AC的重叠部分和BC的重叠部分，重叠1次的面积正好减去了，可三个圆片共同重叠的部分既属于AB的重叠部分，也属于AC的重叠部分，同时属于BC的重叠部分。
这一块儿面积重叠2次，却减去了3次，多减了1次，要补上去。
所以：三类元素总个数二A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数一既是A类乂是B类的元素个数一既是A类乂是C类的元素个数一既是B类乂是C类的元素个数+既是A类乂是B类又是C类的元素个数。
【题目】：在参加数学竞赛的46人中，做对第二题的有32人，做对笫4题的有24人，两道题都做对的有20人，两道题都没有做对的有儿人？【解析】：用做对第2题与做对第4题的人数和，减去两题都做对的人数（重叠部分），求出的就是这两题中至少做对了一题的人数：32+24-20=36 （人）。
包含与排除
包含与排除集合与元素：就是集合与个体；包含与被包含的关系。
1、集合通常用A、B 、C……2、集合分类╱交集：几个集合共同元素的个数。
符号记作∣∩∣╲并集：几个集合合并在一起，所有元素的实际总个数，符号∣∪∣╱1、例举法例：A{1、2、3、5、7} B{1、3、4、6、8}3、表示方法－2、图示法例：╲3、数值法例：∣A∣＝5∣∣B∣＝5 ∣A∩B∣＝2 ∣A∪B∣＝8❉两项公式：∣A∪B∣＝∣A∣＋∣B∣－∣A∩B∣∣A∩B∣＝∣A∣＋∣B∣－∣A∪B∣1、某班学生去图书馆借书，每人都借了课外书，统计结果是：借语文书的有39人，借数学书的32人，语文、数学两种都借的有26人，全班一共几人？2、桥南小学三年级学生采集标本，采集昆虫标准有27人，采集植物的有21人，两种标本都采集的有8人，全班共有多少人？3、一个班有学生54人，参加数学课外活动的有38人，参加语文课外活动的有29人，至少有多少人两样活动都参加了？❉如果没有搞特殊的，总数＝并集如果有搞特殊的，总数＝并集+特殊的4、某班36人在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，问：有几个同学两题都不对？5、一个班42人订报纸，订《少年报》的人有32人，订阅《小学生报》的有27人，有多少人订阅两种报纸？6、有40名运动员，其中有25人会摔跤，有20人会击剑，有10人击剑、摔跤都不会。
问：既会摔跤又会击剑的运动员有多少人？7、学校开运动会，参加田赛的26人，参加径赛的30人，其中既参加田赛又参加径赛的有12人，田赛和径赛的都没有参加的有4人，这个班有多少人？8、在50名出国人员中，有4人既不懂英语也不懂日语，但其中有37人懂英语，有43人懂日语。
有多少人既懂英语又懂日语？9、幼儿园里，会弹钢琴的有25人，会拉手风琴的有20人，既会钢琴又会手风琴的有15人，两样都不会的有10人，这个班一共多少人？10、全班50名同学，只参加数学小组的27人，既参加数学小组又参加作文小组的有5人，两个小组都没有参加的4人，求只参加作文小组的有几人？11、有50名同学参加短跑和跳远，短跑达标的38人，跳远达标的31名，两项都达标22名，两项都没达标的多少人？12、学校田径队有40人以上参加比赛，有18人参加田赛，有28人参加径赛，问只参加田赛与只参加径赛的人数是多少？13、某班成立英语和微机小组，有25人参加英语小组，其中10人既参加英语又参加微机小组，没有参加微机的有18人。
四年级弃九法讲解
四年级弃九法讲解从第4四年级弃九法讲解9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。
利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。
例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。
但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。
有没有更简便的方法呢？因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。
这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。
一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。
利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。
例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。
分析与解：利用弃九法，将和为9的数依次划掉。
只剩下7，6，1，5四个数，这时口算一下即可。
口算知，7，6，5的和是9的倍数，又可划掉，只剩下1。
所以这个多位数除以9余1。
例2 将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？分析与解：因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数，所以要配合适当的分析。
我们已经熟知1＋2＋3＋…＋9＝45，而45是9的倍数，所以每一组1，2，3，…，9都可以划掉。
在1～99这九十九个数中，个位数有十组1，2，3，…，9，都可划掉；十位数也有十组1，2，3，…，9，也都划掉。
