甘肃省平凉市庄浪县第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

数学一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合{1,2,3}A =，集合()(){}|120B x x x x Z =+-=∈，，则A B 是（ ）A. {1}B. {2}C. {-1,2}D. {1,2,3}【答案】B 【解析】 【分析】求出集合{}1,2B =-，再根据集合的交运算即可求解.【详解】由()(){}{}|1201,2B x x x x Z =+-=∈=-，，{1,2,3}A =， 所以{}2A B ⋂=. 故选：B【点睛】本题考查了集合的基本运算，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 2. 角2912π的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】 找到()0,2π内和2912π终边相同的角，然后即可判断. 【详解】因为295=21212πππ+，角512π是第一象限角，所以角2912π的终边所在的象限是第一象限． 故选A .【点睛】本题考查终边相同的角所在象限问题，难度较易.3. 若扇形的中心角为120︒3 ）A. πB.54π C.3π D.23π【答案】A 【解析】 【分析】由扇形面积公式212S r α=可得 【详解】扇形的中心角为2120=3π︒3所以22112(3)223S r παπ==⨯⨯= 故选;:A【点睛】本题考查弧度制下扇形面积弧度制下扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度． 4. 函数tan 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的定义域为（ ） A. ,3x x x R π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭B. ,6x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C. 5,6x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D. 5,6x x k k Z ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 【分析】 直接由,32x k k Z πππ-≠+∈求解即可【详解】解：由,32x k k Z πππ-≠+∈，得5,6x k k Z ππ≠+∈， 所以函数的定义域为5,6x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 故选：C【点睛】此题考查求正切型函数的定义域，利用了整体的思想，属于基础题. 5. 已知点()0,1A ，()3,2B，向量()4,3AC =--，则向量CB =（ ）．A. ()7,4--B.()7,4 C. ()1,4- D. ()1,4【答案】B 【解析】 【分析】设(,)C x y ，根据(4,3)AC =--，求出(4,2)C --，即得CB 的坐标.【详解】设(,)C x y ，因为(4,3)AC =--，所以(,1)(4,3)x y -=--，可得4,13x y =--=-， 解得4,2x y =-=-，可得(4,2)C --. 所以()()(34,22)(7,4)CB =----=. 故选：B.【点睛】本题主要考查向量的坐标表示和坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6. 如图，D 是ABC ∆的边AB 的中点，则向量CD 等于( )A. 12BA BC -+ B.12BA BC + C. 12BA BC --D. 12BA BC -【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量运算的三角形法则计算得到答案.【详解】D 是ABC ∆的边AB 的中点，则向量12CD CB BD BC BA =+=-+. 故选：D .【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.7. 设tan 3α=，则()()sin cos sin cos 22αππαππαα-+-=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A. 3B. 2C. 1D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】先利用诱导公式和三角函数的基本关系式，化简得到sin cos tan 1sin cos tan 1αααααα++=--，代入即可求解.【详解】由诱导公式，可得()()sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos 22αππαααααππαααααα-+---+==--⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos tan 131cos 2sin cos tan 131cos αααααααα+++====---.故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.8. 在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状．【详解】由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴2B ππ<<．∴ABC 是钝角三角形． 故选：D ．【点睛】本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 9. 设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)3πα+的值为（ ） A. 2425-B. 1225-C.1225D.2425【答案】D 【解析】 【分析】由同角间的三角函数关系求得sin()6πα+，然后由正弦的二倍角公式求值． 