高考经典练习题极坐标系选讲
极坐标与参数方程和不等式选讲压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题12极坐标与参数方程和不等式选讲压轴题题型/考向一：极坐标与参数方程题型/考向二：不等式选讲○热○点○题○型一极坐标与参数方程1.极坐标系：极径OM =ρ,即M 点与极点O 间的距离极角=θ∠XOM ，即以极轴OX 为始边，OM 为终边的角2．极坐标与直角坐标的互化例如()1-3-,，则()()33=3-1-=2=1-+3-=22θρtan ,又()1-3-, 在第三象限，所以πθ34=，⎪⎭⎫⎝⎛342∴π,3．常见曲线的极坐标方程4．常见曲线的参数方程①圆222()()x a y b r -+-=的参数方程是：cos sin ()x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数②椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是：cos ,()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数③过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数5：直线的标准参数方程中t的几何意义过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数00(,)P x y 点所对应的参数为0t =0，记直线l 与任意曲线相交于,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则①线段AB 的中点O 所对应的参数为t =2+21t t ，如果线段AB 的中点恰好是P ,则有0=+21t t ②12AB t t =-=，③1212121212,0t t t t PA PB t t t t t t ⎧+⋅>⎪+=+=⎨-=⋅<⎪⎩，④1212121212,00t t t t PA PB t t t t t t ⎧+⋅<⎪-=-=⎨-=⋅>⎪⎩⑤1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅注：①将直线的参数方程代入曲线的方程得到关于t 的二次方程，则由韦达定理得出：abt t -=+21、ac t t =216、直线一般式：过定点00(,)P x y 斜率αtan =k =ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数)①若1=+22b a ,即为标准式，此时参数t 具备几何意义②若1≠+22b a ，参数t 不具备标准式中t 的几何意义.标准式与一般式的联系与互化：直线的普通参数方程⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数)化为直线的标准参数方程的方法是将直线的方向向量化为直线的单位向量，即是化为参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=220220t b a b y y t b a a x x (t 为参数)7、经过极点或原点的三种直线方程：①普通方程：②极坐标方程：③参数方程：1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为41,535x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），抛物线C的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．(1)求直线l 和抛物线C 的直角坐标方程；(2)求直线l 被抛物线C 截得的弦长.2．在平面直角标系xOy 中，曲M 的参数方程为2sin y α⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求曲线M 的普通方程；(2)若D 为曲线M 上一动点，求D 到l 距离的取值范围．3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为y α=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求直线l 的一般方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线l 与x 轴相交于点P ，求PA PB ⋅的值.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22sin y ϕ⎨=+⎩（其中ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l πcos 44θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 是曲线C 上的一动点，求PAB 面积的最大值．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,0M ，且倾斜角为π4，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程是为2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ参数）．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)已知曲线C 与直线l 相交于A ，B 两点，则AB 的值．6．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=-⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 6ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)P 为l 上一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若3APB π∠≥，求点P 横坐标的取值范围．1sin ,2APO ∴∠≥∴在Rt OAP △中，||2||22OP OA ∴≤=,22(323)22x x ∴+-≤,两边平方得解得353522x -+≤≤,3⎡-2240x y x +-=，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 交曲线C 于两点A ，B ，求AOB ∠的大小.直线l 的参数方程为1cos ,1sin .x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1)若π4ϕ=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为Q ，说明点Q 的轨迹为何种曲线.9．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1sin y ϕ⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．(1)求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程；(2)直线l ：()6πθρ=∈R 与曲线1C ，2C 分别交于M 、N 两点（异于极点O ），P 为2C 上的动点，求△PMN 面积的最大值．y =⎪⎩极点，x 轴为正半轴建立极坐标，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 2sin 4ρθρθ+=，其右焦点为F ，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.(1)求||||FA FB +的值；(2)若点P 是椭圆上任意一点，求PAB 的面积最大值.83○热○点○题○型二不等式选讲【考点1】基本不等式基本不等式的常见结论：（1）222a b ab +≥（,a b R ∈），当且仅当a b =时，等号成立；（2）2a b ab +≥（,0a b >），当且仅当a b =时，等号成立；（3）33a b c abc ++≥a b c ==时，等号成立（4）2b a a b+≥（,a b 同号，a b =时取等号。
2023年高考数学真题分训练 极坐标系与参数方程(含答案含解析)
专题34 极坐标系与参数方程2⎩2 2考点 116 平面直角坐标系中的伸缩变换 考点 117 极坐标和直角坐标的互化⎧x = t + 1,⎪x = 4cos 2θ, 1．(2023 全国Ⅱ文理 21)已知曲线C 1 , C 2 的参数方程分别为C 1 : ⎨ (θ为参数)，C : ⎪ t ( t 为 ⎩ y = 4sin 2θ⎪ y = t - 1参数)．(1) 将C 1 , C 2 的参数方程化为一般方程；⎪ t(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1 , C 2 的交点为 P ，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程．（解析）(1)由cos 2 θ+ sin 2 θ= 1得C 1 的一般方程为： x + y = 4 ，⎧x = t + 1 ⎧x 2= t 2 + 1 + 2 ⎪ t ⎪ t 2 C 2 2由⎨ 1 得： ⎨1 ，两式作差可得2 的一般方程为： x - y = 4 ． ⎪ y = t - ⎪ y 2 = t 2 + - 2 ⎪ t ⎪ t 2⎧x = 5 ⎧x + y = 4 ⎪ (2)由 得： 2 ，即 P ⎛ 5 , 3 ⎫． ⎨x 2 - y 2= 4 ⎨ ⎪ y = 3 ⎩ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎛ 5 ⎫2⎛3 ⎫217设所求圆圆心的直角坐标为(a , 0)，其中 a > 0 ，则 a - ⎪ + 0 - ⎪ = a 2 ，解得：a = ，⎝2 ⎭⎝2 ⎭10∴ 17 ∴⎛ 17 ⎫2⎛ 17 ⎫222 2 17 所求圆的半径 r = ， 10 所求圆的直角坐标方程为： x - 10 ⎪ + y = 10 ⎪ ，即 x + y = x ，5 ∴所求圆的极坐标方程为ρ= 17cos θ．5⎝ ⎭ ⎝ ⎭103⎩⎪x = 2 - t - t 2, 2．(2023 全国Ⅲ文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪ y = 2 - 3t + t 2( t 为参数且t ≠ 1)，C与坐标轴交于 A , B 两点．(1) 求 AB ；(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．（解析）(1)令 x = 0 ，则t 2 + t - 2 = 0 ，解得t = -2 或t =1(舍)，则 y = 2 + 6 + 4 = 12 ，即 A (0,12) ． 令 y = 0 ，则t 2 - 3t + 2 = 0 ，解得t = 2 或t =1(舍)，则 x = 2 - 2 - 4 = -4 ，即 B (-4, 0) ．∴ AB == 4 ．(2)由(1)可知 k AB =12 - 00 - (-4)= 3 ，则直线 AB 的方程为 y = 3(x + 4) ，即3x - y +12 = 0 ．由 x = ρcos θ, y = ρsin θ可得，直线 AB 的极坐标方程为3ρcos θ- ρsin θ+12 = 0 ．3．(2023 江苏 22)在极坐标系中，已知点 A (ρ, π) 在直线l : ρcos θ= 2 上，点 B (ρ , π) 在圆C : ρ= 4 sin θ上1 32 6(其中ρ≥ 0 ， 0 ≤θ< 2π)．(1)求ρ1 ， ρ2 的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．（解析）(1) Q ρ cos π = 2∴ρ = 4; Q ρ = 4 s inπ2 ．131 26 ∴ρ2 = (2) Q ρcos θ= 2, ρ= 4 sin θ∴ 4 sin θcos θ= 2,∴sin 2θ= 1 Q θ∈0, 2π)∴θ= π, 5π，4 4当θ= π时ρ= 2 4；当θ= 5π 时ρ= -2 4 < 0 (舍)；即所求交点坐标为当π (2 2, ) ． 4 4．(2023 全国 II 文理 22)在极坐标系中，O 为极点，点 M (ρ0 ,θ0 )(ρ0 > 0)在曲线C : ρ= 4 s in θ上，直线 l 过点 A (4, 0) 且与OM 垂直，垂足为 P ． (1)当θ = π时，求ρ 及 l 的极坐标方程；3(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．（解析）(1)因为 M (ρ,θ ) 在C 上，当θ = π 时，ρ = 4 s in π= 2 ．0 0 0 3 03由已知得| OP |=| OA | cos π= 2 ．322333⎢⎥⎢⎥设Q (ρ,θ) 为l 上除P 的任意一点．在Rt △OPQ 中ρcos⎛θ-π ⎫=| OP |= 2 ， 3 ⎪ ⎝ ⎭π ⎛ π ⎫经检验，点P (2, ) 在曲线ρcos θ- ⎪ = 2 上． ⎝ ⎭所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎛θ- π ⎫= 2 ．3 ⎪ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ，在Rt △OAP 中， | OP |=| OA | cos θ= 4 cos θ,即 ρ= 4 cos θ．．因为P 在线段OM 上，且 AP ⊥ OM ，故θ的取值范围是⎡π , π⎤． ⎣ 4 2 ⎦所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ= 4 cos θ,θ∈ ⎡π , π⎤ ．⎣4 2 ⎦5．(2023 全国 III 文理 22)如图，在极坐标系 Ox 中， A (2, 0) ， B ( 2, π) ，C ( 2, 3π) ， D (2, π) ，弧 AB ，4 4 A ， A 所在圆的圆心分别是(1, 0) ，π， (1, π) ，曲线 M 是弧 A ，曲线 M 是弧 A ，曲线 M 是BC CD(1, ) 21 AB2 BC3 弧C D ．(1) 分别写出 M 1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；(2) 曲线 M 由 M 1 ， M 2 ， M 3 构成，假设点 P 在 M 上，且| OP |= ，求P 的极坐标．（解析）(1)由题设可得，弧 AB , B C ,C D 所在圆的极坐标方程分别为ρ= 2 cos θ，ρ= 2 s in θ，ρ= -2 cos θ，所以 M 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ⎛0 θ π ⎫ ， M 的极坐标方程为 1 4⎪ 2⎝⎭ρ= 2 sin θ⎛ π θ3π ⎫ ， M 的极坐标方程为ρ= -2 cos θ⎛ 3πθ π ⎫ ． 4 4 ⎪ 34 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ，由题设及(1)知3332⎩⎩⎩⎩⎩θ假设0 θπ，则 2 cos θ=，解得θ=π；4 6假设 π θ 3π ，则 2 sin θ= ，解得θ= π 或θ= 2π ； 4 4 3 3 假设 3π θ π ，则-2 cos θ= ，解得θ= 5π ．4 ⎛ 综上，P 的极坐标为3, π ⎫ 或⎛3, π ⎫ 或⎛63,2π ⎫ 或⎛3, 5π ⎫ ．6⎪ 3⎪ 3 ⎪ 6 ⎪ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭考点 118 参数方程与一般方程的互化6．(2023 上海 14)已知直线方程3x + 4 y +1 = 0 的一个参数方程可以是()⎧x = 1+ 3t A ． ⎨ y = -1+ 4t ⎧x = 1- 4tB ． ⎨y = -1- 3t⎧x = 1- 3tC ． ⎨y = -1+ 4t ⎧x = 1+ 4t D ． ⎨y = -1- 3t（答案）D（解析）A ．参数方程可化简为 4x - 3y - 7 = 0 ，故 A 不正确；B ．参数方程可化简为3x - 4 y - 7 = 0 ，故B 不正确；C ．参数方程可化简为 4x + 3y -1 = 0 ，故 C 不正确；D ．参数方程可化简为3x + 4 y +1 = 0 ， 故 D 正确．应选 D ．7．(2023 全国Ⅲ)选修 4—4：坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系 xOy 中， A O 的参数方程为⎧x = cos θ(θ为参数)，过点(0, -2) 且倾斜角为α的直线l 与A O 交于 A ， B 两点．(1) 求α的取值范围；(2) 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．⎨ y = sin ，（解析）(1) A O 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 1． 当α= π时， l 与A O 交于两点．2当α≠ π时，记 tan α= k ，则l 的方程为 y = kx -．l 与A O 交于两点当且仅当< 1 ，解得 k < -1 或2α∈π ππ 3πk > 1，即( , ) 或α∈ ( , ) ．4 2 2 4α π 3π 综上，的取值范围是( , ) ． 4 4222222⎨(2) l 的参数方程为⎪x = t cos α, (t 为参数， π < α< 3π) ． ⎨⎩ y = - + t sin α 4 4 设 A ， B ， P 对应的参数分别为 t ， t ， t ，则t =t A + t B，且t ， t 满足t 2 - 2 2t sin α+ 1 = 0 ．ABPP2A B于是t A + t B= 2 2 sin α， t P =2 sin α．又点 P 的坐标(x , y ) 满足 ⎪x = t P cos α,y = - + t sin α.⎧ ⎪x =2sin 2α, 2 ⎩P π 3π 所以点 P 的轨迹的参数方程是⎨ ⎪ y = - 2 - 2 cos 2α (α为参数， < α< ) ． 4 4 ⎪ 2 2考点 119 极坐标方程与参数方程的综合应用8．(2023 北京文理)在极坐标系中，直线ρcos θ+ ρsin θ= a (a > 0) 与圆ρ=2 cos θ相切，则 a =．（答案）1+ （解析）利用 x = ρcos θ， y = ρsin θ，可得直线的方程为 x + y - a = 0 ，圆的方程为(x -1)2 + y 2 = 1 ，所以圆心(1, 0) ，半径 r = 1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1- a |= 1 ，∴ a = 1+ 或1- ，又 a > 0 ，∴ a = 1+ ．9．(2023 北京文理)在极坐标系中，点 A 在圆ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 上，点 P 的坐标为(1, 0) )，则| AP | 的最小值为．（答案）1（解析）圆的一般方程为 x 2 + y 2 - 2x - 4y + 4 = 0 ，即(x -1)2 + ( y - 2)2 = 1 ．设圆心为C (1, 2) ，所以| AP |min =| PC | -r = 2 -1 = 1 ．10．(2023 天津文理)在极坐标系中，直线4ρcos(θ- π) +1 = 0 与圆ρ= 2 s in θ的公共点的个数为．6（答案）2（解析）直线的一般方程为 2 3x + 2 y +1 = 0 ，圆的一般方程为 x 2 + ( y -1)2= 1 ，因为圆心到直 3线的距离 d = < 1 4，所以有两个交点．11．(2023 北京文理)在极坐标系中，直线ρcos θ- | AB |= ．3ρsin θ-1 = 0 与圆ρ= 2 cos θ交于 A , B 两点，则（答案）2（解析）将ρcos θ-3ρsin θ-1 = 0 化为直角坐标方程为 x - 3y -1 = 0 ，将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x -1)2+ y 2= 1 ，圆心坐标为(1，0)，半径 r=1，又(1，0)在直线 x - 3y -1 = 0 上，所以|AB|=2r=2．222234y x ⎩⎩⎩)⎩12．(2023 广东文理)已知直线l 的极坐标方程为 2ρsin(θ- π= 47πA (2 2,) ，则点 Α 到直线l 的距离为 ．42 ，点 Α 的极坐标为（答案）（解析）由 2ρsin(θ- 2π ) = 得2ρ´ 4 2 7π(sin θ- cos θ) = ，所以 y - x = 1， 故直线l 的直角坐标方程为 x - y +1 = 0 ，而点 A (2 2, ) 对应的直角坐标为4 A (2,-2) ，所以点 A (2,-2) 到直线l ： x - y +1 = 0 的距离为| 2 + 2 +1| = 5 2． 213．(2023 安徽文理)在极坐标系中，圆ρ= 8sin θ上的点到直线θ=是．π(ρ∈ R ) 距离的最大值 3（答案）6（解析）圆ρ= 8sin θ即ρ2= 8ρsin θ，化为直角坐标方程为 x 2+ ( y - 4)2= 16 ，π直线θ=，则tan θ=，化为直角坐标方程为 3x - y = 0 ，圆心(0, 4) 到直线3的距离为| -4 |= 2 ，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6．14．(2023 全国Ⅰ文理 21)⎧x = cos k t ,在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin k t(t 为参数) ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为 4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ．(1) 当 k = 1时， C 1 是什么曲线？(2) 当 k = 4 时，求C 1 与C 2 的公共点的直角坐标．（解析）(1)当 k = 1时，曲线C 的参数方程为⎧x = cos t ,( t 为参数)，两式平方相加得 x 2 + y 2 = 1 ，1⎨y = sin t∴曲线C 1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆．⎧x = cos 4 t ,(2)当 k = 4 时，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin 4t ( t 为参数)，∴ x ≥ 0, y ≥ 0 ，曲线C 1 的参数方程化为⎧ x = cos 2 t ⎨ y = sin 2t(t 为参数)，两式相加得曲线C 1 方程为 + = 1，得 = 1 - ，平方得 5 22x yx 77⎩2y = x - 2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ，曲线C 2 的极坐标方程为4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ，曲线C 2 直角坐标方程为4x -16 y + 3 = 0 ，联立C , C 方程⎪ y = x - 2 +1 , ，整理得12 x - 32 + 13 = 0 ，解得 x = 1 或 = 13(舍去)，1 2⎨ ⎩4x -16 y + 3 = 02 6 ∴ x = 1 , y = 1 ，∴C ,C 1 1 公共点的直角坐标为( , ) ．4 4 1 24 4⎧ 1- t 2 ⎪x =1+ t 215．(2023 全国 1 文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为⎨ ⎪ y = ⎩ 4t 1+ t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ+ 3ρsin θ+11 = 0 ．(1) 求 C 和 l 的直角坐标方程；(2) 求 C 上的点到 l 距离的最小值．1- t 2⎛ y ⎫2⎛ 1- t 2 ⎫24t 2 （解析）(1)因为-1 < ≤ 1 ，且 x 2 + ⎪ = ⎪ + = 1，所以C 的直角坐标方程为2y 2 1+ t 2⎝ 2 ⎭ ⎝1 + t 2 ⎭ (1+ t 2 )2x += 1(x ≠ -1) ．4l 的直角坐标方程为 2x + 3y +11 = 0 ．⎧x = cos α, (2)由(1)可设C 的参数方程为 (α为参数， -π <α< π )．⎨y = 2sin α4 cos ⎛α- π ⎫ +113 ⎪ C 上的点到l 的距离为 = ⎝ ⎭．当α= - 2π 时， 4 c os ⎛α- π ⎫+11 取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为 ． 3 3 ⎪ ⎝ ⎭16．