这样在这个大数中，除了0以外，只剩下最后的100中的数字1。
所以这个数除以9余1。
在上面的解法中，并没有计算出这个数各个数位上的数字和，而是利用弃九法分析求解。
小学奥数教案-第24讲-包含与排除(教)
【解析】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其他年级参展作品的总数。（24＋22－10）÷2=18幅。
全组人数 完成了两项制作的人数，
即 完成了两项制作的人数．
所以，完成了两项制作的人数为： (人)．
3、五年级一班共有 人，每人参加一个兴趣小组，共有 、 、 、 、 五个小组，若参加 组的有 人，参加 组的人数仅次于 组，参加 组、 组的人数相同，参加 组的人数最少，只有 人．那么，参加 组的有_______人．
那也就是说五年级的画比六年级多1幅，我们还知道五、六年级共展出25幅画，
进而可以求出五年级画作有13幅，六年级画作有12幅，
那么就可以求出其他年级的画作共有3幅．
考点二：三量重叠问题
例1、全班有 个学生，其中 人会骑自行车， 人会游泳， 人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有 个人数学不及格，那么，
教数：3
学员姓名：
辅导科目：奥数
教师：
授课主题
第24讲——包含与排除
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
1了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容
2掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用
包含与排除
四年级第二学期讲义第十一讲 包含与排除一、 知识要点日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，容斥原理就是重叠问题的解题原理，也叫包含与排除原理。
在数学里，我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑，这些相同性质的对象便组成了一个“集合”，每个集合总是由一些成员组成的，集合中的这些成员叫做这个集合的元素。
名词解释：（1）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 、B 的并集（又叫A 与B 的和）。
记作A B ，记号“ ”读作“并”，A B 读作“A 并B ”。
（2）A 、B 两个集合公共的元素，也就是那些既属于A ，又属于B 的元素，它们所组成的集合叫做A 和B 的交集，记作“A B ”，记号“ ”读作“交”，A B 读作“A 交B ”。
二、 典型例题例1、四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。
问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？例2、四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。
两科都得“优”的有几人？例3、图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。
这个班共有学生多少人？例4、某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组的有8人，参加英语组的有12人，既参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：至少参加一个组的有多少人？例5、有82名参加数学与作文课外班的学生，其中参加作文班的有60人，参加数学班的有48人。
那么两种课外班都参加的有多少人？例6、全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，会打乒乓球又会打羽毛球的有7人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。
小学奥数专题 包含与排除
【题目】 在桌面上放置着三个两两重叠 的圆纸片（如图,三个圆等大）,它们的面 积都是100cm2,并知A、B两圆重叠的面 积是20cm2,A、C两圆重叠的面积为 45cm2,B、C两圆重叠的面积为31cm2, 三个圆共同重叠的面积为15cm2,求盖住 桌子的总面积。
【答案】219
【解析】法一：直接套用公式：100×3-20-45-31+15=219cm2.套用公式必须在理解公式的基础上运 用,A、B、C三个圆的面积各包含了四块面积,例如A覆盖的部分包括,A与B共有而C没有的；A与C共有而B 没有的、A、B、C三个圆共有的、A独有的.这样如果将A、B、C的面积简单相加,A与B共有而C没有的、B 与C共有而A没有的、A与C共有而B没有的这三个部分被重复计算了2次,A、B、C三个部分的共有部分则 被计算了3次,如果再将A、C两圆重叠的；B、C两圆重叠的；A、B两圆重叠的部分各减去一遍,那么同时A、 B、C三个部分的共有部分则被减了3次,此时得到的结果中A、B、C三个部分的共有部分没有被计算过,所 以最后还要将这一部分加上.
