2022年山东省潍坊市中考数学总复习：二次函数

2022年山东省潍坊市中考数学总复习：二次函数
1．已知抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点B（1，0）和点A，交y轴负半轴于点C，且AO＝
2CO．有下列结论：①2b+2c＝﹣1；②a=1
2；③
a+2b
c
＞0；④4ac+2b+1＝0．其中，正
确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由抛物线的位置可知，a＞0，b＞0，c＜0，因此a+2b
c
＜0，故③不正确；
抛物线y＝ax2+bx+c过点B（1，0），因此有a+b+c＝0，
抛物线与y轴的交点C（0，c），
∵OA＝2OC，
∴点A（2c，0），代入抛物线关系式得，4ac2+2bc+c＝0，即4ac+2b+1＝0，因此④正确；∵点A（2c，0），B（1，0），
∴对称轴x=−b
2a
=2c+1
2，即4ac+2a+2b＝0，所以﹣2a+1＝0，解得a=
1
2，因此②正确；
∵a+b+c＝0，a=1 2，
∴b+c=−1
2，即2b+2c＝﹣1，因此①正确；
综上所述，正确的有：①②④，
故选：C．
2．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交x轴于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P （m，n）（n＜0）在该抛物线上．下列四个判断：①b2﹣4ac≥0；②若a+c＝b+3，则该
抛物线一定经过点（1，3）；③方程ax2+bx+c＝n的解是x＝m；④当m=x1+x2
2时，△
P AB的面积最大．其中判断一定正确．的序号是（）
A．①B．②C．③D．④【解答】解：∵抛物线与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，
∴△＝b 2﹣4ac ＞0，所以①错误；
若a +c ＝b +3，即a ﹣b +c ＝3，则该抛物线一定经过点（﹣1，3），所以②错误； 当P （m ，n ）为抛物线的顶点时，方程ax 2+bx +c ＝n 的解是x ＝m ；若P （m ，n ）不为抛物线的顶点，则方程ax 2+bx +c ＝n 有两个不相等的实数解，所以③错误； 当P 点为顶点时，△P AB 的面积最大．此时x =−b
2a =m ， ∵x 1、x 2为方程ax 2+bx +c ＝0的两不相等的实数解， ∴x 1+x 2=−b
a ， ∴m =
x 1+x 2
2
，所以④正确． 故选：D ．
3．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，顶点A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A ，B 两点，下列结论： ①abc ＞0； ②2a +b ＝0；
③当1＜x ＜4时，有y 1＜y 2；
④方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；
⑤代数式(a +b +c)(−b+√b 2
−4ac 2a +−b−√b 2
−4ac 2a
)的值是6， 其中正确的序号有（ ）
A ．①③④
B ．②④
C ．③⑤
D ．②④⑤
【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，
∵对称轴在y 轴右侧， ∴b ＞0，
∵抛物线与y 轴交于正半轴，
∴abc＜0，
故①不正确；
因为抛物线的顶点坐标A（1，3），所以对称轴为：x＝1，则−b
2a
=1，2a+b＝0，故②正
确；
由图象得：当1＜x＜4时，有y2＜y1；故③错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根是x＝1，故④正确；∵当x＝1时，y＝a+b+c＝3，
∵B（4，0），对称轴x＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x＝4，或x＝﹣2，
∴(a+b+c)(−b+√b2−4ac
2a
+−b−
√b2−4ac
2a
)=3×（4﹣2）＝6，故⑤正确；
故选：D．
4．已知点（﹣1，2）在二次函数y＝ax2的图象上，那么a的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【解答】解：∵点（﹣1，2）在二次函数y＝ax2的图象上，
∴2＝a×（﹣1）2，解得a＝2，
故选：C．
5．已知点（﹣1，y1），（√2，y2），（2，y3）在函数y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）的图象上，则将y1、y2、y3按由大到小的顺序排列是（）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y2＞y1
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+a﹣2＝a（x﹣1）2﹣2（a＞0），
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，
∵点（﹣1，y1）到对称轴的距离最大，点（√2，y2）到对称轴的距离最小，
∴y1＞y3＞y2，
故选：B．
6．二次函数y＝﹣3x2+2图象的顶点坐标为（）
A．（0，0）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（0，2）
【解答】解：二次函数y＝﹣3x2+2的图象的顶点坐标是（0，2）．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；
④c﹣a＞2，其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故本选项正确；
②由对称轴为x＝1，一个交点为（﹣1，0），
∴另一个交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3，故本选项正确；
③由对称轴为x＝1，
∴−b
2a
=1，
∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于（0，2），
∴c＝2，
∵a＜0，
∴c﹣a＞2，故本选项正确；
故选：D．
8．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）
A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，
则y ＝a （1+x ）2． 故选：B ．
9．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1
2，0），与y 轴的交点B 在（0，0）
和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x =3
2
．则下列结论：①x ＞3时，y ＜0；②4a +b ＜0；③−4
5＜a ＜0；④4ac +b 2＜4a ．其中正确的是（ ）
A ．②③④
B ．①②③
C ．①③④
D ．①②④
【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a ＜0， ∵对称轴为直线x =3
2，
∴x ＝0与x ＝3所对应的函数值相同， ∵当x ＝0时y ＜0， ∴x ＝3时y ＜0， ∴x ＞3时，y ＜0， ∴①正确； ∵x =
32=−b 2a
， ∴b ＝﹣3a ，
∴4a +b ＝4a ﹣3a ＝a ＜0， ∴②正确；
∵抛物线经过点A （1
2，0），
∴1
4a +1
2b +c ＝0， ∴c =5
4a ，
∵B 在（0，0）和（0，﹣1）之间， ∴﹣1＜c ＜0，
∴﹣1＜5
4a＜0，
∴−4
5＜a＜0，
∴③正确；
4ac+b2﹣4a＝4a×5
4a+（﹣3a）
2﹣4a＝5a2+9a2﹣4a＝14a2﹣4a＝2a（7a﹣2），
∵a＜0，
∴2a（7a﹣2）＞0，
∴4ac+b2﹣4a＞0，
∴④不正确；
故选：B．
10．如图，二次函数y＝ax2﹣ax+c（a、c都是常数且a≠0）的图象，如果x＝m时，y＜0，那么x＝m﹣1时，函数值（）
A．y＝c B．y＜c C．y＞c D．0＜y＜c
【解答】解：∵抛物线的对称轴x=−−a
2a
=12，
∴根据函数图象可知，0＜x1＜1
2，
1
2
＜x2＜1
∵x＝m时，y＜0，∴x1＜m＜x2，
∴﹣1＜m﹣1＜0，∵x＝0时，y＝c，
根据图象可知：当x＜1
2时，y随x的增大而减小，
∴x＝m﹣1时，函数值y＞c，故选：C．。