(2023 全国Ⅰ文理) 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的方程为 y = k |x | + 2 ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+ 2ρcos θ- 3 = 0 ． (1) 求C 2 的直角坐标方程；x x x | 2 c os α+ 2 3 sin α+11|7⎨y = 4 s in θ,⎩(2) 假设C 1 与C 2 有且仅有三个公共点，求C 1 的方程．（解析）(1)由 x = ρcos θ， y = ρsin θ得C 2 的直角坐标方程为(x +1)2 + y 2 = 4 ．(2)由(1)知C 2 是圆心为 A (-1, 0) ，半径为 2 的圆．由题设知，C 1 是过点 B (0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为l 1 ，y 轴左边的射线为l 2 ．由于 B 在圆C 2 的外面，故C 1 与C 2 有且仅有三个公共点等价于l 1 与C 2 只有一个公共点且l 2 与C 2 有两个公共点，或l 2 与C 2 只有一个公共点且l 1 与C 2 有两个公共点．当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为 2 ，所以| -k + 2 |= 2 ，故 k = - 4 或 k = 0 ．1213经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = - 4时， l 与C 只有一个公共点， l 与C 有两个公共点．1231 2 2 2| k + 2 | 当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为2 ，所以= 2 ，故 k = 0 或 k = 4 ．2 2 23经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = 4时， l 与C 没有公共点．1 2 32 2综上，所求C 的方程为 y = - 4| x | +2 ．1317．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎧x = 2 cos θ,( θ 为参数)，直线l 的参数⎩⎧x = 1+ t cos α 方程为⎨ y = 2 + t sin α ( t 为参数)．(1) 求C 和l 的直角坐标方程；(2) 假设曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1, 2) ，求l 的斜率．x 2 + y 2 =（解析）(1)曲线C 的直角坐标方程为 1． 4 16当cos α≠ 0 时， l 的直角坐标方程为 y = tan α⋅ x + 2 - tan α； 当cos α= 0 时， l 的直角坐标方程为 x = 1 ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1+ 3cos 2 α)t 2 + 4(2 cos α+ sin α)t - 8 = 0 ．①3317⎩⎨ y = 1- ty 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1, 2) 在C 内，所以①有两个解，设为t 1 ， t 2 ，则t 1 + t 2 = 0 ．4(2 cos α+ sin α)又由①得t 1 + t 2 = -1+ 3cos 2α，故 2 cos α+ sin α= 0 ，于是直线l 的斜率 k = tan α= -2 ．18．(2023 江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin( π-θ) = 2 ，曲线C 的方程为ρ= 4 cos θ，求直线l 被曲6 线C 截得的弦长．（解析）因为曲线C 的极坐标方程为ρ=4 cos θ，所以曲线C 的圆心为(2, 0) ，直径为 4 的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin( π -θ) = 2 ，则直线l 过 A (4, 0) ，倾斜角为 π，所以 A 为直线l 与圆C 的一6 6 个交点．设另一个交点为 B ，则∠OAB= π ，连结 OB ，因为 OA 为直径，从而∠OBA= π ，所以 AB = 4 c os π= 2 ．6 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 2 ．2 6⎧x = 3cos θ19．(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎨ y = sin θ ，(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎧x = a + 4t( t 为参数)．⎩ (1) 假设 a = -1，求C 与l 的交点坐标；(2) 假设C 上的点到l 距离的最大值为 ，求 a ．（解析）(1)曲线C 的一般方程为 x 2 + 29= 1．当a = -1时，直线l 的一般方程为 x + 4 y - 3 = 0 ．⎧x + 4 y - 3 = 0⎧x = - 21 ⎪ ⎧x = 3 ⎪25 21 24由⎨ x 2 2解得⎨ y = 0 或⎨ ，从而C 与l 的交点坐标为(3, 0) ， (- 24 , ) ． ⎩ 9+ y = 1 ⎩⎪ y = ⎩ 25 25 25171717171733342⎩(2)直线l 的一般方程为 x + 4 y - a - 4 = 0 ，故C 上的点(3cos θ, sin θ) 到l 的距离为| 3cos θ+ 4 sin θ- a - 4 |d =．当a ≥-4 时， d 的最大值为a + 9．由题设得a + 9= ，所以a = 8 ；当a < -4 时， d 的最大值为 -a + 1 ．由题设得 -a + 1= ，所以 a = -16 ． 综上， a = 8 或 a = -16 ．20．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1 的极坐标方程为ρcos θ= 4 ．(1) M 为曲线C 1 上的动点，点 P 在线段OM 上，且满足| OM | ⋅ | OP |= 16 ，求点 P 的轨迹C 2 的直角坐标方程；π(2) 设点 A 的极坐标为(2, 3) ，点 B 在曲线C 2 上，求∆OAB 面积的最大值． （解析）(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ) (ρ> 0) ， M 的极坐标为(ρ1 ,θ) (ρ1 > 0) ．由椭圆知| OP |= ρ， | OM |= ρ1 =cos θ．由| OM | ⋅ | OP |= 16 得C 2 的极坐标方程ρ= 4 cos θ(ρ> 0) ， 因此C 的直角坐标方程为(x - 2)2 + y 2= 4(x ≠ 0) ．(2)设点 B 的极坐标为(ρB ,α) (ρB > 0) ．由题设知| OA |= 2 ， ρB = 4cos α，于是∆OAB 面积1 π π 3S = 2 | OA | ⋅ρB ⋅sin ∠AOB = 4cos α| sin(α- 3 ) | = 2 | sin(2α- 3 ) - | ≤ 2 + ． 2 当α= - π时， S 取得最大值 2 + ，所以∆OAB 面积的最大值为 2 + ．1221．(2023 全国Ⅲ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎧x = 2 + t( t 为参数)，直线l 的参数方⎧x = -2 + m⎪1 ⎨ y = kt 2程为⎨ ⎩ y = m k( m 为参数)．设l 1 与l 2 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线C ．(1) 写出C 的一般方程；17175224 5⎨t⎩(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3 ：ρ(cosθ+ sinθ) -交点，求M 的极径．= 0 ，M 为l3与C 的（解析）(1)消去参数t 得l 的一般方程l : y =k (x -2)，消去参数m 得l 的一般方程l : y =1 (x+2)．11⎧y =k (x-2)22k⎪设P(x, y) ，由题设得⎨⎩y=1 (x+2)k，消去k 得x2-y2=4 (y ≠0)，所以C 的一般方程为x2-y2=4 (y ≠0)．⎪ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0＜θ＜2π,θ≠π)，联立⎨得⎩ρ(cosθ+sinθ)-2=0cosθ- sinθ=2 (cosθ+sinθ)，故tanθ=-1，从而cos2θ=9，sin2θ=1，代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得3ρ2=5，所以交点M的极径为．10 10⎧x =-8 +t22．(2023 江苏)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为⎪y = ( t 为参数)，曲线C 的参数方⎧x=2s2⎪2程为⎨⎩y=22s( s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．（解析）直线l 的一般方程为x - 2 y + 8 = 0 ．因为点P 在曲线C 上，设P(2s2 , 2 2s) ，从而点P 到直线l 的的距离4 5d == ，当s =时，dmin=5．因此当点P 的坐标为(4, 4) 时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值．5⎧x =a cos t23．(2023 全国I 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为⎨y = 1+a sin t(t 为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 ：ρ= 4 cosθ．(I)说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；(II)直线C3 的极坐标方程为θ=a0 ，其中a0 满足tan a0 =2 ，假设曲线C1 与C2 的公共点都在C3上，求a．22(s -2)2 +4510 10 ⎫2152⎩1123⎩⎨⎩=⎧x = a cos t （解析）(1) ⎨ y = 1 + a sin t( t 均为参数)，∴x 2 + ( y - 1)2= a 2 ①∴ C 为以(0 ，1) 为圆心， a 为半径的圆．方程为 x 2 + y 2 - 2 y +1 - a 2 = 0 ．∵ x 2 + y 2 = ρ2 ，y = ρsin θ，∴ ρ2- 2ρsin θ+ 1 - a 2 = 0 ，即为C 的极坐标方程．(2) C ：ρ= 4cos θ，两边同乘ρ得ρ2 = 4ρcos θ ρ2= x 2 + y 2 ，ρcos θ= x ，∴ x 2 + y 2 = 4x ，即( x - 2)2+ y 2 = 4 ②C 3 ：化为一般方程为 y = 2x ，由题意： C 1 和C 2 的公共方程所在直线即为C 3 ，①—②得： 4x - 2 y + 1 - a 2 = 0 ，即为C ，∴1 - a 2 = 0 ，∴ a = 1 ．24．(2023 全国 II 文理)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x + 6)2+ y 2 = 25 ．(I) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；⎧x = t cos α(II)直线 l 的参数方程是⎨ y = t sin α(t 为参数)，l 与 C 交于 A 、B 两点， AB = ，求 l 的斜率．⎧ρ2 = x 2 + y 2 （解析）(Ⅰ)整理圆的方程得 x 2 + y 2 + 12 + 11 = 0 ，由⎪ρcos θ= x ⎪ρsin θ= y 可知圆C 的极坐标方程为ρ2 + 12ρcos θ+ 11 = 0 ．(Ⅱ)记直线的斜率为 k ，则直线的方程为 kx - y = 0 ，由垂径定理及点到直线距离公式知：= 36k 2 290 ，整理得 k 2 = 5 ，则 k = ± ． 1 + k 4 3 3⎪x =3 cos α25．(2023 全国 III 文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ ⎩ y = sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin(θ+ π) = 2．24(Ⅰ)写出C 1 的一般方程和C 2 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点 P 在C 1 上，点 Q 在C 2 上，求| PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标．x 2 2（解析）(Ⅰ) C 1 的一般方程为 3+ y = 1， C 2 的直角坐标方程为 x + y - 4 = 0 ．(Ⅱ)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3 cos α, sin α) ，因为C 2 是直线，所以| PQ | 的最小值，即为 P 到C 2| 3 cos α+sin α- 4 |2222⎨⎩⎪=1⎩的距离d (α) 的最小值， d (α) ==π2 | sin(α+ π ) - 2 | ．3 3 1当且仅当α= 2k π+(k ∈ Z ) 时， d (α) 取得最小值，最小值为 6，此时 P 的直角坐标为( , ) ． 2 2 ⎧x = 1 + 1t , 26．(2023 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪ ⎪ y = ⎩ 2 3 t , 2(t 为参数) ，椭圆C 的参数⎧x = cos θ,方程为⎨ y = 2sin θ, (θ为参数) ，设直线l 与椭圆C 相交于 A , B 两点，求线段 AB 的长．⎧x = 1+ 1t（解析）椭圆C 的一般方程为 x 2 + y 4 = 1，将直线l 的参数方程⎨ ⎪ y = ⎩2 3 t2 ，代入 x 2 + y 4 = 1，得(1+ 1 t )2 + 3 t )22 = 1，即7t 2 +16t = 0 ，解得t = 0 ， t = - 16 ，所以 AB =| t - t | 16 ．2 4 1 2 71 2727．(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线C ： x = -2 ，圆C ：(x -1)2 + ( y - 2)2= 1 ，以坐标原12点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求C 1 ， C 2 的极坐标方程；(Ⅱ)假设直线C 3 的极坐标方程为θ=(ρ∈ R ) ，设C 2 与C 3 的交点为 M ， N ，求∆C 2MN 的面积．4（解析）(Ⅰ)因为 x = ρcos θ, y = ρsin θ，∴ C 的极坐标方程为ρcos θ= -2 ， C 的极坐标方程为ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ．12(Ⅱ)将θ= π代入ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ，得ρ2- 3 2ρ+ 4 = 0 ，解得ρ = 2， ρ = ， 4|MN|= ρ － ρ = ，因为C 的半径为 1，则A C MN 的面积 ⨯ 122 ⨯1⨯sin 45o = 1 ． 1 2 22 2 2 ⎧x = t cos α,28．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 ： ⎨ y = t sin α, ( t 为参数，t ≠0)其中0 ≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 ： ρ= 2 sin θ， C 3 ： ρ= 2 3 cos θ． (Ⅰ)求C 2 与C 3 交点的直角坐标；(Ⅱ)假设C 1 与C 2 相交于点 A ， C 1 与C 3 相交于点 B ，求| AB | 的最大值．222(π3623)( x -1+ y +1= )()⎨（解析）(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2 y = 0 ，曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2- 2 3x = 0 ．联⎪x 2+ y 2- 2 y = 0,⎧x = 0, ⎧ 3 ⎪x = 2 , 立⎨x 2 + y 2 - 2 3x = 0,解得⎨ y = 0, 或⎨ 3 ⎪ ⎩ ⎪ y = ,⎩ 23所以C 2 与C 1 交点的直角坐标为(0, 0) 和( , ) ．2 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为θ= α(ρ∈ R , ρ≠ 0) ，其中0 ≤α<π． 因此 A 得到极坐标为(2 sin α,α) ， B 的极坐标为(2 3 cos α,α) ． π5π所以 AB = 2 sin α- 2 3 cos α = 4 s in(α-) ，当α= 时， AB 取得最大值，最大值为 4 ． 3 629．(2023 江苏) 已知圆 C 的极坐标方程为ρ2+ 2 2ρsin(θ- π- 4 = 0 ，求圆 C 的半径．4（解析） 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xoy ．圆C 的极坐标方程为ρ2 + 2⎛ 2 sin θ- 2cos ⎫4 = 0 ，化简，得ρ2 + 2ρsin θ- 2ρcos θ- 4 = 0 ． ρ 22 θ⎪⎪ - ⎝ ⎭则圆C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2x + 2 y - 4 = 0 ，即2 2，所以圆C 的半径为 ． ⎧x = 3 + 1 t 30．(2023 陕西文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎪2⎪ y = 3 t ⎩ 2 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为ρ= 2 3 sin θ． (Ⅰ)写出⊙ C 的直角坐标方程；( t 为参数)．以原点为极点， x(Ⅱ) P 为直线l 上一动点，当 P 到圆心C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．（解析）(Ⅰ) 由ρ= 2 3 sin θ, 得ρ2= 2 3ρsin θ，从而有 x 2+y 2= 2 3y , 所以x 2+ (y -3 )2= 3 ．(Ⅱ)设P (3 += ，故当t =0 时，| PC |取最小值，此时 P 点的直角坐标为(3, 0) ．21t,3t), 又C(0, 3) ，则| PC |=3222 3 ⎪55⎨y = 2 - 2t⎩⎩31．(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C ： x 4 + y 29 = 1，直线l ： ⎧x = 2 + t ( t 为参数)． ⎩(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为30o的直线，交l 于点 A ，求| PA |的最大值与最小值．⎧x = 2 cos θ.（解析）〔I 〕曲线C 的参数方程为⎨ y = 3sin θ. (θ为参数).直线l 的一般方程为2x + y - 6 = 0. ……5 分(Ⅱ)曲线C 上任意一点P(2cos θ.3sin θ)到l 的距离为d =4 cos θ+ 3sin θ- 6 .则 PA =d = sin 30︒ 5sin(θ+α) - 6 , 其中α为锐角，且tan α= 4 . 3当sin (θ+α)=-1时，PA 取得最大值，最大值为22 5 .5当sin(θ+α) = 1时，PA 取得最小值，最小值为2 5 .532．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ，θ∈ ⎡0,π⎤ ．(Ⅰ)求 C 的参数方程；⎣⎢ 2 ⎥⎦(Ⅱ)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线l : y = 3x + 2 垂直，依据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标．（解析）(I)C 的一般方程为(x -1)0 ≤ t ≤ x )．2 + y 2⎧x = 1+ cos t , = 1(0 ≤ y ≤ 1) ，可得 C 的参数方程为⎨ y = sin t ,(t 为参数，(Ⅱ)设 D (1+ cos t , sin t ) ．由(I)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆． π因为 C 在点D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同， tan t = 3, t =．32 5523⎩⎩⎩1⎩⎩ππ 3故D 的直角坐标为(1+ cos , s in ) ，即( , ) ．3 3 2 233．(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C 的参数方程为⎧x = 4 + 5 cos t( t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正1 ⎨y = 5 + 5sin t半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ= 2 s inθ．(Ⅰ)把C1 的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)求C1 与C2 交点的极坐标( ρ≥0 ，0 ≤θ≤2π)．⎧x = 4 + 5 c os t2 2（解析）将⎨y = 5 + 5sin t消去参数t ，化为一般方程(x - 4) + ( y -5) = 25 ，即C1 ：x 2 +y2⎧x =ρcosθ-8x -10 y+16 = 0 ，将⎨y =ρsinθ代入x 2 +y2- 8x -10 y + 16 = 0 得，ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ，∴C 的极坐标方程为ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ．⎪x2+y2-8x-10y+16=0(Ⅱ) C 的一般方程为x2 +y2 - 2 y = 0 ，由⎨⎧x =1解得⎨⎧x = 0或⎨，2∴C1 与C2 的交点的极坐标分别为(⎩x2+y2-2y=0π)，(2, ) ．4 2⎩y =1 ⎩y = 2 34．(2023 全国Ⅱ文理)已知动点P ，Q 都在曲线C与β= 2α( 0 <α< 2π) M 为PQ 的中点．⎧x = 2 c os β：⎨y = 2 s in β(β为参数)上，对应参数分别为β=α(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并推断M 的轨迹是否过坐标原点．（解析）(Ⅰ)由题意有P(2c osα,2sinα),Q(2c os2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α)，⎧x = cosα+ cos 2α,M 的轨迹的参数方程为⎨y = sinα+ sin 2α, (0 <α< 2π)．(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d ==0 <α< 2π)，当α=π时，d = 0 ，故M 的轨迹过坐标原点．2,π3⎩100⎩135．(2023 全国文理)已知曲线C 的参数方程是⎧x = 2 cos ϕϕ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴1⎨y = 3sin ϕ(为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程是ρ= 2 ．正方形 ABCD 的顶点都在C 2 上，且 A 、 B 、C 、πD 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2, ) ． 3(Ⅰ)求点 A 、 B 、C 、 D 的直角坐标；(Ⅱ)设 P 为C 上任意一点，求| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2 的取值范围．π5π 4π 11π（解析）(1)点 A , B , C , D 的极坐标为(2, ), (2, ), (2, ), (2, ) ，3 6 3 6点 A , B , C , D 的直角坐标为(1, 3),(-⎧x 0 = 2cos ϕ3,1), (-1, - 3),( 3, -1) ．(2)设 P (x 0 , y 0 ) ；则⎨ y = 3sin (ϕ为参数) ， ⎩ 0ϕt = PA 2+ PB 2+ PC 2+ PD 2= 4x 2 + 4 y 2 +16 = 32 + 20 sin 2ϕ∈32, 52．⎧x = 2 c os α 36．(2011 全国文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = 2 + 2 s in(α为参数)，M 是C 上 α的动点， P 点满足OP = 2OM ， P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2 的方程(Ⅱ)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ= π与C 的异于极点的交点为 A ，与C 的异于极点的交点为 B ，求 AB ．31 2（解析）(I)设 P (x , y ) ，则由条件知 M( x , y)．由于 M 点在C 上，⎧ x = 2 cos α ⎪ 2 2 2⎧ x = 4 cos α 1⎧ x = 4 cos α 所以⎨ y ，即⎨y = 4 + 4 s in ，从而C 2 的参数方程为⎨y = 4 + 4 s in (α为参数)， ⎪ = 2 + 2 s in α ⎩ α ⎩ α⎩ 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为ρ= 4sin θ，曲线C 2 的极坐标方程为ρ= 8sin θ．射线θ= π与C 的交点 A 的极径为ρ = 4sin π，射线θ= π与C 的交点 B 的极径为ρ = 8sin π．3 1 1 3 32 23所以| AB |=| ρ2 - ρ1 |= 2 ．。