【解析】设三项都参加的人数有X人,则参加朗诵小组的人数为7X人,参加绘画 小组又参加朗诵小组的人数为2X人,参加朗诵小组又参加合唱小组的人数为 2X人,于是有46=（24+20+7X-
2X-2X-10+X）,解得X=பைடு நூலகம்,所以参加朗诵小组的人数为21人。
【知识点】包含与排除
【题目】在1到2004的所有自然数中,既不是2的倍数,也不是3、5的倍数的数有多少个？ 【答案】535 【解析】1到2004中是2的倍数的有1002个,3的倍数的有668个,5的倍数的有[2004/5]=400个,6的倍数 的有334个,10的倍数的有[2004/10]=200个,15的倍数的有[2004/15]=133个,30的倍数的有 [2004/30]=66个。所以不是2、3、5的倍数有2004-1002-668-400+334+200+133-66=535个. （“[ ]”表示对[ ]内的数取整.）
2009年计算机408统考真题解析
5.解析：完全二叉树比满二叉树只是在最下面一层的右边缺少了部分叶结点，而最后一层之上是个满二叉树，并且只有最后两层有叶结点。
第6层有叶结点则完全二叉树的高度可能为6或7,显然树高为7时结点更多。
若第6层上有8个叶结点，则前六层为满二叉树，而第7层缺失了8x2 = 16个叶结点，故完全二叉树的结点个数最多为(27-1)-16 = 111个结点。
6.解析：森林与二叉树的转换规则为“左孩子右兄弟”。
在最后生成的二叉树中，父子关系在对应森林关系中可能是兄弟关系或原本就是父子关系。
情形I:若结点v是结点u的第二个孩子结点，在转换时，结点v就变成结点u第一个孩子的右孩子，符合要求。
情形II:结点u 和v 是兄弟结点的关系，但二者之中还有一个兄弟结点k,则转换后，结点v就变为结点K的右孩子，而结点k则是结点u的右孩子，符合要求。
喜｀｀。
嘉｀｀II情形III:若结点u的父结点与v的父结点是兄弟关系，则转换后，结点u和v分别在两者最左父结点的两棵子树中，不可能出现在同一条路径中。
分图III【逆向法】由题意可知u 是v 的父结点的父结点，如下图所示有4种情况：����根据树与二叉树的转换规则，将这4种情况转换成树种结点的关系。
(1)在原来的树中u 是v的父结点的父结点；(2)在树中u是v的父结点；(3)在树中u是v的父结点的兄弟；(4)在树中u与v是兄弟关系。
由此可知I 和II正确。
7.解析：每条边都连接了两个结点，在计算顶点的度之和时每条边都被计算了两次（出度和入度），故所有顶点的度之和为边数的两倍，I正确。
n个顶点、n-l条边可以构成无向连通图，比如树，II错误。
顶点数为N (N�l)的无向完全图中不存在度为1的顶点，III错误。
8.解析：选项A、B和C都是B-树的特点，而选项D则是B+树的特点。
注意区别B-树和B+树各自的特点。
9.解析：根据关键字序列得到的小顶堆的二叉树形式如下图所示。
19 15 15 1522 22 22(I)插入关键字3时，先将其放在小顶堆的末端，如图(2)所示。
四年级数学专题讲义第十二讲 包含与排除
第十二讲包含与排除同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除”，大家先一起回答两个问题：(1) 如右图(1)，两个面积都是4平方厘米的正方形摆在桌面上，它们遮盖住桌面的面积是8平方厘米吗？(2) 如右图(2)，一个正方形每条边上有6个点，四条边上一共有24个点吗？聪明的同学马上就会发现：(1) 两个正方形的面积和是8平方厘米，现在它们有一部分重叠了。
因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8平方厘米。
(2) 四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有6×4－4＝20(个)点。
这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法。
当需要计数的两类事物互相包含(有部分重复交叉)时，应把重复计数的部分排除掉。
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A的元素个数。
求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：|A∪B|=|A|+|B|－|A∩B|，我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。
图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|(意思是“排除”了重复计算的元素个数)。
在我们小学阶段的容斥问题除了上述的二元容斥外，还有三元容斥问题(如下图)。
整个图形的面积=三个圆的面积－重合二次部分的面积+重合三次部分的面积。
包含与排除