【详解】∵α为锐角，4cos()65πα+=，∴(0)62ππα+∈，，∴23sin()1cos ()665ππαα+=-+=， 则3424sin(2)2sin()cos()23665525πππααα+=+⋅+=⨯⨯=， 故选：D.本题考查同角间的三角函数关系，考查二倍角公式，应用平方关系求函数值需要确定角的范围后再求值．10. 函数值tan 224°，sin 136°，cos 310°的大小关系是（ ） A. cos 310°＜sin 136°＜tan 224° B. sin 136°＜cos 310°＜tan 224° C. cos 310°＜tan 224°＜sin 136° D. tan 224°＜sin 136°＜cos 310°【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式以及三角函数线即可求解. 【详解】()tan 224tan 18044tan 44=+=，()sin136sin 18044sin 44=-=，()cos310cos 36050cos50sin 40=-==，如图，44COF ∠=，CF 为正切线，EG 为正弦线，DI 为40的正弦线， 由图可知，CF EG DI >>,所以cos 310°＜sin 136°＜tan 224°. 故选：A【点睛】本题考查三角函数的诱导公式、三角函数线比较函数值的大小，属于基础题. 11. 函数21sin 2sin ,2y x x x R =+∈的值域是（ ） A. 13[,]22-B. 31[,]22-C. 2121[]22++ D. 2121[]22- 【答案】C 【解析】 【分析】应用二倍角公式和两角差的正弦公式化函数为()sin()f x A x h ωϕ=++形式，然后由正弦函数性质得值域． 【详解】由已知2111cos 2222121sin 2sin sin 22222222222242x y x x x x x x π⎫-⎛⎫=+=+=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∵x ∈R ，∴sin 2[1,1]4x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴2121,2222y ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦． 故选：C ．【点睛】本题考查求三角函数的值域，考查二倍角公式和两角差的正弦公式，考查正弦函数的性质，解题关键是把函数化为()sin()f x A x h ωϕ=++形式．12. 2(0)()ln (0)kx x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则下列关于[()]2y f f x =-的零点个数判断正确的是（ ）A. 当0k =时，有无数个零点B. 当k 0<时，有3个零点C. 当0k >时，有3个零点D. 无论k 取何值，都有3个零点【答案】A 【解析】 【分析】讨论0k =，k 0<或0k >，作出分段函数的图像，逐一分析求解判断即可. 【详解】对于A ，当0k =时，函数()f x 对应的图像如图：当0t ≤时，由()2f t =，此时22=此时方程恒成立， 即[()]2y f f x =-有无数个零点，故A 正确，D 错误. 对于B ，当k 0<时，对应的图像如图：当0t >时，由()2f t =，此时ln 2t -=，得()20,1t e -=∈，当0t ≤时，由()2f t =可得0t =， 由()()20,1t f x e -==∈，此时x 有一个解，由()0t f x ==，此时x 有一个解，综上[()]2y f f x =-的零点个数为2个，故B 错误； 对于C ，当0k >时，对于的图像如图：当0t >时，由()2f t =，此时ln 2t -=，得()20,1t e -=∈，当0t ≤时，由()2f t =可得0t =，由()()20,1t f x e -==∈，此时x 有两个解， 由()0t f x ==，此时x 有两个解，综上[()]2y f f x =-的零点个数为4个，故C 、D 错误.【点睛】本题考查了求函数的零点个数，考查了分类讨论的思想，属于中档题.二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 若a b ⊥，c 与a 及与b 的夹角均为o 60，a =1，2,3b c ==，则2(2)a b c +-=__________ .【答案】11 【解析】 【分析】由平面向量数量积的运算律计算．【详解】由题意0a b ⋅=，313cos602a c ⋅=⨯⨯︒=，同理23cos 603b c ⋅=⨯⨯︒=， 2222(24424)a b a a b c c c b a b c=+++⋅-⋅+-⋅-22314230243112=+⨯++-⨯-⨯=． 故答案为：11．【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，掌握数量积的运算律是解题关键． 14. 若(3,cos ),(3,sin ),a b αα==且a //b ,则锐角α=__________ .【答案】3π 【解析】 【分析】由向量平行的坐标运算计算．【详解】∵a //b 33cos 0αα-=，又α为锐角，cos 0α≠，∴tan 3α=3πα=．故答案为：3π． 【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，考查同角间的三角函数关系，属于基础题． 15. 已知()12409a a =>，则23log a = __________ . 【答案】4 【解析】由指数式与对数式的关系进行计算．【详解】2124293a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴423a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴23log 4a =．故答案为：4．【点睛】本题考查对数的概念，考查幂的运算．属于基础题． 16. 