专题-极坐标与参数方程选讲
专题 极坐标与参数方程选讲 学生：一、极坐标 1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx . 2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ； (3)当圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ. 二、参数方程1．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数． 2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数)．1. (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标； (2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标．【训练1】 (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)2. 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．【训练2】 ⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．3. (2014·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长．【训练3】（1） (2012·江苏卷)在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．（2）设过原点O 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点，当点P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．4．(2012·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．5．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2 OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .6. 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线； (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)； (2)⎩⎨⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋t (t 为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝1t －t(t 为参数)．【训练6】 将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(e t ＋e －t)，y ＝12(e t －e －t )(t 为参数)．7. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |.【训练7】 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t(参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．【例8】 已知P 为半圆C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．【训练8】 (2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上． (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．9. 已知圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0, 3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．10.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4－2t y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l的距离的最大值．11．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．12．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．13．(2012·新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．专题 极坐标与参数方程选讲. .. . .学生：一、极坐标 1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx . 2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ； (3)当圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ. 二、参数方程 1．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数． 2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数)．考点一 极坐标与直角坐标的互化1. (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标； (2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 解 (1)∵x ＝－5cos π6＝－523，y ＝－5sin π6＝－52， ∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－523，－52. (2)ρ＝(－3)2＋(－1)2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33.∵点M 在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝7π6.因此，点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6. 规律方法 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性． 【训练1】 (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；解 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43， 因此，点M 的直角坐标是(－4,43)． (2)ρ＝(6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点在第四象限，得θ＝11π6. 因此，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6. 考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化2. 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解 (1)∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1， ∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1. 又⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1. 即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233.∴M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，233. ∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．规律方法 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境．【训练2】 ⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．解 以极点的原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． (1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ. 由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 得⊙O 1，⊙O 2的直角坐标方程分别为 x 2＋y 2－4x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0. (2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4x ＝0， ①x 2＋y 2＋4y ＝0. ②①－②得－4x －4y ＝0，即x ＋y ＝0为所求直线方程．考点三 曲线极坐标方程的应用3. (2014·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长． 解 由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得：2r 2－d 2＝242－⎝⎛⎭⎪⎫2222＝4 3.故所求弦长为4 3. 规律方法 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．【训练3】 (2012·江苏卷)在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 解 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以圆C 的半径 PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.10．设过原点O 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点，当点P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线． 解 圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)， ∵点M 为线段OP 的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，它表示圆心在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12的圆． 4．(2012·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t ，3≤t ≤ 3.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎨⎧x ＝1，y ＝y ，(－3≤y ≤3) 法二 将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 5．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2 OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 解 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.考点一 参数方程与普通方程的互化6. 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线； (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋t(t 为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝1t －t(t 为参数)．解 (1)由x ＝1＋12t 得t ＝2x －2. ∴y ＝2＋32(2x －2)．3x －y ＋2－3＝0，此方程表示直线． (2)由y ＝2＋t 得t ＝y －2，∴x ＝1＋(y －2)2. 即(y －2)2＝x －1，此方程表示抛物线． (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝1t －t①②∴①2－②2得x 2－y 2＝4，此方程表示双曲线．规律方法 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围． 【训练6】 将下列参数方程化为普通方程． (1)⎩⎨⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(e t ＋e －t )，y ＝12(e t －e －t )(t 为参数)．解 (1)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． (2)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ， ∴(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1.考点二 直线与圆参数方程的应用7. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解 (1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程． 得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.规律方法 (1)过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即t ＝|PP 0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P 1、P 2对应的参数分别为t 1、t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2)． (2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．【训练7】 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t(参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被 圆C 所截得的弦长．解 由⎩⎨⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，由⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝|2×2＋0－6|22＋1＝255，所以所求弦长为222－⎝⎛⎭⎪⎫2552＝855. 考点三 极坐标、参数方程的综合应用【例8】 已知P 为半圆C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．解 (1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π3，π3. (2)点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)． 故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t(t 为参数)．规律方法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．【训练8】 (2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上． (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4)＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交.转化思想在解题中的应用9. 已知圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0, 3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．[审题视点] (1)先将圆锥曲线参数方程化为普通方程，求出F 1的坐标，然后求出直线的倾斜角度数，再利用公式就能写出直线l 的参数方程．(2)直线AF 2是已知确定的直线，利用求极坐标方程的一般方法求解．解 (1)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ化为普通方程x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝－3，于是经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°， 所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 30°y ＝t sin 30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t(t 为参数)．(2)直线AF 2的斜率k ＝－3，倾斜角是120°， 设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则ρsin 60°＝1sin(120°－θ)，ρsin(120°－θ)＝sin 60°，则ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.[反思感悟] (1)本题考查了极坐标方程和参数方程的求法及应用．重点考查了转化与化归能力．(2)当用极坐标或参数方程研究问题不很熟练时，可以转化成我们比较熟悉的普通方程求解．(3)本题易错点是计算不准确，极坐标方程求解错误．10.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4－2t y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l的距离的最大值．解 将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝4－2t y ＝t －2(t 为参数)转化为普通方程为x ＋2y ＝0，因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R . 因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π45.所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时， d 取得最大值2105.11．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解 (1)将⎩⎨⎧ x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ， 化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎨⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 12．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0<α<2π)． (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹通过坐标原点．13．(2012·新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 解 (1)由已知可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．。
极坐标参数方程高考练习含答案解析(非常好的练习题)
2
4
轴建立平面直角坐标系，斜率是 1的直线 l 经过点 M ．
（1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）求证直线 l 和曲线 C 相交于两点 A、 B ,并求| MA | | MB |的值．
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4．已知直线 l 的参数方程是 x
y
2t 2 2t4 2
(t是参数 )
,圆
C
的极坐标方程为
2 cos(
4
)
．
2
(1）求圆心 C 的直角坐标;(2）由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值．
5．在直角坐标系 xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
a
3t, t为参数 .在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度
y t
单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中,圆 C 的方程为 4cos 。
cos( ) 4
2
，曲线 C
的参数方程为
x
y
2 cos sin
（
为对数）,求曲线 C
截直线 l
所得的弦长.
x 2cos，
x 3t 1，
26．已知曲线
C1：
y
2
sin
（ 为参数），曲线 C2: y
3t
（t 为参数）．
（1)指出 C1，C2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数；
32．已知 A，B 两点是椭圆 x 2 y 2 1与坐标轴正半轴的两个交点. 94
（1）设 y 2sin, 为参数，求椭圆的参数方程；（2）在第一象限的椭圆弧上求一点 P，使四边形 OAPB 的面积最大，
极坐标及参数方程高考题练习含答案
极坐标系与参数方程高考题练习2014年一．选择题1. (2014)曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩〔θ为参数〕的对称中心〔 B 〕.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上2.(2014)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取一样的长度单位。
直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为〔 D 〕〔A 〕14 〔B 〕214 〔C 〕2 〔D 〕223(2014) (2).〔坐标系与参数方程选做题〕假设以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为〔 〕 A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤【答案】A 【解析】1y x =-()01x ≤≤10sin cos 2πρθθθ⎛⎫∴=≤≤ ⎪+⎝⎭所以选A 。