第六单元包含与排除第一课时基础篇【知识要点】1、概念；包含与排除问题也叫重叠问题。
它是集合方面的知识2、容斥原理（1）总量=A+B-AB（2）总量A+B+C-AB-BC-CA+ABC【准备知识】1、六（5）班同学中，有36人参加兴趣小组，有42人参加语文兴趣小组，有26人两样都参加。
六（5）班有多少人？2、六（6）班有56人，其中36人参加数学组，42人参加语文组，两样都参加的有多少人？例1、1到500的全部自然数中，不是7的倍数，也不是9的倍数的数有多少？想：（1）7的倍数；500÷7=71……3 即=71（个）9的倍数；500÷9=55（个）7，9的倍数500÷（7×9）=7（个）即77+55-7=119（个）（2）不是7，9的倍数；500-119=381（个）练：1.在1到200的自然数中,能被3或5整除的数共有多少个?2.在1～1000的自然数中,不能被5或7整除的数共有多少个?3.在从1到1998的自然数中,能被2整除,但不能被3或7整除的数有多少个?例2.李老师出了两道数学题,全班40人中,第一题有30人做对,第二题有12人末做对,两题都做对的的20人.问第二道题对第一题不对的有几个人?两题都不对的有几个人?想；（1）画图（2）A表示对1错2， B表示错1对2，C表示1，2都对， D表示1，2都错（3）列式；A+B+C+D=40 A+C=30A+D=12 D=20（4）类比法；比较（2）与（4）（3）与（5）A=10，D=2 即B=8整理；答对2错1的8人，两题都有错的有2人练；1.有40名运动员,其中有25人会摔跤,有20人会击剑,有10人击剑、摔跤都不会,问既会摔跤又会击剑的运动员有多少人?2.100个人参加测试,要求回答五道题,并且规定凡答对3题或3题以上的为测试合格.测试结果是:答对第一题的有81人,答对第二题的有91人,答对第三题的有85人,答对第四题的有79人,答对第五题的有74人,那么至少有多少人及格?3.在100名学生中,爱好音乐的有56人,爱好体育的有75人.那么既爱好音乐又爱好体育的人,最少有多少人?最多有多少人?作业；1.某班有36个同学,在一次测验中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人.那么两题都不对的有多少人?2.五一班期末考试语文得“优”的有15人,数学得“优”的有18人,两门功课都得“优”的有8人,两门功课都没得“优”的有20人,这个班共有多少人参加期末考试?3.六年级90名学生,每人至少订《少年报》和《小学生学习报》不的一种.有2/3的人订了《少年报》,有1/2的人订了《小学生学习报》.两种报刊都订的有多少人?第二课时较复杂的容斥问题【准备知识】将A，B，C，（AB），（AC），（BC），（ABC）标在图中，说给同座位同学听。
西方哲学智慧 09经验论
第三步，进行真正的归纳。 第三步，进行真正的归纳。 培根所谓真正的归纳又分为三个小步骤： （1）排除法，即排除和拒绝这样一些性质：这些性质是在有给定的 性质存在的例证中不存在的；或在给定性质不存在的例证中存在的； 或者在这些例证中给定性质减少而它却增加，或给定性质增加而它却 减少的。在进行这种排除的过程中已经为真正的归纳打下了基础。 （2）根据三表所列示的事例，做一次正面地解释自然的尝试，就是 通过排除之后得出正面的结论。 （3）纠正解释偏差的几种帮助。 培根列举了九种帮助，如“具有优先权的例证”，“归纳法的 改正”，“按题目的性质改变研究方法”等等。这九种“帮助”旨在 较正以上程序中的失误，以求得尽可能准确的结论。
《论科学的增进》 《新工具》 《论事物的本性》 《迷宫的线索》 《各家哲学的批判》 《自然界的大事》 《论人类的认知》
培根尖锐地批判了中世纪经院哲学，认为经院哲 学和神学严重地阻碍了科学的进步，主张要全面 改造人类的知识，使整个学术文化从经院哲学中 解放出来，实现伟大的复兴。他认为，科学必须 追求自然界事物的原因和规律。要达到这个目的， 就必须以感官经验为依据。他提出了唯物主义经 验论的原则，认为知识和观念起源于感性世界， 感觉经验是一切知识的源泉。要获得自然的科学 知识，就必须把认识建筑在感觉经验的基础上。 他还提出了经验归纳法，主张以实验和观察材料 为基础，经过分析、比较、选择、排除，最后得 出正确的结论。
霍布斯的世界观不仅是机械论的，而且也 是功能主义的，他只描述构成自然世界的 各个机械部分的实际功能和运行过程，并 不解释世界的终极原因和隐秘目的。
实体与偶性
霍布斯把物体称为“实体”，而把物体的各种属 性如广袤、动静、颜色、气味等称为“偶性” 。 霍布斯对物质“实体”也采取了一种唯名论的态 度，他认为所谓“实体”就如同“上帝”、“灵 魂”一样，都不过是一些没有确切内涵的名称。 霍布斯对偶性下了一个定义：“一个偶性就是某 个物体借以在我们心里造成它自身的概念的那种 能力”或者“我们认识物体的方式” 。在这个定 义中已经蕴含着把偶性主观化的倾向。