定义运算(){()a ab a b b a b ≤*=>，例如：121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为__________． 【答案】[-1,22] 【解析】由题设可得sin ,sin cos (){cos ,sin cos x x x f x x x x≤=>，在同一平面直角坐标系中画出正弦函数、余弦函数的图像如图，结合图像可知：min max 2()1,()f x f x =-=故函数sin ,sin cos (){cos ,sin cos x x x f x x x x ≤=>的值域为2[-，应填答案2[-． 三.解答题（共六小题，第17题10分，其余各小题均12分，共70分）17. 已知()1sin cos 05x x x π+=-<< （1）求sin cos x x 的值； （2）求tan x 的值.【答案】（1）1225-；（2）34-．【解析】 【分析】（1）已知等式平方后可求得sin cos x x ；（2）判断x 的范围，求出sin ,cos x x 后可得tan x ． 【详解】（1）∵1sin cos 5x x +=-， 2221(sin cos )sin cos 2sin cos 12sin cos 25x x x x x x x x +=++=+=， ∴12sin cos 25x x =-； （2）∵1sin cos 5x x +=-，0πx <<，∴sin 0x >，cos 0x <， ∴112sin cos sin sin 525x x x x ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，即2112sin sin 0525x x +-=， 解得3sin 5x =（45-舍去），∴24cos 1sin 5x x =--=-， sin 3tan cos 4x x x ==-．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系．在应用平方关系求值时要确定角的范围，从而确定函数值的正负．18. 已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，，0βαπ<<<. （1）若2a b -=，求证：a b ⊥；（2）设c (0,1)=，若a b c +=，求α，β的值. 【答案】（1）见解析（2）56πα=，6πβ=. 【解析】【详解】由题意，2||2a b -=，即a （-2b =）222?2a a b b -+=，又因为1a b ==，∴22?2a b -=，即a b 0=，∴a b ⊥（2）a +b (cos cos ,sin sin )(0,1)αβαβ=++=，∴cos cos 0{sin sin 1αβαβ+=+=，由此得cos cos()απβ=-，由0βπ<<，得0πβπ<-<，又0απ<<，故απβ=-，代入sin sin 1αβ+=得1sin sin 2αβ==，而αβ>，∴56πα=，6πβ= 【考点定位】本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系、有道公式等基础只晒，考查运算求解能力和推理论证能力.19. 已知点(0,5)P 及圆C ：22412240x y x y ++-+=.（1）若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43l 的方程； （2）求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．【答案】（1） x ＝0或3x －4y ＋20＝0；（2）x 2+y 2+2x ﹣11y +30＝0 【解析】 【分析】（1）讨论直线l 斜率是否存在，由题意斜率不存在时符合题意，当斜率存在时利用点到直线的距离公式求得直线斜率，即可得直线方程；（2）设弦的中点为M （x ，y ）,由题意得CM ⊥PM ，利用斜率之积为-1得出轨迹方程． 【详解】（1）圆C ：22412240x y x y ++-+=，圆心为(2,6)C -，半径r ＝4， ∵直线l 被圆C 截得的线段长为43∴圆心C 到直线l 的距离d ＝224(23)-2，若直线l 斜率不存在，则直线方程为x ＝0，此时圆心到直线l 的距离为2，符合题意； 若直线l 斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝kx +5，即kx ﹣y +5＝0， 22k 1=+，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x +5，即3x －4y ＋20＝0综上，直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0． （2）设所求轨迹上任意一点为M （x ，y ），则k CM ＝62y x -+（x ≠﹣2），k PM ＝5y x -（x ≠0）， ∴62y x -+•51y x-=-， 整理得x 2+y 2+2x ﹣11y +30＝0，经验证当x＝﹣2时，弦的中点为（﹣2，5）或（﹣2，6），符合上式，当x＝0时，弦的中点为（0，6），符合上式，∴过P点的圆C弦的中点的轨迹方程为x2+y2+2x﹣11y+30＝0．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用和轨迹方程的求解，考查学生的计算能力，属于基础题．20. 如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.（1）求证:MN//平面PAD.（2）若PD与平面ABCD所成的角为o45，求证：MN⊥平面PCD.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）取PD的中点E，证明//MN AE，再利用线面平行的判定定理即可证明.（2）首先利用线面垂直的判定定理证明AE⊥平面PCD，再根据//MN AE即可证出. 