二．填空题1. (2014)〔选修4-4：坐标系与参数方程〕曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y tx ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______.2. (2014)直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩：，〔α为参数〕交于A 、B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________. 3 (2014)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y t x 32〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)20,0(0cos 4sin 2πθρθθρ<≤≥=-，则直线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ____5____. .【答案】5 【解析】4 (2014)曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是。
2011-2020年高考数学真题分专题训练：极坐标系与参数方程(教师版含解析)
专题34极坐标系与参数方程考点116平面直角坐标系中的伸缩变换考点117极坐标和直角坐标的互化1．(2020全国Ⅱ文理21)已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,:4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，21,:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．(1)将12,C C 的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】(1)由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=，由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=．(2)由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=．2．(2020全国Ⅲ文理22)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222,23x t t y t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩(t 为参数且1t ≠)，C 与坐标轴交于,A B 两点．(1)求AB ；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【解析】(1)令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =(舍)，则26412y =++=，即(0,12)A ．令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =(舍)，则2244x =--=-，即(4,0)B -．AB ∴==．(2)由(1)可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=．由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=．3．(2020江苏22)在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上(其中0ρ≥，02θπ≤<)．(1)求1ρ，2ρ的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【解析】(1)1122cos24;4sin 236ππρρρρ=∴==∴=Q Q ．(2)5cos 2,4sin 4sin cos 2,sin 21[0,2),44ππρθρθθθθθπθ==∴=∴=∈∴=Q Q ，当4πθ=时ρ=；当54πθ=时0ρ=-<(舍)；即所求交点坐标为当)4π．4．(2019全国II 文理22)在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．(1)当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【解析】(1)因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos23OP OA π==．设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上．所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(2)设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=．．因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．5．(2019全国III 文理22)如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧 CD．(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【解析】(1)由题设可得，弧 ,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-，所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)设(,)P ρθ，由题设及(1)知若π04θ，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ ，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ ，则2cos θ-=，解得5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．考点118参数方程与普通方程的互化6．(2020上海14)已知直线方程3410x y ++=的一个参数方程可以是()A ．1314x ty t=+⎧⎨=-+⎩B ．1413x t y t=-⎧⎨=--⎩C ．1314x t y t=-⎧⎨=-+⎩D ．1413x t y t=+⎧⎨=--⎩【答案】D【解析】A ．参数方程可化简为4370x y --=，故A 不正确；B ．参数方程可化简为3470x y --=，故B 不正确；C ．参数方程可化简为4310x y +-=，故C 不正确；D ．参数方程可化简为3410x y ++=，故D 正确．故选D ．7．(2018全国Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】(1)O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O 交于两点．当2απ≠时，记tan k α=，则l 的方程为y kx =-．l 与O 交于两点当且仅当1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,44π3π．(2)l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数，44απ3π<<)．设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α=．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是22,2cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)．考点119极坐标方程与参数方程的综合应用8．(2018北京文理)在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =___．【答案】1【解析】利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线的方程为0x y a +-=，圆的方程为22(1)1x y -+=，所以圆心(1,0)，半径1r =，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即1=，∴1a =或1，又0a >，∴1a =+．9．(2017北京文理)在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1,0))，则||AP 的最小值为___________．【答案】1【解析】圆的普通方程为222440x y x y +--+=，即22(1)(2)1x y -+-=．设圆心为(1,2)C ，所以min ||||211AP PC r =-=-=．10．(2017天津文理)在极坐标系中，直线4cos(106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为_____．【答案】2【解析】直线的普通方程为210y ++=，圆的普通方程为22(1)1x y +-=，因为圆心到直线的距离314d =<，所以有两个交点．11．(2016北京文理)在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则||AB =．【答案】2【解析】将cos sin 10ρθθ-=化为直角坐标方程为10x --=，将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1，0)，半径r=1，又(1，0)在直线10x -=上，所以|AB|=2r=2．12．(2015广东文理)已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=，点Α的极坐标为722,)4πA (，则点Α到直线l 的距离为．【答案】522【解析】由2sin()24πρθ-=得22(sin cos )22ρθθ´-=，所以1y x -=，故直线l 的直角坐标方程为10x y -+=，而点7(22,)4A π对应的直角坐标为(2,2)A -，所以点(2,2)A -到直线l ：10x y -+=的距离为|221|5222++=．13．(2015安徽文理)在极坐标系中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是．【答案】6【解析】圆8sin ρθ=即28sin ρρθ=，化为直角坐标方程为22(4)16x y +-=，直线3πθ=，则tan 3θ=，化为直角坐标方程为30x y -=，圆心(0,4)到直线的距离为|4|24-=，所以圆上的点到直线距离的最大值为6．14．(2020全国Ⅰ文理21)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【解析】(1)当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos ,sin x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，两式平方相加得221x y +=，∴曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆．(2)当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos ,sin x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)，∴0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为22cos (sin x tt y t==为参数)，两式相加得曲线1C 方程为1x y +=，得1y x =-，平方得1,01,01y x x y=-+≤≤≤≤，曲线2C的极坐标方程为4cos16sin30ρθρθ-+=，曲线2C直角坐标方程为41630x y-+=，联立12,C C方程1,41630y xx y⎧=-+⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x-=12=136=(舍去)，11,44x y∴==，12,C C∴公共点的直角坐标为11(,)44．15．(2019全国1文理22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin110ρθθ+=．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．【解析】(1)因为221111tt--<≤+，且()22222222141211y t txt t⎛⎫-⎛⎫+=+=⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C的直角坐标方程为221(1)4yx x+=≠-．l的直角坐标方程为2110x++=．(2)由(1)可设C的参数方程为cos,2sinxyαα=⎧⎨=⎩(α为参数，ππα-<<)．C上的点到lπ4cos113α⎛⎫-+⎪=．当2π3α=-时，π4cos113α⎛⎫-+⎪⎝⎭取得最小值7，故C上的点到l．16．(2018全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2y k x=+．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30ρρθ+-=．(1)求2C的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【解析】(1)由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+．17．(2018全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416+=x y ．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan αα=⋅+-y x ；当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1=x ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80ααα+++-=t t ．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120+=t t ．又由①得1224(2cos sin )13cos ααα++=-+t t ，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2α==-k ．18．(2018江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过(4,0)A ，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB=π6，连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos 6AB ==．因此，直线l 被曲线C截得的弦长为．19．(2017全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．【解析】(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=．当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,2525-．(2)直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l的距离为d =．当4a -≥时，d=，所以8a =；当4a <-时，d=16a =-．综上，8a =或16a =-．20．(2017全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】(1)设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>．由椭圆知||OP ρ=，14||cos OM ρθ==．由||||16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程4cos ρθ=(0)ρ>，因此2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠．(2)设点B 的极坐标为(,)B ρα(0)B ρ>．由题设知||2OA =，4cos B ρα=，于是OAB ∆面积1||sin 2B S OA AOB ρ=⋅⋅∠4cos |sin()|3παα=-32|sin(2|32πα=--2+≤当12πα=-时，S取得最大值2+OAB ∆面积的最大值为2+．21．(2017全国Ⅲ文理)在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(m 为参数)．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．【解析】(1)消去参数t 得1l 的普通方程():l y k x =-12，消去参数m 得2l 的普通方程():l y x k=+212．设(,)P x y ，由题设得()()y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩212，消去k 得()x y y -=≠2240，所以C 的普通方程为()x y y -=≠2240．(2)C 的极坐标方程为()cos sin ρθθ-=2224(),θπθπ≠0＜＜2，联立()()cos sin cos sin ρθθρθθ⎧-=⎪⎨⎪⎩2224+得()cos sin cos sin θθθθ-=2+，故tan θ=-13，从而cos sin θθ2291=，=1010，代入()cos sin ρθθ222-=4得ρ2=5，所以交点M22．(2017江苏)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=．因为点P 在曲线C上，设2(2,)P s ，从而点P 到直线l的的距离22d ==s =min 455d =．因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l的距离取到最小值5．23．(2016全国I 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=．(I)说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；(II)直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】(1)cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩(t 均为参数)，∴()2221x y a +-=①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-=．∵222sin x y y ρρθ+==，，∴222sin 10a ρρθ-+-=，即为1C 的极坐标方程．(2)24cos C ρθ=：，两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+= ，，224x y x ∴+=，即()2224x y -+=②3C ：化为普通方程为2y x =，由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ，①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ，∴210a -=，∴1a =．24．(2016全国II 文理)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．(I)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(II)直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，10AB =，求l 的斜率．【解析】(Ⅰ)整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．(Ⅱ)记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：226102521kk ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，即22369014k k =+，整理得253k =，则153k =±．25．(2016全国III 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=．(Ⅰ)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．【解析】(Ⅰ)1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=．(Ⅱ)由题意，可设点P 的直角坐标为3,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值，即为P 到2C的距离()d α的最小值，|3cos sin 4|()2|sin()2|32d ααπαα+-==+-．当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α2，此时P 的直角坐标为31(,)22．26．(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()11,23,2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．【解析】椭圆C 的普通方程为2214y x +=，将直线l 的参数方程11232x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214y x +=，得223()12(1)124t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167t =-，所以1216||7AB t t =-=．27．(2015全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求1C ，2C 的极坐标方程；(Ⅱ)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN ∆的面积．【解析】(Ⅰ)因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．(Ⅱ)将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=222ρ2，|MN|=1ρ－2ρ2，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o121sin 452⨯=12．28．(2015全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数，t ≠0)其中0απ<≤，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C ：23ρθ=．(Ⅰ)求2C 与3C 交点的直角坐标；(Ⅱ)若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值．【解析】(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33,22．(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in(3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．29．(2015江苏)已知圆C的极坐标方程为2sin(404πρθ+--=，求圆C 的半径．【解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xoy ．圆C的极坐标方程为2sin cos 4022ρθθ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭，化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=．则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=，即()()22116x y -++=，所以圆C．30．(2015陕西文理)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρθ=．(Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程；(Ⅱ)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．【解析】(Ⅰ)由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y =-=所以．(Ⅱ)设13(3t,t),22P +又，则|PC |==，故当t =0时，|PC |取最小值，此时P 点的直角坐标为(3,0)．31．(2014全国Ⅰ文理)已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．【解析】2cos .().3sin .x y θθθ=⎧⎨=⎩（I）曲线C的参数方程为为参数60.l x y +-=直线的普通方程为2……5分(Ⅱ)cos sin l θθ曲线C上任意一点P(2.3)到的距离为3sin 6.d θθ=+-4)6,tan .sin 303d PA θααα==+-=︒则其中为锐角，且sin 5PA θα当(+)=-1时，取得最大值，最大值为25sin()1.5PA θα+=当时，取得最小值，最小值为32．(2014全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．(Ⅰ)求C 的参数方程；(Ⅱ)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．【解析】(I)C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数，0t x ≤≤)．(Ⅱ)设D (1cos ,sin )t t +．由(I)知C 是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，tan 3t t π==．故D 的直角坐标为(1cos,sin 33ππ+，即33(,22．33．(2013全国Ⅰ文理)已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(Ⅰ)把1C 的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤≤)．【解析】将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=，即1C ：22810160x y x y +--+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得，28cos 10sin 160ρρθρθ--+=，∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．(Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=，由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为4π)，(2,2π．34．(2013全国Ⅱ文理)已知动点P ，Q 都在曲线C ：()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数上，对应参数分别为βα=与2βα=(02απ<<)M 为PQ 的中点．(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【解析】(Ⅰ)由题意有()()2cos ,2sin ,2cos 2,2sin 2,P Q αααα因此()cos cos 2,sin sin 2M αααα++，M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2,x y αααα=+⎧⎨=+⎩(02απ<<)．(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d ==(02απ<<)，当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．35．(2012全国文理)已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ．正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π．(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB P A +++的取值范围．【解析】(1)点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ，点,,,A B C D 的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)----．(2)设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，222222004416t PA PB PC PD x y =+++=++23220sin [32,52]ϕ=+∈．36．(2011全国文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =uuu v uuuv，P 点的轨迹为曲线2C (Ⅰ)求2C 的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB ．【解析】(I)设(,)P x y ，则由条件知M(,22x y)．由于M 点在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=．射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=，射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3πρ=．所以21||||23AB ρρ-==。
高考极坐标专项训练及答案 (1)
1.已知曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数)．(Ⅰ) 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ) 曲线和曲线交于、两点,求长.答案：(Ⅰ)(Ⅱ)解析：（Ⅰ）曲线的直角方程为---------------------------------------4分（Ⅱ）曲线的直角方程为①曲线的直角方程为②则直线的方程为①－②,即,则.--------------------------------------------10分2.已知直线的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，设点是曲线C上的任意一点，求到直线的距离的最大值．答案：5解析：……………………3分由得……………………6分∴圆心到直线的距离……………………8分所以，到直线的距离的最大值为……………………10分3.在极坐标系中，定点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为__________。
答案：4.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若圆的极坐标方程为，若以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系中，则在直角坐标系中，圆心的直角坐标是．答案：．5. （坐标系与参数方程选做题）曲线对称的曲线的极坐标方程为。
答案：一般:1.（本题10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (α为参数)M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的参数方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.答案：（1）；（2）.解析：第一问中设P(x，y)，则由条件知M，由于M点在C1上，所以第二问曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝.解： (1)设P(x，y)，则由条件知M，由于M点在C1上，所以从而C2的参数方程为(α为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝.2.已知曲线的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系(1) 写出曲线的直角坐标方程；(2)若把上各点的坐标经过伸缩变换后得到曲线，求曲线上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值．答案：⑴的普通方程为 x2+y2=4 ；⑵最大值为12.解析：(1)根据进行转化即可。
专题- 极坐标与参数方程选讲
专题 极坐标与参数方程选讲 学生：一、极坐标 1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx.2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ；(3)当圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ.二、参数方程 1．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t .并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数． 2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数)．1. (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标．【训练1】 (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)2. 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．【训练2】 ⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．3. (2014·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长．【训练3】（1） (2012·江苏卷)在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．（2）设过原点O 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点，当点P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．4．(2012·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．5．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2 OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .6. 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线；(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋t (t 为参数)；(3)⎩⎨⎧x ＝t ＋1t ，y ＝1t －t(t 为参数)．【训练6】 将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)； (2)⎩⎨⎧x ＝12e t ＋e －t ，y ＝12e t －e －t(t 为参数)．7. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |.【训练7】 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．【例8】 已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．【训练8】 (2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．9. 已知圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0,3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．10.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2ty ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．11．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．12．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．13．(2012·新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．专题 极坐标与参数方程选讲 学生：一、极坐标 1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx.2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ； (3)当圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ.二、参数方程 1．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t .并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t 称为参数． 2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)．(4)抛物线方程y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数)．考点一 极坐标与直角坐标的互化1. (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 解 (1)∵x ＝－5cos π6＝－523，y ＝－5sin π6＝－52，∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－523，－52.(2)ρ＝－32＋－12＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33.∵点M 在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝7π6.因此，点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6.规律方法 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性． 【训练1】 (1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π) 解 (1)x ＝8cos2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43， 因此，点M 的直角坐标是(－4,43)． (2)ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点在第四象限，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，11π6.考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化2. 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解 (1)∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1.即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233. ∴M (2,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．规律方法 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境．【训练2】 ⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．解 以极点的原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． (1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ；ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ. 由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 得⊙O 1，⊙O 2的直角坐标方程分别为x 2＋y 2－4x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0， ①x 2＋y 2＋4y ＝0. ②①－②得－4x －4y ＝0，即x ＋y ＝0为所求直线方程．考点三 曲线极坐标方程的应用3. (2014·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长．解 由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得：2r 2－d 2＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2222＝4 3.故所求弦长为4 3. 规律方法 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．【训练3】 (2012·江苏卷)在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝ 22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.10．设过原点O 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点，当点P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线． 解 圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)，∵点M 为线段OP 的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，它表示圆心在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12的圆．4．(2012·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.⎝⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3法二 将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3.5．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2 OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 解 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.考点一 参数方程与普通方程的互化6. 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线；(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋t(t 为参数)； (3)⎩⎨⎧x ＝t ＋1t ，y ＝1t －t(t 为参数)．解 (1)由x ＝1＋12t 得t ＝2x －2.∴y ＝2＋32(2x －2)．3x －y ＋2－3＝0，此方程表示直线． (2)由y ＝2＋t 得t ＝y －2，∴x ＝1＋(y －2)2. 即(y －2)2＝x －1，此方程表示抛物线．(3)⎩⎨⎧x ＝t ＋1t y ＝1t －t①②∴①2－②2得x 2－y 2＝4，此方程表示双曲线．规律方法 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围． 【训练6】 将下列参数方程化为普通方程． (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝12e t ＋e －t ，y ＝12e t －e －t(t 为参数)．解 (1)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]． (2)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ， ∴(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1.考点二 直线与圆参数方程的应用7. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |.解 (1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程． 得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.规律方法 (1)过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即t ＝|PP 0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P 1、P 2对应的参数分别为t 1、t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2)．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．【训练7】 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被 圆C 所截得的弦长．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t 消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝|2×2＋0－6|22＋1＝255，所以所求弦长为222－⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝855. 考点三 极坐标、参数方程的综合应用【例8】 已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．解 (1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3.(2)点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1,0)．故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数)．规律方法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．【训练8】 (2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为(2，π4)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系． 解 (1)由点A (2，π4)在直线ρcos(θ－π4)＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交.转化思想在解题中的应用9. 已知圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0, 3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．[审题视点] (1)先将圆锥曲线参数方程化为普通方程，求出F 1的坐标，然后求出直线的倾斜角度数，再利用公式就能写出直线l 的参数方程．(2)直线AF 2是已知确定的直线，利用求极坐标方程的一般方法求解．解 (1)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θy ＝3sin θ化为普通方程x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k 3，于是经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°， 所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 30°y ＝t sin 30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32t －1，y ＝12t (t 为参数)．(2)直线AF 2的斜率k ＝－3，倾斜角是120°，设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，则ρsin 60°＝1sin 120°－θ，ρsin(120°－θ)＝sin 60°， 则ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.[反思感悟] (1)本题考查了极坐标方程和参数方程的求法及应用．重点考查了转化与化归能力．(2)当用极坐标或参数方程研究问题不很熟练时，可以转化成我们比较熟悉的普通方程求解．(3)本题易错点是计算不准确，极坐标方程求解错误．10.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4－2t y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．解 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t y ＝t －2(t 为参数)转化为普通方程为x ＋2y ＝0，因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R .因此点P 到直线l 的距离 d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π45. 所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时， d 取得最大值2105.11．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ， 化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 12．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0<α<2π)． (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹通过坐标原点．13．(2012·新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．解 (1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．。