(29)包含与排除(上下)
（二十九）包含与排除（上）《奥赛天天练》第二十一讲《包含与排除》。
包含与排除问题也叫重叠问题，从三年级奥数课堂开始由浅入深逐步学习，此类问题说明及容斥原理具体内容，请查阅：三年级奥数解析（三十九）重叠问题与容斥原理四年级奥数解析（二十九）容斥原理这一讲将在三、四年级学习的基础上，进一步学习运用容斥原理二解答稍复杂的包含与排除问题。
【容斥原理二】如果被计数的事物有A、B、C三类，则：三类元素总个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类又是C类的元素个数。
【原理证明】如下图，三个圆片两两重叠，用红色圆片面积表示A类事物元素个数、黄色圆片面积表示B类事物元素个数、蓝色圆片面积表示C类事物元素个数，三个圆片覆盖的总面积就表示三类元素的总个数：A、B、C三个圆片共同重叠的正中间的一块，覆盖了三层圆片，重叠了2次；剩下的重叠部分都覆盖了两层圆片，重叠了1次。
三个圆片覆盖的总面积就等于三个圆片的面积之和减去重叠部分的面积，重叠1次的减去重叠面积，重叠2次的减去重叠面积的2倍。
但用三个圆片的总面积依次减去AB的重叠部分、AC的重叠部分和BC的重叠部分，重叠1次的面积正好减去了，可三个圆片共同重叠的部分既属于AB的重叠部分，也属于AC的重叠部分，同时属于BC的重叠部分。
这一块儿面积重叠2次，却减去了3次，多减了1次，要补上去。
所以：三类元素总个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类又是C类的元素个数。
《奥赛天天练》第21讲，模仿训练，练习1【题目】：在参加数学竞赛的46人中，做对第二题的有32人，做对第4题的有24人，两道题都做对的有20人，两道题都没有做对的有几人？【解析】：如下图：用做对第2题与做对第4题的人数和，减去两题都做对的人数（重叠部分），求出的就是这两题中至少做对了一题的人数：32+24-20=36（人）。
排除法
排除法篇一：数学运算常用技巧之代入排除法数学运算常用技巧之代入排除法在国家公务员行测考试中，我们遇到的题目都是四选一的客观单项选题，四个选项有且仅有一个答案是正确的。
因此，直接将选项代入题干成为应对公务员考试最重要的方法之一，但是，在使用代入排除法的进行解题的时候，依据题干表述和提问方式的不同，而选择具体使用的代入技巧有所不同。
接下来举几个例子，给大家讲解一下在数学运算的时候如何使用代入排除。
和差倍比问题一般会出现这样的表述，题干中涉及到2个两的变化，一个量的倍数加到另一个量。
例1甲、乙各有钱若干元，甲拿出1/3给乙后，乙再拿出总数的1/5给甲，这时他们各有160元，问甲、乙原来各有多少钱?元、200元元、140元元、170元元、110元解析题干中涉及到甲乙两个量的变化，出现了倍数以及加和。
题干直接问2个人的量这个时候直接代入即可。
经代入只有C符合要求。
例2甲乙各有书若干本，若甲给乙8本，则乙比甲所剩的书多3倍；若乙给甲7本，则甲乙两人书的数量相等，那么甲乙各有多少本书？（）,32 ，34，37 ，38解析和差倍比问题，直接采用代入排除即可。
但是，这一题有一点需要注意：乙比甲所剩的书多3倍，很多学生会人文乙是甲的3倍，陷入了误区。
其实，应该是乙是甲的4倍。
经代入正确答案是A.例3小华4年后年龄与小丽4年前的年龄相等，3年后，她们两人的年龄和等于她们今年年龄差的3倍，小华和小丽今年的年龄分别是多少岁?，18，13 ，12 ，14解析这一题涉及到2个人的年龄问题，而且直接问2个人的年龄，这时候采用代入排除即可。
经代入C满足题意要求。
难题以及没有思路的题目在行测考试中，经常会出现一些题，当你看完了但是没有任何思路或者计算起来很麻烦。
再次提醒不要忘记我们行测都是客观选择题，除了题干还有选项。
这个时候不妨尝试着把选项代入题干，满足要求就是答案。
例4有四个学生恰好一个比一个大一岁，他们的年龄相乘等于93024，问其中年龄最大的学生多少岁？（）岁岁岁岁解析这个题如果正面解得话，会得到一个4次方程。
排除法_精品文档
排除法第一篇范文：数学运算常用技巧之代入排除法数学运算常用技巧之代入排除法在国家公务员行测考试中，我们遇到的题目都是四选一的客观单项选题，四个选项有且仅有一个答案是正确的。
因此，直接将选项代入题干成为应对公务员考试最重要的方法之一，但是，在使用代入排除法的进行解题的时候，依据题干表述和提问方式的不同，而选择具体使用的代入技巧有所不同。
接下来举几个例子，给大家讲解一下在数学运算的时候如何使用代入排除。
和差倍比问题一般会出现这样的表述，题干中涉及到2个两的变化，一个量的倍数加到另一个量。
【例1】甲、乙各有钱若干元，甲拿出1、3给乙后，乙再拿出总数的1、5给甲，这时他们各有160元，问甲、乙原来各有多少钱() A。
120元、200元C。
180元、140元B。
150元、170元D。