【详解】（1）取PD的中点E，连接AE，EN，M，N分别是AB，PC的中点，//AM CD ∴且12AM CD=，//EN CD且12EN CD=，//AM EN∴且AM EN=,∴四边形AMNE为平行四边形，AE MN ∴//，又AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，//MN ∴平面PAD .（2）若PD 与平面ABCD 所成的角为o 45， PA ⊥矩形ABCD 所在平面，可得PA ⊥AD 则PA AD =，所以AE PD ⊥， 又ABCD矩形，则CD AD ⊥，由PA ⊥平面ABCD ，则PA CD ⊥，AD PA A =，CD 平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，CD AE ∴⊥，PD AD D =，AE ∴⊥平面PCD ，//AE MN ，∴ MN ⊥平面PCD .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质定理，考查了逻辑推理能力，属于基础题.21. 已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωφωφπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值3；当712x π=时，()f x 取得最小值-3. （1）求函数()f x 的单调递减区间. （2）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()2()1h x f x m =+-有两个零点，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）)331,7⎡⎣ 【解析】 【分析】（1）根据函数的性质求出函数的解析式()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解不等式即可求解. （2）将函数转化为1sin 236m x π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭有两个不同的实数根，即sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与16m y -=的图像有两个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】（1）由题意可得3A =，周期7221212T πππω⎛⎫=-=⎪⎝⎭，2ω∴= 由22,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，πϕπ-<<，可得3πϕ=，故函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 故函数的减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()2()1h x f x m =+-有两个零点，，故1sin 236m x π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭有两个不同的实数根， 即函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与16m y -=的图像有两个不同的交点， 作出函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭大致图像，由22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦可知136m ⎫-∈⎪⎪⎣⎭，解得)331,7m ⎡∈⎣. 【点睛】本题考查了求三角函数的解析式、求三角函数的单调区间、根据函数的零点个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想、数形结合的思想，属于基础题. 22. 已知向量(),u x y =与向量(),2v y y x =-的对应关系用()v f u =表示.（1）证明：对任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有()()()f ma nm mf a nf b +=+； （2）设()1,1a =，()1,0b =，求向量()f a 及()f b 的坐标； （3）求使()(),f c p q =（p 、q 为常数）的向量c 的坐标.【答案】（1）证明见解析；（2）()()1,1f a =，()()0,1f b =-；（3）()2,c p q p =-. 【解析】 【分析】（1）设出两个向量的坐标，通过坐标运算证明()()()f ma nb mf a nf b +=+； （2）根据题中所给的映射关系写出所求向量的坐标；（3）设出(),c x y =，结合()(),f c p q =通过建立方程组可求解向量c 的坐标. 【详解】（1）设11,ax y ，22,bx y ，()1212,ma nb mx nx my ny ∴+=++，()()()()121212,2f ma nb my ny my ny mx nx +=++-+，又()()()111111,2,2mf a m y y x my my mx =-=-，()()222,2nf b ny ny nx =-， 所以，()()()()111222,2,2my my mx m ny n f y n f a n x b +-+-=()()()121212,2my ny my ny mx nx =++-+，因此，对任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+； （2）()1,1a =，则()()()1,2111,1f a =⨯-=，()1,0b =，()()()0,2010,1f b ∴=⨯-=-；（3）设(),c x y =，则()(),2f c y y x =-，()(),f c p q =，()(),2,y y x p q ∴-=，则2y p y x q =⎧⎨-=⎩，解得2x p qy p =-⎧⎨=⎩，因此，()2,c p q p =-.【点睛】本题考查平面向量新定义问题的求解，解题时要注意向量通过该映射关系的坐标与原坐标之间的关系，考查计算能力，属于中等题.。