高三数学极坐标系试题答案及解析
高三数学极坐标系试题答案及解析1.曲线关于曲线（为参数）的准线对称，则.【答案】2【解析】曲线的直角坐标方程为，其圆心；消去得曲线的方程为，其准线方程为由题意知，在直线上，所以，解得故答案为2【考点】曲线的参数方程和极坐标方程.2.在极坐标系中，过点引圆的一条切线，则切线长为 .【答案】.【解析】点的直角坐标为，将圆的极坐标方程化为普通方程得，圆心到点的距离为，因此切线长为.【考点】1.极坐标与直角坐标的转化；2.勾股定理3.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的两个交点间的距离为 .【答案】.【解析】曲线表示的是以点为圆心，以为半径的圆，将曲线的极坐标方程化为普通方程得，圆心到此直线的距离为，因此与的两个交点间的距离为.【考点】1.极坐标方程、参数方程与直角坐标方程之间的转化；2.直线与圆的位置关系4.极坐标方程为的圆与参数方程的直线的位置关系是 .【答案】相交【解析】试题分析:圆的直角坐标方程为，直线的普通方程为，故圆心在直线上，所以直线和圆相交．【考点】1、圆的极坐标方程；2、直线的参数方程.5.已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），点的极坐标为，设直线与圆交于点、.（1）写出圆的直角坐标方程；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在极坐标方程的两边同时乘以，然后由，即可得到圆的直角坐标方程；（2）将直线的标准参数方程代入圆的直角坐标方程，消去、得到有关的参数方程，然后利用韦达定理求出的值.（1）由，得，，即，即圆的直角坐标方程为；（2）由点的极坐标得点直角坐标为，将代入消去、，整理得，设、为方程的两个根，则，所以.【考点】1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.韦达定理6.已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）已知点、的极坐标分别是、，直线与曲线相交于、两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值．【答案】（1）：，；（2）.【解析】（1）题中参数方程化为普通方程只要消去参数，极坐标系与直角坐标系的互化公式为：；（2）首先明确是什么？可把点坐标化为直角坐标，发现就是圆心，从而线段是圆的直径，因此题中有，即，我们在极坐标系中证明本题结论较方便，因为可设，代入的极坐标方程，可得，代入即可求得. 试题解析：（1）曲线的普通方程为 1分化为极坐标方程为： 3分曲线的普通方程为： 5分（2）在直角坐标系下，，线段是是圆的一条直径，∴，由，有 6分是椭圆上的两点，在极坐标系下，设分别代入，有， 8分解得：，.则 9分即. 10分【考点】(1)参数方程，极坐标方程与普通方程的互化；(2)极径的计算.7.在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将展开得，则转化成直角坐标方程为，那么M，N的极坐标时，，所以，时，，所以；（Ⅱ）先将MN的极坐标转化成直角坐标点的直角坐标为（2，0），点的直角坐标为，从而点的直角坐标为，则点的极坐标为，所以直线的极坐标方程为.试题解析：（Ⅰ）由得．从而的直角坐标方程为，即．时，，所以．时，，所以．（Ⅱ）点的直角坐标为（2，0），点的直角坐标为．所以点的直角坐标为，则点的极坐标为．所以直线的极坐标方程为．【考点】1.极坐标方程和直角坐标方程之间的转化.8.已知曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为(t为参数，0≤＜). (Ⅰ)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；(Ⅱ)若直线经过点(1,0)，求直线被曲线C截得的线段AB的长.【答案】（Ⅰ），曲线C是顶点为，焦点为的抛物线；(Ⅱ)8.【解析】（Ⅰ）根据极坐标和直角坐标的关系得直角坐标方程；(Ⅱ)方法1：由已知条件求直线的参数方程，代入曲线C的方程，得关于参数的二次方程，可利用求得长度；方法2：先把直线的方程化为普通方程，再与曲线C联立求交点坐标，既得所求.试题解析：（Ⅰ）方程两边同乘，得，把代入上式，得，这就是曲线C的直角坐标方程，曲线C是顶点为，焦点为的抛物线. 3分（Ⅱ）方法1：直线（为参数，）经过点，若直线又经过点，则，直线的参数方程为（为参数），代入曲线C的方程，得整理得. ①设直线与曲线C的交点A、B对应的参数分别为，则是方程①的两个实根，于是，直线被曲线C截得的线段AB的长为. 7分方法2：设直线的普通方程为，若直线经过点，则，即，的方程为，解方程组，得或，即A、B两点的坐标分别为，于是直线被曲线C截得的线段AB的长为. 7分【考点】1、极坐标与直角坐标的互化；2、参数方程；3、直线被曲线所截线段的求法.9.（坐标系与参数方程选做题）设点的极坐标为，直线过点且与极轴所成的角为，则直线的极坐标方程为．【答案】或或或【解析】略10.15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A．（选修4—4坐标系与参数方程）已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是 .B.（选修4—5不等式选讲）不等式的解集是．C.（选修4—1几何证明选讲）如图所示,和分别是圆的切线，且，,延长到点，则的面积是 .【答案】A . B . C .【解析】略11. (坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中曲线的极坐标方程为，写出曲线的直角坐标方程．【答案】（或【解析】略12.（坐标系与参数方程选做题）同时给出极坐标系与直角坐标系，且极轴为ox，则极坐标方程化为对应的直角坐标方程是。
最新经典高三极坐标练习题
师道教育高三极坐标练习题一．解答题（共30小题）1．在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程方程为（α为参数），在极坐标系中，点M的极坐标为（，π）．（I）写出曲线C的普通方程并判断点M与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设直线l过点M且与曲线C交于A、B两点，若|AB|=2|MB|，求直线l的方程．2．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．3．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．4．已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．5．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．6．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．7．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．8．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．9．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．10．已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．11．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．12．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．13．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．14．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）15．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上．（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系．16．选修4﹣﹣4；坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．18．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（II）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．19．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ．（Ⅰ）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长．20．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．21．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值，并求出P点的坐标．23．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于不同两点A，B．（1）若，求线段AB中点M的坐标；（2）若|PA|•|PB|=|OP|2，其中，求直线l的斜率．24．在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．25．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M（x，y），求的取值范围．26．已知曲线C1的极坐标方程是，曲线C2的参数方程是是参数）．（1）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）求t的取值范围，使得C1，C2没有公共点．27．已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1方程为ρ=2sinθ；C2的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P 到曲线C2距离的取值范围．28．已知直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的参数方程：（α为参数），且直线交曲线C于A，B两点．（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ=时，|AB|的长度；（Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角θ变化时，|PA|•|PB|的范围．29．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）是曲线C1上的两点，求的值．30．己知圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）将圆C1的参数方程他为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）圆C1，C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．20161105高三极坐标练习题参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•江西校级二模）在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程方程为（α为参数），在极坐标系中，点M的极坐标为（，π）．（I）写出曲线C的普通方程并判断点M与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设直线l过点M且与曲线C交于A、B两点，若|AB|=2|MB|，求直线l的方程．【分析】（I）利用同角三角函数的关系消参数得出曲线C的普通方程，将M点坐标代入曲线C的方程即可判断点M与曲线C的位置关系；（II）由|AB|=2|MB|，可知M为AB的中点，将直线l的参数方程代入曲线的方程则方程有两个互为相反数的实根，根据根与系数的关系求出l的斜率，得出l方程．【解答】解：（I）由（α为参数）消α得：，将化成直角坐标得M（﹣1，1），∵，故点M在曲线C内．（Ⅱ）设直线l的参数方程为（t为参数，α为l的倾斜角）．代入得：（3+sin2α）t2+（8sinα﹣6cosα）t﹣5=0．∵|AB|=2|MB|，∴M为AB的中点，即t1+t2=0．∴8sinα﹣6cosα=0，∴tanα=．∴l的方程为：，即3x﹣4y+7=0．2．（2016•鹰潭一模）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．3．（2016•洛阳二模）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【分析】（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|，∴m2﹣2m=±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m=1，1．4．（2016•汕头模拟）已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．【分析】（1）利用ρ2=x2+y2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x﹣1）代入下式消去参数t即可；（2）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出最小值．【解答】解：（1）直线l的参数方程为为参数）．由上式化简成t=2（x﹣1）代入下式得根据ρ2=x2+y2，进行化简得C：x2+y2=1（2分）（2）∵代入C得∴（5分）设椭圆的参数方程为参数）（7分）则（9分）则的最小值为﹣4．（10分）5．（2016•邯郸二模）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．【分析】（1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把曲线C的极坐标方程化为普通方程；消去参数t即可得到直线l的方程；（2）利用弦长|PQ|=2和圆的内接矩形，得对角线是圆的直径即可求出圆的内接矩形的面积．【解答】解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，进而x2+y2=4x；对于l：由（t为参数），得，即．（5分）（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，则弦心距，弦长，因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积．（10分）6．（2016•太原三模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．【分析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．7．（2016•漳州二模）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．【分析】（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C 的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）8．（2016•梅州二模）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．【分析】（1）利用点在直线上，代入方程求出a，利用极坐标与直角坐标的互化，求出直线的直角坐标方程．（2）化简圆的参数方程与直角坐标方程，求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径比较即可得到直线与圆的位置关系．【解答】解：（1）点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．可得：cos（﹣）=a，解得a=．直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=，即：ρcosθ+ρsinθ=2，直线l的直角坐标方程为：x+y﹣2=0．（2）圆C的参数方程为（α为参数），可得圆的直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1．圆心（1，0），半径为：1．因为圆心到直线的距离d==＜1，所以直线与圆相交．9．（2016•开封四模）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．【分析】（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程即可；（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得关于t的一元二次方程，由根与系数的关系，求出t1、t2的关系式，结合参数的几何意义，求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程ρsin2θ=acosθ（a＞0），可化为ρ2sin2θ=aρcosθ（a＞0），即y2=ax（a＞0）；（2分）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，化为普通方程是y=x﹣2；（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax（a＞0）中，得；设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，则；（6分）∵|PA|•|PB|=|AB|2，∴t1•t2=，∴=+4t1•t2=5t1•t2，（9分）即；解得：a=2或a=﹣8（不合题意，应舍去）；∴a的值为2．（12分）10．（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，【分析】即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．11．（2014•新课标I）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．12．（2014•新课标II）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C 的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．13．（2014•辽宁）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．14．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．15．（2013•福建）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上．（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据点A在直线l上，将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较．【解答】解：（Ⅰ）点A在直线l上，得，∴a=，故直线l的方程可化为：ρsinθ+ρcosθ=2，得直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0；（Ⅱ）消去参数α，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1圆心C到直线l的距离d=＜1，所以直线l和⊙C相交．16．（2013•新课标Ⅱ）选修4﹣﹣4；坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．【分析】（I）根据题意写出P，Q两点的坐标：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），再利用中点坐标公式得PQ的中点M的坐标，从而得出M的轨迹的参数方程；（II）利用两点间的距离公式得到M到坐标原点的距离d==，再验证当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．【解答】解：（I）根据题意有：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），∵M为PQ的中点，故M（cosα+cos2α，sin2α+sinα），∴求M的轨迹的参数方程为：（α为参数，0＜α＜2π）．（II）M到坐标原点的距离d==（0＜α＜2π）．当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．17．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【分析】运用代入法，可将直线l和曲线C的参数方程化为普通方程，联立直线方程和抛物线方程，解方程可得它们的交点坐标．【解答】解：直线l的参数方程为（为参数），由x=t+1可得t=x﹣1，代入y=2t，可得直线l的普通方程：2x﹣y﹣2=0．曲线C的参数方程为（t为参数），化为y2=2x，联立，解得，，于是交点为（2，2），．18．（2011•辽宁）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（II）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．【分析】（I）有曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），消去参数的C1是圆，C2是椭圆，并利用．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合，求出a及b．（II）利用C1，C2的普通方程，当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点为A2，B2，利用面积公式求出面积．【解答】解：（Ⅰ）C1是圆，C2是椭圆．当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1）（0，b），因为这两点重合所以b=1．（Ⅱ）C1，C2的普通方程为x2+y2=1和．当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为．当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为．19．（2016•离石区二模）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ．（Ⅰ）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长．【分析】（Ⅰ）把参数方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．（Ⅱ）由（Ⅰ）求得（﹣1，）到直线x﹣y+1=0 的距离d，再利用弦长公式求得弦长．【解答】解：（Ⅰ）由C1的参数方程消去参数t得普通方程为x﹣y+1=0，圆C2的直角坐标方程（x+1）2+=4，所以圆心的直角坐标为（﹣1，），所以圆心的一个极坐标为（2，）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知（﹣1，）到直线x﹣y+1=0 的距离d==，所以AB=2=．20．（2016•焦作一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程的定义即可求得；（Ⅱ）数形结合：作出图象，根据图象即可求出有两交点时a的范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=a，∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x+1）2+（y+1）2=1（﹣1≤y≤0），为半圆弧，如图所示，曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线，当直线C1过点P时，利用得a=﹣2±，舍去a=﹣2﹣，则a=﹣2+，当直线C1过点A、B两点时，a=﹣1，∴由图可知，当﹣1≤a＜﹣2+时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．21．（2016•衡水校级一模）已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．。