210元、110元【解析】题干中涉及到甲乙两个量的变化，出现了倍数以及加和。
题干直接问2个人的量这个时候直接代入即可。
经代入只有C符合要求。
【例2】甲乙各有书若干本，若甲给乙8本，则乙比甲所剩的书多3倍；若乙给甲7本，则甲乙两人书的数量相等，那么甲乙各有多少本书？（）A。
18,32B。
20，34C。
23，37D。
24，38【解析】和差倍比问题，直接采用代入排除即可。
但是，这一题有一点需要注意：乙比甲所剩的书多3倍，很多学生会人文乙是甲的3倍，陷入了误区。
其实，应该是乙是甲的4倍。
经代入正确答案是A。
【例3】小华4年后年龄与小丽4年前的年龄相等，3年后，她们两人的年龄和等于她们今年年龄差的3倍，小华和小丽今年的年龄分别是多少岁()A。
10，18C。
5，13B。
4，12D。
6，14【解析】这一题涉及到2个人的年龄问题，而且直接问2个人的年龄，这时候采用代入排除即可。
经代入C满足题意要求。
难题以及没有思路的题目在行测考试中，经常会出现一些题，当你看完了但是没有任何思路或者计算起来很麻烦。
再次提醒不要忘记我们行测都是客观选择题，除了题干还有选项。
包含与排除
包含与排除
引子：从7本不同的数学书和8本不同的语文书中，选出6本书，不能全是同一种的书，那么有多少种不同的选法？
用前面学的知识能解决吗？
还有别的方法吗？
总结：当正面计数比较繁琐、困难时，可以从反面考虑，即从总的数量减去不符合要求的数量.
例1.学生要从八门课中选学三门，如果数学课与钢琴课时间冲突，不能同时学，那么共有几种选课的方法？
【答案】50（种）
【解答】所有的选课方法一共有种，数学课和钢琴课都选学的方法有种，其中代表数学课和钢琴课都选学，其中代表从剩余的课程中再选学1门.所以符合题意的选课方法一共有种.
第1页。
容斥问题——精选推荐
容斥问题在19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了⼀个能够为全部数学提供基础的通⽤数学框架，他创⽴的这个学科⼀直是我们数学发展的根植地，这个学科就叫做集合论。
它的概念与⽅法已经有效地渗透到所有的现代数学。
可以认为，数学的所有内容都是在“集合”中讨论、⽣长的。
容斥问题在信息学竞赛的问题求解中也经常出现。
⼀、知识点1、集合与元素：把⼀类事物的全体放在⼀起就形成⼀个集合。
每个集合总是由⼀些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。
如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。
2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。
A∪B读作“A并B”，⽤图表⽰为图中阴影部分表⽰集合A，B的并集A∪B。
例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10}3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，⼜属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表⽰：例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。
4、容斥原理（包含与排除原理）：（⽤|A|表⽰集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3）原理⼀：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进⾏：第⼀步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的⼀切元素都“包含”进来，加在⼀起）；第⼆步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素）总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣原理⼆：给定三个集合A，B，C。
要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进⾏：第⼀步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣；第⼆步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣；第三步：再加上∣A∩B∩C∣。
即有以下公式：∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |C∩A|+|A∩B∩C∣⼆、解题思路：遇到集合问题，⾸先要弄请：集合⾥的元素是什么。
包含与排除解题技巧
包含与排除解题技巧一、什么是包含与排除包含与排除啊，简单说就是在一堆东西里，把有某些特征的东西找出来，同时把不符合的排除掉。
就像从一堆水果里找出苹果，那其他不是苹果的就被排除啦。
这在数学里经常用到呢，比如说一个班级里有喜欢数学的同学，有喜欢语文的同学，还有两者都喜欢的，那要算出只喜欢数学或者只喜欢语文的人数，就得用到包含与排除的思想啦。
二、解题的小窍门1. 画圈法这个方法超有趣的。
比如说有A集合和B集合，我们就画两个圈来表示。
如果两个集合有重叠部分，那重叠部分就是既属于A又属于B的元素。
然后我们把各个部分的元素个数标出来，这样就很容易看出只属于A、只属于B以及属于A和B的元素个数啦。
就好比是给每个小群体都划了一块地盘，清清楚楚的。
2. 列算式这就需要我们仔细分析题目里的各种关系。
如果知道A集合的元素个数，B集合的元素个数，还有A和B的交集元素个数，那要求A和B的并集元素个数，就可以用A的个数加上B的个数再减去交集的个数。
这个算式就像是一把万能钥匙，能打开很多包含与排除问题的大门。
3. 分类讨论有些题目比较复杂，那我们就得把情况分分类。
比如说一个盒子里有不同颜色的球，有红色、蓝色和既红又蓝的双色球，那我们可以先讨论只有红色球的情况，再讨论只有蓝色球的情况，最后讨论双色球的情况，这样一步步分析，就不容易乱啦。
三、实际例子来帮忙理解1. 学校组织活动学校有参加唱歌比赛的同学，有参加跳舞比赛的同学，还有既参加唱歌又参加跳舞的同学。
如果唱歌比赛的有30人，跳舞比赛的有25人，两项都参加的有10人，那参加这两个比赛的总人数就是30 + 25 - 10 = 45人。
就像把唱歌的人和跳舞的人先都加起来，但是发现两项都参加的被重复计算了一次，所以要减去一次。
2. 图书借阅图书馆里有借小说的读者，有借科普书的读者，其中有一部分读者既借小说又借科普书。
假设借小说的有50人，借科普书的有40人，两种书都借的有15人，那借了书的读者总数就是50 + 40 - 15 = 75人。
数独教案4-组合排除法
01
数独解题的核心技巧之一，尤其在快速解题和高级谜题解决中发挥着至关重要的作用。它与其他技巧（如区块分析、X-Wing等）相结合，能够显著提高解题效率。
适用于各种难度
组合排除法适用于各种难度级别的数独谜题，从初级到高级都有广泛应用。通过灵活运用该技巧，玩家可以在不同难度的数独谜题中取得更好的成绩和体验。
组合排除法的应用场景
03
CHAPTER
组合排除法的技巧和步骤
总结词：掌握全局
详细描述：在解决数独问题时，首先要观察整个数独盘面，了解每个数字在行列宫的分布情况。通过观察可以发现一些数字的线索，为后续的推理提供基础。
技巧一：观察行列宫的数字分布
总结词：排除法
详细描述：在数独中，如果某个单元格中已经填入了数字，那么这个数字就可以排除掉该单元格所在行、列、宫的其他位置。通过排除法，可以缩小数字的范围，提高解题效率。
04
CHAPTER
组合排除法的练习和实例
总结词：基础入门
详细描述：这道题目适合初学者，主要练习组合排除法的基本技巧，通过填入数字1-9，满足数独的规则，同时利用组合排除法的原理，逐步缩小数字的可能性，最终找到唯一解。
练习题一：初级难度
总结词：进阶提高
详细描述：这道题目难度适中，适合已经掌握组合排除法基本技巧的学生。通过运用组合排除法，结合其他数独解题技巧，如唯一余数法、区块摒除法等，综合解决数独问题，提高解题效率。
技巧二：利用已填数字排除其他数字
总结词：空宫利用
详细描述：空宫是指没有被填入数字的单元格。在解题过程中，可以利用空宫作为起点，进行推理。例如，如果一个空宫所在的行和列都有数字填入，那么这个空宫只能填入该行和列没有出现的数字。通过空宫的利用，可以进一步缩小数字的范围，并找到解题的突破口。
九宫格行列排除法例题
九宫格行列排除法例题九宫格行列排除法是一种解决数独问题的有效方法。
数独是一种经典的逻辑谜题，目标是在一个9x9的方格中，将数字1到9填入每个格子中，并满足行、列和九宫格内没有重复数字的约束。
九宫格行列排除法是一种基于排除的策略，通过观察已知数字的位置来推导出其他格子中的可能数字。
这个方法的基本思想是，通过观察行和列中已有的数字，确定某个九宫格内可能出现的数字，进而排除其他格子中的候选数字。
下面我们通过一个例题来说明九宫格行列排除法的应用。
```5 - - | 2 8 - | - - -- 1 - | - - 6 | - - 7- - 4 | - 9 - | - - ----------+-----------+---------- 6 8 | 1 - - | 9 3 -9 - - | 8 - - | - - -4 3 1 | - - 2 | 65 ----------+-----------+---------- - - | - 7 - | 4 - 88 - - | - - - | - 6 -- - - | - 3 1 | - - 5```首先，我们观察第一行，已有的数字是5、2和8。