高考极坐标高考题题目及几种常见题型
15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系),(θρ)20(πθ≤≤中，曲线1)sin (cos =+θθρ与1)sin (cos =-θθρ的交点的极坐标为 .(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）若直线{ EMBED Equation.DSMT4 |1223x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线垂直，则常数= .15.(几何证明选讲选做题)如图3，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB=4，，则圆O 的面积等于 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为，（，），则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________15、（几何证明选讲）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA=2。
AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB=1，则圆O 的半径R = ________14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为 ．15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O 的直径AB=6，C 为圆周上一点，过作圆的切线，过A 作的垂线AD ，垂足为D ， 则∠DAC= ．极坐标高考题的几种常见题型贵州省册亨民族中学(552200) 韦万祥和直角坐标系一样,极坐标系是常用的一种坐标系,极坐标是历年理工类高考必考的内容,随着新课程改革的深入,在2007年4个省市新课标高考试题中有3个省市考查了极坐标.涉及较多的是极坐标与直角坐标的互化及简单应用.多以选择题、填空题形式出现,以考查基本概念,基本知识,基本运算为主,一般属于容易题.一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式： 或θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.例1(2007海南宁夏)⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为，．(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(I)，，由得．所以．即为⊙O1的直角坐标方程．同理为⊙O2的直角坐标方程．(II)解法一:由解得，即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．解法二: 由,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．评述:本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所在直线方程的求法.例2(2003全国)圆锥曲线的准线方程是(A) (B) (C) (D)解: 由去分母后两边同时乘以得:,所以x2=8y ,其准线方程为y=,在极坐标系中方程为,故选C.。
极坐标系高考荟萃
极坐标系高考荟萃1在极坐标系中，点 (,)π23 到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为( )（A ）2 (B)（2.在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是( ) (A) (1,)2π (B) (1,)2π- (C) (1,0) (D)(1，π) 3.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，2π），判断点P 与直线l 的位置关系； 4.若曲线的极坐标方程为θθρcos 4sin 2+=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线的直角坐标方程为 .5.把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若曲线的极坐标方程是1cos 4122-=θρ,则它的直角坐标方程是___________.6.极坐标方程4sin 2θ=3表示的曲线是(A)二条射线 (B)二条相交直线 (C) 圆 (D) 抛物线7.极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是(A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D) 抛物线8.极坐标方程ρ2cos2θ=1所表示的曲线是(A)两条相交直线 (B)圆 (C)椭圆 (D)双曲线9.极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表示的曲线是(A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线10.极坐标方程ρ=cos(4π-θ)所表示的曲线是 (A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆11.极坐标方程ρ=2sin(θ+4π)的图形是(A)12.极坐标方程θρcos =与θρcos =21的图形是2 21(A) (B) (C) (D)13.在极坐标系中，圆心在(),2π且过极点的圆的方程为(A) θρcos 22= (B)θρcos 22-= (C)θρsin 22= (D)θρsin 22-=14.直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1的位置关系(A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合15.在极坐标系中,如果一个圆的方程是ρ=4cos θ+6sin θ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是(A) ρsin θ=3 (B) ρsin θ = –3 (C) ρcos θ =2 (D) ρcos θ = –216.在极坐标方程中,与圆ρ=4sin θ相切的一条直线的方程是(A) ρsin θ=2 (B)ρcos θ=2 (C)ρcos θ= 4 (D) ρcos θ=- 417.在极坐标方程中,过点M(2,2π)且平行于极轴的直线的极坐标方程是_______. 18.已知点P 的极坐标为(1,π),那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为(A)ρ=1 (B)ρ=cos θ (C)ρ=θcos 1- (D)ρ=θcos 1 19.以极坐标系中点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是(A)ρ=2cos(θ-4π) (B)ρ=2sin(θ-4π) (C)ρ=2cos(θ-1) (D)ρ=2sin(θ-1) 20.在极坐标系中，直线 的方程为ρsin θ=3，则点(2,6π)到直线 的距离为___________.21.极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是(A) 2 (B) 2 (C) 1 (D) 22 22.已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+4π)=22,则极点到该直线的距离是_________.23.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ= 4cos θ于A 、B 两点，则|AB|=______.24.在极坐标系中,点M(4,3π)到直线 :4)sin cos 2(=+θθρ的距离d=__________________.25.曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为(A) x 2+(y+2)2=4 (B) x 2+(y-2)2=4(C) (x-2)2+y 2=4 (D) (x+2)2+y 2=426.⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=．(I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．。
高三数学极坐标系试题答案及解析
高三数学极坐标系试题答案及解析1.在极坐标系中，点和圆的圆心的距离为( )A．B． 2C．D．【答案】A【解析】在极坐标系中，点，在直角坐标系下的坐标为；在极坐标系中的圆在直角坐标系下的方程为，圆心坐标为，点到圆心的距离为，故选A.【考点】1、极坐标的概念；极坐标与直角坐标的转换；2、圆的方程；3、平面直角坐标系两点间的距离公式.2.已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，（为参数），以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：，则圆截直线所得弦长为 .【答案】.【解析】圆（为参数）表示的曲线是以点为圆心，以为半径的圆，将直线的方程化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离，故圆截直线所得弦长.【考点】1.极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的转化；2.点到直线的距离；3.勾股定理3.在直角坐标系中，圆的参数方程为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆的极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为,与直线的交点为，求线段的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）线段的长为2．【解析】（Ⅰ）求圆的极坐标方程，首先得知道圆的普通方程，由圆的参数方程为参数），可得圆的普通方程是，由公式，，，可得圆的极坐标方程，值得注意的是，参数方程化极坐标方程，必须转化为普通方程；（Ⅱ）求线段的长，此问题处理方法有两种，一转化为普通方程，利用普通方程求出两点的坐标，有两点距离公式可求得线段的长，二利用极坐标方程求出两点的极坐标，由于，所以，所以线段的长为2．试题解析：(Ⅰ)圆的普通方程是，又;所以圆的极坐标方程是.(Ⅱ)设为点的极坐标，则有解得，设为点的极坐标，则有解得，由于，所以，所以线段的长为2.【考点】参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化，考查学生的转化与化归能力及运算能力．4.选修4－4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【答案】（I），，…………（2分），…………（3分）即，．…………（5分）（II）方法1：直线上的点向圆C引切线长是，…………（8分）∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是…………（10分）方法2：，…………（8分）圆心C到距离是，∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是【解析】略5.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为. （Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C与直线相切，求实数a的值.【答案】（Ⅰ）由得，…………２分结合极坐标与直角坐标的互化公式得，即…………５分（Ⅱ）由直线的参数方程化为普通方程，得，. …………７分结合圆C与直线相切，得，解得.【解析】略6.在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则____ _【答案】【解析】略7.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是A．圆、直线B．直线、圆C．圆、圆D．直线、直线【答案】A【解析】略8.（坐标系与参数方程选做题）极点到直线的距离是 .【答案】【解析】略9.极坐标方程（p-1）（）=（p0）表示的图形是A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线【答案】C【解析】略10.C．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O：和直线，（1）求圆O和直线的直角坐标方程；（2）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标. D．选修4-5：不等式证明选讲对于任意实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围．【答案】【解析】∵，当且仅当时取等号∴的最小值等于2.…∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解…解不等式得………11.（理）在极坐标系中，直线与圆的交点坐标是__________.【答案】（1，）（【解析】略12.在极坐标系中，由三条直线，，围成图形的面积是________【答案】【解析】三个极坐标方程化为直角坐标方程依次为，，，三条直线的交点坐标,,,三条直线围成的图形为，其面积为13.（10分）已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆上的点到直线的距离的最小值【答案】（1）（2）【解析】（1），即，故为。
全国卷高考选做题坐标系及参数方程专题
坐标系与参数方程选做专题（2015-10-14 ）命题：靳建芳1．在直角坐标系x y 中，以坐标原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1:x4t（ t 为参数），曲线C2:2 6 cos 10 sin9 0 ．y52t（Ⅰ）将曲线 C1化成一般方程，将曲线C2化成参数方程；（Ⅱ）判断曲线C1和曲线 C2的地址关系．x 2 cos 2．曲线C1的参数方程为2( 为参数 ) ，M是曲线C1上的动点，且M是线段 OPy2sin的中点， P 点的轨迹为曲线 C 2，直线l的极坐标方程为sin()2 ，直线l与曲线 C24交于 A， B两点。
（Ⅰ）求曲线 C 2的一般方程；（Ⅱ）求线段 AB 的长。
3．在直角坐标系xOy中，曲线x 1 cos 2，在极坐标系中 , 曲线C2 C1的参数方程为1cos( 为参数）y2的极坐标方程为sin() 2 ．4（ 1）求曲线C2的一般方程；（2）设C1与C2订交于A, B两点，求AB的长．4．在直角坐标系 xOy 中，以原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
已知曲线C1的极坐标方程为22，直线 l 的极坐标方程为4。
1sin 2 2 sincos（Ⅰ）写出曲线 C 1 与直线 l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设 Q 为曲线 C 1 上一动点，求 Q 点到直线 l 距离的最小值。
x 1．在直角坐标版权法 xOy3t吕，直线 l 的参数方程为2(t 为参数），以原点为极点，53 t y2x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 的极坐标方程为2 3 sin.（Ⅰ）写出 的直角坐标方程；（Ⅱ） P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求点 P 的坐标 .6．在直角坐标系 xOy 中，直线 C 1 :x = 2，圆 C 2 ： x2 y 221 1 , 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .（Ⅰ）求 C 1 ， C 2 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线 C 3 的极坐标方程为R ，设 C 2 与 C 3 的交点为 M , N , 求C 2MN 的4面积 .x 53 t为参数）．以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极．已知直线 l ：2 （t x 71 ty32 坐标系，曲线 C 的坐标方程为2cos ．（ 1）将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程；（ 2）设点 M 的直角坐标为 (5, 3) ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A ，B ，求 |MA|?|MB| 的值．8. 在极坐标系中曲线 C 的极坐标方程为sin 2cos 0 ，点 M (1, ) ．以极点 O 为原点，2以极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为1的直线 l 过点 M ，且与曲线 C 交于 A, B 两点．（Ⅰ）求出曲线 C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）求点 M 到两点 A, B 的距离之积．9．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 sin2 a cos a 0 ，过点 P2, 4 的直线 l 的参数方程为x2 2 t2（ t 为参数），直线 l 与曲线 C 订交于A, B两点．y4 2 t2（Ⅰ）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线l 的一般方程；（Ⅱ）若 PA PB AB 2，求 a 的值．10．．( 本小题满分 12 分) 极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线 C 的极坐标方程为 2 cos sin，斜率为3的直线 l 交y轴与点 E 0,1 ．（ 1）求 C 的直角坐标方程， l 的参数方程；（ 2）直线 l 与曲线 C 交于A、B两点，求 EA EB 的值．x 1 cos(11．在直角坐标系xOy中，圆 C 的参数方程y sin为参数） . 以O为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 .（Ⅰ）求曲线 C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线 l 极坐标方程是 2 sin() 3 3,射线OM :与圆 C的交点为 O、 P ，与33直线 l 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长.12．选修４－４：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与x 轴的正半轴重合. 若直线l 的极坐标方程为sin()2 2 .4(1) 把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程;(2) 已知P为椭圆C :x2y21上一点,求 P 到直线l的距离的最小值. 39坐标系与参数方程选做专题（2015-10-14 ）（参照答案）1．（Ⅰ）C1: y 2x 3，C2:x35cos , （为参数）；（Ⅱ）订交 .y55sin .剖析：（Ⅰ）∵x4t,，∴ t x 4 ，代入y 5 2t 得， y 5 2( x 4) ，即y52t .y 2x 3 ．∴曲线C1的一般方程是 y 2 x 3 ．将x2y2，cos x ，sin y 代入曲线C2的方程2 6 cos 10 sin9 0 ，得 x2y26x 10 y 9 0，即( x 3)2( y 5) 225 ．设x 3 5cos，y 5 5sin得曲线C2的参数方程：x 3 5cos , （为参数） y 55sin .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C1是经过点P(4,5)的直线，曲线 C2是以O (3,5)为圆心半径为 r 5 的圆．∵ PO 1 r ，∴点P(4,5)在曲线 C2内，∴曲线 C1和曲线 C2订交．2．（Ⅰ）x2( y 4) 216（Ⅱ） 214解：（Ⅰ）设P( x, y)M (x,y)。
极坐标系-高中数学知识点讲解(含答案)