根据九宫格的规则，我们可以确定第一行的第1个九宫格(1,1)-(3,3)中不能出现数字5，因为该数字已经出现在第一行中。
接着，我们观察第一列，已有的数字是5和9。
根据九宫格的规则，我们可以确定第一列的第1个九宫格(1,1)-(3,3)中不能出现数字9，因为该数字已经出现在第一列中。
通过类似的观察和推理，我们可以确定第一行的第1个九宫格(1,1)-(3,3)中可能出现的数字是1、3、4、6和7。
同样地，我们可以确定第一列的第1个九宫格(1,1)-(3,3)中可能出现的数字是3、4、6和7。
以此类推，通过观察已有的数字在行和列中的分布情况，我们可以逐渐确定九宫格中可能出现的数字，并排除其他格子中的候选数字。
九宫格行列排除法的思想是基于数独谜题的局部约束条件。
09 包含与排除 简单
巨人学校 五年级数学班 第九讲 包含与排除 授课重点与课后练习； 『参考书目』：导引五年级第8讲；课本五年级下学期第12讲；『方法总结』：一、二元容斥原理：||||||||A B A B A B =+- 。
二、三元容斥原理：||||||||||||||||A B C A B C A B A C B C A B C =++---+三、学会画出图形来表示两个或者三个对象之间的关系，利用田字格方块图来表示两个对象的容斥原理，掌握对应数在图形中的特定位置，利用三圆环交叉画来理解三个对象的容斥原理。
『课堂练习』：1. 在1至200这200个自然数中，是3的倍数或者是8的倍数的数共有________个；在1至200这200个自然数中，既不是4的倍数也不是5的倍数的数共有________个；2. 六班的同学中有3/5数学成绩优良，2/3语文成绩优良，两课成绩都优良的少于15个人，那么这个班最多有________人；3. 一百以内的数中，不能被一位质数整除的一共有________个；4. 图形中阴影部分的面积是________；5. 六年级的同学中有九成数学成绩优良，八成语文成绩优良，六成外语成绩优良。
那么语文成绩优良的同学中最少有______分之______数学成绩优良；外语成绩优良的同学中最少有______分之______语文成绩优良；6. 100盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，先按其顺序编号为1、2、3、……、500，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完之后，仍然亮着的灯有_______盏；7. 全班39人参加考试，有人得优秀，有人得及格，得不及格的人数为5人。
这个班的同学有27人参加语文补习，24人参加数学补习，17人参加英语补习。
已知没有人3科都补习，并且参加补习的同学都得了及格，那么优秀的同学有_______人； 10。
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巨人学校五年级数学班第九讲包含与排除授课重点与课后练习；『参考书目』：导引五年级第8讲；课本五年级下学期第12讲；
『方法总结』：
一、二元容斥原理：||||||||
=+-。
A B A B A B
二、三元容斥原理：||||||||||||||||
=++---+
A B C A B C A B A C B C A B C
三、学会画出图形来表示两个或者三个对象之间的关系，利用田字格方块图来表示两个对象的容斥原理，
掌握对应数在图形中的特定位置，利用三圆环交叉画来理解三个对象的容斥原理。
『课堂练习』：
1.在1至200这200个自然数中，是3的倍数或者是8的倍数的数共有________个；在1至200这200
个自然数中，既不是4的倍数也不是5的倍数的数共有________个；
2.六班的同学中有3/5数学成绩优良，2/3语文成绩优良，两课成绩都优良的少于15个人，那么这个班
最多有________人；
3.一百以内的数中，不能被一位质数整除的一共有________个；
5.六年级的同学中有九成数学成绩优良，八成语文成绩优良，六成外语成绩优良。
那么语文成绩优良的
同学中最少有______分之______数学成绩优良；外语成绩优良的同学中最少有______分之______语文成绩优良；
6.100盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，先按其顺序编号为1、2、3、……、500，然后将编号
为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完之后，仍然亮着的灯有_______盏；
7.全班39人参加考试，有人得优秀，有人得及格，得不及格的人数为5人。
这个班的同学有27人参加
语文补习，24人参加数学补习，17人参加英语补习。
已知没有人3科都补习，并且参加补习的同学
都得了及格，那么优秀的同学有_______人；。