极坐标系（北京习题集）（教师版）一．选择题（共8小题）1．（2014•丰台区一模）在极坐标系中，点(1,)A π到直线cos 2ρθ=的距离是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．（2018秋•西城区期末）在极坐标系中，点(2,)2P π到直线cos 1ρθ=-的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D3．（2019•通州区三模）在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为( )A ．2B ．C ．D ．44．（2019•西城区二模）在极坐标系中，直线cos 2ρθ=与圆4cos ρθ=交于A ，B 两点，则||(AB = )A ．4B ．C ．2D 5．（2018秋•东城区期末）在极坐标系中，下列方程为圆2sin ρθ=的切线方程的是( ) A ．cos 2ρθ=B ．2cos ρθ=C ．cos 1ρθ=-D ．sin 1ρθ=-6．（2019•通州区一模）在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是( ) A ．(2π，1) B ．(1,)2πC ．(0,1)D ．(1,0)7．（2019春•海淀区校级期中）在极坐标系中，直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线ρ=截得的线段长为( )A B C D ．28．（2019•平谷区一模）在极坐标系中，点(2,)3π到直线(cos )6ρθθ+=的距离为( )A ．1B ．3C 3D ．5二．填空题（共7小题）9．（2019•昌平区二模）在极坐标系中，极点到直线cos sin 2ρθρθ+=的距离为 ．10．（2013秋•大兴区期末）点P 的极坐标为3)4π与其对应的直角坐标是 ． 11．（2019•大兴区一模）在极坐标系下，点(1,)2P π与曲线2cos ρθ=上的动点Q 距离的最小值为 ．12．（2019•石景山区一模）在极坐标系中，直线sin 2ρθ=与圆4sin ρθ=的位置关系为 ．（填“相交”、“相切”或“相离” )13．（2019•通州区三模）在极坐标系中，若点A 在圆:1C ρ=上，则点A 到直线:(cos sin )2l ρθθ+=距离的最大值为 ．14．（2019•门头沟区一模）已知直线l 的参数方程为(1x tt y t =⎧⎨=-⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0(0,02)ρθθρθπ-=<，若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，则||AB = ．15．（2019•西城区校级模拟）在极坐标系中，若点(,)(0)3A m m π>在圆2cos ρθ=外，则m 的取值范围为 ．极坐标系（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2014•丰台区一模）在极坐标系中，点(1,)A π到直线cos 2ρθ=的距离是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】利用极坐标与直角坐标的互化公式化为直角坐标系下的坐标与方程，即可得出．【解答】解：点(1,)A π与直线cos 2ρθ=分别化为直角坐标系下的坐标与方程：(1,0)A -，直线2x =． 点(1,0)A -到直线2x =的距离2(1)3d =--=，∴点(1,)A π到直线cos 2ρθ=的距离为3．故选：C ．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、点到直线的距离，属于基础题．2．（2018秋•西城区期末）在极坐标系中，点(2,)2P π到直线cos 1ρθ=-的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D【分析】求出点P 的直角坐标方程为(0,2)P ，直线的直角坐标方程为10x +=，由此能求出点(2,)2P π到直线cos 1ρθ=-的距离．【解答】解：在极坐标系中，点(2,)2P π，2cos02x π∴==，2sin22y π==，∴点P 的直角坐标方程为(0,2)P ，直线cos 1ρθ=-，∴直线的直角坐标方程为10x +=， ∴点(2,)2P π到直线cos 1ρθ=-的距离1d ==．故选：A ．【点评】本题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（2019•通州区三模）在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为( )A ．2B ．C ．D ．4【分析】由2cos 12sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得22(1)(1)4x y ++-=，∴曲线C 的轨迹是以(1,1)-为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及基本不等式可得．【解答】解：由2cos 12sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得22(1)(1)4x y ++-=，∴曲线C 的轨迹是以(1,1)-为圆心，2为半径的圆，圆心(1,1)-到直线20x ty -+=的距离d ==，||231AB ∴==-=， 当且仅当1t =-时取等． 故选：B ．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．4．（2019•西城区二模）在极坐标系中，直线cos 2ρθ=与圆4cos ρθ=交于A ，B 两点，则||(AB = )A ．4B ．C ．2D 【分析】将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程后，根据直线过圆心可得AB 为圆的直径，所以||4AB =． 【解答】解：由cos 2ρθ=得2x =；由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，得2240x y x +-=即22(2)4x y -+=， 显然直线过圆心，所以||4AB =． 故选：A ．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．5．（2018秋•东城区期末）在极坐标系中，下列方程为圆2sin ρθ=的切线方程的是( ) A ．cos 2ρθ=B ．2cos ρθ=C ．cos 1ρθ=-D ．sin 1ρθ=-【分析】求出圆的直角坐标方程为222x y y +=，即22(1)1x y +-=，圆心为(0,1)，半径1r =，由此能求出结果． 【解答】解：圆2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，∴圆的直角坐标方程为222x y y +=，即22(1)1x y +-=，圆心为(0,1)，半径1r =， 在A 中，cos 2ρθ=即2x =，圆心(0,1)到2x =的距离21d r =>=，故cos 2ρθ=不是圆的切线，故A 错误； 在B 中，2cos ρθ=是圆，不是直线，故B 错误； 在C 中，cos 1ρθ=-即1x =-，圆心(0,1)到1x =-的距离11d r ===，故cos 1ρθ=-是圆的切线，故C 正确； 在D 中，sin 1ρθ=-即1y =-，圆心(0,1)到1y =-的距离21d r =>=，故sin 1ρθ=-不是圆的切线，故D 错误． 故选：C ．【点评】本题考查圆的切线方程的判断，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（2019•通州区一模）在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是( ) A ．(2π，1) B ．(1,)2πC ．(0,1)D ．(1,0)【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心的直角坐标，再化为极坐标即可． 【解答】解：圆2sin ρθ=化为22sin ρρθ=，222x y y ∴+=，配方为22(1)1x y +-=， 因此圆心直角坐标为(0,1)， 可得圆心的极坐标为(1,)2π．故选：B ．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化，属于基础题．7．（2019春•海淀区校级期中）在极坐标系中，直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线ρ=截得的线段长为( )A B C D ．2【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】解：直线sin cos 1ρθρθ-=转换为直角坐标方程为：10x y -+=．曲线ρ转换为直角坐标方程为222x y +=，所以圆心(0,0)到直线10x y -+=的距离d ==所以l =． 故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．（2019•平谷区一模）在极坐标系中，点(2,)3π到直线(cos )6ρθθ+=的距离为( )A ．1B ．3C 3D ．5【分析】把点的坐标与极坐标方程分别化为直角坐标及其方程，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点(2,)3P π化为：(2cos ,2sin )33P ππ，即P ．直线(cos )6ρθθ+=化为直角坐标方程：60x +-=，∴点P 到直线的距离212d ===． 故选：A ．【点评】本题考查了极坐标方程分别化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二．填空题（共7小题）9．（2019•昌平区二模）在极坐标系中，极点到直线cos sin 2ρθρθ+=【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，进行代换将直线cos sin 2ρθρθ+=的化成直角坐标方程，再在直角坐标系中算出极点到直线的距离即可．【解答】解：直线cos sin 2ρθρθ+=的极坐标方程为： 20x y +-=，∴极点到直线cos sin 2ρθρθ+=的距离等于：=【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．10．（2013秋•大兴区期末）点P 的极坐标为3)4π与其对应的直角坐标是 (1,1)- ． 【分析】利用极坐标化为直角坐标的公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩即可得出．【解答】解：设点P 的直角坐标为(,)x y ，则3cos cos14x πρθ==-，3sin 14y πρθ===． ∴点P 的直角坐标为(1,1)-．故答案为：(1,1)-．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，属于基础题．11．（2019•大兴区一模）在极坐标系下，点(1,)2P π与曲线2cos ρθ=上的动点Q 1 ．【分析】将点P 的极坐标化成直角坐标，圆的极坐标方程化成直角坐标后，PQ 的最小值等于点P 到圆心的距离减去半径．【解答】解：点(1,)2P π的直角坐标为(0,1)，曲线2cos ρθ=的直角坐标方程为：22(1)1x y -+=，其圆心为(1,0)，半径为1，点(0,1)P 与圆心(1,0)||1min PQ ∴=．1．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．12．（2019•石景山区一模）在极坐标系中，直线sin 2ρθ=与圆4sin ρθ=的位置关系为 相交 ．（填“相交”、“相切”或“相离” )【分析】将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程后可得相交．【解答】解：由sin 2ρθ=得2y =；由4sin ρθ=得24sin ρρθ=得22(2)4x y +-=， 所以直线与圆相交． 故答案为：相交．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．13．（2019•通州区三模）在极坐标系中，若点A 在圆:1C ρ=上，则点A 到直线:(cos sin )2l ρθθ+=距离的最大值为1 ．【分析】圆C 的直角坐标方程为：221x y +=，直线l 的直角坐标方程为：20x y +-=，问题转化为求圆心C 到直线l 的距离加上圆的半径，由点到直线的距离公式可得．【解答】解：圆C 的直角坐标方程为：221x y +=，直线l 的直角坐标方程为：20x y +-=， 问题转化为求圆心C 到直线l 的距离加上圆的半径，11+．1．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中挡题．14．（2019•门头沟区一模）已知直线l 的参数方程为(1x tt y t =⎧⎨=-⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0(0,02)ρθθρθπ-=<，若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，则||AB = 8 ．【分析】利用直线参数方程中参数t 的几何意义可得．【解答】解：由1x t y t =⎧⎨=-⎩消去t 可得1y x =-，其参数方程的标准形式为：1(x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数）， 由2sin 4cos 0ρθθ-=得22sin 4cos 0ρθρθ-=，得24y x =，联立2124x y y x ⎧=+⎪⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎪⎩得280t --=， 设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，则12t t +=128t t =-，所以12||||8AB t t =-===．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．15．（2019•西城区校级模拟）在极坐标系中，若点(,)(0)3A m m π>在圆2cos ρθ=外，则m 的取值范围为 (1,)+∞ ．【分析】首先把点的极坐标转化为直角坐标，进一步利用点和圆的位置关系求出结果． 【解答】解：极坐标(,)(0)3A m m π>，转化为直角坐标为：(2m A ，圆圆2cos ρθ=，转化为：2220x y x +-=， 整理得：22(1)1x y -+=， 由于：点A 在圆的外部，1， 解得：1m >或0m <， 由于：0m >， 所以：1m >． 即：(1,)m ∈+∞． 故答案为：(1,)+∞．【点评】本题考查的知识要点：极坐标和直角坐标的转化，点与圆的位置关系的应用．。
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高考经典练习题 极坐标系选讲2013年高考题错误！未指定书签。
．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）在极坐标系中,圆=2c o s p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）A ．=0()c o s =2R θρρ∈和B ．=()c o s =22R πθρρ∈和 C ．=()c o s =12R πθρρ∈和 D ．=0()c o s =1R θρρ∈和 【答案】B错误！未指定书签。
．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）已知圆的极坐标方程为4c o s ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = ______.【答案】23错误！未指定书签。
．（2013年高考上海卷（理））在极坐标系中,曲线c o s 1ρθ=+与c o s 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________【答案】.错误！未指定书签。
．（2013年高考北京卷（理））在极坐标系中,点(2,π)到直线ρsin θ=2的距离等于_________. 【答案】1错误！未指定书签。
．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）在直角坐标系x O y 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为c o s 4ρθ=的直线与曲线23x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数)相交于,A B 两点,则______A B = 【答案】16错误！未指定书签。
．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为2c o s 2s in x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数),C 在点()1,1处的切线为,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.【答案】s in 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭错误！未指定书签。
．（2013年高考陕西卷（理））C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为______ .θP Oyx【答案】R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin coscos 2错误！未指定书签。
．（2013年高考江西卷（理））(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2x ty t =⎧⎨=⎩(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________【答案】2c o s s i n 0ρθθ-= 错误！未指定书签。
．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系x o y 中,若,3co s ,:(t )C :2si n x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆 ()ϕ为参数的右顶点,则常数a 的值为________.【答案】3错误！未指定书签。
．（2013年高考湖北卷（理））在直角坐标系x O y 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0ab ϕ>>为参数，.在极坐标系(与直角坐标系x O y 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线与圆O 的极坐标方程分别为2s in 42m πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=.若直线经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为___________【答案】632012年高考题11.【2012高考湖南理9】 在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则__a =.【答案】32【解析】曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3(,0)2；曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22219x y a +=，其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -， 由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上，知32a =. 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线1C 与曲线2C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x 轴交点，即可求得. 12.【2012高考陕西理15】C ．（坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 . 【答案】3.【解析】直线1cos 2=θρ与圆θρcos 2=的普通方程为1)1(1222=+-=y x x 和，圆心到直线的距离为21211=-，所以弦长为3)21(122=-. 13.【2012高考上海理10】如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf 。
【答案】)6sin(1θπρ-=【解析】设直线上的任一点为P ),(θρ,因为6π=∠PAB ,所以θπ-=∠6O P A,根据正弦定理得OPAOAOAP OP sin sin =,即)6sin(2)6sin(θπππρ-=-，即)6sin(1)6sin(6sin2θπθππρ-=-=。
【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中.14.【2012高考江西理15】（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2-2x=0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C 的极坐标方程为___________。
【命题立意】本题考查参数方程，考查极坐标与平面直角坐标系之间的转化。
【解析】因为θρρcos ,222==+x y x ，所以代入直角坐标方程整理得0cos 22=-θρρ，所以0cos 2=-θρ，即极坐标方程为θρcos 2=。
【答案】θρcos 2=15.【2012高考湖北理16】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线π4θ=与曲线21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数） 相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 . 【答案】)25,25(P考点分析：本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点. 【解析】π4θ=在直角坐标系下的一般方程为)(R x x y ∈=，将参数方程21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为222)2()11()1(-=--=-=x x t y 表示一条抛物线，联立上面两个方程消去y 有0452=+-x x ，设B A 、两点及其中点P 的横坐标分别为0x x x B A 、、，则有韦达定理2520=+=B A x x x ,又由于点P 点在直线x y =上，因此AB 的中点)25,25(P .16.【2012高考北京理9】直线t t y t x (12⎩⎨⎧--=+=为参数)与曲线ααα(sin 3cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数)的交点个数为______。
【答案】2【解析】直线的普通方程01=-+y x ，圆的普通方程为922=+y x ，可以直线圆相交，故有2个交点。
17.【2012高考广东理14】(坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为1:(x t C t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩是参数） 和22cos :(2sin x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩是参数），它们的交点坐标为_______.【解析】它们的交点坐标为_______(1,1)22212:(0),:2C y x y C x y =>+= 解得：交点坐标为(1,1)得21-≤x ；当2-<x 时，12≤-恒成立，故不等式的解集为}21|{-≤x x ．18.【2012高考安徽理13】在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是_____【答案】3【命题立意】本题考查极坐标中的点与直线的距离。
【解析】圆224sin (2)4x y ρθ=↔+-=的圆心(0,2)C ，直线:()306l R x y πθρ=∈↔-=；点C 到直线l 的距离是02332-=．19.【2012高考天津理12】已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 2,22（t 为参数）,其中p>0，焦点为F ，准线为l . 过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M 的横坐标是3，则p = _________. 【答案】2【解析】消去参数t 得抛物线方程为px y 22=，准线方程为2px -=，因M 为抛物线上一点，所以有ME MF =,又EF MF =,所以三角形MEF 为等边三角形，则23)2(32pp p MF EF +=--===，解得2=p 。
20.【2012高考江苏21】C. [选修4 - 4：坐标系与参数方程] （10分）在极坐标中，已知圆C 经过点()24P π，，圆心为直线3sin 32ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【答案】解：∵圆C 圆心为直线3sin 32ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点，∴在3sin 32ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭中令=0θ，得1ρ=。
∴圆C 的圆心坐标为（1，0）。
∵圆C 经过点()24Pπ，，∴圆C 的半径为()2221212c o s=14PC π=+-⨯⨯。
∴圆C 经过极点。
∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ。
【考点】直线和圆的极坐标方程。
【解析】根据圆C 圆心为直线3sin 32ρθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆C经过点()24Pπ，求出圆C 的半径。
从而得到圆C 的极坐标方程。